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Vecteurs et translations

Étudier les vecteurs, leur somme et le lien avec les translations.

Mathématiques 3ème Chapitre 14 / 16 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Construire une somme de vecteurs
  • Utiliser la relation de Chasles
  • Calculer les coordonnées d'un vecteur et d'un milieu

Comment décrire précisément un déplacement ? Dire « le bateau avance de 55 km » ne suffit pas : il faut aussi dire dans quelle direction et dans quel sens. C’est exactement le rôle du vecteur : une flèche mathématique qui transporte à elle seule ces trois informations. Une fois cet outil en main, additionner deux déplacements devient une simple mise bout à bout de flèches, et démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme tient en une ligne.

1La translation et le vecteur qui la décrit

Définition — translation

Effectuer une translation, c’est faire glisser une figure sans la tourner, sans la retourner et sans la déformer. Tous les points de la figure se déplacent de la même manière : même direction, même sens, même longueur.

ABCA′B′C′La figure bleue est l’image de la figure noire par la translation.Les trois flèches oranges ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Figure 1 — Chaque point de la figure suit exactement le même déplacement. Les trois flèches oranges sont identiques : c’est ce déplacement commun qu’on appelle le vecteur de la translation.

Une translation est donc entièrement décrite par une seule flèche. Cette flèche porte un nom.

Définition — vecteur

Soient AA et BB deux points distincts. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est caractérisé par trois données :

  • sa direction : celle de la droite (AB)(AB) ;
  • son sens : de AA vers BB ;
  • sa longueur (ou norme) : la distance ABAB.

La translation qui transforme AA en BB s’appelle la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}.

ABlongueur : la distance ABdirection : celle de la droite (AB)sens : de A vers BUn vecteur, c’est une flèche : trois informations à la fois.
Figure 2 — Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} : une seule flèche, trois informations. La droite (AB)(AB) donne la direction, la pointe donne le sens, la distance ABAB donne la longueur.
Important : Ne confonds pas direction et sens. La direction, c’est l’inclinaison de la droite (« horizontale », « verticale », « celle de (AB)(AB) »). Le sens, c’est le côté vers lequel on va sur cette droite. Une même direction admet toujours deux sens opposés.
Attention

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} ne sont pas égaux : ils ont la même direction et la même longueur, mais des sens opposés. On écrit BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.

Définition — vecteur nul

Le vecteur AA→\overrightarrow{AA} est le vecteur nul, noté 0⃗\vec{0}. Sa longueur est nulle : il correspond à la translation qui ne déplace rien.

2Égalité de deux vecteurs

Définition — vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

Autrement dit, ils représentent la même translation, même s’ils sont dessinés à deux endroits différents de la feuille.

C’est une idée nouvelle et puissante : un vecteur n’a pas de position. On peut le dessiner où l’on veut, il reste le même vecteur.

Théorème — égalité de vecteurs et parallélogramme

Soient AA, BB, CC et DD quatre points, trois d’entre eux n’étant jamais alignés. Alors :

AB→=CD→  ⟺  ABDC est un paralleˊlogramme\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme}

IABCDvecteur ABvecteur CDLes vecteurs AB et CD sont égaux : ABDC est un parallélogramme.Ses diagonales [AD] et [BC] se coupent en leur milieu I.
Figure 3 — Si AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, alors [AB][AB] et [CD][CD] sont parallèles et de même longueur : le quadrilatère ABDCABDC est un parallélogramme, et ses diagonales [AD][AD] et [BC][BC] se coupent en leur milieu II.
Attention — attention à l’ordre des lettres

Le parallélogramme s’écrit ABDCABDC, et non ABCDABCD. On suit le contour du quadrilatère : A→BA \to B, puis B→DB \to D, puis D→CD \to C, puis C→AC \to A. Une lettre mal placée et le quadrilatère devient croisé.

Le réflexe qui sauve : dans ABDCABDC, les diagonales sont [AD][AD] et [BC][BC] — ce sont les deux « sauts » d’une lettre sur deux.

Exemple — reconnaître un parallélogramme

On sait que MN→=PQ→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}, et que MM, NN, PP ne sont pas alignés. Quel quadrilatère est un parallélogramme ?

On applique le théorème en remplaçant AA par MM, BB par NN, CC par PP et DD par QQ.

  1. MN→=PQ→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}
  2. ⇒\RightarrowMNQPMNQP est un parallélogrammeon intercale les deux dernières lettres

Ses diagonales sont [MQ][MQ] et [NP][NP].

Propriété — construire le quatrième point

Étant donné trois points AA, BB et CC, il existe un unique point DD tel que AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} : c’est l’image de CC par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}.

3Additionner deux vecteurs

Enchaîner deux déplacements revient à en effectuer un seul, plus direct. Traduit en vecteurs, cela donne l’opération d’addition — et une relation qui porte le nom du mathématicien français Michel Chasles.

3.1  La relation de Chasles

Théorème — relation de Chasles

Pour tous points AA, BB et CC :

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

ABCABBCACOn enchaîne deux trajets : le résultat est le trajet direct.AB + BC = AC (relation de Chasles)
Figure 4 — Aller de AA à BB puis de BB à CC, c’est aller de AA à CC. La lettre intermédiaire BB « disparaît » : c’est tout le mécanisme de la relation de Chasles.
Méthode — utiliser Chasles pour simplifier

On repère deux vecteurs qui s’enchaînent : la lettre d’arrivée du premier est la lettre de départ du second. On les remplace alors par le vecteur direct, en supprimant la lettre commune.

Exemple — simplifier des sommes
  1. MN→+NP→=MP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}le NN disparaît
  1. RS→+ST→+TU→\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST} + \overrightarrow{TU}
  2. ==RT→+TU→\overrightarrow{RT} + \overrightarrow{TU}on regroupe les deux premiers
  3. ==RU→\overrightarrow{RU}le TT disparaît à son tour
  1. AB→+BA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}
  2. ==AA→\overrightarrow{AA}
  3. ==0⃗\vec{0}on revient au point de départ

3.2  La règle du parallélogramme

Chasles suppose que les deux vecteurs se suivent bout à bout. Que faire quand ils partent du même point ? On utilise alors la règle du parallélogramme, qui n’est rien d’autre que Chasles déguisé.

Théorème — règle du parallélogramme

Soient AA, BB et CC trois points non alignés, et DD le point tel que ABDCABDC soit un parallélogramme. Alors :

AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}

ABCDABACAD = AB + ACRègle du parallélogramme : les deux vecteurs partent du même point A.La somme est la diagonale issue de A du parallélogramme ABDC.
Figure 5 — Les deux vecteurs partent de AA. Leur somme est portée par la diagonale issue de AA du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.
Démonstration

Puisque ABDCABDC est un parallélogramme, les côtés [AC][AC] et [BD][BD] sont parallèles et de même longueur, et orientés dans le même sens.

  1. AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}côtés opposés du parallélogramme

On remplace alors dans la somme :

  1. AB→+AC→=AB→+BD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}
  2. ==AD→\overrightarrow{AD}relation de Chasles

La règle est démontrée. C.Q.F.D.

Important : Deux situations, deux outils : les vecteurs se suivent ⇒\Rightarrow Chasles ; les vecteurs partent du même point ⇒\Rightarrow parallélogramme. Dans les deux cas, le résultat est le même vecteur.

4Coordonnées d’un vecteur

On travaille désormais dans un repère. Chaque vecteur va pouvoir être remplacé par un couple de nombres, et les constructions géométriques deviendront de simples calculs.

Définition — coordonnées d’un vecteur

Dans un repère, les coordonnées d’un vecteur sont le déplacement horizontal (l’abscisse) et le déplacement vertical (l’ordonnée) qu’il fait effectuer. On note u⃗ (x ;y)\vec{u}\,(x\,;y).

Un déplacement vers la droite ou vers le haut compte positivement, vers la gauche ou vers le bas négativement.

-11234567-11234560xyAB+4+2A(1 ; 2) et B(5 ; 4) : le vecteur AB a pour coordonnées (4 ; 2).
Figure 6 — Pour aller de AA à BB, on avance de 44 vers la droite puis de 22 vers le haut : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (4 ;2)(4\,;2).
Théorème — coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}

Si A (xA ;yA)A\,(x_A\,;y_A) et B (xB ;yB)B\,(x_B\,;y_B), alors le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées :

AB→ (xB−xA ; yB−yA)\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)

Attention

C’est toujours l’arrivée moins le départ, jamais l’inverse. Si tu te trompes, tu obtiens le vecteur BA→\overrightarrow{BA}, exactement opposé.

Exemple — calculer des coordonnées

On donne A (−3 ;5)A\,(-3\,;5) et B (2 ;−1)B\,(2\,;-1). Calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}, puis celles de BA→\overrightarrow{BA}.

Abscisse de AB→\overrightarrow{AB} :

  1. xB−xA=2−(−3)x_B - x_A = 2 - (-3)
  2. ==2+32 + 3
  3. ==55

Ordonnée de AB→\overrightarrow{AB} :

  1. yB−yA=−1−5y_B - y_A = -1 - 5
  2. ==−6-6

Donc AB→ (5 ;−6)\overrightarrow{AB}\,(5\,;-6). Pour BA→\overrightarrow{BA}, il suffit de changer les deux signes :

  1. BA→ (−5 ;6)\overrightarrow{BA}\,(-5\,;6)car BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}
Propriété — égalité et somme en coordonnées

Soient u⃗ (x ;y)\vec{u}\,(x\,;y) et v⃗ (x′ ;y′)\vec{v}\,(x'\,;y') deux vecteurs. Alors :

  • u⃗=v⃗\vec{u} = \vec{v} si et seulement si x=x′x = x' et y=y′y = y' ;
  • u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} a pour coordonnées (x+x′ ; y+y′)(x + x' \,;\, y + y').
-11234567-11234560xyu (3 ; 1)v (1 ; 2)u + v (4 ; 3)On additionne les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles.
Figure 7 — Somme en coordonnées : u⃗ (3 ;1)\vec{u}\,(3\,;1) et v⃗ (1 ;2)\vec{v}\,(1\,;2) donnent u⃗+v⃗ (4 ;3)\vec{u}+\vec{v}\,(4\,;3). On additionne les abscisses entre elles, puis les ordonnées entre elles.
Exemple — trouver le quatrième point d’un parallélogramme

On donne A (1 ;2)A\,(1\,;2), B (5 ;3)B\,(5\,;3) et C (2 ;−1)C\,(2\,;-1). Détermine les coordonnées du point DD tel que ABDCABDC soit un parallélogramme.

Dire que ABDCABDC est un parallélogramme revient à dire que AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} :

  1. xB−xA=5−1=4x_B - x_A = 5 - 1 = 4
  2. yB−yA=3−2=1y_B - y_A = 3 - 2 = 1
  3. ⇒\RightarrowAB→ (4 ;1)\overrightarrow{AB}\,(4\,;1)

Abscisse de DD :

  1. xD−xC=4x_D - x_C = 4égalité des abscisses
  2. ⇒\RightarrowxD−2=4x_D - 2 = 4
  3. ⇒\RightarrowxD=6x_D = 6

Ordonnée de DD :

  1. yD−yC=1y_D - y_C = 1
  2. ⇒\RightarrowyD−(−1)=1y_D - (-1) = 1
  3. ⇒\RightarrowyD+1=1y_D + 1 = 1
  4. ⇒\RightarrowyD=0y_D = 0

Conclusion. D (6 ;0)D\,(6\,;0).

4.1  La longueur d’un vecteur

Théorème — norme d’un vecteur

Dans un repère orthonormé, si AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (x ;y)(x\,;y), alors sa longueur vaut :

AB=x2+y2AB = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

-1123456-1123450xyAB42Le triangle est rectangle : Pythagore donne la longueur du vecteur.
Figure 8 — Les deux déplacements, horizontal et vertical, forment un triangle rectangle dont le vecteur est l’hypoténuse.
Démonstration

On note HH le point situé à la verticale de BB et à l’horizontale de AA. Le repère étant orthonormé, le triangle ABHABH est rectangle en HH.

  1. AH=∣x∣AH = |x|déplacement horizontal
  2. HB=∣y∣HB = |y|déplacement vertical

Le théorème de Pythagore donne alors :

  1. AB2=AH2+HB2AB^{2} = AH^{2} + HB^{2}
  2. ==x2+y2x^{2} + y^{2}car ∣x∣2=x2|x|^2 = x^2
  3. ⇒\RightarrowAB=x2+y2AB = \sqrt{x^{2} + y^{2}}une longueur est positive

C.Q.F.D.

Exemple — calculer une longueur

Avec AB→ (4 ;2)\overrightarrow{AB}\,(4\,;2) :

  1. AB=42+22AB = \sqrt{4^{2} + 2^{2}}
  2. ==16+4\sqrt{16 + 4}
  3. ==20\sqrt{20}
  4. ==252\sqrt{5}car 20=4×520 = 4 \times 5
  5. ≈\approx4,474{,}47

5Vecteurs et milieux

Théorème — caractérisation vectorielle du milieu

Soient AA et BB deux points distincts et II un point. Alors :

I est le milieu de [AB]  ⟺  AI→=IB→I \text{ est le milieu de } [AB] \iff \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}

ABIAIIBI est le milieu de [AB] si et seulement si les vecteurs AI et IB sont égaux.Même direction, même sens, même longueur : AI = IB.
Figure 9 — Les vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et IB→\overrightarrow{IB} ont la même direction (celle de (AB)(AB)), le même sens et la même longueur : ils sont donc égaux.

En coordonnées, cette caractérisation redonne la formule du milieu que tu connais déjà.

Propriété — coordonnées du milieu

Si A (xA ;yA)A\,(x_A\,;y_A) et B (xB ;yB)B\,(x_B\,;y_B), le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées :

I(xA+xB2 ; yA+yB2)I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,;\, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

Exemple — calculer les coordonnées d’un milieu

Avec A (−3 ;5)A\,(-3\,;5) et B (2 ;−1)B\,(2\,;-1) :

  1. xI=−3+22x_I = \dfrac{-3 + 2}{2}
  2. ==−12\dfrac{-1}{2}
  3. ==−0,5-0{,}5
  1. yI=5+(−1)2y_I = \dfrac{5 + (-1)}{2}
  2. ==42\dfrac{4}{2}
  3. ==22

Conclusion. I (−0,5 ;2)I\,(-0{,}5\,;2).

Math & Co — Bellavitis, Hamilton et la naissance du mot « vecteur »

L’idée de flèche déplaçable est étonnamment récente. En 1835, le mathématicien italien Giusto Bellavitis (1803-1880) introduit la notion d’équipollence : deux segments orientés sont équipollents lorsqu’ils sont parallèles, de même longueur et de même sens. C’est mot pour mot notre égalité de vecteurs.

Le mot « vecteur », lui, vient de l’Irlandais William Rowan Hamilton (1805-1865). Le 16 octobre 1843, alors qu’il se promenait le long d’un canal de Dublin, il trouve la clé des quaternions et grave sa formule sur le parapet du pont de Brougham. Dans les travaux qui suivent, il appelle scalar la partie purement numérique et vector la partie qui « transporte » — du latin vehere, porter, transporter, la même racine que « véhicule ».

Presque au même moment, l’Allemand Hermann Grassmann (1809-1877) publie une théorie très générale des grandeurs orientées, si en avance sur son temps qu’elle restera longtemps incomprise. Ces trois travaux indépendants sont à l’origine du calcul vectoriel utilisé aujourd’hui en physique, en informatique graphique et en navigation.

Fiche mémo

  • Un vecteur AB→\overrightarrow{AB} = une direction, un sens, une longueur.
  • BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} et AA→=0⃗\overrightarrow{AA} = \vec{0}.
  • AB→=CD→  ⟺  ABDC\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC est un parallélogramme (attention à l’ordre).
  • Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — la lettre du milieu disparaît.
  • Parallélogramme : AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} quand les vecteurs partent du même point.
  • Coordonnées : AB→ (xB−xA ; yB−yA)\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A \,;\, y_B - y_A) — arrivée moins départ.
  • Somme : on additionne les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles.
  • Longueur : AB=x2+y2AB = \sqrt{x^{2} + y^{2}} en repère orthonormé.
  • Milieu : II milieu de [AB]  ⟺  AI→=IB→[AB] \iff \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}.
Niveau 1 — Application directe
1

Sur la figure, cinq vecteurs sont tracés. Lesquels sont égaux à AB→\overrightarrow{AB} ? Pour chacun des autres, explique ce qui cloche.

123456781234560xyABCDEFGHIJ
Figure 10 — Chaque carreau du quadrillage mesure une unité.
Voir le corrigé détaillé

On lit les coordonnées de chaque vecteur : abscisse d’abord, ordonnée ensuite.

  1. AB→ (2 ;1)\overrightarrow{AB}\,(2\,;1)
  2. CD→ (2 ;1)\overrightarrow{CD}\,(2\,;1)
  3. EF→ (2 ;1)\overrightarrow{EF}\,(2\,;1)
  4. GH→ (2 ;2)\overrightarrow{GH}\,(2\,;2)
  5. IJ→ (−2 ;−1)\overrightarrow{IJ}\,(-2\,;-1)

Vecteurs égaux à AB→\overrightarrow{AB} : CD→\overrightarrow{CD} et EF→\overrightarrow{EF}. Ils ont exactement les mêmes coordonnées, donc même direction, même sens et même longueur.

GH→\overrightarrow{GH} : ses coordonnées sont (2 ;2)(2\,;2). Il n’a pas la même direction que AB→\overrightarrow{AB} : il monte plus vite.

IJ→\overrightarrow{IJ} : ses coordonnées sont les opposées de celles de AB→\overrightarrow{AB}. Il a la même direction et la même longueur, mais le sens contraire : IJ→=−AB→\overrightarrow{IJ} = -\overrightarrow{AB}.

2

Vrai ou faux ? Justifie.

  1. AB→=BA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}.
  2. Si AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, alors AB=CDAB = CD.
  3. Deux vecteurs de même longueur sont toujours égaux.
  4. AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}.
Voir le corrigé détaillé

1. Faux. Ces deux vecteurs ont la même direction et la même longueur, mais des sens opposés. On a BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.

2. Vrai. Deux vecteurs égaux ont en particulier la même longueur, et la longueur de AB→\overrightarrow{AB} est la distance ABAB.

3. Faux. La longueur ne suffit pas : il faut aussi la même direction et le même sens. Deux flèches de 33 cm pointant dans des directions différentes ne sont pas égales.

4. Vrai. Par la relation de Chasles :

  1. AB→+BA→=AA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}
  2. ==0⃗\vec{0}
3

Simplifie chacune des sommes suivantes.

  1. MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}
  2. RS→+ST→+TU→\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST} + \overrightarrow{TU}
  3. EF→+FE→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FE}
  4. AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. MN→+NP→=MP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}le NN disparaît

2.

  1. RS→+ST→+TU→\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST} + \overrightarrow{TU}
  2. ==RT→+TU→\overrightarrow{RT} + \overrightarrow{TU}
  3. ==RU→\overrightarrow{RU}

3.

  1. EF→+FE→=EE→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{EE}
  2. ==0⃗\vec{0}

4.

  1. AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}
  2. ==AC→+CA→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}
  3. ==AA→\overrightarrow{AA}
  4. ==0⃗\vec{0}on est revenu au point de départ
4

Lis sur le graphique les coordonnées des vecteurs PQ→\overrightarrow{PQ} et RS→\overrightarrow{RS}.

-11234567-11234560xyPQRS
Figure 11 — Un carreau vaut une unité.
Voir le corrigé détaillé

Vecteur PQ→\overrightarrow{PQ}. On part de P (1 ;1)P\,(1\,;1) et on arrive en Q (5 ;3)Q\,(5\,;3).

  1. x=5−1=4x = 5 - 1 = 44 carreaux vers la droite
  2. y=3−1=2y = 3 - 1 = 22 carreaux vers le haut
  3. ⇒\RightarrowPQ→ (4 ;2)\overrightarrow{PQ}\,(4\,;2)

Vecteur RS→\overrightarrow{RS}. On part de R (6 ;5)R\,(6\,;5) et on arrive en S (4 ;1)S\,(4\,;1).

  1. x=4−6=−2x = 4 - 6 = -22 carreaux vers la gauche
  2. y=1−5=−4y = 1 - 5 = -44 carreaux vers le bas
  3. ⇒\RightarrowRS→ (−2 ;−4)\overrightarrow{RS}\,(-2\,;-4)
5

Calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} dans chaque cas.

  1. A (2 ;−3)A\,(2\,;-3) et B (7 ;1)B\,(7\,;1) ;
  2. A (−4 ;6)A\,(-4\,;6) et B (−1 ;−2)B\,(-1\,;-2) ;
  3. A (0 ;5)A\,(0\,;5) et B (5 ;5)B\,(5\,;5).
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. x=7−2=5x = 7 - 2 = 5
  2. y=1−(−3)=4y = 1 - (-3) = 4
  3. ⇒\RightarrowAB→ (5 ;4)\overrightarrow{AB}\,(5\,;4)

2.

  1. x=−1−(−4)=3x = -1 - (-4) = 3
  2. y=−2−6=−8y = -2 - 6 = -8
  3. ⇒\RightarrowAB→ (3 ;−8)\overrightarrow{AB}\,(3\,;-8)

3.

  1. x=5−0=5x = 5 - 0 = 5
  2. y=5−5=0y = 5 - 5 = 0
  3. ⇒\RightarrowAB→ (5 ;0)\overrightarrow{AB}\,(5\,;0)le vecteur est horizontal
6

On donne u⃗ (3 ;−2)\vec{u}\,(3\,;-2) et v⃗ (−5 ;7)\vec{v}\,(-5\,;7). Calcule les coordonnées de u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}, puis sa longueur, arrondie au centième.

Voir le corrigé détaillé
  1. x=3+(−5)=−2x = 3 + (-5) = -2
  2. y=−2+7=5y = -2 + 7 = 5
  3. ⇒\Rightarrowu⃗+v⃗ (−2 ;5)\vec{u} + \vec{v}\,(-2\,;5)

Pour la longueur, on applique la formule issue de Pythagore :

  1. ∥u⃗+v⃗∥=(−2)2+52\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{(-2)^{2} + 5^{2}}
  2. ==4+25\sqrt{4 + 25}
  3. ==29\sqrt{29}
  4. ≈\approx5,395{,}39
Niveau 2 — Approfondissement
7

Sur le graphique, on a placé A (−2 ;1)A\,(-2\,;1), B (4 ;3)B\,(4\,;3) et C (1 ;−2)C\,(1\,;-2).

-4-3-2-112345678-4-3-2-1123450xyABCoù placer D ?
Figure 12 — Où placer le point DD ?
  1. Calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Détermine les coordonnées du point DD tel que ABDCABDC soit un parallélogramme.
  3. Vérifie ton résultat en calculant les coordonnées de AC→\overrightarrow{AC} et de BD→\overrightarrow{BD}.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. x=4−(−2)=6x = 4 - (-2) = 6
  2. y=3−1=2y = 3 - 1 = 2
  3. ⇒\RightarrowAB→ (6 ;2)\overrightarrow{AB}\,(6\,;2)

2. ABDCABDC est un parallélogramme si et seulement si AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

  1. xD−xC=6x_D - x_C = 6
  2. ⇒\RightarrowxD−1=6x_D - 1 = 6
  3. ⇒\RightarrowxD=7x_D = 7
  1. yD−yC=2y_D - y_C = 2
  2. ⇒\RightarrowyD−(−2)=2y_D - (-2) = 2
  3. ⇒\RightarrowyD+2=2y_D + 2 = 2
  4. ⇒\RightarrowyD=0y_D = 0

On obtient D (7 ;0)D\,(7\,;0).

3. Vérification par l’autre paire de côtés :

  1. AC→ (1−(−2) ; −2−1)\overrightarrow{AC}\,(1 - (-2)\,;\,-2 - 1)
  2. ==AC→ (3 ;−3)\overrightarrow{AC}\,(3\,;-3)
  3. BD→ (7−4 ; 0−3)\overrightarrow{BD}\,(7 - 4\,;\,0 - 3)
  4. ==BD→ (3 ;−3)\overrightarrow{BD}\,(3\,;-3)
  5. ⇒\RightarrowAC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}

Les deux paires de côtés opposés sont bien égales : ABDCABDC est un parallélogramme.

8

Sur la figure, trois vecteurs sont enchaînés. Exprime le plus simplement possible AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}, puis AB→+BC→+DA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA}… en réordonnant si besoin.

ABCDABBCCDTrois trajets enchaînés : que vaut AB + BC + CD ?
Figure 13 — Les quatre points AA, BB, CC et DD ne sont pas alignés.
Voir le corrigé détaillé

Première somme. Les vecteurs s’enchaînent parfaitement.

  1. AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}
  2. ==AC→+CD→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}le BB disparaît
  3. ==AD→\overrightarrow{AD}le CC disparaît

Seconde somme. L’addition de vecteurs peut se faire dans n’importe quel ordre ; on place DA→\overrightarrow{DA} en tête.

  1. AB→+BC→+DA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA}
  2. ==DA→+AB→+BC→\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}on réordonne
  3. ==DB→+BC→\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC}
  4. ==DC→\overrightarrow{DC}
9

On donne A (−1 ;4)A\,(-1\,;4) et B (5 ;−4)B\,(5\,;-4).

  1. Calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Calcule la longueur ABAB.
  3. Calcule les coordonnées du milieu II de [AB][AB].
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. x=5−(−1)=6x = 5 - (-1) = 6
  2. y=−4−4=−8y = -4 - 4 = -8
  3. ⇒\RightarrowAB→ (6 ;−8)\overrightarrow{AB}\,(6\,;-8)

2.

  1. AB=62+(−8)2AB = \sqrt{6^{2} + (-8)^{2}}
  2. ==36+64\sqrt{36 + 64}
  3. ==100\sqrt{100}
  4. ==1010

3.

  1. xI=−1+52x_I = \dfrac{-1 + 5}{2}
  2. ==22
  1. yI=4+(−4)2y_I = \dfrac{4 + (-4)}{2}
  2. ==00

Le milieu est I (2 ;0)I\,(2\,;0).

10

On donne u⃗ (4 ;−1)\vec{u}\,(4\,;-1) et w⃗ (1 ;5)\vec{w}\,(1\,;5). On sait de plus que u⃗+v⃗=w⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}. Détermine les coordonnées de v⃗\vec{v}.

Voir le corrigé détaillé

Notons v⃗ (x ;y)\vec{v}\,(x\,;y). L’égalité u⃗+v⃗=w⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{w} se traduit coordonnée par coordonnée.

Abscisses :

  1. 4+x=14 + x = 1
  2. ⇒\Rightarrowx=1−4x = 1 - 4
  3. ⇒\Rightarrowx=−3x = -3

Ordonnées :

  1. −1+y=5-1 + y = 5
  2. ⇒\Rightarrowy=5+1y = 5 + 1
  3. ⇒\Rightarrowy=6y = 6

Conclusion. v⃗ (−3 ;6)\vec{v}\,(-3\,;6).

11

Dans un repère, on donne E (1 ;2)E\,(1\,;2), F (4 ;4)F\,(4\,;4), G (6 ;1)G\,(6\,;1) et H (3 ;−1)H\,(3\,;-1). Le quadrilatère EFGHEFGH est-il un parallélogramme ?

Voir le corrigé détaillé

Un quadrilatère EFGHEFGH est un parallélogramme si et seulement si EF→=HG→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG} : on suit le contour, donc les côtés opposés sont [EF][EF] et [HG][HG].

  1. EF→ (4−1 ; 4−2)\overrightarrow{EF}\,(4 - 1\,;\,4 - 2)
  2. ==EF→ (3 ;2)\overrightarrow{EF}\,(3\,;2)
  1. HG→ (6−3 ; 1−(−1))\overrightarrow{HG}\,(6 - 3\,;\,1 - (-1))
  2. ==HG→ (3 ;2)\overrightarrow{HG}\,(3\,;2)

Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc ils sont égaux.

Le quadrilatère EFGHEFGH est bien un parallélogramme.

Niveau 3 — Défi
12

Soient AA, BB, CC et DD quatre points du plan. Démontre que :

AB→=CD→  ⟺  AC→=BD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}

Voir le corrigé détaillé

On démontre les deux implications, en passant par la relation de Chasles.

Sens direct. Supposons AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

  1. AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}Chasles, en passant par BB
  2. ==CD→+BC→\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}on utilise l’hypothèse
  3. ==BC→+CD→\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}l’addition est commutative
  4. ==BD→\overrightarrow{BD}Chasles, le CC disparaît

Réciproque. Supposons maintenant AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}. Le raisonnement est identique en échangeant les rôles.

  1. AB→=AC→+CB→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}Chasles, en passant par CC
  2. ==BD→+CB→\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CB}hypothèse
  3. ==CB→+BD→\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}
  4. ==CD→\overrightarrow{CD}

Les deux implications étant établies, l’équivalence est démontrée. Géométriquement, elle exprime simplement que le parallélogramme ABDCABDC possède deux paires de côtés opposés. C.Q.F.D.

13

ABCDABCD est un parallélogramme et II est le milieu de la diagonale [AC][AC]. Démontre, en n’utilisant que des vecteurs, que II est aussi le milieu de [BD][BD].

ABCDIABCD est un parallélogramme ; I est le milieu de [AC].
Figure 14 — Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : à démontrer.
Voir le corrigé détaillé

Comme ABCDABCD est un parallélogramme, ses côtés opposés [AB][AB] et [DC][DC] donnent :

  1. AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}définition du parallélogramme

Comme II est le milieu de [AC][AC] :

  1. AI→=IC→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC}caractérisation vectorielle du milieu

On décompose alors BI→\overrightarrow{BI} et ID→\overrightarrow{ID} avec Chasles.

  1. BI→=BA→+AI→\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI}Chasles, en passant par AA
  2. ID→=IC→+CD→\overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CD}Chasles, en passant par CC

Or AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} entraîne BA→=CD→\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} (on change les deux sens à la fois).

  1. BI→=BA→+AI→\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI}
  2. ==CD→+IC→\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{IC}on remplace les deux termes
  3. ==IC→+CD→\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CD}commutativité
  4. ==ID→\overrightarrow{ID}

On a donc BI→=ID→\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{ID} : le point II est bien le milieu de [BD][BD]. C.Q.F.D.

14

Dans un repère, on donne A (−2 ;3)A\,(-2\,;3), B (4 ;1)B\,(4\,;1) et C (6 ;7)C\,(6\,;7). Soit MM le milieu de [AB][AB] et NN le milieu de [AC][AC].

  1. Calcule les coordonnées de MM et de NN.
  2. Calcule les coordonnées de MN→\overrightarrow{MN} et de BC→\overrightarrow{BC}.
  3. Que peut-on en déduire pour les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) ? Et pour les longueurs MNMN et BCBC ?
Voir le corrigé détaillé

1. Coordonnées de MM, milieu de [AB][AB] :

  1. xM=−2+42=1x_M = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1
  2. yM=3+12=2y_M = \dfrac{3 + 1}{2} = 2
  3. ⇒\RightarrowM (1 ;2)M\,(1\,;2)

Coordonnées de NN, milieu de [AC][AC] :

  1. xN=−2+62=2x_N = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2
  2. yN=3+72=5y_N = \dfrac{3 + 7}{2} = 5
  3. ⇒\RightarrowN (2 ;5)N\,(2\,;5)

2.

  1. MN→ (2−1 ; 5−2)\overrightarrow{MN}\,(2 - 1\,;\,5 - 2)
  2. ==MN→ (1 ;3)\overrightarrow{MN}\,(1\,;3)
  1. BC→ (6−4 ; 7−1)\overrightarrow{BC}\,(6 - 4\,;\,7 - 1)
  2. ==BC→ (2 ;6)\overrightarrow{BC}\,(2\,;6)

3. Les coordonnées de BC→\overrightarrow{BC} sont exactement le double de celles de MN→\overrightarrow{MN} : les deux vecteurs ont donc la même direction. Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.

Pour les longueurs :

  1. MN=12+32MN = \sqrt{1^{2} + 3^{2}}
  2. ==10\sqrt{10}
  1. BC=22+62BC = \sqrt{2^{2} + 6^{2}}
  2. ==40\sqrt{40}
  3. ==2102\sqrt{10}

On retrouve donc BC=2×MNBC = 2 \times MN : c’est le théorème des milieux, redémontré ici avec des coordonnées.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
15

Le drone de Dakar. Ousmane pilote un drone de cartographie au-dessus de la ville. Sur son écran, la position est repérée dans un quadrillage dont chaque unité vaut 100100 m. Le drone décolle du point A (2 ;3)A\,(2\,;3).

  1. Il effectue un premier déplacement de vecteur u⃗ (4 ;−1)\vec{u}\,(4\,;-1). Quelles sont les coordonnées du point BB où il arrive ?
  2. Il enchaîne un second déplacement de vecteur v⃗ (−1 ;5)\vec{v}\,(-1\,;5). Quelles sont les coordonnées du point CC où il arrive ?
  3. Quel est le vecteur du déplacement direct de AA à CC ?
  4. Quelle distance à vol d’oiseau sépare AA de CC, arrondie au mètre ?
Voir le corrigé détaillé

1. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal à u⃗\vec{u}, donc :

  1. xB−2=4x_B - 2 = 4
  2. ⇒\RightarrowxB=6x_B = 6
  1. yB−3=−1y_B - 3 = -1
  2. ⇒\RightarrowyB=2y_B = 2

Le drone arrive en B (6 ;2)B\,(6\,;2).

2. De même avec BC→=v⃗\overrightarrow{BC} = \vec{v} :

  1. xC=6+(−1)=5x_C = 6 + (-1) = 5
  2. yC=2+5=7y_C = 2 + 5 = 7
  3. ⇒\RightarrowC (5 ;7)C\,(5\,;7)

3. D’après la relation de Chasles, le déplacement direct est AC→=AB→+BC→=u⃗+v⃗\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{u} + \vec{v}.

  1. x=4+(−1)=3x = 4 + (-1) = 3
  2. y=−1+5=4y = -1 + 5 = 4
  3. ⇒\RightarrowAC→ (3 ;4)\overrightarrow{AC}\,(3\,;4)

On vérifie avec les points : 5−2=35 - 2 = 3 et 7−3=47 - 3 = 4. C’est cohérent.

4. La distance en unités du quadrillage :

  1. AC=32+42AC = \sqrt{3^{2} + 4^{2}}
  2. ==9+16\sqrt{9 + 16}
  3. ==25\sqrt{25}
  4. ==55
  1. 5×100=5005 \times 100 = 500

Le drone se trouve à 500 m de son point de décollage, alors qu’il a parcouru bien davantage en réalité.

16

La pirogue sur le Chari (Ndjamena). Fatimé traverse le fleuve en pirogue. Elle maintient un cap perpendiculaire à la rive, ce qui correspond, en une heure, au vecteur p⃗ (0 ;6)\vec{p}\,(0\,;6) (en kilomètres). Mais le courant l’entraîne vers l’aval : il correspond, en une heure, au vecteur c⃗ (2,5 ;0)\vec{c}\,(2{,}5\,;0).

rive nordrive sudcap de la pirogue(0 ; 6)courant (2,5 ; 0)trajet réel(2,5 ; 6)Le courant du fleuvedéporte la pirogue :on additionne lesdeux vecteurs.
Figure 15 — Le trajet réellement suivi est la somme des deux vecteurs.
  1. Détermine les coordonnées du vecteur r⃗\vec{r} du trajet réel en une heure.
  2. Quelle distance la pirogue parcourt-elle réellement en une heure ?
  3. Le fleuve mesure 600600 m de large. Combien de temps dure la traversée, et de combien de mètres Fatimé est-elle déportée vers l’aval ?
Voir le corrigé détaillé

1. Les deux déplacements se composent : on additionne les vecteurs.

  1. x=0+2,5=2,5x = 0 + 2{,}5 = 2{,}5
  2. y=6+0=6y = 6 + 0 = 6
  3. ⇒\Rightarrowr⃗ (2,5 ;6)\vec{r}\,(2{,}5\,;6)

2. On calcule la longueur du vecteur r⃗\vec{r}.

  1. ∥r⃗∥=2,52+62\|\vec{r}\| = \sqrt{2{,}5^{2} + 6^{2}}
  2. ==6,25+36\sqrt{6{,}25 + 36}
  3. ==42,25\sqrt{42{,}25}
  4. ==6,56{,}5

La pirogue parcourt réellement 6,5 km en une heure, alors qu’elle ne progresse que de 66 km vers l’autre rive.

3. La traversée, c’est le déplacement perpendiculaire à la rive : 600600 m, soit 0,60{,}6 km, à la vitesse de 66 km/h.

  1. t=0,66t = \dfrac{0{,}6}{6}
  2. ==0,10{,}1 heure
  3. ==66 minutescar 0,1×60=60{,}1 \times 60 = 6

Pendant ces 66 minutes, le courant l’a déportée de :

  1. d=2,5×0,1d = 2{,}5 \times 0{,}1
  2. ==0,250{,}25 km
  3. ==250250 m

Fatimé accostera 250 m en aval du point qu’elle visait. C’est pourquoi les piroguiers visent toujours un point situé en amont de leur destination.

17

Le motif du pagne (Abidjan). Awa dessine un pagne dont le motif se répète par translation. Sur son plan quadrillé, une unité représente 55 cm. Le premier motif est centré au point M1 (1 ;2)M_1\,(1\,;2), et chaque motif se déduit du précédent par la translation de vecteur u⃗ (3 ;1)\vec{u}\,(3\,;1).

  1. Donne les coordonnées des centres M2M_2, M3M_3 et M4M_4.
  2. Calcule les coordonnées du vecteur M1M4→\overrightarrow{M_1 M_4}.
  3. Quelle distance, en centimètres, sépare le centre du premier motif de celui du quatrième ? Arrondis au millimètre.
Voir le corrigé détaillé

1. À chaque motif, on ajoute 33 à l’abscisse et 11 à l’ordonnée.

  1. M2 (1+3 ; 2+1)=M2 (4 ;3)M_2\,(1 + 3\,;\,2 + 1) = M_2\,(4\,;3)
  2. M3 (4+3 ; 3+1)=M3 (7 ;4)M_3\,(4 + 3\,;\,3 + 1) = M_3\,(7\,;4)
  3. M4 (7+3 ; 4+1)=M4 (10 ;5)M_4\,(7 + 3\,;\,4 + 1) = M_4\,(10\,;5)

2.

  1. x=10−1=9x = 10 - 1 = 9
  2. y=5−2=3y = 5 - 2 = 3
  3. ⇒\RightarrowM1M4→ (9 ;3)\overrightarrow{M_1 M_4}\,(9\,;3)

C’est bien trois fois le vecteur u⃗\vec{u}, ce qui est logique : on a appliqué trois fois la même translation.

3. Longueur en unités du quadrillage :

  1. M1M4=92+32M_1M_4 = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}
  2. ==81+9\sqrt{81 + 9}
  3. ==90\sqrt{90}
  4. ≈\approx9,4879{,}487

Chaque unité valant 55 cm :

  1. 9,487×5=47,4359{,}487 \times 5 = 47{,}435
  2. ≈\approx47,447{,}4

Les deux centres sont distants d’environ 47,4 cm.

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