Beaucoup de questions de la vie réelle ne demandent pas « combien exactement ? » mais « à partir de combien ? » ou « au plus combien ? ». Un budget à ne pas dépasser, une moyenne à atteindre, un seuil de rentabilité : dans tous ces cas, la réponse n’est pas un nombre unique, mais tout un ensemble de nombres. C’est ce que permettent les inéquations.

1Ordre et comparaison

Définition

Soient $a$ et $b$ deux nombres. On dit que $a$ est inférieur à $b$ , et on écrit $a < b$ , lorsque la différence $b - a$ est strictement positive.

On écrit $a \leqslant b$ (« $a$ est inférieur ou égal à $b$ ») lorsque $b - a$ est positive ou nulle.

Cette définition, qui peut sembler compliquée, est en réalité la clé de tout ce chapitre : comparer deux nombres, c’est étudier le signe de leur différence. Toutes les démonstrations qui suivent reposent sur elle.

Exemple — comparer par la différence

Comparons $\dfrac{7}{9}$ et $\dfrac{4}{5}$ sans calculatrice.

$\dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{9} = \dfrac{36}{45} - \dfrac{35}{45}$ même dénominateur $45$
$=$ $\dfrac{1}{45}$
$>$ $0$
$\Rightarrow$ $\dfrac{7}{9} < \dfrac{4}{5}$

Important : Sur une droite graduée,

a < b

signifie simplement que

a

est à gauche de

b

. C’est l’image mentale à garder : « inférieur » veut dire « plus à gauche », pas « plus petit en taille ».

Attention en particulier aux nombres négatifs : $-5 < -2$ , alors que $5 > 2$ . Le nombre $-5$ est bien plus à gauche que $-2$ sur la droite graduée.

2Les règles de transformation d’une inégalité

Propriété — règle 1 — ajouter ou retrancher

On ne change ni les solutions, ni le sens d’une inégalité lorsqu’on ajoute (ou retranche) un même nombre aux deux membres.

Pour tous nombres $a$ , $b$ et $c$ :

$a < b \iff a + c < b + c$

Démonstration

On compare les deux membres de la conclusion en étudiant le signe de leur différence.

$(b + c) - (a + c) = b + c - a - c$
$=$ $b - a$ les $c$ se simplifient

Or $a < b$ signifie exactement que $b - a > 0$ .

$(b + c) - (a + c) > 0$
$\Rightarrow$ $a + c < b + c$ définition de l’ordre

La différence n’a pas changé : ni le sens, ni l’écart entre les deux membres ne sont modifiés. C.Q.F.D.

Propriété — règle 2 — multiplier ou diviser par un nombre POSITIF

On ne change ni les solutions, ni le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres par un même nombre strictement positif.

Pour tous nombres $a$ , $b$ et pour $c > 0$ :

$a < b \iff a \times c < b \times c$

Démonstration

$bc - ac = (b - a) \times c$ on factorise par $c$
$b - a > 0$ car $a < b$
$c > 0$ hypothèse
$\Rightarrow$ $(b - a) \times c > 0$ un positif fois un positif est positif
$\Rightarrow$ $bc - ac > 0$
$\Rightarrow$ $ac < bc$

Le sens de l’inégalité est conservé. C.Q.F.D.

Propriété — règle 3 — multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF

Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif, on change le sens de l’inégalité.

Pour tous nombres $a$ , $b$ et pour $c < 0$ :

$a < b \iff a \times c > b \times c$

Démonstration

La démonstration est la même que la précédente, à un signe près.

$bc - ac = (b - a) \times c$ on factorise par $c$
$b - a > 0$ car $a < b$
$c < 0$ hypothèse
$\Rightarrow$ $(b - a) \times c < 0$ un positif fois un négatif est négatif
$\Rightarrow$ $bc - ac < 0$
$\Rightarrow$ $bc < ac$
$\Rightarrow$ $ac > bc$ le sens a bien été renversé

Tout tient au produit d’un nombre positif par un nombre négatif, qui est négatif. C.Q.F.D.

Attention — LE point à ne jamais oublier

Multiplier ou diviser par un nombre négatif oblige à retourner le symbole d’inégalité. C’est l’erreur numéro un du chapitre, et elle coûte cher.

Contre-exemple chiffré, à connaître par cœur :

$2 < 5$ inégalité vraie
on multiplie les deux membres par $-1$
$2 \times (-1) = -2$
$5 \times (-1) = -5$
$\Rightarrow$ $-2 > -5$ le sens a changé

Si l’on avait conservé le sens, on aurait écrit $-2 < -5$ , ce qui est faux : sur la droite graduée, $-2$ est bien à droite de $-5$ .

Figure 1 — Multiplier par

-1

revient à retourner la droite graduée autour de

0

: ce qui était à gauche passe à droite. Le sens de l’inégalité est donc inversé.

Important : La règle 1 ne pose jamais de problème : ajouter ou retrancher ne change jamais le sens, même avec un nombre négatif. Le danger vient uniquement de la multiplication et de la division.

3Résoudre une inéquation du premier degré

Définition

Une inéquation est une inégalité dans laquelle figure une inconnue. Une solution est un nombre qui, mis à la place de l’inconnue, rend l’inégalité vraie.

Résoudre une inéquation, c’est trouver tous les nombres qui la vérifient : on obtient en général une infinité de solutions.

Méthode — résoudre une inéquation du premier degré

Développer et réduire chaque membre ;
regrouper les termes en $x$ à gauche et les nombres à droite (règle 1, sans risque) ;
diviser les deux membres par le coefficient de $x$ ;
vérifier le signe de ce coefficient : s’il est négatif, retourner le symbole ;
écrire l’ensemble des solutions, le représenter sur une droite graduée et le donner en intervalle.

Exemple — coefficient positif :

5x - 3 < 2x + 9

$5x - 3 < 2x + 9$
$\iff$ $5x - 3 - 2x < 9$ on retranche $2x$ : le sens est conservé
$\iff$ $3x - 3 < 9$
$\iff$ $3x < 12$ on ajoute $3$
$\iff$ $x < 4$ on divise par $3$ , qui est positif : le sens est conservé

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à $4$ , c’est-à-dire l’intervalle $]-\infty\,;\,4[$ .

Exemple — coefficient négatif :

-2x + 7 \leqslant 1

$-2x + 7 \leqslant 1$
$\iff$ $-2x \leqslant -6$ on retranche $7$ : le sens est conservé
$\iff$ $x \geqslant \dfrac{-6}{-2}$ on divise par $-2$ , qui est négatif : on retourne le symbole
$\iff$ $x \geqslant 3$

Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à $3$ , soit l’intervalle $[3\,;\,+\infty[$ .

Vérification avec deux nombres bien choisis :

pour $x = 5$ : $-2 \times 5 + 7 = -3$ $-3 \leqslant 1$ : vrai, $5$ est bien solution
pour $x = 0$ : $-2 \times 0 + 7 = 7$ $7 \leqslant 1$ : faux, $0$ n’est pas solution

Important : Une astuce pour éviter le piège : faire passer les

x

du côté où leur coefficient est positif. Dans

-2x + 7 \leqslant 1

, on peut ajouter

2x

des deux côtés pour obtenir

7 \leqslant 2x + 1

, puis

6 \leqslant 2x

, puis

3 \leqslant x

. Aucun retournement n’est alors nécessaire.

4Représenter et écrire l’ensemble des solutions

Comme une inéquation possède une infinité de solutions, on ne peut pas les lister. On les décrit donc de deux façons complémentaires : par un dessin sur une droite graduée, et par une écriture en intervalle.

4.1 La convention des hachures et des crochets

On trace une droite graduée et on place la borne trouvée.
On hachure la partie qui ne convient pas : les solutions sont dans la zone laissée libre.
On dessine un crochet à la borne. Il est tourné vers les solutions si la borne est incluse ( $\leqslant$ ou $\geqslant$ ), et tourné vers le dehors si elle est exclue ( $<$ ou $>$ ).

Figure 2 — Solutions de

x \geqslant 2

. La borne

2

fait partie des solutions : le crochet est tourné vers la droite, du côté du trait vert.

Figure 3 — Solutions de

x < 3

. La borne

3

est exclue : le crochet est tourné vers l’extérieur de la zone des solutions.

Figure 4 — Solutions de

x \leqslant 3{,}5

. La borne n’est pas une graduation entière : on l’écrit explicitement sous la droite.

4.2 L’écriture en intervalle

Un intervalle est une écriture condensée de l’ensemble des solutions. Le crochet tourné vers l’intérieur signifie « borne incluse », le crochet tourné vers l’extérieur signifie « borne exclue ».

Inéquation	Phrase	Intervalle	Borne incluse ?
$x < a$	nombres strictement inférieurs à $a$	$]-\infty\,;\,a[$	non
$x \leqslant a$	nombres inférieurs ou égaux à $a$	$]-\infty\,;\,a]$	oui
$x > a$	nombres strictement supérieurs à $a$	$]a\,;\,+\infty[$	non
$x \geqslant a$	nombres supérieurs ou égaux à $a$	$[a\,;\,+\infty[$	oui

Attention

Du côté de l’infini, le crochet est toujours tourné vers l’extérieur : $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres, ils ne peuvent donc jamais être inclus. On n’écrit jamais $[3\,;\,+\infty]$ .

Math & Co — Qui a inventé les signes

<

\leqslant

Les symboles $<$ et $>$ apparaissent pour la première fois en $1631$ , dans l’*Artis Analyticae Praxis*, ouvrage de l’Anglais Thomas Harriot publié dix ans après sa mort. Le choix est d’une simplicité redoutable : deux traits qui s’écartent du côté du plus grand, qui se rejoignent du côté du plus petit.

Il faudra attendre un siècle de plus pour les symboles « inférieur ou égal ». C’est le mathématicien et hydrographe français Pierre Bouguer qui introduit $\leqslant$ et $\geqslant$ en $1734$ , en superposant simplement le trait de l’égalité au signe d’inégalité.

Petite curiosité typographique : les pays anglo-saxons écrivent plutôt $\le$ et $\ge$ , avec un trait droit, tandis que la tradition française préfère $\leqslant$ et $\geqslant$ , au trait incliné. Les deux notations désignent exactement la même chose — ne sois pas surpris de croiser les deux.

5Mettre un problème en inéquation

Méthode — la méthode en 4 temps

Choix de l’inconnue, avec son unité.
Mise en inéquation : on repère les mots qui imposent un sens — « au moins », « au minimum », « à partir de » donnent $\geqslant$ ; « au plus », « au maximum », « sans dépasser » donnent $\leqslant$ .
Résolution, une étape par ligne, en surveillant le signe du coefficient.
Retour à l’énoncé : on ne garde que les valeurs qui ont un sens (souvent des entiers positifs), puis on répond par une phrase.

Exemple — la sortie scolaire

Un car coûte $84\,000$ F CFA à la journée. Chaque élève paie $3\,000$ F CFA. À partir de combien d’élèves la recette couvre-t-elle la location du car ?

1. Soit $n$ le nombre d’élèves participant à la sortie.

2. La recette vaut $3\,000n$ . Elle doit être au moins égale à $84\,000$ .

$3\,000n \geqslant 84\,000$

3. Résolution :

$3\,000n \geqslant 84\,000$
$\iff$ $n \geqslant \dfrac{84\,000}{3\,000}$ on divise par $3\,000$ , positif : sens conservé
$\iff$ $n \geqslant 28$

4. Un nombre d’élèves est un entier positif : il faut donc au moins 28 élèves pour que la sortie soit financée.

Attention

Le retour à l’énoncé n’est pas une formalité. Si la résolution donne $n \geqslant 22{,}5$ et que $n$ est un nombre de personnes, la réponse n’est pas $22{,}5$ mais $23$ : on arrondit toujours du côté qui respecte la contrainte.

Fiche mémo

Comparer, c’est étudier le signe de la différence : $a < b \iff b - a > 0$ .
Ajouter ou retrancher un même nombre : le sens ne change jamais.
Multiplier ou diviser par un positif : le sens ne change pas.
Multiplier ou diviser par un négatif : le sens change — $2 < 5$ mais $-2 > -5$ .
Résolution : les $x$ à gauche, les nombres à droite, puis on divise en surveillant le signe.
Sur la droite graduée : on hachure ce qui ne convient pas, crochet vers les solutions si la borne est incluse.
Intervalles : $]-\infty\,;\,a[$ , $]-\infty\,;\,a]$ , $]a\,;\,+\infty[$ , $[a\,;\,+\infty[$ .
Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert.
« au moins », « à partir de » $\Rightarrow \geqslant$ ; « au plus », « sans dépasser » $\Rightarrow \leqslant$ .

Niveau 1 — Application directe

On sait que $a < b$ . Complète chaque pointillé par $<$ ou $>$ , et justifie par la règle utilisée.

$a + 5 \dots b + 5$
$a - 3 \dots b - 3$
$4a \dots 4b$
$-2a \dots -2b$

Voir le corrigé détaillé

$a + 5 < b + 5$ règle 1 : ajouter ne change pas le sens
$a - 3 < b - 3$ règle 1 : retrancher ne change pas le sens
$4a < 4b$ règle 2 : $4$ est positif, sens conservé
$-2a > -2b$ règle 3 : $-2$ est négatif, le sens change

Résous $x + 4 \leqslant 9$ , puis $x - 2 > 5$ .

Voir le corrigé détaillé

$x + 4 \leqslant 9$
$\iff$ $x \leqslant 5$ on retranche $4$

Ensemble des solutions : $]-\infty\,;\,5]$ .

$x - 2 > 5$
$\iff$ $x > 7$ on ajoute $2$

Ensemble des solutions : $]7\,;\,+\infty[$ .

Résous $3x < 12$ , puis $-3x < 12$ . Compare soigneusement les deux résultats.

Voir le corrigé détaillé

$3x < 12$
$\iff$ $x < 4$ on divise par $3$ , positif : sens conservé

$-3x < 12$
$\iff$ $x > \dfrac{12}{-3}$ on divise par $-3$ , négatif : on retourne
$\iff$ $x > -4$

Les ensembles de solutions sont $]-\infty\,;\,4[$ dans le premier cas et $]-4\,;\,+\infty[$ dans le second : le symbole a bien changé de sens.

Résous $2x + 5 \geqslant 11$ .

Voir le corrigé détaillé

$2x + 5 \geqslant 11$
$\iff$ $2x \geqslant 6$ on retranche $5$
$\iff$ $x \geqslant 3$ on divise par $2$ , positif

Ensemble des solutions : $[3\,;\,+\infty[$ .

Résous $5x - 3 < 2x + 9$ .

Voir le corrigé détaillé

$5x - 3 < 2x + 9$
$\iff$ $3x - 3 < 9$ on retranche $2x$
$\iff$ $3x < 12$ on ajoute $3$
$\iff$ $x < 4$ on divise par $3$

Ensemble des solutions : $]-\infty\,;\,4[$ .

Résous $-4x + 1 > 13$ .

Voir le corrigé détaillé

$-4x + 1 > 13$
$\iff$ $-4x > 12$ on retranche $1$
$\iff$ $x < \dfrac{12}{-4}$ on divise par $-4$ , négatif : on retourne
$\iff$ $x < -3$

Ensemble des solutions : $]-\infty\,;\,-3[$ .

Pour chacune des inéquations $x > -1$ et $x \leqslant 4$ : donne l’intervalle des solutions et décris le dessin à réaliser sur une droite graduée.

Voir le corrigé détaillé

$x > -1$ : intervalle $]-1\,;\,+\infty[$ . On hachure tout ce qui est à gauche de $-1$ et on place en $-1$ un crochet tourné vers la gauche, car la borne est exclue.

$x \leqslant 4$ : intervalle $]-\infty\,;\,4]$ . On hachure tout ce qui est à droite de $4$ et on place en $4$ un crochet tourné vers la gauche, c’est-à-dire vers les solutions, car la borne est incluse.

Niveau 2 — Approfondissement

Résous $4(x - 1) - 3 > 2(x + 5)$ .

Voir le corrigé détaillé

$4(x - 1) - 3 > 2(x + 5)$
$\iff$ $4x - 4 - 3 > 2x + 10$ on développe
$\iff$ $4x - 7 > 2x + 10$ on réduit
$\iff$ $2x - 7 > 10$ on retranche $2x$
$\iff$ $2x > 17$ on ajoute $7$
$\iff$ $x > \dfrac{17}{2}$ on divise par $2$ , positif

Ensemble des solutions : $\left]\dfrac{17}{2}\,;\,+\infty\right[$ , soit $]8{,}5\,;\,+\infty[$ .

Résous $\dfrac{x - 1}{2} \leqslant \dfrac{x + 3}{5}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{x - 1}{2} \leqslant \dfrac{x + 3}{5}$
$\iff$ $10 \times \dfrac{x - 1}{2} \leqslant 10 \times \dfrac{x + 3}{5}$ on multiplie par $10$ , positif : sens conservé
$\iff$ $5(x - 1) \leqslant 2(x + 3)$
$\iff$ $5x - 5 \leqslant 2x + 6$ on développe
$\iff$ $3x - 5 \leqslant 6$ on retranche $2x$
$\iff$ $3x \leqslant 11$ on ajoute $5$
$\iff$ $x \leqslant \dfrac{11}{3}$ on divise par $3$

Ensemble des solutions : $\left]-\infty\,;\,\dfrac{11}{3}\right]$ .

Résous $-\dfrac{x}{3} + 2 > 4$ .

Voir le corrigé détaillé

$-\dfrac{x}{3} + 2 > 4$
$\iff$ $-\dfrac{x}{3} > 2$ on retranche $2$
$\iff$ $x < 2 \times (-3)$ on multiplie par $-3$ , négatif : on retourne
$\iff$ $x < -6$

Ensemble des solutions : $]-\infty\,;\,-6[$ .

Vérification : pour $x = -9$ , on obtient $-\dfrac{-9}{3} + 2 = 3 + 2 = 5$ , et $5 > 4$ . C’est bien une solution.

Quels sont les entiers naturels vérifiant $3x - 4 < 11$ ?

Voir le corrigé détaillé

$3x - 4 < 11$
$\iff$ $3x < 15$ on ajoute $4$
$\iff$ $x < 5$ on divise par $3$

Les solutions sont tous les nombres de $]-\infty\,;\,5[$ . Parmi eux, les entiers naturels sont $0$ , $1$ , $2$ , $3$ et $4$ .

Attention : $5$ est exclu, car l’inégalité est stricte.

Traduis en inéquation puis résous : « le triple d’un nombre, augmenté de $4$ , est au plus égal au double de ce nombre diminué de $1$ ».

Voir le corrigé détaillé

Soit $x$ le nombre cherché. « Au plus égal » se traduit par $\leqslant$ .

$3x + 4 \leqslant 2x - 1$
$\iff$ $x + 4 \leqslant -1$ on retranche $2x$
$\iff$ $x \leqslant -5$ on retranche $4$

Les nombres cherchés sont tous ceux de l’intervalle $]-\infty\,;\,-5]$ .

On sait que $-3 \leqslant x \leqslant 2$ . Donne un encadrement de $5x$ , puis de $-5x$ , puis de $2x + 1$ .

Voir le corrigé détaillé

On multiplie par $5$ , qui est positif : le sens est conservé des deux côtés.

$-3 \leqslant x \leqslant 2$
$\Rightarrow$ $-15 \leqslant 5x \leqslant 10$

On multiplie maintenant par $-5$ , qui est négatif : les deux symboles se retournent, et l’encadrement se lit à l’envers.

$-3 \leqslant x \leqslant 2$
$\Rightarrow$ $15 \geqslant -5x \geqslant -10$
$\iff$ $-10 \leqslant -5x \leqslant 15$ on réécrit dans le sens croissant

Enfin, pour $2x + 1$ :

$-3 \leqslant x \leqslant 2$
$\Rightarrow$ $-6 \leqslant 2x \leqslant 4$ on multiplie par $2$ , positif
$\Rightarrow$ $-5 \leqslant 2x + 1 \leqslant 5$ on ajoute $1$ partout

Niveau 3 — Défi

Un carré a pour côté $x + 2$ et un triangle équilatéral a pour côté $x + 5$ , où $x$ désigne un nombre positif exprimé en centimètres. Pour quelles valeurs de $x$ le périmètre du carré est-il strictement supérieur à celui du triangle ?

Voir le corrigé détaillé

Le périmètre du carré vaut $4(x + 2)$ et celui du triangle équilatéral $3(x + 5)$ .

$4(x + 2) > 3(x + 5)$
$\iff$ $4x + 8 > 3x + 15$ on développe
$\iff$ $x + 8 > 15$ on retranche $3x$
$\iff$ $x > 7$ on retranche $8$

Comme $x$ est déjà supposé positif, la condition $x > 7$ suffit : le périmètre du carré dépasse celui du triangle dès que le côté du carré dépasse $9$ cm.

Contrôle : pour $x = 10$ , le carré mesure $4 \times 12 = 48$ cm de périmètre et le triangle $3 \times 15 = 45$ cm. C’est bien le carré qui l’emporte.

Soient $a$ et $b$ deux nombres tels que $a < b$ . Démontre que $a < \dfrac{a + b}{2} < b$ , autrement dit que la moyenne de deux nombres est toujours comprise entre eux.

Voir le corrigé détaillé

On étudie le signe de chaque différence, conformément à la définition de l’ordre.

Première inégalité :

$\dfrac{a + b}{2} - a = \dfrac{a + b - 2a}{2}$
$=$ $\dfrac{b - a}{2}$
$>$ $0$ car $b - a > 0$ et $2 > 0$
$\Rightarrow$ $a < \dfrac{a + b}{2}$

Seconde inégalité :

$b - \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{2b - a - b}{2}$
$=$ $\dfrac{b - a}{2}$
$>$ $0$
$\Rightarrow$ $\dfrac{a + b}{2} < b$

En rassemblant les deux résultats, on obtient bien $a < \dfrac{a + b}{2} < b$ . C.Q.F.D.

Remarque : les deux différences valent la même chose, $\dfrac{b - a}{2}$ . La moyenne est donc exactement au milieu de $a$ et $b$ .

Résous l’encadrement $-5 \leqslant 3 - 2x < 7$ .

Voir le corrigé détaillé

On traite les deux inégalités séparément, puis on garde ce qui vérifie les deux à la fois.

Inégalité de gauche :

$-5 \leqslant 3 - 2x$
$\iff$ $-8 \leqslant -2x$ on retranche $3$
$\iff$ $4 \geqslant x$ on divise par $-2$ , négatif : on retourne
$\iff$ $x \leqslant 4$

Inégalité de droite :

$3 - 2x < 7$
$\iff$ $-2x < 4$ on retranche $3$
$\iff$ $x > -2$ on divise par $-2$ , négatif : on retourne

Il faut que les deux conditions soient vraies simultanément :

$x > -2$ et $x \leqslant 4$
$\iff$ $-2 < x \leqslant 4$

Ensemble des solutions : $]-2\,;\,4]$ . Sur une droite graduée, on hachure à gauche de $-2$ et à droite de $4$ ; le crochet en $-2$ est ouvert, celui en $4$ est fermé.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le taxi de Yaoundé. Awa prend un taxi qui facture $500$ F CFA de prise en charge, puis $120$ F CFA par kilomètre parcouru. Elle ne dispose que de $3\,500$ F CFA.

Quelle distance maximale peut-elle parcourir ?
Le trajet qu’elle souhaite faire mesure $27$ km. A-t-elle assez ? Sinon, que lui manque-t-il ?

Voir le corrigé détaillé

1. Choix de l’inconnue. Soit $x$ la distance parcourue, en kilomètres.

Mise en inéquation. Le prix de la course vaut $500 + 120x$ . Il ne doit pas dépasser $3\,500$ .

$500 + 120x \leqslant 3\,500$

Résolution.

$500 + 120x \leqslant 3\,500$
$\iff$ $120x \leqslant 3\,000$ on retranche $500$
$\iff$ $x \leqslant \dfrac{3\,000}{120}$ on divise par $120$ , positif
$\iff$ $x \leqslant 25$

Retour à l’énoncé. Awa peut parcourir au plus 25 km. Vérification : $500 + 120 \times 25 = 3\,500$ F CFA exactement.

2. Pour $27$ km :

$500 + 120 \times 27 = 500 + 3\,240$
$=$ $3\,740$
$3\,740 - 3\,500 = 240$

Le trajet coûte $3\,740$ F CFA : Awa n’a pas assez, il lui manque 240 F CFA.

La moyenne de Rachid (Ndjamena). Rachid a obtenu $11$ , $8$ et $14$ à ses trois premiers devoirs de mathématiques. Il reste un quatrième devoir, noté lui aussi sur $20$ , et tous les devoirs comptent autant.

Quelle note doit-il obtenir au minimum pour que sa moyenne atteigne $12$ ?
Peut-il espérer une moyenne de $15$ ?

Voir le corrigé détaillé

1. Choix de l’inconnue. Soit $x$ la note du quatrième devoir, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$ .

Mise en inéquation. La moyenne des quatre notes doit être au moins égale à $12$ .

$\dfrac{11 + 8 + 14 + x}{4} \geqslant 12$

Résolution.

$\dfrac{33 + x}{4} \geqslant 12$ on réduit le numérateur
$\iff$ $33 + x \geqslant 48$ on multiplie par $4$ , positif
$\iff$ $x \geqslant 15$ on retranche $33$

Retour à l’énoncé. La note $15$ est bien comprise entre $0$ et $20$ : elle est atteignable. Rachid doit obtenir au moins 15 sur 20.

2. Reprenons avec une moyenne de $15$ :

$\dfrac{33 + x}{4} \geqslant 15$
$\iff$ $33 + x \geqslant 60$ on multiplie par $4$
$\iff$ $x \geqslant 27$ on retranche $33$

Or une note sur $20$ ne peut pas dépasser $20$ , et $27 > 20$ . Rachid ne peut donc pas atteindre $15$ de moyenne : c’est le retour à l’énoncé qui permet de le dire.

La fête de quartier (Bruxelles). Le comité des fêtes loue une salle pour $180$ €, plus $12$ € de repas par participant. Chaque participant paie $20$ € sa place.

À partir de combien de participants la soirée est-elle rentable, c’est-à-dire la recette au moins égale aux dépenses ?
La salle contient $60$ places. Quel est le bénéfice maximal possible ?

Voir le corrigé détaillé

1. Choix de l’inconnue. Soit $n$ le nombre de participants, un entier positif.

Mise en inéquation. La recette vaut $20n$ ; les dépenses valent $180 + 12n$ .

$20n \geqslant 180 + 12n$

Résolution.

$20n \geqslant 180 + 12n$
$\iff$ $8n \geqslant 180$ on retranche $12n$
$\iff$ $n \geqslant \dfrac{180}{8}$ on divise par $8$ , positif
$\iff$ $n \geqslant 22{,}5$

Retour à l’énoncé. Un nombre de participants est un entier. Le plus petit entier supérieur ou égal à $22{,}5$ est $23$ : il faut donc au moins 23 participants.

Contrôle : avec $22$ participants, la recette est $440$ € pour $444$ € de dépenses — soirée déficitaire. Avec $23$ , la recette est $460$ € pour $456$ € de dépenses.

2. Avec la salle pleine, soit $60$ participants :

recette : $20 \times 60 = 1\,200$ €
dépenses : $180 + 12 \times 60 = 900$ €
bénéfice : $1\,200 - 900 = 300$ €

Le bénéfice maximal est de 300 €.

Inéquations du premier degré

Ce que tu sauras faire à la fin

1Ordre et comparaison

2Les règles de transformation d’une inégalité

3Résoudre une inéquation du premier degré

4Représenter et écrire l’ensemble des solutions

4.1 La convention des hachures et des crochets

4.2 L’écriture en intervalle

5Mettre un problème en inéquation

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès