Le hasard semble par définition impossible à prévoir : personne ne sait sur quelle face un dé va tomber. Et pourtant, les mathématiques savent le mesurer. Elles ne diront jamais ce qui va se produire au prochain lancer, mais elles diront avec une grande précision ce qui se produit sur un très grand nombre de lancers. C’est ce qui permet aux assureurs de fixer leurs tarifs, aux médecins d’évaluer un traitement et aux météorologues d’annoncer « $70\%$ de risque de pluie ».

1Expérience aléatoire, issues et événements

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel se produira.

Chaque résultat possible s’appelle une issue. L’ensemble de toutes les issues s’appelle l’univers de l’expérience.

Exemple — trois expériences aléatoires

Expérience	Issues	Nombre d’issues
lancer une pièce	pile, face	$2$
lancer un dé à six faces	$1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$	$6$
tirer une carte dans un jeu de $32$	les $32$ cartes	$32$

En revanche, calculer $7 \times 8$ n’est pas une expérience aléatoire : le résultat est connu d’avance.

Définition

Un événement est un ensemble d’issues, décrit par une phrase. On dit qu’un événement est réalisé lorsque l’issue obtenue lui appartient.

Un événement formé d’une seule issue est un événement élémentaire.

Exemple — des événements pour un dé

On lance un dé équilibré à six faces.

$A$ : « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues $2$ , $4$ et $6$ ;
$B$ : « obtenir au moins $5$ » est réalisé par $5$ et $6$ ;
$C$ : « obtenir $3$ » est un événement élémentaire ;
$D$ : « obtenir $7$ » n’est réalisé par aucune issue : c’est un événement impossible ;
$E$ : « obtenir un nombre inférieur à $10$ » est réalisé par toutes les issues : c’est un événement certain.

Définition

L’événement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ et lu « $A$ barre », est l’événement réalisé exactement lorsque $A$ ne l’est pas.

Attention

Le contraire de « obtenir au moins $5$ » n’est pas « obtenir au plus $5$ », mais « obtenir strictement moins que $5$ », c’est-à-dire $1$ , $2$ , $3$ ou $4$ . Le contraire de « au moins » est « strictement moins », et le contraire de « au moins un » est « aucun ».

2La probabilité d’un événement

Définition

La probabilité d’un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure la chance que cet événement se réalise. On la note $P(A)$ .

Elle correspond à la fréquence vers laquelle on tend lorsqu’on répète l’expérience un très grand nombre de fois.

Figure 1 — Une probabilité vaut

0

pour un événement impossible,

1

pour un événement certain, et se place entre les deux dans tous les autres cas.

2.1 Le cas de l’équiprobabilité

Définition

On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité. C’est le cas d’un dé équilibré, d’une pièce bien équilibrée, de boules indiscernables au toucher ou d’un tirage au hasard.

Théorème

Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement $A$ est :

$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$

Important : Les mots « équilibré », « au hasard », « indiscernables au toucher » ne sont pas du décor : ce sont eux qui autorisent à appliquer cette formule. S’ils manquent, la formule ne s’applique pas.

Figure 2 — Cinq boules indiscernables : chacune a la probabilité

\dfrac{1}{5}

d’être tirée, donc

P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{5}

Exemple — calculs sur un dé équilibré

On lance un dé équilibré à six faces. Il y a donc $6$ cas possibles.

$A$ : « obtenir un nombre pair », cas favorables : $2$ , $4$ , $6$
$P(A) = \dfrac{3}{6}$
$=$ $\dfrac{1}{2}$ on simplifie

$B$ : « obtenir au moins $5$ », cas favorables : $5$ , $6$
$P(B) = \dfrac{2}{6}$
$=$ $\dfrac{1}{3}$

Méthode — calculer une probabilité

Vérifier que l’énoncé garantit l’équiprobabilité ;
compter le nombre total d’issues : c’est le dénominateur ;
compter les issues qui réalisent l’événement : c’est le numérateur ;
simplifier la fraction, et vérifier que le résultat est bien entre $0$ et $1$ .

3Les propriétés des probabilités

Propriété

Pour tout événement $A$ :

$0 \leqslant P(A) \leqslant 1$ ;
$P(\text{événement impossible}) = 0$ et $P(\text{événement certain}) = 1$ ;
la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ .

La première propriété découle directement de la formule : le nombre de cas favorables est compris entre $0$ et le nombre de cas possibles, donc le quotient est compris entre $0$ et $1$ .

Théorème — probabilité de l’événement contraire

Pour tout événement $A$ :

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Démonstration

Chaque issue de l’expérience réalise soit $A$ , soit $\overline{A}$ — et jamais les deux à la fois, puisque $\overline{A}$ est réalisé exactement quand $A$ ne l’est pas.

Les issues se répartissent donc en deux groupes séparés, sans oubli ni double comptage.

somme des probabilités des issues qui réalisent $A$ $= P(A)$
somme des probabilités des issues qui réalisent $\overline{A}$ $= P(\overline{A})$
somme des probabilités de toutes les issues $= 1$
$\Rightarrow$ $P(A) + P(\overline{A}) = 1$
$\Rightarrow$ $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ on retranche $P(A)$ aux deux membres

C.Q.F.D.

Exemple — quand le contraire est plus facile

On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un $6$ ?

Compter directement les cas favorables est pénible. On passe par le contraire : « n’obtenir aucun $6$ ».

nombre total d’issues $= 6 \times 6 = 36$
issues sans aucun $6$ : $5 \times 5 = 25$
$P(\overline{A}) = \dfrac{25}{36}$
$P(A) = 1 - \dfrac{25}{36}$
$=$ $\dfrac{11}{36}$

Retiens ce réflexe : dès qu’un énoncé contient « au moins un », pense à l’événement contraire.

4Expériences à deux épreuves : l’arbre pondéré

Beaucoup de situations enchaînent deux épreuves : deux lancers, deux tirages, un tirage puis un autre. On les représente par un arbre pondéré, dont chaque branche porte une probabilité.

Méthode — les trois règles de l’arbre

La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut toujours $1$ ;
la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin ;
la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

On résume souvent ces règles ainsi : on multiplie le long d’un chemin, on additionne entre les chemins.

4.1 Deux tirages avec remise

Un sac contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans le sac, puis on tire une seconde boule.

Comme la boule est remise, le sac est identique au second tirage : les probabilités du second étage sont les mêmes que celles du premier.

Figure 3 — Arbre pondéré du tirage avec remise. Le chemin surligné est « rouge puis verte » :

\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}

Exemple — exploiter l’arbre avec remise

Calculons la probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur. Deux chemins la réalisent : $RR$ et $VV$ .

$P(RR) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5}$
$=$ $\dfrac{9}{25}$
$P(VV) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5}$
$=$ $\dfrac{4}{25}$
$P(\text{même couleur}) = \dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25}$ on additionne entre les chemins
$=$ $\dfrac{13}{25}$

Vérification par le contraire : $P(\text{couleurs différentes}) = \dfrac{6}{25} + \dfrac{6}{25} = \dfrac{12}{25}$ , et $\dfrac{13}{25} + \dfrac{12}{25} = 1$ . Tout est cohérent.

4.2 Deux tirages sans remise

Reprenons le même sac, mais cette fois la première boule n’est pas remise. Au second tirage il ne reste que $4$ boules, et leur composition dépend de ce qui a été tiré en premier : les probabilités du second étage changent d’une branche à l’autre.

Figure 4 — Arbre pondéré du tirage sans remise. Sur chaque nœud, la somme des deux branches vaut bien

1

\dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{4} = 1

\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1

Exemple — exploiter l’arbre sans remise

Calculons la probabilité d’obtenir exactement une boule rouge. Deux chemins la réalisent : $RV$ et $VR$ .

$P(RV) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4}$
$=$ $\dfrac{6}{20}$
$=$ $\dfrac{3}{10}$
$P(VR) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4}$
$=$ $\dfrac{6}{20}$
$=$ $\dfrac{3}{10}$
$P(\text{exactement une rouge}) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{10}$
$=$ $\dfrac{6}{10}$
$=$ $\dfrac{3}{5}$

Attention

La question « avec remise ou sans remise ? » est la première à se poser. Avec remise, les deux étages sont identiques. Sans remise, le dénominateur du second étage diminue de $1$ , et le numérateur dépend de la branche empruntée.

5Le tableau à double entrée

Quand chaque épreuve a plusieurs issues, l’arbre devient vite illisible. On lui préfère alors un tableau à double entrée : les issues de la première épreuve en ligne, celles de la seconde en colonne, et le résultat croisé dans chaque case.

Exemple — la somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés et on additionne les deux faces obtenues.

$+$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

Le tableau contient $36$ cases, qui sont les $36$ issues équiprobables de l’expérience.

la somme $7$ apparaît dans $6$ cases
$P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36}$
$=$ $\dfrac{1}{6}$

la somme $12$ apparaît dans $1$ seule case
$P(\text{somme} = 12) = \dfrac{1}{36}$

Le tableau montre d’un seul coup d’œil que toutes les sommes ne se valent pas : $7$ est six fois plus probable que $12$ .

Attention

Les sommes ne sont pas équiprobables, alors que les cases le sont. Il faut donc toujours compter des cases, jamais des valeurs différentes.

Exemple — une enquête au collège

Dans un collège de $200$ élèves, on relève le sexe et le régime (demi-pensionnaire ou externe).

	Demi-pensionnaire	Externe	Total
Filles	$75$	$35$	$110$
Garçons	$55$	$35$	$90$
Total	$130$	$70$	$200$

On choisit un élève au hasard : il y a équiprobabilité, avec $200$ cas possibles.

$P(\text{c’est une fille}) = \dfrac{110}{200}$
$=$ $\dfrac{11}{20}$
$=$ $0{,}55$

$P(\text{une fille demi-pensionnaire}) = \dfrac{75}{200}$
$=$ $\dfrac{3}{8}$
$=$ $0{,}375$

$P(\text{un externe}) = \dfrac{70}{200}$
$=$ $\dfrac{7}{20}$
$=$ $0{,}35$

Les cases centrales, et elles seules, comptent les élèves : les cases « Total » servent uniquement à vérifier et à répondre aux questions globales.

Math & Co — Pascal, Fermat et le problème des partis

La théorie des probabilités naît d’une question de joueurs. En 1654, Antoine Gombaud, chevalier de Méré, soumet à Blaise Pascal un vieux casse-tête, le problème des partis : deux joueurs interrompent une partie avant la fin ; comment partager équitablement les mises, en tenant compte des chances que chacun avait encore de gagner ?

Pascal engage alors une correspondance restée célèbre avec Pierre de Fermat, magistrat à Toulouse. En quelques lettres échangées cette année-là, les deux hommes mettent au point le raisonnement qui consiste à évaluer les chances des situations à venir plutôt que le score déjà acquis : c’est l’acte de naissance du calcul des probabilités.

Peu après, le Hollandais Christiaan Huygens, informé de ces échanges, publie en 1657 le premier traité imprimé sur le sujet, De ratiociniis in ludo aleae — « Du raisonnement dans les jeux de hasard ».

Fiche mémo

Une issue est un résultat possible ; un événement est un ensemble d’issues.
Équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ .
$0 \leqslant P(A) \leqslant 1$ ; impossible $\Rightarrow 0$ ; certain $\Rightarrow 1$ .
La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ .
Événement contraire : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ . Réflexe pour « au moins un ».
Arbre pondéré : les branches d’un même nœud ont pour somme $1$ .
On multiplie le long d’un chemin, on additionne entre les chemins.
Avec remise : les deux étages sont identiques. Sans remise : le total baisse de $1$ .
Tableau à double entrée : on compte des cases, qui sont équiprobables.

Niveau 1 — Application directe

On lance un dé équilibré à six faces. Calcule la probabilité des événements : $A$ « obtenir $4$ » ; $B$ « obtenir un nombre impair » ; $C$ « obtenir un nombre supérieur ou égal à $3$ ».

Voir le corrigé détaillé

Le dé est équilibré : il y a équiprobabilité et $6$ cas possibles.

$A$ : un seul cas favorable
$P(A) = \dfrac{1}{6}$

$B$ : cas favorables $1$ , $3$ , $5$
$P(B) = \dfrac{3}{6}$
$=$ $\dfrac{1}{2}$

$C$ : cas favorables $3$ , $4$ , $5$ , $6$
$P(C) = \dfrac{4}{6}$
$=$ $\dfrac{2}{3}$

Une urne contient $4$ jetons bleus, $6$ jetons jaunes et $2$ jetons noirs, indiscernables au toucher. On en tire un au hasard. Calcule la probabilité de tirer un jeton jaune, puis celle de tirer un jeton qui ne soit pas noir.

Voir le corrigé détaillé

nombre total de jetons $= 4 + 6 + 2$
$=$ $12$
$P(\text{jaune}) = \dfrac{6}{12}$
$=$ $\dfrac{1}{2}$

Pour le second, on passe par l’événement contraire.

$P(\text{noir}) = \dfrac{2}{12}$
$=$ $\dfrac{1}{6}$
$P(\text{pas noir}) = 1 - \dfrac{1}{6}$
$=$ $\dfrac{5}{6}$

Un événement $A$ a pour probabilité $0{,}37$ . Quelle est la probabilité de $\overline{A}$ ?

Voir le corrigé détaillé

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
$=$ $1 - 0{,}37$
$=$ $0{,}63$

Parmi les nombres suivants, lesquels peuvent être des probabilités ? $0{,}4$ ; $\dfrac{7}{5}$ ; $-0{,}2$ ; $1$ ; $\dfrac{3}{8}$ ; $1{,}01$ .

Voir le corrigé détaillé

Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ .

$0{,}4$ : oui ;
$\dfrac{7}{5} = 1{,}4$ : non, supérieur à $1$ ;
$-0{,}2$ : non, négatif ;
$1$ : oui, c’est un événement certain ;
$\dfrac{3}{8} = 0{,}375$ : oui ;
$1{,}01$ : non, supérieur à $1$ .

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Calcule la probabilité de tirer un cœur, puis celle de tirer un roi.

Voir le corrigé détaillé

Un jeu de $32$ cartes comporte $4$ couleurs de $8$ cartes, et $4$ rois.

$P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32}$
$=$ $\dfrac{1}{4}$
$P(\text{roi}) = \dfrac{4}{32}$
$=$ $\dfrac{1}{8}$

Une roue de loterie a trois secteurs. On sait que $P(\text{rouge}) = 0{,}2$ et $P(\text{bleu}) = 0{,}5$ . Quelle est la probabilité du secteur vert ?

Voir le corrigé détaillé

La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ .

$0{,}2 + 0{,}5 + P(\text{vert}) = 1$
$\iff$ $0{,}7 + P(\text{vert}) = 1$
$\iff$ $P(\text{vert}) = 0{,}3$

Donne l’événement contraire de chacun : $A$ « obtenir au moins deux piles » ; $B$ « tirer une boule rouge » ; $C$ « les trois élèves interrogés sont des filles ».

Voir le corrigé détaillé

$\overline{A}$ : « obtenir au plus un pile », c’est-à-dire zéro ou un ;
$\overline{B}$ : « tirer une boule qui n’est pas rouge » ;
$\overline{C}$ : « au moins un des trois élèves est un garçon ».

Attention pour $C$ : le contraire de « tous » est « au moins un ne l’est pas », et non « aucun ».

Niveau 2 — Approfondissement

Une urne contient $2$ boules blanches et $3$ boules noires. On tire successivement deux boules avec remise. a. Construis l’arbre pondéré (tu peux le décrire). b. Calcule la probabilité d’obtenir deux boules blanches. c. Calcule la probabilité d’obtenir au moins une boule noire.

Voir le corrigé détaillé

a. L’arbre a deux étages identiques, puisqu’il y a remise. Chaque nœud porte deux branches : blanche avec $\dfrac{2}{5}$ , noire avec $\dfrac{3}{5}$ .

b. On multiplie le long du chemin $BB$ .

$P(BB) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5}$
$=$ $\dfrac{4}{25}$

c. « Au moins une noire » : on passe par le contraire, « aucune noire », c’est-à-dire $BB$ .

$P(\text{au moins une noire}) = 1 - P(BB)$
$=$ $1 - \dfrac{4}{25}$
$=$ $\dfrac{21}{25}$

Reprends l’urne précédente ( $2$ blanches, $3$ noires), mais cette fois sans remise. a. Quelles sont les probabilités du second étage après une boule blanche ? b. Calcule la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes.

Voir le corrigé détaillé

a. Après avoir tiré une blanche, il reste $1$ blanche et $3$ noires, soit $4$ boules.

$P(\text{blanche au 2e tirage}) = \dfrac{1}{4}$
$P(\text{noire au 2e tirage}) = \dfrac{3}{4}$
vérification : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$

b. Deux chemins conviennent : $BN$ et $NB$ .

$P(BN) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4}$
$=$ $\dfrac{6}{20}$
$P(NB) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4}$
$=$ $\dfrac{6}{20}$
$P(\text{couleurs différentes}) = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20}$
$=$ $\dfrac{12}{20}$
$=$ $\dfrac{3}{5}$

On lance deux dés équilibrés et on additionne les faces. À l’aide du tableau du cours, calcule la probabilité d’obtenir : a. une somme égale à $5$ ; b. une somme strictement supérieure à $9$ ; c. une somme paire.

Voir le corrigé détaillé

Il y a $36$ cases équiprobables.

a. La somme $5$ apparaît pour $(1;4)$ , $(2;3)$ , $(3;2)$ et $(4;1)$ .

$P = \dfrac{4}{36}$
$=$ $\dfrac{1}{9}$

b. Sommes concernées : $10$ ( $3$ cases), $11$ ( $2$ cases), $12$ ( $1$ case).

nombre de cases favorables $= 3 + 2 + 1$
$=$ $6$
$P = \dfrac{6}{36}$
$=$ $\dfrac{1}{6}$

c. La somme est paire lorsque les deux dés sont pairs ( $3 \times 3 = 9$ cases) ou tous deux impairs ( $3 \times 3 = 9$ cases).

cases favorables $= 9 + 9$
$=$ $18$
$P = \dfrac{18}{36}$
$=$ $\dfrac{1}{2}$

Dans un club de $180$ adhérents, on a relevé le sport pratiqué et le sexe.

	Football	Basket	Total
Filles	$40$	$?$	$95$
Garçons	$?$	$30$	$?$
Total	$95$	$?$	$180$

a. Complète le tableau. b. On choisit un adhérent au hasard : calcule la probabilité que ce soit une fille pratiquant le basket. c. Calcule la probabilité que ce soit un garçon.

Voir le corrigé détaillé

a. On complète case par case, en s’appuyant sur les totaux.

filles au basket $= 95 - 40$
$=$ $55$
garçons au football $= 95 - 40$
$=$ $55$
total des garçons $= 55 + 30$
$=$ $85$
total basket $= 55 + 30$
$=$ $85$

Vérification : $95 + 85 = 180$ pour les lignes, et $95 + 85 = 180$ pour les colonnes.

$P(\text{fille et basket}) = \dfrac{55}{180}$
$=$ $\dfrac{11}{36}$

$P(\text{garçon}) = \dfrac{85}{180}$
$=$ $\dfrac{17}{36}$

On lance une pièce équilibrée trois fois de suite. a. Combien y a-t-il d’issues ? b. Calcule la probabilité d’obtenir exactement deux piles. c. Calcule la probabilité d’obtenir au moins un face.

Voir le corrigé détaillé

a. Chaque lancer a $2$ issues.

nombre d’issues $= 2 \times 2 \times 2$
$=$ $8$

Les issues sont : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Elles sont équiprobables.

b. Exactement deux piles : PPF, PFP, FPP.

$P = \dfrac{3}{8}$

c. Le contraire de « au moins un face » est « aucun face », c’est-à-dire PPP.

$P(\text{aucun face}) = \dfrac{1}{8}$
$P(\text{au moins un face}) = 1 - \dfrac{1}{8}$
$=$ $\dfrac{7}{8}$

Niveau 3 — Défi

Une urne contient $n$ boules rouges et $4$ boules vertes. On tire une boule au hasard. Détermine $n$ pour que la probabilité de tirer une boule rouge soit égale à $\dfrac{3}{5}$ .

Voir le corrigé détaillé

Le nombre total de boules est $n + 4$ , et le nombre de cas favorables est $n$ .

$\dfrac{n}{n+4} = \dfrac{3}{5}$
$\iff$ $5n = 3(n + 4)$ produit en croix
$\iff$ $5n = 3n + 12$
$\iff$ $2n = 12$
$\iff$ $n = 6$

Vérification : avec $6$ rouges et $4$ vertes, on a $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ . Il faut donc $6$ boules rouges.

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire deux boules sans remise. Démontre que la probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur est inférieure à celle d’obtenir deux couleurs différentes.

Voir le corrigé détaillé

On reprend l’arbre du cours.

$P(RR) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4}$
$=$ $\dfrac{6}{20}$
$P(VV) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4}$
$=$ $\dfrac{2}{20}$
$P(\text{même couleur}) = \dfrac{6}{20} + \dfrac{2}{20}$
$=$ $\dfrac{8}{20}$
$=$ $\dfrac{2}{5}$

On en déduit la probabilité contraire.

$P(\text{couleurs différentes}) = 1 - \dfrac{2}{5}$
$=$ $\dfrac{3}{5}$

Or $\dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{5}$ : obtenir deux couleurs différentes est bien plus probable. C.Q.F.D.

On lance deux dés équilibrés. Un joueur affirme : « La probabilité d’obtenir un double est $\dfrac{1}{6}$ , car il y a $6$ doubles pour $6$ faces. » Un autre répond : « Non, c’est $\dfrac{6}{36}$ . » Qui a raison ? Discute, puis calcule la probabilité que le produit des deux faces soit un nombre premier.

Voir le corrigé détaillé

Les deux ont raison, car $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ : c’est la même probabilité ! Mais seul le second raisonne correctement : il compte des cases parmi les $36$ issues équiprobables. Le premier tombe juste par coïncidence, et son raisonnement échouerait sur une autre question.

Cherchons maintenant les cases dont le produit est un nombre premier. Un produit de deux entiers est premier seulement si l’un des facteurs vaut $1$ et l’autre est premier.

facteurs premiers disponibles sur un dé : $2$ , $3$ , $5$
cases avec un $1$ puis un premier : $(1;2)$ , $(1;3)$ , $(1;5)$
cases avec un premier puis un $1$ : $(2;1)$ , $(3;1)$ , $(5;1)$
nombre de cases favorables $= 3 + 3$
$=$ $6$
$P = \dfrac{6}{36}$
$=$ $\dfrac{1}{6}$

Le cas $(1;1)$ est exclu : le produit vaut $1$ , qui n’est pas un nombre premier.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La tombola du lycée de Ndjamena. L’association des élèves vend $500$ billets pour financer un voyage. Il y a $1$ gros lot, $9$ lots moyens et $40$ petits lots. Kaltouma achète un billet.

Quelle est la probabilité qu’elle gagne le gros lot ?
Quelle est la probabilité qu’elle gagne un lot, quel qu’il soit ?
Quelle est la probabilité qu’elle ne gagne rien ?
Son frère Idriss achète $20$ billets. Quelle est sa probabilité de gagner au moins un lot ? On raisonnera sur le nombre de billets gagnants.

Voir le corrigé détaillé

Le tirage est au hasard : il y a équiprobabilité sur les $500$ billets.

$P(\text{gros lot}) = \dfrac{1}{500}$
$=$ $0{,}002$

2. Le nombre total de billets gagnants est :

$1 + 9 + 40$
$=$ $50$
$P(\text{gagner}) = \dfrac{50}{500}$
$=$ $\dfrac{1}{10}$
$=$ $0{,}1$

3. On utilise l’événement contraire.

$P(\text{ne rien gagner}) = 1 - 0{,}1$
$=$ $0{,}9$

4. Idriss possède $20$ billets sur $500$ . Comme un billet sur dix est gagnant, on peut estimer le nombre de billets gagnants qu’il détient :

$20 \times \dfrac{1}{10}$
$=$ $2$

En moyenne, Idriss détient $2$ billets gagnants : il a donc de très bonnes chances de gagner au moins un lot. Attention toutefois, ce raisonnement donne une moyenne, pas une certitude : il pourrait n’en gagner aucun.

Le contrôle qualité de l’atelier de Bamako. Un atelier fabrique des sachets de thé. Sur $400$ sachets contrôlés, on relève :

	Poids conforme	Poids non conforme	Total
Emballage conforme	$342$	$18$	$360$
Emballage non conforme	$24$	$16$	$40$
Total	$366$	$34$	$400$

On prélève un sachet au hasard parmi les $400$ .

Calcule la probabilité que le sachet soit entièrement conforme.
Calcule la probabilité qu’il présente au moins un défaut.
Calcule la probabilité qu’il présente exactement un défaut.
L’atelier vise moins de $10\%$ de sachets défectueux. L’objectif est-il atteint ?

Voir le corrigé détaillé

1. Un sachet entièrement conforme est conforme sur les deux critères : c’est la case $342$ .

$P = \dfrac{342}{400}$
$=$ $0{,}855$

2. « Au moins un défaut » est le contraire de « entièrement conforme ».

$P = 1 - 0{,}855$
$=$ $0{,}145$

3. Exactement un défaut : soit le poids seul ( $18$ sachets), soit l’emballage seul ( $24$ sachets).

cases favorables $= 18 + 24$
$=$ $42$
$P = \dfrac{42}{400}$
$=$ $0{,}105$

4. La proportion de sachets présentant au moins un défaut est $0{,}145$ , soit $14{,}5\%$ .

Or $14{,}5\% > 10\%$ : l’objectif n’est pas atteint. L’atelier devrait s’intéresser en priorité à l’emballage, responsable de $40$ défauts sur les $58$ sachets défectueux.

Le trajet de Sophie à Genève. Chaque matin, Sophie prend d’abord le bus, puis le tram. D’après ses relevés, le bus est à l’heure avec une probabilité de $0{,}8$ . Quand le bus est à l’heure, elle attrape son tram avec une probabilité de $0{,}9$ ; quand il est en retard, elle ne l’attrape qu’avec une probabilité de $0{,}3$ .

Décris l’arbre pondéré de la situation et vérifie la règle de la somme sur chaque nœud.
Calcule la probabilité que Sophie prenne le bus à l’heure et attrape son tram.
Calcule la probabilité qu’elle attrape son tram.
Calcule la probabilité qu’elle rate son tram.

Voir le corrigé détaillé

1. Le premier étage porte deux branches : « bus à l’heure » avec $0{,}8$ et « bus en retard » avec $0{,}2$ , car $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ .

Le second étage dépend de la branche empruntée :

après « bus à l’heure » : tram attrapé $0{,}9$ , tram raté $0{,}1$ ; la somme vaut bien $1$ ;
après « bus en retard » : tram attrapé $0{,}3$ , tram raté $0{,}7$ ; la somme vaut bien $1$ .

2. On multiplie le long du chemin.

$P = 0{,}8 \times 0{,}9$
$=$ $0{,}72$

3. Deux chemins mènent à « tram attrapé » : on les additionne.

second chemin $= 0{,}2 \times 0{,}3$
$=$ $0{,}06$
$P(\text{tram attrapé}) = 0{,}72 + 0{,}06$
$=$ $0{,}78$

4. On utilise l’événement contraire.

$P(\text{tram raté}) = 1 - 0{,}78$
$=$ $0{,}22$

Sophie rate donc son tram environ $22$ fois sur $100$ , soit à peu près un jour d’école sur cinq : elle a tout intérêt à partir un peu plus tôt.

Probabilités

Ce que tu sauras faire à la fin

1Expérience aléatoire, issues et événements

2La probabilité d’un événement

2.1 Le cas de l’équiprobabilité

3Les propriétés des probabilités

4Expériences à deux épreuves : l’arbre pondéré

4.1 Deux tirages avec remise

4.2 Deux tirages sans remise

5Le tableau à double entrée

Fiche mémo

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Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès