Une expression littérale est une phrase mathématique où les lettres remplacent des nombres inconnus ou variables. Toute la puissance de l’algèbre tient en une idée : une même quantité peut s’écrire de plusieurs manières, et savoir passer d’une écriture à l’autre, c’est savoir choisir la forme qui répond à la question. Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit. Les identités remarquables sont les trois raccourcis qui rendent ces allers-retours immédiats.

1Développer et réduire

Définition

Développer une expression, c’est la transformer en une somme de termes.

Réduire une expression, c’est regrouper les termes semblables afin d’obtenir l’écriture la plus courte possible.

Factoriser une expression, c’est la transformer en un produit de facteurs.

Propriété — simple distributivité

Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

$k(a + b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a - b) = ka - kb$

Exemple — développer puis réduire

$A = 3(2x + 5)$
$=$ $3 \times 2x + 3 \times 5$
$=$ $6x + 15$

$B = -4(x - 7)$
$=$ $-4 \times x - (-4) \times 7$
$=$ $-4x + 28$ attention au signe : $-(-28) = +28$

$C = 2x(3x - 1)$
$=$ $2x \times 3x - 2x \times 1$
$=$ $6x^{2} - 2x$

Attention — le signe moins devant une parenthèse

Un signe $-$ devant une parenthèse change tous les signes à l’intérieur, pas seulement le premier.

$5x - (2x - 3) = 5x - 2x + 3$
$=$ $3x + 3$
et non $5x - 2x - 3$ erreur la plus fréquente

Réduire : On ne peut additionner que des termes semblables, c’est-à-dire de même partie littérale :

3x^{2} + 5x^{2} = 8x^{2}

, mais

3x^{2} + 5x

ne se réduit pas — pas plus que

3

mangues

+ 5

ananas.

2La double distributivité

Propriété

Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ :

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Démonstration

On applique deux fois la simple distributivité. On commence par considérer $(a+b)$ comme un bloc unique, noté $k$ .

$(a + b)(c + d) = k(c + d)$ on pose $k = a + b$
$=$ $kc + kd$ simple distributivité
$=$ $(a + b)c + (a + b)d$ on remplace $k$
$=$ $ac + bc + ad + bd$ simple distributivité, deux fois
$=$ $ac + ad + bc + bd$ on range les termes. C.Q.F.D.

Figure 1 — Chacun des quatre produits est l’aire d’un des quatre rectangles : la formule se voit.

Méthode — développer un produit de deux parenthèses

On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : cela fait toujours $2 \times 2 = 4$ produits. On réduit ensuite.

Exemple

$D = (x + 3)(x + 5)$
$=$ $x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5$
$=$ $x^{2} + 5x + 3x + 15$
$=$ $x^{2} + 8x + 15$ on réduit

$E = (2x - 1)(x + 4)$
$=$ $2x \times x + 2x \times 4 - 1 \times x - 1 \times 4$
$=$ $2x^{2} + 8x - x - 4$
$=$ $2x^{2} + 7x - 4$

3Les trois identités remarquables

Trois produits reviennent si souvent qu’il serait absurde de refaire le calcul à chaque fois. On les apprend par cœur, dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.

3.1 Le carré d’une somme

Propriété

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$

Démonstration

$(a + b)^{2} = (a + b)(a + b)$ définition du carré
$=$ $a \times a + a \times b + b \times a + b \times b$ double distributivité
$=$ $a^{2} + ab + ab + b^{2}$
$=$ $a^{2} + 2ab + b^{2}$ on réduit. C.Q.F.D.

Figure 2 — Le carré de côté

a+b

contient un carré

a^{2}

, un carré

b^{2}

et deux rectangles

ab

: c’est le fameux double produit.

Attention

L’erreur classique est d’écrire $(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ . C’est faux : il manque le double produit. Vérifie avec $a = 3$ et $b = 4$ :

$(3 + 4)^{2} = 7^{2} = 49$
$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$
$\Rightarrow$ $49 \neq 25$ il manque bien $2 \times 3 \times 4 = 24$

3.2 Le carré d’une différence

Propriété

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$

Démonstration

$(a - b)^{2} = (a - b)(a - b)$
$=$ $a \times a - a \times b - b \times a + b \times b$ double distributivité, avec $(-b) \times (-b) = +b^{2}$
$=$ $a^{2} - ab - ab + b^{2}$
$=$ $a^{2} - 2ab + b^{2}$ C.Q.F.D.

Remarque : le dernier terme est $+b^{2}$ , jamais $-b^{2}$ , puisque le carré d’un nombre est toujours positif.

Figure 3 — On retire deux bandes d’aire

ab

du carré

a^{2}

; comme le petit carré

b^{2}

a été retiré deux fois, il faut le rajouter une fois.

3.3 La différence de deux carrés

Propriété

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$

Démonstration

$(a + b)(a - b) = a \times a - a \times b + b \times a - b \times b$ double distributivité
$=$ $a^{2} - ab + ab - b^{2}$
$=$ $a^{2} - b^{2}$ les deux termes en $ab$ s’éliminent. C.Q.F.D.

Figure 4 — La surface restante après avoir retiré le carré

b^{2}

se recompose exactement en un rectangle de dimensions

a+b

a-b

Développer $\Rightarrow$	Identité	$\Leftarrow$ Factoriser
$(a+b)^{2}$	$=$	$a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(a-b)^{2}$	$=$	$a^{2} - 2ab + b^{2}$
$(a+b)(a-b)$	$=$	$a^{2} - b^{2}$

Méthode — reconnaître la bonne identité

L’expression a-t-elle deux termes ? Si ce sont deux carrés séparés par un moins, c’est $a^{2} - b^{2}$ ;
l’expression a-t-elle trois termes ? Regarde les deux termes extrêmes : sont-ils des carrés ? Si oui, note $a$ et $b$ leurs racines ;
vérifie alors que le terme du milieu vaut bien $2ab$ (au signe près) ;
le signe du terme du milieu donne l’identité : $+$ pour $(a+b)^{2}$ , $-$ pour $(a-b)^{2}$ .

Exemple — développer avec les identités

$(x + 4)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 4 + 4^{2}$ ici $a = x$ et $b = 4$
$=$ $x^{2} + 8x + 16$

$(2x - 3)^{2} = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 3 + 3^{2}$ ici $a = 2x$ et $b = 3$
$=$ $4x^{2} - 12x + 9$ ne pas oublier le carré du coefficient : $(2x)^{2} = 4x^{2}$

$(3x + 5)(3x - 5) = (3x)^{2} - 5^{2}$
$=$ $9x^{2} - 25$

4Factoriser

4.1 Par un facteur commun

Méthode — repérer le facteur commun

On cherche ce qui apparaît dans chaque terme de la somme : un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière. On l’écrit devant, et on place dans la nouvelle parenthèse ce qui reste de chaque terme.

Exemple

$F = 6x^{2} + 9x$
facteur commun : $3x$ $6x^{2} = 3x \times 2x$ et $9x = 3x \times 3$
$=$ $3x(2x + 3)$

$G = 5x(x + 2) - 3(x + 2)$
facteur commun : la parenthèse $(x + 2)$
$=$ $(x + 2)(5x - 3)$

$H = (x - 1)(x + 4) + (x - 1)^{2}$
$(x-1)^{2} = (x-1)(x-1)$ pour faire apparaître le facteur commun
$=$ $(x - 1)\left[(x + 4) + (x - 1)\right]$
$=$ $(x - 1)(2x + 3)$ on réduit le crochet

4.2 À l’aide d’une identité remarquable

Exemple — trois factorisations

$I = x^{2} - 16$
$x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2}$ deux carrés séparés par un moins
$=$ $(x + 4)(x - 4)$

$J = x^{2} + 10x + 25$
les termes extrêmes sont $x^{2}$ et $5^{2}$
le terme du milieu vaut $2 \times x \times 5 = 10x$ vérification indispensable
$=$ $(x + 5)^{2}$

$K = 9x^{2} - 12x + 4$
les termes extrêmes sont $(3x)^{2}$ et $2^{2}$
le terme du milieu vaut $-2 \times 3x \times 2 = -12x$
$=$ $(3x - 2)^{2}$

Attention

Vérifie toujours le terme du milieu avant de conclure. L’expression $x^{2} + 7x + 9$ a bien deux carrés aux extrémités, mais $2 \times x \times 3 = 6x$ et non $7x$ : ce n’est pas une identité remarquable, et elle ne se factorise pas ainsi.

Méthode — factoriser une différence de deux carrés « cachée »

Quand les deux termes sont eux-mêmes des parenthèses au carré, on pose $a$ et $b$ comme d’habitude, puis on réduit chaque facteur obtenu.

Exemple

$L = (2x + 1)^{2} - (x + 5)^{2}$
ici $a = 2x + 1$ et $b = x + 5$
$=$ $\left[(2x+1) + (x+5)\right]\left[(2x+1) - (x+5)\right]$
$=$ $(3x + 6)(x - 4)$ on réduit chaque crochet
$=$ $3(x + 2)(x - 4)$ on factorise encore par $3$

5Calcul mental et calculs astucieux

Les identités remarquables ne servent pas qu’aux lettres : elles transforment des multiplications pénibles en additions triviales, à condition de repérer un nombre rond tout proche.

Méthode — calculer de tête

On écrit chaque nombre sous la forme « nombre rond $\pm$ petit écart » — le plus souvent $100 \pm k$ ou $1\,000 \pm k$ — puis on applique l’identité adaptée.

Exemple — quatre calculs sans calculatrice

$101^{2} = (100 + 1)^{2}$
$=$ $100^{2} + 2 \times 100 \times 1 + 1^{2}$
$=$ $10\,000 + 200 + 1$
$=$ $10\,201$

$99^{2} = (100 - 1)^{2}$
$=$ $100^{2} - 2 \times 100 \times 1 + 1^{2}$
$=$ $10\,000 - 200 + 1$
$=$ $9\,801$

$99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1)$
$=$ $100^{2} - 1^{2}$
$=$ $10\,000 - 1$
$=$ $9\,999$

$102 \times 98 = (100 + 2)(100 - 2)$
$=$ $100^{2} - 2^{2}$
$=$ $10\,000 - 4$
$=$ $9\,996$

Le réflexe : Dès que tu vois deux nombres symétriques autour d’un nombre rond (

97

103

48

52

999

1\,001

), pense immédiatement à

a^{2} - b^{2}

: le calcul devient une soustraction.

Math & Co — Des rectangles avant les lettres

Les identités remarquables sont bien plus anciennes que l’algèbre. Dans les Éléments d’Euclide (vers $-300$ ), le Livre II les énonce entièrement en langage géométrique : la proposition 4 affirme que « si une droite est coupée en deux parties, le carré construit sur la droite entière est égal aux carrés sur les deux parties, plus deux fois le rectangle qu’elles forment ». C’est mot pour mot notre $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ — et c’est exactement la figure de ce chapitre.

Vers 820, à Bagdad, al-Khwârizmî écrit un traité dont le titre contient le mot al-jabr, qui donnera « algèbre » ; il y résout les équations du second degré par une méthode de « complétion du carré », toujours géométrique. Il faut attendre François Viète (1540-1603) pour que les lettres désignent à la fois les inconnues et les nombres connus : à partir de là, une identité s’écrit en une ligne au lieu d’un paragraphe.

Fiche mémo

Développer : produit $\rightarrow$ somme. Factoriser : somme $\rightarrow$ produit.
$k(a + b) = ka + kb$ .
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ : quatre produits.
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ .
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ .
$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ .
Ne jamais oublier le double produit $2ab$ .
Un signe $-$ devant une parenthèse change tous les signes.
Factoriser : chercher d’abord un facteur commun, ensuite une identité.
Trois termes : vérifier que le terme du milieu vaut bien $2ab$ .
Calcul mental : écrire les nombres sous la forme $100 \pm k$ .

Niveau 1 — Application directe

Développe et réduis : $A = 3(2x + 5)$ ; $B = -4(x - 7)$ ; $C = 2x(3x - 1)$ .

Voir le corrigé détaillé

$A = 3 \times 2x + 3 \times 5$
$=$ $6x + 15$

$B = -4 \times x + (-4) \times (-7)$
$=$ $-4x + 28$

$C = 2x \times 3x - 2x \times 1$
$=$ $6x^{2} - 2x$

Développe et réduis : $D = (x + 3)(x + 5)$ ; $E = (2x - 1)(x + 4)$ .

Voir le corrigé détaillé

$D = x^{2} + 5x + 3x + 15$
$=$ $x^{2} + 8x + 15$

$E = 2x^{2} + 8x - x - 4$
$=$ $2x^{2} + 7x - 4$

Développe à l’aide d’une identité remarquable : $(x + 4)^{2}$ ; $(x - 6)^{2}$ ; $(x + 7)(x - 7)$ .

Voir le corrigé détaillé

$(x + 4)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 4 + 16$
$=$ $x^{2} + 8x + 16$
$(x - 6)^{2} = x^{2} - 2 \times x \times 6 + 36$
$=$ $x^{2} - 12x + 36$
$(x + 7)(x - 7) = x^{2} - 7^{2}$
$=$ $x^{2} - 49$

Développe : $(2x + 3)^{2}$ ; $(5x - 1)^{2}$ ; $(3x + 4)(3x - 4)$ .

Voir le corrigé détaillé

$(2x + 3)^{2} = (2x)^{2} + 2 \times 2x \times 3 + 3^{2}$
$=$ $4x^{2} + 12x + 9$
$(5x - 1)^{2} = (5x)^{2} - 2 \times 5x \times 1 + 1^{2}$
$=$ $25x^{2} - 10x + 1$
$(3x + 4)(3x - 4) = (3x)^{2} - 4^{2}$
$=$ $9x^{2} - 16$

Factorise par un facteur commun : $F = 6x^{2} + 9x$ ; $G = 5x(x + 2) - 3(x + 2)$ ; $H = (x - 1)(x + 4) + (x - 1)^{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

$F = 3x \times 2x + 3x \times 3$
$=$ $3x(2x + 3)$
$G$ : facteur commun $(x + 2)$
$=$ $(x + 2)(5x - 3)$
$H = (x - 1)(x + 4) + (x - 1)(x - 1)$
$=$ $(x - 1)\left[(x + 4) + (x - 1)\right]$
$=$ $(x - 1)(2x + 3)$

Factorise à l’aide d’une identité : $I = x^{2} - 16$ ; $J = x^{2} + 10x + 25$ ; $K = 9x^{2} - 49$ .

Voir le corrigé détaillé

$I = x^{2} - 4^{2}$
$=$ $(x + 4)(x - 4)$
$J$ : extrêmes $x^{2}$ et $5^{2}$ , milieu $2 \times x \times 5 = 10x$
$=$ $(x + 5)^{2}$
$K = (3x)^{2} - 7^{2}$
$=$ $(3x + 7)(3x - 7)$

Calcule mentalement, en détaillant : $101^{2}$ ; $99^{2}$ ; $99 \times 101$ .

Voir le corrigé détaillé

$101^{2} = (100 + 1)^{2} = 10\,000 + 200 + 1$
$=$ $10\,201$
$99^{2} = (100 - 1)^{2} = 10\,000 - 200 + 1$
$=$ $9\,801$
$99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 10\,000 - 1$
$=$ $9\,999$

Niveau 2 — Approfondissement

Développe et réduis $A = (2x + 1)^{2} - (x - 3)(x + 3)$ .

Voir le corrigé détaillé

$(2x + 1)^{2} = 4x^{2} + 4x + 1$
$(x - 3)(x + 3) = x^{2} - 9$
$A = 4x^{2} + 4x + 1 - \left(x^{2} - 9\right)$
$=$ $4x^{2} + 4x + 1 - x^{2} + 9$ le signe moins change les deux signes
$=$ $3x^{2} + 4x + 10$

Factorise $B = 4x^{2} - 9 + (2x - 3)(x + 1)$ .

Voir le corrigé détaillé

$4x^{2} - 9 = (2x)^{2} - 3^{2}$
$=$ $(2x - 3)(2x + 3)$
$B = (2x - 3)(2x + 3) + (2x - 3)(x + 1)$
facteur commun : $(2x - 3)$
$=$ $(2x - 3)\left[(2x + 3) + (x + 1)\right]$
$=$ $(2x - 3)(3x + 4)$

Factorise $C = x^{2} + 8x + 16 - 25$ .

Voir le corrigé détaillé

On reconnaît d’abord une identité dans les trois premiers termes.

$x^{2} + 8x + 16 = (x + 4)^{2}$ car $2 \times x \times 4 = 8x$
$C = (x + 4)^{2} - 5^{2}$
$=$ $\left[(x + 4) + 5\right]\left[(x + 4) - 5\right]$
$=$ $(x + 9)(x - 1)$

Calcule astucieusement $D = 1\,001^{2} - 999^{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

$D = (1\,001 + 999)(1\,001 - 999)$ identité $a^{2} - b^{2}$
$=$ $2\,000 \times 2$
$=$ $4\,000$

Soit $n$ un entier. Démontre que $(n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1$ . Quelle propriété des nombres impairs cela traduit-il ?

Voir le corrigé détaillé

$(n + 1)^{2} = n^{2} + 2n + 1$ identité du carré d’une somme
$(n + 1)^{2} - n^{2} = n^{2} + 2n + 1 - n^{2}$
$=$ $2n + 1$ C.Q.F.D.

L’écart entre deux carrés consécutifs est toujours un nombre impair : $1, 4, 9, 16, 25 \dots$ progressent de $3$ , $5$ , $7$ , $9 \dots$ Autrement dit, la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^{2}$ .

Niveau 3 — Défi

Démontre que, pour tous nombres $a$ et $b$ , on a $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4ab$ . Utilise ce résultat pour calculer mentalement $53^{2} - 47^{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
$(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = \left(a^{2} + 2ab + b^{2}\right) - \left(a^{2} - 2ab + b^{2}\right)$
$=$ $a^{2} + 2ab + b^{2} - a^{2} + 2ab - b^{2}$
$=$ $4ab$ C.Q.F.D.

On applique avec $a = 50$ et $b = 3$ , car $53 = 50 + 3$ et $47 = 50 - 3$ .

$53^{2} - 47^{2} = (50 + 3)^{2} - (50 - 3)^{2}$
$=$ $4 \times 50 \times 3$
$=$ $600$

Soit $n$ un entier. Démontre que $n(n + 2) + 1$ est toujours le carré d’un entier. Déduis-en la valeur exacte de $\sqrt{2\,024 \times 2\,026 + 1}$ .

Voir le corrigé détaillé

$n(n + 2) + 1 = n^{2} + 2n + 1$ développement
$n^{2} + 2n + 1 = n^{2} + 2 \times n \times 1 + 1^{2}$
$=$ $(n + 1)^{2}$ identité du carré d’une somme

Comme $n + 1$ est un entier, $n(n+2) + 1$ est bien le carré d’un entier. C.Q.F.D.

Ici $2\,026 = 2\,024 + 2$ : on applique le résultat avec $n = 2\,024$ .

$2\,024 \times 2\,026 + 1 = (2\,024 + 1)^{2}$
$=$ $2\,025^{2}$
$\Rightarrow$ $\sqrt{2\,024 \times 2\,026 + 1} = 2\,025$ car $2\,025 > 0$

Factorise complètement $E = (3x - 1)^{2} - (x + 5)^{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

On reconnaît une différence de deux carrés, avec $a = 3x - 1$ et $b = x + 5$ .

$E = \left[(3x - 1) + (x + 5)\right]\left[(3x - 1) - (x + 5)\right]$
$=$ $(3x - 1 + x + 5)(3x - 1 - x - 5)$ attention au signe moins devant la parenthèse
$=$ $(4x + 4)(2x - 6)$
$=$ $4(x + 1) \times 2(x - 3)$ chaque facteur se factorise encore
$=$ $8(x + 1)(x - 3)$

Vérification pour $x = 0$ : $E = (-1)^{2} - 5^{2} = -24$ , et $8 \times 1 \times (-3) = -24$ . Cohérent.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La parcelle de Nadège (Yaoundé). Nadège possède une parcelle carrée de côté $x$ mètres. Elle rachète une bande de terrain qui lui permet d’allonger sa parcelle de $4$ m en longueur et de $4$ m en largeur : la parcelle reste carrée.

Exprime en fonction de $x$ l’aire de la nouvelle parcelle, sous forme développée et réduite.
Exprime l’aire gagnée par Nadège.
La parcelle initiale mesurait $12$ m de côté. Calcule l’aire gagnée.
Nadège affirme : « en agrandissant de 4 m, j’ai gagné $16$ m² ». A-t-elle raison ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le nouveau côté mesure $x + 4$ mètres.

$\mathcal{A} = (x + 4)^{2}$
$=$ $x^{2} + 2 \times x \times 4 + 4^{2}$ identité du carré d’une somme
$=$ $x^{2} + 8x + 16$

2. L’aire gagnée est la différence entre la nouvelle aire et l’ancienne.

$g = (x + 4)^{2} - x^{2}$
$=$ $x^{2} + 8x + 16 - x^{2}$
$=$ $8x + 16$
$=$ $8(x + 2)$ forme factorisée, plus commode à calculer

3. Pour $x = 12$ :

$g = 8 \times (12 + 2)$
$=$ $8 \times 14$
$=$ $112$ m²

4. Nadège a tort. Les $16$ m² qu’elle cite ne sont que le petit carré du coin ( $4 \times 4$ ) ; elle oublie les deux bandes de $4$ m sur $12$ m, soit $2 \times 48 = 96$ m². Le total est bien $96 + 16 = 112$ m². C’est précisément le double produit $2ab$ de l’identité remarquable.

La terrasse de Lucas (Bruxelles). Lucas dispose d’une cour carrée de $10$ m de côté. Il fait poser une bordure de dalles de largeur $b$ mètres tout autour de la cour, à l’intérieur ; la partie centrale, elle aussi carrée, reste engazonnée.

Exprime le côté de la partie engazonnée en fonction de $b$ .
Exprime l’aire de la bordure dallée, puis factorise cette expression.
Calcule cette aire pour $b = 1$ m.
Les dalles coûtent $45$ euros le mètre carré. Quel est le budget pour $b = 1$ m ?

Voir le corrigé détaillé

1. La bordure retire $b$ mètres de chaque côté, donc $2b$ au total sur chaque dimension.

côté engazonné $= 10 - 2b$ mètres

2. L’aire dallée est la différence des deux carrés.

$\mathcal{A} = 10^{2} - (10 - 2b)^{2}$
$(10 - 2b)^{2} = 100 - 2 \times 10 \times 2b + (2b)^{2}$
$=$ $100 - 40b + 4b^{2}$
$\mathcal{A} = 100 - \left(100 - 40b + 4b^{2}\right)$
$=$ $40b - 4b^{2}$
$=$ $4b(10 - b)$ factorisation par $4b$

3. Pour $b = 1$ :

$\mathcal{A} = 4 \times 1 \times (10 - 1)$
$=$ $4 \times 9$
$=$ $36$ m²

Vérification directe : $100 - 8^{2} = 100 - 64 = 36$ m². Cohérent.

4. Budget :

$36 \times 45 = 1\,620$

Lucas doit prévoir 1 620 euros de dalles.

Le comptoir d’Awa (Ndjamena). Awa vend des pagnes au marché. Un client lui achète $102$ pagnes à $98$ F CFA l’unité ; un autre lui achète $97$ sachets de thé à $103$ F CFA l’unité. Awa n’a pas de calculatrice.

Montre-lui comment calculer $102 \times 98$ de tête.
Fais de même pour $97 \times 103$ .
Quelle est la recette totale des deux ventes ?
Awa remarque que ses deux produits sont proches de $10\,000$ sans jamais l’atteindre. Explique pourquoi c’est toujours le cas.

Voir le corrigé détaillé

1. Les deux nombres sont symétriques autour de $100$ : c’est le signal de l’identité $a^{2} - b^{2}$ .

$102 \times 98 = (100 + 2)(100 - 2)$
$=$ $100^{2} - 2^{2}$
$=$ $10\,000 - 4$
$=$ $9\,996$ F CFA

2. Même méthode, avec un écart de $3$ :

$97 \times 103 = (100 - 3)(100 + 3)$
$=$ $100^{2} - 3^{2}$
$=$ $10\,000 - 9$
$=$ $9\,991$ F CFA

3. Recette totale :

$9\,996 + 9\,991 = 19\,987$

Awa encaisse 19 987 F CFA.

4. Pour un écart $k$ non nul autour de $100$ , le produit vaut $(100 - k)(100 + k) = 10\,000 - k^{2}$ .

$k \neq 0$
$\Rightarrow$ $k^{2} > 0$
$\Rightarrow$ $10\,000 - k^{2} < 10\,000$

Le produit est donc toujours strictement inférieur à $10\,000$ , et il s’en écarte d’exactement $k^{2}$ . Parmi tous les couples de nombres de somme $200$ , c’est $100 \times 100$ qui donne le plus grand produit.

Calcul littéral et identités remarquables

Ce que tu sauras faire à la fin

1Développer et réduire

2La double distributivité

3Les trois identités remarquables

3.1 Le carré d’une somme

3.2 Le carré d’une différence

3.3 La différence de deux carrés

4Factoriser

4.1 Par un facteur commun

4.2 À l’aide d’une identité remarquable

5Calcul mental et calculs astucieux

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès