On te noie chaque jour sous les chiffres : résultats d’un contrôle, températures relevées, prix du marché, salaires d’une entreprise, audience d’une radio. Une longue liste de nombres, cela ne se lit pas. Le travail du statisticien consiste à résumer cette liste en quelques indicateurs bien choisis, puis à la représenter pour la faire parler. Dans ce chapitre, tu vas découvrir un indicateur que tu ne connais pas encore et qui est souvent plus honnête que la moyenne : la médiane.

1Le vocabulaire des séries statistiques

Définition

On appelle série statistique l’ensemble des valeurs relevées sur une population étudiée. Chaque élément de la population est un individu, et la propriété que l’on observe s’appelle le caractère.

L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui la prennent. La somme de tous les effectifs est l’effectif total, noté $N$ .

Exemple — un contrôle de mathématiques

Dans une classe de 3e, les notes obtenues se répartissent ainsi :

Note	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	Total
Effectif	$3$	$7$	$10$	$5$	$2$	$27$

la population est la classe, chaque élève est un individu ;
le caractère étudié est la note obtenue ;
l’effectif de la valeur $12$ est $10$ : dix élèves ont eu $12$ ;
l’effectif total est $N = 3 + 7 + 10 + 5 + 2 = 27$ .

Figure 1 — Le diagramme en bâtons : la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l’effectif de la valeur.

1.1 Fréquences

Définition

La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total :

$f = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$

C’est un nombre compris entre $0$ et $1$ , que l’on exprime souvent en pourcentage en le multipliant par $100$ .

Exemple — le sport préféré de 25 élèves

Sport	Effectif	Fréquence	Pourcentage
football	$10$	$\dfrac{10}{25} = 0{,}4$	$40\%$
basket	$6$	$\dfrac{6}{25} = 0{,}24$	$24\%$
athlétisme	$5$	$\dfrac{5}{25} = 0{,}2$	$20\%$
natation	$4$	$\dfrac{4}{25} = 0{,}16$	$16\%$
Total	$25$	$1$	$100\%$

La somme des fréquences vaut toujours $1$ , et celle des pourcentages toujours $100$ . C’est un excellent moyen de vérifier ses calculs.

1.2 Séries regroupées en classes

Quand les valeurs sont trop nombreuses et toutes différentes — des durées, des tailles, des salaires — on les regroupe par classes, c’est-à-dire par intervalles. On représente alors la série par un histogramme, dont les rectangles sont accolés.

Figure 2 — L’histogramme : les classes ont ici la même amplitude (

10

minutes), donc la hauteur des rectangles est proportionnelle à l’effectif.

Important : La différence de dessin n’est pas un détail : dans un diagramme en bâtons, les valeurs sont isolées, donc les bâtons sont séparés. Dans un histogramme, les classes se suivent sans trou, donc les rectangles sont collés.

2La moyenne

2.1 Moyenne simple

Définition

La moyenne d’une série de $N$ valeurs est la somme de ces valeurs divisée par $N$ :

$\overline{x} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{N}$

Exemple — cinq relevés de température à Genève

On relève $12$ , $15$ , $9$ , $18$ et $11$ degrés.

$\overline{x} = \dfrac{12 + 15 + 9 + 18 + 11}{5}$
$=$ $\dfrac{65}{5}$
$=$ $13$

La température moyenne est de $13$ degrés.

2.2 Moyenne pondérée

Quand une même valeur revient plusieurs fois, il serait absurde de l’écrire plusieurs fois : on la pondère par son effectif.

Méthode — calculer une moyenne pondérée

Multiplier chaque valeur par son effectif ;
additionner tous ces produits ;
diviser la somme obtenue par l’effectif total.

Exemple — la moyenne du contrôle

Reprenons les $27$ notes de la classe.

somme $= 8 \times 3 + 10 \times 7 + 12 \times 10 + 14 \times 5 + 16 \times 2$
$=$ $24 + 70 + 120 + 70 + 32$
$=$ $316$
$\overline{x} = \dfrac{316}{27}$
$\approx$ $11{,}7$ arrondi au dixième

La moyenne de la classe est d’environ $11{,}7$ sur $20$ .

Attention

Erreur classique : diviser par le nombre de valeurs différentes ( $5$ ici) au lieu de l’effectif total ( $27$ ). Le dénominateur est toujours $N$ , le nombre d’individus.

3La médiane

Définition

On range la série dans l’ordre croissant. La médiane, notée $Me$ , est une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif :

au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales ;
au moins la moitié des valeurs lui sont supérieures ou égales.

Méthode — déterminer la médiane

On commence toujours par ranger la série dans l’ordre croissant. Puis on distingue deux cas.

Si $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ : c’est la valeur du milieu ;
si $N$ est pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ .

Exemple — effectif impair : 15 notes

Série rangée : $4$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $12$ ; $13$ ; $14$ ; $15$ ; $16$ ; $18$ .

$N = 15$ effectif impair
rang de la médiane $= \dfrac{15 + 1}{2}$
$=$ $8$
$\Rightarrow$ $Me = 11$ la $8^\text{e}$ valeur de la liste

Sept notes sont en dessous, sept notes sont au-dessus : le partage est équilibré.

Exemple — effectif pair : 12 notes

Série rangée : $3$ ; $5$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $13$ ; $15$ ; $16$ ; $18$ .

$N = 12$ effectif pair
$\dfrac{N}{2} = 6$ la $6^\text{e}$ valeur est $10$
$\dfrac{N}{2} + 1 = 7$ la $7^\text{e}$ valeur est $11$
$Me = \dfrac{10 + 11}{2}$
$=$ $10{,}5$

Ici la médiane n’est pas une valeur de la série : c’est parfaitement normal.

Exemple — médiane à partir d’un tableau d’effectifs

Pour les $27$ notes du contrôle, on ajoute une ligne d’effectifs cumulés croissants.

Note	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$
Effectif	$3$	$7$	$10$	$5$	$2$
Effectif cumulé	$3$	$10$	$20$	$25$	$27$

$N = 27$ , effectif impair
rang de la médiane $= \dfrac{27+1}{2} = 14$
les rangs $11$ à $20$ correspondent à la note $12$ lecture des cumuls
$\Rightarrow$ $Me = 12$

4Quartiles et étendue

La médiane coupe la série en deux. Les quartiles la coupent en quatre : ils permettent de savoir si les valeurs sont serrées autour du centre ou très dispersées.

Définition

La série étant rangée dans l’ordre croissant :

le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales ;
le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $75\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.

Méthode — calculer

Q_1

Q_3

Ranger la série et compter $N$ ;
calculer $\dfrac{N}{4}$ : si le résultat est entier, c’est le rang de $Q_1$ ; sinon, on prend l’entier immédiatement supérieur ;
calculer $\dfrac{3N}{4}$ et appliquer exactement la même règle pour $Q_3$ ;
lire les valeurs correspondantes dans la série rangée.

Exemple — les quartiles des 15 notes

Série rangée : $4$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $12$ ; $13$ ; $14$ ; $15$ ; $16$ ; $18$ , avec $N = 15$ .

$\dfrac{N}{4} = \dfrac{15}{4} = 3{,}75$ non entier
$\Rightarrow$ rang de $Q_1$ : $4$ entier immédiatement supérieur
$\Rightarrow$ $Q_1 = 8$

$\dfrac{3N}{4} = \dfrac{45}{4} = 11{,}25$ non entier
$\Rightarrow$ rang de $Q_3$ : $12$
$\Rightarrow$ $Q_3 = 14$

Interprétation : au moins un quart de la classe a une note inférieure ou égale à $8$ , et au moins trois quarts de la classe ont une note inférieure ou égale à $14$ .

Définition

L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :

$\text{étendue} = x_{\max} - x_{\min}$

L’écart interquartile est la différence $Q_3 - Q_1$ .

Exemple — dispersion des 15 notes

étendue $= 18 - 4$
$=$ $14$
écart interquartile $= 14 - 8$
$=$ $6$

L’étendue est très sensible aux valeurs extrêmes : une seule note très basse suffit à la faire exploser. L’écart interquartile, lui, ignore les extrêmes et décrit le cœur de la série : c’est un indicateur bien plus robuste.

5Le diagramme en boîte

Définition

Le diagramme en boîte — on dit aussi boîte à moustaches — résume une série par cinq nombres seulement : le minimum, $Q_1$ , la médiane, $Q_3$ et le maximum.

La boîte s’étend de $Q_1$ à $Q_3$ et contient donc environ la moitié des valeurs ; un trait la coupe à la médiane. Les moustaches vont jusqu’aux valeurs extrêmes.

Figure 3 — Les cinq nombres du résumé, lus sur un axe gradué. La largeur de la boîte est l’écart interquartile, la longueur totale est l’étendue.

Méthode — construire un diagramme en boîte

Ranger la série et déterminer les cinq nombres : $x_{\min}$ , $Q_1$ , $Me$ , $Q_3$ , $x_{\max}$ ;
tracer un axe gradué régulièrement, adapté à l’étendue ;
dessiner le rectangle de $Q_1$ à $Q_3$ , puis le trait de la médiane ;
tracer les deux moustaches jusqu’aux extrêmes.

Pour comparer deux séries, on trace les deux boîtes l’une au-dessus de l’autre, sur le même axe gradué : c’est indispensable.

6Interpréter et comparer

6.1 Ce que la médiane dit de plus que la moyenne

La moyenne tient compte de toutes les valeurs, y compris des valeurs aberrantes qui la tirent vers le haut ou vers le bas. La médiane, elle, ne dépend que du rang des valeurs : une valeur extrême ne la déplace pratiquement pas.

Exemple — les salaires d’une petite entreprise de Dakar

Une entreprise emploie neuf personnes. Voici les salaires mensuels, en milliers de francs CFA :

$120$ ; $130$ ; $140$ ; $150$ ; $160$ ; $170$ ; $180$ ; $200$ ; $1\,500$ .

somme $= 120+130+140+150+160+170+180+200+1\,500$
$=$ $2\,750$
$\overline{x} = \dfrac{2\,750}{9}$
$\approx$ $305{,}6$

$N = 9$ , effectif impair
rang de la médiane $= \dfrac{9+1}{2} = 5$
$\Rightarrow$ $Me = 160$

Le salaire moyen est d’environ $305\,600$ F CFA, mais huit salariés sur neuf gagnent moins que cela ! Le salaire du directeur, très élevé, tire la moyenne vers le haut à lui tout seul.

Le salaire médian, $160\,000$ F CFA, décrit beaucoup mieux la réalité de l’entreprise : la moitié des salariés gagnent moins, l’autre moitié gagnent plus. C’est exactement pour cette raison que les instituts de statistique publient le revenu médian et pas seulement le revenu moyen.

6.2 Comparer deux séries

Méthode — une comparaison sérieuse

On ne compare jamais deux séries sur un seul indicateur. On croise systématiquement :

un indicateur de position : la moyenne et la médiane ;
un indicateur de dispersion : l’étendue et l’écart interquartile ;
et l’on conclut par une phrase en français, en revenant au contexte.

Exemple — deux classes, la même médiane

Les notes de la 3e A et de la 3e B ont toutes deux pour médiane $11$ . Pourtant, les deux classes ne se ressemblent pas.

Indicateur	3e A	3e B
minimum	$4$	$8$
$Q_1$	$8$	$10$
médiane	$11$	$11$
$Q_3$	$14$	$12$
maximum	$18$	$15$
étendue	$14$	$7$
écart interquartile	$6$	$2$

La 3e B est nettement plus homogène : sa boîte est étroite, la moitié centrale de la classe se tient entre $10$ et $12$ . La 3e A est plus hétérogène : elle compte des élèves très en difficulté, mais aussi de bien meilleurs résultats en haut de série.

Figure 4 — Deux boîtes tracées sur le même axe : la médiane est identique, mais la dispersion ne l’est pas du tout.

Math & Co — Quetelet et la naissance de la statistique sociale

Le Belge Adolphe Quetelet (1796-1874), astronome et mathématicien, fut l’un des premiers à appliquer systématiquement les mathématiques à l’étude des sociétés. Dans son ouvrage Sur l’homme et le développement de ses facultés, publié en 1835, il forge la notion d’« homme moyen » et montre que des phénomènes que l’on croyait imprévisibles — tailles, naissances, criminalité — obéissent à des régularités statistiques.

Directeur de l’Observatoire de Bruxelles, Quetelet organise en 1853 le tout premier congrès international de statistique, qui pose les bases d’une collecte harmonisée des données entre les États. On lui doit également l’indice qui porte encore son nom, l’*indice de Quetelet*, aujourd’hui plus connu sous le nom d’indice de masse corporelle.

Fiche mémo

Fréquence $= \dfrac{\text{effectif}}{N}$ ; la somme des fréquences vaut $1$ .
Moyenne pondérée : somme des (valeur $\times$ effectif), divisée par $N$ .
On range toujours la série avant de chercher médiane ou quartiles.
Médiane, $N$ impair : valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ .
Médiane, $N$ pair : demi-somme des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ .
$Q_1$ : rang $\dfrac{N}{4}$ arrondi à l’entier supérieur si besoin. $Q_3$ : rang $\dfrac{3N}{4}$ , même règle.
Étendue $= x_{\max} - x_{\min}$ ; écart interquartile $= Q_3 - Q_1$ .
Diagramme en boîte : cinq nombres, boîte de $Q_1$ à $Q_3$ , moustaches jusqu’aux extrêmes.
La médiane résiste aux valeurs extrêmes, la moyenne non.

Niveau 1 — Application directe

Calcule la moyenne de la série : $7$ ; $12$ ; $9$ ; $14$ ; $8$ ; $10$ .

Voir le corrigé détaillé

somme $= 7 + 12 + 9 + 14 + 8 + 10$
$=$ $60$
$\overline{x} = \dfrac{60}{6}$
$=$ $10$

Détermine la médiane de la série : $15$ ; $9$ ; $22$ ; $11$ ; $17$ ; $9$ ; $30$ .

Voir le corrigé détaillé

On range d’abord la série : $9$ ; $9$ ; $11$ ; $15$ ; $17$ ; $22$ ; $30$ .

$N = 7$ , effectif impair
rang $= \dfrac{7+1}{2}$
$=$ $4$
$\Rightarrow$ $Me = 15$

Détermine la médiane de la série : $4$ ; $12$ ; $7$ ; $19$ ; $10$ ; $5$ ; $16$ ; $8$ .

Voir le corrigé détaillé

Série rangée : $4$ ; $5$ ; $7$ ; $8$ ; $10$ ; $12$ ; $16$ ; $19$ .

$N = 8$ , effectif pair
$\dfrac{N}{2} = 4$ la $4^\text{e}$ valeur est $8$
$\dfrac{N}{2}+1 = 5$ la $5^\text{e}$ valeur est $10$
$Me = \dfrac{8 + 10}{2}$
$=$ $9$

Calcule l’étendue des deux séries suivantes. Série 1 : $12$ ; $15$ ; $9$ ; $21$ ; $6$ . Série 2 : $13$ ; $14$ ; $12$ ; $15$ ; $13$ .

Voir le corrigé détaillé

série 1 : étendue $= 21 - 6$
$=$ $15$
série 2 : étendue $= 15 - 12$
$=$ $3$

La série 2 est bien plus resserrée que la série 1.

On donne le tableau des tailles, en cm, de $20$ élèves.

Taille	$155$	$160$	$165$	$170$	$175$
Effectif	$2$	$5$	$8$	$3$	$2$

Calcule la taille moyenne, arrondie au dixième.

Voir le corrigé détaillé

somme $= 155 \times 2 + 160 \times 5 + 165 \times 8 + 170 \times 3 + 175 \times 2$
$=$ $310 + 800 + 1\,320 + 510 + 350$
$=$ $3\,290$
$\overline{x} = \dfrac{3\,290}{20}$
$=$ $164{,}5$

La taille moyenne est de $164{,}5$ cm.

Sur $40$ élèves interrogés, $14$ possèdent un vélo. Calcule la fréquence, puis exprime-la en pourcentage.

Voir le corrigé détaillé

$f = \dfrac{14}{40}$
$=$ $\dfrac{7}{20}$
$=$ $0{,}35$
$0{,}35 \times 100 = 35$
$\Rightarrow$ $35\%$ des élèves possèdent un vélo

Une série a pour minimum $3$ , $Q_1 = 7$ , médiane $= 12$ , $Q_3 = 16$ et maximum $= 25$ . Calcule l’étendue et l’écart interquartile.

Voir le corrigé détaillé

étendue $= 25 - 3$
$=$ $22$
écart interquartile $= 16 - 7$
$=$ $9$

La moitié centrale des valeurs tient dans un intervalle de largeur $9$ , alors que la série entière s’étale sur $22$ .

Niveau 2 — Approfondissement

Voici les âges de $12$ participants à un atelier : $11$ ; $13$ ; $12$ ; $15$ ; $14$ ; $12$ ; $16$ ; $13$ ; $11$ ; $17$ ; $14$ ; $13$ . Détermine $Q_1$ , la médiane, $Q_3$ et l’étendue.

Voir le corrigé détaillé

Série rangée : $11$ ; $11$ ; $12$ ; $12$ ; $13$ ; $13$ ; $13$ ; $14$ ; $14$ ; $15$ ; $16$ ; $17$ , avec $N = 12$ .

$\dfrac{N}{4} = 3$ entier, on prend le rang $3$
$\Rightarrow$ $Q_1 = 12$

$N$ est pair, rangs $6$ et $7$
$Me = \dfrac{13 + 13}{2}$
$=$ $13$

$\dfrac{3N}{4} = 9$ entier, on prend le rang $9$
$\Rightarrow$ $Q_3 = 14$

étendue $= 17 - 11$
$=$ $6$

Le tableau donne le nombre de livres empruntés au CDI par $50$ élèves.

Nombre de livres	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Effectif	$6$	$11$	$14$	$10$	$6$	$3$

a. Complète mentalement les effectifs cumulés. b. Détermine la médiane, $Q_1$ et $Q_3$ . c. Calcule la moyenne, arrondie au centième.

Voir le corrigé détaillé

a. Effectifs cumulés croissants : $6$ ; $17$ ; $31$ ; $41$ ; $47$ ; $50$ .

b. L’effectif total est $N = 50$ , il est pair.

rangs $25$ et $26$ car $\dfrac{50}{2} = 25$
les rangs $18$ à $31$ correspondent à la valeur $2$
$Me = \dfrac{2 + 2}{2}$
$=$ $2$

$\dfrac{N}{4} = 12{,}5$ non entier
$\Rightarrow$ rang $13$ , situé entre $7$ et $17$
$\Rightarrow$ $Q_1 = 1$

$\dfrac{3N}{4} = 37{,}5$ non entier
$\Rightarrow$ rang $38$ , situé entre $32$ et $41$
$\Rightarrow$ $Q_3 = 3$

somme $= 0 \times 6 + 1 \times 11 + 2 \times 14 + 3 \times 10 + 4 \times 6 + 5 \times 3$
$=$ $0 + 11 + 28 + 30 + 24 + 15$
$=$ $108$
$\overline{x} = \dfrac{108}{50}$
$=$ $2{,}16$

La moyenne de $8$ nombres est $12$ . On ajoute un neuvième nombre et la moyenne devient $13$ . Quel est ce nombre ?

Voir le corrigé détaillé

La moyenne est la somme divisée par l’effectif : on remonte donc aux sommes.

somme des $8$ nombres $= 12 \times 8$
$=$ $96$
somme des $9$ nombres $= 13 \times 9$
$=$ $117$
le nombre ajouté $= 117 - 96$
$=$ $21$

Dans un contrôle, les $18$ filles d’une classe ont une moyenne de $13$ et les $12$ garçons une moyenne de $10$ . Quelle est la moyenne de la classe ?

Voir le corrigé détaillé

On ne fait surtout pas la moyenne des deux moyennes : les groupes n’ont pas le même effectif. On repasse par les sommes.

somme des filles $= 13 \times 18$
$=$ $234$
somme des garçons $= 10 \times 12$
$=$ $120$
somme totale $= 234 + 120$
$=$ $354$
effectif total $= 18 + 12 = 30$
$\overline{x} = \dfrac{354}{30}$
$=$ $11{,}8$

La moyenne de la classe est $11{,}8$ , et non $11{,}5$ comme le donnerait le calcul naïf.

Une série de $11$ valeurs a pour médiane $20$ . On remplace la plus grande valeur, $45$ , par $450$ . a. La médiane change-t-elle ? b. La moyenne change-t-elle ? c. Que conclus-tu ?

Voir le corrigé détaillé

a. Non. La médiane est la $6^\text{e}$ valeur de la série rangée. En augmentant la plus grande valeur, l’ordre des autres n’est pas modifié : la $6^\text{e}$ valeur reste la même, donc $Me = 20$ .

b. Oui, fortement. La somme augmente de $450 - 45 = 405$ .

augmentation de la moyenne $= \dfrac{405}{11}$
$\approx$ $36{,}8$

c. La médiane est robuste face aux valeurs extrêmes, la moyenne ne l’est pas. C’est pour cela qu’on donne les deux.

Niveau 3 — Défi

Une série de $5$ entiers positifs a pour médiane $6$ , pour moyenne $7$ et pour étendue $10$ . Le minimum vaut $2$ . Détermine une série possible, puis explique pourquoi elle n’est pas unique.

Voir le corrigé détaillé

Notons la série rangée $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant e$ .

$a = 2$ le minimum est donné
étendue $= e - a = 10$
$\Rightarrow$ $e = 12$
$N = 5$ est impair, la médiane est la $3^\text{e}$ valeur
$\Rightarrow$ $c = 6$
somme $= 7 \times 5 = 35$
$\Rightarrow$ $2 + b + 6 + d + 12 = 35$
$\iff$ $b + d = 15$

Il reste à choisir $b$ et $d$ tels que $b + d = 15$ , avec $2 \leqslant b \leqslant 6$ et $6 \leqslant d \leqslant 12$ .

Par exemple $b = 5$ et $d = 10$ : la série $2$ ; $5$ ; $6$ ; $10$ ; $12$ convient. Vérification : somme $= 35$ , moyenne $7$ , médiane $6$ , étendue $10$ .

Elle n’est pas unique : $b = 4$ et $d = 11$ , ou $b = 6$ et $d = 9$ , conviennent tout aussi bien. Les quatre indicateurs donnés ne suffisent pas à reconstituer une série : un résumé statistique perd nécessairement de l’information.

Démontre que si l’on ajoute un même nombre $k$ à toutes les valeurs d’une série, alors la moyenne et la médiane augmentent de $k$ , mais que l’étendue ne change pas.

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Pour la moyenne. Notons $x_1, x_2, \dots, x_N$ les valeurs.

nouvelle somme $= (x_1 + k) + \dots + (x_N + k)$
$=$ $(x_1 + \dots + x_N) + N \times k$ on ajoute $k$ exactement $N$ fois
nouvelle moyenne $= \dfrac{(x_1 + \dots + x_N) + Nk}{N}$
$=$ $\overline{x} + k$

Pour la médiane. Ajouter le même nombre à toutes les valeurs ne change pas leur ordre : la valeur qui était au rang du milieu y reste, et elle a augmenté de $k$ . La médiane augmente donc de $k$ .

Pour l’étendue.

nouvelle étendue $= (x_{\max} + k) - (x_{\min} + k)$
$=$ $x_{\max} - x_{\min} + k - k$
$=$ $x_{\max} - x_{\min}$

L’étendue est inchangée : décaler toute une série ne modifie pas sa dispersion. C.Q.F.D.

Dans une série de $200$ valeurs, on sait que $Q_3 = 18$ . Un élève affirme : « Donc exactement $50$ valeurs sont strictement supérieures à $18$ . » A-t-il raison ? Justifie soigneusement.

Voir le corrigé détaillé

Il a tort, pour deux raisons.

Première raison : la définition parle de « au moins ». $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins $75\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales. Ici $\dfrac{3 \times 200}{4} = 150$ , donc au moins $150$ valeurs sont inférieures ou égales à $18$ . Il en reste donc au plus $50$ strictement supérieures, mais pas nécessairement exactement $50$ .

Seconde raison : les répétitions. Si la valeur $18$ est très fréquente, elle peut occuper les rangs $150$ à $170$ , par exemple. Dans ce cas $170$ valeurs sont inférieures ou égales à $18$ , et seulement $30$ lui sont strictement supérieures.

La formulation correcte est : « au moins $75\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $18$ ».

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le marché de Yaoundé. Chantal relève pendant $15$ jours le prix du kilogramme de tomates, en francs CFA :

$500$ ; $550$ ; $600$ ; $500$ ; $700$ ; $650$ ; $550$ ; $600$ ; $600$ ; $800$ ; $750$ ; $600$ ; $550$ ; $500$ ; $1\,200$ .

Calcule le prix moyen, arrondi au franc près.
Détermine le prix médian.
Calcule $Q_1$ , $Q_3$ et l’étendue.
Chantal veut annoncer « le prix habituel des tomates ». Quel indicateur lui conseilles-tu, et pourquoi ?

Voir le corrigé détaillé

On range d’abord la série :

$500$ ; $500$ ; $500$ ; $550$ ; $550$ ; $550$ ; $600$ ; $600$ ; $600$ ; $600$ ; $650$ ; $700$ ; $750$ ; $800$ ; $1\,200$ .

1. Calculons la somme en regroupant les valeurs identiques.

somme $= 500 \times 3 + 550 \times 3 + 600 \times 4 + 650 + 700 + 750 + 800 + 1\,200$
$=$ $1\,500 + 1\,650 + 2\,400 + 4\,100$
$=$ $9\,650$
$\overline{x} = \dfrac{9\,650}{15}$
$\approx$ $643$

Le prix moyen est d’environ $643$ F CFA le kilogramme.

$N = 15$ , effectif impair
rang $= \dfrac{15+1}{2} = 8$
$\Rightarrow$ $Me = 600$

$\dfrac{15}{4} = 3{,}75$
$\Rightarrow$ rang $4$ , donc $Q_1 = 550$
$\dfrac{45}{4} = 11{,}25$
$\Rightarrow$ rang $12$ , donc $Q_3 = 700$
étendue $= 1\,200 - 500$
$=$ $700$

4. On conseille à Chantal le prix médian, soit $600$ F CFA. La journée de pénurie à $1\,200$ F CFA est une valeur exceptionnelle qui gonfle la moyenne : elle ne représente pas le quotidien du marché. La médiane, elle, indique qu’un jour sur deux le kilogramme coûte $600$ F CFA ou moins.

Les temps de trajet à Bruxelles. Léa teste deux itinéraires pour se rendre au lycée. Elle chronomètre chacun d’eux pendant $11$ jours, en minutes.

Itinéraire A (tram) : $18$ ; $20$ ; $19$ ; $21$ ; $20$ ; $22$ ; $19$ ; $20$ ; $21$ ; $19$ ; $21$ .

Itinéraire B (vélo) : $12$ ; $15$ ; $30$ ; $14$ ; $13$ ; $35$ ; $16$ ; $14$ ; $28$ ; $13$ ; $30$ .

Calcule la médiane et l’étendue de chaque itinéraire.
Quel itinéraire est le plus rapide « la moitié du temps » ?
Léa doit absolument arriver à l’heure. Que lui conseilles-tu ?

Voir le corrigé détaillé

1. Itinéraire A rangé : $18$ ; $19$ ; $19$ ; $19$ ; $20$ ; $20$ ; $20$ ; $21$ ; $21$ ; $21$ ; $22$ .

$N = 11$ , rang de la médiane $= 6$
$\Rightarrow$ $Me_A = 20$
étendue $= 22 - 18$
$=$ $4$

Itinéraire B rangé : $12$ ; $13$ ; $13$ ; $14$ ; $14$ ; $15$ ; $16$ ; $28$ ; $30$ ; $30$ ; $35$ .

$N = 11$ , rang de la médiane $= 6$
$\Rightarrow$ $Me_B = 15$
étendue $= 35 - 12$
$=$ $23$

2. L’itinéraire B est plus rapide la moitié du temps : sa médiane, $15$ minutes, est nettement inférieure à celle de A, $20$ minutes.

3. Mais l’étendue de B est de $23$ minutes contre seulement $4$ pour A : le vélo est très irrégulier, avec des jours à $35$ minutes — pluie, crevaison, circulation. Le tram, lui, est presque toujours entre $18$ et $22$ minutes.

Si Léa doit absolument arriver à l’heure, on lui conseille l’itinéraire A : il est un peu plus lent en médiane, mais il est prévisible. En statistiques comme dans la vie, la régularité vaut souvent mieux que la performance moyenne.

Les salaires de l’atelier d’Abidjan. Un atelier de couture emploie $12$ personnes. Les salaires mensuels, en milliers de francs CFA, sont :

$90$ ; $95$ ; $100$ ; $100$ ; $110$ ; $110$ ; $120$ ; $125$ ; $130$ ; $140$ ; $180$ ; $700$ .

Calcule le salaire moyen, arrondi au dixième.
Détermine le salaire médian.
Le patron déclare : « Chez moi, on gagne en moyenne plus de $160\,000$ F CFA. » Est-ce mathématiquement exact ? Est-ce honnête ?
Une déléguée du personnel préfère parler du salaire médian. Justifie son choix.

Voir le corrigé détaillé

1. La série est déjà rangée.

somme $= 90+95+100+100+110+110+120+125+130+140+180+700$
$=$ $2\,000$
$\overline{x} = \dfrac{2\,000}{12}$
$\approx$ $166{,}7$

Le salaire moyen est d’environ $166\,700$ F CFA.

2. L’effectif $N = 12$ est pair.

rangs $6$ et $7$ car $\dfrac{12}{2} = 6$
$Me = \dfrac{110 + 120}{2}$
$=$ $115$

Le salaire médian est de $115\,000$ F CFA.

3. Le calcul du patron est mathématiquement exact : la moyenne dépasse bien $160$ milliers de francs CFA. Mais l’affirmation est trompeuse : son propre salaire de $700\,000$ F CFA, à lui seul, tire la moyenne vers le haut. En réalité, onze salariés sur douze gagnent moins que cette « moyenne ».

4. La déléguée a raison de préférer la médiane : $115\,000$ F CFA signifie que la moitié des employés gagnent moins et l’autre moitié plus. Cet indicateur ne se laisse pas déformer par une seule valeur extrême, et il décrit donc bien mieux la situation réelle de l’atelier.

Statistiques : médiane, quartiles et étendue

Ce que tu sauras faire à la fin

1Le vocabulaire des séries statistiques

1.1 Fréquences

1.2 Séries regroupées en classes

2La moyenne

2.1 Moyenne simple

2.2 Moyenne pondérée

3La médiane

4Quartiles et étendue

5Le diagramme en boîte

6Interpréter et comparer

6.1 Ce que la médiane dit de plus que la moyenne

6.2 Comparer deux séries

Fiche mémo

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Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès