Jusqu’ici, tu as surtout manipulé des nombres fixes : $7$ , $\dfrac{3}{4}$ , $\sqrt{2}$ . Cette année, tu changes de point de vue : tu vas étudier des liens entre deux grandeurs qui varient ensemble. Le prix d’un plein d’essence dépend du nombre de litres, l’aire d’un carré dépend de son côté, le tarif d’un taxi dépend de la distance parcourue. Chaque fois, une grandeur en commande une autre : c’est exactement cela, une fonction. C’est sans doute la notion la plus importante de toute ta scolarité en mathématiques, car elle te suivra jusqu’au baccalauréat et bien au-delà.

1Qu’est-ce qu’une fonction ?

1.1 Une machine à transformer les nombres

Imagine une machine dans laquelle tu fais entrer un nombre. La machine le transforme selon une règle toujours identique, puis elle recrache un résultat. Si tu fais entrer le même nombre deux fois, tu obtiens forcément deux fois le même résultat : la machine ne fait jamais de caprice.

Figure 1 — Le nombre entre à gauche, la règle s’applique, le résultat sort à droite. Une entrée, une seule sortie.

Définition

Définir une fonction $f$ , c’est se donner un procédé qui, à chaque nombre $x$ choisi, associe un seul nombre.

Ce nombre unique s’appelle l’image de $x$ par $f$ , et on le note $f(x)$ , qui se lit « $f$ de $x$ ».

Attention

Le mot important de la définition est un seul. Un procédé qui donnerait deux réponses possibles pour une même entrée ne serait pas une fonction. Par exemple « à $x$ on associe un nombre dont le carré vaut $x$ » n’est pas une fonction : pour $x = 9$ , on hésiterait entre $3$ et $-3$ .

1.2 Les notations à maîtriser

Il existe deux écritures, et elles ne disent pas la même chose.

Écriture	Ce qu’elle décrit	Comment on la lit
$f : x \mapsto x^{2} - 2x - 2$	le procédé tout entier, valable pour n’importe quel $x$	« $f$ est la fonction qui à $x$ associe $x^2-2x-2$ »
$f(x) = x^{2} - 2x - 2$	le résultat obtenu, c’est un nombre	« $f$ de $x$ égale $x^2-2x-2$ »
$f(3) = 1$	un cas particulier : le résultat pour $x = 3$	« $f$ de $3$ égale $1$ »

Important : La flèche

\mapsto

(avec une petite barre au départ) se lit « a pour image ». Ne la confonds pas avec la flèche

\rightarrow

des vecteurs ou des implications.

Attention

L’écriture $f(x)$ n’est pas une multiplication ! $f(3)$ ne signifie pas $f \times 3$ . Les parenthèses servent ici à désigner l’entrée de la machine.

2Image et antécédent : le vocabulaire à ne jamais confondre

Définition

Soit $f$ une fonction, et soient $a$ et $b$ deux nombres tels que $f(a) = b$ .

$b$ est l’image de $a$ par $f$ ;
$a$ est un antécédent de $b$ par $f$ .

Les deux mots décrivent la même égalité, mais lue dans deux sens opposés : l’image se lit de gauche à droite (on part de $a$ , on trouve $b$ ), l’antécédent se lit de droite à gauche (on part de $b$ , on cherche $a$ ).

Figure 2 — On suit la flèche dans le sens du départ : on obtient une image. On la remonte : on obtient un antécédent.

Attention — le piège du chapitre

Retiens ces deux différences essentielles :

un nombre a toujours une seule image (c’est la définition même d’une fonction) ;
un nombre peut avoir zéro, un, deux ou beaucoup d’antécédents.

C’est pour cela qu’on dit « l’image de $a$ » mais « un antécédent de $b$ ».

Exemple — lire une égalité dans les deux sens

On sait que $f(3) = 1$ . On peut donc affirmer deux choses :

l’image de $3$ par $f$ est $1$ ;
$3$ est un antécédent de $1$ par $f$ .

En revanche, on ne peut pas affirmer que $3$ est le seul antécédent de $1$ : il faudrait le vérifier.

3Une fonction donnée par un tableau de valeurs

Une fonction n’est pas toujours donnée par une formule. Très souvent, en sciences ou en économie, on ne dispose que d’un tableau de valeurs : la première ligne contient les nombres de départ, la seconde leurs images.

Exemple — le tableau d’un service de photocopies

Un cybercafé affiche le tarif suivant, où $x$ est le nombre de copies et $P(x)$ le prix en francs CFA.

$x$	$10$	$25$	$50$	$100$	$200$
$P(x)$	$250$	$500$	$900$	$1\,600$	$2\,800$

On lit directement dans ce tableau :

l’image de $50$ est $900$ , autrement dit $P(50) = 900$ ;
un antécédent de $1\,600$ est $100$ ;
$2\,800$ a pour antécédent $200$ .

Attention : le tableau ne dit rien de $P(30)$ . Il ne donne que les valeurs qui y figurent.

Méthode — lire un tableau de valeurs

Pour une image, on cherche le nombre dans la ligne du haut, puis on lit en dessous ;
pour un antécédent, on cherche le nombre dans la ligne du bas, puis on lit au-dessus.

4Une fonction donnée par une formule

4.1 Calculer une image

Méthode — calculer

f(a)

On remplace chaque $x$ de la formule par le nombre $a$ , en le mettant entre parenthèses s’il est négatif, puis on calcule en respectant les priorités.

Exemple — images par

f : x \mapsto x^{2} - 2x - 2

Calculons $f(3)$ :

$f(3) = 3^{2} - 2 \times 3 - 2$ on remplace $x$ par $3$
$=$ $9 - 6 - 2$
$=$ $1$

Calculons maintenant $f(-1)$ :

$f(-1) = (-1)^{2} - 2 \times (-1) - 2$ parenthèses obligatoires
$=$ $1 + 2 - 2$
$=$ $1$

On observe déjà que $3$ et $-1$ ont la même image. Ce n’est pas un problème : c’est même très fréquent.

Attention

Oublier les parenthèses est l’erreur la plus coûteuse du chapitre. $-1^{2}$ vaut $-1$ , alors que $(-1)^{2}$ vaut $1$ : ce n’est pas du tout la même chose.

4.2 Chercher un antécédent

Méthode — chercher les antécédents de

k

Chercher les antécédents de $k$ par $f$ , c’est résoudre l’équation $f(x) = k$ , d’inconnue $x$ .

Exemple — les antécédents de

-2

par

f

$f(x) = -2$
$\iff$ $x^{2} - 2x - 2 = -2$ on remplace $f(x)$ par sa formule
$\iff$ $x^{2} - 2x = 0$ on ajoute $2$ aux deux membres
$\iff$ $x(x - 2) = 0$ on factorise par $x$
$\iff$ $x = 0$ ou $x - 2 = 0$ équation-produit nul
$\iff$ $x = 0$ ou $x = 2$

Le nombre $-2$ possède donc deux antécédents par $f$ : $0$ et $2$ .

Important : Une image se calcule : c’est une simple substitution. Un antécédent se cherche : c’est une équation à résoudre. Le travail n’a pas du tout la même difficulté.

5La courbe représentative et les lectures graphiques

Définition

Dans un repère, la courbe représentative de la fonction $f$ , souvent notée $\mathcal{C}_f$ , est l’ensemble de tous les points de coordonnées $(x\,;f(x))$ , lorsque $x$ parcourt les nombres pour lesquels $f$ est définie.

Autrement dit : l’abscisse d’un point de la courbe est un nombre de départ, et son ordonnée est son image. Un point $M(a\,;b)$ appartient à la courbe si et seulement si $b = f(a)$ .

Figure 3 — La courbe de

f : x \mapsto x^{2} - 2x - 2

tracée pour

x

compris entre

-2

4

5.1 Lire l’image d’un nombre

Méthode — lire

f(a)

sur la courbe

Je place $a$ sur l’axe des abscisses ;
je monte (ou je descends) verticalement jusqu’à rencontrer la courbe ;
je me déplace horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées ;
je lis : c’est $f(a)$ .

Figure 4 — Lecture de l’image de

3

: on part de l’axe des abscisses, on rejoint la courbe, on lit sur l’axe des ordonnées. Ici

f(3) = 1

5.2 Lire les antécédents d’un nombre

Méthode — lire les antécédents de

k

Je place $k$ sur l’axe des ordonnées ;
je trace la droite horizontale d’équation $y = k$ ;
je repère tous les points d’intersection avec la courbe ;
je lis leurs abscisses : ce sont les antécédents de $k$ .

Figure 5 — Lecture des antécédents de

1

: la droite horizontale coupe la courbe deux fois, en

-1

et en

3

Attention

Pour une image, on part de l’axe horizontal. Pour un antécédent, on part de l’axe vertical. Si tu confonds les deux axes, tout le reste sera faux : prends l’habitude de te demander d’abord « qu’est-ce que je connais, un $x$ ou un $y$ ? ».

5.3 Résoudre graphiquement $f(x) = k$

C’est exactement la même lecture, présentée autrement : résoudre $f(x) = k$ , c’est chercher les antécédents de $k$ , donc les abscisses des points communs à la courbe et à la droite horizontale d’équation $y = k$ .

Figure 6 — La droite d’équation

y = -2

coupe la courbe en deux points : les solutions de

f(x) = -2

sont

0

2

Exemple — nombre de solutions selon la hauteur

Sur la courbe précédente, en faisant glisser la droite horizontale, on constate que :

$f(x) = -5$ n’a aucune solution : la droite passe sous la courbe ;
$f(x) = -3$ a une seule solution : la droite touche la courbe en son point le plus bas ;
$f(x) = 1$ a deux solutions.

Une équation n’a donc pas toujours de solution, et la courbe permet de le voir d’un coup d’œil.

Math & Co — Euler et la naissance de

f(x)

Le mot fonction apparaît sous la plume de Gottfried Wilhelm Leibniz vers 1673, pour désigner une quantité dépendant d’un point d’une courbe. Mais l’écriture que tu utilises aujourd’hui est due au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783), qui popularise la notation $f(x)$ dans son grand traité Introductio in analysin infinitorum, publié à Lausanne en 1748.

Euler est resté l’un des mathématiciens les plus prolifiques de l’histoire : devenu presque totalement aveugle vers la fin de sa vie, il a continué à dicter mémoires et traités, et ses œuvres complètes occupent plusieurs dizaines de volumes. On lui doit aussi les notations $\pi$ pour le fameux rapport du cercle, $e$ pour la base des logarithmes népériens, et $\Sigma$ pour les sommes.

Fiche mémo

Une fonction associe à chaque nombre $x$ un seul nombre $f(x)$ .
$f : x \mapsto f(x)$ décrit le procédé ; $f(a)$ désigne un nombre.
$f(a) = b$ se lit dans les deux sens : $b$ est l’image de $a$ , $a$ est un antécédent de $b$ .
Une image est unique ; les antécédents peuvent être zéro, un ou plusieurs.
Calculer une image = remplacer $x$ par le nombre (parenthèses si négatif).
Chercher un antécédent de $k$ = résoudre l’équation $f(x) = k$ .
Image graphique : on part de l’axe des abscisses (vertical puis horizontal).
Antécédent graphique : on part de l’axe des ordonnées (droite horizontale $y = k$ ).
$M(a\,;b) \in \mathcal{C}_f \iff b = f(a)$ .

Niveau 1 — Application directe

Soit $g : x \mapsto 3x - 5$ . Calcule $g(0)$ , $g(4)$ et $g(-2)$ .

Voir le corrigé détaillé

$g(0) = 3 \times 0 - 5$
$=$ $-5$

$g(4) = 3 \times 4 - 5$
$=$ $12 - 5$
$=$ $7$

$g(-2) = 3 \times (-2) - 5$
$=$ $-6 - 5$
$=$ $-11$

Soit $h : x \mapsto x^{2} + 1$ . Calcule $h(5)$ , $h(-3)$ et $h(0)$ .

Voir le corrigé détaillé

$h(5) = 5^{2} + 1$
$=$ $25 + 1$
$=$ $26$

$h(-3) = (-3)^{2} + 1$ parenthèses indispensables
$=$ $9 + 1$
$=$ $10$

$h(0) = 0^{2} + 1$
$=$ $1$

On donne le tableau de valeurs d’une fonction $u$ :

$x$	$-3$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$u(x)$	$7$	$-1$	$4$	$7$	$0$

a. Quelle est l’image de $-1$ ? b. Donne tous les antécédents de $7$ visibles dans le tableau. c. Traduis $u(5) = 0$ par une phrase.

Voir le corrigé détaillé

a. On cherche $-1$ dans la ligne du haut et on lit en dessous : l’image de $-1$ est $-1$ . On écrit $u(-1) = -1$ .

b. On cherche $7$ dans la ligne du bas : il apparaît deux fois, sous $-3$ et sous $2$ . Les antécédents de $7$ visibles dans le tableau sont donc $-3$ et $2$ .

c. $u(5) = 0$ signifie : « l’image de $5$ par $u$ est $0$ », ou encore « $5$ est un antécédent de $0$ par $u$ ».

Soit $f : x \mapsto 4x + 3$ . Détermine l’antécédent de $19$ par $f$ .

Voir le corrigé détaillé

On résout l’équation $f(x) = 19$ .

$4x + 3 = 19$
$\iff$ $4x = 16$ on retire $3$ aux deux membres
$\iff$ $x = 4$ on divise par $4$

L’antécédent de $19$ par $f$ est $4$ .

Le point $A(-2\,;11)$ appartient-il à la courbe de $f : x \mapsto x^{2} + 3x + 9$ ?

Voir le corrigé détaillé

On calcule l’image de $-2$ et on la compare à $11$ .

$f(-2) = (-2)^{2} + 3 \times (-2) + 9$
$=$ $4 - 6 + 9$
$=$ $7$

Or $7 \neq 11$ : le point $A$ n’appartient pas à la courbe de $f$ .

Traduis en langage mathématique : « $-4$ est un antécédent de $6$ par la fonction $v$ », puis « l’image de $10$ par $v$ est $-1$ ».

Voir le corrigé détaillé

Dans les deux cas, on écrit une égalité de la forme $v(\text{départ}) = \text{arrivée}$ .

$-4$ est un antécédent de $6$ le départ est $-4$
$\Rightarrow$ $v(-4) = 6$
l’image de $10$ est $-1$ le départ est $10$
$\Rightarrow$ $v(10) = -1$

Soit $f : x \mapsto x^{2} - 9$ . Détermine tous les antécédents de $0$ par $f$ .

Voir le corrigé détaillé

$x^{2} - 9 = 0$
$\iff$ $x^{2} - 3^{2} = 0$ on reconnaît une identité remarquable
$\iff$ $(x - 3)(x + 3) = 0$
$\iff$ $x - 3 = 0$ ou $x + 3 = 0$
$\iff$ $x = 3$ ou $x = -3$

Le nombre $0$ possède deux antécédents par $f$ : $3$ et $-3$ .

Niveau 2 — Approfondissement

Soit $f : x \mapsto (x - 1)(x + 4)$ . a. Calcule $f(2)$ . b. Détermine les antécédents de $0$ . c. Développe $f(x)$ puis calcule $f(0)$ de deux façons.

Voir le corrigé détaillé

$f(2) = (2 - 1)(2 + 4)$
$=$ $1 \times 6$
$=$ $6$

b. La forme factorisée se prête directement à l’équation-produit nul.

$(x - 1)(x + 4) = 0$
$\iff$ $x - 1 = 0$ ou $x + 4 = 0$
$\iff$ $x = 1$ ou $x = -4$

c. Développons :

$f(x) = (x-1)(x+4)$
$=$ $x^{2} + 4x - x - 4$
$=$ $x^{2} + 3x - 4$

Avec la forme factorisée : $f(0) = (0-1)(0+4) = -4$ . Avec la forme développée : $f(0) = 0 + 0 - 4 = -4$ . Les deux formes donnent bien le même nombre.

Un carré a pour côté $x$ centimètres. On note $\mathcal{A}$ la fonction qui à $x$ associe l’aire du carré, et $\mathcal{P}$ celle qui lui associe son périmètre. a. Donne les expressions de $\mathcal{A}(x)$ et $\mathcal{P}(x)$ . b. Un carré a une aire de $49$ cm². Quel est son côté ? c. Existe-t-il un carré dont l’aire vaut $-4$ cm² ?

Voir le corrigé détaillé

a. $\mathcal{A} : x \mapsto x^{2}$ et $\mathcal{P} : x \mapsto 4x$ .

b. On cherche un antécédent de $49$ par $\mathcal{A}$ .

$x^{2} = 49$
$\iff$ $x = 7$ ou $x = -7$
or $x$ est une longueur, donc $x > 0$
$\Rightarrow$ $x = 7$

Le côté mesure $7$ cm.

c. Non : un carré a un carré positif, et une aire ne peut pas être négative. Le nombre $-4$ n’a aucun antécédent acceptable dans ce contexte.

Soit $f : x \mapsto \dfrac{12}{x}$ , définie pour $x \neq 0$ . a. Calcule $f(3)$ et $f(-4)$ . b. Quel est l’antécédent de $2$ ? c. Pourquoi $0$ n’a-t-il aucun antécédent par $f$ ?

Voir le corrigé détaillé

$f(3) = \dfrac{12}{3}$
$=$ $4$
$f(-4) = \dfrac{12}{-4}$
$=$ $-3$

$\dfrac{12}{x} = 2$
$\iff$ $12 = 2x$ produit en croix, $x \neq 0$
$\iff$ $x = 6$

c. Une fraction est nulle uniquement lorsque son numérateur est nul. Ici le numérateur vaut toujours $12$ : $\dfrac{12}{x}$ n’est jamais égal à $0$ . Le nombre $0$ n’a donc aucun antécédent.

On considère $f : x \mapsto x^{2} - 2x - 2$ , la fonction étudiée dans le cours. a. Montre par le calcul que $f(-1) = f(3)$ . b. Détermine les antécédents de $6$ .

Voir le corrigé détaillé

$f(-1) = (-1)^{2} - 2 \times (-1) - 2$
$=$ $1 + 2 - 2$
$=$ $1$
$f(3) = 3^{2} - 2 \times 3 - 2$
$=$ $9 - 6 - 2$
$=$ $1$

Les deux images valent $1$ : on a bien $f(-1) = f(3)$ .

b. On résout $f(x) = 6$ .

$x^{2} - 2x - 2 = 6$
$\iff$ $x^{2} - 2x - 8 = 0$
$\iff$ $x^{2} - 2x + 1 - 9 = 0$ on fait apparaître un carré
$\iff$ $(x - 1)^{2} - 3^{2} = 0$
$\iff$ $(x - 1 - 3)(x - 1 + 3) = 0$
$\iff$ $(x - 4)(x + 2) = 0$
$\iff$ $x = 4$ ou $x = -2$

Le nombre $6$ a deux antécédents : $-2$ et $4$ .

Voici trois affirmations. Dis si chacune est vraie ou fausse, en justifiant. a. « Tout nombre a exactement une image. » b. « Tout nombre a exactement un antécédent. » c. « Si $f(2) = 5$ alors $5$ est un antécédent de $2$ . »

Voir le corrigé détaillé

a. Vraie (quand la fonction est définie en ce nombre) : c’est la définition même d’une fonction, une entrée donne une seule sortie.

b. Fausse. Contre-exemple : pour $f : x \mapsto x^{2}$ , le nombre $9$ a deux antécédents ( $3$ et $-3$ ), et le nombre $-1$ n’en a aucun.

c. Fausse. L’égalité $f(2) = 5$ signifie que $5$ est l’image de $2$ , donc que $2$ est un antécédent de $5$ . Les rôles sont inversés.

Niveau 3 — Défi

Soit $f : x \mapsto x^{2} + 4$ . Démontre que, quel que soit le nombre $k$ strictement inférieur à $4$ , l’équation $f(x) = k$ n’a aucune solution.

Voir le corrigé détaillé

Soit $x$ un nombre quelconque.

$x^{2} \geqslant 0$ un carré est toujours positif ou nul
$\Rightarrow$ $x^{2} + 4 \geqslant 4$ on ajoute $4$ aux deux membres
$\Rightarrow$ $f(x) \geqslant 4$

Toutes les images par $f$ sont donc supérieures ou égales à $4$ .

Si $k < 4$ , aucun nombre ne peut avoir $k$ pour image : l’équation $f(x) = k$ n’a pas de solution. C.Q.F.D.

On peut ajouter que $4$ possède un unique antécédent, $0$ , car $x^{2} + 4 = 4$ équivaut à $x^{2} = 0$ .

Une fonction $f$ vérifie, pour tout nombre $x$ , l’égalité $f(x) + 2f(-x) = 3x + 9$ . Détermine $f(1)$ .

Voir le corrigé détaillé

On applique l’égalité deux fois, avec $x = 1$ puis avec $x = -1$ .

pour $x = 1$ : $f(1) + 2f(-1) = 12$ car $3 \times 1 + 9 = 12$
pour $x = -1$ : $f(-1) + 2f(1) = 6$ car $3 \times (-1) + 9 = 6$

Notons $A = f(1)$ et $B = f(-1)$ . On dispose d’un système.

$A + 2B = 12$
$B + 2A = 6$
$\Rightarrow$ $B = 6 - 2A$ on isole $B$ dans la seconde
$\Rightarrow$ $A + 2(6 - 2A) = 12$ on remplace dans la première
$\iff$ $A + 12 - 4A = 12$
$\iff$ $-3A = 0$
$\iff$ $A = 0$

On obtient $f(1) = 0$ , et au passage $f(-1) = 6$ .

On considère $f : x \mapsto \dfrac{x^{2} - 25}{x - 5}$ , définie pour $x \neq 5$ . a. Calcule $f(0)$ et $f(2)$ . b. Émets une conjecture, puis démontre-la. c. Combien $10$ a-t-il d’antécédents ?

Voir le corrigé détaillé

$f(0) = \dfrac{0 - 25}{0 - 5}$
$=$ $\dfrac{-25}{-5}$
$=$ $5$
$f(2) = \dfrac{4 - 25}{2 - 5}$
$=$ $\dfrac{-21}{-3}$
$=$ $7$

b. On observe $f(0) = 0 + 5$ et $f(2) = 2 + 5$ . Conjecture : $f(x) = x + 5$ .

$x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2}$
$=$ $(x - 5)(x + 5)$ identité remarquable
$f(x) = \dfrac{(x-5)(x+5)}{x-5}$
$=$ $x + 5$ on simplifie, licite car $x \neq 5$

La conjecture est démontrée.

c. On résout $x + 5 = 10$ , ce qui donne $x = 5$ . Mais $5$ est exclu du domaine de définition. Le nombre $10$ n’a donc aucun antécédent par $f$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le taxi de Ndjamena. Ahmat prend un taxi-compteur. La course coûte $500$ F CFA de prise en charge, plus $250$ F CFA par kilomètre parcouru. On note $T$ la fonction qui, au nombre $x$ de kilomètres, associe le prix de la course en francs CFA.

Exprime $T(x)$ en fonction de $x$ .
Ahmat parcourt $8$ km. Combien paie-t-il ?
Sa sœur Halimé a payé $3\,250$ F CFA. Quelle distance a-t-elle parcourue ?
Avec un billet de $2\,000$ F CFA, quelle distance maximale peut-on parcourir ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le prix est la prise en charge plus $250$ F CFA par kilomètre :

$T(x) = 250x + 500$

2. On calcule l’image de $8$ .

$T(8) = 250 \times 8 + 500$
$=$ $2\,000 + 500$
$=$ $2\,500$

Ahmat paie 2 500 F CFA.

3. On cherche l’antécédent de $3\,250$ .

$250x + 500 = 3\,250$
$\iff$ $250x = 2\,750$
$\iff$ $x = 11$

Halimé a parcouru 11 km.

4. On résout l’inéquation $T(x) \leqslant 2\,000$ .

$250x + 500 \leqslant 2\,000$
$\iff$ $250x \leqslant 1\,500$
$\iff$ $x \leqslant 6$

On peut parcourir au maximum 6 km.

Le potager de Bafoussam. Awa dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un potager rectangulaire adossé au mur de sa maison : le mur remplace un des grands côtés, il n’a donc pas besoin d’être grillagé. On note $x$ la largeur du potager, en mètres.

Exprime la longueur du potager en fonction de $x$ .
Montre que l’aire du potager est $A(x) = x(40 - 2x)$ .
Calcule $A(5)$ , $A(10)$ et $A(15)$ .
Awa souhaite une aire de $150$ m². Vérifie que $x = 5$ convient.

Voir le corrigé détaillé

1. Le grillage couvre les deux largeurs et une seule longueur.

longueur $+ 2x = 40$
$\Rightarrow$ longueur $= 40 - 2x$

2. L’aire d’un rectangle est le produit de ses dimensions :

$A(x) = x \times (40 - 2x)$

$A(5) = 5 \times (40 - 10)$
$=$ $5 \times 30$
$=$ $150$
$A(10) = 10 \times (40 - 20)$
$=$ $200$
$A(15) = 15 \times (40 - 30)$
$=$ $150$

Les aires valent respectivement $150$ m², $200$ m² et $150$ m².

4. D’après la question précédente, $A(5) = 150$ : la largeur $x = 5$ m convient bien. On remarque d’ailleurs que $x = 15$ m convient aussi : $150$ possède deux antécédents par $A$ .

Les forfaits téléphoniques de Dakar. Deux opérateurs proposent des offres différentes pour les appels vers l’étranger. Chez Téranga Mobile, le prix en francs CFA d’une communication de $x$ minutes est $M(x) = 120x$ . Chez Sénégal Connect, il est $N(x) = 80x + 800$ .

Combien coûte une communication de $10$ minutes chez chacun ?
Fatou a payé $2\,400$ F CFA chez Téranga Mobile. Combien de temps a-t-elle appelé ?
Pour quelle durée les deux offres coûtent-elles exactement le même prix ?
Moussa appelle en moyenne $30$ minutes par communication. Quel opérateur lui conseilles-tu ?

Voir le corrigé détaillé

1. On calcule les images de $10$ .

$M(10) = 120 \times 10$
$=$ $1\,200$
$N(10) = 80 \times 10 + 800$
$=$ $800 + 800$
$=$ $1\,600$

Soit 1 200 F CFA chez Téranga Mobile et 1 600 F CFA chez Sénégal Connect.

2. On cherche l’antécédent de $2\,400$ par $M$ .

$120x = 2\,400$
$\iff$ $x = 20$

Fatou a appelé pendant 20 minutes.

3. On résout $M(x) = N(x)$ .

$120x = 80x + 800$
$\iff$ $40x = 800$
$\iff$ $x = 20$

Les deux offres coûtent le même prix pour une communication de 20 minutes, soit $2\,400$ F CFA.

4. Comparons pour $30$ minutes.

$M(30) = 120 \times 30$
$=$ $3\,600$
$N(30) = 80 \times 30 + 800$
$=$ $3\,200$

Pour $30$ minutes, Sénégal Connect revient moins cher ( $3\,200$ F CFA contre $3\,600$ F CFA) : on conseille donc Sénégal Connect à Moussa. Plus généralement, au-delà de $20$ minutes, la seconde offre est toujours la plus avantageuse.

Notion de fonction

Ce que tu sauras faire à la fin

1Qu’est-ce qu’une fonction ?

1.1 Une machine à transformer les nombres

1.2 Les notations à maîtriser

2Image et antécédent : le vocabulaire à ne jamais confondre

3Une fonction donnée par un tableau de valeurs

4Une fonction donnée par une formule

4.1 Calculer une image

4.2 Chercher un antécédent

5La courbe représentative et les lectures graphiques

5.1 Lire l’image d’un nombre

5.2 Lire les antécédents d’un nombre

5.3 Résoudre graphiquement $f(x) = k$

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès

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Ce que tu sauras faire à la fin

1Qu’est-ce qu’une fonction ?

1.1 Une machine à transformer les nombres

1.2 Les notations à maîtriser

2Image et antécédent : le vocabulaire à ne jamais confondre

3Une fonction donnée par un tableau de valeurs

4Une fonction donnée par une formule

4.1 Calculer une image

4.2 Chercher un antécédent

5La courbe représentative et les lectures graphiques

5.1 Lire l’image d’un nombre

5.2 Lire les antécédents d’un nombre

5.3 Résoudre graphiquement f(x)=kf(x) = kf(x)=k

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5.3 Résoudre graphiquement $f(x) = k$