Jusqu’ici, tu savais élever un nombre au carré : de $3$ tu passais à $9$ . La racine carrée fait le chemin inverse : de $9$ elle ramène à $3$ . Cela paraît anodin, mais ce petit signe $\sqrt{\phantom{x}}$ a fait basculer les mathématiques il y a vingt-cinq siècles : il a obligé les Grecs à admettre l’existence de nombres qui ne sont aucune fraction. Et il est indispensable dès que tu utilises le théorème de Pythagore.

1Définition et carrés parfaits

Définition

Soit $a$ un nombre positif ou nul. La racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est l’unique nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$ .

$\sqrt{a} = b \iff \left\{ b \geqslant 0 \text{ et } b^{2} = a \right\}$

Le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ s’appelle le radical, et le nombre $a$ placé dessous s’appelle le radicande.

Deux mots de cette définition sont essentiels. Positif : $\sqrt{9}$ vaut $3$ et jamais $-3$ , même si $(-3)^{2} = 9$ . Unique : il n’y a qu’une seule réponse possible, ce qui autorise à écrire $\sqrt{9} = 3$ avec un signe égal.

Attention

La racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas. En effet, le carré de n’importe quel nombre est positif ou nul : aucun nombre ne peut avoir un carré égal à $-4$ . L’écriture $\sqrt{-4}$ n’a donc aucun sens en 3ème.

1.1 Les carrés parfaits

Un carré parfait est le carré d’un entier. Sa racine carrée tombe juste. Apprends ce tableau par cœur : il te fera gagner un temps considérable.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$n^{2}$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$	$169$	$196$	$225$

Exemple — racines qui tombent juste

$\sqrt{144} = 12$ car $12^{2} = 144$ et $12 \geqslant 0$
$\sqrt{0} = 0$
$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ car $0{,}5^{2} = 0{,}25$
$\sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4}$ car $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2} = \dfrac{9}{16}$

1.2 Encadrer une racine carrée

Méthode — encadrer

\sqrt{a}

entre deux entiers

On cherche les deux carrés parfaits qui encadrent $a$ . Comme la fonction « élever au carré » conserve l’ordre des nombres positifs, l’encadrement se transmet aux racines.

Exemple — encadrer

\sqrt{30}

$25 < 30 < 36$
$\sqrt{25} < \sqrt{30} < \sqrt{36}$ la racine carrée conserve l’ordre
$\Rightarrow$ $5 < \sqrt{30} < 6$

Figure 1 — La diagonale du carré de côté

1

mesure

\sqrt{2}

: un simple compas suffit à construire ce nombre sur la droite graduée, alors qu’aucune fraction ne lui est égale.

Figure 2 — Les racines carrées sont des nombres comme les autres : elles ont leur place précise sur la droite graduée, entre les entiers.

Important : La calculatrice affiche

\sqrt{2} \approx 1{,}414\,213\,562

. C’est une valeur approchée : le développement décimal de

\sqrt{2}

est infini et sans période. On écrit donc

\sqrt{2}

dans les calculs, et l’on ne passe à la valeur approchée qu’à la toute dernière ligne.

2Les deux formules fondamentales

Propriété

Pour tout nombre $a$ positif ou nul :

$\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$

Pour tout nombre $a$ , positif ou négatif :

$\sqrt{a^{2}} = |a|$

Démonstration

Première formule. Par définition, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ . Élever $\sqrt{a}$ au carré redonne donc $a$ : c’est exactement l’énoncé de la définition.

Seconde formule. Le nombre $\sqrt{a^{2}}$ est, par définition, le nombre positif dont le carré vaut $a^{2}$ . Deux cas se présentent.

si $a \geqslant 0$ : $a$ est positif et $a^{2} = a^{2}$
$\Rightarrow$ $\sqrt{a^{2}} = a$
si $a < 0$ : $-a$ est positif et $(-a)^{2} = a^{2}$
$\Rightarrow$ $\sqrt{a^{2}} = -a$

Or, le nombre qui vaut $a$ quand $a \geqslant 0$ et $-a$ quand $a < 0$ est précisément la valeur absolue $|a|$ .

D’où $\sqrt{a^{2}} = |a|$ dans tous les cas. C.Q.F.D.

Attention — le piège du signe

Écrire $\sqrt{a^{2}} = a$ est faux dès que $a$ est négatif. Regarde :

$\sqrt{(-7)^{2}} = \sqrt{49}$
$=$ $7$ et non $-7$ : une racine carrée est toujours positive
$|-7| = 7$ la formule $\sqrt{a^{2}} = |a|$ est bien vérifiée

Retiens la phrase : la racine carrée efface le signe.

Exemple

$\left(\sqrt{11}\right)^{2} = 11$
$\sqrt{5^{2}} = |5|$
$=$ $5$
$\sqrt{(-3)^{2}} = |-3|$
$=$ $3$

3Racine carrée d’un produit et d’un quotient

Propriété — racine d’un produit

Pour tous nombres $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ :

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$

Démonstration

On pose $x = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et on vérifie que $x$ possède les deux caractéristiques de $\sqrt{ab}$ : être positif, et avoir $ab$ pour carré.

$\sqrt{a} \geqslant 0$ et $\sqrt{b} \geqslant 0$ définition de la racine carrée
$\Rightarrow$ $x \geqslant 0$ un produit de deux nombres positifs est positif
$x^{2} = \left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^{2}$
$=$ $\left(\sqrt{a}\right)^{2} \times \left(\sqrt{b}\right)^{2}$ règle 4 des puissances
$=$ $a \times b$ première formule fondamentale

Ainsi $x$ est le nombre positif dont le carré vaut $ab$ . Or ce nombre est unique et se note $\sqrt{ab}$ .

D’où $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ . C.Q.F.D.

Propriété — racine d’un quotient

Pour tous nombres $a \geqslant 0$ et $b > 0$ :

$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Démonstration

Même stratégie : on pose $y = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

$\sqrt{a} \geqslant 0$ et $\sqrt{b} > 0$ car $b > 0$
$\Rightarrow$ $y \geqslant 0$
$y^{2} = \left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^{2}$
$=$ $\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^{2}}{\left(\sqrt{b}\right)^{2}}$ règle 5 des puissances
$=$ $\dfrac{a}{b}$

$y$ est donc le nombre positif dont le carré vaut $\dfrac{a}{b}$ , c’est-à-dire $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ . C.Q.F.D.

Exemple

$\sqrt{4 \times 25} = \sqrt{4} \times \sqrt{25}$
$=$ $2 \times 5$
$=$ $10$
$\sqrt{\dfrac{49}{9}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}$
$=$ $\dfrac{7}{3}$

Attention — il n’y a pas de règle pour la somme

En général :

$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Un seul contre-exemple suffit à le prouver. Prenons $a = 9$ et $b = 16$ .

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$
$=$ $5$
$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4$
$=$ $7$
$\Rightarrow$ $5 \neq 7$ les deux écritures ne sont pas égales

De la même façon, $\sqrt{a - b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$ . Le radical se distribue sur les produits et les quotients, jamais sur les sommes.

Figure 3 — Le triangle rectangle de côtés

3

4

le montre géométriquement : l’hypoténuse mesure

5

, et non

7

4Simplifier, réduire, rendre le dénominateur entier

4.1 Simplifier un radical

Méthode — sortir un carré parfait du radical

Chercher le plus grand carré parfait qui divise le radicande ;
écrire le radicande comme un produit : carré parfait $\times$ reste ;
appliquer $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ et sortir la racine du carré parfait.

Exemple — simplifier

\sqrt{50}

\sqrt{72}

\sqrt{300}

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2}$ $25$ est le plus grand carré parfait divisant $50$
$=$ $\sqrt{25} \times \sqrt{2}$
$=$ $5\sqrt{2}$

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}$
$=$ $\sqrt{36} \times \sqrt{2}$
$=$ $6\sqrt{2}$

$\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3}$
$=$ $\sqrt{100} \times \sqrt{3}$
$=$ $10\sqrt{3}$

Astuce : Si tu ne vois pas le plus grand carré parfait, décompose le radicande en facteurs premiers :

72 = 2^{3} \times 3^{2}

, et chaque facteur d’exposant pair sort du radical. Ici

3^{2}

2^{2}

sortent, il reste un

2

\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}

4.2 Réduire une somme de radicaux

On ne peut additionner deux radicaux que s’ils ont le même radicande. Ils se comportent alors exactement comme des « $x$ » en calcul littéral : $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ , comme $3x + 5x = 8x$ .

Méthode — réduire une somme

On simplifie d’abord chaque radical, ce qui fait souvent apparaître un radicande commun ; on regroupe ensuite les termes semblables.

Exemple — réduire

A = \sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{50}

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
$A = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2}$
$=$ $(2 + 3 - 5)\sqrt{2}$ on factorise par $\sqrt{2}$
$=$ $0$

4.3 Écrire un quotient avec un dénominateur entier

Une fraction dont le dénominateur contient un radical est difficile à évaluer mentalement. On préfère faire disparaître le radical du dénominateur : on dit qu’on rend le dénominateur rationnel.

Méthode — rendre le dénominateur entier

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le radical qui gêne, puis on utilise $\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$ .

Exemple

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
$=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$
$=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$
$=$ $\dfrac{10\sqrt{5}}{5}$
$=$ $2\sqrt{5}$

Pourquoi c’est utile :

\dfrac{1}{\sqrt{3}}

demande une division par

1{,}732\dots

, ce qui est pénible ;

\dfrac{\sqrt{3}}{3}

demande une division par

3

, ce que tu fais de tête. Les deux écritures désignent pourtant le même nombre, environ

0{,}577

5Les équations du type $x^{2} = a$

Théorème

Soit $a$ un nombre. L’équation $x^{2} = a$ admet :

si $a > 0$ : deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ;
si $a = 0$ : une seule solution, $0$ ;
si $a < 0$ : aucune solution.

Démonstration

Cas $a < 0$ . Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul, donc $x^{2}$ ne peut jamais valoir un nombre strictement négatif : il n’y a aucune solution.

Cas $a = 0$ . Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul ; ici $x \times x = 0$ impose $x = 0$ .

Cas $a > 0$ . On ramène tout dans le membre de gauche.

$x^{2} = a$
$\iff$ $x^{2} - a = 0$
$\iff$ $x^{2} - \left(\sqrt{a}\right)^{2} = 0$ car $a = \left(\sqrt{a}\right)^{2}$
$\iff$ $\left(x - \sqrt{a}\right)\left(x + \sqrt{a}\right) = 0$ identité remarquable, voir le chapitre suivant
$\iff$ $x - \sqrt{a} = 0$ ou $x + \sqrt{a} = 0$ un produit est nul si l’un des facteurs est nul
$\iff$ $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$ C.Q.F.D.

Attention

Ne confonds pas les deux écritures : $\sqrt{25}$ est un nombre, il vaut $5$ ; l’équation $x^{2} = 25$ est une question, et elle a deux réponses, $5$ et $-5$ . Oublier la solution négative est l’erreur la plus fréquente du brevet.

Exemple — trois équations

$x^{2} = 49$
$\iff$ $x = 7$ ou $x = -7$
$x^{2} = 5$
$\iff$ $x = \sqrt{5}$ ou $x = -\sqrt{5}$ valeurs exactes, environ $2{,}24$ et $-2{,}24$
$x^{2} = -9$
$\Rightarrow$ aucune solution

Exemple — une équation un peu déguisée

$(x - 3)^{2} = 16$
$\iff$ $x - 3 = 4$ ou $x - 3 = -4$
$\iff$ $x = 7$ ou $x = -1$

En géométrie : Quand tu appliques le théorème de Pythagore, la longueur cherchée est positive : tu ne gardes alors que la solution positive. C’est le contexte, pas l’équation, qui écarte la solution négative.

Math & Co — Le scandale de la diagonale

Au VIe siècle avant notre ère, l’école fondée par Pythagore à Crotone, dans le sud de l’Italie, professe que « tout est nombre » : selon les Pythagoriciens, deux longueurs quelconques sont toujours dans un rapport de nombres entiers. Toute la musique, toute l’astronomie et toute la géométrie de l’école reposent sur cette conviction.

Or, en appliquant leur propre théorème au carré de côté $1$ , ils tombent sur la diagonale $\sqrt{2}$ — et démontrent qu’aucune fraction $\dfrac{p}{q}$ ne peut lui être égale. On dit que le côté et la diagonale du carré sont incommensurables. La tradition antique attribue cette découverte à Hippase de Métaponte et raconte, sans qu’on puisse le vérifier, qu’il l’aurait payée de sa vie pour avoir divulgué le secret.

Le choc fut durable : il fallut attendre le Livre X des Éléments d’Euclide, vers $-300$ , pour que ces nombres « irrationnels » reçoivent une théorie complète. Aujourd’hui encore, $\sqrt{2}$ est le plus célèbre exemple de nombre irrationnel.

Fiche mémo

$\sqrt{a}$ n’existe que pour $a \geqslant 0$ , et $\sqrt{a} \geqslant 0$ toujours.
$\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$ pour $a \geqslant 0$ .
$\sqrt{a^{2}} = |a|$ : la racine efface le signe.
$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .
Aucune règle pour $\sqrt{a + b}$ : $\sqrt{9+16} = 5$ alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 7$ .
Simplifier : sortir le plus grand carré parfait, comme $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .
Réduire : on n’additionne que des radicaux de même radicande.
Dénominateur entier : multiplier haut et bas par le radical, $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .
$x^{2} = a$ : deux solutions si $a > 0$ , une si $a = 0$ , aucune si $a < 0$ .

Niveau 1 — Application directe

Calcule sans calculatrice : $\sqrt{49}$ ; $\sqrt{121}$ ; $\sqrt{0{,}25}$ ; $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$ ; $\sqrt{10\,000}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\sqrt{49} = 7$ car $7^{2} = 49$
$\sqrt{121} = 11$
$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ car $0{,}5^{2} = 0{,}25$
$\sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$
$=$ $\dfrac{3}{4}$
$\sqrt{10\,000} = 100$

Simplifie : $\sqrt{18}$ ; $\sqrt{48}$ ; $\sqrt{75}$ ; $\sqrt{200}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}$

Calcule : $\left(\sqrt{7}\right)^{2}$ ; $\sqrt{(-5)^{2}}$ ; $\sqrt{11^{2}}$ ; $\left(2\sqrt{3}\right)^{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\left(\sqrt{7}\right)^{2} = 7$
$\sqrt{(-5)^{2}} = |-5|$
$=$ $5$ attention : le résultat est positif
$\sqrt{11^{2}} = |11|$
$=$ $11$
$\left(2\sqrt{3}\right)^{2} = 2^{2} \times \left(\sqrt{3}\right)^{2}$
$=$ $4 \times 3$
$=$ $12$

Réduis : $B = 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$ et $C = \sqrt{12} + \sqrt{27}$ .

Voir le corrigé détaillé

$B = (5 + 2 - 1)\sqrt{3}$
$=$ $6\sqrt{3}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
$C = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$
$=$ $5\sqrt{3}$

Écris avec un dénominateur entier : $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ; $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ ; $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3}$
$=$ $2\sqrt{3}$

$\dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5}$
$=$ $2\sqrt{5}$

Résous : $x^{2} = 81$ ; $x^{2} = 7$ ; $x^{2} = -9$ ; $x^{2} = 0$ .

Voir le corrigé détaillé

$x^{2} = 81$
$\iff$ $x = 9$ ou $x = -9$
$x^{2} = 7$
$\iff$ $x = \sqrt{7}$ ou $x = -\sqrt{7}$
$x^{2} = -9$
$\Rightarrow$ aucune solution, car un carré est positif
$x^{2} = 0$
$\iff$ $x = 0$

Encadre $\sqrt{55}$ entre deux entiers consécutifs, en justifiant.

Voir le corrigé détaillé

$49 < 55 < 64$
$\sqrt{49} < \sqrt{55} < \sqrt{64}$ la racine carrée conserve l’ordre
$\Rightarrow$ $7 < \sqrt{55} < 8$

Niveau 2 — Approfondissement

Réduis $A = \sqrt{50} - 3\sqrt{8} + \sqrt{32}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ donc $3\sqrt{8} = 6\sqrt{2}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$A = 5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$
$=$ $(5 - 6 + 4)\sqrt{2}$
$=$ $3\sqrt{2}$

Développe $B = \left(2\sqrt{3} + 1\right)^{2}$ et donne le résultat sous la forme $p + q\sqrt{3}$ .

Voir le corrigé détaillé

$B = \left(2\sqrt{3}\right)^{2} + 2 \times 2\sqrt{3} \times 1 + 1^{2}$
$=$ $4 \times 3 + 4\sqrt{3} + 1$
$=$ $12 + 4\sqrt{3} + 1$
$=$ $13 + 4\sqrt{3}$

Calcule $C = \left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)$ . Que remarques-tu ?

Voir le corrigé détaillé

$C = \left(\sqrt{5}\right)^{2} - \left(\sqrt{2}\right)^{2}$ identité $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$
$=$ $5 - 2$
$=$ $3$

Le produit de deux nombres contenant des radicaux est ici un entier : les radicaux se sont éliminés. C’est exactement l’astuce qui permet de rendre rationnel un dénominateur du type $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ .

Calcule $D = \sqrt{2} \times \sqrt{8} + \sqrt{3} \times \sqrt{27}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8}$ racine d’un produit
$=$ $\sqrt{16}$
$=$ $4$
$\sqrt{3} \times \sqrt{27} = \sqrt{81}$
$=$ $9$
$D = 4 + 9$
$=$ $13$

Écris $E = \sqrt{\dfrac{45}{49}}$ sous la forme $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ , avec $b$ le plus petit possible.

Voir le corrigé détaillé

$E = \dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{49}}$ racine d’un quotient
$=$ $\dfrac{\sqrt{45}}{7}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$
$\Rightarrow$ $E = \dfrac{3\sqrt{5}}{7}$

Un carré a pour aire $18$ cm². Détermine la valeur exacte de son côté, puis celle de son périmètre.

Voir le corrigé détaillé

On note $c$ le côté, exprimé en centimètres. Une longueur est positive.

$c^{2} = 18$
$\iff$ $c = \sqrt{18}$ ou $c = -\sqrt{18}$
or $c > 0$ c’est une longueur
$\Rightarrow$ $c = \sqrt{18}$
$=$ $3\sqrt{2}$ cm

$P = 4c$
$=$ $4 \times 3\sqrt{2}$
$=$ $12\sqrt{2}$ cm
$\approx$ $17{,}0$ cm

Niveau 3 — Défi

Écris $F = \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2}$ sans radical au dénominateur.

Voir le corrigé détaillé

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{5} + 2$ , afin de faire apparaître l’identité $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$ .

$F = \dfrac{1 \times \left(\sqrt{5} + 2\right)}{\left(\sqrt{5} - 2\right)\left(\sqrt{5} + 2\right)}$
$\left(\sqrt{5} - 2\right)\left(\sqrt{5} + 2\right) = \left(\sqrt{5}\right)^{2} - 2^{2}$
$=$ $5 - 4$
$=$ $1$
$\Rightarrow$ $F = \sqrt{5} + 2$

Vérification numérique : $\sqrt{5} \approx 2{,}236$ , donc $F \approx 4{,}236$ , et $\dfrac{1}{2{,}236 - 2} \approx 4{,}24$ . Cohérent.

Développe $\left(1 + \sqrt{2}\right)^{2}$ , puis déduis-en la valeur exacte de $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\left(1 + \sqrt{2}\right)^{2} = 1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^{2}$
$=$ $1 + 2\sqrt{2} + 2$
$=$ $3 + 2\sqrt{2}$

Le nombre $1 + \sqrt{2}$ est positif et son carré vaut $3 + 2\sqrt{2}$ : il est donc, par définition, la racine carrée de $3 + 2\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$
$\approx$ $2{,}414$

Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs. Démontre que $\sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , et précise dans quel cas il y a égalité.

Voir le corrigé détaillé

Les deux membres sont positifs : il suffit donc de comparer leurs carrés.

$\left(\sqrt{a + b}\right)^{2} = a + b$
$\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^{2} = \left(\sqrt{a}\right)^{2} + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + \left(\sqrt{b}\right)^{2}$
$=$ $a + b + 2\sqrt{ab}$
$2\sqrt{ab} \geqslant 0$ car $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$
$\Rightarrow$ $a + b \leqslant a + b + 2\sqrt{ab}$
$\Rightarrow$ $\left(\sqrt{a+b}\right)^{2} \leqslant \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^{2}$
$\Rightarrow$ $\sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b}$ deux nombres positifs sont rangés comme leurs carrés

L’égalité a lieu exactement quand $2\sqrt{ab} = 0$ , c’est-à-dire quand $a = 0$ ou $b = 0$ . Dès que les deux nombres sont strictement positifs, l’inégalité est stricte : c’est ce que montrait le contre-exemple $9$ et $16$ . C.Q.F.D.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le champ d’Aya (Abidjan). Aya possède un champ carré d’aire $2\,000$ m², à Abidjan. Elle veut l’entourer entièrement d’un grillage vendu $3\,500$ F CFA le mètre.

Donne la valeur exacte du côté du champ, sous la forme $a\sqrt{b}$ .
Donne une valeur approchée du côté au décimètre près.
Calcule la longueur de grillage nécessaire, puis le coût, arrondi au millier de francs.

Voir le corrigé détaillé

1. On note $c$ le côté en mètres. Une longueur est positive.

$c^{2} = 2\,000$
$\Rightarrow$ $c = \sqrt{2\,000}$ on écarte la solution négative
$2\,000 = 400 \times 5$
$\sqrt{2\,000} = \sqrt{400} \times \sqrt{5}$
$=$ $20\sqrt{5}$ m

2. Valeur approchée :

$\sqrt{5} \approx 2{,}236$
$c \approx 20 \times 2{,}236$
$\approx$ $44{,}7$ m

3. Le périmètre est le quadruple du côté.

$P = 4 \times 20\sqrt{5}$
$=$ $80\sqrt{5}$ m
$\approx$ $178{,}9$ m
coût $\approx 178{,}9 \times 3\,500$
$\approx$ $626\,000$ F CFA

Il faut prévoir environ 179 m de grillage, pour un coût d’environ 626 000 F CFA.

L’échelle de Noémie (Bruxelles). Noémie appuie une échelle de $5$ m contre le mur de sa maison. Pour qu’elle soit stable, le pied de l’échelle doit être placé à $1{,}4$ m du mur. Le mur est vertical et le sol horizontal.

Fais un schéma et repère le triangle rectangle.
Calcule la hauteur exacte atteinte par le haut de l’échelle.
Noémie doit atteindre une gouttière située à $4{,}9$ m du sol. Y parvient-elle ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle : l’angle droit est au pied du mur, et l’échelle en est l’hypoténuse.

2. On note $h$ la hauteur atteinte, en mètres. D’après le théorème de Pythagore :

$h^{2} + 1{,}4^{2} = 5^{2}$
$h^{2} + 1{,}96 = 25$
$\iff$ $h^{2} = 25 - 1{,}96$
$\iff$ $h^{2} = 23{,}04$
$\Rightarrow$ $h = \sqrt{23{,}04}$ une hauteur est positive
$=$ $4{,}8$ mcar $4{,}8^{2} = 23{,}04$

L’échelle atteint exactement 4,8 m.

3. Comparaison :

$4{,}8 < 4{,}9$
$\Rightarrow$ Noémie n’atteint pas la gouttière

Il lui manque $10$ cm : elle devra rapprocher légèrement le pied de l’échelle du mur, ou emprunter une échelle plus longue.

La photocopieuse d’Amina (Yaoundé). Les feuilles de la série A ont toutes la même particularité : le rapport de la longueur à la largeur vaut exactement $\sqrt{2}$ . Une feuille A4 mesure $21$ cm sur $29{,}7$ cm ; en la coupant en deux dans le sens de la longueur, on obtient deux feuilles A5, et deux feuilles A4 mises côte à côte forment une feuille A3.

Vérifie que $\dfrac{29{,}7}{21}$ vaut environ $\sqrt{2}$ .
Amina agrandit un document A4 en A3. L’aire est doublée : par quel nombre chaque longueur est-elle multipliée ?
La photocopieuse propose un taux d’agrandissement en pourcentage. Lequel doit choisir Amina ?

Voir le corrigé détaillé

1. Calcul du rapport :

$\dfrac{29{,}7}{21} \approx 1{,}414$
$\sqrt{2} \approx 1{,}414$
$\Rightarrow$ le rapport est bien environ $\sqrt{2}$

2. On note $k$ le coefficient appliqué aux longueurs. Quand toutes les longueurs sont multipliées par $k$ , l’aire est multipliée par $k^{2}$ .

$k^{2} = 2$
$\Rightarrow$ $k = \sqrt{2}$ un coefficient d’agrandissement est positif
$\approx$ $1{,}414$

3. Un coefficient de $1{,}414$ correspond à un agrandissement de :

$1{,}414 \times 100 = 141{,}4$
$\Rightarrow$ taux d’environ $141$ pour cent

Amina doit choisir le bouton 141 pour cent : c’est bien celui que proposent toutes les photocopieuses pour passer du A4 au A3. Le nombre $\sqrt{2}$ est donc imprimé sur chaque machine de bureau du monde.

Racines carrées

Ce que tu sauras faire à la fin

1Définition et carrés parfaits

1.1 Les carrés parfaits

1.2 Encadrer une racine carrée

2Les deux formules fondamentales

3Racine carrée d’un produit et d’un quotient

4Simplifier, réduire, rendre le dénominateur entier

4.1 Simplifier un radical

4.2 Réduire une somme de radicaux

4.3 Écrire un quotient avec un dénominateur entier

5Les équations du type $x^{2} = a$

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès

Racines carrées

Ce que tu sauras faire à la fin

1Définition et carrés parfaits

1.1 Les carrés parfaits

1.2 Encadrer une racine carrée

2Les deux formules fondamentales

3Racine carrée d’un produit et d’un quotient

4Simplifier, réduire, rendre le dénominateur entier

4.1 Simplifier un radical

4.2 Réduire une somme de radicaux

4.3 Écrire un quotient avec un dénominateur entier

5Les équations du type x2=ax^{2} = ax2=a

Fiche mémo

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Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès

5Les équations du type $x^{2} = a$