Parmi toutes les fonctions possibles, deux familles reviennent sans cesse : celles qui décrivent une proportionnalité (le prix de l’essence, la distance parcourue à vitesse constante) et celles qui ajoutent en plus un montant fixe (un abonnement, une prise en charge de taxi, un forfait). Ces deux familles portent des noms précis — fonctions linéaires et fonctions affines — et elles ont une propriété graphique remarquable : elles sont toutes représentées par des droites. C’est ce qui les rend si commodes.

1Les fonctions linéaires

1.1 Définition

Définition

Soit $a$ un nombre fixé. La fonction linéaire de coefficient $a$ est la fonction :

$f : x \mapsto ax$

Le nombre $a$ s’appelle le coefficient de la fonction linéaire.

Exemple — reconnaître une fonction linéaire

Fonction	Linéaire ?	Pourquoi
$f : x \mapsto 7x$	oui	de la forme $ax$ avec $a = 7$
$g : x \mapsto -\dfrac{2}{3}x$	oui	de la forme $ax$ avec $a = -\dfrac{2}{3}$
$h : x \mapsto 5x + 1$	non	il y a un terme constant en plus
$k : x \mapsto x^{2}$	non	$x$ n’apparaît pas au premier degré
$m : x \mapsto \dfrac{x}{4}$	oui	car $\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{4}x$

1.2 Le lien avec la proportionnalité

Propriété

Une situation est une situation de proportionnalité si et seulement si elle se modélise par une fonction linéaire. Le coefficient $a$ de la fonction est alors exactement le coefficient de proportionnalité.

C’est une véritable traduction : « multiplier la grandeur de départ par $3$ multiplie l’arrivée par $3$ » s’écrit $f(3x) = 3f(x)$ , ce que vérifie toute fonction linéaire.

Exemple — un plein d’essence à Yaoundé

Le litre de carburant coûte $840$ F CFA. Le prix payé pour $x$ litres est :

$P(x) = 840x$

C’est une fonction linéaire de coefficient $840$ . Deux fois plus de litres, c’est deux fois plus cher : la proportionnalité est bien là.

1.3 Déterminer le coefficient

Méthode — trouver

a

à partir d’une image

Si $f$ est linéaire et si l’on connaît une image $f(x_0) = y_0$ avec $x_0 \neq 0$ , alors :

$a = \dfrac{y_0}{x_0}$

Démonstration

$f$ est linéaire, donc $f(x_0) = a x_0$
or $f(x_0) = y_0$
$\Rightarrow$ $a x_0 = y_0$
$\Rightarrow$ $a = \dfrac{y_0}{x_0}$ on divise par $x_0$ , licite car $x_0 \neq 0$

C.Q.F.D.

Exemple — une image connue

La fonction linéaire $f$ vérifie $f(6) = -15$ . Déterminons $a$ .

$a = \dfrac{-15}{6}$
$=$ $-\dfrac{5}{2}$ on simplifie par $3$
$=$ $-2{,}5$

Donc $f : x \mapsto -2{,}5x$ .

2La représentation graphique d’une fonction linéaire

Théorème

La représentation graphique de la fonction linéaire $f : x \mapsto ax$ est la droite passant par l’origine $O$ du repère et par le point $A(1\,;a)$ .

Démonstration — pourquoi est-ce une droite ?

Notons $d$ la droite passant par $O(0\,;0)$ et par $A(1\,;a)$ . Montrons que tout point de $d$ d’abscisse $x$ (avec $x > 0$ ) a pour ordonnée $ax$ .

Soit $M$ le point de $d$ d’abscisse $x$ . Appelons $K(1\,;0)$ le pied de la perpendiculaire issue de $A$ , et $H(x\,;0)$ celui issu de $M$ .

$(KA)$ et $(HM)$ sont toutes deux perpendiculaires à l’axe des abscisses
$\Rightarrow$ $(KA)$ et $(HM)$ sont parallèles
de plus $O$ , $K$ , $H$ sont alignés, et $O$ , $A$ , $M$ sont alignés
$\Rightarrow$ la configuration de Thalès s’applique
$\Rightarrow$ $\dfrac{OH}{OK} = \dfrac{HM}{KA}$

Or $OK = 1$ et $KA = a$ (en prenant $a > 0$ pour fixer les idées), et $OH = x$ .

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{HM}{a}$
$\Rightarrow$ $HM = ax$

L’ordonnée de $M$ est donc $ax$ : le point $M$ appartient bien à la représentation graphique de $f$ .

Le raisonnement se transpose mot pour mot pour $x < 0$ en travaillant de l’autre côté de $O$ , et le cas $x = 0$ est immédiat puisque $f(0) = 0$ .

Réciproquement, tout point $(x\,;ax)$ s’obtient de cette manière. La représentation graphique de $f$ est donc exactement la droite $d$ . C.Q.F.D.

Figure 1 — Le théorème de Thalès transforme l’alignement en proportionnalité : c’est tout le secret de la démonstration.

Important : Retiens la conséquence pratique : la droite passe toujours par l’origine, car

f(0) = a \times 0 = 0

. C’est la signature visuelle d’une fonction linéaire.

Méthode — tracer la droite de

x \mapsto ax

Placer l’origine $O(0\,;0)$ , qui appartient toujours à la droite ;
calculer une seconde image, par exemple $f(1) = a$ , ou mieux une valeur qui tombe juste ;
placer ce second point et tracer la droite passant par les deux.

Figure 2 — Trois fonctions linéaires. Toutes les droites passent par

O

; plus

a

est grand, plus la droite « monte » vite. Si

a

est négatif, elle descend.

On appelle aussi $a$ le coefficient directeur de la droite : il indique de combien on monte (ou descend) quand on avance de $1$ vers la droite.

3Fonctions linéaires et pourcentages

3.1 Le coefficient multiplicateur

Propriété

Soit $t$ un nombre positif.

Augmenter une quantité de $t\%$ revient à la multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ;
diminuer une quantité de $t\%$ revient à la multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ .

Ce nombre s’appelle le coefficient multiplicateur de l’évolution.

Démonstration

Soit $x$ la quantité de départ. Augmenter de $t\%$ , c’est ajouter $t\%$ de $x$ à $x$ .

nouvelle valeur $= x + \dfrac{t}{100} \times x$
$=$ $x \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$ on factorise par $x$

De même, diminuer de $t\%$ , c’est retrancher $\dfrac{t}{100}x$ à $x$ .

nouvelle valeur $= x - \dfrac{t}{100} \times x$
$=$ $x \times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$

Dans les deux cas, on passe de $x$ à un multiple de $x$ : c’est bien une fonction linéaire. C.Q.F.D.

Exemple — quelques coefficients à connaître

Évolution	Calcul	Coefficient multiplicateur
hausse de $5\%$	$1 + \dfrac{5}{100}$	$1{,}05$
hausse de $15\%$	$1 + \dfrac{15}{100}$	$1{,}15$
baisse de $20\%$	$1 - \dfrac{20}{100}$	$0{,}8$
baisse de $30\%$	$1 - \dfrac{30}{100}$	$0{,}7$
hausse de $100\%$	$1 + 1$	$2$ (le double)

Exemple — une remise à Abidjan

Un vélo affiché $85\,000$ F CFA est soldé à $-20\%$ . Calculons le prix soldé.

coefficient $= 1 - 0{,}20$
$=$ $0{,}8$
prix soldé $= 85\,000 \times 0{,}8$
$=$ $68\,000$

Le vélo coûte 68 000 F CFA.

3.2 Enchaîner deux évolutions

Pour appliquer deux évolutions successives, on multiplie les coefficients. On ne les additionne surtout pas.

Exemple — hausse puis baisse de

10\%

coefficient global $= 1{,}1 \times 0{,}9$
$=$ $0{,}99$
$0{,}99 = 1 - 0{,}01$
$\Rightarrow$ la baisse globale est de $1\%$

On ne revient donc pas au prix de départ : c’est l’un des grands classiques du brevet.

Attention

Une hausse de $10\%$ suivie d’une baisse de $10\%$ ne se compense pas, parce que les deux pourcentages ne portent pas sur la même quantité de référence : le second s’applique à un prix déjà augmenté.

3.3 Retrouver le pourcentage à partir du coefficient

Exemple — lire un coefficient

Un loyer est multiplié par $1{,}035$ . Quelle est l’évolution en pourcentage ?

$1{,}035 = 1 + 0{,}035$
$0{,}035 = \dfrac{3{,}5}{100}$
$\Rightarrow$ hausse de $3{,}5\%$

4Les fonctions affines

4.1 Définition

Définition

Soient $a$ et $b$ deux nombres fixés. La fonction affine de coefficients $a$ et $b$ est la fonction :

$f : x \mapsto ax + b$

Le nombre $a$ est le coefficient directeur, le nombre $b$ est l’ordonnée à l’origine.

Important : Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, celui où

b = 0

. Et une fonction constante

x \mapsto b

est le cas particulier où

a = 0

4.2 Représentation graphique

Théorème

La représentation graphique de la fonction affine $f : x \mapsto ax + b$ est une droite, non parallèle à l’axe des ordonnées.

Cette droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\,;b)$ , ce qui explique le nom d’ordonnée à l’origine.

On peut le comprendre très simplement : la courbe de $x \mapsto ax + b$ s’obtient à partir de celle de $x \mapsto ax$ en ajoutant $b$ à toutes les ordonnées. On translate donc la droite passant par l’origine, verticalement, de $b$ : on obtient une droite qui lui est parallèle.

Exemple — lire

a

b

sur un graphique

Pour la droite d’équation $y = 2x - 3$ :

elle coupe l’axe des ordonnées en $-3$ , donc $b = -3$ ;
quand on avance de $1$ vers la droite, on monte de $2$ , donc $a = 2$ .

Figure 3 — L’ordonnée à l’origine

b

se lit sur l’axe vertical ; le coefficient directeur

a

se lit sur l’« escalier » : on avance de

1

, on monte de

a

Méthode — tracer la droite de

x \mapsto ax + b

Calculer deux images, en choisissant des valeurs de $x$ éloignées et commodes ;
placer les deux points obtenus ;
tracer la droite qui les relie, et vérifier avec un troisième point.

Le point $(0\,;b)$ est souvent le plus rapide à placer : il est donné gratuitement par l’expression.

4.3 Sens de variation

Théorème

Soit $f : x \mapsto ax + b$ une fonction affine.

Si $a > 0$ , alors $f$ est croissante : la droite monte de gauche à droite ;
si $a < 0$ , alors $f$ est décroissante : la droite descend ;
si $a = 0$ , alors $f$ est constante : la droite est horizontale.

Démonstration

Supposons $a > 0$ , et soient deux nombres $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1 < x_2$ .

$f(x_2) - f(x_1) = (a x_2 + b) - (a x_1 + b)$
$=$ $a x_2 - a x_1$ les $b$ se simplifient
$=$ $a(x_2 - x_1)$ on factorise par $a$

Or $x_2 - x_1 > 0$ puisque $x_1 < x_2$ , et $a > 0$ par hypothèse.

$a(x_2 - x_1) > 0$ produit de deux nombres positifs
$\Rightarrow$ $f(x_2) - f(x_1) > 0$
$\Rightarrow$ $f(x_1) < f(x_2)$

L’ordre est conservé : $f$ est croissante. Le cas $a < 0$ se traite de la même façon, le produit devenant négatif et l’ordre étant alors inversé. C.Q.F.D.

Figure 4 — Deux fonctions affines de même ordonnée à l’origine. Le signe de

a

décide seul du sens de variation.

5Déterminer une fonction affine à partir de deux points

Théorème — formule du coefficient directeur

Soit $f : x \mapsto ax + b$ une fonction affine. Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ sont deux points distincts de sa représentation graphique, avec $x_A \neq x_B$ , alors :

$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Démonstration

Les points $A$ et $B$ appartiennent à la droite, donc leurs ordonnées sont les images de leurs abscisses.

$y_A = a x_A + b$
$y_B = a x_B + b$
$\Rightarrow$ $y_B - y_A = (a x_B + b) - (a x_A + b)$ on soustraie membre à membre
$=$ $a x_B - a x_A$ les $b$ disparaissent
$=$ $a(x_B - x_A)$
$\Rightarrow$ $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ on divise par $x_B - x_A$ , non nul

C.Q.F.D.

Important : La formule est une différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, prises dans le même ordre. Si tu écris

y_B - y_A

en haut, tu dois écrire

x_B - x_A

en bas.

Méthode — déterminer

a

puis

b

Calculer $a$ avec la formule $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
remplacer $a$ par sa valeur dans $y = ax + b$ ;
utiliser les coordonnées d’un des deux points pour trouver $b$ ;
vérifier avec l’autre point.

Exemple — la fonction affine passant par

A(-1\,;4)

B(3\,;-2)

Étape 1 : le coefficient directeur.

$a = \dfrac{-2 - 4}{3 - (-1)}$
$=$ $\dfrac{-6}{4}$
$=$ $-1{,}5$

Étape 2 : l’ordonnée à l’origine. On sait maintenant que $f(x) = -1{,}5x + b$ , et que $f(-1) = 4$ .

$-1{,}5 \times (-1) + b = 4$
$\iff$ $1{,}5 + b = 4$
$\iff$ $b = 2{,}5$

Étape 3 : vérification avec $B$ .

$f(3) = -1{,}5 \times 3 + 2{,}5$
$=$ $-4{,}5 + 2{,}5$
$=$ $-2$ c’est bien l’ordonnée de $B$

Conclusion : $f : x \mapsto -1{,}5x + 2{,}5$ .

Figure 5 — On avance de

4

en abscisse, on descend de

6

en ordonnée : le coefficient directeur vaut

-6 \div 4 = -1{,}5

Math & Co — Descartes et l’invention des coordonnées

Tracer une fonction dans un repère nous paraît naturel, mais l’idée est récente à l’échelle des mathématiques. Elle apparaît en 1637, quand René Descartes (1596-1650) publie La Géométrie, l’un des trois appendices de son célèbre Discours de la méthode. Descartes y montre qu’un problème de géométrie peut se traduire en équations, et réciproquement : c’est l’acte de naissance de la géométrie analytique.

Son contemporain Pierre de Fermat avait développé des idées très proches à la même époque, dans un texte resté longtemps non publié. C’est en hommage à Descartes que l’on parle aujourd’hui de repère cartésien et de coordonnées cartésiennes. Descartes a passé une grande partie de sa vie aux Provinces-Unies, et il est mort à Stockholm, où la reine Christine de Suède l’avait invité.

Fiche mémo

Linéaire : $f(x) = ax$ . Graphe : droite passant par l’origine.
Affine : $f(x) = ax + b$ . Graphe : droite coupant l’axe des ordonnées en $b$ .
Linéaire $\iff$ proportionnalité, de coefficient $a$ .
Coefficient d’une fonction linéaire connaissant $f(x_0) = y_0$ : $a = \dfrac{y_0}{x_0}$ .
Hausse de $t\%$ : coefficient $1 + \dfrac{t}{100}$ . Baisse de $t\%$ : coefficient $1 - \dfrac{t}{100}$ .
Évolutions successives : on multiplie les coefficients.
$a > 0$ : croissante ; $a < 0$ : décroissante ; $a = 0$ : constante.
Deux points : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , puis $b$ par substitution.

Niveau 1 — Application directe

Parmi les fonctions suivantes, indique lesquelles sont linéaires, affines non linéaires, ou ni l’un ni l’autre : $f(x) = 6x$ ; $g(x) = 6x - 1$ ; $h(x) = \dfrac{5}{x}$ ; $k(x) = -x + 4$ ; $m(x) = \dfrac{3x}{7}$ ; $n(x) = x^{2} + 2$ .

Voir le corrigé détaillé

$f(x) = 6x$ : linéaire (donc aussi affine), $a = 6$ ;
$g(x) = 6x - 1$ : affine non linéaire, $a = 6$ et $b = -1$ ;
$h(x) = \dfrac{5}{x}$ : ni l’un ni l’autre, $x$ est au dénominateur ;
$k(x) = -x + 4$ : affine non linéaire, $a = -1$ et $b = 4$ ;
$m(x) = \dfrac{3x}{7} = \dfrac{3}{7}x$ : linéaire, $a = \dfrac{3}{7}$ ;
$n(x) = x^{2} + 2$ : ni l’un ni l’autre, à cause du carré.

$f$ est la fonction linéaire telle que $f(4) = 10$ . Détermine son coefficient, puis calcule $f(-6)$ .

Voir le corrigé détaillé

$a = \dfrac{10}{4}$
$=$ $2{,}5$

Donc $f : x \mapsto 2{,}5x$ .

$f(-6) = 2{,}5 \times (-6)$
$=$ $-15$

Donne le coefficient multiplicateur associé à : une hausse de $8\%$ ; une baisse de $12\%$ ; une hausse de $50\%$ ; une baisse de $75\%$ .

Voir le corrigé détaillé

hausse de $8\%$ : $1 + \dfrac{8}{100} = 1{,}08$
baisse de $12\%$ : $1 - \dfrac{12}{100} = 0{,}88$
hausse de $50\%$ : $1 + 0{,}5 = 1{,}5$
baisse de $75\%$ : $1 - 0{,}75 = 0{,}25$

Pour la fonction $f : x \mapsto -3x + 7$ , donne $a$ , $b$ , le sens de variation, et les coordonnées du point d’intersection avec l’axe des ordonnées.

Voir le corrigé détaillé

On identifie directement : $a = -3$ et $b = 7$ .

Comme $a = -3 < 0$ , la fonction $f$ est décroissante.

La droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0\,;7)$ , puisque $f(0) = 7$ .

Un article coûte $24\,000$ F CFA. Calcule son prix après une hausse de $15\%$ , puis après une baisse de $25\%$ appliquée au prix initial.

Voir le corrigé détaillé

Hausse de $15\%$ :

$24\,000 \times 1{,}15$
$=$ $27\,600$

Le prix devient $27\,600$ F CFA.

Baisse de $25\%$ appliquée au prix initial :

$24\,000 \times 0{,}75$
$=$ $18\,000$

Le prix devient $18\,000$ F CFA.

Détermine la fonction affine $f$ telle que $f(0) = 5$ et $f(2) = 11$ .

Voir le corrigé détaillé

$f(0) = 5$ donne directement $b = 5$ , car $f(0) = a \times 0 + b = b$ .

$a \times 2 + 5 = 11$
$\iff$ $2a = 6$
$\iff$ $a = 3$

Donc $f : x \mapsto 3x + 5$ .

Le point $B(-2\,;\,11)$ appartient-il à la droite d’équation $y = -4x + 3$ ?

Voir le corrigé détaillé

$-4 \times (-2) + 3$
$=$ $8 + 3$
$=$ $11$

On retrouve bien l’ordonnée de $B$ : le point $B$ appartient à la droite.

Niveau 2 — Approfondissement

Détermine la fonction affine $f$ dont la représentation graphique passe par $A(2\,;7)$ et $B(5\,;1)$ , puis calcule $f(0)$ et $f(10)$ .

Voir le corrigé détaillé

$a = \dfrac{1 - 7}{5 - 2}$
$=$ $\dfrac{-6}{3}$
$=$ $-2$

On écrit $f(x) = -2x + b$ et on utilise $f(2) = 7$ .

$-2 \times 2 + b = 7$
$\iff$ $-4 + b = 7$
$\iff$ $b = 11$

Donc $f : x \mapsto -2x + 11$ . Vérification avec $B$ : $-2 \times 5 + 11 = 1$ , c’est correct.

$f(0) = 11$
$f(10) = -2 \times 10 + 11$
$=$ $-9$

Le prix d’un sac augmente de $20\%$ , puis baisse de $20\%$ . a. Quel est le coefficient multiplicateur global ? b. Quelle est l’évolution globale en pourcentage ? c. Le prix de départ était $50\,000$ F CFA : quel est le prix final ?

Voir le corrigé détaillé

coefficient global $= 1{,}2 \times 0{,}8$
$=$ $0{,}96$

$0{,}96 = 1 - 0{,}04$
$0{,}04 = \dfrac{4}{100}$
$\Rightarrow$ baisse globale de $4\%$

$50\,000 \times 0{,}96$
$=$ $48\,000$

Le prix final est de $48\,000$ F CFA : on a bien perdu $2\,000$ F CFA, soit $4\%$ du prix initial.

Après une hausse de $25\%$ , un abonnement coûte $37\,500$ F CFA. Quel était son prix avant la hausse ?

Voir le corrigé détaillé

Notons $x$ le prix initial. La hausse de $25\%$ correspond au coefficient $1{,}25$ .

$1{,}25 \times x = 37\,500$
$\iff$ $x = \dfrac{37\,500}{1{,}25}$
$=$ $30\,000$

L’abonnement coûtait $30\,000$ F CFA. Vérification : $30\,000 \times 1{,}25 = 37\,500$ .

Attention à ne pas retrancher $25\%$ du prix final : cela donnerait $28\,125$ F CFA, ce qui est faux.

Soient $f : x \mapsto 3x - 4$ et $g : x \mapsto -x + 8$ . Détermine par le calcul les coordonnées du point d’intersection de leurs représentations graphiques.

Voir le corrigé détaillé

Au point d’intersection, les deux fonctions prennent la même valeur.

$3x - 4 = -x + 8$
$\iff$ $3x + x = 8 + 4$
$\iff$ $4x = 12$
$\iff$ $x = 3$

On calcule l’ordonnée correspondante :

$f(3) = 3 \times 3 - 4$
$=$ $5$
$g(3) = -3 + 8$
$=$ $5$ les deux coïncident, c’est cohérent

Le point d’intersection a pour coordonnées $(3\,;5)$ .

La droite représentant une fonction affine $f$ est parallèle à celle de $g : x \mapsto 4x - 1$ et passe par le point $C(-3\,;2)$ . Détermine $f$ .

Voir le corrigé détaillé

Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont le même coefficient directeur. Donc $a = 4$ .

On écrit $f(x) = 4x + b$ et on utilise $f(-3) = 2$ .

$4 \times (-3) + b = 2$
$\iff$ $-12 + b = 2$
$\iff$ $b = 14$

Donc $f : x \mapsto 4x + 14$ .

Soit $f$ une fonction affine telle que $f(1) = 5$ et $f(4) = 5$ . Que peut-on dire de $f$ ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

$a = \dfrac{5 - 5}{4 - 1}$
$=$ $\dfrac{0}{3}$
$=$ $0$

On écrit ensuite $f(x) = 0 \times x + b$ , et $f(1) = 5$ donne $b = 5$ .

La fonction est donc constante : $f : x \mapsto 5$ . Sa représentation graphique est une droite horizontale d’équation $y = 5$ .

Niveau 3 — Défi

Soit $f$ une fonction linéaire de coefficient $a$ . Démontre que, pour tous nombres $u$ et $v$ , on a $f(u + v) = f(u) + f(v)$ . Cette égalité est-elle encore vraie pour une fonction affine avec $b \neq 0$ ?

Voir le corrigé détaillé

Cas linéaire. On calcule séparément les deux membres.

$f(u + v) = a(u + v)$
$=$ $au + av$ distributivité
$f(u) + f(v) = au + av$
$\Rightarrow$ $f(u + v) = f(u) + f(v)$

C.Q.F.D.

Cas affine. Prenons $f(x) = ax + b$ .

$f(u + v) = a(u+v) + b$
$=$ $au + av + b$
$f(u) + f(v) = (au + b) + (av + b)$
$=$ $au + av + 2b$
$\Rightarrow$ la différence vaut $b$

L’égalité n’est donc vraie que si $b = 0$ , c’est-à-dire uniquement pour les fonctions linéaires.

Un prix subit deux hausses successives identiques de $t\%$ et se trouve au total multiplié par $1{,}21$ . Détermine $t$ .

Voir le corrigé détaillé

Notons $c$ le coefficient d’une hausse de $t\%$ . Deux hausses identiques donnent le coefficient $c^{2}$ .

$c^{2} = 1{,}21$
$\iff$ $c = 1{,}1$ ou $c = -1{,}1$
un coefficient multiplicateur est positif
$\Rightarrow$ $c = 1{,}1$

$1{,}1 = 1 + 0{,}1$
$0{,}1 = \dfrac{10}{100}$
$\Rightarrow$ $t = 10$

Chaque hausse était de $10\%$ .

Soit $f : x \mapsto ax + b$ une fonction affine avec $a \neq 0$ . Démontre que $f$ possède un unique antécédent de $0$ , et exprime-le en fonction de $a$ et $b$ . Interprète graphiquement.

Voir le corrigé détaillé

On résout l’équation $f(x) = 0$ .

$ax + b = 0$
$\iff$ $ax = -b$
$\iff$ $x = -\dfrac{b}{a}$ division licite car $a \neq 0$

Chaque étape est une équivalence, et la dernière ligne fournit une seule valeur : l’antécédent de $0$ existe et il est unique.

Graphiquement, $-\dfrac{b}{a}$ est l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses. Comme $a \neq 0$ , la droite n’est pas horizontale : elle coupe cet axe exactement une fois.

Exemple : pour $f(x) = 2x - 3$ , on obtient $x = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ . C.Q.F.D.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La salle de sport de Bruxelles. Deux clubs proposent des formules différentes. Chez Forme Plus, chaque séance coûte $9$ € et il n’y a pas d’abonnement. Chez Atlas Gym, on paie un abonnement annuel de $120$ € puis $5$ € par séance. Youssef hésite. On note $x$ le nombre de séances dans l’année.

Exprime en fonction de $x$ le coût annuel $F(x)$ chez Forme Plus et $A(x)$ chez Atlas Gym.
Laquelle de ces deux fonctions est linéaire ? Laquelle est affine non linéaire ?
Calcule le coût des deux formules pour $20$ séances, puis pour $40$ séances.
À partir de combien de séances Atlas Gym devient-il plus avantageux ?

Voir le corrigé détaillé

$F(x) = 9x$
$A(x) = 5x + 120$

2. $F$ est linéaire (pas de terme constant : c’est une situation de proportionnalité). $A$ est affine non linéaire, à cause de l’abonnement de $120$ €.

3. Pour $20$ séances :

$F(20) = 9 \times 20$
$=$ $180$
$A(20) = 5 \times 20 + 120$
$=$ $220$

Pour $40$ séances :

$F(40) = 9 \times 40$
$=$ $360$
$A(40) = 5 \times 40 + 120$
$=$ $320$

À $20$ séances Forme Plus est meilleur marché, à $40$ séances c’est Atlas Gym.

4. On résout l’inéquation $A(x) < F(x)$ .

$5x + 120 < 9x$
$\iff$ $120 < 4x$
$\iff$ $30 < x$

Atlas Gym devient plus avantageux à partir de 31 séances. Pour exactement $30$ séances, les deux formules coûtent $270$ € : c’est le point d’intersection des deux droites.

Le champ de mil d’Abéché. Le rendement d’un champ était de $1\,500$ kg l’an dernier. Grâce à une nouvelle semence, Mahamat espère une hausse de $18\%$ cette année. Malheureusement, une saison sèche trop longue fait finalement baisser la récolte de $25\%$ par rapport à ce qui était espéré.

Quelle récolte Mahamat espérait-il ?
Quelle est la récolte réelle ?
Quel est le coefficient multiplicateur global entre l’an dernier et cette année ?
L’évolution globale est-elle une hausse ou une baisse ? De quel pourcentage, arrondi à $0{,}1\%$ près ?

Voir le corrigé détaillé

1. Une hausse de $18\%$ correspond au coefficient $1{,}18$ .

$1\,500 \times 1{,}18$
$=$ $1\,770$

Il espérait $1\,770$ kg.

2. Une baisse de $25\%$ correspond au coefficient $0{,}75$ .

$1\,770 \times 0{,}75$
$=$ $1\,327{,}5$

La récolte réelle est de $1\,327{,}5$ kg.

3. On multiplie les deux coefficients.

$1{,}18 \times 0{,}75$
$=$ $0{,}885$

4. Le coefficient global est inférieur à $1$ : c’est une baisse.

$0{,}885 = 1 - 0{,}115$
$0{,}115 = \dfrac{11{,}5}{100}$
$\Rightarrow$ baisse de $11{,}5\%$

Vérification : $1\,500 \times 0{,}885 = 1\,327{,}5$ , ce qui correspond bien à la récolte trouvée.

Le réservoir d’eau de Ouagadougou. Aminata remplit une citerne à débit constant. Au bout de $3$ minutes, la citerne contient $80$ litres ; au bout de $8$ minutes, elle en contient $205$ . On admet que le volume $V(t)$ , en litres, est une fonction affine du temps $t$ , en minutes.

Détermine le coefficient directeur, et explique ce qu’il représente concrètement.
Détermine $V(t)$ .
Quel volume la citerne contenait-elle au départ ?
La citerne a une capacité de $600$ litres. Au bout de combien de temps déborde-t-elle ?

Voir le corrigé détaillé

1. On applique la formule du coefficient directeur avec $A(3\,;80)$ et $B(8\,;205)$ .

$a = \dfrac{205 - 80}{8 - 3}$
$=$ $\dfrac{125}{5}$
$=$ $25$

Le coefficient directeur vaut $25$ : c’est le débit du robinet, soit $25$ litres par minute.

2. On écrit $V(t) = 25t + b$ et on utilise $V(3) = 80$ .

$25 \times 3 + b = 80$
$\iff$ $75 + b = 80$
$\iff$ $b = 5$

Donc $V(t) = 25t + 5$ . Vérification : $V(8) = 200 + 5 = 205$ , c’est correct.

3. Le volume de départ correspond à $t = 0$ :

$V(0) = 5$

La citerne contenait déjà $5$ litres — un fond d’eau — au moment où Aminata a ouvert le robinet. C’est l’ordonnée à l’origine.

4. On résout $V(t) = 600$ .

$25t + 5 = 600$
$\iff$ $25t = 595$
$\iff$ $t = 23{,}8$

$23{,}8$ minutes, soit $23$ minutes et $48$ secondes : Aminata devra fermer le robinet avant ce moment.

Fonctions linéaires et fonctions affines

Ce que tu sauras faire à la fin

1Les fonctions linéaires

1.1 Définition

1.2 Le lien avec la proportionnalité

1.3 Déterminer le coefficient

2La représentation graphique d’une fonction linéaire

3Fonctions linéaires et pourcentages

3.1 Le coefficient multiplicateur

3.2 Enchaîner deux évolutions

3.3 Retrouver le pourcentage à partir du coefficient

4Les fonctions affines

4.1 Définition

4.2 Représentation graphique

4.3 Sens de variation

5Déterminer une fonction affine à partir de deux points

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès