Jusqu’ici, quand un énoncé cachait un nombre, tu le cherchais « à tâtons » : tu essayais $5$ , puis $6$ , puis $7$ … Cette année, on arrête de deviner. Une équation est une machine qui, si on la manipule selon deux règles très simples, livre elle-même le nombre cherché. Et une fois cette machine maîtrisée, un problème raconté en trois phrases se règle en cinq lignes de calcul.

1Le vocabulaire des équations

Définition

Une équation est une égalité dans laquelle figure une lettre dont on ignore la valeur. Cette lettre s’appelle l’inconnue (souvent $x$ ).

Une solution de l’équation est un nombre qui, mis à la place de l’inconnue, rend l’égalité vraie.

Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Une équation possède deux côtés, séparés par le signe $=$ : celui de gauche est le membre de gauche, celui de droite le membre de droite.

Exemple — tester un nombre

Le nombre $4$ est-il solution de l’équation $3x - 5 = 7$ ?

On calcule séparément les deux membres pour $x = 4$ .

membre de gauche : $3 \times 4 - 5$
$=$ $12 - 5$
$=$ $7$
membre de droite : $7$
$\Rightarrow$ les deux membres sont égaux $4$ est bien solution

Et le nombre $2$ ?

membre de gauche : $3 \times 2 - 5$
$=$ $1$
membre de droite : $7$
$\Rightarrow$ $1 \neq 7$ $2$ n’est pas solution

Important : Pour vérifier qu’un nombre est solution, on calcule les deux membres séparément, puis on compare. On n’écrit jamais l’égalité tant qu’on ne l’a pas vérifiée.

Définition

Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont exactement les mêmes solutions. On note alors le symbole $\iff$ entre les deux.

Toute la résolution consiste à remplacer l’équation de départ par une suite d’équations équivalentes, de plus en plus simples, jusqu’à lire la solution directement : $x = \dots$

2Les deux règles de transformation

Imagine une balance à deux plateaux, parfaitement en équilibre. Tant que tu fais la même chose des deux côtés, l’équilibre est conservé. C’est exactement le principe des deux règles qui suivent.

Propriété — règle 1 — ajouter ou retrancher

On ne change pas les solutions d’une équation lorsqu’on ajoute un même nombre aux deux membres, ou lorsqu’on retranche un même nombre aux deux membres.

Autrement dit, pour tout nombre $c$ :

$a = b \iff a + c = b + c$

Propriété — règle 2 — multiplier ou diviser

On ne change pas les solutions d’une équation lorsqu’on multiplie les deux membres par un même nombre non nul, ou lorsqu’on divise les deux membres par un même nombre non nul.

Autrement dit, pour tout nombre $c \neq 0$ :

$a = b \iff a \times c = b \times c$

Figure 1 — La balance des équations : retirer

3

dans un seul plateau ferait pencher la balance. Retirer

3

dans les deux conserve l’équilibre — et donc les solutions.

Attention

Dans la règle 2, le nombre $c$ doit être non nul. Multiplier les deux membres par $0$ transformerait n’importe quelle équation en $0 = 0$ , ce qui est vrai pour tout $x$ : on aurait fabriqué de fausses solutions.

Exemple — les règles en action

Résolvons $x + 3 = 8$ .

$x + 3 = 8$
$\iff$ $x + 3 - 3 = 8 - 3$ règle 1 : on retranche $3$
$\iff$ $x = 5$

Résolvons maintenant $4x = 20$ .

$4x = 20$
$\iff$ $\dfrac{4x}{4} = \dfrac{20}{4}$ règle 2 : on divise par $4$
$\iff$ $x = 5$

3Résoudre une équation du premier degré

Définition

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s’écrire sous la forme $ax + b = cx + d$ , où $a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des nombres connus.

Méthode — résoudre

ax+b=cx+d

Développer et réduire chaque membre s’il y a des parenthèses ;
regrouper les termes en $x$ dans le membre de gauche (règle 1) ;
regrouper les nombres seuls dans le membre de droite (règle 1) ;
diviser les deux membres par le coefficient de $x$ (règle 2) ;
conclure par une phrase, puis vérifier.

Exemple — résoudre

5x - 3 = 2x + 9

$5x - 3 = 2x + 9$
$\iff$ $5x - 3 - 2x = 2x + 9 - 2x$ on retranche $2x$ des deux côtés
$\iff$ $3x - 3 = 9$
$\iff$ $3x - 3 + 3 = 9 + 3$ on ajoute $3$ des deux côtés
$\iff$ $3x = 12$
$\iff$ $\dfrac{3x}{3} = \dfrac{12}{3}$ on divise par $3$
$\iff$ $x = 4$

L’équation admet une unique solution : $4$ .

Vérification :

membre de gauche : $5 \times 4 - 3 = 17$
membre de droite : $2 \times 4 + 9 = 17$
$\Rightarrow$ les deux membres coïncidentla solution est correcte

Exemple — avec des parenthèses

Résolvons $3(x - 2) = 5x + 4$ .

$3(x - 2) = 5x + 4$
$\iff$ $3x - 6 = 5x + 4$ on développe le membre de gauche
$\iff$ $3x - 6 - 5x = 4$ on retranche $5x$
$\iff$ $-2x - 6 = 4$
$\iff$ $-2x = 10$ on ajoute $6$
$\iff$ $x = \dfrac{10}{-2}$ on divise par $-2$
$\iff$ $x = -5$

La solution est $-5$ .

Exemple — avec des fractions

Résolvons $\dfrac{x}{3} + 1 = \dfrac{x}{2}$ .

$\dfrac{x}{3} + 1 = \dfrac{x}{2}$
$\iff$ $6 \times \left(\dfrac{x}{3} + 1\right) = 6 \times \dfrac{x}{2}$ règle 2 : on multiplie par $6$
$\iff$ $2x + 6 = 3x$
$\iff$ $6 = x$ on retranche $2x$
$\iff$ $x = 6$

Multiplier d’emblée par un dénominateur commun fait disparaître toutes les fractions : c’est le réflexe à prendre.

3.1 Deux cas particuliers

Il arrive que les termes en $x$ disparaissent tous les deux. Deux situations se présentent alors.

Exemple — aucune solution

$2x + 5 = 2x - 1$
$\iff$ $5 = -1$ on retranche $2x$
$\Rightarrow$ égalité fausse pour tout $x$ l’équation n’a aucune solution

Exemple — une infinité de solutions

$3(x + 2) = 3x + 6$
$\iff$ $3x + 6 = 3x + 6$ on développe
$\iff$ $0 = 0$ on retranche $3x + 6$
$\Rightarrow$ égalité vraie pour tout $x$ tous les nombres sont solutions

Math & Co — al-Khwârizmî, le père du mot « algèbre »

Vers $820$ , à Bagdad, le savant Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī travaille à la Maison de la Sagesse. Il y rédige un traité au titre imposant : Kitāb al-jabr wa-l-muqābala, « Le livre de la restauration et de la comparaison ».

La restauration — al-jabr — désigne précisément notre règle 1 : faire passer un terme d’un membre à l’autre pour rétablir l’équilibre. Ce mot arabe, latinisé en algebra, a donné le français algèbre. Quant au nom du savant lui-même, latinisé en Algoritmi, il nous a laissé le mot algorithme.

Détail savoureux : al-Khwârizmî n’écrivait aucun symbole. Pas de $x$ , pas de signe $=$ — tout était rédigé en phrases. Le signe $=$ n’apparaîtra qu’en $1557$ , sous la plume de l’Anglais Robert Recorde, qui choisit deux traits parallèles « car deux choses ne peuvent être plus égales ».

4Mettre un problème en équation

C’est là que les équations deviennent réellement utiles : elles permettent de traduire un énoncé en français dans une langue où le calcul fait le travail à ta place.

Méthode — la méthode en 4 temps

Choix de l’inconnue. On écrit une phrase du type « Soit $x$ le nombre de… ». On précise l’unité.
Mise en équation. On traduit chaque information de l’énoncé par une expression en $x$ , puis on écrit l’égalité imposée par l’énoncé.
Résolution. On résout l’équation obtenue, une étape par ligne.
Retour à l’énoncé. On vérifie que la valeur trouvée a un sens (une longueur ne peut pas être négative), puis on répond par une phrase.

Exemple — le jardin rectangulaire

Un jardin rectangulaire a une longueur qui dépasse sa largeur de $7$ m. Son périmètre vaut $54$ m. Quelles sont ses dimensions ?

1. Choix de l’inconnue

Soit $x$ la largeur du jardin, en mètres. La longueur vaut alors $x + 7$ .

2. Mise en équation

Le périmètre d’un rectangle vaut $2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})$ .

$2\big((x + 7) + x\big) = 54$

3. Résolution

$2\big((x + 7) + x\big) = 54$
$\iff$ $2(2x + 7) = 54$ on réduit dans la parenthèse
$\iff$ $4x + 14 = 54$ on développe
$\iff$ $4x = 40$ on retranche $14$
$\iff$ $x = 10$ on divise par $4$

4. Retour à l’énoncé

La largeur $10$ m est bien positive : la valeur a un sens.

largeur $= 10$ m
longueur $= 10 + 7 = 17$ m
vérification : $2 \times (17 + 10) = 54$ le périmètre est bien celui de l’énoncé

Le jardin mesure donc 10 m de large et 17 m de long.

Important : Le choix de l’inconnue n’est jamais imposé : on peut aussi appeler

x

la longueur. Choisis toujours celle qui rend les autres expressions les plus simples possible.

5La propriété du produit nul et les équations-produits

Théorème — propriété du produit nul

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

$A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ou} \ B = 0$

Démonstration

Il y a deux implications à établir.

Sens réciproque

Supposons que $A = 0$ .

$A \times B = 0 \times B$
$=$ $0$ tout produit par $0$ est nul

De la même façon, si $B = 0$ alors $A \times B = 0$ . Donc si l’un des facteurs est nul, le produit est nul.

Sens direct

Supposons maintenant que $A \times B = 0$ , et montrons que l’un des deux facteurs est nul.

Si $A = 0$ , c’est terminé. Plaçons-nous donc dans le cas où $A \neq 0$ .

$A \times B = 0$
$\iff$ $\dfrac{A \times B}{A} = \dfrac{0}{A}$ on divise par $A$ , licite car $A \neq 0$
$\iff$ $B = 0$

Ainsi, dès que $A \times B = 0$ , on a $A = 0$ ou $B = 0$ .

Les deux implications sont démontrées : l’équivalence est établie. C.Q.F.D.

Attention

Cette propriété est propre au nombre $0$ . Si $A \times B = 12$ , on ne peut rien dire de $A$ ni de $B$ : on a par exemple $2 \times 6 = 12$ , mais aussi $\dfrac{1}{2} \times 24 = 12$ . Avant d’appliquer la propriété, il faut donc impérativement que le membre de droite soit $0$ .

Définition

Une équation-produit est une équation de la forme « produit de facteurs $= 0$ », chaque facteur étant du premier degré.

Méthode — résoudre une équation-produit

Vérifier que le membre de droite est bien $0$ ;
annoncer : « un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul » ;
écrire les équations du premier degré correspondantes, reliées par « ou » ;
résoudre chacune séparément ;
conclure : l’équation admet les solutions trouvées.

Figure 2 — Une équation-produit se casse en deux équations du premier degré, reliées par un « ou » : chaque branche donne une solution.

Exemple — résoudre

(x - 2)(x + 5) = 0

Le membre de droite vaut $0$ : la propriété s’applique.

$(x - 2)(x + 5) = 0$
$\iff$ $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$ propriété du produit nul

On résout la première :

$x - 2 = 0$
$\iff$ $x = 2$

Puis la seconde :

$x + 5 = 0$
$\iff$ $x = -5$

L’équation admet deux solutions : $2$ et $-5$ .

Exemple — quand les facteurs ont un coefficient

Résolvons $(3x + 6)(2x - 7) = 0$ .

$(3x + 6)(2x - 7) = 0$
$\iff$ $3x + 6 = 0$ ou $2x - 7 = 0$ produit nul

$3x + 6 = 0$
$\iff$ $3x = -6$
$\iff$ $x = -2$

$2x - 7 = 0$
$\iff$ $2x = 7$
$\iff$ $x = \dfrac{7}{2}$

Les solutions sont $-2$ et $\dfrac{7}{2}$ , soit $3{,}5$ .

5.1 Il faut parfois factoriser d’abord

Une équation n’est presque jamais donnée toute prête sous forme de produit. Le travail consiste souvent à ramener tout dans le membre de gauche, puis à factoriser.

Exemple — résoudre

x^2 + 4x = 0

$x^2 + 4x = 0$
$\iff$ $x \times x + 4 \times x = 0$ on repère le facteur commun $x$
$\iff$ $x(x + 4) = 0$ on factorise
$\iff$ $x = 0$ ou $x + 4 = 0$ produit nul
$\iff$ $x = 0$ ou $x = -4$

Les solutions sont $0$ et $-4$ .

Attention

Devant $x^2 + 4x = 0$ , la tentation est de diviser les deux membres par $x$ pour obtenir $x + 4 = 0$ . C’est interdit : la règle 2 exige de diviser par un nombre non nul, or ici $x$ peut valoir $0$ . En divisant par $x$ , on perdrait justement la solution $x = 0$ .

6Les équations $x^2 = a$ et $x^2 - a^2 = 0$

Propriété — équations du type

x^2 = a

Soit $a$ un nombre. L’équation $x^2 = a$ admet :

deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ , si $a > 0$ ;
une seule solution, $0$ , si $a = 0$ ;
aucune solution si $a < 0$ .

La raison du dernier cas est simple : le carré d’un nombre est toujours positif ou nul. Aucun nombre ne peut donc avoir un carré négatif.

Figure 3 — Les deux solutions de

x^2 = 25

sont symétriques par rapport à $0$ : oublier la solution négative est l’erreur la plus fréquente.

Exemple — les trois cas

$x^2 = 49$
$\iff$ $x = 7$ ou $x = -7$ car $49 > 0$

$x^2 = 0$
$\iff$ $x = 0$ seul $0$ a un carré nul

$x^2 = -9$
$\Rightarrow$ aucune solutionun carré n’est jamais négatif

6.1 Résoudre $x^2 - a^2 = 0$ par factorisation

On reconnaît ici l’identité remarquable $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ , vue au chapitre sur le calcul littéral. Elle transforme l’équation en équation-produit.

Exemple — résoudre

x^2 - 25 = 0

$x^2 - 25 = 0$
$\iff$ $x^2 - 5^2 = 0$ on écrit $25$ comme un carré
$\iff$ $(x - 5)(x + 5) = 0$ identité remarquable
$\iff$ $x - 5 = 0$ ou $x + 5 = 0$ produit nul
$\iff$ $x = 5$ ou $x = -5$

On retrouve bien les deux solutions annoncées par la propriété précédente.

Exemple — résoudre

9x^2 - 16 = 0

$9x^2 - 16 = 0$
$\iff$ $(3x)^2 - 4^2 = 0$ car $9x^2 = (3x)^2$
$\iff$ $(3x - 4)(3x + 4) = 0$ identité remarquable
$\iff$ $3x - 4 = 0$ ou $3x + 4 = 0$ produit nul

$3x - 4 = 0$
$\iff$ $x = \dfrac{4}{3}$

$3x + 4 = 0$
$\iff$ $x = -\dfrac{4}{3}$

Les solutions sont $\dfrac{4}{3}$ et $-\dfrac{4}{3}$ .

Fiche mémo

Une solution rend l’égalité vraie ; on la vérifie en calculant les deux membres séparément.
Règle 1 : $a = b \iff a + c = b + c$ (ajouter ou retrancher un même nombre).
Règle 2 : $a = b \iff a \times c = b \times c$ , avec $c \neq 0$ .
$ax + b = cx + d$ : les $x$ à gauche, les nombres à droite, puis on divise.
Mise en équation : inconnue $\rightarrow$ équation $\rightarrow$ résolution $\rightarrow$ phrase de conclusion.
Produit nul : $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$ — seulement si le membre de droite est $0$ .
$x^2 = a$ : deux solutions si $a > 0$ , une si $a = 0$ , aucune si $a < 0$ .
$x^2 - a^2 = 0 \iff (x - a)(x + a) = 0$ .
On ne divise jamais par $x$ : on factorise.

Niveau 1 — Application directe

Le nombre $-3$ est-il solution de l’équation $4x + 7 = -5$ ? Et de $x^2 - 9 = 0$ ?

Voir le corrigé détaillé

Première équation, pour $x = -3$ :

membre de gauche : $4 \times (-3) + 7$
$=$ $-12 + 7$
$=$ $-5$
membre de droite : $-5$
$\Rightarrow$ $-3$ est solution

Seconde équation, pour $x = -3$ :

membre de gauche : $(-3)^2 - 9$
$=$ $9 - 9$
$=$ $0$
$\Rightarrow$ $-3$ est également solution

Résous : $x + 7 = 12$ ; $x - 3 = -8$ ; $5x = 35$ ; $\dfrac{x}{4} = 3$ .

Voir le corrigé détaillé

$x + 7 = 12$
$\iff$ $x = 12 - 7$
$\iff$ $x = 5$

$x - 3 = -8$
$\iff$ $x = -8 + 3$
$\iff$ $x = -5$

$5x = 35$
$\iff$ $x = \dfrac{35}{5}$
$\iff$ $x = 7$

$\dfrac{x}{4} = 3$
$\iff$ $x = 3 \times 4$
$\iff$ $x = 12$

Résous l’équation $4x + 3 = 19$ , puis vérifie ta réponse.

Voir le corrigé détaillé

$4x + 3 = 19$
$\iff$ $4x = 16$ on retranche $3$
$\iff$ $x = 4$ on divise par $4$

Vérification :

$4 \times 4 + 3 = 19$ égal au membre de droite

La solution est $4$ .

Résous $7x - 2 = 4x + 13$ .

Voir le corrigé détaillé

$7x - 2 = 4x + 13$
$\iff$ $7x - 2 - 4x = 13$ on retranche $4x$
$\iff$ $3x - 2 = 13$
$\iff$ $3x = 15$ on ajoute $2$
$\iff$ $x = 5$ on divise par $3$

Résous les équations-produits $(x - 6)(x + 1) = 0$ puis $(2x + 5)(3x - 9) = 0$ .

Voir le corrigé détaillé

$(x - 6)(x + 1) = 0$
$\iff$ $x - 6 = 0$ ou $x + 1 = 0$ produit nul
$\iff$ $x = 6$ ou $x = -1$

$(2x + 5)(3x - 9) = 0$
$\iff$ $2x + 5 = 0$ ou $3x - 9 = 0$ produit nul

$2x + 5 = 0$
$\iff$ $x = -\dfrac{5}{2}$

$3x - 9 = 0$
$\iff$ $x = 3$

Les solutions sont $-\dfrac{5}{2}$ et $3$ .

Résous $x^2 = 81$ ; $x^2 = 0$ ; $x^2 = -9$ .

Voir le corrigé détaillé

$x^2 = 81$
$\iff$ $x = 9$ ou $x = -9$ $81 > 0$ : deux solutions

$x^2 = 0$
$\iff$ $x = 0$ une seule solution

$x^2 = -9$
$\Rightarrow$ aucune solutionun carré est toujours positif ou nul

Résous $x^2 - 49 = 0$ en factorisant.

Voir le corrigé détaillé

$x^2 - 49 = 0$
$\iff$ $x^2 - 7^2 = 0$
$\iff$ $(x - 7)(x + 7) = 0$ identité remarquable
$\iff$ $x - 7 = 0$ ou $x + 7 = 0$ produit nul
$\iff$ $x = 7$ ou $x = -7$

Niveau 2 — Approfondissement

Résous $5(x - 2) - 3(2x + 1) = 4$ .

Voir le corrigé détaillé

$5(x - 2) - 3(2x + 1) = 4$
$\iff$ $5x - 10 - 6x - 3 = 4$ on développe (attention au signe $-$ )
$\iff$ $-x - 13 = 4$ on réduit
$\iff$ $-x = 17$ on ajoute $13$
$\iff$ $x = -17$ on divise par $-1$

Résous $\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x + 4}{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x + 4}{2}$
$\iff$ $6 \times \dfrac{2x - 1}{3} = 6 \times \dfrac{x + 4}{2}$ on multiplie par $6$
$\iff$ $2(2x - 1) = 3(x + 4)$
$\iff$ $4x - 2 = 3x + 12$ on développe
$\iff$ $x - 2 = 12$ on retranche $3x$
$\iff$ $x = 14$ on ajoute $2$

Résous $4x^2 - 9 = 0$ .

Voir le corrigé détaillé

$4x^2 - 9 = 0$
$\iff$ $(2x)^2 - 3^2 = 0$
$\iff$ $(2x - 3)(2x + 3) = 0$ identité remarquable
$\iff$ $2x - 3 = 0$ ou $2x + 3 = 0$ produit nul

$2x - 3 = 0$
$\iff$ $x = \dfrac{3}{2}$

$2x + 3 = 0$
$\iff$ $x = -\dfrac{3}{2}$

Les solutions sont $\dfrac{3}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$ .

Résous $(x - 3)^2 - 16 = 0$ .

Voir le corrigé détaillé

$(x - 3)^2 - 16 = 0$
$\iff$ $(x - 3)^2 - 4^2 = 0$
$\iff$ $\big((x - 3) - 4\big)\big((x - 3) + 4\big) = 0$ identité remarquable avec $A = x - 3$
$\iff$ $(x - 7)(x + 1) = 0$ on réduit chaque facteur
$\iff$ $x - 7 = 0$ ou $x + 1 = 0$ produit nul
$\iff$ $x = 7$ ou $x = -1$

Factorise $(2x + 1)(x - 4) + (2x + 1)(3x + 2)$ , puis résous l’équation obtenue lorsqu’elle est égale à $0$ .

Voir le corrigé détaillé

$(2x + 1)(x - 4) + (2x + 1)(3x + 2)$
$=$ $(2x + 1)\big[(x - 4) + (3x + 2)\big]$ facteur commun $2x + 1$
$=$ $(2x + 1)(4x - 2)$ on réduit le crochet

On résout ensuite :

$(2x + 1)(4x - 2) = 0$
$\iff$ $2x + 1 = 0$ ou $4x - 2 = 0$ produit nul

$2x + 1 = 0$
$\iff$ $x = -\dfrac{1}{2}$

$4x - 2 = 0$
$\iff$ $x = \dfrac{1}{2}$

Résous $3(2x - 5) = 6x + 4$ , puis $2(3x - 1) = 6x - 2$ . Que constates-tu ?

Voir le corrigé détaillé

$3(2x - 5) = 6x + 4$
$\iff$ $6x - 15 = 6x + 4$ on développe
$\iff$ $-15 = 4$ on retranche $6x$
$\Rightarrow$ égalité fausseaucune solution

$2(3x - 1) = 6x - 2$
$\iff$ $6x - 2 = 6x - 2$ on développe
$\iff$ $0 = 0$ on retranche $6x - 2$
$\Rightarrow$ égalité toujours vraietous les nombres sont solutions

Quand les termes en $x$ s’éliminent, il reste soit une égalité fausse (aucune solution), soit une égalité vraie (une infinité de solutions).

Niveau 3 — Défi

Résous $(2x - 1)^2 = (x + 4)^2$ .

Voir le corrigé détaillé

On ramène tout dans le membre de gauche pour faire apparaître une différence de deux carrés.

$(2x - 1)^2 = (x + 4)^2$
$\iff$ $(2x - 1)^2 - (x + 4)^2 = 0$ on retranche $(x+4)^2$
$\iff$ $\big[(2x - 1) - (x + 4)\big]\big[(2x - 1) + (x + 4)\big] = 0$ identité $A^2 - B^2$
$\iff$ $(x - 5)(3x + 3) = 0$ on réduit chaque crochet
$\iff$ $x - 5 = 0$ ou $3x + 3 = 0$ produit nul
$\iff$ $x = 5$ ou $x = -1$

Vérification rapide pour $x = -1$ : $(2 \times (-1) - 1)^2 = 9$ et $(-1 + 4)^2 = 9$ . C’est correct.

Résous $x^3 = 4x$ .

Voir le corrigé détaillé

Surtout ne pas diviser par $x$ : on perdrait une solution.

$x^3 = 4x$
$\iff$ $x^3 - 4x = 0$ on retranche $4x$
$\iff$ $x(x^2 - 4) = 0$ facteur commun $x$
$\iff$ $x(x - 2)(x + 2) = 0$ identité remarquable
$\iff$ $x = 0$ ou $x - 2 = 0$ ou $x + 2 = 0$ produit nul, étendu à trois facteurs
$\iff$ $x = 0$ ou $x = 2$ ou $x = -2$

L’équation admet trois solutions : $-2$ , $0$ et $2$ .

Pour quelle valeur du nombre $m$ l’équation $3x + m = 5x - 4$ admet-elle $3$ pour solution ?

Voir le corrigé détaillé

Dire que $3$ est solution, c’est dire que l’égalité devient vraie pour $x = 3$ .

membre de gauche pour $x = 3$ : $3 \times 3 + m$
$=$ $9 + m$
membre de droite pour $x = 3$ : $5 \times 3 - 4$
$=$ $11$

On écrit alors l’égalité des deux membres, qui devient une équation d’inconnue $m$ .

$9 + m = 11$
$\iff$ $m = 2$

Pour $m = 2$ , l’équation devient $3x + 2 = 5x - 4$ , dont la solution est bien $3$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Deux forfaits téléphoniques (Dakar). Aminata hésite entre deux offres pour son téléphone.

Offre Baobab : $3\,000$ F CFA par mois, puis $25$ F CFA par minute d’appel ;
Offre Téranga : $8\,000$ F CFA par mois, puis $15$ F CFA par minute d’appel.

Pour combien de minutes d’appel les deux offres coûtent-elles le même prix ?
Aminata appelle environ $600$ minutes par mois. Quelle offre doit-elle choisir ?

Voir le corrigé détaillé

1. Choix de l’inconnue. Soit $x$ le nombre de minutes d’appel dans le mois.

Mise en équation. Le prix de Baobab est $3\,000 + 25x$ ; celui de Téranga est $8\,000 + 15x$ . On cherche quand ces deux prix sont égaux.

Résolution.

$3\,000 + 25x = 8\,000 + 15x$
$\iff$ $3\,000 + 10x = 8\,000$ on retranche $15x$
$\iff$ $10x = 5\,000$ on retranche $3\,000$
$\iff$ $x = 500$ on divise par $10$

Retour à l’énoncé. Les deux offres coûtent le même prix pour 500 minutes d’appel, soit $3\,000 + 25 \times 500 = 15\,500$ F CFA dans les deux cas.

2. Comparons pour $600$ minutes.

Baobab : $3\,000 + 25 \times 600$
$=$ $18\,000$ F CFA
Téranga : $8\,000 + 15 \times 600$
$=$ $17\,000$ F CFA

Au-delà de $500$ minutes, Téranga devient plus avantageuse : Aminata doit choisir Téranga, et elle économise $1\,000$ F CFA par mois.

Le champ de Fatimé (Abéché). Fatimé possède un champ rectangulaire. Sa longueur mesure $12$ m de plus que sa largeur, et il faut $96$ m de clôture pour en faire le tour.

Détermine les dimensions du champ.
Quelle est son aire ?
Fatimé veut planter du mil à raison de $4$ plants par mètre carré. Combien lui faut-il de plants ?

Voir le corrigé détaillé

1. Choix de l’inconnue. Soit $x$ la largeur du champ, en mètres. La longueur vaut alors $x + 12$ .

Mise en équation. La clôture correspond au périmètre, égal à $96$ m.

$2\big(x + (x + 12)\big) = 96$

Résolution.

$2\big(x + (x + 12)\big) = 96$
$\iff$ $2(2x + 12) = 96$ on réduit dans la parenthèse
$\iff$ $4x + 24 = 96$ on développe
$\iff$ $4x = 72$ on retranche $24$
$\iff$ $x = 18$ on divise par $4$

Retour à l’énoncé. La largeur $18$ m est positive : la valeur convient.

largeur $= 18$ m
longueur $= 18 + 12 = 30$ m
vérification : $2 \times (18 + 30) = 96$ périmètre conforme

Le champ mesure 18 m sur 30 m.

2. Aire du champ :

$18 \times 30 = 540$

L’aire vaut 540 m².

3. Nombre de plants :

$540 \times 4 = 2\,160$

Il faut 2 160 plants de mil.

Une histoire de famille (Abidjan). Aujourd’hui, Kouadio a $12$ ans et son père $42$ ans.

Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il exactement le double de celui de Kouadio ?
Y a-t-il eu, dans le passé, une année où le père avait le quadruple de l’âge de son fils ?

Voir le corrigé détaillé

1. Choix de l’inconnue. Soit $x$ le nombre d’années à attendre.

Mise en équation. Dans $x$ années, Kouadio aura $12 + x$ ans et son père $42 + x$ ans. On veut que l’âge du père soit le double.

$42 + x = 2(12 + x)$

Résolution.

$42 + x = 2(12 + x)$
$\iff$ $42 + x = 24 + 2x$ on développe
$\iff$ $42 = 24 + x$ on retranche $x$
$\iff$ $18 = x$ on retranche $24$
$\iff$ $x = 18$

Retour à l’énoncé. Dans 18 ans, Kouadio aura $30$ ans et son père $60$ ans : c’est bien le double.

2. Notons $y$ le nombre d’années écoulées depuis cet instant du passé. Kouadio avait alors $12 - y$ ans et son père $42 - y$ ans.

$42 - y = 4(12 - y)$
$\iff$ $42 - y = 48 - 4y$ on développe
$\iff$ $42 + 3y = 48$ on ajoute $4y$
$\iff$ $3y = 6$ on retranche $42$
$\iff$ $y = 2$

Il y a 2 ans : Kouadio avait $10$ ans et son père $40$ ans, soit bien le quadruple. La valeur $y = 2$ est acceptable car elle est positive et inférieure à $12$ — Kouadio était déjà né.

Équations et équations-produits

Ce que tu sauras faire à la fin

1Le vocabulaire des équations

2Les deux règles de transformation

3Résoudre une équation du premier degré

3.1 Deux cas particuliers

4Mettre un problème en équation

1. Choix de l’inconnue

2. Mise en équation

3. Résolution

4. Retour à l’énoncé

5La propriété du produit nul et les équations-produits

Sens réciproque

Sens direct

5.1 Il faut parfois factoriser d’abord

6Les équations $x^2 = a$ et $x^2 - a^2 = 0$

6.1 Résoudre $x^2 - a^2 = 0$ par factorisation

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès

Équations et équations-produits

Ce que tu sauras faire à la fin

1Le vocabulaire des équations

2Les deux règles de transformation

3Résoudre une équation du premier degré

3.1 Deux cas particuliers

4Mettre un problème en équation

1. Choix de l’inconnue

2. Mise en équation

3. Résolution

4. Retour à l’énoncé

5La propriété du produit nul et les équations-produits

Sens réciproque

Sens direct

5.1 Il faut parfois factoriser d’abord

6Les équations x2=ax^2 = ax2=a et x2−a2=0x^2 - a^2 = 0x2−a2=0

6.1 Résoudre x2−a2=0x^2 - a^2 = 0x2−a2=0 par factorisation

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès

6Les équations $x^2 = a$ et $x^2 - a^2 = 0$

6.1 Résoudre $x^2 - a^2 = 0$ par factorisation