Aller au contenu
Skill NovaCours en ligne

Optique : lentilles et instruments

Approfondir la formation des images et les instruments optiques.

Physique Première Chapitre 8 / 9 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Construire et calculer une image
  • Déterminer un grossissement
  • Expliquer le principe d'un instrument optique

Une paire de lunettes, l'objectif d'un appareil photo, l'oculaire d'un microscope, le miroir… non, la lentille d'un télescope : un seul petit objet, souvent pas plus grand qu'une pièce de monnaie, se cache derrière presque tous les instruments qui prolongent notre vue. Depuis la classe de Seconde, tu sais reconnaître une lentille convergente et construire, au crayon, l'image qu'elle donne d'un objet. Ce chapitre va plus loin : il te donne les outils de calcul qui permettent de prévoir, sans tracer une seule figure, où se forme exactement une image et quelle sera sa taille.

Tu croises ces notions partout : le correcteur de myopie ou d'hypermétropie que porte peut-être un camarade, le zoom d'un smartphone, le vidéoprojecteur de ta salle de classe, le microscope du laboratoire de SVT, la lunette astronomique pointée vers la Lune. Comprendre la lentille mince, c'est comprendre le principe commun à tous ces objets.

La nouveauté de la Première tient en une phrase : à la construction géométrique s'ajoute désormais la relation de conjugaison de Descartes, une égalité numérique reliant la position de l'objet, celle de l'image et la distance focale de la lentille. Elle s'accompagne du grandissement, un nombre algébrique qui dit tout — taille, sens et nature — de l'image obtenue. Construction et calcul ne sont pas deux méthodes concurrentes : elles doivent toujours se vérifier l'une l'autre, et c'est ce réflexe que tu vas travailler tout au long du chapitre.

On termine par les instruments eux-mêmes : l'œil, modélisé comme une lentille unique associée à un écran fixe (la rétine) ; la loupe, le microscope et la lunette astronomique, qui associent une ou deux lentilles pour grossir ce que l'œil seul ne peut voir. Une méthode, une relation, un même raisonnement — appliqués à des objets que tu utilises chaque jour.

1Lentilles minces : rappels

Avant de calculer, remettons au clair le vocabulaire et les symboles vus en Seconde : ils seront utilisés sans relâche dans tout le chapitre.

1.1  Convergentes ou divergentes ?

Définition

Une lentille mince est un système optique transparent, limité par deux surfaces (souvent sphériques), dont l'épaisseur est négligeable devant les distances utilisées. On distingue deux familles :

  • la lentille convergente (bords minces, centre épais) : elle concentre un faisceau de rayons parallèles en un point réel après l'avoir traversée ;
  • la lentille divergente (bords épais, centre mince) : elle écarte un faisceau de rayons parallèles, qui semblent provenir d'un point virtuel après l'avoir traversée.

Le symbole utilisé dans les schémas résume cette propriété d'un seul coup d'œil : une flèche à double pointe tournée vers l'extérieur pour une convergente, tournée vers l'intérieur pour une divergente.

Lentille convergente O F' F f' rayons // à l'axe → convergent réellement en F' Lentille divergente O F' (virtuel) F
Figure 1 — Symboles normalisés. La lentille convergente (haut) fait réellement converger un faisceau parallèle à l'axe en F' ; la lentille divergente (bas) le fait diverger, comme s'il provenait du point virtuel F', situé du même côté que la lumière incidente (pointillés = prolongement fictif).
Attention

Ne confonds pas la forme de la lentille (biconvexe, biconcave…) avec son effet optique. Retiens seulement le symbole : flèches vers l'extérieur = convergente, flèches vers l'intérieur = divergente. C'est ce symbole, et lui seul, qu'on utilise dans les schémas de construction.

1.2  Centre optique, foyers, distance focale

Définition

Sur l'axe optique (droite perpendiculaire à la lentille, passant par son centre), trois points remarquables :

  • le centre optique OO : tout rayon qui le traverse n'est pas dévié ;
  • le foyer image F′F' : point où converge (ou semble diverger) tout rayon incident parallèle à l'axe optique ;
  • le foyer objet FF : point tel que tout rayon issu de FF (ou dirigé vers lui) émerge parallèle à l'axe après la lentille.

La distance focale image est la mesure algébrique f′=OF′‾f' = \overline{OF'}, exprimée en mètres. Elle est positive pour une lentille convergente, négative pour une lentille divergente.

Propriété

Pour une lentille mince dans l'air, les foyers sont symétriques par rapport au centre optique :

OF‾=−OF′‾\overline{OF} = -\overline{OF'}

1.3  Vergence

Définition

La vergence CC d'une lentille mesure son pouvoir convergent. Elle est l'inverse de la distance focale image, exprimée en mètres :

C=1f′C = \dfrac{1}{f'}

CC s'exprime en dioptries (symbole δ\delta, parfois noté D) lorsque f′f' est en mètres. Une lentille convergente a une vergence positive, une lentille divergente une vergence négative.

Exemple — loupe de bureau

Une loupe a pour distance focale f′=5 cmf' = 5\ \text{cm}.

  1. f′=5 cm=0,05 mf' = 5\ \text{cm} = 0{,}05\ \text{m}
  2. C=1f′=10,05C = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}05}
  3. ==20 δ20\ \deltalentille convergente, vergence positive
Exemple — verre correcteur

Un opticien annonce une correction de −2,5 δ-2{,}5\ \delta. Quelle est la distance focale du verre ?

  1. f′=1C=1−2,5f' = \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{-2{,}5}
  2. ==−0,4 m=−40 cm-0{,}4\ \text{m} = -40\ \text{cm}négatif : verre divergent, adapté à la myopie
Physique & Co — La naissance des lunettes

Les Anciens connaissaient déjà l'effet grossissant d'une sphère de verre remplie d'eau : le savant arabe Ibn al-Haytham (Alhazen), dans son Traité d'optique achevé vers 1021, en décrit précisément le principe. Mais il faut attendre la fin du XIIIe siècle pour que ce principe devienne un objet porté sur le visage : c'est à Pise, en Italie, vers 1286, qu'apparaissent les premières lunettes à verres convexes, attribuées à des artisans verriers dont Alessandro della Spina popularise l'usage. Elles ne corrigent alors que la presbytie, avec des verres convergents.

Il faudra attendre le XVIe siècle pour que les verres divergents, capables de corriger la myopie, se généralisent — une histoire optique de près de trois siècles, avant même que Descartes n'en écrive la loi mathématique.

2Relation de conjugaison et grandissement

Une construction donne une image qualitative : réelle ou virtuelle, droite ou renversée. Pour aller plus loin — connaître exactement la position et la taille de l'image — il faut une relation numérique. C'est ce qu'a établi René Descartes au XVIIe siècle.

2.1  Convention de signes

Attention — à connaître par cœur

Tout se joue sur un axe optique orienté dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite dans tous les schémas de ce chapitre). Toute distance sur cet axe est une mesure algébrique : OA‾\overline{OA} est positive si AA est à droite de OO, négative sinon.

Pour un objet réel (placé avant la lentille, à gauche), on a donc toujours OA‾<0\overline{OA} < 0. L'erreur la plus fréquente au bac est d'oublier ce signe négatif.

2.2  La relation de conjugaison de Descartes

Théorème — relation de conjugaison

Soit une lentille mince de centre OO et de distance focale f′f', un objet ponctuel AA sur l'axe optique et son image A′A'. Alors :

1OA′‾−1OA‾=1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}

OA′‾>0\overline{OA'} > 0 : image réelle (se forme après la lentille, peut être recueillie sur un écran). OA′‾<0\overline{OA'} < 0 : image virtuelle (se forme avant la lentille, ne peut pas être recueillie sur un écran, seul l'œil la perçoit en regardant à travers la lentille).

Méthode — calculer une image avec la relation de conjugaison

1. Identifier les données : OA‾\overline{OA} (toujours négatif pour un objet réel) et f′f' (signe selon le type de lentille).
2. Écrire la relation, isoler 1OA′‾=1f′+1OA‾\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}.
3. Calculer la somme, puis inverser pour obtenir OA′‾\overline{OA'} — ne pas oublier cette dernière étape, piège classique.
4. Conclure sur la nature de l'image d'après le signe de OA′‾\overline{OA'}.

2.3  Le grandissement

Définition

Le grandissement γ\gamma (gamma) compare la taille algébrique de l'image à celle de l'objet :

γ=OA′‾OA‾=A′B′‾AB‾\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}

C'est un nombre sans unité. Son signe et sa valeur absolue donnent toute l'information sur l'image :

GrandeurConditionSignification
signe de γ\gammaγ>0\gamma > 0image droite (même sens que l'objet)
γ<0\gamma < 0image renversée
∣γ∣|\gamma|∣γ∣>1|\gamma| > 1image agrandie
∣γ∣<1|\gamma| < 1image réduite
∣γ∣=1|\gamma| = 1image de même taille
Démonstration — origine géométrique de γ\gamma

Soit un objet ABAB perpendiculaire à l'axe et son image A′B′A'B'. Le rayon issu de BB et passant par le centre optique OO n'est pas dévié : BB, OO et B′B' sont donc alignés.

Les triangles OABOAB et OA′B′OA'B' ont alors deux angles égaux : l'angle droit en AA et en A′A' (l'objet et l'image sont perpendiculaires à l'axe), et les angles en OO sont égaux car opposés par le sommet. Les triangles OABOAB et OA′B′OA'B' sont donc semblables, ce qui donne l'égalité des rapports :

A′B′AB=OA′OA\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{OA'}{OA}

En tenant compte des signes (mesures algébriques), on obtient exactement γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}. C.Q.F.D.

Exemple — lentille convergente, objet lointain

Une lentille convergente de distance focale f′=10 cmf' = 10\ \text{cm} reçoit un objet ABAB de hauteur 4 cm4\ \text{cm}, placé à OA‾=−30 cm\overline{OA} = -30\ \text{cm}.

  1. 1OA′‾=1f′+1OA‾\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}
  2. ==110+1−30\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-30}
  3. ==330−130=230=115\dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}
  4. ⇒\RightarrowOA′‾=15 cm\overline{OA'} = 15\ \text{cm}positif : image réelle
  5. γ=OA′‾OA‾=15−30\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{15}{-30}
  6. ==−0,5-0{,}5négative : renversée ; ∣γ∣<1|\gamma|<1 : réduite
  7. A′B′‾=γ×AB‾=−0,5×4\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -0{,}5 \times 4
  8. ==−2 cm-2\ \text{cm}

L'image est réelle (à 15 cm15\ \text{cm} après la lentille), renversée et réduite de moitié — exactement ce que donnerait un appareil photo pointé sur un objet lointain.

Exemple — lentille divergente

Une lentille divergente f′=−10 cmf' = -10\ \text{cm} reçoit le même objet réel, à OA‾=−20 cm\overline{OA} = -20\ \text{cm}.

  1. 1OA′‾=1−10+1−20\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{-10} + \dfrac{1}{-20}
  2. ==−220−120=−320-\dfrac{2}{20} - \dfrac{1}{20} = -\dfrac{3}{20}
  3. ⇒\RightarrowOA′‾=−203≈−6,7 cm\overline{OA'} = -\dfrac{20}{3} \approx -6{,}7\ \text{cm}négatif : image virtuelle
  4. γ=−6,7−20≈0,33\gamma = \dfrac{-6{,}7}{-20} \approx 0{,}33positive et <1<1 : droite et réduite
Propriété

Une lentille divergente donne toujours d'un objet réel une image virtuelle, droite et réduite. En effet, avec OA‾<0\overline{OA}<0 et f′<0f'<0, la somme 1f′+1OA‾\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{\overline{OA}} est la somme de deux nombres négatifs, donc toujours négative : OA′‾\overline{OA'} est donc toujours négatif.

3Constructions

La relation de conjugaison donne un nombre ; la construction donne une image mentale de la situation. Les deux sont indissociables : une bonne copie de bac vérifie toujours son calcul par un schéma, et réciproquement.

Méthode — les trois rayons remarquables

Pour construire l'image A′B′A'B' d'un objet réel ABAB (avec AA sur l'axe optique), on trace, depuis le sommet BB, trois rayons particuliers, dont deux suffisent pour trouver B′B' :

  • rayon ① (violet) : parallèle à l'axe optique avant la lentille, il émerge en passant par le foyer image F′F' ;
  • rayon ② (noir) : il passe par le centre optique OO, il n'est pas dévié ;
  • rayon ③ (orange) : il passe par le foyer objet FF avant la lentille, il émerge parallèle à l'axe.

Le point où ces rayons se croisent (ou semblent se croiser) est B′B' ; A′A' est son projeté sur l'axe.

La position de l'objet par rapport aux points FF et 2F2F (le point tel que OF‾=2 O(2F)‾\overline{OF} = 2\,\overline{O(2F)}… autrement dit à deux fois la distance focale) change radicalement la nature de l'image. Voici les trois cas de référence, avec la lentille convergente qui sert dans la quasi-totalité des instruments du chapitre.

3.1  Cas 1 — objet au-delà de 2F2F

Objet au-delà de 2F — image réelle, renversée, réduite F F' 2F 2F' O BA B'A'
Figure 2 — Objet réel au-delà de 2F2F : les trois rayons se croisent en A′B′A'B', image réelle (recueillie sur un écran), renversée et réduite. C'est le principe de l'appareil photo.
Exemple — vérification par le calcul

f′=4 cmf' = 4\ \text{cm}, objet à OA‾=−12 cm\overline{OA} = -12\ \text{cm}, hauteur 2 cm2\ \text{cm}.

  1. 1OA′‾=14+1−12=312−112=212=16\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{-12} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}
  2. ⇒\RightarrowOA′‾=6 cm\overline{OA'} = 6\ \text{cm}cohérent avec la figure : image entre F′F' et 2F′2F'
  3. γ=6−12=−0,5\gamma = \dfrac{6}{-12} = -0{,}5renversée, réduite de moitié : exactement ce que montre la construction

3.2  Cas 2 — objet entre FF et 2F2F

Objet entre F et 2F — image réelle, renversée, agrandie F F' 2F 2F' O BA B'A'
Figure 3 — Objet réel entre FF et 2F2F : image réelle, renversée et agrandie, plus loin que 2F′2F'. C'est le principe du vidéoprojecteur.
Exemple — vérification par le calcul

f′=4 cmf' = 4\ \text{cm}, objet à OA‾=−6 cm\overline{OA} = -6\ \text{cm}, hauteur 2 cm2\ \text{cm}.

  1. 1OA′‾=14+1−6=312−212=112\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{-6} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{12}
  2. ⇒\RightarrowOA′‾=12 cm\overline{OA'} = 12\ \text{cm}au-delà de 2F′=8 cm2F'=8\ \text{cm} : conforme à la figure
  3. γ=12−6=−2\gamma = \dfrac{12}{-6} = -2renversée, deux fois plus grande

3.3  Cas 3 — objet entre OO et FF

Rapproche encore l'objet : dès qu'il franchit FF, les rayons émergents divergent au lieu de converger. Ils ne se croisent plus réellement après la lentille : c'est en prolongeant les rayons en arrière (pointillés) qu'on trouve où ils semblent se croiser.

Objet entre O et F — image virtuelle, droite, agrandie F F' O BA B' (virtuelle)A' œil
Figure 4 — Objet réel entre OO et FF : les rayons émergents (traits pleins) divergent ; prolongés en arrière (pointillés), ils se croisent en A′B′A'B', image virtuelle, droite et agrandie. Un œil placé après la lentille la perçoit sans qu'elle existe sur un écran — c'est le principe de la loupe.
Exemple — vérification par le calcul

f′=4 cmf' = 4\ \text{cm}, objet à OA‾=−2 cm\overline{OA} = -2\ \text{cm}, hauteur 2 cm2\ \text{cm}.

  1. 1OA′‾=14+1−2=14−24=−14\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{4}
  2. ⇒\RightarrowOA′‾=−4 cm\overline{OA'} = -4\ \text{cm}négatif : image virtuelle, avant la lentille — conforme à la figure
  3. γ=−4−2=2\gamma = \dfrac{-4}{-2} = 2positive et >1>1 : droite et deux fois plus grande
Attention

Une image virtuelle ne peut jamais être recueillie sur un écran : elle n'existe que pour un œil (ou un appareil optique) placé derrière la lentille, qui la regarde comme s'il regardait un objet réel à l'emplacement du prolongement en pointillés. Ne trace jamais un rayon plein là où il n'y a physiquement pas de lumière.

4Œil et défauts de vision

L'œil est le tout premier instrument d'optique — et le seul qui règle lui-même sa vergence en permanence. On le modélise par un œil réduit : une unique lentille convergente (le cristallin, associé à la cornée) qui forme l'image sur un écran fixe, la rétine.

4.1  Modèle réduit, accommodation

Définition

Dans le modèle de l'œil réduit, le cristallin est une lentille convergente de centre optique OO, et la rétine est un écran fixe situé à une distance OA′‾=d≈17 mm\overline{OA'} = d \approx 17\ \text{mm} derrière OO, quelle que soit la distance de l'objet. Pour qu'une image se forme toujours exactement sur cet écran, l'œil fait varier la vergence du cristallin : c'est l'accommodation.

Définition
  • Le punctum remotum (PR) est le point le plus éloigné vu net, œil au repos (sans accommoder). Pour un œil normal, PR=∞\text{PR} = \infty.
  • Le punctum proximum (PP) est le point le plus proche vu net, accommodation maximale. Pour un œil normal (jeune adulte), on retient PP≈25 cm\text{PP} \approx 25\ \text{cm}.
Œil normal (emmétrope) — vision de loin, au repos cristallin O rétine image nette objet à l'infini → rayons parallèles → focalisés exactement sur la rétine
Figure 5 — Œil normal regardant un objet lointain, sans accommoder : les rayons parallèles convergent exactement sur la rétine.
Exemple — vergence de l'œil et amplitude d'accommodation

Avec d=OA′‾=17 mmd = \overline{OA'} = 17\ \text{mm}, calculons la vergence au repos (objet à l'infini) puis en vision rapprochée (objet au PP=25 cm\text{PP} = 25\ \text{cm}).

  1. au repos : C0=1d=10,017C_0 = \dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{0{,}017}
  2. ≈\approx58,8 δ58{,}8\ \deltaobjet à l'infini : OA′‾=f′=d\overline{OA'}=f'=d
  3. en accommodation : 1f′=11,7−1−25\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{1{,}7} - \dfrac{1}{-25} (en cm)
  4. ==0,588+0,04=0,628 cm−10{,}588 + 0{,}04 = 0{,}628\ \text{cm}^{-1}
  5. ⇒\Rightarrowf′≈1,59 cm ⇒ Cmax⁡≈62,8 δf' \approx 1{,}59\ \text{cm}\ \Rightarrow\ C_{\max} \approx 62{,}8\ \delta
  6. amplitude d'accommodation =Cmax⁡−C0≈4,0 δ= C_{\max}-C_0 \approx 4{,}0\ \delta

4.2  La myopie

Définition

Un œil myope est trop convergent au repos : même sans accommoder, l'image d'un objet à l'infini se forme avant la rétine. Le PR est donc fini et proche : au-delà, tout paraît flou. Le PP est lui aussi anormalement proche.

Œil myope non corrigé — vision de loin image nette Δ cristallin O tache floue image nette avant la rétine → sur la rétine, le faisceau a déjà divergé : vision floue
Figure 6 — Œil myope non corrigé regardant un objet lointain : trop convergent, il focalise avant la rétine ; le faisceau y est déjà divergent, l'image y est floue.
Exemple — calcul du punctum remotum

Un œil myope non corrigé a, au repos, f′=15 mmf' = 15\ \text{mm} (au lieu de 17 mm17\ \text{mm}). Trouvons son PR : la distance OA‾\overline{OA} pour laquelle l'image se forme exactement sur la rétine (OA′‾=17 mm\overline{OA'}=17\ \text{mm}).

  1. 1OA‾=1OA′‾−1f′=117−115\dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{17} - \dfrac{1}{15}
  2. ==15−17255=−2255 mm−1\dfrac{15-17}{255} = -\dfrac{2}{255}\ \text{mm}^{-1}
  3. ⇒\RightarrowOA‾≈−127,5 mm\overline{OA} \approx -127{,}5\ \text{mm}
  4. PR≈12,8 cm\text{PR} \approx 12{,}8\ \text{cm}au-delà, l'image se forme avant la rétine : vision floue

4.3  Correction de la myopie et hypermétropie

Propriété — principe de la correction

On accole devant l'œil une lentille divergente qui, pour un objet à l'infini, forme une image virtuelle exactement au PR de l'œil non corrigé. L'œil myope, recevant alors la lumière comme si elle venait de son PR, la focalise correctement sur la rétine. La distance focale de la lentille correctrice vaut donc simplement fcorr′=PRf'_{\text{corr}} = \text{PR} (négatif).

Œil myope corrigé par lentille divergente verre correcteur cristallin O image nette
Figure 7 — La lentille divergente fait diverger les rayons comme s'ils venaient du PR ; l'œil myope les focalise alors exactement sur la rétine.
Exemple — calcul de la correction

Reprenons PR≈−12,75 cm\text{PR} \approx -12{,}75\ \text{cm} trouvé plus haut. La lentille accolée doit, pour un objet à l'infini, donner une image virtuelle en PR\text{PR} :

  1. fcorr′=OA′‾=PR=−12,75 cm=−0,1275 mf'_{\text{corr}} = \overline{OA'} = \text{PR} = -12{,}75\ \text{cm} = -0{,}1275\ \text{m}
  2. Ccorr=1fcorr′=1−0,1275C_{\text{corr}} = \dfrac{1}{f'_{\text{corr}}} = \dfrac{1}{-0{,}1275}
  3. ≈\approx−7,8 δ-7{,}8\ \deltaverre divergent, prescription typique d'une myopie assez forte
Définition — hypermétropie

À l'inverse, un œil hypermétrope n'est pas assez convergent : l'image d'un objet, même lointain, tendrait à se former derrière la rétine (le PR est virtuel, situé derrière l'œil). L'accommodation compense en partie ce défaut, mais le PP est anormalement éloigné. On corrige par une lentille convergente.

Exemple — correction d'une hypermétropie

Un œil hypermétrope a un PP=50 cm\text{PP} = 50\ \text{cm} au lieu de 25 cm25\ \text{cm}. Quelle lentille accoler pour ramener son PP effectif à 25 cm25\ \text{cm} ?

  1. objet réel en OA‾=−25 cm\overline{OA} = -25\ \text{cm} ; il doit donner une image virtuelle en OA′‾=−50 cm\overline{OA'} = -50\ \text{cm}
  2. 1f′=1−50−1−25=−0,02+0,04\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{-50} - \dfrac{1}{-25} = -0{,}02 + 0{,}04
  3. ==0,02 cm−1⇒f′=50 cm=0,5 m0{,}02\ \text{cm}^{-1} \Rightarrow f' = 50\ \text{cm} = 0{,}5\ \text{m}
  4. ⇒\RightarrowC=+2,0 δC = +2{,}0\ \deltapositive : verre convergent
Attention — piège classique

Myopie → lentille divergente (vergence négative). Hypermétropie → lentille convergente (vergence positive). L'inversion des deux est l'erreur la plus fréquente sur ce sujet au bac : relie toujours le défaut à son mécanisme (œil trop, ou pas assez, convergent) plutôt qu'à un réflexe de mémorisation.

5Loupe et grossissement

La loupe est l'instrument le plus simple : une seule lentille convergente, utilisée exactement dans la configuration du Cas 3 de la section précédente.

5.1  Principe

Définition

Une loupe est une lentille convergente de courte distance focale, utilisée pour observer un petit objet placé au voisinage du foyer objet FF. Dans le cas particulier où l'objet est exactement en FF, tous les rayons issus d'un même point de l'objet émergent parallèles entre eux : l'image se forme à l'infini, et l'œil l'observe sans accommoder — c'est le confort maximal, utilisé par convention pour définir le grossissement.

Loupe — objet au foyer F, image rejetée à l'infini F = A F' O B œil, sans accommoder θ
Figure 8 — L'objet ABAB est placé exactement au foyer FF : les deux rayons issus de BB émergent parallèles (angle θ\theta avec l'axe) — l'image est rejetée à l'infini.

5.2  Grossissement commercial

Définition

Le grossissement commercial GG compare l'angle θ\theta sous lequel on voit l'image à travers l'instrument, à l'angle θ0\theta_0 sous lequel l'œil nu verrait l'objet placé à la distance de référence d0=25 cmd_0 = 25\ \text{cm} :

G=θθ0G = \dfrac{\theta}{\theta_0}

Démonstration — G=25f′G = \dfrac{25}{f'} (en cm)

Pour de petits angles, tan⁡θ≈θ\tan\theta \approx \theta (en radians). Avec l'objet ABAB de hauteur hh placé en FF :

  1. θ≈hf′\theta \approx \dfrac{h}{f'}angle du rayon émergent, passant par le centre O
  2. θ0≈hd0=h25\theta_0 \approx \dfrac{h}{d_0} = \dfrac{h}{25}objet vu à l'œil nu, à 25 cm25\ \text{cm}
  3. G=θθ0=h/f′h/25G = \dfrac{\theta}{\theta_0} = \dfrac{h/f'}{h/25}
  4. ==25f′\dfrac{25}{f'}f′f' exprimé en cm ; hh disparaît, GG ne dépend que de la loupe
Exemple — grossissement d'une loupe

Loupe de distance focale f′=5 cmf' = 5\ \text{cm}.

  1. G=25f′=255G = \dfrac{25}{f'} = \dfrac{25}{5}
  2. ==55l'objet paraît 5 fois plus grand angulairement qu'à l'œil nu
Attention

G=25/f′G = 25/f' suppose l'objet exactement en FF et une observation sans accommodation. En rapprochant légèrement l'objet de la lentille (juste avant FF), l'œil accommode et voit une image virtuelle finie, légèrement plus grande — mais c'est fatigant à la longue : la position « au foyer » reste la référence commerciale.

6Microscope et lunette

Une seule lentille grossit ; en associer deux grossit bien davantage. C'est le principe commun au microscope (objets minuscules et proches) et à la lunette astronomique (objets immenses et lointains).

6.1  Le microscope

Définition

Un microscope associe deux lentilles convergentes : un objectif de très courte distance focale, proche de l'objet, et un oculaire, qui joue le rôle d'une loupe. L'objectif forme de l'objet une image réelle intermédiaire A1B1A_1B_1, agrandie et renversée (Cas 2) ; cette image se forme dans le plan focal objet de l'oculaire, qui l'observe alors comme une loupe observe un objet situé en FF.

Microscope — objectif + oculaire Bobjet B₁ (image intermédiaire) objectif oculaire
Figure 9 — L'objectif (à gauche) forme l'image réelle agrandie A1B1A_1B_1 ; cette image tombe au foyer objet de l'oculaire, qui la restitue à l'infini, agrandie une seconde fois.
Définition — grossissement du microscope

G=∣γobjectif∣×Goculaire=∣γobjectif∣×25foculaire′G = |\gamma_{\text{objectif}}| \times G_{\text{oculaire}} = |\gamma_{\text{objectif}}| \times \dfrac{25}{f'_{\text{oculaire}}}

Exemple — grossissement d'un microscope de laboratoire

Objectif : f1′=0,8 cmf'_1 = 0{,}8\ \text{cm}, objet à O1A1‾=−1 cm\overline{O_1A_1} = -1\ \text{cm}. Oculaire : f2′=2,5 cmf'_2 = 2{,}5\ \text{cm}.

  1. 1O1A1′‾=10,8+1−1=1,25−1=0,25\dfrac{1}{\overline{O_1A_1'}} = \dfrac{1}{0{,}8} + \dfrac{1}{-1} = 1{,}25 - 1 = 0{,}25
  2. ⇒\RightarrowO1A1′‾=4 cm ; γ1=4−1=−4\overline{O_1A_1'} = 4\ \text{cm}\ ;\ \gamma_1 = \dfrac{4}{-1} = -4
  3. Goc=25f2′=252,5=10G_{\text{oc}} = \dfrac{25}{f'_2} = \dfrac{25}{2{,}5} = 10
  4. G=∣γ1∣×Goc=4×10G = |\gamma_1| \times G_{\text{oc}} = 4 \times 10
  5. ==4040l'objet paraît 40 fois plus grand qu'à l'œil nu
Physique & Co — Deux lentilles valent mieux qu'une

C'est aux Pays-Bas, dans l'atelier de lunetterie de Hans et Zacharias Janssen à Middelburg, que serait apparu vers 1590 le premier microscope composé à deux lentilles — la même astuce que celle utilisée quelques années plus tard pour la lunette. L'instrument restait rudimentaire ; c'est le Néerlandais Antonie van Leeuwenhoek qui, à partir des années 1670, avec de simples lentilles uniques mais taillées avec un soin extrême, observe le premier des bactéries et des globules rouges — révélant tout un monde invisible à l'œil nu.

6.2  La lunette astronomique

Définition

La lunette astronomique associe un objectif de grande distance focale et un oculaire de courte distance focale, séparés de la distance f1′+f2′f'_1 + f'_2 : c'est un système afocal (un objet à l'infini donne une image finale à l'infini). L'objectif forme dans son plan focal image une image intermédiaire, que l'oculaire observe comme une loupe.

Lunette astronomique — système afocal image intermédiaire objectif (f'₁ grand) oculaire (f'₂ petit)
Figure 10 — Le faisceau incliné (objet à l'infini) forme l'image intermédiaire dans le plan focal commun F1′=F2F_1' = F_2 ; l'oculaire la renvoie à l'infini sous un angle plus grand.
Propriété — grossissement de la lunette

G=fobjectif′foculaire′G = \dfrac{f'_{\text{objectif}}}{f'_{\text{oculaire}}}

Exemple

f1′=8 cmf'_1 = 8\ \text{cm}, f2′=2 cmf'_2 = 2\ \text{cm}.

  1. distance entre les lentilles =f1′+f2′=8+2=10 cm= f'_1+f'_2 = 8+2 = 10\ \text{cm}
  2. G=f1′f2′=82G = \dfrac{f'_1}{f'_2} = \dfrac{8}{2}
  3. ==44la Lune paraît 4 fois plus grande angulairement
Physique & Co — Galilée et les lunes de Jupiter

En 1609, apprenant l'existence d'une « lunette » hollandaise, Galilée en construit lui-même une version perfectionnée à Padoue. Il la pointe vers le ciel — jusque-là, personne n'avait songé à un usage astronomique. En janvier 1610, il découvre quatre points lumineux tournant autour de Jupiter : les satellites galiléens. Publiée la même année dans le Sidereus Nuncius, cette observation apporte une preuve visuelle que tout ne tourne pas autour de la Terre — un argument décisif pour le système héliocentrique de Copernic.

Attention

La distance entre objectif et oculaire n'est pas un choix arbitraire : c'est précisément f1′+f2′f'_1+f'_2 qui rend le système afocal (image finale à l'infini, observation sans fatigue). Avec un autre écartement, l'image finale serait à distance finie — la lunette resterait utilisable, mais fatigante à l'usage.

6.3  Appareil photo et vidéoprojecteur

Définition

Un appareil photo est une lentille convergente (l'objectif) associée à un capteur fixe. L'objet photographié étant presque toujours au-delà de 2F2F, l'image obtenue est réelle, renversée et réduite (Cas 1, section 3) : c'est bien pour cela que l'électronique de l'appareil doit ensuite « retourner » l'image.

Appareil photo — objet lointain (schéma, distance non à l'échelle) B capteur objet réel, lointain
Figure 11 — L'objectif forme, sur le capteur fixe, une image réelle réduite et renversée de la scène photographiée.
Méthode — la mise au point

Comme l'objet change sans cesse de distance, l'image se déplace : pour la garder exactement sur le capteur fixe, l'appareil déplace la lentille (ou modifie sa vergence, sur un smartphone). C'est l'exact équivalent optique de l'accommodation de l'œil — sauf que c'est l'écran qui accommode dans l'œil, alors que c'est la lentille qui se déplace dans l'appareil.

Exemple — le vidéoprojecteur

Le vidéoprojecteur utilise la configuration inverse : la petite dalle LCD (l'objet) est placée entre FF et 2F2F (Cas 2, Figure 3) pour donner sur l'écran, loin devant, une image réelle agrandie. Avec f′=5 cmf' = 5\ \text{cm} et une dalle à OA‾=−6 cm\overline{OA} = -6\ \text{cm} de l'objectif :

  1. 1OA′‾=15+1−6=6−530=130\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{-6} = \dfrac{6-5}{30} = \dfrac{1}{30}
  2. ⇒\RightarrowOA′‾=30 cm\overline{OA'} = 30\ \text{cm}
  3. γ=30−6=−5\gamma = \dfrac{30}{-6} = -5image projetée 5 fois plus grande, renversée — d'où l'image vidéo pré-inversée par le logiciel

Fiche mémo

  • Vergence : C=1f′C = \dfrac{1}{f'} (f′f' en m, CC en δ\delta) ; f′>0f'>0 convergente, f′<0f'<0 divergente. Foyers symétriques : OF‾=−OF′‾\overline{OF} = -\overline{OF'}.
  • Relation de conjugaison de Descartes : 1OA′‾−1OA‾=1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'} — axe orienté dans le sens de la lumière, objet réel ⇒OA‾<0\Rightarrow \overline{OA}<0 toujours.
  • Grandissement : γ=OA′‾OA‾=A′B′‾AB‾\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} — signe : droite (++) / renversée (−-) ; ∣γ∣|\gamma| : agrandie (>1>1) / réduite (<1<1).
  • 3 rayons remarquables : // axe → passe par F′F' ; passe par OO → non dévié ; passe par FF → émerge // axe.
  • Objet au-delà de 2F2F : image réelle, renversée, réduite (appareil photo). Entre FF et 2F2F : réelle, renversée, agrandie (vidéoprojecteur). Entre OO et FF : virtuelle, droite, agrandie (loupe).
  • Une lentille divergente donne toujours, d'un objet réel, une image virtuelle, droite et réduite.
  • Œil réduit : écran (rétine) fixe à d≈17 mmd \approx 17\ \text{mm} ; accommodation = variation de f′f' du cristallin. PR (repos) et PP (accommodation max, ≈25 cm\approx 25\ \text{cm} pour un œil normal).
  • Myopie : œil trop convergent, PR fini ⇒ correction divergente, fcorr′=PRf'_{\text{corr}} = \text{PR}. Hypermétropie : œil pas assez convergent, PP trop loin ⇒ correction convergente.
  • Loupe : objet en FF, image à l'infini, G=25f′G = \dfrac{25}{f'} (f′f' en cm).
  • Microscope : G=∣γobjectif∣×25foculaire′G = |\gamma_{\text{objectif}}| \times \dfrac{25}{f'_{\text{oculaire}}}.
  • Lunette astronomique (système afocal) : distance objectif-oculaire =f1′+f2′= f'_1+f'_2 ; G=f1′f2′G = \dfrac{f'_1}{f'_2}.
  • Appareil photo : capteur fixe, mise au point = déplacement de la lentille (inverse de l'accommodation de l'œil).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Deux lentilles ont pour distance focale f1′=20 cmf'_1 = 20\ \text{cm} et f2′=−25 cmf'_2 = -25\ \text{cm}. Précise leur nature et calcule leur vergence.

Voir le corrigé détaillé
  1. f1′=20 cm>0f'_1 = 20\ \text{cm} > 0 : lentille convergente
  2. C1=10,20=5,0 δC_1 = \dfrac{1}{0{,}20} = 5{,}0\ \delta
  3. f2′=−25 cm<0f'_2 = -25\ \text{cm} < 0 : lentille divergente
  4. C2=1−0,25=−4,0 δC_2 = \dfrac{1}{-0{,}25} = -4{,}0\ \delta
2

Une lentille convergente f′=8 cmf' = 8\ \text{cm} reçoit un objet réel en OA‾=−24 cm\overline{OA} = -24\ \text{cm}. Calcule OA′‾\overline{OA'} et précise la nature de l'image.

Voir le corrigé détaillé
  1. 1OA′‾=18+1−24=324−124=224=112\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{-24} = \dfrac{3}{24} - \dfrac{1}{24} = \dfrac{2}{24} = \dfrac{1}{12}
  2. ⇒\RightarrowOA′‾=12 cm\overline{OA'} = 12\ \text{cm}positif : image réelle
3

Pour la lentille de l'exercice 2, l'objet ABAB mesure 3 cm3\ \text{cm}. Calcule le grandissement puis la taille de l'image, et décris-la complètement.

Voir le corrigé détaillé
  1. γ=OA′‾OA‾=12−24\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{12}{-24}
  2. ==−0,5-0{,}5
  3. A′B′‾=γ×AB‾=−0,5×3\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -0{,}5 \times 3
  4. ==−1,5 cm-1{,}5\ \text{cm}

L'image est réelle (OA′‾>0\overline{OA'}>0), renversée (γ<0\gamma<0) et réduite (∣γ∣<1|\gamma|<1), de hauteur 1,5 cm1{,}5\ \text{cm}.

4

Une lentille divergente f′=−15 cmf' = -15\ \text{cm} reçoit un objet réel en OA‾=−10 cm\overline{OA} = -10\ \text{cm}, de hauteur 2 cm2\ \text{cm}. Calcule OA′‾\overline{OA'}, γ\gamma et A′B′‾\overline{A'B'}.

Voir le corrigé détaillé
  1. 1OA′‾=1−15+1−10=−230−330=−530=−16\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{-15} + \dfrac{1}{-10} = -\dfrac{2}{30} - \dfrac{3}{30} = -\dfrac{5}{30} = -\dfrac{1}{6}
  2. ⇒\RightarrowOA′‾=−6 cm\overline{OA'} = -6\ \text{cm}virtuelle, comme toujours avec une divergente
  3. γ=−6−10=0,6\gamma = \dfrac{-6}{-10} = 0{,}6
  4. A′B′‾=0,6×2=1,2 cm\overline{A'B'} = 0{,}6 \times 2 = 1{,}2\ \text{cm}droite et réduite
5

Pour chacun des couples (OA′‾,γ)(\overline{OA'}, \gamma) suivants, décris complètement l'image : a) (10 cm ; −2)(10\ \text{cm}\,;\,-2) ; b) (−8 cm ; 0,4)(-8\ \text{cm}\,;\,0{,}4) ; c) (6 cm ; −0,3)(6\ \text{cm}\,;\,-0{,}3).

Voir le corrigé détaillé

a) OA′‾>0\overline{OA'}>0 : réelle ; γ<0\gamma<0 : renversée ; ∣γ∣=2>1|\gamma|=2>1 : agrandie (deux fois).

b) OA′‾<0\overline{OA'}<0 : virtuelle ; γ>0\gamma>0 : droite ; ∣γ∣=0,4<1|\gamma|=0{,}4<1 : réduite.

c) OA′‾>0\overline{OA'}>0 : réelle ; γ<0\gamma<0 : renversée ; ∣γ∣=0,3<1|\gamma|=0{,}3<1 : réduite.

Niveau 2 — Approfondissement
6

Un objet réel est placé à OA‾=−18 cm\overline{OA} = -18\ \text{cm} d'une lentille convergente. Son image réelle se forme à OA′‾=36 cm\overline{OA'} = 36\ \text{cm}. Calcule la distance focale de la lentille.

Voir le corrigé détaillé
  1. 1f′=1OA′‾−1OA‾=136−1−18\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{36} - \dfrac{1}{-18}
  2. ==136+236=336=112\dfrac{1}{36} + \dfrac{2}{36} = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}
  3. ⇒\Rightarrowf′=12 cmf' = 12\ \text{cm}positif : cohérent avec une image réelle d'un objet réel
7

Un naturaliste souhaite une loupe de grossissement commercial G=8G = 8. Quelle distance focale doit-il choisir, et à quelle distance de la lentille doit-il placer l'insecte observé ?

Voir le corrigé détaillé
  1. G=25f′⇒f′=25G=258G = \dfrac{25}{f'} \Rightarrow f' = \dfrac{25}{G} = \dfrac{25}{8}
  2. ==3,1 cm3{,}1\ \text{cm}

Pour observer sans accommoder (image à l'infini), l'objet doit être placé exactement au foyer objet, donc à OA‾=−f′≈−3,1 cm\overline{OA} = -f' \approx -3{,}1\ \text{cm} de la lentille.

8

Un élève myope a un punctum remotum PR=−20 cm\text{PR} = -20\ \text{cm}. Calcule la distance focale de son cristallin au repos (d=17 mmd=17\ \text{mm}), puis la vergence du verre correcteur à prescrire.

Voir le corrigé détaillé
  1. 1f′=117−1−200\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{17} - \dfrac{1}{-200} (en mm)
  2. ==0,0588+0,0050=0,0638 mm−10{,}0588 + 0{,}0050 = 0{,}0638\ \text{mm}^{-1}
  3. ⇒\Rightarrowf′≈15,7 mmf' \approx 15{,}7\ \text{mm}trop convergent, comme attendu pour un œil myope
  4. correction : fcorr′=PR=−20 cm=−0,20 mf'_{\text{corr}} = \text{PR} = -20\ \text{cm} = -0{,}20\ \text{m}
  5. Ccorr=1−0,20C_{\text{corr}} = \dfrac{1}{-0{,}20}
  6. ==−5,0 δ-5{,}0\ \delta
9

Un objet ABAB de 1 cm1\ \text{cm} est placé à O1A‾=−6 cm\overline{O_1A} = -6\ \text{cm} d'une première lentille f1′=4 cmf'_1 = 4\ \text{cm}. L'image A1B1A_1B_1 obtenue sert d'objet pour une seconde lentille f2′=10 cmf'_2 = 10\ \text{cm}, placée 20 cm20\ \text{cm} après la première. Détermine la position et la taille de l'image finale.

Voir le corrigé détaillé

Lentille 1.

  1. 1O1A1‾=14+1−6=312−212=112\dfrac{1}{\overline{O_1A_1}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{-6} = \dfrac{3}{12}-\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{12}
  2. ⇒\RightarrowO1A1‾=12 cm ; γ1=12−6=−2\overline{O_1A_1} = 12\ \text{cm}\ ;\ \gamma_1 = \dfrac{12}{-6} = -2
  3. A1B1‾=−2×1=−2 cm\overline{A_1B_1} = -2 \times 1 = -2\ \text{cm}

Position de A1A_1 par rapport à O2O_2 : O1O2=20 cmO_1O_2 = 20\ \text{cm}, donc O2A1‾=O1A1‾−O1O2‾=12−20=−8 cm\overline{O_2A_1} = \overline{O_1A_1} - \overline{O_1O_2} = 12 - 20 = -8\ \text{cm}.

Lentille 2.

  1. 1O2A2‾=110+1−8=440−540=−140\dfrac{1}{\overline{O_2A_2}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-8} = \dfrac{4}{40}-\dfrac{5}{40} = -\dfrac{1}{40}
  2. ⇒\RightarrowO2A2‾=−40 cm\overline{O_2A_2} = -40\ \text{cm}virtuelle
  3. γ2=−40−8=5\gamma_2 = \dfrac{-40}{-8} = 5
  4. A2B2‾=γ2×A1B1‾=5×(−2)\overline{A_2B_2} = \gamma_2 \times \overline{A_1B_1} = 5 \times (-2)
  5. ==−10 cm-10\ \text{cm}

L'image finale est virtuelle, à 40 cm40\ \text{cm} avant la lentille 2, renversée par rapport à l'objet initial (γtotal=γ1γ2=−10\gamma_{\text{total}} = \gamma_1\gamma_2 = -10) et dix fois plus grande.

Niveau 3 — Défi
10

Un microscope possède un objectif f1′=5 mmf'_1 = 5\ \text{mm} et un oculaire f2′=20 mmf'_2 = 20\ \text{mm}. Une préparation de hauteur 0,10 mm0{,}10\ \text{mm} est placée à O1A1‾=−5,2 mm\overline{O_1A_1} = -5{,}2\ \text{mm} de l'objectif.

  1. Calcule la position O1A1′‾\overline{O_1A_1'} de l'image intermédiaire et le grandissement γ1\gamma_1 de l'objectif.
  2. Pour une observation sans accommodation, l'image intermédiaire doit tomber exactement au foyer objet de l'oculaire. Calcule la distance O1O2O_1O_2 à laquelle placer l'oculaire.
  3. Calcule le grossissement total GG du microscope, puis l'angle θ\theta (en rad) sous lequel l'œil voit l'image finale.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 1O1A1′‾=15+1−5,2=0,200−0,1923\dfrac{1}{\overline{O_1A_1'}} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{-5{,}2} = 0{,}200 - 0{,}1923
  2. ==0,00769 mm−10{,}00769\ \text{mm}^{-1}
  3. ⇒\RightarrowO1A1′‾≈130 mm\overline{O_1A_1'} \approx 130\ \text{mm}
  4. γ1=130−5,2=−25\gamma_1 = \dfrac{130}{-5{,}2} = -25

2. L'image intermédiaire doit être au foyer objet de l'oculaire, donc à la distance f2′=20 mmf'_2 = 20\ \text{mm} avant O2O_2 :

  1. O1O2=O1A1′‾+f2′=130+20O_1O_2 = \overline{O_1A_1'} + f'_2 = 130 + 20
  2. ==150 mm=15 cm150\ \text{mm} = 15\ \text{cm}

3.

  1. Goc=25f2′=252=12,5G_{\text{oc}} = \dfrac{25}{f'_2} = \dfrac{25}{2} = 12{,}5f2′=2 cmf'_2 = 2\ \text{cm}
  2. G=∣γ1∣×Goc=25×12,5G = |\gamma_1| \times G_{\text{oc}} = 25 \times 12{,}5
  3. ==312,5312{,}5
  4. θ=G×θ0=G×h25=312,5×0,01025\theta = G \times \theta_0 = G \times \dfrac{h}{25} = 312{,}5 \times \dfrac{0{,}010}{25}
  5. ≈\approx0,125 rad (≈7,2°)0{,}125\ \text{rad}\ (\approx 7{,}2°)
11

La Lune est vue à l'œil nu sous un angle θ0≈0,5°≈8,73×10−3 rad\theta_0 \approx 0{,}5° \approx 8{,}73 \times 10^{-3}\ \text{rad}. Une lunette astronomique a f1′=50 cmf'_1 = 50\ \text{cm} et f2′=5 cmf'_2 = 5\ \text{cm}.

  1. Calcule le grossissement GG de la lunette, puis l'angle θ\theta sous lequel la Lune est vue à travers l'instrument.
  2. En modélisant l'œil par d=17 mmd = 17\ \text{mm} et en admettant que la taille de l'image rétinienne vaut (petits angles) hreˊtine=d×θh_{\text{rétine}} = d \times \theta, calcule cette taille sans, puis avec, la lunette.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. G=f1′f2′=505=10G = \dfrac{f'_1}{f'_2} = \dfrac{50}{5} = 10
  2. θ=G×θ0=10×8,73×10−3\theta = G \times \theta_0 = 10 \times 8{,}73 \times 10^{-3}
  3. ≈\approx8,73×10−2 rad8{,}73 \times 10^{-2}\ \text{rad}

2.

  1. sans lunette : hreˊtine=17×8,73×10−3≈0,148 mmh_{\text{rétine}} = 17 \times 8{,}73\times10^{-3} \approx 0{,}148\ \text{mm}
  2. avec lunette : hreˊtine=17×8,73×10−2≈1,48 mmh_{\text{rétine}} = 17 \times 8{,}73\times10^{-2} \approx 1{,}48\ \text{mm}

L'image rétinienne est exactement 10 fois plus grande avec la lunette : c'est bien la signification concrète du grossissement GG.

12

Un patient hypermétrope a un punctum proximum PP=80 cm\text{PP} = 80\ \text{cm} (au lieu de 25 cm25\ \text{cm}) et souhaite lire un livre à 25 cm25\ \text{cm} sans fatigue.

  1. Quelle image (position) la lentille correctrice doit-elle donner d'un objet réel à 25 cm25\ \text{cm}, pour que l'œil du patient la voie nette sans accommoder au-delà de son PP réel ?
  2. Calcule la distance focale puis la vergence de la lentille à prescrire.
  3. Justifie qualitativement que, sans lunettes, ce patient ne peut pas lire net à 25 cm25\ \text{cm}.
Voir le corrigé détaillé

1. La lentille doit donner, de l'objet à 25 cm25\ \text{cm}, une image virtuelle exactement à la distance du PP réel du patient, soit OA′‾=−80 cm\overline{OA'} = -80\ \text{cm}, avec objet OA‾=−25 cm\overline{OA} = -25\ \text{cm}.

2.

  1. 1f′=1−0,80−1−0,25=−1,25+4,00\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{-0{,}80} - \dfrac{1}{-0{,}25} = -1{,}25 + 4{,}00
  2. ==2,75 m−12{,}75\ \text{m}^{-1}
  3. ⇒\Rightarrowf′≈0,364 m=36,4 cm ; C=+2,75 δf' \approx 0{,}364\ \text{m} = 36{,}4\ \text{cm}\ ;\ C = +2{,}75\ \delta

3. Un objet à 25 cm25\ \text{cm} est plus proche que le PP réel du patient (80 cm80\ \text{cm}) : même en accommodant au maximum, son œil ne peut pas augmenter suffisamment sa vergence pour focaliser un objet aussi proche sur la rétine. L'image reste floue, d'où la nécessité d'une lentille convergente qui « fait le travail » à sa place.

13

Un appareil photo a un objectif de distance focale réglable ; le capteur est fixe, à OA′‾=5,0 cm\overline{OA'} = 5{,}0\ \text{cm} du centre optique.

  1. Pour photographier un sujet à 5 m5\ \text{m}, quelle distance focale utiliser ?
  2. Le sujet se rapproche à 1 m1\ \text{m} : quelle distance focale faudrait-il, toujours pour une image nette sur le même capteur ?
  3. En réalité l'objectif reste fixe à f′=5,0 cmf' = 5{,}0\ \text{cm} (celui trouvé pour 5 m5\ \text{m}) : de combien faut-il déplacer la lentille (mise au point) pour rester net à 1 m1\ \text{m} ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 1f′=15+1−500=0,200−0,002\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{-500} = 0{,}200 - 0{,}002
  2. ==0,198 cm−1⇒f′≈5,05 cm0{,}198\ \text{cm}^{-1} \Rightarrow f' \approx 5{,}05\ \text{cm}

2.

  1. 1f′=15+1−100=0,200−0,010\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{-100} = 0{,}200-0{,}010
  2. ==0,190 cm−1⇒f′≈5,26 cm0{,}190\ \text{cm}^{-1} \Rightarrow f' \approx 5{,}26\ \text{cm}

3. Avec l'objectif fixe f′=5,00 cmf' = 5{,}00\ \text{cm} et l'objet à 1 m1\ \text{m} :

  1. 1OA′‾=15+1−100=0,200−0,010=0,190\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{-100} = 0{,}200-0{,}010 = 0{,}190
  2. ⇒\RightarrowOA′‾≈5,26 cm\overline{OA'} \approx 5{,}26\ \text{cm}
  3. déplacement =5,26−5,00= 5{,}26 - 5{,}00
  4. ==0,26 cm≈2,6 mm0{,}26\ \text{cm} \approx 2{,}6\ \text{mm}l'objectif recule de 2,6 mm2{,}6\ \text{mm} — c'est la mise au point
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Chez l'opticien, à Dakar. Aminata consulte un opticien de la Médina. Son œil non corrigé (modèle réduit, d=17 mmd = 17\ \text{mm}) a, au repos, une distance focale f′=16 mmf' = 16\ \text{mm}.

  1. Calcule son punctum remotum PR.
  2. Calcule la vergence exacte du verre correcteur, puis la valeur prescrite après arrondi commercial au quart de dioptrie le plus proche.
  3. Le verre coûte 2 5002\,500 FCFA par dioptrie (valeur absolue, arrondie), plus un forfait de monture et montage de 8 0008\,000 FCFA. Calcule le prix total.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 1OA‾=117−116=16−17272\dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{17} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{16-17}{272}
  2. ==−1272 mm−1-\dfrac{1}{272}\ \text{mm}^{-1}
  3. ⇒\RightarrowPR≈−272 mm≈−27,2 cm\text{PR} \approx -272\ \text{mm} \approx -27{,}2\ \text{cm}

2.

  1. fcorr′=PR=−0,272 mf'_{\text{corr}} = \text{PR} = -0{,}272\ \text{m}
  2. C=1−0,272≈−3,68 δC = \dfrac{1}{-0{,}272} \approx -3{,}68\ \delta
  3. ⇒\Rightarrowarrondi au quart de dioptrie : C≈−3,75 δC \approx -3{,}75\ \delta

3.

  1. prix =∣−3,75∣×2 500+8 000= |{-3{,}75}| \times 2\,500 + 8\,000
  2. ==9 375+8 0009\,375 + 8\,000
  3. ==17 375 FCFA17\,375\ \text{FCFA}
15

Au laboratoire de SVT, à Abidjan. Kouassi observe une cellule végétale de 20 μm20\ \mu\text{m} de diamètre au microscope du lycée : objectif f1′=4 mmf'_1 = 4\ \text{mm}, oculaire f2′=25 mmf'_2 = 25\ \text{mm}, cellule placée à O1A1‾=−4,2 mm\overline{O_1A_1} = -4{,}2\ \text{mm}.

  1. Calcule le grandissement γ1\gamma_1 de l'objectif.
  2. Calcule le grossissement total GG du microscope.
  3. Calcule la taille apparente équivalente de l'image (taille qu'elle aurait à l'œil nu placée à 25 cm25\ \text{cm}).
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 1O1A1′‾=14+1−4,2=0,250−0,2381\dfrac{1}{\overline{O_1A_1'}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{-4{,}2} = 0{,}250 - 0{,}2381
  2. ==0,01190 mm−1⇒O1A1′‾≈84 mm0{,}01190\ \text{mm}^{-1} \Rightarrow \overline{O_1A_1'} \approx 84\ \text{mm}
  3. γ1=84−4,2=−20\gamma_1 = \dfrac{84}{-4{,}2} = -20

2.

  1. Goc=252,5=10G_{\text{oc}} = \dfrac{25}{2{,}5} = 10f2′=2,5 cmf'_2 = 2{,}5\ \text{cm}
  2. G=∣γ1∣×Goc=20×10G = |\gamma_1| \times G_{\text{oc}} = 20 \times 10
  3. ==200200

3.

  1. taille apparente =G×taille reˊelle=200×20 μm= G \times \text{taille réelle} = 200 \times 20\ \mu\text{m}
  2. ==4 000 μm=4 mm4\,000\ \mu\text{m} = 4\ \text{mm}
16

Salle de classe, à Ndjamena. Le vidéoprojecteur de la salle a un objectif f′=6 cmf' = 6\ \text{cm} et doit projeter net sur le mur du fond, à 6 m6\ \text{m} (600 cm600\ \text{cm}) de l'objectif. La dalle LCD interne mesure 4 cm4\ \text{cm} de large.

  1. Calcule la position OA‾\overline{OA} à laquelle il faut placer la dalle.
  2. Calcule le grandissement, puis la largeur de l'image projetée.
  3. L'enseignant recule le vidéoprojecteur pour utiliser un mur à 8 m8\ \text{m}. Calcule la nouvelle position OA‾\overline{OA} nécessaire à la mise au point, et la nouvelle largeur d'image.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 1OA‾=1OA′‾−1f′=1600−16\dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{600} - \dfrac{1}{6}
  2. ==1600−100600=−99600\dfrac{1}{600} - \dfrac{100}{600} = -\dfrac{99}{600}
  3. ⇒\RightarrowOA‾≈−6,06 cm\overline{OA} \approx -6{,}06\ \text{cm}

2.

  1. γ=600−6,06≈−99,0\gamma = \dfrac{600}{-6{,}06} \approx -99{,}0
  2. largeur =∣γ∣×4=99,0×4= |\gamma| \times 4 = 99{,}0 \times 4
  3. ≈\approx396 cm≈4,0 m396\ \text{cm} \approx 4{,}0\ \text{m}

3.

  1. 1OA‾=1800−16=32400−4002400=−3972400\dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{800} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2400} - \dfrac{400}{2400} = -\dfrac{397}{2400}
  2. ⇒\RightarrowOA‾≈−6,05 cm\overline{OA} \approx -6{,}05\ \text{cm}à peine 1 dixieˋme de mm1\ \text{dixième de mm} de différence : la mise au point reste très fine
  3. γ=800−6,05≈−132 ;\gamma = \dfrac{800}{-6{,}05} \approx -132\ ; largeur ≈132×4≈529 cm≈5,3 m\approx 132 \times 4 \approx 529\ \text{cm} \approx 5{,}3\ \text{m}

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Une lentille convergente, comparée à une lentille divergente :

Explication : Une lentille convergente (bords minces, centre épais) concentre réellement un faisceau parallèle en son foyer image F′F', avec une distance focale f′f' positive. Une divergente (bords épais, centre mince) l'écarte, avec f′<0f' < 0.

Le foyer image F′F' d'une lentille est le point :

Explication : Par définition, F′F' est le point où converge réellement (lentille convergente) ou semble diverger (lentille divergente) tout rayon incident parallèle à l'axe optique. Le point qui n'est jamais dévié est le centre optique OO, pas F′F'.

Une loupe a une distance focale f′=4f' = 4 cm. Sa vergence C=1/f′C = 1/f' (en mètres) vaut :

Explication : f′=4 cm=0,04 mf' = 4\ \text{cm} = 0{,}04\ \text{m}, donc C=10,04=25 δC = \dfrac{1}{0{,}04} = 25\ \delta. La vergence se calcule toujours avec f′f' exprimée en mètres.

Pour un objet réel, placé avant la lentille dans le sens de propagation de la lumière, la mesure algébrique OA‾\overline{OA} est toujours :

Explication : L'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite). Un objet réel, situé avant la lentille (à gauche de OO), a donc toujours OA‾<0\overline{OA} < 0. Oublier ce signe est l'erreur la plus fréquente au bac.

La relation de conjugaison de Descartes pour une lentille mince de centre OO, de distance focale f′f', reliant un objet AA et son image A′A', s'écrit :

Explication : La relation de conjugaison de Descartes s'écrit 1OA′‾−1OA‾=1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}, avec toutes les distances comptées algébriquement à partir du centre optique OO.

Si le grandissement γ\gamma d'une lentille pour un objet donné est négatif, l'image obtenue est :

Explication : Le signe de γ=OA′‾/OA‾\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} donne le sens de l'image : γ>0\gamma > 0 signifie une image droite, γ<0\gamma < 0 une image renversée. La valeur absolue ∣γ∣|\gamma| renseigne, elle, sur l'agrandissement ou la réduction — les deux informations sont indépendantes.

Une lentille convergente de distance focale f′=6f' = 6 cm reçoit un objet réel à OA‾=−12\overline{OA} = -12 cm. La position de l'image OA′‾\overline{OA'} vaut :

Explication : 1OA′‾=1f′+1OA‾=16+1−12\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{-12}
=212−112=112= \dfrac{2}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{12}
⇒OA′‾=12 cm\Rightarrow \overline{OA'} = 12\ \text{cm} (positif : image réelle).

Pour l'objet de la question précédente (f′=6f'=6 cm, OA‾=−12\overline{OA}=-12 cm, OA′‾=12\overline{OA'}=12 cm), le grandissement γ\gamma vaut :

Explication : γ=OA′‾OA‾=12−12=−1\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{12}{-12} = -1 : l'image est renversée (γ<0\gamma<0) et de même taille que l'objet (∣γ∣=1|\gamma|=1).

Une lentille divergente donne toujours d'un objet réel une image :

Explication : Avec OA‾<0\overline{OA}<0 et f′<0f'<0, la somme 1f′+1OA‾\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{\overline{OA}} est toujours négative : OA′‾\overline{OA'} est donc toujours négatif (image virtuelle), et le grandissement est toujours positif et inférieur à 1 (droite, réduite).

Lorsqu'un objet réel est placé au-delà de 2F2F devant une lentille convergente, l'image obtenue est :

Explication : C'est le premier cas de construction : au-delà de 2F2F, l'image se forme entre F′F' et 2F′2F', réelle, renversée et réduite — c'est exactement le principe de l'appareil photo.

Lorsqu'un objet réel est placé entre FF et 2F2F devant une lentille convergente, l'image obtenue est :

Explication : Entre FF et 2F2F, l'image se forme au-delà de 2F′2F', réelle, renversée et agrandie — c'est le principe du vidéoprojecteur.

Lorsqu'un objet réel est placé entre OO et FF devant une lentille convergente, l'image obtenue est :

Explication : Dès que l'objet franchit FF, les rayons émergents divergent : on ne trouve l'image qu'en prolongeant les rayons en arrière. Elle est virtuelle, droite et agrandie — c'est exactement le principe de la loupe.

Dans le modèle de l'œil réduit, le punctum proximum (PP) est :

Explication : Le PP est le point le plus proche vu net, lorsque l'accommodation est maximale (environ 2525 cm pour un œil normal). C'est le punctum remotum (PR) qui correspond au point le plus éloigné, œil au repos.

Un œil myope non corrigé, comparé à un œil normal, est :

Explication : L'œil myope est trop convergent au repos : même sans accommoder, l'image d'un objet lointain se forme avant la rétine, d'où une vision floue de loin. Son PR est fini et anormalement proche.

On corrige la myopie par une lentille ______, et l'hypermétropie par une lentille ______.

Explication : L'œil myope est trop convergent : on le corrige avec une lentille divergente pour diminuer sa vergence. L'œil hypermétrope n'est pas assez convergent : on le corrige avec une lentille convergente. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente au bac sur ce sujet.

Un œil myope non corrigé a, au repos, f′=16f' = 16 mm (rétine à OA′‾=17\overline{OA'} = 17 mm). Son punctum remotum PR, tel que 1OA‾=1OA′‾−1f′\dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{f'}, vaut environ :

Explication : 1OA‾=117−116=16−17272=−1272 mm−1\dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{17} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{16-17}{272} = -\dfrac{1}{272}\ \text{mm}^{-1}
⇒OA‾=−272 mm=−27,2 cm\Rightarrow \overline{OA} = -272\ \text{mm} = -27{,}2\ \text{cm}.

Une loupe a une distance focale f′=4f' = 4 cm. Son grossissement commercial G=25/f′G = 25/f' (avec f′f' en cm) vaut :

Explication : G=25f′=254=6,25G = \dfrac{25}{f'} = \dfrac{25}{4} = 6{,}25 : l'objet, vu à travers la loupe, paraît environ 6,256{,}25 fois plus grand angulairement qu'à l'œil nu placé à 2525 cm.

Le grossissement GG d'un microscope, associant un objectif et un oculaire, est donné par :

Explication : Le grossissement du microscope combine le grandissement (en valeur absolue) de l'objectif et le grossissement commercial de l'oculaire : G=∣γobjectif∣×Goculaire=∣γobjectif∣×25foculaire′G = |\gamma_{\text{objectif}}| \times G_{\text{oculaire}} = |\gamma_{\text{objectif}}| \times \dfrac{25}{f'_{\text{oculaire}}}. La formule fobjectif′/foculaire′f'_{\text{objectif}}/f'_{\text{oculaire}} est celle de la lunette, pas du microscope.

Une lunette astronomique afocale a un objectif de distance focale f1′=60f'_1 = 60 cm et un oculaire de distance focale f2′=3f'_2 = 3 cm. Son grossissement G=f1′/f2′G = f'_1/f'_2 vaut :

Explication : G=f1′f2′=603=20G = \dfrac{f'_1}{f'_2} = \dfrac{60}{3} = 20 : un astre paraît vu 2020 fois plus grand angulairement à travers cette lunette.

Dans une lunette astronomique, l'écartement entre l'objectif et l'oculaire doit être exactement f1′+f2′f'_1+f'_2 pour que le système soit afocal. Si on modifie cet écartement :

Explication : Seul l'écartement f1′+f2′f'_1+f'_2 rend le système afocal (image finale à l'infini, observation reposée). Avec un autre écartement, l'image finale se forme à distance finie : la lunette reste utilisable, mais l'œil doit accommoder, ce qui fatigue à la longue.
← Chapitre précédentChamp magnétique et force de Laplace Chapitre suivant →Calorimétrie et transferts thermiques
S'inscrire