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Champ magnétique et force de Laplace

Étudier les effets magnétiques du courant.

Physique Première Chapitre 7 / 9 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Représenter un champ magnétique
  • Calculer une force de Laplace
  • Expliquer le fonctionnement d'un moteur simple

Ouvre un haut-parleur, approche une boussole d'un câble électrique, ou observe les rails d'un train électrique : partout, des courants et des aimants interagissent silencieusement. Depuis la classe de troisième, tu sais qu'un courant électrique transporte de l'énergie et qu'un aimant attire le fer. Ce chapitre relie enfin ces deux mondes : un courant électrique crée un champ magnétique, et un champ magnétique agit sur un courant. C'est cette double découverte, faite en 1820 par le physicien danois Hans Christian Ørsted, qui a donné naissance à l'électromagnétisme et, quelques décennies plus tard, au moteur électrique.

Tu vas apprendre à représenter un champ magnétique par des lignes de champ et par un vecteur B⃗\vec{B}, à calculer le champ créé par un fil, une spire ou une bobine, puis à calculer la force qu'un champ magnétique exerce sur un conducteur parcouru par un courant : la force de Laplace. Cette force n'est pas une curiosité de laboratoire : elle fait tourner les ventilateurs, les pompes à eau, les moteurs des véhicules électriques, et fait vibrer la membrane de chaque haut-parleur que tu écoutes.

Contrairement aux forces déjà rencontrées (poids, tension d'un fil, réaction d'un support), la force de Laplace a une direction qui ne se devine pas d'un coup d'œil : elle est perpendiculaire à la fois au courant et au champ magnétique. Tu apprendras à la déterminer sans erreur grâce à une règle de main que tout physicien utilise encore aujourd'hui : la règle des trois doigts.

1Aimants et champ magnétique

1.1  Les aimants et leurs pôles

Définition

Un aimant est un objet capable d'attirer le fer, le nickel et le cobalt, et d'agir à distance sur un autre aimant. Tout aimant possède deux pôles, un pôle Nord (N) et un pôle Sud (S), généralement situés à ses extrémités. On ne peut jamais isoler un seul pôle : casser un aimant en deux redonne deux aimants complets, chacun avec un pôle Nord et un pôle Sud.

La magnétite, un minerai de fer naturellement aimanté, était déjà connue des Grecs et des Chinois il y a plus de deux mille ans : c'est le premier aimant naturel utilisé par l'homme. Aujourd'hui, on fabrique des aimants artificiels (acier aimanté, alliages comme l'AlNiCo, ferrites) sous des formes variées : barreau droit, aiguille de boussole, fer à cheval (aimant en U).

Propriété — interaction entre deux pôles

Deux pôles de même nom (N–N ou S–S) se repoussent. Deux pôles de noms contraires (N–S) s'attirent. Cette interaction se fait à distance, sans contact, et s'affaiblit rapidement quand la distance augmente.

Exemple — approcher deux aimants

On approche le pôle Nord d'un aimant A du pôle Sud d'un aimant B posé sur une table à roulettes. L'aimant B se met à avancer vers A : pôles contraires, donc attraction. Si l'on retourne l'aimant A pour présenter son pôle Sud, l'aimant B recule : pôles de même nom, donc répulsion.

1.2  Le champ magnétique terrestre et la boussole

La Terre elle-même se comporte comme un immense aimant : son noyau externe, fait de fer liquide en mouvement, engendre un champ magnétique qui enveloppe toute la planète. C'est ce champ que détecte une boussole : son aiguille, elle-même un petit aimant mobile autour d'un axe vertical, s'oriente spontanément pour pointer son pôle Nord vers le nord géographique.

Attention

Le pôle Nord de l'aiguille pointe vers le nord géographique parce qu'il est attiré par un pôle magnétique de nom contraire. Autrement dit, le pôle magnétique terrestre situé près du nord géographique est en réalité un pôle Sud magnétique ! Ce que l'on appelle familièrement « pôle Nord magnétique » désigne seulement sa position géographique, pas la polarité réelle du champ terrestre.

1.3  Le vecteur champ magnétique

Définition

En un point de l'espace, le champ magnétique est représenté par un vecteur noté B⃗\vec{B}, caractérisé par :

  • une direction : celle prise par une petite aiguille aimantée (une boussole) placée en ce point ;
  • un sens : du pôle Sud vers le pôle Nord de l'aiguille, c'est-à-dire le sens indiqué par la pointe Nord de la boussole ;
  • une valeur (ou intensité), notée BB, exprimée en tesla, symbole T\text{T}, unité du Système international.

La valeur BB se mesure avec un appareil appelé teslamètre (ou gaussmètre). Le tesla est une unité relativement « grande » : la plupart des champs magnétiques usuels s'expriment en fractions de tesla.

Méthode — déterminer B⃗\vec{B} en un point avec une boussole

On place une petite boussole au point étudié, loin de toute perturbation métallique. La direction de B⃗\vec{B} est celle de l'aiguille à l'équilibre ; le sens de B⃗\vec{B} est celui indiqué par la pointe qui porte la marque Nord. En déplaçant la boussole de proche en proche, on peut ainsi tracer la trajectoire suivie par B⃗\vec{B} : c'est une ligne de champ (voir section 2).

Exemple — comparer deux champs magnétiques

Le champ magnétique terrestre, à la surface, vaut environ BT=5×10−5 TB_T = 5 \times 10^{-5}\ \text{T}. Un petit aimant de réfrigérateur crée, à son contact, un champ BA=5×10−3 TB_A = 5 \times 10^{-3}\ \text{T}. Combien de fois l'aimant est-il plus intense que le champ terrestre ?

  1. k=BABTk = \dfrac{B_A}{B_T}
  2. ==5×10−35×10−5\dfrac{5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-5}}
  3. ==10210^{2}simplification des puissances de dix

L'aimant crée, à son contact, un champ cent fois plus intense que le champ magnétique terrestre — ce qui explique qu'il suffit à dévier une boussole posée juste à côté de lui.

2Spectres magnétiques

2.1  Lignes de champ et spectre magnétique

Définition

Une ligne de champ magnétique est une courbe orientée telle qu'en chacun de ses points, le vecteur B⃗\vec{B} lui est tangent, dans le sens de la ligne. L'ensemble des lignes de champ d'un aimant, rendu visible par de la limaille de fer saupoudrée autour de lui, s'appelle le spectre magnétique de cet aimant.

Chaque grain de limaille se comporte comme une minuscule boussole : il s'aligne localement sur B⃗\vec{B}, et l'ensemble des grains dessine des « chapelets » qui matérialisent les lignes de champ. Par convention, ces lignes sont orientées, à l'extérieur de l'aimant, du pôle Nord vers le pôle Sud ; à l'intérieur de la matière aimantée, elles se referment du pôle Sud vers le pôle Nord, formant des boucles fermées.

2.2  Spectre d'un aimant droit

Pour un barreau aimanté, les lignes de champ sortent de la face Nord, s'écartent en formant des arcs de plus en plus larges, puis convergent vers la face Sud. Elles sont resserrées près des pôles (champ intense) et s'écartent loin de l'aimant (champ plus faible).

Spectre magnétique d'un aimant droit N S À l'extérieur : les lignes sortent de N et entrent en S à l'intérieur (pointillés) : elles vont de S vers N
Figure 1 — Spectre magnétique d'un aimant droit, obtenu avec de la limaille de fer. Les lignes se referment toujours : elles sortent par la face Nord et rentrent par la face Sud.

2.3  Spectre d'un aimant en U : champ uniforme

Entre les branches d'un aimant en U (ou fer à cheval), les lignes de champ deviennent rectilignes, parallèles et régulièrement espacées : c'est la signature d'un champ magnétique uniforme.

Définition

Un champ magnétique est dit uniforme dans une région de l'espace lorsque le vecteur B⃗\vec{B} y garde la même direction, le même sens et la même valeur en tout point. Ses lignes de champ sont alors des droites parallèles, également espacées.

Spectre d'un aimant en U — champ uniforme entre les branches N S lignes parallèles, équidistantes → B⃗\vec{B} uniforme dans l'entrefer
Figure 2 — Dans l'entrefer d'un aimant en U, le champ magnétique est uniforme : les élèves l'utilisent en TP pour étudier la force de Laplace dans des conditions simples.
Exemple — reconnaître un champ uniforme

Dans l'entrefer d'un aimant en U, on place trois boussoles à des endroits différents : elles pointent toutes exactement dans la même direction et le même sens. On en déduit que le champ y est uniforme. Près des bords de l'aimant, en revanche, les boussoles pointent dans des directions légèrement différentes : le champ n'y est plus uniforme.

Physique & Co — Christian Ørsted et le hasard qui a changé la physique

Le 21 avril 1820, lors d'une leçon à l'université de Copenhague, le physicien danois Hans Christian Ørsted (1777–1851) fait une démonstration presque anecdotique : il approche une boussole d'un fil parcouru par un courant électrique. À sa grande surprise, l'aiguille dévie ! Jusque-là, électricité et magnétisme étaient considérés comme deux domaines totalement séparés de la physique.

Ørsted publie sa découverte en juillet 1820, en latin, dans un texte de quatre pages qui va provoquer une véritable révolution scientifique. En quelques semaines, des physiciens comme André-Marie Ampère en France se lancent dans l'étude systématique de ce nouveau lien : l'électromagnétisme vient de naître.

3Champ créé par un courant

3.1  Champ créé par un fil rectiligne

Un fil conducteur rectiligne, parcouru par un courant d'intensité II, crée autour de lui un champ magnétique. Les lignes de champ sont des cercles, centrés sur le fil, situés dans des plans perpendiculaires à celui-ci.

Propriété — champ créé par un fil rectiligne

À une distance dd d'un fil rectiligne infini parcouru par un courant II, la valeur du champ magnétique vaut :

B=μ0I2πdB = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}

avec BB en tesla (T\text{T}), II en ampère (A\text{A}), dd en mètre (m\text{m}), et μ0=4π×10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{T·m·A}^{-1} la perméabilité magnétique du vide, une constante universelle.

Méthode — trouver le sens de B⃗\vec{B} autour d'un fil (règle de la main droite)

On saisit le fil avec la main droite, le pouce tendu dans le sens du courant II. Les autres doigts, repliés autour du fil, indiquent le sens des lignes de champ. Cette règle est aussi appelée « règle du bonhomme d'Ampère ».

Champ créé par un fil rectiligne (vue en coupe, perpendiculaire au fil) d I sort de la page B tourne en sens antihoraire I entre dans la page B tourne en sens horaire
Figure 3 — Lignes de champ autour d'un fil rectiligne : des cercles centrés sur le fil. Le sens s'inverse si l'on inverse le sens du courant (règle de la main droite).
Exemple — champ créé par une ligne électrique

Un câble transporte un courant I=10 AI = 10\ \text{A}. Calcule le champ magnétique qu'il crée à d=5 cmd = 5\ \text{cm} du câble.

  1. d=5 cm=0,05 md = 5\ \text{cm} = 0{,}05\ \text{m}
  2. B=μ0I2πdB = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}
  3. ==4π×10−7×102π×0,05\dfrac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0{,}05}
  4. ==4×10−60,1\dfrac{4 \times 10^{-6}}{0{,}1}les π\pi se simplifient
  5. ==4×10−5 T=40 μT4 \times 10^{-5}\ \text{T} = 40\ \mu\text{T}
Attention

La distance dd doit toujours être convertie en mètres avant tout calcul, jamais laissée en centimètres : c'est l'erreur la plus fréquente sur cette formule.

3.2  Champ créé par une spire circulaire

Une spire est une boucle de fil conducteur fermée sur elle-même. Au centre d'une spire circulaire de rayon RR parcourue par un courant II, le champ magnétique vaut :

B=μ0I2RB = \dfrac{\mu_0 I}{2R}

Son sens s'obtient encore avec la règle de la main droite : on enroule les doigts dans le sens du courant le long de la spire, le pouce indique alors le sens de B⃗\vec{B} au centre.

Exemple — champ au centre d'une spire

Une spire de rayon R=4,0 cmR = 4{,}0\ \text{cm} est parcourue par I=2,0 AI = 2{,}0\ \text{A}. Calcule le champ en son centre.

  1. R=0,040 mR = 0{,}040\ \text{m}
  2. B=μ0I2R=4π×10−7×2,02×0,040B = \dfrac{\mu_0 I}{2R} = \dfrac{4\pi \times 10^{-7} \times 2{,}0}{2 \times 0{,}040}
  3. ==8π×10−70,080\dfrac{8\pi \times 10^{-7}}{0{,}080}
  4. ≈\approx3,1×10−5 T3{,}1 \times 10^{-5}\ \text{T}

4Solénoïde

4.1  Description et lignes de champ

Définition

Un solénoïde (ou bobine longue) est un enroulement de fil conducteur en spires jointives et régulières, sur un support cylindrique, comportant NN spires sur une longueur LL.

Lorsqu'il est parcouru par un courant, un solénoïde crée, en son sein, un champ magnétique dont les lignes sont rectilignes et parallèles à l'axe : le champ y est uniforme, à condition que le solénoïde soit suffisamment long devant son diamètre. À l'extérieur, les lignes se referment comme celles d'un aimant droit, faisant du solénoïde un véritable électroaimant.

Solénoïde parcouru par un courant I — lignes de champ B (uniforme) S N ⊗ : courant entrant dans la page · ⊙ : courant sortant de la page
Figure 4 — Lignes de champ d'un solénoïde : uniformes et parallèles à l'axe à l'intérieur, refermées à l'extérieur comme pour un aimant droit.

4.2  Valeur du champ à l'intérieur du solénoïde

Propriété

À l'intérieur d'un solénoïde suffisamment long, loin de ses extrémités, le champ magnétique est uniforme et vaut :

B=μ0nIB = \mu_0 n I

où n=NLn = \dfrac{N}{L} est le nombre de spires par unité de longueur (en m−1\text{m}^{-1}), II l'intensité du courant (en A\text{A}), et μ0=4π×10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{T·m·A}^{-1}.

Démonstration — homogénéité de B=μ0nIB = \mu_0 n I

Vérifions que cette formule donne bien une grandeur exprimée en tesla.

  1. [μ0]=T⋅m⋅A−1[\mu_0] = \text{T·m·A}^{-1}donnée de l'énoncé
  2. [n]=[N]/[L]=m−1[n] = [N]/[L] = \text{m}^{-1}NN est un nombre de spires, sans dimension ; LL est en m
  3. [I]=A[I] = \text{A}
  4. ⇒\Rightarrow[μ0nI]=T⋅m⋅A−1×m−1×A[\mu_0 n I] = \text{T·m·A}^{-1} \times \text{m}^{-1} \times \text{A}
  5. ==T×m×m−1×A−1×A\text{T} \times \text{m} \times \text{m}^{-1} \times \text{A}^{-1} \times \text{A}
  6. ==T\text{T}les mètres et les ampères se simplifient

La formule est bien homogène à un champ magnétique en tesla. C.Q.F.D.

Exemple — champ dans une bobine

Une bobine compte N=800N = 800 spires réparties sur L=40 cmL = 40\ \text{cm}, parcourue par I=2,0 AI = 2{,}0\ \text{A}. Calcule le champ à l'intérieur.

  1. L=0,40 mL = 0{,}40\ \text{m}
  2. n=NL=8000,40=2 000 m−1n = \dfrac{N}{L} = \dfrac{800}{0{,}40} = 2\,000\ \text{m}^{-1}
  3. B=μ0nI=4π×10−7×2 000×2,0B = \mu_0 n I = 4\pi \times 10^{-7} \times 2\,000 \times 2{,}0
  4. ==16 000π×10−7 T16\,000\pi \times 10^{-7}\ \text{T}
  5. ≈\approx5,0×10−3 T=5,0 mT5{,}0 \times 10^{-3}\ \text{T} = 5{,}0\ \text{mT}

4.3  Faces Nord et Sud d'un solénoïde

Méthode — reconnaître les faces N et S d'un solénoïde

On regarde une extrémité du solénoïde et on enroule les doigts de la main droite dans le sens du courant tel qu'il circule dans les spires vues de cette extrémité : si le pouce pointe vers soi (sort de cette face), cette face est une face Nord ; s'il pointe en s'éloignant, c'est une face Sud. Un solénoïde parcouru par un courant se comporte exactement comme un aimant droit.

Exemple — polarité d'un électroaimant

Vu de face, le courant circule dans les spires d'un solénoïde dans le sens trigonométrique (antihoraire). En enroulant les doigts de la main droite dans ce sens, le pouce pointe vers l'observateur : cette face est donc le pôle Nord du solénoïde. L'autre extrémité est alors le pôle Sud.

5Force de Laplace

5.1  Mise en évidence : le rail de Laplace

Posons deux rails conducteurs horizontaux, reliés à un générateur, et posons en travers une barre conductrice mobile MN, libre de glisser. On place l'ensemble dans l'entrefer d'un aimant en U, de sorte que la barre baigne dans un champ magnétique uniforme B⃗\vec{B}, perpendiculaire au plan des rails.

Dès que le courant circule, la barre se met en mouvement : elle glisse le long des rails, sans qu'aucun contact mécanique ne l'y pousse. Elle subit donc une force, exercée par le champ magnétique sur le courant qui la traverse : la force de Laplace. Si l'on inverse le sens du courant, ou le sens du champ, la barre part dans l'autre sens.

Rail de Laplace : mise en évidence de la force F champ B (sortant de la page) I M N F position après déplacement gén. générateur rails conducteurs
Figure 5 — Rail de Laplace : la barre MN, parcourue par I dans le champ uniforme B, glisse le long des rails sous l'effet de la force de Laplace F.

5.2  Formule de la force de Laplace

Théorème — force de Laplace

Un conducteur rectiligne de longueur LL, parcouru par un courant d'intensité II, plongé dans un champ magnétique uniforme B⃗\vec{B} faisant un angle α\alpha avec le conducteur, subit une force :

F=B I L sin⁡αF = B\,I\,L\,\sin\alpha

avec FF en newton (N\text{N}), BB en tesla (T\text{T}), II en ampère (A\text{A}) et LL en mètre (m\text{m}). La force est maximale quand le conducteur est perpendiculaire au champ (α=90°\alpha = 90°) et nulle quand il lui est parallèle (α=0°\alpha = 0°).

Exemple — calcul direct

Une tige de longueur L=20 cmL = 20\ \text{cm}, parcourue par I=3,0 AI = 3{,}0\ \text{A}, est placée perpendiculairement à un champ B=0,50 TB = 0{,}50\ \text{T}.

  1. α=90°\alpha = 90° donc sin⁡α=1\sin\alpha = 1
  2. F=BIL=0,50×3,0×0,20F = B I L = 0{,}50 \times 3{,}0 \times 0{,}20
  3. ==0,30 N0{,}30\ \text{N}
Exemple — conducteur incliné

Même tige, mais désormais inclinée de α=30°\alpha = 30° par rapport à B⃗\vec{B}.

  1. F=BILsin⁡αF = B I L \sin\alpha
  2. ==0,50×3,0×0,20×sin⁡30°0{,}50 \times 3{,}0 \times 0{,}20 \times \sin 30°
  3. ==0,30×0,50{,}30 \times 0{,}5
  4. ==0,15 N0{,}15\ \text{N}

La force est deux fois plus faible que dans le cas perpendiculaire : c'est bien le facteur sin⁡α\sin\alpha qui en rend compte.

5.3  Direction et sens : la règle des trois doigts

Méthode — la règle des trois doigts de la main droite

On écarte le pouce, l'index et le majeur de la main droite de façon à former un trièdre (trois directions deux à deux perpendiculaires) :

  • le pouce indique le sens du courant II ;
  • l'index indique le sens du champ B⃗\vec{B} ;
  • le majeur indique alors le sens de la force de Laplace F⃗\vec{F}.
La règle des trois doigts de la main droite main droite Pouce → I Index → B Majeur → F Les trois directions sont mutuellement perpendiculaires
Figure 6 — Règle des trois doigts : pouce (I), index (B), majeur (F). La force est toujours perpendiculaire au plan formé par le courant et le champ.
Attention

Il faut utiliser la main droite uniquement (jamais la main gauche), et respecter l'ordre pouce–index–majeur = I–B–F. Une erreur d'ordre ou de main inverse complètement le sens trouvé pour F⃗\vec{F}.

Physique & Co — Pierre-Simon de Laplace, le mathématicien de la force

En 1820, à peine informés de la découverte d'Ørsted, les physiciens français Jean-Baptiste Biot et Félix Savart mesurent expérimentalement la force qu'un courant exerce sur une aiguille aimantée. C'est leur collègue, le grand mathématicien Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), déjà célèbre pour ses travaux de mécanique céleste, qui leur suggère la forme mathématique précise de cette loi, à partir de leurs mesures.

En hommage à cette contribution décisive, les physiciens francophones ont donné son nom à la force exercée par un champ magnétique sur un courant : la force de Laplace, socle de tous les moteurs électriques actuels.

6Applications : haut-parleur, moteur, galvanomètre

6.1  Le moteur à courant continu

Un moteur électrique élémentaire est formé d'un cadre rectangulaire (une spire), libre de tourner autour d'un axe, placé dans le champ uniforme d'un aimant. Les deux côtés du cadre parallèles à l'axe sont parcourus par le courant en sens opposés : ils subissent donc des forces de Laplace de sens opposés, qui forment un couple et font tourner le cadre.

Principe du moteur à courant continu (vue selon l'axe de rotation) N S B F F rotation collecteur (balais + bagues coupées) : inverse I chaque demi-tour
Figure 7 — À l'instant représenté, le côté ⊙ subit une force vers le haut, le côté ⊗ une force vers le bas : le couple fait tourner le cadre. Le collecteur inverse le courant à chaque demi-tour pour que le couple garde toujours le même sens.
Propriété — couple moteur maximal

Lorsque le plan du cadre est parallèle à B⃗\vec{B} (position représentée), le moment du couple de Laplace est maximal et vaut :

Γmax⁡=B I S\Gamma_{\max} = B\,I\,S

où SS est l'aire du cadre (en m2\text{m}^2), II l'intensité du courant et BB le champ. Sans le collecteur (ou commutateur), qui inverse le sens du courant dans le cadre à chaque demi-tour, le couple s'annulerait puis changerait de sens : le cadre oscillerait au lieu de tourner continûment.

Exemple — couple d'un petit moteur

Un cadre de longueur L=8,0 cmL = 8{,}0\ \text{cm} et de largeur a=6,0 cma = 6{,}0\ \text{cm} est parcouru par I=1,5 AI = 1{,}5\ \text{A} dans un champ B=0,40 TB = 0{,}40\ \text{T}.

  1. S=L×a=0,080×0,060S = L \times a = 0{,}080 \times 0{,}060
  2. ==4,8×10−3 m24{,}8 \times 10^{-3}\ \text{m}^2
  3. Γmax⁡=BIS=0,40×1,5×4,8×10−3\Gamma_{\max} = B I S = 0{,}40 \times 1{,}5 \times 4{,}8 \times 10^{-3}
  4. ≈\approx2,9×10−3 N⋅m2{,}9 \times 10^{-3}\ \text{N·m}

6.2  Le haut-parleur électrodynamique

Un haut-parleur comporte une bobine mobile (la « bobine acoustique »), solidaire de la membrane, placée dans l'entrefer d'un aimant permanent qui crée un champ radial intense. Le courant électrique variable issu de l'amplificateur traverse la bobine : la force de Laplace qui en résulte est donc elle aussi variable, ce qui met la bobine — et la membrane qui lui est fixée — en vibration. C'est cette vibration, transmise à l'air, que ton oreille perçoit comme un son.

Exemple — force sur la bobine d'un haut-parleur

La bobine d'un haut-parleur comporte N=60N = 60 spires de rayon r=1,2 cmr = 1{,}2\ \text{cm}, plongées dans un champ radial B=0,80 TB = 0{,}80\ \text{T}. À un instant donné, elle est parcourue par I=0,50 AI = 0{,}50\ \text{A}.

  1. longueur totale de fil dans le champ : L=N×2πrL = N \times 2\pi r
  2. ==60×2π×0,012≈4,52 m60 \times 2\pi \times 0{,}012 \approx 4{,}52\ \text{m}
  3. F=BIL=0,80×0,50×4,52F = B I L = 0{,}80 \times 0{,}50 \times 4{,}52
  4. ≈\approx1,8 N1{,}8\ \text{N}

6.3  Galvanomètre et balance de Cotton

Un galvanomètre mesure de faibles courants grâce à un petit cadre mobile, placé dans le champ d'un aimant permanent et rappelé par un ressort spiral. Le courant à mesurer traverse le cadre : le couple de Laplace le fait dévier jusqu'à ce qu'il soit exactement équilibré par le couple de rappel du ressort. La déviation de l'aiguille, à l'équilibre, est proportionnelle à l'intensité du courant.

Méthode — la balance de Cotton

La balance de Cotton est un fléau : d'un côté, une tige horizontale de longueur LL, parcourue par II, plongée dans le champ BB à mesurer ; de l'autre, un plateau que l'on charge de masses marquées jusqu'à l'équilibre. À l'équilibre, les moments des deux forces par rapport à l'axe du fléau se compensent :

F×d1=P×d2soitB I L×d1=m g×d2F \times d_1 = P \times d_2 \quad \text{soit} \quad B\,I\,L \times d_1 = m\,g \times d_2

Cette relation permet de déterminer BB (ou II) à partir d'une simple pesée.

Exemple — mesurer B avec une balance de Cotton

Sur une balance de Cotton, d1=d2d_1 = d_2 (bras égaux), la tige a une longueur L=10 cmL = 10\ \text{cm} et porte I=2,0 AI = 2{,}0\ \text{A}. L'équilibre est obtenu avec une masse m=4,0 gm = 4{,}0\ \text{g}, avec g=9,8 m⋅s−2g = 9{,}8\ \text{m·s}^{-2}.

  1. d1=d2⇒F=P=mgd_1 = d_2 \Rightarrow F = P = m g
  2. F=4,0×10−3×9,8=3,92×10−2 NF = 4{,}0 \times 10^{-3} \times 9{,}8 = 3{,}92 \times 10^{-2}\ \text{N}
  3. F=BIL⇒B=FILF = B I L \Rightarrow B = \dfrac{F}{IL}
  4. ==3,92×10−22,0×0,10\dfrac{3{,}92 \times 10^{-2}}{2{,}0 \times 0{,}10}
  5. ==0,196≈0,20 T0{,}196 \approx 0{,}20\ \text{T}
Physique & Co — Zénobe Gramme et la naissance du moteur industriel

En 1871, l'ingénieur belge Zénobe Gramme (1826–1901) met au point à Paris une machine à courant continu bien plus efficace que ses devancières : la dynamo de Gramme. En 1873, à l'Exposition universelle de Vienne, un technicien commet une erreur de branchement en reliant deux dynamos Gramme entre elles : l'une d'elles, alimentée par l'autre, se met alors à tourner comme un moteur ! La réversibilité entre génératrice et moteur électrique venait d'être démontrée en public, ouvrant la voie à la traction électrique industrielle.

Fiche mémo

  • Aimant : pôles N/S ; pôles de même nom se repoussent, de noms contraires s'attirent.
  • Ligne de champ : tangente à B⃗\vec{B} en tout point, orientée de N vers S à l'extérieur de l'aimant.
  • Champ uniforme : lignes parallèles, équidistantes, même sens (entrefer d'un U, intérieur d'un solénoïde).
  • B⃗\vec{B} : direction et sens donnés par une boussole ; valeur BB en tesla (T\text{T}).
  • Fil rectiligne : B=μ0I2πdB = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} ; sens par la règle de la main droite (bonhomme d'Ampère).
  • Spire : B=μ0I2RB = \dfrac{\mu_0 I}{2R} au centre.
  • Solénoïde : B=μ0nIB = \mu_0 n I, avec n=NLn = \dfrac{N}{L} ; faces N/S par la règle de la main droite.
  • Force de Laplace : F=BILsin⁡αF = B I L \sin\alpha ; F⃗⊥I⃗\vec{F} \perp \vec{I} et F⃗⊥B⃗\vec{F} \perp \vec{B}, sens par la règle des trois doigts (pouce I, index B, majeur F).
  • Rail de Laplace : la barre glisse ; F change de sens si I ou B s'inverse, F double si I ou B double.
  • Moteur CC : couple Γmax⁡=BIS\Gamma_{\max} = B I S ; le collecteur inverse I chaque demi-tour.
  • Haut-parleur : bobine mobile + aimant ; un courant variable crée une force variable, donc une vibration.
  • Galvanomètre / balance de Cotton : équilibre entre l'effet du courant (couple ou force de Laplace) et un couple de rappel (ressort) ou un poids.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule le champ magnétique créé par un fil rectiligne parcouru par un courant I=15 AI = 15\ \text{A}, à une distance d=10 cmd = 10\ \text{cm} du fil (μ0=4π×10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{T·m·A}^{-1}).

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  1. d=0,10 md = 0{,}10\ \text{m}
  2. B=μ0I2πd=4π×10−7×152π×0,10B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} = \dfrac{4\pi \times 10^{-7} \times 15}{2\pi \times 0{,}10}
  3. ==6×10−60,20\dfrac{6 \times 10^{-6}}{0{,}20}les π\pi se simplifient
  4. ==3,0×10−5 T=30 μT3{,}0 \times 10^{-5}\ \text{T} = 30\ \mu\text{T}
2

Une bobine compte N=500N = 500 spires réparties sur L=25 cmL = 25\ \text{cm}, parcourue par I=1,5 AI = 1{,}5\ \text{A}. Calcule le champ BB en son intérieur.

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  1. L=0,25 mL = 0{,}25\ \text{m}
  2. n=NL=5000,25=2 000 m−1n = \dfrac{N}{L} = \dfrac{500}{0{,}25} = 2\,000\ \text{m}^{-1}
  3. B=μ0nI=4π×10−7×2 000×1,5B = \mu_0 n I = 4\pi \times 10^{-7} \times 2\,000 \times 1{,}5
  4. ==12 000π×10−7 T12\,000\pi \times 10^{-7}\ \text{T}
  5. ≈\approx3,8×10−3 T3{,}8 \times 10^{-3}\ \text{T}
3

Une tige de longueur L=0,50 mL = 0{,}50\ \text{m}, parcourue par I=4,0 AI = 4{,}0\ \text{A}, est perpendiculaire à un champ B=0,30 TB = 0{,}30\ \text{T}. Calcule la force de Laplace qu'elle subit.

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  1. α=90°\alpha = 90° donc sin⁡α=1\sin\alpha = 1
  2. F=BIL=0,30×4,0×0,50F = B I L = 0{,}30 \times 4{,}0 \times 0{,}50
  3. ==0,60 N0{,}60\ \text{N}
4

On observe un fil vertical de dessus (la feuille représente le plan horizontal, le Nord vers le haut) : le courant y circule vers le haut, donc il sort de la page pour l'observateur. Une boussole est posée à l'Est du fil. Vers quelle direction pointe son aiguille ?

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Le courant sort de la page : par la règle de la main droite (pouce vers soi), les lignes de champ tournent dans le sens antihoraire (trigonométrique) autour du fil. Au point situé à l'Est du fil, la tangente au cercle, orientée dans le sens antihoraire, pointe vers le haut de la feuille, c'est-à-dire vers le Nord.

L'aiguille de la boussole pointe donc vers le Nord.

5

Un conducteur horizontal, orienté vers l'Est, est parcouru par un courant. Il est plongé dans un champ magnétique B⃗\vec{B} vertical, dirigé vers le haut. Détermine, à l'aide de la règle des trois doigts, le sens de la force de Laplace.

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On place le pouce de la main droite vers l'Est (sens de II), l'index vers le haut (sens de B⃗\vec{B}). Le majeur, perpendiculaire aux deux, pointe alors horizontalement vers le Sud.

La force de Laplace est donc horizontale, dirigée vers le Sud.

Niveau 2 — Approfondissement
6

Deux fils rectilignes parallèles, distants de 20 cm20\ \text{cm}, sont parcourus par des courants de même sens, I1=I2=8,0 AI_1 = I_2 = 8{,}0\ \text{A}. Calcule le champ magnétique résultant au point M, situé sur la droite joignant les deux fils, à 10 cm10\ \text{cm} de chacun.

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M est à égale distance des deux fils : les deux champs B1⃗\vec{B_1} et B2⃗\vec{B_2} ont donc la même valeur.

  1. B1=B2=μ0I2π×0,10B_1 = B_2 = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi \times 0{,}10}
  2. ==4π×10−7×8,02π×0,10\dfrac{4\pi \times 10^{-7} \times 8{,}0}{2\pi \times 0{,}10}
  3. ==1,6×10−5 T1{,}6 \times 10^{-5}\ \text{T}

Comme les deux courants ont le même sens, la règle de la main droite montre qu'en M, situé « à droite » du fil 1 et « à gauche » du fil 2, B1⃗\vec{B_1} et B2⃗\vec{B_2} sont opposés. Comme B1=B2B_1 = B_2, le champ résultant en M est nul : B⃗=0⃗\vec{B} = \vec{0}.

7

Une tige de longueur L=15 cmL = 15\ \text{cm}, plongée perpendiculairement dans un champ B=0,25 TB = 0{,}25\ \text{T}, doit subir une force F=0,60 NF = 0{,}60\ \text{N}. Quelle intensité de courant doit la traverser ?

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  1. F=BIL⇒I=FBLF = B I L \Rightarrow I = \dfrac{F}{B L}
  2. ==0,600,25×0,15\dfrac{0{,}60}{0{,}25 \times 0{,}15}
  3. ==0,600,0375\dfrac{0{,}60}{0{,}0375}
  4. ==16 A16\ \text{A}
8

Sur un rail de Laplace, une barre de masse m=15 gm = 15\ \text{g} glisse sans frottement, parcourue par I=5,0 AI = 5{,}0\ \text{A}, dans un champ B=0,40 TB = 0{,}40\ \text{T} perpendiculaire, entre des rails espacés de L=12 cmL = 12\ \text{cm}. Calcule l'accélération initiale de la barre.

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  1. F=BIL=0,40×5,0×0,12F = B I L = 0{,}40 \times 5{,}0 \times 0{,}12
  2. ==0,24 N0{,}24\ \text{N}
  3. m=15 g=0,015 kgm = 15\ \text{g} = 0{,}015\ \text{kg}
  4. F=ma⇒a=Fm=0,240,015F = m a \Rightarrow a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{0{,}24}{0{,}015}
  5. ==16 m⋅s−216\ \text{m·s}^{-2}
9

Avec un même fil de 6,28 m6{,}28\ \text{m}, on forme soit (a) une seule spire de rayon R=1,0 mR = 1{,}0\ \text{m}, soit (b) un solénoïde de N=10N = 10 spires réparties sur L=8,0 cmL = 8{,}0\ \text{cm}. Le même courant I=2,0 AI = 2{,}0\ \text{A} circule dans les deux cas. Compare les champs obtenus au centre de chacun.

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Cas (a), spire seule :

  1. Ba=μ0I2R=4π×10−7×2,02×1,0B_a = \dfrac{\mu_0 I}{2R} = \dfrac{4\pi \times 10^{-7} \times 2{,}0}{2 \times 1{,}0}
  2. ≈\approx1,3×10−6 T1{,}3 \times 10^{-6}\ \text{T}

Cas (b), solénoïde :

  1. n=NL=100,080=125 m−1n = \dfrac{N}{L} = \dfrac{10}{0{,}080} = 125\ \text{m}^{-1}
  2. Bb=μ0nI=4π×10−7×125×2,0B_b = \mu_0 n I = 4\pi \times 10^{-7} \times 125 \times 2{,}0
  3. ≈\approx3,1×10−4 T3{,}1 \times 10^{-4}\ \text{T}

Le rapport Bb/Ba≈250B_b / B_a \approx 250 : à longueur de fil égale, concentrer les spires (solénoïde court et dense) crée un champ bien plus intense qu'une unique grande spire.

Niveau 3 — Défi
10

Un cadre rectangulaire, de longueur L=10 cmL = 10\ \text{cm} (parallèle à l'axe) et de largeur a=6,0 cma = 6{,}0\ \text{cm}, plongé dans un champ B=0,50 TB = 0{,}50\ \text{T}, doit fournir un couple moteur maximal Γ=1,8×10−2 N⋅m\Gamma = 1{,}8 \times 10^{-2}\ \text{N·m}.

  1. Calcule l'aire SS du cadre.
  2. Détermine l'intensité II nécessaire pour une seule spire.
  3. La bobine réelle comporte en fait N=20N = 20 spires identiques. Quelle intensité suffit désormais pour obtenir le même couple ?
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1.

  1. S=L×a=0,10×0,060S = L \times a = 0{,}10 \times 0{,}060
  2. ==6,0×10−3 m26{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m}^2

2. Pour une seule spire, Γ=BIS\Gamma = B I S.

  1. I=ΓBS=1,8×10−20,50×6,0×10−3I = \dfrac{\Gamma}{B S} = \dfrac{1{,}8 \times 10^{-2}}{0{,}50 \times 6{,}0 \times 10^{-3}}
  2. ==1,8×10−23,0×10−3\dfrac{1{,}8 \times 10^{-2}}{3{,}0 \times 10^{-3}}
  3. ==6,0 A6{,}0\ \text{A}

3. Avec NN spires, chacune apporte le même couple : Γ=NBIS\Gamma = N B I S, donc l'intensité nécessaire est divisée par NN.

  1. I′=ΓNBS=6,020I' = \dfrac{\Gamma}{N B S} = \dfrac{6{,}0}{20}
  2. ==0,30 A0{,}30\ \text{A}

Multiplier le nombre de spires par 20 divise par 20 le courant nécessaire : c'est tout l'intérêt d'une bobine à plusieurs spires.

11

Sur une balance de Cotton, le bras portant la tige (L=8,0 cmL = 8{,}0\ \text{cm}, I=3,0 AI = 3{,}0\ \text{A}, plongée dans un champ BB inconnu) mesure d1=5,0 cmd_1 = 5{,}0\ \text{cm} ; le bras portant le plateau à masses mesure d2=8,0 cmd_2 = 8{,}0\ \text{cm}. L'équilibre est obtenu avec m=2,5 gm = 2{,}5\ \text{g} (g=9,8 m⋅s−2g = 9{,}8\ \text{m·s}^{-2}). Détermine BB.

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À l'équilibre du fléau, les moments des deux forces par rapport à l'axe se compensent : Fd1=Pd2F d_1 = P d_2, avec F=BILF = B I L et P=mgP = m g.

  1. BIL d1=mg d2B I L\,d_1 = m g\,d_2
  2. ⇒\RightarrowB=mg d2IL d1B = \dfrac{m g\,d_2}{I L\,d_1}
  3. mg=2,5×10−3×9,8=2,45×10−2 Nm g = 2{,}5 \times 10^{-3} \times 9{,}8 = 2{,}45 \times 10^{-2}\ \text{N}
  4. B=2,45×10−2×0,0803,0×0,080×0,050B = \dfrac{2{,}45 \times 10^{-2} \times 0{,}080}{3{,}0 \times 0{,}080 \times 0{,}050}
  5. ==1,96×10−31,2×10−2\dfrac{1{,}96 \times 10^{-3}}{1{,}2 \times 10^{-2}}
  6. ≈\approx0,16 T0{,}16\ \text{T}
12

Démontre, par analyse dimensionnelle, que la formule B=μ0I2πdB = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} est homogène à un champ magnétique exprimé en tesla, sachant que [μ0]=T⋅m⋅A−1[\mu_0] = \text{T·m·A}^{-1}.

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Le facteur 2π2\pi est un nombre sans dimension ; il n'intervient pas dans l'analyse.

  1. [μ0]=T⋅m⋅A−1[\mu_0] = \text{T·m·A}^{-1}
  2. [I]=A[I] = \text{A}
  3. [d]=m[d] = \text{m}
  4. ⇒\Rightarrow[μ0I2πd]=T⋅m⋅A−1×Am\left[\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}\right] = \dfrac{\text{T·m·A}^{-1} \times \text{A}}{\text{m}}
  5. ==T⋅mm\dfrac{\text{T·m}}{\text{m}}les ampères se simplifient
  6. ==T\text{T}les mètres se simplifient

La formule est bien homogène à un champ magnétique exprimé en tesla. C.Q.F.D.

13

Un solénoïde de N=1 000N = 1\,000 spires, de longueur L=50 cmL = 50\ \text{cm}, est parcouru par I1=3,0 AI_1 = 3{,}0\ \text{A}. Un fil rectiligne de longueur ℓ=4,0 cm\ell = 4{,}0\ \text{cm}, parcouru par I2=0,80 AI_2 = 0{,}80\ \text{A}, est placé à l'intérieur, perpendiculairement à l'axe du solénoïde.

  1. Calcule le champ BB créé par le solénoïde.
  2. Calcule la force de Laplace subie par le fil.
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1.

  1. n=NL=1 0000,50=2 000 m−1n = \dfrac{N}{L} = \dfrac{1\,000}{0{,}50} = 2\,000\ \text{m}^{-1}
  2. B=μ0nI1=4π×10−7×2 000×3,0B = \mu_0 n I_1 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2\,000 \times 3{,}0
  3. ≈\approx7,5×10−3 T7{,}5 \times 10^{-3}\ \text{T}

2. Le fil est perpendiculaire à B⃗\vec{B}, donc sin⁡α=1\sin\alpha = 1.

  1. F=BI2ℓ=7,5×10−3×0,80×0,040F = B I_2 \ell = 7{,}5 \times 10^{-3} \times 0{,}80 \times 0{,}040
  2. ≈\approx2,4×10−4 N2{,}4 \times 10^{-4}\ \text{N}
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Sonorisation à Dakar. Un technicien installe une enceinte dont la bobine mobile comporte N=45N = 45 spires de rayon r=1,0 cmr = 1{,}0\ \text{cm}, dans un entrefer où B=0,60 TB = 0{,}60\ \text{T}. Le courant de crête délivré par l'amplificateur vaut I=1,2 AI = 1{,}2\ \text{A}.

  1. Calcule la longueur utile de fil LL dans le champ.
  2. Calcule la force de Laplace de crête sur la bobine.
  3. Si l'on double le nombre de spires (même rayon, même courant), que devient cette force ?
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1.

  1. L=N×2πr=45×2π×0,010L = N \times 2\pi r = 45 \times 2\pi \times 0{,}010
  2. ≈\approx2,8 m2{,}8\ \text{m}

2.

  1. F=BIL=0,60×1,2×2,8F = B I L = 0{,}60 \times 1{,}2 \times 2{,}8
  2. ≈\approx2,0 N2{,}0\ \text{N}

3. FF est proportionnelle à LL, donc à NN : doubler NN double FF, soit F′≈4,1 NF' \approx 4{,}1\ \text{N}. C'est pourquoi les enceintes puissantes utilisent des bobines à nombreuses spires.

15

Pompe solaire à Ndjamena. Une pompe à eau alimentée par panneau solaire est entraînée par un petit moteur à courant continu dont le rotor a une aire S=1,2×10−2 m2S = 1{,}2 \times 10^{-2}\ \text{m}^2, comporte N=30N = 30 spires, plongées dans un champ B=0,35 TB = 0{,}35\ \text{T}, parcourues par I=2,5 AI = 2{,}5\ \text{A}.

  1. Calcule le couple moteur maximal disponible.
  2. La pompe exige un couple minimal de 0,20 N⋅m0{,}20\ \text{N·m} pour démarrer. Ce moteur peut-il l'entraîner ?
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1.

  1. Γmax⁡=NBIS\Gamma_{\max} = N B I S
  2. ==30×0,35×2,5×1,2×10−230 \times 0{,}35 \times 2{,}5 \times 1{,}2 \times 10^{-2}
  3. ==0,315 N⋅m0{,}315\ \text{N·m}

2. 0,315 N⋅m>0,20 N⋅m0{,}315\ \text{N·m} > 0{,}20\ \text{N·m} : le couple disponible dépasse le couple exigé. Le moteur peut donc démarrer la pompe, avec même une marge confortable.

16

Ligne électrique à Abidjan. Un câble aérien transporte un courant I=200 AI = 200\ \text{A}. Une boussole de randonnée dévie visiblement dès que le champ dépasse 1,0×10−6 T1{,}0 \times 10^{-6}\ \text{T}. À partir de quelle distance minimale du câble la boussole n'est-elle plus perturbée ?

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Il faut que B=μ0I2πd⩽1,0×10−6 TB = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} \leqslant 1{,}0 \times 10^{-6}\ \text{T}, donc d⩾μ0I2π×1,0×10−6d \geqslant \dfrac{\mu_0 I}{2\pi \times 1{,}0 \times 10^{-6}}.

  1. μ0I=4π×10−7×200=8×102×π×10−7\mu_0 I = 4\pi \times 10^{-7} \times 200 = 8 \times 10^{2} \times \pi \times 10^{-7}
  2. ==8π×10−58\pi \times 10^{-5}
  3. dmin⁡=8π×10−52π×10−6d_{\min} = \dfrac{8\pi \times 10^{-5}}{2\pi \times 10^{-6}}
  4. ==8×10−52×10−6\dfrac{8 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-6}}les π\pi se simplifient
  5. ==40 m40\ \text{m}

Il faut s'éloigner d'au moins 40 m du câble pour que la boussole retrouve un fonctionnement fiable.

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Deux pôles magnétiques de même nom (N–N ou S–S), placés en présence l'un de l'autre :

Explication : Deux pôles de même nom se repoussent ; deux pôles de noms contraires s'attirent, à distance et sans contact.

Le vecteur champ magnétique B⃗\vec{B} est caractérisé par :

Explication : B⃗\vec{B} est un vecteur : il possède une direction (celle d'une boussole), un sens (indiqué par la pointe Nord de l'aiguille) et une valeur BB exprimée en tesla (T).

Une ligne de champ magnétique est une courbe telle que :

Explication : Par définition, une ligne de champ est une courbe orientée telle qu'en chaque point le vecteur B⃗\vec{B} lui est tangent, dans le sens de la ligne.

À l'extérieur d'un aimant droit, les lignes de champ sont orientées :

Explication : Par convention, à l'extérieur de l'aimant, les lignes de champ sortent du pôle Nord et entrent par le pôle Sud ; à l'intérieur de la matière aimantée, elles se referment de S vers N.

Un champ magnétique est dit uniforme dans une région lorsque :

Explication : Un champ uniforme a un vecteur B⃗\vec{B} identique en tout point de la région considérée ; ses lignes de champ sont alors des droites parallèles et équidistantes (entrefer d'un aimant en U, intérieur d'un solénoïde).

La formule donnant le champ magnétique créé par un fil rectiligne infini, à une distance dd, est :

Explication : Le champ créé par un fil rectiligne infini à la distance dd vaut B=μ0I2πdB=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}, avec μ0=4π×10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T·m·A}^{-1}.

Un câble transporte I=10 AI=10\ \text{A}. Le champ magnétique qu'il crée à d=5 cmd=5\ \text{cm} (μ0=4π×10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T·m·A}^{-1}) vaut :

Explication : d=0,05 md=0{,}05\ \text{m}
B=4π×10−7×102π×0,05=4×10−60,1B=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times10}{2\pi\times0{,}05}=\dfrac{4\times10^{-6}}{0{,}1}
=4×10−5 T=4\times10^{-5}\ \text{T}. Il faut impérativement convertir dd en mètres.

La règle de la main droite pour trouver le sens de B⃗\vec{B} autour d'un fil consiste à :

Explication : C'est la règle du « bonhomme d'Ampère » : main droite, pouce dans le sens de II, les doigts repliés autour du fil indiquent le sens des lignes de champ circulaires.

Au centre d'une spire circulaire de rayon RR parcourue par II, le champ magnétique vaut :

Explication : Le champ au centre d'une spire circulaire de rayon RR est B=μ0I2RB=\dfrac{\mu_0 I}{2R}, à ne pas confondre avec la formule du fil rectiligne.

À l'intérieur d'un solénoïde long, le champ magnétique uniforme vaut B=μ0nIB=\mu_0 n I, où nn désigne :

Explication : n=NLn=\dfrac{N}{L} est le nombre de spires par unité de longueur (en m−1\text{m}^{-1}), où NN est le nombre total de spires et LL la longueur du solénoïde.

Une bobine compte N=800N=800 spires sur L=40 cmL=40\ \text{cm}, parcourue par I=2,0 AI=2{,}0\ \text{A}. Le champ à l'intérieur vaut approximativement :

Explication : n=8000,40=2 000 m−1n=\dfrac{800}{0{,}40}=2\,000\ \text{m}^{-1}
B=μ0nI=4π×10−7×2 000×2,0B=\mu_0 n I=4\pi\times10^{-7}\times2\,000\times2{,}0
≈5,0×10−3 T\approx5{,}0\times10^{-3}\ \text{T}.

Sur le rail de Laplace, la barre MN se met en mouvement dès que le courant circule parce qu'elle subit :

Explication : La barre subit la force de Laplace, exercée par le champ magnétique B⃗\vec{B} sur le courant qui la traverse ; c'est cette force, et non un contact mécanique, qui la met en mouvement.

La formule de la force de Laplace pour un conducteur rectiligne est :

Explication : F=BILsin⁡αF=BIL\sin\alpha, où α\alpha est l'angle entre le conducteur et B⃗\vec{B} : la force est maximale à α=90°\alpha=90° et nulle à α=0°\alpha=0°.

Une tige de L=20 cmL=20\ \text{cm}, parcourue par I=3,0 AI=3{,}0\ \text{A}, perpendiculaire à un champ B=0,50 TB=0{,}50\ \text{T}, subit une force de Laplace de :

Explication : sin⁡90°=1\sin90°=1
F=BIL=0,50×3,0×0,20F=BIL=0{,}50\times3{,}0\times0{,}20
=0,30 N=0{,}30\ \text{N}.

Dans la règle des trois doigts de la main droite, le majeur indique le sens :

Explication : Pouce → II, index → B⃗\vec{B}, majeur → F⃗\vec{F} : les trois directions sont mutuellement perpendiculaires. Attention, seule la main droite fonctionne.

Dans un moteur à courant continu, le rôle du collecteur (commutateur) est de :

Explication : Sans collecteur, le couple de Laplace s'annulerait puis changerait de sens à chaque demi-tour, faisant osciller le cadre au lieu de le faire tourner continûment.

Dans un haut-parleur électrodynamique, la membrane vibre parce que :

Explication : Le courant électrique variable traverse la bobine plongée dans le champ radial de l'aimant : la force de Laplace qui en résulte est variable, ce qui met la bobine et la membrane en vibration.

Deux fils parallèles distants de 20 cm20\ \text{cm}, parcourus par des courants de même sens I1=I2=8,0 AI_1=I_2=8{,}0\ \text{A}, créent au point M, situé à égale distance des deux fils sur la droite qui les joint, un champ résultant :

Explication : Les deux champs ont la même valeur B1=B2B_1=B_2 (M équidistant), mais des courants de même sens donnent, entre les deux fils, des champs de sens opposés : ils s'annulent, B⃗=0⃗\vec{B}=\vec{0}.

Sur une balance de Cotton à bras égaux (d1=d2d_1=d_2), une tige de L=10 cmL=10\ \text{cm} portant I=2,0 AI=2{,}0\ \text{A} est équilibrée par une masse m=4,0 gm=4{,}0\ \text{g} (g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}). Le champ magnétique BB mesuré vaut environ :

Explication : F=P=mg=4,0×10−3×9,8=3,92×10−2 NF=P=mg=4{,}0\times10^{-3}\times9{,}8=3{,}92\times10^{-2}\ \text{N}
B=FIL=3,92×10−22,0×0,10B=\dfrac{F}{IL}=\dfrac{3{,}92\times10^{-2}}{2{,}0\times0{,}10}
≈0,20 T\approx0{,}20\ \text{T}.

Une ligne électrique aérienne à Abidjan transporte I=200 AI=200\ \text{A}. Une boussole dévie visiblement dès que BB dépasse 1,0×10−6 T1{,}0\times10^{-6}\ \text{T}. La distance minimale à laquelle la boussole n'est plus perturbée est d'environ :

Explication : On résout B=μ0I2πd⩽1,0×10−6B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}\leqslant1{,}0\times10^{-6}
dmin⁡=μ0I2π×1,0×10−6=8π×10−52π×10−6d_{\min}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\times1{,}0\times10^{-6}}=\dfrac{8\pi\times10^{-5}}{2\pi\times10^{-6}}
=40 m=40\ \text{m}.
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