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Similitudes planes

Classer et utiliser les similitudes directes et indirectes (série C).

Mathématiques Terminale Chapitre 19 / 19 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Déterminer les éléments caractéristiques d'une similitude
  • Écrire une similitude sous forme complexe
  • Utiliser une similitude pour déterminer un lieu géométrique

Depuis la classe de Première, tu manies deux grandes familles de transformations du plan : d’un côté les isométries — translations, rotations, réflexions —, qui conservent exactement les longueurs ; de l’autre les homothéties, qui les multiplient toutes par un même rapport. Ce chapitre les réunit dans une notion plus large et plus puissante : la similitude. Tu la croises sans le savoir chaque fois qu’une carte routière est agrandie et pivotée pour être orientée vers le nord, chaque fois qu’un photographe recadre et fait pivoter un cliché, chaque fois qu’un motif de pagne ou de bogolan se répète en changeant de taille et d’orientation.

La vraie nouveauté de la Terminale, c’est l’outil : les nombres complexes. Tu as vu au chapitre précédent qu’un nombre complexe code un point du plan ; tu vas découvrir ici qu’une simple écriture z′=az+bz' = az+b code, à elle seule, toute une similitude — son rapport, son angle, son centre. Une seule lettre, aa, porte à la fois l’information « combien on agrandit » et « de combien on tourne ». C’est cette compression algébrique qui fait des similitudes un des chapitres les plus élégants — et les plus rentables au baccalauréat — de l’année.

Le chapitre suit un chemin précis : tu apprendras d’abord ce qu’est une similitude et ce qu’elle conserve (section 1), puis à distinguer les similitudes directes des similitudes indirectes et à les écrire sous forme complexe (section 2) ; tu sauras ensuite lire dans cette écriture le centre, l’angle et le rapport d’une similitude directe (section 3), avant d’étudier les similitudes indirectes — réflexions et symétries glissées (section 4) — puis comment on les compose (section 5). Le chapitre se conclut sur ce pour quoi tout cet arsenal a été construit : résoudre des configurations géométriques classiques et déterminer des lieux géométriques (section 6).

À la fin de ce chapitre, une expression comme z′=(1+i)z+2z' = (1+\mathrm{i})z+2 ne sera plus un mystère : tu y liras instantanément un rapport, un angle, un centre — et tu sauras t’en servir pour prouver qu’un triangle est équilatéral ou qu’un point décrit un cercle, sans lever le compas.

1Définition et rapport d’une similitude

1.1  Définition d’une similitude plane

Définition

Soit kk un nombre réel strictement positif. On appelle similitude plane de rapport kk toute transformation ss du plan telle que, pour tous points MM, NN d’images respectives M′M', N′N' :

M′N′=k×MNM'N' = k \times MN

Autrement dit, ss multiplie toutes les distances du plan par le même nombre kk.

Le cas k=1k=1 porte un nom que tu connais déjà : on parle d’isométrie — les distances sont conservées exactement. Toute translation, toute rotation, toute réflexion, toute symétrie glissée est donc une similitude de rapport 11.

Attention

Ne confonds pas le rapport d’une homothétie, un réel kk qui peut être négatif (l’homothétie de rapport −2-2 retourne les longueurs tout en les multipliant par 22), et le rapport d’une similitude, qui est toujours strictement positif — c’est le quotient de deux longueurs, donc k>0k>0 sans exception. Une homothétie de rapport kk (réel non nul) est une similitude de rapport ∣k∣|k|.

1.2  Exemples fondamentaux

Exemple — reconnaître un rapport de similitude

Une homothétie de rapport −3-3 est une similitude de rapport 33. Une rotation, quel que soit son angle, est une similitude de rapport 11. La composée d’une homothétie de rapport 22 et d’une rotation de même centre est une similitude de rapport 22.

Si ss est cette dernière composée et si AB=5 cmAB = 5\ \text{cm}, alors :

  1. A′B′=2×ABA'B' = 2 \times ABss est une similitude de rapport 22
  2. ==2×52 \times 5
  3. ==10 cm10\ \text{cm}
Démonstration — l’image d’un cercle par une similitude est un cercle

Soit ss une similitude de rapport kk, C\mathcal{C} le cercle de centre II et de rayon rr, et I′=s(I)I' = s(I). Notons C′\mathcal{C}' le cercle de centre I′I' et de rayon krkr.

  1. M∈C  ⟺  IM=rM \in \mathcal{C} \iff IM = r
  2. ⇒\RightarrowI′M′=k×IMI'M' = k \times IMss multiplie toutes les distances par kk, en particulier IMIM
  3. ==krkrcar IM=rIM=r
  4. ⇒\RightarrowM′∈C′M' \in \mathcal{C}'

Réciproquement, si M′∈C′M' \in \mathcal{C}', alors IM=I′M′/k=rIM = I'M'/k = r (même raisonnement), donc M∈CM \in \mathcal{C}. L’image de C\mathcal{C} par ss est donc exactement C′\mathcal{C}'. C.Q.F.D.

Math & Co — Thalès et l’ombre de la pyramide

Selon une tradition rapportée par les auteurs antiques Diogène Laërce et Pline l’Ancien (des siècles après les faits, donc à prendre avec la prudence qui s’impose), Thalès de Milet (vers −625-625 à vers −547-547) aurait mesuré la hauteur de la grande pyramide de Khéops, en Égypte, sans jamais y grimper : il aurait planté un bâton verticalement et comparé, au même instant, la longueur de son ombre à sa propre hauteur, puis appliqué le même rapport à l’ombre de la pyramide.

L’idée est exactement celle d’une similitude : à un instant donné, tout objet vertical et son ombre forment un triangle rectangle, et ces triangles — bâton et pyramide — ont le même rapport hauteur/ombre. C’est ce rapport commun que les mathématiciens grecs formaliseront, trois siècles plus tard, dans le Livre VI des Éléments d’Euclide (vers −300-300), sous le nom de figures semblables — l’ancêtre direct de nos similitudes.

1.3  Propriétés conservées par une similitude

Propriété

Toute similitude de rapport kk :

  • conserve les angles géométriques (les mesures d’angles, sans tenir compte du sens) ;
  • conserve l’alignement des points, ainsi que le parallélisme et l’orthogonalité des droites ;
  • conserve le contact : deux courbes tangentes ont des images tangentes ;
  • transforme un cercle de rayon rr en un cercle de rayon krkr (démontré ci-dessus) ;
  • multiplie les aires par k2k^{2} ;
  • conserve le barycentre — en particulier le milieu d’un segment et le centre de gravité d’un triangle.
Attention — piège classique

Une erreur fréquente au baccalauréat : écrire que l’aire est multipliée par kk. C’est faux : une similitude multiplie les longueurs par kk, donc les aires — produits de deux longueurs — par k×k=k2k \times k = k^{2}. Une similitude de rapport 33 multiplie les longueurs par 33 mais les aires par 99.

Cette dernière liste ne dit rien du sens dans lequel les angles sont mesurés : une similitude peut conserver ce sens, ou le renverser. C’est précisément la distinction que nous allons formaliser — et qui va nous conduire, grâce aux nombres complexes, à une écriture d’une simplicité redoutable.

2Similitudes directes et écriture complexe

2.1  Similitudes directes, similitudes indirectes

Définition

Une similitude ss est dite directe si elle conserve les angles orientés : pour tous points A,B,C,DA,B,C,D (avec AB⃗\vec{AB} et CD⃗\vec{CD} non nuls), d’images A′,B′,C′,D′A',B',C',D' :

(A′B′→,C′D′→)≡(AB→,CD→) [2π]\left(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{C'D'}\right) \equiv \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\right)\ [2\pi]

Elle est dite indirecte si elle transforme tout angle orienté en son opposé :

(A′B′→,C′D′→)≡−(AB→,CD→) [2π]\left(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{C'D'}\right) \equiv -\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\right)\ [2\pi]

Sont des similitudes directes : toute translation, toute rotation, toute homothétie — quel que soit le signe de son rapport (nous le justifierons juste après). Sont des similitudes indirectes : toute réflexion (symétrie axiale), toute symétrie glissée.

2.2  Écriture complexe d’une similitude directe

Théorème

Soient a∈C∗a \in \mathbb{C}^{*} et b∈Cb \in \mathbb{C}. L’application ss qui, à tout point MM d’affixe zz, associe le point M′M' d’affixe z′=az+bz' = az+b est une similitude directe, de rapport k=∣a∣k=|a| et d’angle θ≡arg⁡(a) [2π]\theta \equiv \arg(a)\ [2\pi].

Réciproquement, toute similitude directe admet une écriture complexe de cette forme, avec aa et bb uniques.

Démonstration

Soient MM et NN deux points distincts quelconques, d’affixes zMz_M et zNz_N, d’images M′M' et N′N' d’affixes zM′=azM+bz_M'=az_M+b et zN′=azN+bz_N'=az_N+b.

  1. zN′−zM′=(azN+b)−(azM+b)z_N'-z_M' = (az_N+b)-(az_M+b)
  2. ==a(zN−zM)a(z_N-z_M)

Rapport. En passant au module dans cette égalité :

  1. M′N′=∣zN′−zM′∣M'N' = |z_N'-z_M'|
  2. ==∣a(zN−zM)∣|a(z_N-z_M)|
  3. ==∣a∣×∣zN−zM∣|a| \times |z_N-z_M|module d’un produit
  4. ==∣a∣×MN|a| \times MN

Le nombre ∣a∣|a| ne dépend ni de MM ni de NN : ss multiplie donc toutes les distances par la constante k=∣a∣>0k=|a|>0 (car a≠0a\neq0). C’est une similitude de rapport k=∣a∣k=|a|.

Angle. Comme M≠NM\neq N, on a zN−zM≠0z_N-z_M\neq0 et l’on peut passer à l’argument :

  1. arg⁡(zN′−zM′)≡arg⁡(a(zN−zM)) [2π]\arg(z_N'-z_M') \equiv \arg\big(a(z_N-z_M)\big)\ [2\pi]
  2. ≡\equivarg⁡(a)+arg⁡(zN−zM) [2π]\arg(a)+\arg(z_N-z_M)\ [2\pi]argument d’un produit

Or arg⁡(zN−zM)=(u⃗,MN→)\arg(z_N-z_M) = \left(\vec{u},\overrightarrow{MN}\right) et arg⁡(zN′−zM′)=(u⃗,M′N′→)\arg(z_N'-z_M') = \left(\vec{u},\overrightarrow{M'N'}\right), où u⃗\vec{u} est le vecteur unitaire de l’axe des réels. En soustrayant ces deux égalités :

  1. (MN→,M′N′→)≡arg⁡(zN′−zM′)−arg⁡(zN−zM) [2π]\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{M'N'}\right) \equiv \arg(z_N'-z_M')-\arg(z_N-z_M)\ [2\pi]
  2. ≡\equivarg⁡(a) [2π]\arg(a)\ [2\pi]

Pour tout couple de points distincts M,NM,N, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} tourne donc du même angle θ≡arg⁡(a) [2π]\theta \equiv \arg(a)\ [2\pi] pour devenir M′N′→\overrightarrow{M'N'}. Si l’on prend deux couples (M,N)(M,N) et (P,Q)(P,Q), les vecteurs MN→\overrightarrow{MN} et PQ→\overrightarrow{PQ} ayant tous deux tourné du même angle θ\theta, leur écart angulaire est inchangé : (M′N′→,P′Q′→)≡(MN→,PQ→) [2π]\left(\overrightarrow{M'N'},\overrightarrow{P'Q'}\right) \equiv \left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{PQ}\right)\ [2\pi]. Les angles orientés sont conservés : ss est une similitude directe d’angle θ≡arg⁡(a) [2π]\theta \equiv \arg(a)\ [2\pi].

La réciproque (toute similitude directe s’écrit sous cette forme) est admise : elle repose sur le fait qu’une transformation affine du plan conservant les angles orientés est nécessairement de la forme z↦az+bz\mapsto az+b, et non z↦az‾+bz \mapsto a\overline{z}+b, qui les renverse (section 4). C.Q.F.D.

En particulier, si aa est un réel non nul, positif ou négatif, alors arg⁡(a)∈{0,π} [2π]\arg(a) \in \{0,\pi\}\ [2\pi] : z↦az+bz\mapsto az+b est une homothétie (composée, si a<0a<0, avec la symétrie centrale — une rotation d’angle π\pi). C’est bien, comme annoncé en 2.1, une similitude directe, quel que soit le signe de aa.

Exemple — lire le rapport et l’angle dans l’écriture complexe

Soit ss la similitude directe d’écriture complexe z′=(23+2i)z+5z' = \left(2\sqrt{3}+2\mathrm{i}\right)z+5. Déterminons son rapport kk et son angle θ\theta.

  1. a=23+2ia = 2\sqrt{3}+2\mathrm{i}
  2. k=∣a∣=(23)2+22k=|a| = \sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+2^{2}}
  3. ==12+4\sqrt{12+4}
  4. ==16\sqrt{16}
  5. ==44
  6. cos⁡θ=234=32  et  sin⁡θ=24=12\cos\theta = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \text{ et }\ \sin\theta = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}
  7. ⇒\Rightarrowθ=π6=30∘ [2π]\theta = \dfrac{\pi}{6} = 30^{\circ}\ [2\pi]valeurs remarquables

ss est donc la similitude directe de rapport 44 et d’angle 30∘30^{\circ}.

2.3  Cas particuliers immédiats

Propriété

Pour s:z↦az+bs : z \mapsto az+b (a≠0a\neq0) :

  • si ∣a∣=1|a|=1, ss est une isométrie directe — une translation si a=1a=1, une rotation d’angle arg⁡(a)\arg(a) sinon ;
  • si aa est réel (positif ou négatif) et a≠1a\neq1, ss est une homothétie de rapport aa ;
  • si a=1a=1, ss est une translation de vecteur d’affixe bb (étudiée en détail section 3.4).

2.4  Une similitude directe déterminée par deux points

Théorème

Soient A,BA,B deux points distincts et A′,B′A',B' deux points distincts. Il existe une unique similitude directe ss telle que s(A)=A′s(A)=A' et s(B)=B′s(B)=B'.

Démonstration

Existence. On cherche a,ba,b tels que azA+b=zA′az_A+b=z_A' et azB+b=zB′az_B+b=z_B'.

  1. en soustrayant : a(zB−zA)=zB′−zA′a(z_B-z_A) = z_B'-z_A'
  2. ⇒\Rightarrowa=zB′−zA′zB−zAa = \dfrac{z_B'-z_A'}{z_B-z_A}zB≠zAz_B\neq z_A car B≠AB\neq A
  3. b=zA′−azAb = z_A'-az_Aobtenu avec la première équation

Ce couple (a,b)(a,b) existe et vérifie a≠0a\neq0 (car zB′≠zA′z_B'\neq z_A', B′≠A′B'\neq A' donné) : s:z↦az+bs:z\mapsto az+b est donc bien une similitude directe, et par construction s(A)=A′s(A)=A', s(B)=B′s(B)=B'.

Unicité. Si ss et s~\tilde s sont deux similitudes directes, d’écritures az+baz+b et a~z+b~\tilde a z+\tilde b, vérifiant toutes deux ces deux conditions, alors (a,b)(a,b) et (a~,b~)(\tilde a,\tilde b) sont chacun solutions du même système à solution unique résolu ci-dessus : donc a=a~a=\tilde a et b=b~b=\tilde b, donc s=s~s=\tilde s. C.Q.F.D.

Méthode — déterminer l’écriture complexe de ss à partir de A,B,A′,B′A,B,A',B'

1) Calculer a=zB′−zA′zB−zAa=\dfrac{z_B'-z_A'}{z_B-z_A}. 2) Calculer b=zA′−azAb=z_A'-az_A. 3) En déduire k=∣a∣k=|a|, θ≡arg⁡(a) [2π]\theta\equiv\arg(a)\ [2\pi] et, si a≠1a\neq1, le centre ω=b1−a\omega=\dfrac{b}{1-a} (formule démontrée section 3).

Attention

Ne permute pas les rôles : au numérateur, les images (zB′−zA′z_B'-z_A') ; au dénominateur, les points de départ (zB−zAz_B-z_A). Inverser change complètement le résultat. Et il faut impérativement A≠BA\neq B et A′≠B′A'\neq B', sinon la division par 00 rend le problème indéterminé.

Exemple — retrouver ss à partir de deux points et leurs images

On donne A(1+i)A(1+\mathrm{i}), B(4+i)B(4+\mathrm{i}), A′(−1+i)A'(-1+\mathrm{i}), B′(−1+7i)B'(-1+7\mathrm{i}). Déterminons l’écriture complexe de ss.

  1. a=zB′−zA′zB−zA=(−1+7i)−(−1+i)(4+i)−(1+i)a = \dfrac{z_B'-z_A'}{z_B-z_A} = \dfrac{(-1+7\mathrm{i})-(-1+\mathrm{i})}{(4+\mathrm{i})-(1+\mathrm{i})}
  2. ==6i3=2i\dfrac{6\mathrm{i}}{3} = 2\mathrm{i}
  3. b=zA′−azA=(−1+i)−2i(1+i)b = z_A'-az_A = (-1+\mathrm{i})-2\mathrm{i}(1+\mathrm{i})
  4. ==(−1+i)−(2i−2)=1−i(-1+\mathrm{i})-(2\mathrm{i}-2) = 1-\mathrm{i}
  5. k=∣a∣=∣2i∣k=|a|=|2\mathrm{i}|
  6. ==22
  7. θ=arg⁡(2i)\theta=\arg(2\mathrm{i})
  8. ==90∘ [2π]90^{\circ}\ [2\pi]
  9. ω=b1−a=1−i1−2i\omega = \dfrac{b}{1-a} = \dfrac{1-\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}
  10. ==(1−i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)\dfrac{(1-\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}{(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}on multiplie par le conjugué du dénominateur
  11. ==3+i5\dfrac{3+\mathrm{i}}{5}
  12. ==0,6+0,2i0{,}6+0{,}2\mathrm{i}

Donc s:z′=2iz+(1−i)s: z'=2\mathrm{i}z+(1-\mathrm{i}), similitude directe de rapport 22, d’angle 90∘90^{\circ}, de centre ω=0,6+0,2i\omega=0{,}6+0{,}2\mathrm{i} — voir Figure 1.

Similitude directe déterminée par A, B et leurs images θ = 90° A B A' B' ω a = 2i b = 1 − i k = |a| = 2 θ = arg(a) = 90° ω = 0,6 + 0,2i
Figure 1 — La similitude directe ss telle que s(A)=A′s(A)=A' et s(B)=B′s(B)=B' : on lit A′B′=2×ABA'B' = 2\times AB et (AB→,A′B′→)=90∘\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\right)=90^{\circ}, conformément à k=∣a∣=2k=|a|=2 et θ=arg⁡(a)=90∘\theta=\arg(a)=90^{\circ}. Toute la figure tourne autour du même point ω\omega.

3Éléments caractéristiques : centre, angle, rapport

Nous savons reconnaître une similitude directe et l’écrire z′=az+bz'=az+b. Il reste à savoir lire, dans cette écriture, l’anatomie complète de la transformation : son centre, son rapport, son angle — et à comprendre comment elle se réduit à deux gestes simples, agrandir puis tourner.

3.1  Point invariant (centre) d’une similitude directe

Propriété — centre d’une similitude directe

Soit s:z↦az+bs:z\mapsto az+b une similitude directe avec a≠1a\neq1. L’équation s(z)=zs(z)=z admet une unique solution :

ω=b1−a\omega=\dfrac{b}{1-a}

Le point Ω\Omega d’affixe ω\omega est l’unique point invariant par ss : on l’appelle le centre de la similitude.

Démonstration
  1. s(z)=z  ⟺  az+b=zs(z)=z \iff az+b=z
  2.   ⟺  \iffb=z−azb=z-az
  3.   ⟺  \iffb=z(1−a)b=z(1-a)
  4.   ⟺  \iffz=b1−az=\dfrac{b}{1-a}division licite car a≠1a\neq1

Cette équation du premier degré a une unique solution : le point invariant Ω\Omega est donc unique. C.Q.F.D.

3.2  Rapport, angle, écriture réduite

Propriété — écriture réduite

Soit ss une similitude directe de centre Ω\Omega (affixe ω\omega), de rapport k=∣a∣k=|a| et d’angle θ=arg⁡(a)\theta=\arg(a). Pour tout point M(z)M(z) d’image M′(z′)M'(z') :

z′−ω=a(z−ω)z'-\omega=a(z-\omega)

Démonstration
  1. z′−ω=(az+b)−(aω+b)z'-\omega=(az+b)-(a\omega+b)Ω\Omega est invariant : ω=aω+b\omega=a\omega+b
  2. ==a(z−ω)a(z-\omega)

Cette relation dit exactement que le vecteur ΩM′→\overrightarrow{\Omega M'} s’obtient en multipliant l’affixe de ΩM→\overrightarrow{\Omega M} par aa : donc ΩM′=∣a∣×ΩM=k×ΩM\Omega M'=|a|\times\Omega M=k\times\Omega M, et (ΩM→,ΩM′→)≡arg⁡(a)=θ [2π]\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)\equiv\arg(a)=\theta\ [2\pi]. Chaque point tourne autour de Ω\Omega du même angle θ\theta, à la même échelle kk.

Exemple — trouver centre, rapport, angle

Soit s:z′=(1+i)z+2s:z'=(1+\mathrm{i})z+2.

  1. k=∣a∣=∣1+i∣k=|a|=|1+\mathrm{i}|
  2. ==12+12=2\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt2
  3. θ=arg⁡(1+i)=45∘ [2π]\theta=\arg(1+\mathrm{i})=45^{\circ}\ [2\pi]valeur remarquable
  4. ω=b1−a=21−(1+i)\omega=\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{2}{1-(1+\mathrm{i})}
  5. ==2−i\dfrac{2}{-\mathrm{i}}
  6. ==2i−i×i\dfrac{2\mathrm{i}}{-\mathrm{i}\times\mathrm{i}}on multiplie par i\mathrm{i} au numérateur et au dénominateur
  7. ==2i2\mathrm{i}

ss est donc la similitude directe de centre Ω(2i)\Omega(2\mathrm{i}), de rapport 2\sqrt2 et d’angle 45∘45^{\circ} — voir Figure 2.

Triangle image : centre, angle et rapport de la similitude θ = 45° A B C A' B' C' ω s : z' = (1+i)z + 2 k = √2 ≈ 1,41 θ = 45° ω = 2i
Figure 2 — Le triangle ABCABC transformé par s:z′=(1+i)z+2s:z'=(1+\mathrm{i})z+2. On lit (ΩA→,ΩA′→)=45∘\left(\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega A'}\right)=45^{\circ} et ΩA′=2×ΩA\Omega A'=\sqrt2\times\Omega A : rapport et angle se voient directement sur la figure.
Math & Co — un plan pour les nombres imaginaires

Pendant deux siècles après leur apparition en Italie au XVIe siècle (Cardan, Bombelli), les nombres « imaginaires » restent des outils de calcul suspects, sans existence géométrique reconnue. La situation bascule à la charnière des XVIIIe et XIXe siècles : en 1799, l’arpenteur danois Caspar Wessel propose le premier, dans un mémoire longtemps resté ignoré, de représenter un nombre complexe par un point du plan. En 1806, le comptable genevois Jean-Robert Argand redécouvre l’idée indépendamment et la publie. C’est enfin Carl Friedrich Gauss qui, en popularisant cette représentation autour de 1831 et en forgeant le terme « nombre complexe », lui donne sa légitimité définitive.

Ce plan (parfois appelé « plan d’Argand-Gauss ») est exactement celui dans lequel tu travailles depuis le début de ce chapitre : c’est parce qu’un nombre complexe est un point que multiplier par aa peut vouloir dire, tout à la fois, tourner et agrandir.

3.3  Décomposition en homothétie ∘ rotation

Théorème — décomposition

Toute similitude directe ss de centre Ω\Omega, de rapport kk et d’angle θ\theta est la composée, dans n’importe quel ordre, de l’homothétie hh de centre Ω\Omega et de rapport kk, et de la rotation rr de centre Ω\Omega et d’angle θ\theta :

s=r∘h=h∘rs=r\circ h=h\circ r

Démonstration

Pour M(z)M(z), l’homothétie h(Ω,k)h(\Omega,k) donne le point d’affixe ω+k(z−ω)\omega+k(z-\omega) ; la rotation r(Ω,θ)r(\Omega,\theta) donne le point d’affixe ω+eiθ(z−ω)\omega+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega).

  1. r(h(M))r\big(h(M)\big) a pour affixe ω+eiθ[k(z−ω)]\omega+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\big[k(z-\omega)\big]
  2. ==ω+k eiθ(z−ω)\omega+k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega)
  3. ==ω+a(z−ω)\omega+a(z-\omega)a=k eiθa=k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, puisque k=∣a∣k=|a| et θ=arg⁡(a)\theta=\arg(a)
  4. ==z′z'écriture réduite établie en 3.2

Donc r∘h=sr\circ h=s. Un calcul identique en appliquant d’abord rr puis hh donne, pour h(r(M))h\big(r(M)\big), l’affixe ω+k[eiθ(z−ω)]=ω+k eiθ(z−ω)\omega+k\big[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega)\big]=\omega+k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega) : le même résultat. Donc h∘r=r∘h=sh\circ r=r\circ h=s. C.Q.F.D.

Autrement dit, hh et rr commutent — ce qui n’est vrai, en général, que parce qu’elles partagent le même centre Ω\Omega.

Décomposition : homothétie de centre ω, puis rotation de même centre rotation 45° A B C A₁ B₁ C₁ A' B' C' ω homothétie (ω, √2)
Figure 3 — La même similitude s:z′=(1+i)z+2s:z'=(1+\mathrm{i})z+2 qu’à la Figure 2, décomposée en deux étapes : l’homothétie de centre Ω\Omega et de rapport 2\sqrt2 envoie ABCABC sur A1B1C1A_1B_1C_1 (en orange), puis la rotation de centre Ω\Omega et d’angle 45∘45^{\circ} envoie A1B1C1A_1B_1C_1 sur A′B′C′A'B'C'.

3.4  Cas a=1a=1 : la translation

Propriété — cas a=1a=1

Si a=1a=1, l’écriture complexe devient z′=z+bz'=z+b : ss est la translation de vecteur u⃗\vec{u} d’affixe bb. Son rapport est k=∣a∣=1k=|a|=1 (une isométrie) et son angle est θ=arg⁡(1)=0\theta=\arg(1)=0.

Une translation non nulle n’a aucun point invariant : c’est cohérent avec la formule ω=b/(1−a)\omega=b/(1-a), qui perd tout son sens quand a=1a=1 (division par 00).

Attention

Avant d’appliquer ω=b1−a\omega=\dfrac{b}{1-a}, vérifie toujours que a≠1a\neq1. Si a=1a=1, inutile de chercher un centre : la similitude est une translation, elle n’en a pas.

Valeur de aaNature de s:z↦az+bs:z\mapsto az+bRapportAngle
a=1a=1translation, vecteur d’affixe bb1100
aa réel, a≠1a\neq1homothétie, centre ω=b1−a\omega=\frac{b}{1-a}, rapport aa∣a∣|a|00 ou 180∘180^{\circ}
∣a∣=1|a|=1, a≠1a\neq1rotation, centre ω\omega, angle arg⁡(a)\arg(a)11arg⁡(a)\arg(a)
autre aasimilitude directe « stricte », centre ω\omega∣a∣|a|arg⁡(a)\arg(a)

4Similitudes indirectes

La section 2 a laissé de côté les similitudes qui inversent le sens des angles — celles qu’on obtient en passant par un miroir. Nous les étudions maintenant.

4.1  Définition et écriture complexe

Théorème

Soient a∈C∗a\in\mathbb{C}^{*} et b∈Cb\in\mathbb{C}. L’application s:z↦az‾+bs:z\mapsto a\overline{z}+b est une similitude indirecte de rapport k=∣a∣k=|a|. Réciproquement, toute similitude indirecte s’écrit sous cette forme.

Démonstration

Soient M≠NM\neq N, d’affixes zM,zNz_M,z_N, d’images zM′=azM‾+bz_M'=a\overline{z_M}+b, zN′=azN‾+bz_N'=a\overline{z_N}+b.

  1. zN′−zM′=azN‾−azM‾z_N'-z_M'=a\overline{z_N}-a\overline{z_M}
  2. ==a (zN−zM)‾a\,\overline{(z_N-z_M)}
  3. M′N′=∣zN′−zM′∣M'N'=|z_N'-z_M'|
  4. ==∣a∣×∣zN−zM‾∣|a|\times\big|\overline{z_N-z_M}\big|
  5. ==∣a∣×MN|a|\times MNun nombre et son conjugué ont même module

ss est donc une similitude de rapport k=∣a∣k=|a|. Pour l’angle :

  1. arg⁡(zN′−zM′)≡arg⁡(a)+arg⁡(zN−zM‾) [2π]\arg(z_N'-z_M')\equiv\arg(a)+\arg\big(\overline{z_N-z_M}\big)\ [2\pi]
  2. ≡\equivarg⁡(a)−arg⁡(zN−zM) [2π]\arg(a)-\arg(z_N-z_M)\ [2\pi]un nombre et son conjugué ont des arguments opposés

Le signe « −- » devant arg⁡(zN−zM)\arg(z_N-z_M) montre que l’angle orienté est renversé (à une rotation globale d’angle arg⁡(a)\arg(a) près) : ss est une similitude indirecte. C.Q.F.D. (réciproque admise, analogue à celle de la section 2.2).

4.2  Réflexions et symétries glissées

Propriété

La réflexion d’axe l’axe des réels a pour écriture complexe z′=z‾z'=\overline{z}. Plus généralement, la réflexion d’axe la droite passant par l’origine et faisant l’angle φ\varphi avec l’axe des réels a pour écriture complexe :

z′=e2iφ z‾z'=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\varphi}\,\overline{z}

  1. on fait tourner l’axe de −φ-\varphi pour l’amener sur l’axe réel : z↦e−iφzz\mapsto \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}z
  2. on réfléchit sur l’axe réel : z↦z‾z\mapsto\overline{z}
  3. on fait tourner en sens inverse pour revenir : z↦eiφzz\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}z
  4. ⇒\Rightarrowau total z↦eiφ e−iφz‾z\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\,\overline{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}z}
  5. ==eiφ eiφz‾\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\overline{z}conjuguer change le signe de l’exposant
  6. ==e2iφz‾\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\varphi}\overline{z}

Réflexions et rotations sont des isométries (k=1k=1) ; leur composée l’est encore. Une réflexion suivie d’une translation de vecteur parallèle à son axe est une symétrie glissée : une isométrie indirecte qui n’a, sauf cas trivial, aucun point invariant (voir 4.3).

4.3  Composée réflexion ∘ homothétie ; point fixe

Méthode — existe-t-il un point fixe ?

Pour s:z↦az‾+bs:z\mapsto a\overline{z}+b avec a=p+iqa=p+\mathrm{i}q (p,q∈Rp,q\in\mathbb{R}), on pose z=x+iyz=x+\mathrm{i}y, b=b1+ib2b=b_1+\mathrm{i}b_2, et on cherche les points fixes.

  1. az‾=(p+iq)(x−iy)a\overline{z}=(p+\mathrm{i}q)(x-\mathrm{i}y)
  2. ==(px+qy)+i(qx−py)(px+qy)+\mathrm{i}(qx-py)
  3. s(z)=zs(z)=z équivaut à (p−1)x+qy=−b1(p-1)x+qy=-b_1en identifiant la partie réelle
  4. et à qx−(p+1)y=−b2qx-(p+1)y=-b_2en identifiant la partie imaginaire

Ce système linéaire (deux équations, deux inconnues x,yx,y) a une solution unique lorsque son déterminant D=(p−1)×(−(p+1))−q×qD=(p-1)\times\big(-(p+1)\big)-q\times q est non nul.

  1. D=−(p2−1)−q2D=-(p^{2}-1)-q^{2}
  2. ==1−(p2+q2)1-(p^{2}+q^{2})
  3. ==1−∣a∣21-|a|^{2}

Donc D≠0  ⟺  ∣a∣≠1D\neq0 \iff |a|\neq1.

Propriété
  • Si ∣a∣≠1|a|\neq1 : ss admet un unique point invariant Ω\Omega, et s=h(Ω,∣a∣)∘σs=h(\Omega,|a|)\circ\sigma, où σ\sigma est la réflexion d’axe une droite passant par Ω\Omega — une homothétie composée avec une réflexion de même centre, sur l’axe.
  • Si ∣a∣=1|a|=1 (isométrie indirecte) : ss est soit une réflexion (une droite entière de points fixes), soit une symétrie glissée (aucun point fixe).
Similitude indirecte : réflexion d’axe Δ, puis homothétie de centre ω Δ A B C A₁ B₁ C₁ A' B' C' ω s : z' = 1,8 z̄ k = 1,8 axe Δ = axe réel ω = 0 (origine)
Figure 4 — Une similitude indirecte : le triangle ABCABC est d’abord réfléchi par rapport à l’axe Δ\Delta (donnant A1B1C1A_1B_1C_1, en orange), puis dilaté depuis ω∈Δ\omega\in\Delta par l’homothétie de rapport 1,81{,}8 (donnant A′B′C′A'B'C') : s=h(ω,1,8)∘σΔs=h(\omega,1{,}8)\circ\sigma_{\Delta}.

5Composition

Une fois qu’on sait écrire une similitude, la composer avec une autre — ou l’inverser — devient un jeu d’écriture algébrique.

5.1  Composée de deux similitudes directes

Théorème

Soient s1:z↦a1z+b1s_1:z\mapsto a_1z+b_1 et s2:z↦a2z+b2s_2:z\mapsto a_2z+b_2 deux similitudes directes, de rapports k1,k2k_1,k_2 et d’angles θ1,θ2\theta_1,\theta_2. Alors s2∘s1s_2\circ s_1 est une similitude directe, de rapport k1k2k_1k_2 et d’angle θ1+θ2 [2π]\theta_1+\theta_2\ [2\pi].

Démonstration

Pour M(z)M(z), s1(M)s_1(M) a pour affixe a1z+b1a_1z+b_1.

  1. s2(s1(M))s_2\big(s_1(M)\big) a pour affixe a2(a1z+b1)+b2a_2(a_1z+b_1)+b_2
  2. ==(a2a1)z+(a2b1+b2)(a_2a_1)z+(a_2b_1+b_2)

C’est une écriture Az+BAz+B avec A=a2a1≠0A=a_2a_1\neq0 : s2∘s1s_2\circ s_1 est une similitude directe, de rapport ∣A∣=∣a2∣×∣a1∣=k1k2|A|=|a_2|\times|a_1|=k_1k_2 et d’angle arg⁡(A)=arg⁡(a2)+arg⁡(a1)=θ1+θ2 [2π]\arg(A)=\arg(a_2)+\arg(a_1)=\theta_1+\theta_2\ [2\pi]. C.Q.F.D.

5.2  Réciproque d’une similitude directe

Théorème

Toute similitude directe s:z↦az+bs:z\mapsto az+b est bijective ; sa réciproque est la similitude directe :

s−1:z↦1az−bas^{-1}:z\mapsto\dfrac1a z-\dfrac ba

de rapport 1k\dfrac1k et d’angle −θ [2π]-\theta\ [2\pi].

Démonstration
  1. z′=az+bz'=az+b
  2.   ⟺  \iffaz=z′−baz=z'-b
  3.   ⟺  \iffz=1az′−baz=\dfrac1a z'-\dfrac baa≠0a\neq0

Pour chaque z′z', il existe un unique antécédent zz : ss est bijective, de réciproque z↦1az−baz\mapsto\frac1a z-\frac ba. Comme 1a≠0\frac1a\neq0, c’est une similitude directe, de rapport ∣1a∣=1∣a∣=1k\left|\frac1a\right|=\frac1{|a|}=\frac1k et d’angle arg⁡(1a)=−arg⁡(a)=−θ [2π]\arg\left(\frac1a\right)=-\arg(a)=-\theta\ [2\pi]. C.Q.F.D.

Exemple — composer et inverser

Soient s1:z↦(1+i)zs_1:z\mapsto(1+\mathrm i)z (rapport 2\sqrt2, angle 45∘45^{\circ}) et s2:z↦2iz+1s_2:z\mapsto2\mathrm iz+1 (rapport 22, angle 90∘90^{\circ}).

  1. s2∘s1(z)=2i(1+i)z+1s_2\circ s_1(z)=2\mathrm i(1+\mathrm i)z+1
  2. ==(2i+2i2)z+1(2\mathrm i+2\mathrm i^{2})z+1
  3. ==(−2+2i)z+1(-2+2\mathrm i)z+1

Rapport : k1k2=2×2=22k_1k_2=\sqrt2\times2=2\sqrt2 ; on vérifie ∣−2+2i∣=4+4=22|-2+2\mathrm i|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2. Angle : 45∘+90∘=135∘45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}.

  1. s1−1(z)=11+izs_1^{-1}(z)=\dfrac1{1+\mathrm i}z
  2. ==1−i(1+i)(1−i)z\dfrac{1-\mathrm i}{(1+\mathrm i)(1-\mathrm i)}z
  3. ==1−i2z\dfrac{1-\mathrm i}{2}z

Rapport 22\frac{\sqrt2}2, angle −45∘-45^{\circ} : conforme au théorème.

5.3  Composées avec une indirecte ; groupe des similitudes

Propriété — parité des compositions

Le rapport d’une composée est toujours le produit des rapports. Le caractère direct/indirect suit une règle de signes :

s2∘s1s_2\circ s_1s1s_1 directes1s_1 indirecte
s2s_2 directedirecteindirecte
s2s_2 indirecteindirectedirecte

En effet, si s1:z↦a1z‾+b1s_1:z\mapsto a_1\overline z+b_1 (indirecte) et s2:z↦a2z+b2s_2:z\mapsto a_2z+b_2 (directe), alors s2∘s1(z)=a2(a1z‾+b1)+b2=(a2a1)z‾+(a2b1+b2)s_2\circ s_1(z)=a_2\big(a_1\overline z+b_1\big)+b_2=(a_2a_1)\overline z+(a_2b_1+b_2) : c’est de la forme Az‾+BA\overline z+B, donc indirecte. Les trois autres cas se traitent de même.

L’ensemble de toutes les similitudes planes, muni de la composition ∘\circ, forme un groupe : la composition est associative, l’identité z↦zz\mapsto z en est l’élément neutre, et chaque similitude admet une réciproque (5.2 pour les directes ; un calcul analogue pour les indirectes, en résolvant z′=az‾+bz'=a\overline z+b en fonction de z′z'). Ce groupe n’est pas commutatif en général : s2∘s1s_2\circ s_1 et s1∘s2s_1\circ s_2 diffèrent, sauf cas particulier — par exemple, section 3.3, lorsqu’elles partagent le même centre.

6Applications aux configurations et aux lieux géométriques

Voici, pour finir, ce pour quoi tout cet arsenal a été construit : prouver des propriétés de figures et suivre des points qui bougent.

6.1  Triangles semblables

Définition

Deux triangles ABCABC et A′B′C′A'B'C' sont semblables s’il existe une similitude qui envoie l’un sur l’autre (A↦A′A\mapsto A', B↦B′B\mapsto B', C↦C′C\mapsto C') : directement semblables si cette similitude est directe, indirectement semblables sinon.

Théorème — critère complexe de similitude directe

ABCABC et A′B′C′A'B'C' (non aplatis) sont directement semblables si et seulement si :

zC−zAzB−zA=zC′−zA′zB′−zA′\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{z_C'-z_A'}{z_B'-z_A'}

Démonstration

Notons s:z↦az+bs:z\mapsto az+b l’unique similitude directe telle que s(A)=A′s(A)=A', s(B)=B′s(B)=B' (théorème 2.4).

  1. ABCABC et A′B′C′A'B'C' directement semblables   ⟺  s(C)=C′\iff s(C)=C'
  2.   ⟺  \iffzC′=azC+bz_C'=az_C+b
  3.   ⟺  \iffzC′−zA′=a(zC−zA)z_C'-z_A'=a(z_C-z_A)en soustrayant zA′=azA+bz_A'=az_A+b
  4.   ⟺  \iffzC′−zA′zB′−zA′=zC−zAzB−zA\dfrac{z_C'-z_A'}{z_B'-z_A'}=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}on remplace aa par zB′−zA′zB−zA\frac{z_B'-z_A'}{z_B-z_A}

C.Q.F.D.

Exemple — vérifier une similitude directe

A(0)A(0), B(4)B(4), C(1+3i)C(1+3\mathrm i) et A′(−1)A'(-1), B′(3+4i)B'(3+4\mathrm i), C′(−3+4i)C'(-3+4\mathrm i). Sont-ils directement semblables ?

  1. zC−zAzB−zA=1+3i4\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{1+3\mathrm i}{4}
  2. zC′−zA′zB′−zA′=(−3+4i)−(−1)(3+4i)−(−1)\dfrac{z_C'-z_A'}{z_B'-z_A'}=\dfrac{(-3+4\mathrm i)-(-1)}{(3+4\mathrm i)-(-1)}
  3. ==−2+4i4+4i\dfrac{-2+4\mathrm i}{4+4\mathrm i}
  4. ==(−2+4i)(4−4i)(4+4i)(4−4i)\dfrac{(-2+4\mathrm i)(4-4\mathrm i)}{(4+4\mathrm i)(4-4\mathrm i)}on multiplie par le conjugué
  5. ==8+24i32\dfrac{8+24\mathrm i}{32}
  6. ==1+3i4\dfrac{1+3\mathrm i}{4}

Les deux rapports sont égaux : ABCABC et A′B′C′A'B'C' sont directement semblables.

6.2  Une configuration classique : deux carrés de même sommet

Soient ABCDABCD et AEFGAEFG deux carrés directs (sommets nommés dans le sens direct) partageant le sommet AA, pris pour origine. Si b1,b2b_1,b_2 sont les affixes de B,EB,E, la construction d’un carré direct donne D(ib1)D(\mathrm ib_1) et G(ib2)G(\mathrm ib_2) (troisième sommet C=b1+ib1C=b_1+\mathrm ib_1, F=b2+ib2F=b_2+\mathrm ib_2).

Propriété

La similitude directe s:z↦b2b1zs:z\mapsto\frac{b_2}{b_1}z, de centre AA, de rapport k=AEABk=\frac{AE}{AB} et d’angle θ=(AB→,AE→)\theta=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}\right), envoie BB sur EE et DD sur GG : EG=k×BDEG=k\times BD, (BD→,EG→)=θ\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{EG}\right)=\theta.

(Immédiat : s(D)=b2b1×ib1=ib2=Gs(D)=\frac{b_2}{b_1}\times\mathrm ib_1=\mathrm ib_2=G.) Mais la propriété la plus frappante de cette configuration ne dépend même pas des tailles des carrés :

Théorème

BE=DGBE=DG et (BE)⊥(DG)(BE)\perp(DG) — quels que soient les côtés des deux carrés.

Démonstration

Soit rr la rotation de centre AA et d’angle 90∘90^{\circ}, d’écriture z↦izz\mapsto\mathrm iz (A=0A=0).

  1. r(B)r(B) a pour affixe ib1\mathrm ib_1, c’est-à-dire DD
  2. ⇒\Rightarrowr(B)=Dr(B)=D
  3. de même r(E)=ib2=Gr(E)=\mathrm ib_2=G

rr envoie donc BE→\overrightarrow{BE} sur DG→\overrightarrow{DG}. Comme rr est une isométrie (rapport 11) d’angle 90∘90^{\circ} :

  1. DG=1×BE=BEDG=1\times BE=BE
  2. (BE→,DG→)=90∘\left(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{DG}\right)=90^{\circ}

Donc BE=DGBE=DG et (BE)⊥(DG)(BE)\perp(DG). C.Q.F.D.

Deux carrés de sommet commun A : s envoie B↦E, C↦F, D↦G A B C D E F G BE DG k = AE/AB = 1,5 θ = 60°
Figure 5 — Deux carrés ABCDABCD et AEFGAEFG de sommet commun AA (ici k=1,5k=1{,}5, θ=60∘\theta=60^{\circ}) : ss envoie le premier carré sur le second, et BE=DGBE=DG, (BE)⊥(DG)(BE)\perp(DG).

6.3  Lieux géométriques

Méthode — déterminer un lieu géométrique à l’aide d’une similitude

1) Identifier une similitude ss liée à la situation (souvent en écrivant une relation entre affixes). 2) Reconnaître l’ensemble décrit par le point de départ (droite, cercle, segment). 3) Utiliser les propriétés de ss — cercle de rayon r  →  r\;\rightarrow\;cercle de rayon krkr ; droite →\rightarrow droite — pour conclure sur l’ensemble image, en précisant centre et rayon, ou équation.

Exemple — image d’un cercle

Soit ss la similitude directe de rapport k=1,4k=1{,}4, d’angle θ=40∘\theta=40^{\circ} et de centre Ω\Omega. Soit C\mathcal C le cercle de centre II et de rayon rr. D’après la propriété démontrée en 1.2 (valable pour toute similitude), l’image de C\mathcal C par ss est le cercle C′\mathcal C' de centre I′=s(I)I'=s(I) et de rayon kr=1,4 rkr=1{,}4\,r — voir Figure 6.

Image d’un cercle par une similitude directe θ = 40° ω I I' M M' r kr k = 1,4 θ = 40°
Figure 6 — Le cercle C(I,r)\mathcal C(I,r) a pour image, par la similitude ss de centre ω\omega, de rapport k=1,4k=1{,}4 et d’angle 40∘40^{\circ}, le cercle C′(I′,kr)\mathcal C'(I',kr) avec I′=s(I)I'=s(I). Le point MM de C\mathcal C a pour image M′∈C′M'\in\mathcal C'.
Math & Co — la spirale qui renaît de ses cendres

Itère une similitude directe de rapport k<1k<1 : pose un point M0M_0, puis Mn+1=s(Mn)M_{n+1}=s(M_n). Les points s’enroulent en une spirale logarithmique autour du centre Ω\Omega, qu’ils approchent sans jamais l’atteindre. Cette courbe a une propriété unique : agrandie ou tournée depuis Ω\Omega, elle se superpose exactement à elle-même — le portrait même d’une similitude.

Le mathématicien bâlois Jacob Bernoulli (1654–1705) en fut si fasciné qu’il la surnomma spira mirabilis, « la spirale merveilleuse », et demanda qu’elle soit gravée sur sa tombe avec l’épitaphe Eadem mutata resurgo — « bien que changée, je renais identique ». Le sculpteur se trompa : c’est une spirale arithmétique, à pas constant, que l’on peut voir aujourd’hui sur la pierre tombale au Münster de Bâle, et non la spirale logarithmique demandée — une ironie que Bernoulli, sans doute, n’aurait pas appréciée.

Fiche mémo

  • Similitude de rapport k>0k>0 : M′N′=k×MNM'N'=k\times MN pour tous M,NM,N. k=1k=1 : isométrie.
  • Directe : conserve les angles orientés. Indirecte : les renverse.
  • Directe : z′=az+bz'=az+b (a≠0a\neq0), rapport k=∣a∣k=|a|, angle θ=arg⁡(a) [2π]\theta=\arg(a)\ [2\pi].
  • Indirecte : z′=az‾+bz'=a\overline z+b (a≠0a\neq0), même rapport k=∣a∣k=|a|.
  • Centre (si a≠1a\neq1) : ω=b1−a\omega=\dfrac{b}{1-a} ; écriture réduite z′−ω=a(z−ω)z'-\omega=a(z-\omega).
  • a=1a=1 : translation de vecteur d’affixe bb, aucun point invariant.
  • Décomposition : s=h(ω,k)∘r(ω,θ)=r(ω,θ)∘h(ω,k)s=h(\omega,k)\circ r(\omega,\theta)=r(\omega,\theta)\circ h(\omega,k) (même centre).
  • Deux points A,BA,B distincts et leurs images A′,B′A',B' distincts déterminent une unique similitude directe.
  • Critère de similitude directe des triangles : zC−zAzB−zA=zC′−zA′zB′−zA′\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{z_C'-z_A'}{z_B'-z_A'}.
  • Composée de deux directes : rapports multipliés, angles ajoutés. s−1s^{-1} : rapport 1/k1/k, angle −θ-\theta.
  • directe∘directe = directe ; indirecte∘indirecte = directe ; sinon indirecte.
  • Conserve alignement, parallélisme, contact ; cercle →\to cercle de rayon ×k\times k ; aires ×k2\times k^{2}.
  • Indirecte de rapport ≠1\neq1 : point fixe unique (1−∣a∣2≠01-|a|^{2}\neq0), s=h∘σaxes=h\circ\sigma_{\text{axe}}. Rapport 11 : réflexion ou symétrie glissée.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Pour chacune des similitudes suivantes, précise si elle est directe ou indirecte, et donne son rapport : a) z′=3iz−1z'=3\mathrm iz-1 ; b) z′=(2−2i)z‾+4z'=(2-2\mathrm i)\overline z+4 ; c) z′=−5z+2z'=-5z+2.

Voir le corrigé détaillé

a) Écriture az+baz+b avec a=3ia=3\mathrm i : directe, k=∣3i∣=3k=|3\mathrm i|=3.

b) Écriture az‾+ba\overline z+b avec a=2−2ia=2-2\mathrm i : indirecte, k=∣2−2i∣=4+4=22k=|2-2\mathrm i|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2.

c) Écriture az+baz+b avec a=−5a=-5 (réel) : directe, k=∣−5∣=5k=|-5|=5.

2

Soit ss la similitude directe d’écriture complexe z′=(3+i)z−2z'=(\sqrt3+\mathrm i)z-2. Calcule l’affixe de l’image du point A(2i)A(2\mathrm i).

Voir le corrigé détaillé
  1. zA′=(3+i)(2i)−2z_A'=(\sqrt3+\mathrm i)(2\mathrm i)-2
  2. ==23 i+2i2−22\sqrt3\,\mathrm i+2\mathrm i^{2}-2
  3. ==23 i−2−22\sqrt3\,\mathrm i-2-2
  4. ==−4+23 i-4+2\sqrt3\,\mathrm i
3

Donne le rapport et l’angle des similitudes directes de coefficients : a) a=−4a=-4 ; b) a=3−3i3a=3-3\mathrm i\sqrt3.

Voir le corrigé détaillé

a) k=∣−4∣=4k=|-4|=4 ; aa réel négatif donc θ=180∘\theta=180^{\circ}.

  1. b) k=32+(33)2k=\sqrt{3^{2}+(3\sqrt3)^{2}}
  2. ==9+27\sqrt{9+27}
  3. ==36=6\sqrt{36}=6
  4. cos⁡θ=36=12  et  sin⁡θ=−336=−32\cos\theta=\dfrac36=\dfrac12\ \text{ et }\ \sin\theta=\dfrac{-3\sqrt3}6=-\dfrac{\sqrt3}2
  5. ⇒\Rightarrowθ=−60∘ [2π]\theta=-60^{\circ}\ [2\pi]
4

Détermine, si elle existe, le centre de la similitude directe : a) z′=3z−4z'=3z-4 ; b) z′=z+5z'=z+5 ; c) z′=iz+1+iz'=\mathrm iz+1+\mathrm i.

Voir le corrigé détaillé

a) a=3≠1a=3\neq1 : ω=−41−3=−4−2=2\omega=\dfrac{-4}{1-3}=\dfrac{-4}{-2}=2.

b) a=1a=1 : pas de centre, ss est la translation de vecteur d’affixe 55.

  1. c) ω=1+i1−i\omega=\dfrac{1+\mathrm i}{1-\mathrm i}
  2. ==(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)\dfrac{(1+\mathrm i)(1+\mathrm i)}{(1-\mathrm i)(1+\mathrm i)}
  3. ==2i2\dfrac{2\mathrm i}{2}
  4. ==i\mathrm i
5

Soit s1:z↦2zs_1:z\mapsto2z et s2:z↦iz+3s_2:z\mapsto\mathrm iz+3. Donne le rapport et l’angle de s2∘s1s_2\circ s_1, puis l’écriture complexe de s1−1s_1^{-1}.

Voir le corrigé détaillé
  1. s2∘s1(z)=i(2z)+3s_2\circ s_1(z)=\mathrm i(2z)+3
  2. ==2iz+32\mathrm iz+3

Rapport k1k2=2×1=2k_1k_2=2\times1=2, angle 0+90∘=90∘0+90^{\circ}=90^{\circ} — cohérent avec ∣2i∣=2|2\mathrm i|=2 et arg⁡(2i)=90∘\arg(2\mathrm i)=90^{\circ}.

s1−1:z↦z2s_1^{-1}:z\mapsto\dfrac z2, de rapport 12\dfrac12 et d’angle 00.

6

Une similitude de rapport k=2,5k=2{,}5 transforme un triangle d’aire 12 cm212\ \text{cm}^{2}. Calcule l’aire du triangle image.

Voir le corrigé détaillé
  1. Aire′=k2×'=k^{2}\timesAire
  2. ==2,52×122{,}5^{2}\times12
  3. ==6,25×126{,}25\times12
  4. ==75 cm275\ \text{cm}^{2}
Niveau 2 — Approfondissement
7

Détermine l’écriture complexe de l’unique similitude directe ss telle que s(A)=A′s(A)=A' et s(B)=B′s(B)=B', avec A(2)A(2), B(2+2i)B(2+2\mathrm i), A′(0)A'(0), B′(4i)B'(4\mathrm i). Précise sa nature particulière.

Voir le corrigé détaillé
  1. a=zB′−zA′zB−zA=4i−0(2+2i)−2a=\dfrac{z_{B'}-z_{A'}}{z_B-z_A}=\dfrac{4\mathrm i-0}{(2+2\mathrm i)-2}
  2. ==4i2i\dfrac{4\mathrm i}{2\mathrm i}
  3. ==22
  4. b=zA′−azA=0−2×2=−4b=z_{A'}-az_A=0-2\times2=-4

s:z′=2z−4s:z'=2z-4. Comme a=2a=2 est réel, ss n’est pas une similitude « stricte » mais une homothétie de rapport 22 et de centre ω=−41−2=4\omega=\dfrac{-4}{1-2}=4.

8

Pour chacune des similitudes indirectes suivantes, indique si elle admet un point fixe et, si oui, calcule-le : a) z′=(1+i)z‾−2iz'=(1+\mathrm i)\overline z-2\mathrm i ; b) z′=iz‾+1+iz'=\mathrm i\overline z+1+\mathrm i.

Voir le corrigé détaillé

a) a=1+ia=1+\mathrm i, ∣a∣=2≠1|a|=\sqrt2\neq1 : un point fixe unique existe. Avec p=1,q=1,b1=0,b2=−2p=1,q=1,b_1=0,b_2=-2 :

  1. (p−1)x+qy=−b1⇒y=0(p-1)x+qy=-b_1\Rightarrow y=0
  2. qx−(p+1)y=−b2⇒x−2y=2qx-(p+1)y=-b_2\Rightarrow x-2y=2
  3. ⇒\Rightarrowx=2, y=0x=2,\ y=0

Point fixe ω=2\omega=2 (on vérifie : (1+i)2‾−2i=2+2i−2i=2 ✓(1+\mathrm i)\overline2-2\mathrm i=2+2\mathrm i-2\mathrm i=2\ \checkmark).

b) a=ia=\mathrm i, ∣a∣=1|a|=1. Avec p=0,q=1,b1=1,b2=1p=0,q=1,b_1=1,b_2=1 :

  1. −x+y=−1-x+y=-1
  2. x−y=−1x-y=-1

Ces deux équations donnent y=x−1y=x-1 et y=x+1y=x+1 : aucune solution. ss est une symétrie glissée, sans point fixe.

9

A(0)A(0), B(2)B(2), C(1+2i)C(1+2\mathrm i) et A′(0)A'(0), B′(2+2i)B'(2+2\mathrm i), C′(3−i)C'(3-\mathrm i). ABCABC et A′B′C′A'B'C' sont-ils directement semblables ?

Voir le corrigé détaillé
  1. zC−zAzB−zA=1+2i2=0,5+i\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{1+2\mathrm i}{2}=0{,}5+\mathrm i
  2. zC′−zA′zB′−zA′=3−i2+2i\dfrac{z_{C'}-z_{A'}}{z_{B'}-z_{A'}}=\dfrac{3-\mathrm i}{2+2\mathrm i}
  3. ==(3−i)(2−2i)(2+2i)(2−2i)\dfrac{(3-\mathrm i)(2-2\mathrm i)}{(2+2\mathrm i)(2-2\mathrm i)}
  4. ==4−8i8\dfrac{4-8\mathrm i}{8}
  5. ==0,5−i0{,}5-\mathrm i

Les deux rapports, 0,5+i0{,}5+\mathrm i et 0,5−i0{,}5-\mathrm i, sont différents (ce sont des conjugués) : les triangles ne sont pas directement semblables.

10

Soit ss une similitude directe et M,NM,N deux points. Démontre que l’image du milieu de [MN][MN] est le milieu de [M′N′][M'N'].

Voir le corrigé détaillé

Notons s:z↦az+bs:z\mapsto az+b et II le milieu de [MN][MN], d’affixe zI=zM+zN2z_I=\dfrac{z_M+z_N}2.

  1. s(I)s(I) a pour affixe a×zM+zN2+ba\times\dfrac{z_M+z_N}2+b
  2. le milieu de [M′N′][M'N'] a pour affixe zM′+zN′2=(azM+b)+(azN+b)2\dfrac{z_M'+z_N'}2=\dfrac{(az_M+b)+(az_N+b)}2
  3. ==a(zM+zN)+2b2\dfrac{a(z_M+z_N)+2b}2
  4. ==a×zM+zN2+ba\times\dfrac{z_M+z_N}2+b

Les deux affixes coïncident : s(I)s(I) est bien le milieu de [M′N′][M'N']. C.Q.F.D.

Niveau 3 — Type bac
11

Soit ss la similitude directe de centre OO, de rapport 22 et d’angle 60∘60^{\circ}.

  1. Vérifie que ss a pour écriture complexe z′=(1+i3)zz'=(1+\mathrm i\sqrt3)z, et donne la nature de ss.
  2. On pose A0(2)A_0(2) et, pour tout nn, An+1=s(An)A_{n+1}=s(A_n). Calcule les affixes de A1A_1, A2A_2, A3A_3.
  3. Justifie que OAn=2n+1OA_n=2^{n+1} et que l’angle (OA0→,OAn→)=60n∘ [2π]\left(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_n}\right)=60n^{\circ}\ [2\pi]. Pour quelles valeurs de nn le point AnA_n est-il sur l’axe réel ?
Voir le corrigé détaillé

1. ∣1+i3∣=1+3=2|1+\mathrm i\sqrt3|=\sqrt{1+3}=2 et arg⁡(1+i3)=60∘\arg(1+\mathrm i\sqrt3)=60^{\circ} (valeur remarquable) : c’est bien ss, similitude directe stricte de centre OO.

  1. 2. zA1=(1+i3)×2z_{A_1}=(1+\mathrm i\sqrt3)\times2
  2. ==2+23 i2+2\sqrt3\,\mathrm i
  3. zA2=(1+i3)(2+23 i)z_{A_2}=(1+\mathrm i\sqrt3)(2+2\sqrt3\,\mathrm i)
  4. ==2+43 i+6i22+4\sqrt3\,\mathrm i+6\mathrm i^{2}
  5. ==−4+43 i-4+4\sqrt3\,\mathrm i
  6. zA3=(1+i3)(−4+43 i)z_{A_3}=(1+\mathrm i\sqrt3)(-4+4\sqrt3\,\mathrm i)
  7. ==−4+12i2-4+12\mathrm i^{2}
  8. ==−16-16

3. D’après l’écriture réduite (centre OO), OAn=∣a∣n×OA0=2n×2=2n+1OA_n=|a|^{n}\times OA_0=2^{n}\times2=2^{n+1}, et l’angle cumulé après nn applications de ss est n×60∘n\times60^{\circ}. On vérifie : OA3=24=16=∣−16∣ ✓OA_3=2^{4}=16=|{-16}|\ \checkmark, et l’angle vaut 180∘180^{\circ}, cohérent avec A3A_3 réel négatif. AnA_n est sur l’axe réel   ⟺  60n≡0 [180]  ⟺  n≡0 [3]\iff60n\equiv0\ [180]\iff n\equiv0\ [3] : c’est le cas pour n=0,3,6,9,…n=0,3,6,9,\dots

12

Soit ss la similitude directe de centre OO, de rapport 22 et d’angle 90∘90^{\circ}.

  1. Donne l’écriture complexe de ss.
  2. Un point MM décrit le cercle C\mathcal C de centre B(3+i)B(3+\mathrm i) et de rayon 22. Calcule l’affixe de B′=s(B)B'=s(B), puis détermine le lieu du point M′=s(M)M'=s(M).
  3. Un point PP décrit maintenant le segment [BC][BC], où C(3+3i)C(3+3\mathrm i). Calcule l’affixe de C′=s(C)C'=s(C) et détermine le lieu du point P′=s(P)P'=s(P).
Voir le corrigé détaillé

1. s:z′=2izs:z'=2\mathrm iz (rapport ∣2i∣=2|2\mathrm i|=2, angle arg⁡(2i)=90∘\arg(2\mathrm i)=90^{\circ}).

  1. 2. zB′=2i(3+i)z_{B'}=2\mathrm i(3+\mathrm i)
  2. ==6i+2i26\mathrm i+2\mathrm i^{2}
  3. ==−2+6i-2+6\mathrm i

L’image d’un cercle par une similitude est un cercle (1.2) : le lieu de M′M' est le cercle de centre B′(−2+6i)B'(-2+6\mathrm i) et de rayon 2×2=42\times2=4.

  1. 3. zC′=2i(3+3i)z_{C'}=2\mathrm i(3+3\mathrm i)
  2. ==6i+6i26\mathrm i+6\mathrm i^{2}
  3. ==−6+6i-6+6\mathrm i

Une similitude transforme un segment en un segment : le lieu de P′P' est le segment [B′C′][B'C'], avec B′(−2+6i)B'(-2+6\mathrm i) et C′(−6+6i)C'(-6+6\mathrm i) — de longueur 44 (on vérifie : 2×BC=2×2=4 ✓2\times BC=2\times2=4\ \checkmark).

13

Soit ss la similitude directe de centre Ω\Omega, de rapport k=0,6k=0{,}6 et d’angle 70∘70^{\circ}. On définit une suite de points par un point M0M_0 donné et Mn+1=s(Mn)M_{n+1}=s(M_n) pour tout entier nn.

  1. Exprime ΩMn\Omega M_n en fonction de ΩM0\Omega M_0, kk et nn.
  2. Sachant ΩM0=3,6\Omega M_0=3{,}6, calcule ΩM1\Omega M_1, ΩM2\Omega M_2, ΩM3\Omega M_3 (arrondis au dixième).
  3. Détermine la limite de ΩMn\Omega M_n quand n→+∞n\to+\infty. Que peux-tu en conclure sur la position des points MnM_n ?
Voir le corrigé détaillé

1. D’après l’écriture réduite, zMn+1−ω=a(zMn−ω)z_{M_{n+1}}-\omega=a(z_{M_n}-\omega), donc ΩMn+1=k×ΩMn\Omega M_{n+1}=k\times\Omega M_n : la suite (ΩMn)(\Omega M_n) est géométrique de raison kk, de premier terme ΩM0\Omega M_0. D’où, pour tout nn :

ΩMn=ΩM0×kn\Omega M_n=\Omega M_0\times k^{n}

  1. 2. ΩM1=3,6×0,6\Omega M_1=3{,}6\times0{,}6
  2. ==2,16≈2,22{,}16\approx2{,}2
  3. ΩM2=3,6×0,62\Omega M_2=3{,}6\times0{,}6^{2}
  4. ==1,296≈1,31{,}296\approx1{,}3
  5. ΩM3=3,6×0,63\Omega M_3=3{,}6\times0{,}6^{3}
  6. ==0,7776≈0,80{,}7776\approx0{,}8

3. Comme 0<k=0,6<10<k=0{,}6<1, on a kn→0k^{n}\to0 quand n→+∞n\to+\infty, donc ΩMn→0\Omega M_n\to0. Les points MnM_n se rapprochent indéfiniment de Ω\Omega — sans jamais l’atteindre, puisque kn>0k^{n}>0 pour tout nn — en s’enroulant en spirale (Figure 7).

Itération d’une similitude directe : une spirale vers Ω Ω M₀ M₁ M₂ M₃ M₄ k = 0,6 θ = 70°
Figure 7 — Les points Mn=sn(M0)M_n=s^{n}(M_0), avec ss de centre Ω\Omega, de rapport k=0,6k=0{,}6 et d’angle 70∘70^{\circ}, s’enroulent en spirale vers Ω\Omega.
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Deux plans de Ndjamena. Sur un ancien plan touristique de Ndjamena, la Place de la Nation a pour affixe 00 et le Grand Marché a pour affixe 800800 (en mètres). Sur un nouveau plan, redessiné à une autre échelle et orienté différemment, la Place de la Nation est toujours à l’affixe 00 et le Grand Marché a pour affixe 300+3003 i300+300\sqrt3\,\mathrm i.

  1. Justifie que le passage de l’ancien au nouveau plan est une similitude directe ss de centre 00, et détermine son écriture complexe.
  2. Donne l’échelle (rapport) et l’angle de rotation entre les deux plans.
  3. La cathédrale a pour affixe 500i500\mathrm i sur l’ancien plan. Donne sa position (arrondie au dixième de mètre) sur le nouveau plan.
Voir le corrigé détaillé

1. Les deux plans représentent les mêmes lieux : le passage de l’un à l’autre conserve proportions et angles, donc s(z)=azs(z)=az (le point 00 étant commun aux deux plans).

  1. a=300+3003 i800a=\dfrac{300+300\sqrt3\,\mathrm i}{800}
  2. ==300(1+3 i)800\dfrac{300(1+\sqrt3\,\mathrm i)}{800}
  3. ==0,375+0,3753 i0{,}375+0{,}375\sqrt3\,\mathrm i

2. k=∣a∣=0,375×∣1+3 i∣=0,375×2=0,75k=|a|=0{,}375\times|1+\sqrt3\,\mathrm i|=0{,}375\times2=0{,}75 : le nouveau plan est dessiné à une échelle réduite (75%75\% de l’ancien), tourné de θ=arg⁡(1+3 i)=60∘\theta=\arg(1+\sqrt3\,\mathrm i)=60^{\circ}.

  1. 3. z′=(0,375+0,3753 i)×500iz'=\big(0{,}375+0{,}375\sqrt3\,\mathrm i\big)\times500\mathrm i
  2. ==187,5 i+187,53 i2187{,}5\,\mathrm i+187{,}5\sqrt3\,\mathrm i^{2}
  3. ==−187,53+187,5 i-187{,}5\sqrt3+187{,}5\,\mathrm i
  4. ≈\approx−324,8+187,5 i-324{,}8+187{,}5\,\mathrm i

Sur le nouveau plan, la cathédrale se trouve à environ 324,8324{,}8 m à l’ouest et 187,5187{,}5 m au nord de la Place de la Nation.

15

Motif textile à Bamako. Une artisane de Bamako dessine un motif triangulaire de 1212 cm de côté pour un pagne. Pour créer une frise, elle le répète en lui appliquant, à chaque étape, la même similitude directe ss de rapport k=0,8k=0{,}8, de centre un point fixe Ω\Omega.

  1. Quelle est la longueur du côté du motif après 33 applications de ss ?
  2. Quelle est l’aire du 3ᵉ motif si celle du premier motif est 50 cm250\ \text{cm}^{2} ?
  3. À partir de combien d’applications de ss la longueur du côté devient-elle inférieure à 11 cm ?
Voir le corrigé détaillé
  1. 1. côté =12×0,83=12\times0{,}8^{3}
  2. ==12×0,51212\times0{,}512
  3. ==6,144≈6,1 cm6{,}144\approx6{,}1\ \text{cm}
  1. 2. aire =50×0,82×3=50\times0{,}8^{2\times3}
  2. ==50×0,8650\times0{,}8^{6}
  3. ==50×0,26214450\times0{,}262144
  4. ==13,1072≈13,1 cm213{,}1072\approx13{,}1\ \text{cm}^{2}

3. On cherche le plus petit entier nn tel que 12×0,8n<112\times0{,}8^{n}<1, soit 0,8n<1120{,}8^{n}<\dfrac1{12}.

  1. nln⁡(0,8)<ln⁡ ⁣(112)n\ln(0{,}8)<\ln\!\left(\dfrac1{12}\right)
  2. ⇒\Rightarrown>ln⁡(1/12)ln⁡(0,8)n>\dfrac{\ln(1/12)}{\ln(0{,}8)}ln⁡(0,8)<0\ln(0{,}8)<0 : l’inégalité change de sens
  3. ⇒\Rightarrown>−2,485−0,223≈11,1n>\dfrac{-2{,}485}{-0{,}223}\approx11{,}1

Le plus petit entier convenable est n=12n=12 : on vérifie 12×0,811≈1,0312\times0{,}8^{11}\approx1{,}03 (pas encore) et 12×0,812≈0,82<1 ✓12\times0{,}8^{12}\approx0{,}82<1\ \checkmark. C’est donc à partir de la 12ᵉ application de ss que le motif passe sous 11 cm de côté.

16

Relevé aérien près d’Abéché. Un drone photographie un champ. Sur la photo (repère du drone, non orienté vers le nord), deux bornes du champ ont pour affixes 00 et 45+60i45+60\mathrm i (en pixels). Sur le plan cadastral réel (orienté nord), ces deux mêmes bornes ont pour affixes 00 et 150150 (en mètres).

  1. Détermine la similitude directe ss qui transforme les coordonnées-photo en coordonnées réelles.
  2. Donne l’échelle réelle de la photo, en mètres par pixel.
  3. Une troisième borne a pour affixe 20+50i20+50\mathrm i sur la photo. Calcule sa position réelle.
Voir le corrigé détaillé
  1. 1. a=15045+60ia=\dfrac{150}{45+60\mathrm i}
  2. ==150(45−60i)452+602\dfrac{150(45-60\mathrm i)}{45^{2}+60^{2}}
  3. ==150(45−60i)5 625\dfrac{150(45-60\mathrm i)}{5\,625}
  4. ==1,2−1,6 i1{,}2-1{,}6\,\mathrm i

s:z′=(1,2−1,6i)zs:z'=(1{,}2-1{,}6\mathrm i)z (b=0b=0, le point 00 étant commun aux deux repères).

2. k=∣a∣=1,22+1,62=1,44+2,56=4=2k=|a|=\sqrt{1{,}2^{2}+1{,}6^{2}}=\sqrt{1{,}44+2{,}56}=\sqrt4=2 : chaque pixel de la photo représente 22 mètres au sol.

  1. 3. z′=(1,2−1,6i)(20+50i)z'=(1{,}2-1{,}6\mathrm i)(20+50\mathrm i)
  2. ==24+60i−32i−80i224+60\mathrm i-32\mathrm i-80\mathrm i^{2}
  3. ==24+28i+8024+28\mathrm i+80
  4. ==104+28i104+28\mathrm i

La troisième borne se trouve à 104104 m à l’est et 2828 m au nord de la première borne.

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Une similitude plane de rapport kk est une transformation ss telle que, pour tous points M,NM,N d'images M′,N′M',N' :

Explication : Par définition, une similitude de rapport kk multiplie toutes les distances du plan par le même nombre kk.

Le rapport kk d'une similitude plane est toujours :

Explication : Contrairement au rapport d'une homothétie (qui peut être négatif), le rapport d'une similitude est le quotient de deux longueurs, donc toujours strictement positif.

Une similitude de rapport k=1k=1 est appelée :

Explication : Quand k=1k=1, les distances sont conservées exactement : c'est une isométrie (translation, rotation ou réflexion).

Une similitude de rapport kk multiplie les aires par :

Explication : Une aire est un produit de deux longueurs, chacune multipliée par kk : l'aire est donc multipliée par k×k=k2k\times k = k^2. C'est le piège classique du chapitre.

Une similitude directe ss est celle qui, pour tous points A,B,C,DA,B,C,D d'images A′,B′,C′,D′A',B',C',D', vérifie :

Explication : Une similitude directe conserve les angles orientés ; une similitude indirecte les transforme en leur opposé.

L'application ss qui, à MM d'affixe zz, associe M′M' d'affixe z′=az+bz'=az+b (avec a∈C∗a\in\mathbb{C}^{*}) est une similitude directe de rapport et d'angle :

Explication : C'est le théorème central du chapitre : le module de aa donne le rapport, son argument donne l'angle de la similitude directe.

Soit s:z′=(23+2i)z+5s:z'=(2\sqrt3+2\mathrm i)z+5. Quel est le rapport de ss ?

Explication : k=∣a∣=(23)2+22k=|a|=\sqrt{(2\sqrt3)^2+2^2}
=12+4=16=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}
=4=4.

Pour trouver l'écriture complexe z′=az+bz'=az+b de l'unique similitude directe telle que s(A)=A′s(A)=A' et s(B)=B′s(B)=B', la formule du coefficient aa est :

Explication : Au numérateur, les images ; au dénominateur, les points de départ : a=zB′−zA′zB−zAa=\dfrac{z_B'-z_A'}{z_B-z_A}. Inverser numérateur et dénominateur change complètement le résultat.

Pour une similitude directe s:z↦az+bs:z\mapsto az+b avec a≠1a\neq1, le centre Ω\Omega (unique point invariant) a pour affixe :

Explication : L'équation s(z)=zs(z)=z équivaut à az+b=zaz+b=z, soit b=z(1−a)b=z(1-a), donc z=b1−az=\dfrac{b}{1-a} (division licite car a≠1a\neq1).

Soit s:z′=(1+i)z+2s:z'=(1+\mathrm i)z+2. Quels sont le rapport et l'angle de ss ?

Explication : k=∣1+i∣=12+12=2k=|1+\mathrm i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.
θ=arg⁡(1+i)=45°\theta=\arg(1+\mathrm i)=45° (valeur remarquable).

Toute similitude directe de centre Ω\Omega, de rapport kk et d'angle θ\theta est la composée, dans n'importe quel ordre, de :

Explication : s=r∘h=h∘rs=r\circ h=h\circ r, où hh est l'homothétie de centre Ω\Omega et de rapport kk, rr la rotation de centre Ω\Omega et d'angle θ\theta. Elles commutent car elles partagent le même centre.

Si a=1a=1 dans l'écriture z′=az+bz'=az+b (avec b≠0b\neq0), la similitude ss est :

Explication : Quand a=1a=1, z′=z+bz'=z+b est la translation de vecteur d'affixe bb : elle n'a aucun point invariant, ce qui est cohérent avec la formule ω=b/(1−a)\omega=b/(1-a), indéterminée pour a=1a=1.

L'application s:z↦az‾+bs:z\mapsto a\overline z+b (avec a∈C∗a\in\mathbb{C}^{*}) est une similitude :

Explication : La conjugaison inverse le signe de l'argument, donc renverse les angles orientés : z↦az‾+bz\mapsto a\overline z+b est une similitude indirecte, de rapport k=∣a∣k=|a|.

Pour s:z↦az‾+bs:z\mapsto a\overline z+b, l'existence d'un unique point fixe est garantie par la condition :

Explication : Le déterminant du système linéaire des points fixes vaut D=1−∣a∣2D=1-|a|^2 : il est non nul, donc la solution unique existe, si et seulement si ∣a∣≠1|a|\neq1.

Si ∣a∣=1|a|=1 pour une similitude indirecte z↦az‾+bz\mapsto a\overline z+b qui n'a aucun point fixe, il s'agit :

Explication : Quand ∣a∣=1|a|=1, ss est une isométrie indirecte : soit une réflexion (droite entière de points fixes), soit, en l'absence de tout point fixe, une symétrie glissée.

Si s1s_1 a pour rapport k1k_1 et angle θ1\theta_1, et s2s_2 pour rapport k2k_2 et angle θ2\theta_2 (deux similitudes directes), alors s2∘s1s_2\circ s_1 est une similitude directe de rapport et d'angle :

Explication : Les rapports se multiplient et les angles s'additionnent : k1k2k_1k_2 et θ1+θ2 [2π]\theta_1+\theta_2\ [2\pi], ce que confirme le calcul sur les écritures complexes a2a1a_2a_1.

Deux triangles ABCABC et A′B′C′A'B'C' (non aplatis) sont directement semblables si, et seulement si :

Explication : C'est le critère complexe de similitude directe : l'unique similitude directe envoyant A→A′A\to A', B→B′B\to B' envoie aussi CC sur C′C' exactement quand ces deux rapports complexes coïncident.

Un point MM décrit un cercle C\mathcal C de centre BB et de rayon 22. Une similitude ss de rapport k=3k=3 transforme ce cercle en :

Explication : L'image d'un cercle de centre II et de rayon rr par une similitude de rapport kk est le cercle de centre s(I)s(I) et de rayon krkr. Ici kr=3×2=6kr=3\times2=6.

Sur un ancien plan de Ndjamena, la Place de la Nation a pour affixe 00 et le Grand Marché pour affixe 800800 (en m). Sur un nouveau plan, la Place reste à 00 et le Grand Marché passe à 300+3003 i300+300\sqrt3\,\mathrm i. Quelle est l'échelle kk du changement de plan ?

Explication : a=300+3003 i800=0,375+0,3753 ia=\dfrac{300+300\sqrt3\,\mathrm i}{800}=0{,}375+0{,}375\sqrt3\,\mathrm i
k=∣a∣=0,375×∣1+3 i∣=0,375×2k=|a|=0{,}375\times|1+\sqrt3\,\mathrm i|=0{,}375\times2
=0,75=0{,}75.

La réciproque d'une similitude directe s:z↦az+bs:z\mapsto az+b est la similitude directe s−1:z↦1az−bas^{-1}:z\mapsto\dfrac1a z-\dfrac ba, de rapport et d'angle :

Explication : La réciproque « défait » la similitude : elle rétrécit là où ss agrandissait (rapport 1/k1/k) et tourne en sens inverse (angle −θ-\theta).
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