Un atome mesure environ $0{,}000\,000\,000\,1$ mètre, et la Voie lactée environ $1\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ mètres. Personne ne veut écrire — ni lire — de tels nombres. Les puissances sont l’outil qui permet de les écrire en trois symboles, de les comparer d’un coup d’œil et de calculer avec eux sans jamais compter les zéros. C’est le langage commun de la physique, de l’astronomie et de l’informatique.

1Puissances d’un nombre

1.1 Exposant entier positif

Définition

Soient $a$ un nombre et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$ . La puissance $a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ :

$a^{n} = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

On lit « $a$ exposant $n$ ». Le nombre $a$ est la base, le nombre $n$ est l’exposant.

Deux cas se lisent à voix haute : $a^{2}$ se dit « $a$ au carré » et $a^{3}$ se dit « $a$ au cube ».

Exemple — quelques puissances

$2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$
$=$ $32$
$(-3)^{4} = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3)$
$=$ $81$ quatre facteurs négatifs : le résultat est positif
$(-3)^{3} = (-3) \times (-3) \times (-3)$
$=$ $-27$ trois facteurs négatifs : le résultat est négatif

Retiens : Une puissance d’exposant pair d’un nombre négatif est positive ; une puissance d’exposant impair d’un nombre négatif est négative.

Attention

Ne confonds pas $(-2)^{4}$ et $-2^{4}$ !

$(-2)^{4} = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ la base est $-2$
$-2^{4} = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$ la base est $2$ , le signe reste devant

Les parenthèses ne sont pas décoratives : elles disent qui est la base.

1.2 Les conventions $a^{1}$ et $a^{0}$

Définition

Pour tout nombre $a$ : $a^{1} = a$ .

Pour tout nombre $a$ non nul : $a^{0} = 1$ .

La seconde égalité n’est pas un caprice : c’est le seul choix qui rend les règles de calcul cohérentes, comme la démonstration ci-dessous le montre.

Démonstration — pourquoi

a^{0} = 1

Soit $a$ un nombre non nul et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$ .

$\dfrac{a^{n}}{a^{n}} = 1$ un nombre non nul divisé par lui-même
$\dfrac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n-n}$ règle du quotient (partie 2)
$=$ $a^{0}$
$\Rightarrow$ $a^{0} = 1$

La convention $a^{0} = 1$ est donc imposée par la règle du quotient. C.Q.F.D.

1.3 Exposant entier négatif

Définition

Soient $a$ un nombre non nul et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$ . On pose :

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$

Autrement dit, changer le signe de l’exposant revient à passer de l’autre côté de la barre de fraction.

Exemple — exposants négatifs

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}}$
$=$ $\dfrac{1}{8}$
$10^{-4} = \dfrac{1}{10^{4}}$
$=$ $\dfrac{1}{10\,000}$
$=$ $0{,}000\,1$

Important : Un exposant négatif ne rend jamais le nombre négatif :

2^{-3} = \dfrac{1}{8}

est bien positif. L’exposant négatif signifie « inverse », pas « opposé ».

2Les cinq règles de calcul

Dans toute cette partie, $a$ et $b$ sont des nombres non nuls, et $m$ et $n$ des entiers relatifs. Les cinq règles sont démontrées ci-dessous pour des exposants positifs — c’est précisément parce que l’on veut qu’elles restent vraies pour tous les entiers relatifs que l’on a posé $a^{0} = 1$ et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ .

2.1 Règle 1 — produit de deux puissances de même base

Propriété

$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$

Démonstration

On compte simplement les facteurs.

$a^{m}$ est un produit de $m$ facteurs égaux à $a$
$a^{n}$ est un produit de $n$ facteurs égaux à $a$
$a^{m} \times a^{n}$ est donc un produit de $m + n$ facteurs égaux à $a$
$\Rightarrow$ $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ définition de la puissance. C.Q.F.D.

Exemple

$3^{4} \times 3^{7} = 3^{4+7}$
$=$ $3^{11}$
$5^{-2} \times 5^{6} = 5^{-2+6}$
$=$ $5^{4}$

2.2 Règle 2 — quotient de deux puissances de même base

Propriété

$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$

Démonstration

On note $q$ le quotient cherché, c’est-à-dire le nombre tel que $q \times a^{n} = a^{m}$ .

$a^{m-n} \times a^{n} = a^{(m-n)+n}$ règle 1
$=$ $a^{m}$
$\Rightarrow$ $a^{m-n}$ est bien le quotient de $a^{m}$ par $a^{n}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ C.Q.F.D.

Exemple

$\dfrac{7^{9}}{7^{5}} = 7^{9-5}$
$=$ $7^{4}$
$\dfrac{2^{3}}{2^{8}} = 2^{3-8}$
$=$ $2^{-5}$
$=$ $\dfrac{1}{32}$

2.3 Règle 3 — puissance d’une puissance

Propriété

$\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n}$

Démonstration

$\left(a^{m}\right)^{n}$ est un produit de $n$ facteurs égaux à $a^{m}$
$=$ $a^{m} \times a^{m} \times \dots \times a^{m}$
$=$ $a^{m + m + \dots + m}$ règle 1, appliquée $n-1$ fois
la somme comporte $n$ termes égaux à $m$
$\Rightarrow$ $\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n}$ C.Q.F.D.

Exemple

$\left(2^{3}\right)^{5} = 2^{3 \times 5}$
$=$ $2^{15}$
$\left(10^{-2}\right)^{4} = 10^{-2 \times 4}$
$=$ $10^{-8}$

Attention

$\left(2^{3}\right)^{5}$ et $2^{3} \times 2^{5}$ ne sont pas la même chose : la première vaut $2^{15}$ , la seconde $2^{8}$ . On multiplie les exposants dans un cas, on les additionne dans l’autre.

2.4 Règle 4 — produit de deux puissances de même exposant

Propriété

$a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$

Démonstration

$(a \times b)^{n} = (ab) \times (ab) \times \dots \times (ab)$ $n$ facteurs
$=$ $(a \times a \times \dots \times a) \times (b \times b \times \dots \times b)$ la multiplication est commutative et associative
$=$ $a^{n} \times b^{n}$ C.Q.F.D.

Exemple

$2^{5} \times 5^{5} = (2 \times 5)^{5}$
$=$ $10^{5}$
$=$ $100\,000$ calcul instantané, sans calculatrice

2.5 Règle 5 — quotient de deux puissances de même exposant

Propriété

$\dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$

Démonstration

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{a}{b} \times \dots \times \dfrac{a}{b}$ $n$ facteurs
$=$ $\dfrac{a \times a \times \dots \times a}{b \times b \times \dots \times b}$ produit de fractions
$=$ $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$ C.Q.F.D.

Exemple

$\dfrac{6^{4}}{3^{4}} = \left(\dfrac{6}{3}\right)^{4}$
$=$ $2^{4}$
$=$ $16$

Règle	Énoncé	Exemple
Produit, même base	$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$	$3^{2} \times 3^{5} = 3^{7}$
Quotient, même base	$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$	$\dfrac{4^{9}}{4^{6}} = 4^{3}$
Puissance de puissance	$\left(a^{m}\right)^{n} = a^{mn}$	$\left(5^{2}\right)^{3} = 5^{6}$
Produit, même exposant	$a^{n}b^{n} = (ab)^{n}$	$4^{3} \times 25^{3} = 100^{3}$
Quotient, même exposant	$\dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$	$\dfrac{8^{5}}{2^{5}} = 4^{5}$

Attention

Il n’existe aucune règle pour $a^{n} + a^{m}$ . Par exemple $2^{3} + 2^{4} = 8 + 16 = 24$ , et $24$ n’est pas une puissance de $2$ . Les règles concernent les produits et les quotients, jamais les sommes.

3Les puissances de 10

Propriété

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ :

$10^{n}$ s’écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros ;
$10^{-n}$ s’écrit $0{,}0\dots01$ , avec $n$ chiffres après la virgule.

Exemple

$10^{6} = 1\,000\,000$ six zéros
$10^{-3} = 0{,}001$ trois chiffres après la virgule
$10^{0} = 1$

Multiplier par $10^{n}$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite ; multiplier par $10^{-n}$ la déplace de $n$ rangs vers la gauche. Les cinq règles s’appliquent bien sûr aux puissances de $10$ :

$10^{7} \times 10^{-4} = 10^{7-4}$
$=$ $10^{3}$
$\dfrac{10^{-2}}{10^{-9}} = 10^{-2-(-9)}$
$=$ $10^{7}$

3.1 Les préfixes du système international

Les préfixes que tu croises en physique, en informatique ou sur un paquet de riz sont tous des puissances de $10$ :

Préfixe	Symbole	Facteur
nano	n	$10^{-9}$
micro	$\mu$	$10^{-6}$
milli	m	$10^{-3}$
kilo	k	$10^{3}$
méga	M	$10^{6}$
giga	G	$10^{9}$
téra	T	$10^{12}$

Figure 1 — Sur une échelle de puissances de 10, l’Univers entier tient sur une seule page : du noyau d’un atome à la Voie lactée, il n’y a que 36 graduations.

4La notation scientifique

Définition

L’écriture scientifique d’un nombre non nul est son écriture sous la forme :

$a \times 10^{n} \quad \text{avec} \quad 1 \leqslant |a| < 10 \quad \text{et } n \text{ entier relatif.}$

Le nombre $a$ s’appelle la mantisse. Cette écriture est unique.

La condition $1 \leqslant |a| < 10$ signifie simplement que la mantisse comporte un seul chiffre avant la virgule, et que ce chiffre n’est pas $0$ .

Méthode — écrire un nombre en notation scientifique

Placer la virgule juste après le premier chiffre non nul ;
compter de combien de rangs la virgule s’est déplacée ;
si la virgule a reculé (nombre grand), l’exposant est positif ; si elle a avancé (nombre petit), l’exposant est négatif ;
vérifier que la mantisse vérifie bien $1 \leqslant |a| < 10$ .

Figure 2 — L’exposant n’est rien d’autre que le nombre de rangs dont la virgule s’est déplacée, compté positivement vers la gauche.

Exemple — trois conversions

$47\,800\,000 = 4{,}78 \times 10^{7}$ la virgule a reculé de 7 rangs
$0{,}000\,062 = 6{,}2 \times 10^{-5}$ la virgule a avancé de 5 rangs
$-320{,}5 = -3{,}205 \times 10^{2}$ le signe ne change rien à l’exposant

Exemple — corriger une écriture presque scientifique

Le nombre $12{,}5 \times 10^{4}$ n’est pas en notation scientifique, car $12{,}5 \geqslant 10$ .

$12{,}5 \times 10^{4} = 1{,}25 \times 10^{1} \times 10^{4}$
$=$ $1{,}25 \times 10^{5}$ règle 1

De même, $0{,}03 \times 10^{-2}$ n’est pas en notation scientifique :

$0{,}03 \times 10^{-2} = 3 \times 10^{-2} \times 10^{-2}$
$=$ $3 \times 10^{-4}$

4.1 Comparer deux nombres écrits scientifiquement

Méthode — comparer

Pour deux nombres positifs écrits en notation scientifique, on compare d’abord les exposants. Le plus grand exposant l’emporte. En cas d’égalité des exposants, on compare les mantisses.

Exemple

$3{,}4 \times 10^{8}$ et $9{,}1 \times 10^{7}$
$8 > 7$ on compare les exposants
$\Rightarrow$ $3{,}4 \times 10^{8} > 9{,}1 \times 10^{7}$
$2{,}6 \times 10^{5}$ et $2{,}59 \times 10^{5}$
même exposant, or $2{,}6 > 2{,}59$
$\Rightarrow$ $2{,}6 \times 10^{5} > 2{,}59 \times 10^{5}$

Attention

Cette méthode ne vaut que pour des nombres positifs. Pour deux nombres négatifs, tout s’inverse : $-3{,}4 \times 10^{8} < -9{,}1 \times 10^{7}$ , car le plus « grand » en valeur absolue est le plus petit.

4.2 Ordre de grandeur

Définition

L’ordre de grandeur d’un nombre positif écrit $a \times 10^{n}$ est la puissance de $10$ la plus proche de ce nombre :

si $a < 5$ , l’ordre de grandeur est $10^{n}$ ;
si $a \geqslant 5$ , l’ordre de grandeur est $10^{n+1}$ .

Exemple

$6{,}8 \times 10^{9}$ : ici $a = 6{,}8 \geqslant 5$
$\Rightarrow$ ordre de grandeur $10^{10}$
$2{,}3 \times 10^{-5}$ : ici $a = 2{,}3 < 5$
$\Rightarrow$ ordre de grandeur $10^{-5}$

L’ordre de grandeur sert à vérifier un résultat. Si ta calculatrice affiche $3{,}7 \times 10^{15}$ là où tu attendais un ordre de grandeur de $10^{9}$ , c’est qu’une touche a été mal frappée.

5Calculer sur les grandeurs

Méthode — calculer avec des notations scientifiques

On regroupe les mantisses d’un côté et les puissances de 10 de l’autre, on calcule chaque paquet séparément, puis on remet le résultat en notation scientifique si besoin.

Exemple — combien de temps la lumière du Soleil met-elle à nous parvenir ?

La distance Terre – Soleil vaut environ $1{,}5 \times 10^{11}$ m et la lumière se déplace à $3{,}0 \times 10^{8}$ m/s.

$t = \dfrac{1{,}5 \times 10^{11}}{3{,}0 \times 10^{8}}$
$=$ $\dfrac{1{,}5}{3{,}0} \times \dfrac{10^{11}}{10^{8}}$ on sépare mantisses et puissances
$=$ $0{,}5 \times 10^{3}$
$=$ $5 \times 10^{2}$ notation scientifique
$=$ $500$ secondes

$500$ s $= 8$ min $20$ s : la lumière que tu reçois maintenant a quitté le Soleil il y a plus de huit minutes.

Exemple — un atome est-il plein ?

Le rayon d’un atome d’hydrogène vaut environ $5{,}3 \times 10^{-11}$ m, celui de son noyau environ $1{,}2 \times 10^{-15}$ m. Combien de fois le noyau est-il plus petit ?

$\dfrac{5{,}3 \times 10^{-11}}{1{,}2 \times 10^{-15}} = \dfrac{5{,}3}{1{,}2} \times 10^{-11-(-15)}$
$\approx$ $4{,}4 \times 10^{4}$

Le noyau est environ 44 000 fois plus petit que l’atome. Si le noyau avait la taille d’une bille de $1$ cm, l’atome mesurerait plus de $400$ mètres : la matière est essentiellement du vide.

Exemple — un disque dur d’un téraoctet

Un disque de $1$ To contient $10^{12}$ octets. Une photo pèse $4$ Mo, soit $4 \times 10^{6}$ octets.

$N = \dfrac{10^{12}}{4 \times 10^{6}}$
$=$ $\dfrac{1}{4} \times 10^{12-6}$
$=$ $0{,}25 \times 10^{6}$
$=$ $2{,}5 \times 10^{5}$

Le disque peut stocker 250 000 photos.

Math & Co — Archimède comptait les grains de sable

Vers $-250$ , Archimède de Syracuse écrit un traité étonnant, L’Arénaire (« le compteur de sable »), adressé au roi Gélon. Son but : montrer que le nombre de grains de sable nécessaires pour remplir l’Univers, loin d’être infini, peut s’écrire. Comme la numération grecque ne permettait pas d’aller au-delà de la myriade de myriades ( $10^{8}$ ), Archimède invente son propre système d’ordres de grandeur successifs — l’ancêtre direct de nos puissances de 10.

La notation moderne avec des exposants chiffrés, elle, s’impose beaucoup plus tard : René Descartes l’emploie dans La Géométrie (1637), où il écrit déjà $a^{3}$ et $a^{4}$ comme nous. Il faudra encore un siècle pour que les exposants négatifs entrent dans l’usage courant.

Fiche mémo

$a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ facteurs) ; $a^{1} = a$ ; $a^{0} = 1$ (si $a \neq 0$ ).
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ : un exposant négatif signifie inverse, pas opposé.
Règle 1 : $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ .
Règle 2 : $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ .
Règle 3 : $\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n}$ .
Règle 4 : $a^{n} \times b^{n} = (ab)^{n}$ .
Règle 5 : $\dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ .
Aucune règle pour une somme de puissances.
Notation scientifique : $a \times 10^{n}$ avec $1 \leqslant |a| < 10$ ; elle est unique.
Comparer : d’abord les exposants, puis les mantisses (nombres positifs).
Ordre de grandeur : $10^{n}$ si $a < 5$ , sinon $10^{n+1}$ .

Niveau 1 — Application directe

Calcule sans calculatrice : $2^{6}$ ; $(-4)^{3}$ ; $(-5)^{2}$ ; $9^{0}$ ; $10^{5}$ .

Voir le corrigé détaillé

$2^{6} = 64$
$(-4)^{3} = -64$ exposant impair, base négative
$(-5)^{2} = 25$ exposant pair, base négative
$9^{0} = 1$
$10^{5} = 100\,000$

Écris sous la forme d’une seule puissance : $3^{4} \times 3^{7}$ ; $\dfrac{5^{9}}{5^{3}}$ ; $\left(2^{3}\right)^{5}$ ; $7^{-2} \times 7^{6}$ .

Voir le corrigé détaillé

$3^{4} \times 3^{7} = 3^{4+7}$
$=$ $3^{11}$
$\dfrac{5^{9}}{5^{3}} = 5^{9-3}$
$=$ $5^{6}$
$\left(2^{3}\right)^{5} = 2^{3 \times 5}$
$=$ $2^{15}$
$7^{-2} \times 7^{6} = 7^{-2+6}$
$=$ $7^{4}$

Écris sous forme de fraction ou de nombre décimal : $2^{-4}$ ; $10^{-3}$ ; $5^{-2}$ .

Voir le corrigé détaillé

$2^{-4} = \dfrac{1}{2^{4}}$
$=$ $\dfrac{1}{16}$
$10^{-3} = \dfrac{1}{1\,000}$
$=$ $0{,}001$
$5^{-2} = \dfrac{1}{25}$
$=$ $0{,}04$

Donne la notation scientifique de : $32\,500\,000$ ; $0{,}000\,407$ ; $12{,}5 \times 10^{4}$ ; $0{,}03 \times 10^{-2}$ .

Voir le corrigé détaillé

$32\,500\,000 = 3{,}25 \times 10^{7}$ la virgule recule de 7 rangs
$0{,}000\,407 = 4{,}07 \times 10^{-4}$ la virgule avance de 4 rangs
$12{,}5 \times 10^{4} = 1{,}25 \times 10^{1} \times 10^{4}$
$=$ $1{,}25 \times 10^{5}$
$0{,}03 \times 10^{-2} = 3 \times 10^{-2} \times 10^{-2}$
$=$ $3 \times 10^{-4}$

Range dans l’ordre croissant : $3{,}2 \times 10^{5}$ ; $9{,}8 \times 10^{4}$ ; $1{,}1 \times 10^{6}$ ; $7{,}4 \times 10^{5}$ .

Voir le corrigé détaillé

On compare d’abord les exposants, puis les mantisses.

exposant $4$ : $9{,}8 \times 10^{4}$ le plus petit
exposant $5$ : $3{,}2 \times 10^{5}$ puis $7{,}4 \times 10^{5}$ car $3{,}2 < 7{,}4$
exposant $6$ : $1{,}1 \times 10^{6}$ le plus grand
$\Rightarrow$ $9{,}8 \times 10^{4} < 3{,}2 \times 10^{5} < 7{,}4 \times 10^{5} < 1{,}1 \times 10^{6}$

Donne l’ordre de grandeur de $6{,}8 \times 10^{9}$ , de $2{,}3 \times 10^{-5}$ et de $4\,900$ .

Voir le corrigé détaillé

$6{,}8 \geqslant 5$ on monte d’un cran
$\Rightarrow$ ordre de grandeur de $6{,}8 \times 10^{9}$ : $10^{10}$
$2{,}3 < 5$
$\Rightarrow$ ordre de grandeur de $2{,}3 \times 10^{-5}$ : $10^{-5}$
$4\,900 = 4{,}9 \times 10^{3}$ et $4{,}9 < 5$
$\Rightarrow$ ordre de grandeur : $10^{3}$

Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible : $A = \dfrac{2^{3} \times 5^{4}}{2^{5} \times 5^{2}}$ .

Voir le corrigé détaillé

$A = 2^{3-5} \times 5^{4-2}$
$=$ $2^{-2} \times 5^{2}$
$=$ $\dfrac{25}{4}$

Niveau 2 — Approfondissement

Donne l’écriture scientifique de $A = \dfrac{10^{-3} \times 10^{7}}{10^{2}}$ et de $B = \left(3 \times 10^{4}\right) \times \left(5 \times 10^{-7}\right)$ .

Voir le corrigé détaillé

$A = \dfrac{10^{-3+7}}{10^{2}}$
$=$ $\dfrac{10^{4}}{10^{2}}$
$=$ $10^{2}$
$=$ $1 \times 10^{2}$ écriture scientifique

$B = (3 \times 5) \times \left(10^{4} \times 10^{-7}\right)$
$=$ $15 \times 10^{-3}$
$=$ $1{,}5 \times 10^{1} \times 10^{-3}$
$=$ $1{,}5 \times 10^{-2}$

Simplifie $C = \dfrac{2^{5} \times 3^{-2}}{2^{3} \times 3^{-4}}$ et donne le résultat sous forme d’un entier.

Voir le corrigé détaillé

$C = 2^{5-3} \times 3^{-2-(-4)}$
$=$ $2^{2} \times 3^{2}$
$=$ $4 \times 9$
$=$ $36$

Compare $2^{30}$ et $10^{9}$ sans calculatrice.

Voir le corrigé détaillé

On regroupe les facteurs par paquets de dix.

$2^{30} = \left(2^{10}\right)^{3}$ règle 3
$=$ $1\,024^{3}$
$10^{9} = \left(10^{3}\right)^{3}$
$=$ $1\,000^{3}$
$1\,024 > 1\,000$ et le cube conserve l’ordre pour des nombres positifs
$\Rightarrow$ $2^{30} > 10^{9}$

Écris $D = 2^{10} \times 5^{12}$ en notation scientifique. Combien $D$ a-t-il de chiffres ?

Voir le corrigé détaillé

$D = 2^{10} \times 5^{10} \times 5^{2}$
$=$ $(2 \times 5)^{10} \times 25$ règle 4
$=$ $25 \times 10^{10}$
$=$ $2{,}5 \times 10^{11}$

$D = 250\,000\,000\,000$ : il s’écrit avec 12 chiffres.

Un ordinateur effectue $2{,}4 \times 10^{9}$ opérations par seconde. Combien en effectue-t-il en une journée ? Donne le résultat en notation scientifique.

Voir le corrigé détaillé

une journée $= 24 \times 3\,600$ secondes
$=$ $86\,400$ s
$=$ $8{,}64 \times 10^{4}$ s
$N = 2{,}4 \times 10^{9} \times 8{,}64 \times 10^{4}$
$=$ $(2{,}4 \times 8{,}64) \times 10^{13}$
$=$ $20{,}736 \times 10^{13}$
$\approx$ $2{,}07 \times 10^{14}$

Environ $2 \times 10^{14}$ opérations, soit un ordre de grandeur de $10^{14}$ .

Niveau 3 — Défi

Démontre que, pour tout entier $n$ , on a $10^{n+1} - 10^{n} = 9 \times 10^{n}$ .

Voir le corrigé détaillé

$10^{n+1} = 10^{n} \times 10^{1}$ règle 1
$=$ $10 \times 10^{n}$
$10^{n+1} - 10^{n} = 10 \times 10^{n} - 1 \times 10^{n}$
$=$ $(10 - 1) \times 10^{n}$ factorisation par $10^{n}$
$=$ $9 \times 10^{n}$ C.Q.F.D.

Par quel chiffre se termine $2^{2\,024}$ ?

Voir le corrigé détaillé

On observe le chiffre des unités des premières puissances de $2$ .

$2^{1} = 2$ ; $2^{2} = 4$ ; $2^{3} = 8$ ; $2^{4} = 16$
$2^{5} = 32$ ; $2^{6} = 64$ ; $2^{7} = 128$ ; $2^{8} = 256$
les unités se répètent selon le cycle $2,\ 4,\ 8,\ 6$ cycle de longueur $4$

Le chiffre des unités ne dépend donc que du reste de la division de l’exposant par $4$ .

$2\,024 = 4 \times 506 + 0$
reste $0$ : on est en fin de cycle
$\Rightarrow$ $2^{2\,024}$ se termine par 6

On pose $E = 4^{n} \times 25^{n}$ , où $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$ . Démontre que $E$ s’écrit avec exactement $2n + 1$ chiffres.

Voir le corrigé détaillé

$E = 4^{n} \times 25^{n}$
$=$ $(4 \times 25)^{n}$ règle 4
$=$ $100^{n}$
$=$ $\left(10^{2}\right)^{n}$
$=$ $10^{2n}$ règle 3

$E = 10^{2n}$ s’écrit avec un $1$ suivi de $2n$ zéros, soit $1 + 2n$ chiffres au total. C.Q.F.D.

Vérification pour $n = 3$ : $E = 4^{3} \times 25^{3} = 64 \times 15\,625 = 1\,000\,000$ , qui compte bien $7 = 2 \times 3 + 1$ chiffres.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le forfait internet d’Amina (Ndjamena). Amina achète un forfait de $15$ Go pour $12\,000$ F CFA. Chaque vidéo qu’elle regarde consomme $250$ Mo. On rappelle que $1$ Go $= 10^{9}$ octets et $1$ Mo $= 10^{6}$ octets.

Écris en notation scientifique la taille du forfait, puis celle d’une vidéo, en octets.
Combien de vidéos Amina peut-elle regarder avec son forfait ?
Quel est le coût d’une vidéo en francs CFA ?

Voir le corrigé détaillé

1. Conversion en octets :

$15$ Go $= 15 \times 10^{9}$ octets
$=$ $1{,}5 \times 10^{10}$ octets
$250$ Mo $= 250 \times 10^{6}$ octets
$=$ $2{,}5 \times 10^{8}$ octets

2. Nombre de vidéos :

$N = \dfrac{1{,}5 \times 10^{10}}{2{,}5 \times 10^{8}}$
$=$ $\dfrac{1{,}5}{2{,}5} \times 10^{10-8}$
$=$ $0{,}6 \times 10^{2}$
$=$ $60$

Amina peut regarder 60 vidéos.

3. Coût d’une vidéo :

$\dfrac{12\,000}{60} = 200$

Chaque vidéo lui revient à 200 F CFA.

Le club d’astronomie de Cheikh (Dakar). L’étoile Proxima du Centaure, la plus proche du Soleil, se trouve à environ $4{,}0 \times 10^{16}$ m de la Terre. La lumière parcourt $3{,}0 \times 10^{8}$ m en une seconde, et une année compte environ $3{,}15 \times 10^{7}$ secondes.

Combien de secondes la lumière de Proxima met-elle à nous parvenir ?
Convertis ce temps en années. Que représente ce nombre ?
Cheikh affirme : « Quand je regarde cette étoile, je la vois telle qu’elle était quand j’étais en CM1 ». A-t-il raison ?

Voir le corrigé détaillé

1. Durée du trajet en secondes :

$t = \dfrac{4{,}0 \times 10^{16}}{3{,}0 \times 10^{8}}$
$=$ $\dfrac{4{,}0}{3{,}0} \times 10^{16-8}$
$\approx$ $1{,}33 \times 10^{8}$ secondes

2. Conversion en années :

$n = \dfrac{1{,}33 \times 10^{8}}{3{,}15 \times 10^{7}}$
$=$ $\dfrac{1{,}33}{3{,}15} \times 10^{8-7}$
$\approx$ $0{,}42 \times 10^{1}$
$\approx$ $4{,}2$

La lumière met environ 4,2 années : on dit que Proxima est à $4{,}2$ années-lumière.

3. Un élève de 3ème était en CM1 environ $4$ ans plus tôt. La lumière observée aujourd’hui a bien quitté l’étoile il y a $4{,}2$ ans : Cheikh a raison.

Le laboratoire de Léa (Genève). Léa observe au microscope un virus dont le diamètre mesure $1{,}2 \times 10^{-7}$ m. L’épaisseur d’un cheveu est d’environ $7{,}0 \times 10^{-5}$ m.

Combien de virus faudrait-il aligner pour couvrir l’épaisseur d’un cheveu ?
Quelle longueur, en centimètres, occuperait une file de $5 \times 10^{6}$ virus alignés ?
Donne l’ordre de grandeur du diamètre du virus.

Voir le corrigé détaillé

1. On divise l’épaisseur du cheveu par le diamètre du virus.

$N = \dfrac{7{,}0 \times 10^{-5}}{1{,}2 \times 10^{-7}}$
$=$ $\dfrac{7{,}0}{1{,}2} \times 10^{-5-(-7)}$
$\approx$ $5{,}83 \times 10^{2}$
$\approx$ $583$

Il faudrait environ 583 virus pour couvrir l’épaisseur d’un cheveu.

2. Longueur de la file :

$L = 1{,}2 \times 10^{-7} \times 5 \times 10^{6}$
$=$ $(1{,}2 \times 5) \times 10^{-7+6}$
$=$ $6 \times 10^{-1}$ m
$=$ $0{,}6$ m
$=$ $60$ cm

Cinq millions de virus alignés mesureraient 60 cm, soit la largeur d’une table.

3. Ici $a = 1{,}2 < 5$ , donc l’ordre de grandeur du diamètre est $10^{-7}$ m.

Puissances et notation scientifique

Ce que tu sauras faire à la fin

1Puissances d’un nombre

1.1 Exposant entier positif

1.2 Les conventions $a^{1}$ et $a^{0}$

1.3 Exposant entier négatif

2Les cinq règles de calcul

2.1 Règle 1 — produit de deux puissances de même base

2.2 Règle 2 — quotient de deux puissances de même base

2.3 Règle 3 — puissance d’une puissance

2.4 Règle 4 — produit de deux puissances de même exposant

2.5 Règle 5 — quotient de deux puissances de même exposant

3Les puissances de 10

3.1 Les préfixes du système international

4La notation scientifique

4.1 Comparer deux nombres écrits scientifiquement

4.2 Ordre de grandeur

5Calculer sur les grandeurs

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès

Puissances et notation scientifique

Ce que tu sauras faire à la fin

1Puissances d’un nombre

1.1 Exposant entier positif

1.2 Les conventions a1a^{1}a1 et a0a^{0}a0

1.3 Exposant entier négatif

2Les cinq règles de calcul

2.1 Règle 1 — produit de deux puissances de même base

2.2 Règle 2 — quotient de deux puissances de même base

2.3 Règle 3 — puissance d’une puissance

2.4 Règle 4 — produit de deux puissances de même exposant

2.5 Règle 5 — quotient de deux puissances de même exposant

3Les puissances de 10

3.1 Les préfixes du système international

4La notation scientifique

4.1 Comparer deux nombres écrits scientifiquement

4.2 Ordre de grandeur

5Calculer sur les grandeurs

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès

1.2 Les conventions $a^{1}$ et $a^{0}$