Une équation à une inconnue suffit tant qu’une seule quantité est cachée. Mais que faire lorsque l’énoncé en cache deux — le prix du kilo de mil et celui du kilo d’arachides ? La réponse est simple et élégante : il faut deux informations, donc deux équations. On obtient alors un système, et deux méthodes très sûres permettent de le résoudre à coup sûr.

1Système et couple solution

Définition

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est la donnée de deux équations que l’on demande de vérifier en même temps. On l’écrit avec une accolade :

$\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$

Définition

Une solution du système est un couple de nombres $(x\,;y)$ qui vérifie les deux équations à la fois.

Résoudre le système, c’est trouver tous ces couples.

Attention

La solution d’un système n’est pas un nombre, c’est un couple. Une réponse comme « $x = 3$ » est incomplète : il faut écrire « le couple $(3\,;4)$ », dans cet ordre, $x$ d’abord et $y$ ensuite. Le couple $(4\,;3)$ est un couple différent.

Exemple — vérifier qu’un couple est solution

Le couple $(2\,;3)$ est-il solution du système $\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$ ?

On teste les deux équations séparément, avec $x = 2$ et $y = 3$ .

première équation : $2 + 3$
$=$ $5$ égal au second membre : vérifiée
seconde équation : $3 \times 2 - 2 \times 3$
$=$ $6 - 6$
$=$ $0$ égal au second membre : vérifiée

Les deux équations sont vérifiées : le couple $(2\,;3)$ est solution du système.

En revanche, il n’est pas solution du système $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ :

$2 - 3 = -1$
$\neq$ $1$ la seconde équation n’est pas vérifiée

Il suffit qu’une seule équation échoue pour que le couple ne soit pas solution.

2La méthode par substitution

L’idée est de se ramener à ce que l’on sait déjà faire : une équation à une seule inconnue. Pour cela, on exprime une inconnue en fonction de l’autre, puis on la remplace — on la substitue — dans l’autre équation.

Méthode — résoudre par substitution

Choisir l’équation et l’inconnue les plus commodes, en général une inconnue de coefficient $1$ ou $-1$ ;
exprimer cette inconnue en fonction de l’autre ;
remplacer cette expression dans l’autre équation : on obtient une équation à une seule inconnue ;
résoudre cette équation ;
reporter la valeur trouvée dans l’expression de l’étape 2 pour obtenir la seconde inconnue ;
conclure par le couple solution, puis vérifier dans les deux équations de départ.

Exemple — résoudre

\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases}

Dans la première équation, $x$ a pour coefficient $1$ : c’est le candidat idéal.

$x + y = 7$
$\iff$ $x = 7 - y$ on exprime $x$ en fonction de $y$

On remplace $x$ par $7 - y$ dans la seconde équation.

$2(7 - y) + 3y = 18$
$\iff$ $14 - 2y + 3y = 18$ on développe
$\iff$ $14 + y = 18$ on réduit
$\iff$ $y = 4$ on retranche $14$

On reporte $y = 4$ dans l’expression de $x$ .

$x = 7 - 4$
$=$ $3$

Le système admet une unique solution : le couple $(3\,;4)$ .

Vérification dans les deux équations de départ :

$3 + 4 = 7$ première équation vérifiée
$2 \times 3 + 3 \times 4 = 6 + 12 = 18$ seconde équation vérifiée

Exemple — quand une inconnue est déjà isolée

Résolvons $\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}$ . Le travail de l’étape 2 est déjà fait.

$5x - 2(3x - 2) = 1$ on substitue $y$
$\iff$ $5x - 6x + 4 = 1$ on développe, attention au signe
$\iff$ $-x + 4 = 1$ on réduit
$\iff$ $-x = -3$ on retranche $4$
$\iff$ $x = 3$ on divise par $-1$

$y = 3 \times 3 - 2$
$=$ $7$

La solution est le couple $(3\,;7)$ .

Important : Il faut absolument substituer dans l’autre équation. Si l’on remplace

x

par

7 - y

dans l’équation dont on l’a tiré, on obtient

7 = 7

: une identité vraie mais parfaitement inutile.

3La méthode par combinaison linéaire

Cette seconde méthode est souvent plus rapide, en particulier lorsqu’aucune inconnue n’a un coefficient égal à $1$ . Elle repose sur une idée simple : additionner ou soustraire les deux équations membre à membre, de façon à faire disparaître une inconnue.

Propriété

On ne change pas les solutions d’un système lorsqu’on remplace une équation par la somme membre à membre de cette équation et d’un multiple de l’autre.

Méthode — résoudre par combinaison linéaire

Choisir l’inconnue à éliminer ;
multiplier chaque équation par un nombre bien choisi pour que les coefficients de cette inconnue deviennent opposés ;
additionner les deux équations membre à membre : l’inconnue disparaît ;
résoudre l’équation obtenue ;
reporter la valeur trouvée dans l’une des équations de départ ;
conclure par le couple solution, puis vérifier.

Exemple — les coefficients sont déjà opposés

Résolvons $\begin{cases} 3x + 2y = 19 \\ 5x - 2y = 5 \end{cases}$ .

Les coefficients de $y$ sont $2$ et $-2$ : ils sont opposés, on peut additionner directement.

$(3x + 2y) + (5x - 2y) = 19 + 5$ somme membre à membre
$\iff$ $8x = 24$ les termes en $y$ se sont éliminés
$\iff$ $x = 3$ on divise par $8$

On reporte $x = 3$ dans la première équation.

$3 \times 3 + 2y = 19$
$\iff$ $9 + 2y = 19$
$\iff$ $2y = 10$ on retranche $9$
$\iff$ $y = 5$ on divise par $2$

La solution est le couple $(3\,;5)$ .

Vérification dans la seconde équation, celle qui n’a pas servi au report :

$5 \times 3 - 2 \times 5 = 15 - 10$
$=$ $5$ conforme

Exemple — il faut d’abord multiplier

Résolvons $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}$ .

Éliminons $y$ . Les coefficients sont $3$ et $-2$ : on multiplie la première équation par $2$ et la seconde par $3$ , pour obtenir $6$ et $-6$ .

$2 \times (2x + 3y) = 2 \times 8$
$\iff$ $4x + 6y = 16$

$3 \times (5x - 2y) = 3 \times 1$
$\iff$ $15x - 6y = 3$

On additionne alors les deux équations obtenues.

$(4x + 6y) + (15x - 6y) = 16 + 3$
$\iff$ $19x = 19$ les termes en $y$ disparaissent
$\iff$ $x = 1$

On reporte $x = 1$ dans l’équation $2x + 3y = 8$ .

$2 \times 1 + 3y = 8$
$\iff$ $3y = 6$ on retranche $2$
$\iff$ $y = 2$

La solution est le couple $(1\,;2)$ . Vérification dans la seconde équation : $5 \times 1 - 2 \times 2 = 1$ . C’est conforme.

Important : Substitution ou combinaison ? Regarde les coefficients : si une inconnue a pour coefficient

1

-1

, la substitution est plus rapide. Sinon, la combinaison évite les fractions. Les deux méthodes donnent bien sûr le même couple.

Math & Co — Des tiges de bambou à la règle de Cramer

L’élimination d’une inconnue par combinaison est bien plus ancienne que l’algèbre symbolique. Le traité chinois des Neuf Chapitres sur l’art mathématique, compilé au début de notre ère, consacre son huitième chapitre — intitulé fangcheng — à des problèmes de rendements de céréales qui sont exactement des systèmes. La méthode décrite consiste à disposer les coefficients en colonnes sur une table de calcul, avec des baguettes de bambou, puis à retrancher les colonnes les unes des autres jusqu’à isoler une inconnue. C’est, à la présentation près, notre méthode par combinaison.

Bien plus tard, en $1750$ , le Genevois Gabriel Cramer publie son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Dans une annexe, il donne des formules générales qui expriment directement les solutions d’un système à partir de ses coefficients : elles portent aujourd’hui son nom, la règle de Cramer.

Autrement dit, entre les baguettes de bambou d’un calculateur chinois et le manuel de ton lycée, l’idée n’a pratiquement pas changé : faire disparaître une inconnue pour se ramener à un problème que l’on sait déjà résoudre.

4Interprétation graphique

Chaque équation du type $ax + by = c$ (avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls) est l’équation d’une droite dans un repère. Résoudre le système revient donc à chercher les points communs aux deux droites.

Méthode — passer de

ax + by = c

y = mx + p

Pour tracer la droite, on isole $y$ . Par exemple, pour $2x - y = 1$ :

$2x - y = 1$
$\iff$ $-y = 1 - 2x$ on retranche $2x$
$\iff$ $y = 2x - 1$ on multiplie par $-1$

4.1 Premier cas : les droites sont sécantes

Les deux droites se coupent en un seul point : le système admet une unique solution, le couple de coordonnées de ce point.

Figure 1 — Le système

\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}

a pour solution le couple

(2\,;3)

: c’est exactement le point d’intersection des deux droites.

Le graphique donne la solution, mais il ne la démontre pas : une lecture graphique est toujours approximative. On l’utilise pour deviner ou pour contrôler, jamais comme unique justification.

4.2 Deuxième cas : les droites sont strictement parallèles

Les deux droites ont le même coefficient directeur mais des ordonnées à l’origine différentes : elles ne se rencontrent jamais. Le système n’admet aucune solution.

Figure 2 — Le système

\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x + 2y = 2 \end{cases}

n’a aucune solution : les deux droites ont la même direction sans jamais se croiser.

On le voit aussi par le calcul, sans dessiner :

$4x + 2y = 2$
$\iff$ $2x + y = 1$ on divise par $2$
or la première équation impose $2x + y = 4$
$\Rightarrow$ il faudrait $4 = 1$ impossible : aucune solution

4.3 Troisième cas : les droites sont confondues

Les deux équations décrivent la même droite : tout point de cette droite convient. Le système admet une infinité de solutions.

Figure 3 — Le système

\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}

admet une infinité de solutions : la seconde équation est le double de la première, les deux droites sont confondues.

Position des deux droites	Nombre de solutions du système
sécantes	une seule : le couple des coordonnées du point d’intersection
strictement parallèles	aucune
confondues	une infinité

Important : Ces trois cas sont les seuls possibles : deux droites d’un même plan sont soit sécantes, soit parallèles — et dans ce dernier cas, soit distinctes, soit confondues. Un système de deux équations à deux inconnues a donc toujours zéro, une, ou une infinité de solutions ; jamais exactement deux.

5Mettre un problème en système

Méthode — la méthode en 4 temps

Choix des inconnues. Deux phrases : « Soit $x$ le… » et « Soit $y$ le… », avec les unités.
Mise en système. Chaque information chiffrée de l’énoncé donne une équation. Il en faut exactement deux.
Résolution. Par substitution ou par combinaison, une étape par ligne.
Retour à l’énoncé. On vérifie que les valeurs ont un sens, on contrôle dans les deux équations, puis on répond par une phrase.

Exemple — un problème de prix (marché de Ndjamena)

Au marché central, $3$ kg de mil et $2$ kg d’arachides coûtent $4\,600$ F CFA. Avec $5$ kg de mil et $4$ kg d’arachides, on paie $8\,400$ F CFA. Quel est le prix du kilogramme de chaque produit ?

1. Choix des inconnues

Soit $x$ le prix d’un kilogramme de mil, en F CFA, et $y$ celui d’un kilogramme d’arachides.

2. Mise en système

$\begin{cases} 3x + 2y = 4\,600 \\ 5x + 4y = 8\,400 \end{cases}$

3. Résolution

Éliminons $y$ : on multiplie la première équation par $2$ pour obtenir le coefficient $4$ , puis on soustrait.

$2 \times (3x + 2y) = 2 \times 4\,600$
$\iff$ $6x + 4y = 9\,200$

$(6x + 4y) - (5x + 4y) = 9\,200 - 8\,400$ différence membre à membre
$\iff$ $x = 800$ les termes en $y$ disparaissent

On reporte $x = 800$ dans la première équation.

$3 \times 800 + 2y = 4\,600$
$\iff$ $2\,400 + 2y = 4\,600$
$\iff$ $2y = 2\,200$ on retranche $2\,400$
$\iff$ $y = 1\,100$

4. Retour à l’énoncé

Les deux prix sont positifs : ils ont un sens. Contrôle dans la seconde équation :

$5 \times 800 + 4 \times 1\,100 = 4\,000 + 4\,400$
$=$ $8\,400$ conforme à l’énoncé

Le kilogramme de mil coûte 800 F CFA et celui d’arachides 1 100 F CFA.

Exemple — un problème de mélange (Abidjan)

Un torréfacteur veut préparer $20$ kg d’un mélange vendu $3\,600$ F CFA le kilogramme, à partir d’un café à $3\,000$ F CFA le kilogramme et d’un café à $4\,000$ F CFA le kilogramme. Quelles masses doit-il utiliser ?

1. Soit $x$ la masse de café à $3\,000$ F CFA et $y$ celle de café à $4\,000$ F CFA, en kilogrammes.

2. La première équation traduit la masse totale, la seconde le prix total. Le mélange vaut $20 \times 3\,600 = 72\,000$ F CFA.

$\begin{cases} x + y = 20 \\ 3\,000x + 4\,000y = 72\,000 \end{cases}$

3. Le coefficient de $x$ vaut $1$ dans la première équation : la substitution s’impose.

$x + y = 20$
$\iff$ $x = 20 - y$

$3\,000(20 - y) + 4\,000y = 72\,000$
$\iff$ $60\,000 - 3\,000y + 4\,000y = 72\,000$ on développe
$\iff$ $60\,000 + 1\,000y = 72\,000$ on réduit
$\iff$ $1\,000y = 12\,000$ on retranche $60\,000$
$\iff$ $y = 12$

$x = 20 - 12$
$=$ $8$

4. Les deux masses sont positives et leur somme vaut bien $20$ kg. Contrôle du prix :

$3\,000 \times 8 + 4\,000 \times 12 = 24\,000 + 48\,000$
$=$ $72\,000$ conforme

Il faut mélanger 8 kg de café à $3\,000$ F CFA et 12 kg de café à $4\,000$ F CFA.

Fiche mémo

La solution d’un système est un couple $(x\,;y)$ , jamais un seul nombre.
Un couple est solution s’il vérifie les deux équations.
Substitution : on isole une inconnue, puis on la remplace dans l’autre équation.
Combinaison : on multiplie pour rendre deux coefficients opposés, puis on additionne.
Coefficient $1$ ou $-1$ $\Rightarrow$ substitution ; sinon $\Rightarrow$ combinaison.
Chaque équation $ax + by = c$ est une droite ; résoudre, c’est chercher les points communs.
Droites sécantes $\Rightarrow$ une solution ; parallèles distinctes $\Rightarrow$ aucune ; confondues $\Rightarrow$ une infinité.
Toujours vérifier le couple trouvé dans les deux équations de départ.
Problème : deux inconnues nommées avec leur unité, deux équations, une phrase de conclusion.

Niveau 1 — Application directe

Le couple $(4\,;-1)$ est-il solution du système $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 5 \end{cases}$ ?

Voir le corrigé détaillé

première équation : $2 \times 4 + 3 \times (-1)$
$=$ $8 - 3$
$=$ $5$ vérifiée
seconde équation : $4 - (-1)$
$=$ $5$ vérifiée

Les deux équations sont vérifiées : le couple $(4\,;-1)$ est solution du système.

Résous par substitution $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

$3x + (2x - 1) = 9$ on substitue $y$
$\iff$ $5x - 1 = 9$ on réduit
$\iff$ $5x = 10$ on ajoute $1$
$\iff$ $x = 2$

$y = 2 \times 2 - 1$
$=$ $3$

La solution est le couple $(2\,;3)$ . Contrôle : $3 \times 2 + 3 = 9$ .

Résous par substitution $\begin{cases} x - y = 2 \\ 3x + 2y = 21 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

$x - y = 2$
$\iff$ $x = y + 2$

$3(y + 2) + 2y = 21$
$\iff$ $3y + 6 + 2y = 21$ on développe
$\iff$ $5y + 6 = 21$ on réduit
$\iff$ $5y = 15$
$\iff$ $y = 3$

$x = 3 + 2$
$=$ $5$

La solution est le couple $(5\,;3)$ . Contrôle : $3 \times 5 + 2 \times 3 = 21$ .

Résous par combinaison $\begin{cases} 3x + 2y = 19 \\ 5x - 2y = 5 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

Les coefficients de $y$ sont opposés : on additionne directement.

$(3x + 2y) + (5x - 2y) = 19 + 5$
$\iff$ $8x = 24$
$\iff$ $x = 3$

$3 \times 3 + 2y = 19$
$\iff$ $2y = 10$ on retranche $9$
$\iff$ $y = 5$

La solution est le couple $(3\,;5)$ .

Résous par combinaison $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

On élimine $y$ en multipliant la première équation par $2$ et la seconde par $3$ .

$4x + 6y = 16$ première équation multipliée par $2$
$15x - 6y = 3$ seconde équation multipliée par $3$

$(4x + 6y) + (15x - 6y) = 16 + 3$
$\iff$ $19x = 19$
$\iff$ $x = 1$

$2 \times 1 + 3y = 8$
$\iff$ $3y = 6$
$\iff$ $y = 2$

La solution est le couple $(1\,;2)$ .

Écris les deux équations du système $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$ sous la forme $y = mx + p$ , puis donne la solution lue graphiquement sur la figure 1 du cours.

Voir le corrigé détaillé

$x + y = 5$
$\iff$ $y = -x + 5$ on retranche $x$

$2x - y = 1$
$\iff$ $-y = -2x + 1$ on retranche $2x$
$\iff$ $y = 2x - 1$ on multiplie par $-1$

Les deux droites se coupent au point de coordonnées $(2\,;3)$ : la solution du système est le couple $(2\,;3)$ .

Contrôle par le calcul : $2 + 3 = 5$ et $2 \times 2 - 3 = 1$ .

La somme de deux nombres est $45$ et leur différence est $11$ . Mets le problème en système, puis résous-le.

Voir le corrigé détaillé

Soient $x$ le plus grand des deux nombres et $y$ le plus petit.

$\begin{cases} x + y = 45 \\ x - y = 11 \end{cases}$

$(x + y) + (x - y) = 45 + 11$ somme membre à membre
$\iff$ $2x = 56$
$\iff$ $x = 28$

$28 + y = 45$
$\iff$ $y = 17$

Les deux nombres sont $28$ et $17$ . Contrôle : leur somme vaut $45$ et leur différence $11$ .

Niveau 2 — Approfondissement

Résous $\begin{cases} 4x - 3y = 6 \\ 6x + 5y = 28 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

Éliminons $x$ . Le plus petit multiple commun de $4$ et $6$ est $12$ : on multiplie la première équation par $3$ et la seconde par $-2$ .

$12x - 9y = 18$ première équation multipliée par $3$
$-12x - 10y = -56$ seconde équation multipliée par $-2$

$(12x - 9y) + (-12x - 10y) = 18 - 56$
$\iff$ $-19y = -38$
$\iff$ $y = 2$

$4x - 3 \times 2 = 6$
$\iff$ $4x = 12$ on ajoute $6$
$\iff$ $x = 3$

La solution est le couple $(3\,;2)$ . Contrôle : $6 \times 3 + 5 \times 2 = 28$ .

Résous $\begin{cases} 0{,}5x + 1{,}5y = 7 \\ 2x - y = 7 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

On commence par chasser les décimaux en multipliant la première équation par $2$ .

$2 \times (0{,}5x + 1{,}5y) = 2 \times 7$
$\iff$ $x + 3y = 14$
$\iff$ $x = 14 - 3y$

$2(14 - 3y) - y = 7$ substitution dans la seconde équation
$\iff$ $28 - 6y - y = 7$ on développe
$\iff$ $28 - 7y = 7$ on réduit
$\iff$ $-7y = -21$ on retranche $28$
$\iff$ $y = 3$

$x = 14 - 3 \times 3$
$=$ $5$

La solution est le couple $(5\,;3)$ . Contrôle : $0{,}5 \times 5 + 1{,}5 \times 3 = 2{,}5 + 4{,}5 = 7$ .

Montre que le système $\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x + 2y = 5 \end{cases}$ n’admet aucune solution, et interprète le résultat graphiquement.

Voir le corrigé détaillé

$4x + 2y = 5$
$\iff$ $2x + y = \dfrac{5}{2}$ on divise par $2$

La première équation impose $2x + y = 4$ .

il faudrait donc $4 = \dfrac{5}{2}$
$\Rightarrow$ égalité fausseaucun couple ne peut convenir

Le système n’a aucune solution.

Graphiquement, les deux équations s’écrivent $y = -2x + 4$ et $y = -2x + \dfrac{5}{2}$ : même coefficient directeur $-2$ , ordonnées à l’origine différentes. Les droites sont strictement parallèles, elles ne se coupent jamais.

Combien de solutions admet le système $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x - 6y = 9 \end{cases}$ ? Donne trois couples solutions.

Voir le corrigé détaillé

$3x - 6y = 9$
$\iff$ $x - 2y = 3$ on divise par $3$

Les deux équations sont identiques : le système se réduit à une seule équation, $x - 2y = 3$ . Les deux droites sont confondues, et le système admet une infinité de solutions.

Pour en fabriquer, on choisit $y$ librement et on calcule $x = 2y + 3$ .

pour $y = 0$ : $x = 3$ couple $(3\,;0)$
pour $y = 1$ : $x = 5$ couple $(5\,;1)$
pour $y = -2$ : $x = -1$ couple $(-1\,;-2)$

Résous $\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ x + y = 9 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

On multiplie la première équation par $6$ , plus petit dénominateur commun.

$6 \times \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3}\right) = 6 \times 4$
$\iff$ $3x + 2y = 24$

Puis on substitue à partir de la seconde équation.

$x + y = 9$
$\iff$ $x = 9 - y$

$3(9 - y) + 2y = 24$
$\iff$ $27 - 3y + 2y = 24$ on développe
$\iff$ $27 - y = 24$ on réduit
$\iff$ $-y = -3$
$\iff$ $y = 3$

$x = 9 - 3$
$=$ $6$

La solution est le couple $(6\,;3)$ . Contrôle : $\dfrac{6}{2} + \dfrac{3}{3} = 3 + 1 = 4$ .

Niveau 3 — Défi

Détermine les nombres $a$ et $b$ pour que la droite d’équation $y = ax + b$ passe par les points $A(-2\,;7)$ et $B(3\,;-3)$ .

Voir le corrigé détaillé

Dire que la droite passe par $A$ , c’est dire que les coordonnées de $A$ vérifient son équation. On obtient ainsi deux équations, d’inconnues $a$ et $b$ .

pour $A(-2\,;7)$ : $7 = a \times (-2) + b$
$\iff$ $-2a + b = 7$
pour $B(3\,;-3)$ : $-3 = a \times 3 + b$
$\iff$ $3a + b = -3$

On résout le système $\begin{cases} -2a + b = 7 \\ 3a + b = -3 \end{cases}$ par différence membre à membre.

$(3a + b) - (-2a + b) = -3 - 7$
$\iff$ $5a = -10$ les termes en $b$ disparaissent
$\iff$ $a = -2$

$3 \times (-2) + b = -3$
$\iff$ $-6 + b = -3$
$\iff$ $b = 3$

La droite a pour équation $y = -2x + 3$ .

Contrôle avec $A$ : $-2 \times (-2) + 3 = 7$ . Contrôle avec $B$ : $-2 \times 3 + 3 = -3$ .

Pour quelle valeur du nombre $m$ le système $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + my = 7 \end{cases}$ n’admet-il aucune solution ?

Voir le corrigé détaillé

Un système n’a aucune solution lorsque les deux droites sont strictement parallèles. Cherchons donc quand la seconde équation a la même « direction » que la première.

En multipliant la première équation par $2$ , on obtient $4x + 6y = 10$ . Les coefficients de $x$ coïncident alors avec ceux de la seconde équation.

pour $m = 6$ , la seconde équation devient $4x + 6y = 7$
or la première impose $4x + 6y = 10$
$\Rightarrow$ il faudrait $7 = 10$ impossible : aucune solution

Réciproquement, si $m \neq 6$ , éliminons $x$ pour vérifier qu’une solution existe.

$(4x + my) - (4x + 6y) = 7 - 10$
$\iff$ $(m - 6)y = -3$
$\Rightarrow$ $y = \dfrac{-3}{m - 6}$ licite car $m - 6 \neq 0$

Une valeur de $y$ existe alors, donc une solution aussi. La réponse est donc $m = 6$ , et c’est la seule valeur qui convienne.

La somme des âges de Mariam et de sa mère est aujourd’hui de $50$ ans. Dans $5$ ans, la mère aura exactement le triple de l’âge de sa fille. Quel est l’âge de chacune aujourd’hui ?

Voir le corrigé détaillé

1. Soit $x$ l’âge de la mère aujourd’hui et $y$ celui de Mariam, en années.

2. La première information donne $x + y = 50$ . Dans $5$ ans, la mère aura $x + 5$ ans et Mariam $y + 5$ ans.

$\begin{cases} x + y = 50 \\ x + 5 = 3(y + 5) \end{cases}$

3. On développe la seconde équation, puis on substitue $x = 50 - y$ .

$x + 5 = 3(y + 5)$
$\iff$ $x + 5 = 3y + 15$ on développe
$\iff$ $x = 3y + 10$ on retranche $5$

$(3y + 10) + y = 50$ on substitue dans la première équation
$\iff$ $4y + 10 = 50$ on réduit
$\iff$ $4y = 40$
$\iff$ $y = 10$

$x = 50 - 10$
$=$ $40$

4. Les deux âges sont positifs et cohérents. Contrôle : dans $5$ ans, la mère aura $45$ ans et Mariam $15$ ans, et $45 = 3 \times 15$ .

Aujourd’hui, la mère a 40 ans et Mariam 10 ans.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Une séance de cinéma à Dakar. Ibrahima achète $3$ billets adulte et $5$ billets enfant : il paie $13\,500$ F CFA. Sa voisine Coumba achète $2$ billets adulte et $4$ billets enfant pour $10\,000$ F CFA.

Détermine le prix d’un billet adulte et celui d’un billet enfant.
Combien coûterait une sortie pour $2$ adultes et $7$ enfants ?

Voir le corrigé détaillé

1. Choix des inconnues. Soit $x$ le prix d’un billet adulte et $y$ celui d’un billet enfant, en F CFA.

Mise en système.

$\begin{cases} 3x + 5y = 13\,500 \\ 2x + 4y = 10\,000 \end{cases}$

Résolution. La seconde équation se simplifie par $2$ , ce qui fait apparaître un coefficient $1$ : la substitution devient facile.

$2x + 4y = 10\,000$
$\iff$ $x + 2y = 5\,000$ on divise par $2$
$\iff$ $x = 5\,000 - 2y$

$3(5\,000 - 2y) + 5y = 13\,500$
$\iff$ $15\,000 - 6y + 5y = 13\,500$ on développe
$\iff$ $15\,000 - y = 13\,500$ on réduit
$\iff$ $-y = -1\,500$ on retranche $15\,000$
$\iff$ $y = 1\,500$

$x = 5\,000 - 2 \times 1\,500$
$=$ $2\,000$

Retour à l’énoncé. Les deux prix sont positifs. Contrôle dans la première équation :

$3 \times 2\,000 + 5 \times 1\,500 = 6\,000 + 7\,500$
$=$ $13\,500$ conforme

Un billet adulte coûte 2 000 F CFA et un billet enfant 1 500 F CFA.

2. Pour $2$ adultes et $7$ enfants :

$2 \times 2\,000 + 7 \times 1\,500 = 4\,000 + 10\,500$
$=$ $14\,500$

La sortie coûterait 14 500 F CFA.

La tirelire de Léa (Genève). Léa a économisé uniquement des pièces de $2$ francs et de $5$ francs. Elle compte $32$ pièces en tout, pour un total de $106$ francs.

Combien a-t-elle de pièces de chaque sorte ?
Si elle échangeait toutes ses pièces de $2$ francs contre des pièces de $5$ francs de même valeur totale, combien de pièces obtiendrait-elle en tout ? Est-ce possible ?

Voir le corrigé détaillé

1. Choix des inconnues. Soit $x$ le nombre de pièces de $2$ francs et $y$ le nombre de pièces de $5$ francs.

Mise en système. La première équation compte les pièces, la seconde totalise leur valeur.

$\begin{cases} x + y = 32 \\ 2x + 5y = 106 \end{cases}$

Résolution. Le coefficient de $x$ vaut $1$ dans la première équation.

$x + y = 32$
$\iff$ $x = 32 - y$

$2(32 - y) + 5y = 106$
$\iff$ $64 - 2y + 5y = 106$ on développe
$\iff$ $64 + 3y = 106$ on réduit
$\iff$ $3y = 42$ on retranche $64$
$\iff$ $y = 14$

$x = 32 - 14$
$=$ $18$

Retour à l’énoncé. Les deux nombres sont des entiers positifs : ils ont bien un sens. Contrôle :

$2 \times 18 + 5 \times 14 = 36 + 70$
$=$ $106$ conforme

Léa possède 18 pièces de 2 francs et 14 pièces de 5 francs.

2. Ses pièces de $2$ francs valent $36$ francs.

$36 \div 5 = 7{,}2$

Le quotient n’est pas entier : $36$ n’est pas un multiple de $5$ . L’échange est donc impossible sans monnaie complémentaire.

La coopérative de Yaoundé. Une coopérative prépare $60$ litres de jus vendus $850$ F CFA le litre, en mélangeant du jus de mangue à $750$ F CFA le litre et du jus de goyave à $1\,050$ F CFA le litre.

Quel volume de chaque jus faut-il utiliser ?
Quelle est la recette totale de la vente des $60$ litres ?

Voir le corrigé détaillé

1. Choix des inconnues. Soit $x$ le volume de jus de mangue et $y$ celui de jus de goyave, en litres.

Mise en système. Le mélange doit valoir $60 \times 850 = 51\,000$ F CFA au total.

$\begin{cases} x + y = 60 \\ 750x + 1\,050y = 51\,000 \end{cases}$

Résolution. On simplifie d’abord la seconde équation en divisant par $150$ .

$750x + 1\,050y = 51\,000$
$\iff$ $5x + 7y = 340$ on divise tout par $150$

$x + y = 60$
$\iff$ $x = 60 - y$

$5(60 - y) + 7y = 340$
$\iff$ $300 - 5y + 7y = 340$ on développe
$\iff$ $300 + 2y = 340$ on réduit
$\iff$ $2y = 40$ on retranche $300$
$\iff$ $y = 20$

$x = 60 - 20$
$=$ $40$

Retour à l’énoncé. Les deux volumes sont positifs et leur somme vaut bien $60$ litres. Contrôle du prix :

$750 \times 40 + 1\,050 \times 20 = 30\,000 + 21\,000$
$=$ $51\,000$ conforme

Il faut 40 litres de jus de mangue et 20 litres de jus de goyave.

2. Recette de la vente :

$60 \times 850 = 51\,000$

La recette est de 51 000 F CFA, exactement la valeur du mélange : la coopérative revend au prix de revient.

Systèmes de deux équations à deux inconnues

Ce que tu sauras faire à la fin

1Système et couple solution

2La méthode par substitution

3La méthode par combinaison linéaire

4Interprétation graphique

4.1 Premier cas : les droites sont sécantes

4.2 Deuxième cas : les droites sont strictement parallèles

4.3 Troisième cas : les droites sont confondues

5Mettre un problème en système

1. Choix des inconnues

2. Mise en système

3. Résolution

4. Retour à l’énoncé

Fiche mémo

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Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès