Tu utilises les diviseurs depuis la 6ème sans toujours leur donner ce nom : quand tu partages 24 bonbons entre 6 élèves, tu vérifies en réalité que $6$ divise $24$ . Cette année, on donne à ces idées un vocabulaire précis et un outil redoutable, le PGCD, qui permet de simplifier une fraction une bonne fois pour toutes et de résoudre des problèmes de partage que l’on ne savait pas traiter avant.

1Diviseurs et multiples

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers, avec $b \neq 0$ . On dit que $b$ divise $a$ lorsqu’il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$ .

On dit alors que $b$ est un diviseur de $a$ , et que $a$ est un multiple de $b$ .

Les deux mots décrivent la même situation, vue des deux côtés : $3$ est un diviseur de $12$ , et $12$ est un multiple de $3$ , parce que $12 = 3 \times 4$ .

Exemple — lire une égalité dans les deux sens

On sait que $56 = 7 \times 8$ . On peut donc affirmer quatre choses :

$7$ divise $56$ ;
$8$ divise $56$ ;
$56$ est un multiple de $7$ ;
$56$ est un multiple de $8$ .

Important : Tout entier

a

admet toujours au moins deux diviseurs évidents :

1

a

lui-même, car

a = 1 \times a

1.1 Trouver tous les diviseurs d’un entier

Méthode — lister les diviseurs de

n

Pour lister tous les diviseurs de $n$ , on essaie les entiers $1, 2, 3, \dots$ dans l’ordre. Chaque fois qu’une division tombe juste, on note deux diviseurs d’un coup : le diviseur essayé et son quotient. On s’arrête dès que les deux se rejoignent.

Exemple — les diviseurs de 24

$24 = 1 \times 24$ donc $1$ et $24$ sont diviseurs
$24 = 2 \times 12$ donc $2$ et $12$ sont diviseurs
$24 = 3 \times 8$ donc $3$ et $8$ sont diviseurs
$24 = 4 \times 6$ donc $4$ et $6$ sont diviseurs
$5$ ne divise pas $24$ on passe
$6$ a déjà été trouvéles paires se rejoignent : on s’arrête

Les diviseurs de $24$ sont donc : $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $8$ , $12$ et $24$ .

Figure 1 — Les diviseurs se trouvent par paires : c’est ce qui garantit qu’on n’en oublie aucun.

2Nombres premiers et décomposition

Définition

Un entier $p$ est premier lorsqu’il est supérieur ou égal à $2$ et qu’il admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Les premiers nombres premiers sont : $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37$ .

Attention

$1$ n’est pas un nombre premier : il n’a qu’un seul diviseur. Et $2$ est le seul nombre premier pair — tous les autres nombres pairs sont divisibles par $2$ en plus de $1$ et d’eux-mêmes.

Théorème — décomposition en facteurs premiers

Tout entier supérieur ou égal à $2$ s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique si l’on range les facteurs dans l’ordre croissant.

Méthode — décomposer un entier

Pour décomposer $n$ , on le divise par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu’à obtenir $1$ .

Exemple — décomposer 360

$360 = 2 \times 180$
$180 = 2 \times 90$
$90 = 2 \times 45$
$45 = 3 \times 15$ $45$ n’est plus divisible par $2$
$15 = 3 \times 5$
$5 = 5 \times 1$ on est arrivé à $1$

D’où :

$360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$
$=$ $2^{3} \times 3^{2} \times 5$ écriture avec des puissances

Math & Co — Ératosthène et Euclide

Vers $-240$ , Ératosthène de Cyrène, bibliothécaire d’Alexandrie, invente un procédé pour éliminer méthodiquement les nombres non premiers : on l’appelle encore aujourd’hui le crible d’Ératosthène. Le même savant avait, quelques années plus tôt, mesuré la circonférence de la Terre à moins de 2 % près, à partir de l’ombre d’un bâton.

Un siècle plus tôt, Euclide avait démontré dans les Éléments qu’il existe une infinité de nombres premiers — l’une des plus belles démonstrations des mathématiques, et l’une des plus courtes.

3Le PGCD

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls. Le PGCD de $a$ et $b$ , noté $\mathrm{PGCD}(a\,;b)$ , est le plus grand entier qui divise à la fois $a$ et $b$ .

Ce nombre existe toujours : la liste des diviseurs communs n’est jamais vide, puisqu’elle contient au moins $1$ , et elle est finie.

3.1 Méthode 1 : par les listes de diviseurs

Exemple — PGCD de 36 et 48

Diviseurs de $36$ : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36$
Diviseurs de $48$ : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 16,\ 24,\ 48$
Diviseurs communs : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$
$\Rightarrow$ $\mathrm{PGCD}(36\,;48) = 12$

Cette méthode est sûre, mais elle devient vite pénible : essaie donc avec $252$ et $105$ …

3.2 Méthode 2 : l’algorithme d’Euclide

Théorème — propriété fondamentale

Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls avec $a > b$ . Si $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ , alors :

$\mathrm{PGCD}(a\,;b) = \mathrm{PGCD}(b\,;r)$

Démonstration

La division euclidienne de $a$ par $b$ s’écrit $a = bq + r$ , avec $0 \leqslant r < b$ .

Soit $d$ un diviseur commun de $b$ et de $r$ .

$d$ divise $b$ hypothèse
$\Rightarrow$ $d$ divise $bq$
$d$ divise $r$ hypothèse
$\Rightarrow$ $d$ divise $bq + r$ une somme de multiples de $d$ est un multiple de $d$
$\Rightarrow$ $d$ divise $a$ car $a = bq + r$

Réciproquement, soit $d$ un diviseur commun de $a$ et de $b$ .

$d$ divise $a$ et $d$ divise $b$
$\Rightarrow$ $d$ divise $a - bq$
$\Rightarrow$ $d$ divise $r$ car $r = a - bq$

Les couples $(a\,;b)$ et $(b\,;r)$ ont donc exactement les mêmes diviseurs communs.

Ils ont en particulier le même plus grand diviseur commun. C.Q.F.D.

Méthode — algorithme d’Euclide

Pour calculer $\mathrm{PGCD}(a\,;b)$ , on effectue la division euclidienne de $a$ par $b$ , puis on recommence avec $b$ et le reste, jusqu’à obtenir un reste nul. Le PGCD est alors le dernier reste non nul.

Figure 2 — À chaque étape, le couple est remplacé par (ancien diviseur ; reste). Le dernier reste non nul est le PGCD.

Exemple — PGCD de 1 071 et 462

$1\,071 = 2 \times 462 + 147$
$462 = 3 \times 147 + 21$
$147 = 7 \times 21 + 0$ reste nul
$\Rightarrow$ $\mathrm{PGCD}(1\,071\,;462) = 21$ dernier reste non nul

3.3 Méthode 3 : par les facteurs premiers

On décompose les deux nombres, puis on garde les facteurs communs, chacun affecté du plus petit exposant.

Exemple — PGCD de 360 et 84

$360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$
$84 = 2^{2} \times 3 \times 7$
facteurs communs : $2$ et $3$
$\Rightarrow$ $\mathrm{PGCD} = 2^{2} \times 3^{1}$ plus petit exposant pour chacun
$=$ $12$

4Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles

Définition

Deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux lorsque $\mathrm{PGCD}(a\,;b) = 1$ , c’est-à-dire lorsque leur seul diviseur commun est $1$ .

Attention

Ne confonds pas : $8$ et $9$ sont premiers entre eux ( $\mathrm{PGCD}(8\,;9)=1$ ), alors qu’aucun des deux n’est un nombre premier. Ce sont deux notions différentes.

Définition

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux : on ne peut plus la simplifier.

Théorème

En divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD, on obtient en une seule étape la fraction irréductible qui lui est égale.

Méthode — rendre une fraction irréductible

Calculer $d = \mathrm{PGCD}(a\,;b)$ (algorithme d’Euclide) ;
diviser le numérateur et le dénominateur par $d$ ;
vérifier que le résultat ne se simplifie plus.

Exemple — rendre

\dfrac{1071}{462}

irréductible

$\mathrm{PGCD}(1\,071\,;462) = 21$ calculé plus haut
$\dfrac{1\,071}{462} = \dfrac{1\,071 \div 21}{462 \div 21}$
$=$ $\dfrac{51}{22}$

Vérification : $51 = 3 \times 17$ et $22 = 2 \times 11$ . Aucun facteur commun : la fraction est bien irréductible.

5Résoudre un problème de partage

Méthode — reconnaître un problème de PGCD

Un énoncé demande un PGCD lorsqu’il faut faire des paquets identiques, le plus gros possible, sans reste, à partir de deux quantités données. Le nombre de paquets est alors le PGCD, et le contenu de chaque paquet s’obtient par division.

Exemple — les lots de la Journée des sciences (Dakar)

Le lycée dispose de $132$ cahiers et $180$ stylos. On veut composer des lots identiques, en utilisant tout, avec le plus grand nombre possible de lots.

$180 = 1 \times 132 + 48$
$132 = 2 \times 48 + 36$
$48 = 1 \times 36 + 12$
$36 = 3 \times 12 + 0$
$\Rightarrow$ $\mathrm{PGCD}(180\,;132) = 12$

On peut donc composer 12 lots. Chaque lot contient :

$132 \div 12 = 11$ cahiers
$180 \div 12 = 15$ stylos

Fiche mémo

$b$ divise $a$ $\iff$ il existe un entier $k$ tel que $a = bk$ .
Un nombre premier a exactement deux diviseurs.
Euclide : $\mathrm{PGCD}(a\,;b) = \mathrm{PGCD}(b\,;r)$ ; le PGCD est le dernier reste non nul.
Facteurs premiers : facteurs communs, plus petit exposant.
$a$ et $b$ premiers entre eux $\iff$ $\mathrm{PGCD}(a\,;b) = 1$ .
Diviser $a$ et $b$ par leur PGCD donne la fraction irréductible.
Paquets identiques les plus gros possibles $\Rightarrow$ PGCD.

Niveau 1 — Application directe

Écris la liste de tous les diviseurs de $45$ , puis de $56$ .

Voir le corrigé détaillé

$45 = 1\times45 = 3\times15 = 5\times9$
$\Rightarrow$ diviseurs de $45$ : $1,\ 3,\ 5,\ 9,\ 15,\ 45$
$56 = 1\times56 = 2\times28 = 4\times14 = 7\times8$
$\Rightarrow$ diviseurs de $56$ : $1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 8,\ 14,\ 28,\ 56$

Parmi $51$ , $53$ , $57$ et $59$ , quels sont les nombres premiers ?

Voir le corrigé détaillé

$51 = 3 \times 17$ non premier
$53$ : non divisible par $2, 3, 5, 7$ et $7^2 = 49 < 53 < 64$ premier
$57 = 3 \times 19$ non premier
$59$ : non divisible par $2, 3, 5, 7$ premier

Les nombres premiers sont donc $53$ et $59$ .

Décompose $84$ , $150$ et $1\,000$ en produits de facteurs premiers.

Voir le corrigé détaillé

$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2^{2} \times 3 \times 7$
$150 = 2 \times 75 = 2 \times 3 \times 25 = 2 \times 3 \times 5^{2}$
$1\,000 = 10^{3} = (2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3}$

Calcule $\mathrm{PGCD}(84\,;36)$ par l’algorithme d’Euclide.

Voir le corrigé détaillé

$84 = 2 \times 36 + 12$
$36 = 3 \times 12 + 0$
$\Rightarrow$ $\mathrm{PGCD}(84\,;36) = 12$

Rends irréductibles : $\dfrac{84}{36}$ ; $\dfrac{150}{225}$ ; $\dfrac{105}{105}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\mathrm{PGCD}(84\,;36)=12$ donc $\dfrac{84}{36} = \dfrac{7}{3}$
$\mathrm{PGCD}(150\,;225)=75$ donc $\dfrac{150}{225} = \dfrac{2}{3}$
$\dfrac{105}{105} = 1$

Les nombres $35$ et $24$ sont-ils premiers entre eux ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

$35 = 5 \times 7$
$24 = 2^{3} \times 3$
aucun facteur premier commun
$\Rightarrow$ $\mathrm{PGCD}(35\,;24) = 1$ : ils sont premiers entre eux.

Niveau 2 — Approfondissement

Détermine $\mathrm{PGCD}(1\,254\,;\,969)$ , puis rends $\dfrac{1\,254}{969}$ irréductible.

Voir le corrigé détaillé

$1\,254 = 1 \times 969 + 285$
$969 = 3 \times 285 + 114$
$285 = 2 \times 114 + 57$
$114 = 2 \times 57 + 0$
$\Rightarrow$ $\mathrm{PGCD} = 57$
$\dfrac{1\,254}{969} = \dfrac{1\,254 \div 57}{969 \div 57} = \dfrac{22}{17}$

Démontre que, pour tout entier $n$ , les nombres $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux.

Voir le corrigé détaillé

Soit $d$ un diviseur commun de $n$ et de $n+1$ .

$d$ divise $n$ et $d$ divise $n+1$
$\Rightarrow$ $d$ divise $(n+1) - n$
$\Rightarrow$ $d$ divise $1$
$\Rightarrow$ $d = 1$

Le seul diviseur commun est $1$ : $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux. C.Q.F.D.

Un nombre a pour décomposition $N = 2^{4} \times 3^{2} \times 7$ . Combien $N$ a-t-il de diviseurs ?

Voir le corrigé détaillé

Un diviseur de $N$ s’écrit $2^{a} \times 3^{b} \times 7^{c}$ avec $0 \leqslant a \leqslant 4$ , $0 \leqslant b \leqslant 2$ , $0 \leqslant c \leqslant 1$ .

$a$ : $5$ choix, $b$ : $3$ choix, $c$ : $2$ choix
$\Rightarrow$ nombre de diviseurs $= 5 \times 3 \times 2 = 30$

On sait que $\mathrm{PGCD}(a\,;b) = 14$ et que $a = 14 \times 5$ . Que peut valoir $b$ si $b < 100$ ?

Voir le corrigé détaillé

$b$ est un multiple de $14$ : $b = 14k$ . De plus $\mathrm{PGCD}(5\,;k) = 1$ pour que le PGCD reste $14$ .

$b < 100 \Rightarrow 14k < 100 \Rightarrow k \leqslant 7$
$k \in \{1,2,3,4,6,7\}$ on écarte $k = 5$
$\Rightarrow$ $b \in \{14,\ 28,\ 42,\ 56,\ 84,\ 98\}$

Simplifie $\dfrac{2^{5}\times 3^{4}\times 11}{2^{3}\times 3^{6}\times 5}$ sans calculatrice.

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{2^{5}\times 3^{4}\times 11}{2^{3}\times 3^{6}\times 5} = \dfrac{2^{5-3}\times 11}{3^{6-4}\times 5}$
$=$ $\dfrac{2^{2}\times 11}{3^{2}\times 5}$
$=$ $\dfrac{44}{45}$

$44 = 2^2 \times 11$ et $45 = 3^2 \times 5$ : la fraction est irréductible.

Niveau 3 — Défi

Démontre que si $d$ divise $a$ et $d$ divise $b$ , alors $d$ divise $7a - 4b$ .

Voir le corrigé détaillé

$d$ divise $a$ $\Rightarrow$ il existe $k$ tel que $a = dk$
$d$ divise $b$ $\Rightarrow$ il existe $k'$ tel que $b = dk'$
$7a - 4b = 7dk - 4dk'$
$=$ $d(7k - 4k')$
$\Rightarrow$ $d$ divise $7a - 4b$ , car $7k - 4k'$ est un entier. C.Q.F.D.

Trouve tous les entiers $n$ tels que $n + 3$ divise $n + 17$ .

Voir le corrigé détaillé

$n + 17 = (n + 3) + 14$
$n+3$ divise $n+17$ et $n+3$ divise $n+3$
$\Rightarrow$ $n+3$ divise $14$
diviseurs de $14$ : $1,\ 2,\ 7,\ 14$
$\Rightarrow$ $n + 3 \in \{1;2;7;14\}$
$\Rightarrow$ $n \in \{4\ ;\ 11\}$ seules valeurs entières positives

Montre que $\dfrac{6n+4}{9n+6}$ n’est jamais irréductible, quel que soit l’entier $n \geqslant 1$ .

Voir le corrigé détaillé

$6n + 4 = 2(3n+2)$
$9n + 6 = 3(3n+2)$
$\Rightarrow$ $3n+2$ divise le numérateur et le dénominateur
or $3n + 2 \geqslant 5 > 1$ pour $n \geqslant 1$
$\Rightarrow$ la fraction se simplifie toujours : $\dfrac{6n+4}{9n+6} = \dfrac{2}{3}$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le marché de Ndjamena. Fatimé, commerçante au marché central, a reçu $204$ savons et $255$ paquets de thé. Elle veut préparer des sachets promotionnels identiques, en utilisant toute sa marchandise, et le plus grand nombre possible de sachets.

Combien de sachets peut-elle préparer ?
Que contient chaque sachet ?
Elle vend chaque sachet $2\,500$ F CFA. Quelle recette totale espère-t-elle ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le nombre de sachets est $\mathrm{PGCD}(204\,;255)$ .

$255 = 1 \times 204 + 51$
$204 = 4 \times 51 + 0$
$\Rightarrow$ $\mathrm{PGCD}(204\,;255) = 51$

Fatimé peut préparer 51 sachets.

2. Contenu de chaque sachet :

$204 \div 51 = 4$ savons
$255 \div 51 = 5$ paquets de thé

3. Recette :

$51 \times 2\,500 = 127\,500$

Elle espère 127 500 F CFA.

Le carrelage de l’atelier (Abidjan). Une salle rectangulaire mesure $4{,}80$ m sur $3{,}60$ m. On veut la carreler avec des dalles carrées identiques, sans aucune découpe, et les plus grandes possibles.

Quelle est la longueur du côté d’une dalle, en centimètres ?
Combien faut-il de dalles ?

Voir le corrigé détaillé

1. On travaille en centimètres : $480$ cm et $360$ cm. Le côté de la dalle est $\mathrm{PGCD}(480\,;360)$ .

$480 = 1 \times 360 + 120$
$360 = 3 \times 120 + 0$
$\Rightarrow$ $\mathrm{PGCD}(480\,;360) = 120$

Les dalles mesurent 120 cm de côté, soit $1{,}20$ m.

2. Nombre de dalles :

$480 \div 120 = 4$ dalles en longueur
$360 \div 120 = 3$ dalles en largeur
$\Rightarrow$ $4 \times 3 = 12$ dalles

Les bus de Yaoundé. Deux lignes partent ensemble de la gare à $6$ h $00$ . La ligne A passe toutes les $18$ minutes, la ligne B toutes les $24$ minutes. À quelle heure les deux bus repartiront-ils de nouveau ensemble ?

Coup de pouce : ici on cherche un multiple commun, pas un diviseur commun.

Voir le corrigé détaillé

On cherche le plus petit multiple commun (PPCM) de $18$ et $24$ .

$18 = 2 \times 3^{2}$
$24 = 2^{3} \times 3$
PPCM : facteurs communs et non communs, plus grand exposant
$=$ $2^{3} \times 3^{2}$
$=$ $72$

$72$ minutes $= 1$ h $12$ min. Les deux bus repartiront ensemble à 7 h 12.

Arithmétique : diviseurs, PGCD et fractions irréductibles

Ce que tu sauras faire à la fin

1Diviseurs et multiples

1.1 Trouver tous les diviseurs d’un entier

2Nombres premiers et décomposition

3Le PGCD

3.1 Méthode 1 : par les listes de diviseurs

3.2 Méthode 2 : l’algorithme d’Euclide

3.3 Méthode 3 : par les facteurs premiers

4Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles

5Résoudre un problème de partage

Fiche mémo

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Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès