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Théorème de Thalès et sa réciproque

Maîtriser la configuration de Thalès, y compris dans la configuration papillon.

Mathématiques 3ème Chapitre 12 / 16 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Rédiger une application de Thalès sans erreur de rapport
  • Démontrer un parallélisme
  • Traiter un problème de mesure indirecte

Comment mesurer la hauteur d’un baobab sans y grimper, la largeur d’un fleuve sans le traverser, ou la hauteur de la pyramide de Khéops sans échelle ? La réponse tient en un seul théorème, vieux de vingt-six siècles : le théorème de Thalès. Son idée est simple — quand deux droites parallèles coupent deux autres droites, elles découpent des longueurs proportionnelles — mais sa puissance est immense. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à le reconnaître, à l’écrire sans erreur, et à t’en servir dans les deux sens : pour calculer une longueur, et pour démontrer un parallélisme.

1Reconnaître une configuration de Thalès

Tout commence avec deux droites sécantes — appelons AA leur point d’intersection — et deux droites parallèles qui les coupent. Selon la position des points, la figure obtenue prend deux allures très différentes. Ce sont les deux seules configurations que tu rencontreras en 3ème.

1.1  La configuration « triangle emboîté »

Les points MM et NN sont du même côté de AA que BB et CC. Le petit triangle AMNAMN est alors emboîté dans le grand triangle ABCABC, comme une poupée russe.

ABCMNconfiguration « triangle emboîté »
Figure 1 — Configuration « triangle emboîté » : M∈[AB]M \in [AB], N∈[AC]N \in [AC] et (MN)(MN) est parallèle à (BC)(BC). Les deux chevrons codent le parallélisme.

Le repère visuel est infaillible : on voit deux triangles, l’un dans l’autre, avec un sommet commun.

1.2  La configuration « papillon »

Cette fois, MM et NN sont de l’autre côté de AA : le point AA se retrouve entre BB et MM, et entre CC et NN. La figure ressemble alors à un nœud papillon, ou à un sablier.

ABCMNconfiguration « papillon »
Figure 2 — Configuration « papillon » : AA appartient à [BM][BM] et à [CN][CN], et (MN)(MN) est parallèle à (BC)(BC). Les deux triangles sont symétriques par rapport à AA… en apparence seulement.
Définition — configuration de Thalès

On est dans une configuration de Thalès lorsque :

  • deux droites (d)(d) et (d′)(d') se coupent en un point AA ;
  • BB et MM sont deux points de (d)(d), distincts de AA ;
  • CC et NN sont deux points de (d′)(d'), distincts de AA ;
  • les droites (BC)(BC) et (MN)(MN) sont parallèles.
Important : Les deux configurations obéissent exactement au même théorème. Il n’y a donc rien de plus à apprendre pour le papillon : seule l’allure du dessin change, pas les calculs.

2Le théorème de Thalès

Théorème — théorème de Thalès

Soient (d)(d) et (d′)(d') deux droites sécantes en AA. Soient BB et MM deux points de (d)(d) distincts de AA, et CC et NN deux points de (d′)(d') distincts de AA.

Si les droites (BC)(BC) et (MN)(MN) sont parallèles, alors :

AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

Cette triple égalité est le cœur du chapitre. Elle dit que le petit triangle est une réduction du grand : toutes ses longueurs sont multipliées par un même nombre, appelé coefficient de réduction.

Méthode — écrire la triple égalité sans se tromper

Il y a une règle d’or : au numérateur, les longueurs du petit triangle ; au dénominateur, celles du grand triangle, et toujours dans le même ordre de lecture.

  1. Repère le sommet commun aux deux triangles : c’est AA.
  2. Repère les deux triangles : le petit AMNAMN, le grand ABCABC.
  3. Écris petitgrand\dfrac{\text{petit}}{\text{grand}} trois fois, en respectant la correspondance A↔AA \leftrightarrow A, M↔BM \leftrightarrow B, N↔CN \leftrightarrow C.
Attention

La correspondance des lettres n’est pas décorative. Écrire AMAB=ACAN\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AN} est faux : le petit triangle est passé au dénominateur dans le second rapport. Une seule inversion et tout le calcul s’effondre.

2.1  Calculer une longueur : la rédaction attendue

Méthode — calculer une longueur avec Thalès
  1. Justifier : nommer la configuration et rappeler l’hypothèse de parallélisme.
  2. Citer le théorème de Thalès.
  3. Écrire la triple égalité complète.
  4. Remplacer par les valeurs numériques connues.
  5. Isoler l’inconnue par un produit en croix.
  6. Conclure par une phrase, avec l’unité.
Exemple — un calcul complet dans un triangle emboîté

Sur la figure ci-dessous, M∈[AB]M \in [AB], N∈[AC]N \in [AC] et (MN)(MN) est parallèle à (BC)(BC). On donne AM=4AM = 4 cm, AB=6AB = 6 cm, AN=5AN = 5 cm et BC=9BC = 9 cm. Calcule MNMN et ACAC.

ABCMN4 cm2 cm5 cmMN = ?9 cmcalculer MN et AC
Figure 3 — Les données de l’exemple. Attention : AB=6AB = 6 cm est la longueur totale, pas seulement MBMB.

Justification. Les points AA, MM, BB sont alignés, les points AA, NN, CC aussi, et (MN)(MN) est parallèle à (BC)(BC) : on est bien dans une configuration de Thalès.

Le théorème donne :

  1. AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow46=5AC=MN9\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{AC} = \dfrac{MN}{9}on remplace par les valeurs

Calcul de MNMN — on utilise le premier et le troisième rapport :

  1. 46=MN9\dfrac{4}{6} = \dfrac{MN}{9}
  2. ⇒\Rightarrow6×MN=4×96 \times MN = 4 \times 9produit en croix
  3. ⇒\Rightarrow6×MN=366 \times MN = 36
  4. ⇒\RightarrowMN=366MN = \dfrac{36}{6}
  5. ⇒\RightarrowMN=6MN = 6

Calcul de ACAC — on utilise le premier et le deuxième rapport :

  1. 46=5AC\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{AC}
  2. ⇒\Rightarrow4×AC=6×54 \times AC = 6 \times 5produit en croix
  3. ⇒\Rightarrow4×AC=304 \times AC = 30
  4. ⇒\RightarrowAC=304AC = \dfrac{30}{4}
  5. ⇒\RightarrowAC=7,5AC = 7{,}5

Conclusion. MN=6MN = 6 cm et AC=7,5AC = 7{,}5 cm.

Important : Le coefficient de réduction vaut ici 46=23\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}. Toutes les longueurs du petit triangle valent donc les 23\dfrac{2}{3} de celles du grand : 23×9=6\dfrac{2}{3} \times 9 = 6, ce qui confirme MN=6MN = 6 cm.

2.2  Le même calcul dans un papillon

Exemple — calcul dans la configuration papillon

Les droites (BM)(BM) et (CN)(CN) se coupent en AA, et (BC)(BC) est parallèle à (MN)(MN). On donne AB=3AB = 3 cm, AC=4AC = 4 cm, AM=4,5AM = 4{,}5 cm et BC=5BC = 5 cm. Calcule ANAN et MNMN.

ABCMN3 cm4 cm4,5 cmAN = ?5 cmMN = ?calculer AN et MN
Figure 4 — Configuration papillon : ici le « petit » triangle est ABCABC et le « grand » est AMNAMN. Rien ne change dans la méthode.

Justification. AA appartient à [BM][BM] et à [CN][CN], et (BC)(BC) est parallèle à (MN)(MN) : c’est une configuration de Thalès.

  1. ABAM=ACAN=BCMN\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AC}{AN} = \dfrac{BC}{MN}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow34,5=4AN=5MN\dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{4}{AN} = \dfrac{5}{MN}

Calcul de ANAN :

  1. 34,5=4AN\dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{4}{AN}
  2. ⇒\Rightarrow3×AN=4,5×43 \times AN = 4{,}5 \times 4produit en croix
  3. ⇒\Rightarrow3×AN=183 \times AN = 18
  4. ⇒\RightarrowAN=6AN = 6

Calcul de MNMN :

  1. 34,5=5MN\dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{5}{MN}
  2. ⇒\Rightarrow3×MN=4,5×53 \times MN = 4{,}5 \times 5
  3. ⇒\Rightarrow3×MN=22,53 \times MN = 22{,}5
  4. ⇒\RightarrowMN=7,5MN = 7{,}5

Conclusion. AN=6AN = 6 cm et MN=7,5MN = 7{,}5 cm.

3La réciproque : démontrer un parallélisme

Jusqu’ici, on savait que deux droites étaient parallèles et on en déduisait des longueurs. On va maintenant faire le chemin inverse : à partir de longueurs, démontrer que deux droites sont parallèles. C’est le rôle de la réciproque.

Théorème — réciproque du théorème de Thalès

Soient (d)(d) et (d′)(d') deux droites sécantes en AA, BB et MM deux points de (d)(d) distincts de AA, CC et NN deux points de (d′)(d') distincts de AA.

Si les points AA, MM, BB d’une part et AA, NN, CC d’autre part sont dans le même ordre, et si :

AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}

alors les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.

Attention — la condition d’ordre n’est pas facultative

Deux rapports égaux ne suffisent pas. Il faut aussi que les points se suivent dans le même ordre sur les deux droites : MM et NN doivent être du même côté de AA, comme BB et CC.

ABCMNN′Ici AM = 0,5 × AB, et AN = AN′ = 0,5 × AC.Les deux rapports sont donc égaux dans les deux cas.(MN′) n’est pas parallèle à (BC) : N′ est de l’autre côté de A.(MN) ∥ (BC) : N est du même côté de A que C.
Figure 5 — Le piège de la réciproque. NN et N′N' sont à la même distance de AA, donc ANAC=AN′AC\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AN'}{AC} ; pourtant seule (MN)(MN) est parallèle à (BC)(BC). La condition d’ordre élimine N′N'.

Sur une figure codée ou décrite dans l’énoncé (« MM appartient au segment [AB][AB] »), la condition d’ordre est en général évidente : il faut simplement penser à l’écrire dans la rédaction.

Méthode — démontrer que deux droites sont parallèles
  1. Vérifier et écrire que les points sont alignés dans le même ordre.
  2. Calculer séparément les deux rapports, sous forme décimale ou de fraction irréductible.
  3. Comparer : si les deux résultats sont égaux, conclure par la réciproque du théorème de Thalès.
Exemple — démontrer que (MN)(MN) est parallèle à (BC)(BC)

Sur la figure, M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC], avec AM=3AM = 3 cm, MB=4,5MB = 4{,}5 cm, AN=4AN = 4 cm et NC=6NC = 6 cm. Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont-elles parallèles ?

ABCMN3 cm4,5 cm4 cm6 cm(MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
Figure 6 — On ne code pas le parallélisme sur cette figure : c’est justement ce que l’on cherche à démontrer.

Attention : l’énoncé donne MBMB et NCNC, pas ABAB ni ACAC. On commence donc par les reconstituer.

  1. AB=AM+MBAB = AM + MBcar M∈[AB]M \in [AB]
  2. ==3+4,53 + 4{,}5
  3. ==7,57{,}5
  4. AC=AN+NCAC = AN + NCcar N∈[AC]N \in [AC]
  5. ==4+64 + 6
  6. ==1010

Premier rapport :

  1. AMAB=37,5\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{7{,}5}
  2. ==0,40{,}4

Second rapport :

  1. ANAC=410\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{10}
  2. ==0,40{,}4

Conclusion. Les points AA, MM, BB et AA, NN, CC sont alignés dans le même ordre, et AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.

Important : Quand les nombres ne tombent pas juste, ne calcule surtout pas des valeurs approchées : compare les produits en croix. Ici 3×10=303 \times 10 = 30 et 7,5×4=307{,}5 \times 4 = 30 : les produits sont égaux, donc les rapports le sont aussi.

4La contraposée : démontrer un non-parallélisme

Que se passe-t-il si les deux rapports ne sont pas égaux ? On peut alors affirmer que les droites ne sont pas parallèles. C’est ce qu’on appelle la contraposée du théorème de Thalès.

Théorème — contraposée du théorème de Thalès

Avec les mêmes notations, si :

AMAB≠ANAC\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}

alors les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.

Démonstration — pourquoi la contraposée est-elle vraie ?

On raisonne par l’absurde : supposons que (MN)(MN) et (BC)(BC) soient parallèles.

  1. (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC)hypothèse de l’absurde
  2. ⇒\RightarrowAMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}théorème de Thalès

Or on sait que ces deux rapports sont différents : c’est une contradiction.

L’hypothèse de départ est donc fausse : les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles. C.Q.F.D.

Exemple — montrer que deux droites ne sont pas parallèles

On donne AM=3AM = 3 cm, MB=5MB = 5 cm, AN=4AN = 4 cm et NC=6NC = 6 cm, avec M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC].

ABCMN3 cm5 cm4 cm6 cmici, (MN) n’est pas parallèle à (BC)
Figure 7 — En pointillé, la position qu’aurait dû occuper MM pour que (MN)(MN) soit parallèle à (BC)(BC) : elle ne coïncide pas avec la position réelle.
  1. AB=3+5AB = 3 + 5
  2. ==88
  3. AC=4+6AC = 4 + 6
  4. ==1010

On compare les deux rapports par les produits en croix :

  1. AMAB=38\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{8}
  2. ANAC=410\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{10}
  3. 3×10=303 \times 10 = 30
  4. 8×4=328 \times 4 = 32
  5. ⇒\Rightarrow30≠3230 \neq 32
  6. ⇒\Rightarrow38≠410\dfrac{3}{8} \neq \dfrac{4}{10}

Conclusion. D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.

Attention

On ne conclut jamais un parallélisme « parce que ça en a l’air sur le dessin ». Un dessin n’est pas une démonstration : 38=0,375\dfrac{3}{8} = 0{,}375 et 410=0,4\dfrac{4}{10} = 0{,}4 sont si proches que l’œil ne voit pas la différence.

5Mesurer l’inaccessible

Math & Co — Thalès et la pyramide de Khéops

Thalès de Milet (vers −625-625 / −547-547) est le premier savant grec dont l’histoire ait retenu le nom. Marchand devenu philosophe, il voyage en Égypte, où les prêtres possèdent depuis des siècles des recettes de calcul… mais aucune démonstration.

L’anecdote la plus célèbre est rapportée par Plutarque dans le Banquet des sept sages : Thalès aurait déterminé la hauteur de la Grande Pyramide en plantant un bâton au sol et en comparant l’ombre de la pyramide à celle du bâton. Le principe est exactement celui de ce chapitre : les rayons du Soleil étant parallèles, les longueurs sont proportionnelles.

Curiosité : le résultat que nous appelons « théorème de Thalès » ne porte ce nom qu’en France et dans quelques pays voisins. En Allemagne, le Satz des Thales désigne un tout autre résultat — celui du triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle — et notre théorème s’y appelle le Strahlensatz, le « théorème des rayons ».

Méthode — mesurer une hauteur grâce à une ombre
  1. Planter verticalement un objet de hauteur connue (bâton, règle, personne) à côté de l’objet à mesurer.
  2. Mesurer au même moment les deux ombres au sol.
  3. Écrire l’égalité de Thalès : hauteur du baˆtonombre du baˆton=hauteur chercheˊeombre de l’objet\dfrac{\text{hauteur du bâton}}{\text{ombre du bâton}} = \dfrac{\text{hauteur cherchée}}{\text{ombre de l’objet}}.
  4. Résoudre par un produit en croix.
Exemple — la hauteur d’un baobab

Aminata plante un bâton de 1,501{,}50 m au pied d’un baobab. À 1616 h, l’ombre du bâton mesure 2,402{,}40 m et celle du baobab 1616 m. Quelle est la hauteur du baobab ?

Soleilh = ?16 mombre du baobab1,50 m2,40 mombre du bâtonLes rayons du Soleilsont parallèles entre eux :les deux ombres donnentla même configuration.
Figure 8 — Les deux rayons du Soleil sont parallèles : les deux triangles rectangles forment une configuration de Thalès.

Le bâton et le baobab sont verticaux, le sol est horizontal, et les rayons du Soleil sont parallèles. Notons hh la hauteur du baobab.

  1. h1,50=162,40\dfrac{h}{1{,}50} = \dfrac{16}{2{,}40}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow2,40×h=1,50×162{,}40 \times h = 1{,}50 \times 16produit en croix
  3. ⇒\Rightarrow2,40×h=242{,}40 \times h = 24
  4. ⇒\Rightarrowh=242,40h = \dfrac{24}{2{,}40}
  5. ⇒\Rightarrowh=10h = 10

Conclusion. Le baobab mesure environ 10 mètres de haut.

Important : Les deux mesures d’ombre doivent être prises au même instant : le Soleil bouge, et un quart d’heure d’écart suffit à fausser complètement le résultat.

Fiche mémo

  • Deux configurations, un seul théorème : le triangle emboîté et le papillon.
  • Thalès : si (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC), alors AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}.
  • Règle d’écriture : petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur.
  • Réciproque : si les points sont dans le même ordre et AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}, alors (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC).
  • Contraposée : si AMAB≠ANAC\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}, alors (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.
  • Pour comparer deux rapports : produits en croix, jamais de valeurs approchées.
  • Ombres au même instant ⇒\Rightarrow hauteur inaccessible par Thalès.
Niveau 1 — Application directe
1

Sur la figure ci-dessous, (VW)(VW) est parallèle à (TU)(TU). Écris la triple égalité de Thalès correspondante.

STUVW(VW) ∥ (TU)
Figure 9 — Les droites (ST)(ST) et (SU)(SU) se coupent en SS.
Voir le corrigé détaillé

Le sommet commun est SS. Le petit triangle est SVWSVW, le grand triangle est STUSTU. La correspondance est S↔SS \leftrightarrow S, V↔TV \leftrightarrow T, W↔UW \leftrightarrow U.

  1. SVST=SWSU=VWTU\dfrac{SV}{ST} = \dfrac{SW}{SU} = \dfrac{VW}{TU}petit sur grand, dans l’ordre
2

Dans un triangle ABCABC, M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC] avec (MN)(MN) parallèle à (BC)(BC). On donne AM=2AM = 2 cm, AB=5AB = 5 cm et BC=15BC = 15 cm. Calcule MNMN.

Voir le corrigé détaillé

Les points AA, MM, BB sont alignés, les points AA, NN, CC aussi, et (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC) : c’est une configuration de Thalès.

  1. AMAB=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow25=MN15\dfrac{2}{5} = \dfrac{MN}{15}
  3. ⇒\Rightarrow5×MN=2×155 \times MN = 2 \times 15
  4. ⇒\Rightarrow5×MN=305 \times MN = 30
  5. ⇒\RightarrowMN=6MN = 6

On obtient MN=6MN = 6 cm.

3

Sur la figure, (RS)(RS) est parallèle à (TU)(TU) et les droites (RT)(RT) et (SU)(SU) se coupent en OO. Calcule OUOU puis TUTU.

ORSTU6 cm4 cm9 cmOU = ?7 cmTU = ?(RS) ∥ (TU)
Figure 10 — Configuration papillon : O∈[RT]O \in [RT] et O∈[SU]O \in [SU].
Voir le corrigé détaillé

Le point OO appartient à [RT][RT] et à [SU][SU], et (RS)∥(TU)(RS) \parallel (TU) : configuration de Thalès.

  1. OROT=OSOU=RSTU\dfrac{OR}{OT} = \dfrac{OS}{OU} = \dfrac{RS}{TU}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow69=4OU=7TU\dfrac{6}{9} = \dfrac{4}{OU} = \dfrac{7}{TU}

Calcul de OUOU :

  1. 69=4OU\dfrac{6}{9} = \dfrac{4}{OU}
  2. ⇒\Rightarrow6×OU=9×46 \times OU = 9 \times 4
  3. ⇒\Rightarrow6×OU=366 \times OU = 36
  4. ⇒\RightarrowOU=6OU = 6

Calcul de TUTU :

  1. 69=7TU\dfrac{6}{9} = \dfrac{7}{TU}
  2. ⇒\Rightarrow6×TU=9×76 \times TU = 9 \times 7
  3. ⇒\Rightarrow6×TU=636 \times TU = 63
  4. ⇒\RightarrowTU=10,5TU = 10{,}5

Donc OU=6OU = 6 cm et TU=10,5TU = 10{,}5 cm.

4

Karim a écrit : « Comme (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC), on a AMAB=ACAN=BCMN\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AN} = \dfrac{BC}{MN}. » Repère les erreurs et corrige.

Voir le corrigé détaillé

Il y a deux erreurs, et c’est la même : deux rapports ont été retournés.

  • Dans ACAN\dfrac{AC}{AN}, le grand triangle est au numérateur alors que le premier rapport commence par le petit.
  • Dans BCMN\dfrac{BC}{MN}, même inversion.

La règle « petit sur grand » doit être respectée dans les trois rapports. L’écriture correcte est :

  1. AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

On pourrait aussi tout retourner : ABAM=ACAN=BCMN\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AC}{AN} = \dfrac{BC}{MN} est également correct, car les trois rapports sont alors « grand sur petit ». Ce qui est interdit, c’est de mélanger les deux sens.

5

Sur la figure, M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC]. Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont-elles parallèles ? Justifie.

ABCMN2,2 cm2,8 cm3,3 cm4,2 cm(MN) ∥ (BC) ?
Figure 11 — Le parallélisme n’est pas codé : c’est ce qu’il faut décider.
Voir le corrigé détaillé
  1. AB=2,2+2,8AB = 2{,}2 + 2{,}8
  2. ==55
  3. AC=3,3+4,2AC = 3{,}3 + 4{,}2
  4. ==7,57{,}5

On compare les deux rapports par les produits en croix :

  1. AMAB=2,25\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2{,}2}{5}
  2. ANAC=3,37,5\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3{,}3}{7{,}5}
  3. 2,2×7,5=16,52{,}2 \times 7{,}5 = 16{,}5
  4. 5×3,3=16,55 \times 3{,}3 = 16{,}5
  5. ⇒\Rightarrowles deux produits sont égaux
  6. ⇒\RightarrowAMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}

Les points AA, MM, BB et AA, NN, CC sont alignés dans le même ordre, et les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.

6

Dans un triangle ABCABC, M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC] avec AM=4AM = 4 cm, AB=9AB = 9 cm, AN=5AN = 5 cm et AC=12AC = 12 cm. Démontre que (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.

Voir le corrigé détaillé
  1. AMAB=49\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{9}
  2. ANAC=512\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{5}{12}
  3. 4×12=484 \times 12 = 48
  4. 9×5=459 \times 5 = 45
  5. ⇒\Rightarrow48≠4548 \neq 45
  6. ⇒\Rightarrow49≠512\dfrac{4}{9} \neq \dfrac{5}{12}

D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.

Niveau 2 — Approfondissement
7

Dans un triangle ABCABC, M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC] avec (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC). On donne AM=5,4AM = 5{,}4 cm, MB=3,6MB = 3{,}6 cm, AN=7,2AN = 7{,}2 cm et MN=6,3MN = 6{,}3 cm. Calcule ACAC puis BCBC.

ABCMN5,4 cm3,6 cm7,2 cm6,3 cmcalculer AC et BC
Figure 12 — Attention : c’est MBMB qui est donné, pas ABAB.
Voir le corrigé détaillé

On reconstitue d’abord ABAB :

  1. AB=AM+MBAB = AM + MB
  2. ==5,4+3,65{,}4 + 3{,}6
  3. ==99

La configuration est celle de Thalès, donc :

  1. AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}
  2. ⇒\Rightarrow5,49=7,2AC=6,3BC\dfrac{5{,}4}{9} = \dfrac{7{,}2}{AC} = \dfrac{6{,}3}{BC}

Calcul de ACAC :

  1. 5,49=7,2AC\dfrac{5{,}4}{9} = \dfrac{7{,}2}{AC}
  2. ⇒\Rightarrow5,4×AC=9×7,25{,}4 \times AC = 9 \times 7{,}2
  3. ⇒\Rightarrow5,4×AC=64,85{,}4 \times AC = 64{,}8
  4. ⇒\RightarrowAC=12AC = 12

Calcul de BCBC :

  1. 5,49=6,3BC\dfrac{5{,}4}{9} = \dfrac{6{,}3}{BC}
  2. ⇒\Rightarrow5,4×BC=9×6,35{,}4 \times BC = 9 \times 6{,}3
  3. ⇒\Rightarrow5,4×BC=56,75{,}4 \times BC = 56{,}7
  4. ⇒\RightarrowBC=10,5BC = 10{,}5

On obtient AC=12AC = 12 cm et BC=10,5BC = 10{,}5 cm.

8

Les droites (AE)(AE) et (BD)(BD) se coupent en CC. On sait que (AB)∥(DE)(AB) \parallel (DE), CA=4CA = 4 cm, CB=6CB = 6 cm, CD=9CD = 9 cm et AB=5AB = 5 cm. Calcule CECE et DEDE.

Voir le corrigé détaillé

Le point CC appartient à [AE][AE] et à [BD][BD], et (AB)∥(DE)(AB) \parallel (DE) : c’est une configuration papillon de Thalès. La correspondance est C↔CC \leftrightarrow C, A↔EA \leftrightarrow E, B↔DB \leftrightarrow D.

  1. CACE=CBCD=ABED\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{CB}{CD} = \dfrac{AB}{ED}
  2. ⇒\Rightarrow4CE=69=5ED\dfrac{4}{CE} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{5}{ED}

Calcul de CECE :

  1. 4CE=69\dfrac{4}{CE} = \dfrac{6}{9}
  2. ⇒\Rightarrow6×CE=4×96 \times CE = 4 \times 9
  3. ⇒\Rightarrow6×CE=366 \times CE = 36
  4. ⇒\RightarrowCE=6CE = 6

Calcul de DEDE :

  1. 69=5ED\dfrac{6}{9} = \dfrac{5}{ED}
  2. ⇒\Rightarrow6×ED=9×56 \times ED = 9 \times 5
  3. ⇒\Rightarrow6×ED=456 \times ED = 45
  4. ⇒\RightarrowED=7,5ED = 7{,}5

Donc CE=6CE = 6 cm et DE=7,5DE = 7{,}5 cm.

9

Les droites (JL)(JL) et (KM)(KM) se coupent en II. On donne IJ=4,5IJ = 4{,}5 cm, IL=6IL = 6 cm, IK=3IK = 3 cm et IM=4IM = 4 cm. Les droites (JK)(JK) et (LM)(LM) sont-elles parallèles ?

IJKLM4,5 cm3 cm6 cm4 cm(JK) et (LM) sont-elles parallèles ?
Figure 13 — Configuration papillon : le point II est entre JJ et LL, et entre KK et MM.
Voir le corrigé détaillé

Les points JJ, II, LL sont alignés dans cet ordre, et les points KK, II, MM également : la condition d’ordre de la réciproque est vérifiée.

  1. IJIL=4,56\dfrac{IJ}{IL} = \dfrac{4{,}5}{6}
  2. IKIM=34\dfrac{IK}{IM} = \dfrac{3}{4}
  3. 4,5×4=184{,}5 \times 4 = 18
  4. 6×3=186 \times 3 = 18
  5. ⇒\Rightarrowles produits en croix sont égaux
  6. ⇒\RightarrowIJIL=IKIM\dfrac{IJ}{IL} = \dfrac{IK}{IM}

D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (JK)(JK) et (LM)(LM) sont parallèles.

10

Dans un triangle ABCABC, MM est le point de [AB][AB] tel que AM=25 ABAM = \dfrac{2}{5}\,AB, et NN est le point de [AC][AC] tel que AN=25 ACAN = \dfrac{2}{5}\,AC. Le périmètre du triangle ABCABC vaut 3030 cm. Calcule le périmètre du triangle AMNAMN.

Voir le corrigé détaillé

Par construction, AMAB=25\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{5} et ANAC=25\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{5}, et les points sont dans le même ordre.

D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC).

Le théorème de Thalès donne alors la troisième égalité :

  1. MNBC=25\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{2}{5}
  2. ⇒\RightarrowMN=25 BCMN = \dfrac{2}{5}\,BC

Les trois côtés du petit triangle valent donc les 25\dfrac{2}{5} de ceux du grand :

  1. AM+AN+MN=25AB+25AC+25BCAM + AN + MN = \dfrac{2}{5}AB + \dfrac{2}{5}AC + \dfrac{2}{5}BC
  2. ==25 (AB+AC+BC)\dfrac{2}{5}\,(AB + AC + BC)on factorise
  3. ==25×30\dfrac{2}{5} \times 30
  4. ==1212

Le périmètre du triangle AMNAMN vaut 12 cm.

11

Dans un triangle ABCABC, M∈[AB]M \in [AB] et N∈[AC]N \in [AC] avec (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC). On donne AM=6AM = 6 cm, MB=4MB = 4 cm et AN=9AN = 9 cm. Calcule NCNC.

Coup de pouce : NCNC n’apparaît pas directement dans la triple égalité.

Voir le corrigé détaillé

On calcule d’abord ABAB, puis ACAC, et on termine par une soustraction.

  1. AB=6+4AB = 6 + 4
  2. ==1010
  1. AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow610=9AC\dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{AC}
  3. ⇒\Rightarrow6×AC=10×96 \times AC = 10 \times 9
  4. ⇒\Rightarrow6×AC=906 \times AC = 90
  5. ⇒\RightarrowAC=15AC = 15
  1. NC=AC−ANNC = AC - ANcar N∈[AC]N \in [AC]
  2. ==15−915 - 9
  3. ==66

On obtient NC=6NC = 6 cm.

Niveau 3 — Défi
12

Soit ABCABC un triangle. II est le milieu de [AB][AB] et JJ est le milieu de [AC][AC].

  1. Démontre que (IJ)(IJ) est parallèle à (BC)(BC).
  2. Démontre que IJ=12 BCIJ = \dfrac{1}{2}\,BC.
ABCIJI milieu de [AB], J milieu de [AC]
Figure 14 — Le théorème des milieux, redémontré avec Thalès. Les traits rouges codent l’égalité des longueurs.
Voir le corrigé détaillé

1. Puisque II est le milieu de [AB][AB] :

  1. AI=12 ABAI = \dfrac{1}{2}\,AB
  2. ⇒\RightarrowAIAB=12\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{1}{2}

De même, puisque JJ est le milieu de [AC][AC] :

  1. AJAC=12\dfrac{AJ}{AC} = \dfrac{1}{2}

Les points AA, II, BB et AA, JJ, CC sont alignés dans le même ordre, et les deux rapports valent tous deux 12\dfrac{1}{2}.

D’après la réciproque du théorème de Thalès, (IJ)(IJ) est parallèle à (BC)(BC). C.Q.F.D.

2. On peut maintenant appliquer le théorème de Thalès direct :

  1. AIAB=AJAC=IJBC\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AJ}{AC} = \dfrac{IJ}{BC}car (IJ)∥(BC)(IJ) \parallel (BC)
  2. ⇒\RightarrowIJBC=12\dfrac{IJ}{BC} = \dfrac{1}{2}
  3. ⇒\RightarrowIJ=12 BCIJ = \dfrac{1}{2}\,BC

On retrouve ainsi le théorème des milieux, vu en 4ème : il n’est qu’un cas particulier du théorème de Thalès. C.Q.F.D.

13

Sur une droite (d)(d), on place les points AA, MM, PP, BB dans cet ordre. Sur une autre droite (d′)(d') sécante à (d)(d) en AA, on place NN, QQ, CC dans cet ordre à partir de AA. On suppose que (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC) et (PQ)∥(BC)(PQ) \parallel (BC).

On donne AM=3AM = 3 cm, AP=5AP = 5 cm, AB=12AB = 12 cm et AC=8AC = 8 cm. Calcule NQNQ.

Voir le corrigé détaillé

On applique Thalès deux fois, dans deux configurations emboîtées différentes.

Première application avec (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC) :

  1. AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}
  2. ⇒\Rightarrow312=AN8\dfrac{3}{12} = \dfrac{AN}{8}
  3. ⇒\Rightarrow12×AN=3×812 \times AN = 3 \times 8
  4. ⇒\Rightarrow12×AN=2412 \times AN = 24
  5. ⇒\RightarrowAN=2AN = 2

Deuxième application avec (PQ)∥(BC)(PQ) \parallel (BC) :

  1. APAB=AQAC\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AQ}{AC}
  2. ⇒\Rightarrow512=AQ8\dfrac{5}{12} = \dfrac{AQ}{8}
  3. ⇒\Rightarrow12×AQ=5×812 \times AQ = 5 \times 8
  4. ⇒\Rightarrow12×AQ=4012 \times AQ = 40
  5. ⇒\RightarrowAQ=4012AQ = \dfrac{40}{12}
  6. ==103\dfrac{10}{3}

Comme NN est entre AA et QQ (car MM est entre AA et PP) :

  1. NQ=AQ−ANNQ = AQ - AN
  2. ==103−2\dfrac{10}{3} - 2
  3. ==103−63\dfrac{10}{3} - \dfrac{6}{3}
  4. ==43\dfrac{4}{3}

On obtient NQ=43NQ = \dfrac{4}{3} cm, soit environ 1,331{,}33 cm.

14

Dans un triangle ABCABC, MM est un point de [AB][AB] et NN un point de [AC][AC] tels que (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC). Démontre que :

MBAB=NCAC\dfrac{MB}{AB} = \dfrac{NC}{AC}

Voir le corrigé détaillé

On part du théorème de Thalès :

  1. AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}car (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC)

Comme M∈[AB]M \in [AB], on a AM=AB−MBAM = AB - MB ; de même AN=AC−NCAN = AC - NC. On remplace :

  1. AB−MBAB=AC−NCAC\dfrac{AB - MB}{AB} = \dfrac{AC - NC}{AC}
  2. ⇒\RightarrowABAB−MBAB=ACAC−NCAC\dfrac{AB}{AB} - \dfrac{MB}{AB} = \dfrac{AC}{AC} - \dfrac{NC}{AC}on sépare les fractions
  3. ⇒\Rightarrow1−MBAB=1−NCAC1 - \dfrac{MB}{AB} = 1 - \dfrac{NC}{AC}
  4. ⇒\Rightarrow−MBAB=−NCAC-\dfrac{MB}{AB} = -\dfrac{NC}{AC}on retranche 11 de chaque côté
  5. ⇒\RightarrowMBAB=NCAC\dfrac{MB}{AB} = \dfrac{NC}{AC}on multiplie par −1-1

L’égalité est démontrée. Elle est très utile : elle permet de travailler directement avec les « bouts » MBMB et NCNC. C.Q.F.D.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
15

Le pylône de Ndjamena. Moussa doit estimer la hauteur d’un pylône de téléphonie installé près de son quartier. À 1515 h, il plante verticalement un bâton de 1,801{,}80 m et mesure les deux ombres au sol : celle du bâton fait 33 m, celle du pylône 22,522{,}5 m.

SoleilH = ?22,5 mombre du pylône1,80 m3 mombre du bâtonLes rayons du Soleilsont parallèles entre eux :les deux ombres donnentla même configuration.
Figure 15 — Le bâton et le pylône sont verticaux, le sol est horizontal : les rayons du Soleil créent une configuration de Thalès.
  1. Explique pourquoi on est dans une configuration de Thalès.
  2. Calcule la hauteur HH du pylône.
  3. Le lendemain à 99 h, l’ombre du bâton mesure 4,504{,}50 m. Quelle sera la longueur de l’ombre du pylône ?
Voir le corrigé détaillé

1. Le bâton et le pylône sont tous les deux verticaux, donc les droites qui les portent sont parallèles. Les rayons du Soleil arrivant sur le sommet du bâton et sur celui du pylône sont eux aussi parallèles. On obtient deux triangles rectangles semblables, sommet commun au point où les rayons rencontrent le sol : c’est une configuration de Thalès.

2. Notons HH la hauteur du pylône.

  1. H1,80=22,53\dfrac{H}{1{,}80} = \dfrac{22{,}5}{3}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow3×H=1,80×22,53 \times H = 1{,}80 \times 22{,}5produit en croix
  3. ⇒\Rightarrow3×H=40,53 \times H = 40{,}5
  4. ⇒\RightarrowH=40,53H = \dfrac{40{,}5}{3}
  5. ⇒\RightarrowH=13,5H = 13{,}5

Le pylône mesure 13,5 m de haut.

3. Notons LL la longueur cherchée. Le rapport hauteur / ombre est le même pour les deux objets :

  1. 13,5L=1,804,50\dfrac{13{,}5}{L} = \dfrac{1{,}80}{4{,}50}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow1,80×L=13,5×4,501{,}80 \times L = 13{,}5 \times 4{,}50
  3. ⇒\Rightarrow1,80×L=60,751{,}80 \times L = 60{,}75
  4. ⇒\RightarrowL=60,751,80L = \dfrac{60{,}75}{1{,}80}
  5. ⇒\RightarrowL=33,75L = 33{,}75

L’ombre du pylône mesurera 33,75 m. C’est logique : le Soleil est plus bas à 99 h, donc les ombres s’allongent.

16

La rampe d’accès de Genève. Le hall d’un centre sportif possède une porte dont le seuil est à 0,600{,}60 m au-dessus du trottoir. Sophie, chargée de l’accessibilité, fait construire une rampe rectiligne partant d’un point SS du trottoir situé à 7,207{,}20 m du pied DD de la porte.

porteSDTQR3 mSD = 7,20 m0,60 mh = ?rampe d’accès (vue de profil)
Figure 16 — Vue de profil. Le poteau [QR][QR] et le montant [DT][DT] sont tous les deux verticaux, donc parallèles.
  1. Un poteau de soutien vertical est planté en QQ, à 33 m de SS. Calcule sa hauteur hh.
  2. La norme suisse impose une pente d’au plus 6 %6\ \%, c’est-à-dire une montée d’au plus 66 cm par mètre parcouru horizontalement. Cette rampe est-elle conforme ?
Voir le corrigé détaillé

1. Les segments [QR][QR] et [DT][DT] sont verticaux, donc (QR)∥(DT)(QR) \parallel (DT). Les points SS, QQ, DD sont alignés et les points SS, RR, TT aussi : c’est une configuration de Thalès de sommet SS.

  1. SQSD=QRDT\dfrac{SQ}{SD} = \dfrac{QR}{DT}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow37,20=h0,60\dfrac{3}{7{,}20} = \dfrac{h}{0{,}60}
  3. ⇒\Rightarrow7,20×h=3×0,607{,}20 \times h = 3 \times 0{,}60produit en croix
  4. ⇒\Rightarrow7,20×h=1,87{,}20 \times h = 1{,}8
  5. ⇒\Rightarrowh=1,87,20h = \dfrac{1{,}8}{7{,}20}
  6. ⇒\Rightarrowh=0,25h = 0{,}25

Le poteau mesure 0,25 m, soit 2525 cm.

2. On calcule la montée par mètre parcouru :

  1. pente=0,607,20\text{pente} = \dfrac{0{,}60}{7{,}20}
  2. ==0,083…0{,}083\ldots
  3. ≈\approx8,3 %8{,}3\ \%
  1. 8,3 %>6 %8{,}3\ \% > 6\ \%
  2. ⇒\Rightarrowla rampe n’est pas conforme.

Pour respecter la norme, il faudrait une longueur horizontale ℓ\ell telle que 0,60ℓ=0,06\dfrac{0{,}60}{\ell} = 0{,}06, soit ℓ=10\ell = 10 m : la rampe devrait démarrer 1010 m avant la porte.

17

L’ombre chinoise de Bruxelles. Pour la fête de son école, Léa installe une lampe ponctuelle LL et un drap tendu contre le mur, à 2,402{,}40 m de la lampe. Elle place une figurine de 99 cm de haut, verticale, à 0,600{,}60 m de la lampe, entre la lampe et le drap.

  1. Quelle est la hauteur de l’ombre de la figurine sur le drap ?
  2. Léa veut une ombre de 5454 cm exactement. À quelle distance de la lampe doit-elle poser la figurine ?
Voir le corrigé détaillé

1. La figurine et le drap sont tous les deux verticaux, donc parallèles. Les rayons issus de la lampe forment une configuration de Thalès de sommet LL. Notons HH la hauteur de l’ombre.

  1. 0,602,40=9H\dfrac{0{,}60}{2{,}40} = \dfrac{9}{H}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow0,60×H=2,40×90{,}60 \times H = 2{,}40 \times 9produit en croix
  3. ⇒\Rightarrow0,60×H=21,60{,}60 \times H = 21{,}6
  4. ⇒\RightarrowH=21,60,60H = \dfrac{21{,}6}{0{,}60}
  5. ⇒\RightarrowH=36H = 36

L’ombre mesure 36 cm de haut : la figurine est agrandie 44 fois.

2. Notons dd la distance cherchée, en mètres.

  1. d2,40=954\dfrac{d}{2{,}40} = \dfrac{9}{54}théorème de Thalès
  2. ⇒\Rightarrow54×d=2,40×954 \times d = 2{,}40 \times 9
  3. ⇒\Rightarrow54×d=21,654 \times d = 21{,}6
  4. ⇒\Rightarrowd=21,654d = \dfrac{21{,}6}{54}
  5. ⇒\Rightarrowd=0,4d = 0{,}4

Léa doit placer la figurine à 0,40 m de la lampe. Plus l’objet est proche de la lampe, plus son ombre est grande.

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