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Électrostatique : charges et champ électrique

Étudier les interactions entre charges et le champ électrique.

Physique Première Chapitre 5 / 9 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer une force de Coulomb
  • Représenter un champ électrique
  • Relier champ, tension et distance dans un condensateur plan

Frotte un stylo en plastique sur ta manche et approche-le de petits morceaux de papier : ils sautent vers le stylo. Ce tour de magie tout simple, tu l'as sans doute déjà fait sans le savoir — et il porte un nom : l'électrisation. Derrière ce phénomène se cache l'une des quatre interactions fondamentales de la physique, celle qui tient les atomes assemblés, qui fait fonctionner ton téléphone, et qui, à très grande échelle, déclenche les éclairs pendant l'orage.

Jusqu'ici, en physique, tu as surtout manipulé des forces « de contact » (poussée, frottement, tension d'un fil). L'électrostatique t'ouvre un autre monde : celui des forces à distance, qui agissent sans qu'il y ait le moindre contact entre deux objets. Deux charges électriques se repoussent ou s'attirent même séparées par du vide — exactement comme deux masses s'attirent par gravitation, mais avec une intensité prodigieusement plus grande.

Ce chapitre pose les bases indispensables à toute l'électricité que tu étudieras ensuite : d'où vient une charge électrique, comment elle interagit avec une autre (loi de Coulomb), comment on décrit son influence dans l'espace autour d'elle (le champ électrique), et ce qui se passe dans le cas particulier — mais essentiel en pratique — d'un condensateur plan. Tu verras aussi que ces notions ne sont pas que théoriques : le paratonnerre qui protège les immeubles de Dakar pendant la saison des pluies, le photocopieur de ton lycée, ou encore les dispositifs qui dépoussièrent l'air des cimenteries fonctionnent tous grâce à l'électrostatique.

Prends ton temps sur la loi de Coulomb et sur la définition du champ électrique : elles sont le socle sur lequel repose tout le reste. Une fois ces deux notions bien comprises, le condensateur plan, la tension et l'énergie potentielle électrique s'enchaîneront naturellement.

1Charges électriques et électrisation

Tout objet est fait d'atomes, eux-mêmes constitués d'un noyau (protons et neutrons) entouré d'électrons. À l'état normal, un objet possède autant de charges positives que de charges négatives : il est électriquement neutre. Électriser un objet, c'est simplement rompre cet équilibre.

1.1  Les trois modes d'électrisation

Définition

Électriser un corps, c'est lui faire acquérir une charge électrique non nulle, en créant un déséquilibre entre charges positives et charges négatives. On distingue trois modes d'électrisation.

Par frottement : en frottant deux matériaux isolants différents (verre et laine, plastique et tissu…), des électrons sont arrachés à l'un pour se fixer sur l'autre. Le corps qui a perdu des électrons se charge positivement, celui qui en a gagné se charge négativement.

Par contact : lorsqu'un corps chargé touche un corps neutre (tous deux conducteurs), une partie des charges en excès se répartit sur les deux corps, qui se retrouvent chargés du même signe.

Par influence (ou induction) : un corps chargé, approché — sans contact — d'un conducteur neutre, repousse les charges de même signe et attire celles de signe opposé à l'intérieur du conducteur. La face proche du conducteur se charge du signe opposé, la face éloignée du même signe que le corps inducteur. C'est ce principe qu'exploite le pendule électrostatique : une petite boule légère (sureau, polystyrène recouvert de peinture conductrice), suspendue à un fil isolant, est attirée par une tige chargée approchée à proximité, avant tout contact.

(a) tige éloignée +− −+ boule neutre, fil vertical (b) tige (+) approchée : attraction θ −− ++ + + + + + tige chargée attraction
Figure 1 — Pendule électrostatique. (a) Boule neutre, fil vertical, tant que la tige reste éloignée. (b) En approchant une tige chargée positivement, les charges négatives de la boule sont attirées vers la face proche : cette face devient négative, la face opposée reste positive. La boule, globalement neutre mais polarisée, est attirée par influence et le fil s'incline d'un angle θ\theta.
Attention

Dans l'électrisation par influence, la boule reste globalement neutre : il n'y a eu aucun transfert de charge, seulement une redistribution interne. C'est uniquement si la boule touche ensuite la tige qu'elle acquiert une charge réelle (par contact) et sera alors repoussée.

1.2  La charge électrique : quantification et conservation

Définition

La charge électrique qq d'un corps mesure son excès (ou son déficit) d'électrons par rapport à la neutralité. Elle s'exprime en coulomb, de symbole C\text{C}. La plus petite charge que l'on puisse isoler est la charge élémentaire :

e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}

L'électron porte la charge −e-e, le proton la charge +e+e.

Propriété — quantification et conservation de la charge

Toute charge qq portée par un corps est un multiple entier de la charge élémentaire :

q=n e(n∈Z)q = n\,e \qquad (n \in \mathbb{Z})

où nn est le nombre algébrique d'électrons en excès (n>0n>0) ou en défaut (n<0n<0). De plus, la charge électrique totale d'un système isolé se conserve : elle ne peut être ni créée ni détruite, seulement échangée d'un corps à l'autre.

Exemple — dénombrer les électrons échangés

Une règle en plastique frottée acquiert une charge q=−4,8×10−9 Cq = -4{,}8 \times 10^{-9}\ \text{C}. Combien d'électrons a-t-elle gagnés ?

  1. q=n e⇒n=qeq = n\,e \Rightarrow n = \dfrac{q}{e}
  2. n=−4,8×10−91,6×10−19n = \dfrac{-4{,}8 \times 10^{-9}}{1{,}6 \times 10^{-19}}
  3. ==−3,0×1010-3{,}0 \times 10^{10}négatif : la règle a gagné des électrons

La règle a gagné 3,0×10103{,}0 \times 10^{10} électrons — un nombre énorme, mais une masse totale dérisoire, invisible à l'échelle macroscopique.

Exemple — une tige devenue positive

Une tige de verre frottée avec de la soie perd 2,0×10102{,}0 \times 10^{10} électrons. Quelle est sa charge finale ?

  1. q=n eq = n\,en=+2,0×1010n = +2{,}0\times10^{10} : la tige a perdu des électrons, donc nn compte un déficit, q>0q>0
  2. ==2,0×1010×1,6×10−192{,}0 \times 10^{10} \times 1{,}6 \times 10^{-19}
  3. ==3,2×10−9 C3{,}2 \times 10^{-9}\ \text{C}
Physique & Co — Thalès et l'ambre jaune

Dès le VIe siècle avant notre ère, le philosophe grec Thalès de Milet observe qu'un morceau d'ambre (résine fossilisée) frotté avec de la fourrure attire de petits objets légers — brins de paille, plumes. Il ne dispose d'aucune explication, mais l'observation traverse les siècles.

C'est bien plus tard, en 1600, que le médecin anglais William Gilbert forge le mot « électrique », du grec elektron (ambre), pour désigner cette propriété. Il faudra ensuite attendre le XVIIIe siècle et les travaux de Benjamin Franklin pour comprendre qu'il existe deux espèces de charges, qu'il baptise « positive » et « négative ».

2Loi de Coulomb

Deux charges électriques exercent l'une sur l'autre une force, même en l'absence de tout contact. En 1785, le physicien français Charles-Augustin de Coulomb parvient, grâce à une balance de torsion d'une extrême sensibilité, à mesurer précisément cette force et à établir la loi qui porte désormais son nom.

2.1  Énoncé de la loi de Coulomb

Théorème — loi de Coulomb

Deux charges ponctuelles q1q_1 et q2q_2, immobiles dans le vide (ou l'air) et séparées d'une distance dd, exercent l'une sur l'autre des forces d'intensité :

F=k ∣q1∣ ∣q2∣d2F = k\,\dfrac{|q_1|\,|q_2|}{d^{2}}

avec k=9,0×109 N⋅m2⋅C−2k = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N·m}^{2}\text{·C}^{-2} la constante de Coulomb. Ces deux forces, opposées (troisième loi de Newton), sont dirigées selon la droite joignant les deux charges :

  • si q1q_1 et q2q_2 sont de même signe, les charges se repoussent ;
  • si q1q_1 et q2q_2 sont de signes opposés, les charges s'attirent.
(a) charges opposées : attraction +q₁ −q₂ F sur q₁ F sur q₂ d (b) charges de même signe : répulsion +q₁ +q₂ F sur q₁ F sur q₂ d
Figure 2 — Les deux forces de Coulomb, opposées et de même intensité, sont dirigées selon la droite joignant les charges : l'une vers l'autre charge (attraction, charges opposées), l'autre en s'en éloignant (répulsion, charges de même signe).
Attention

Dans la formule F=k∣q1∣∣q2∣d2F = k\dfrac{|q_1||q_2|}{d^{2}}, les valeurs absolues donnent uniquement l'intensité (toujours positive) de la force. Le signe du produit q1q2q_1 q_2 ne sert qu'à déterminer la nature — attractive ou répulsive — de l'interaction ; il ne s'introduit jamais directement dans un calcul d'intensité.

Exemple — calculer une force de Coulomb

Deux charges ponctuelles q1=+4,0 μCq_1 = +4{,}0\ \mu\text{C} et q2=−3,0 μCq_2 = -3{,}0\ \mu\text{C} sont séparées de d=20 cmd = 20\ \text{cm} dans l'air. Calcule l'intensité de la force qui s'exerce entre elles.

  1. F=k ∣q1∣ ∣q2∣d2F = k\,\dfrac{|q_1|\,|q_2|}{d^{2}}d=0,20 md = 0{,}20\ \text{m}
  2. ==9,0×109×4,0×10−6×3,0×10−6(0,20)29{,}0\times10^{9}\times\dfrac{4{,}0\times10^{-6}\times3{,}0\times10^{-6}}{(0{,}20)^{2}}
  3. ==9,0×109×1,2×10−114,0×10−29{,}0\times10^{9}\times\dfrac{1{,}2\times10^{-11}}{4{,}0\times10^{-2}}
  4. ==2,7 N2{,}7\ \text{N}charges de signes opposés : force attractive
Exemple — retrouver une distance

Deux charges identiques q=1,5 μCq = 1{,}5\ \mu\text{C} se repoussent avec une force F=0,90 NF = 0{,}90\ \text{N}. Quelle est la distance dd qui les sépare ?

  1. F=k q2d2⇒d2=k q2FF = k\,\dfrac{q^{2}}{d^{2}} \Rightarrow d^{2} = \dfrac{k\,q^{2}}{F}
  2. d2=9,0×109×(1,5×10−6)20,90d^{2} = \dfrac{9{,}0\times10^{9}\times(1{,}5\times10^{-6})^{2}}{0{,}90}
  3. ==2,25×10−2 m22{,}25\times10^{-2}\ \text{m}^{2}
  4. ⇒\Rightarrowd=2,25×10−2=0,15 m=15 cmd = \sqrt{2{,}25\times10^{-2}} = 0{,}15\ \text{m} = 15\ \text{cm}

2.2  Loi de Coulomb et loi de la gravitation universelle

Propriété — une même structure mathématique

La loi de Coulomb rappelle fortement la loi de la gravitation universelle F=Gm1m2d2F = G\dfrac{m_1 m_2}{d^{2}} : dans les deux cas, l'intensité de la force décroît comme l'inverse du carré de la distance. Mais deux différences majeures les séparent :

  • la gravitation est toujours attractive (les masses sont toujours positives), alors que la force électrique peut être attractive ou répulsive ;
  • la constante k=9,0×109 N⋅m2⋅C−2k = 9{,}0\times10^{9}\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2} est immensément plus grande que G=6,67×10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2} : à l'échelle de l'atome, la force électrique domine la gravitation par un facteur proche de 103910^{39} (voir l'exercice 9).
Physique & Co — la balance de torsion de Coulomb (1785)

Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), officier du génie devenu physicien, met au point un instrument d'une précision inédite pour l'époque : une balance de torsion, où un fin fil de métal, en se tordant, mesure des forces minuscules par l'angle de rotation qu'elles provoquent.

En 1785, dans son mémoire Premier mémoire sur l'électricité et le magnétisme, il établit expérimentalement que la force entre deux petites sphères chargées varie comme l'inverse du carré de leur distance — exactement la même forme que la loi de gravitation de Newton, établie un siècle plus tôt. L'unité de charge électrique, le coulomb (C), est nommée en son honneur en 1881, lors du premier Congrès international des électriciens.

3Champ électrique et lignes de champ

La loi de Coulomb décrit une interaction entre deux charges. Mais on souhaite souvent décrire l'effet d'une charge (ou d'un ensemble de charges) en tout point de l'espace qui l'entoure, sans avoir à préciser à l'avance quelle charge « test » on y placera. C'est tout l'intérêt de la notion de champ électrique.

3.1  Définition du champ électrique

Définition

Une charge (ou un ensemble de charges) crée, en tout point MM de l'espace qui l'entoure, un champ électrique E⃗(M)\vec{E}(M). Si une charge ponctuelle qq placée en MM subit une force électrique F⃗\vec{F}, le champ électrique en MM est défini par :

E⃗(M)=F⃗q\vec{E}(M) = \dfrac{\vec{F}}{q}

Le champ électrique s'exprime en volt par mètre (V⋅m−1\text{V·m}^{-1}), unité équivalente au newton par coulomb (N⋅C−1\text{N·C}^{-1}).

Le champ E⃗(M)\vec{E}(M) ne dépend que des charges qui le créent et de la position de MM — jamais de la charge qq qu'on y placerait éventuellement pour le « sonder ». Une fois E⃗(M)\vec{E}(M) connu, on retrouve immédiatement la force sur n'importe quelle charge qq placée en MM : F⃗=q E⃗(M)\vec{F} = q\,\vec{E}(M).

Attention

Si qq est négative, la force F⃗=qE⃗\vec{F} = q\vec{E} est de sens opposé au champ E⃗\vec{E}. Ne confonds jamais la direction du champ en un point avec la direction de la force qui s'exercerait sur une charge négative placée en ce point.

3.2  Champ créé par une charge ponctuelle

Propriété

Une charge ponctuelle QQ crée, en un point MM situé à la distance dd, un champ électrique d'intensité :

E=k ∣Q∣d2E = k\,\dfrac{|Q|}{d^{2}}

dirigé selon la droite (QM)(QM), en s'éloignant de QQ si Q>0Q>0, et en pointant vers QQ si Q<0Q<0.

Démonstration

Plaçons en MM une charge test q0q_0, à la distance dd de QQ. D'après la loi de Coulomb, la force qu'elle subit a pour intensité :

  1. F=k ∣Q∣ ∣q0∣d2F = k\,\dfrac{|Q|\,|q_0|}{d^{2}}

Or, par définition du champ électrique, E=Fq0E = \dfrac{F}{q_0} (en intensité, E=F∣q0∣E = \dfrac{F}{|q_0|}). En substituant :

  1. E=F∣q0∣=1∣q0∣×k ∣Q∣ ∣q0∣d2E = \dfrac{F}{|q_0|} = \dfrac{1}{|q_0|} \times k\,\dfrac{|Q|\,|q_0|}{d^{2}}
  2. ==k ∣Q∣d2k\,\dfrac{|Q|}{d^{2}}∣q0∣|q_0| se simplifie : le résultat ne dépend plus de la charge test

Le champ ne dépend donc bien que de QQ et de dd, jamais de la charge test utilisée pour le mesurer. C.Q.F.D.

Exemple — champ créé par une charge ponctuelle

Calcule le champ électrique créé par Q=+5,0×10−8 CQ = +5{,}0\times10^{-8}\ \text{C} à d=10 cmd = 10\ \text{cm}.

  1. E=k ∣Q∣d2E = k\,\dfrac{|Q|}{d^{2}}
  2. ==9,0×109×5,0×10−8(0,10)29{,}0\times10^{9}\times\dfrac{5{,}0\times10^{-8}}{(0{,}10)^{2}}
  3. ==9,0×109×5,0×10−81,0×10−29{,}0\times10^{9}\times\dfrac{5{,}0\times10^{-8}}{1{,}0\times10^{-2}}
  4. ==4,5×104 V⋅m−14{,}5\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}

QQ étant positive, ce champ pointe en MM en s'éloignant radialement de QQ.

Exemple — force sur une charge placée dans un champ

Une charge q=2,0 μCq = 2{,}0\ \mu\text{C} est placée dans un champ uniforme E=1,5×104 V⋅m−1E = 1{,}5\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}. Calcule l'intensité de la force qu'elle subit.

  1. F=∣q∣ EF = |q|\,E
  2. ==2,0×10−6×1,5×1042{,}0\times10^{-6}\times1{,}5\times10^{4}
  3. ==3,0×10−2 N3{,}0\times10^{-2}\ \text{N}q>0q>0 : la force est dans le sens du champ

3.3  Lignes de champ

Définition

Une ligne de champ est une courbe orientée, tangente en chaque point au vecteur champ électrique E⃗\vec{E}, et orientée dans le sens de ce vecteur. L'ensemble des lignes de champ forme le spectre du champ électrique.

Pour une charge ponctuelle, les lignes de champ sont des demi-droites radiales, dirigées vers l'extérieur si la charge est positive, vers l'intérieur si elle est négative. Pour un système de deux charges opposées — un dipôle — les lignes de champ s'incurvent : elles partent toutes de la charge positive et se referment toutes sur la charge négative.

(a) charge ponctuelle +Q +Q lignes radiales, divergentes (b) dipôle (+Q ; −Q) +Q −Q lignes courbes, de + vers −
Figure 3 — Spectre des lignes de champ. (a) Charge ponctuelle positive : lignes radiales divergentes. (b) Dipôle électrique : les lignes partent de +Q+Q et se referment sur −Q-Q, resserrées — donc le champ y est plus intense — au voisinage immédiat de chaque charge.
Propriété — règles de construction des lignes de champ
  • Les lignes de champ ne se croisent jamais (en un point donné, E⃗\vec{E} a une direction unique) ;
  • elles vont toujours des charges positives vers les charges négatives (ou vers l'infini s'il n'y a pas de charge négative à proximité) ;
  • plus les lignes sont resserrées, plus le champ y est intense.

3.4  Superposition de champs électriques

Propriété — principe de superposition

Lorsque plusieurs charges Q1,Q2,…Q_1, Q_2, \dots créent chacune un champ électrique en un même point MM, le champ électrique résultant en MM est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge prise séparément :

E⃗(M)=E1⃗(M)+E2⃗(M)+…\vec{E}(M) = \vec{E_1}(M) + \vec{E_2}(M) + \dots

Méthode — construire une somme vectorielle de champs

1. Calcule séparément l'intensité (formule E=k∣Q∣/d2E=k|Q|/d^2) et la direction de chaque champ Ei⃗\vec{E_i}. 2. Place-les bout à bout, ou construis le parallélogramme dont E1⃗\vec{E_1} et E2⃗\vec{E_2} sont deux côtés : la diagonale issue de leur origine commune donne E⃗\vec{E}. 3. Si les deux champs sont colinéaires, additionne ou soustrais simplement leurs valeurs algébriques selon un axe orienté ; sinon, décompose en coordonnées ou utilise le théorème de Pythagore/la trigonométrie.

(a) situation +qA −qB M AB = 4,0 cm AM 3,0 cm BM = 5,0 cm (b) somme vectorielle en M M E→A E→B E (résultant)
Figure 4 — (a) Charge +qA=5,0 nC+q_A = 5{,}0\ \text{nC} en AA, charge −qB=5,0 nC-q_B = 5{,}0\ \text{nC} en BB, point MM tel que AM=3,0 cmAM=3{,}0\ \text{cm}, BM=5,0 cmBM=5{,}0\ \text{cm}, AB=4,0 cmAB=4{,}0\ \text{cm} (triangle rectangle en AA). (b) Construction du parallélogramme : E⃗=EA⃗+EB⃗\vec{E} = \vec{E_A} + \vec{E_B}, de norme E≈4,2×104 V⋅m−1E \approx 4{,}2\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}.
Exemple — superposition de deux champs (cas de la figure 4)

qA=+5,0 nCq_A = +5{,}0\ \text{nC} et qB=5,0 nCq_B = 5{,}0\ \text{nC} (négative) créent chacune un champ en MM, avec AM=3,0 cmAM=3{,}0\ \text{cm} et BM=5,0 cmBM=5{,}0\ \text{cm}. EA⃗\vec{E_A} est dirigé selon (AM)(AM) en s'éloignant de AA ; EB⃗\vec{E_B} est dirigé selon (BM)(BM) en pointant vers BB.

  1. EA=kqAAM2=9,0×109×5,0×10−9(0,030)2E_A = k\dfrac{q_A}{AM^{2}} = 9{,}0\times10^{9}\times\dfrac{5{,}0\times10^{-9}}{(0{,}030)^{2}}
  2. ==5,0×104 V⋅m−15{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}
  3. EB=kqBBM2=9,0×109×5,0×10−9(0,050)2E_B = k\dfrac{q_B}{BM^{2}} = 9{,}0\times10^{9}\times\dfrac{5{,}0\times10^{-9}}{(0{,}050)^{2}}
  4. ==1,8×104 V⋅m−11{,}8\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}

En décomposant EA⃗\vec{E_A} et EB⃗\vec{E_B} sur les axes (grâce au triangle 33-44-55, EB⃗\vec{E_B} fait avec (AM)(AM) l'angle tel que cos⁡=0,8\cos = 0{,}8, sin⁡=0,6\sin = 0{,}6) puis en additionnant les composantes, on obtient un champ résultant :

  1. E≈4,2×104 V⋅m−1E \approx 4{,}2\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}incliné d'environ 70°70° par rapport à l'horizontale (AB)(AB)
Attention

Il est faux d'additionner directement les intensités EAE_A et EBE_B sauf si les deux champs sont colinéaires et de même sens. En général, la superposition est une somme vectorielle : E≠EA+EBE \neq E_A + E_B.

4Champ uniforme d'un condensateur plan

Le champ créé par une charge ponctuelle diminue avec la distance : ses lignes divergent. Il existe cependant une configuration très utile où le champ électrique garde, en tout point, la même intensité et la même direction : c'est le champ uniforme, réalisé entre les deux armatures d'un condensateur plan.

4.1  Le condensateur plan et son champ uniforme

Définition

Un condensateur plan est constitué de deux plaques conductrices planes, parallèles, appelées armatures, séparées d'une distance dd petite devant leurs dimensions, et portant des charges opposées +Q+Q et −Q-Q. L'espace entre elles (air ou isolant) est le diélectrique.

Propriété — champ uniforme entre les armatures

Entre les armatures d'un condensateur plan soumises à la tension UU, le champ électrique est uniforme : il a la même intensité et la même direction en tout point, perpendiculaire aux armatures et dirigé de l'armature positive vers l'armature négative. Son intensité vaut :

E=UdE = \dfrac{U}{d}

avec UU en volts (V), dd en mètres (m), EE en V⋅m−1\text{V·m}^{-1}.

+ + + + + + − − − − − − E q₀ F d
Figure 5 — Champ uniforme entre les armatures d'un condensateur plan : lignes parallèles, équidistantes, dirigées de l'armature ++ vers l'armature −-. Une charge test q0>0q_0>0 y subit une force F⃗=q0E⃗\vec{F}=q_0\vec{E} de même sens que E⃗\vec{E}.
Démonstration — idée de preuve

Une armature chargée, de grandes dimensions devant dd, crée au voisinage de sa surface (loin des bords) un champ dont on admet qu'il garde une intensité constante, quelle que soit la distance à la plaque (résultat qui se démontre rigoureusement en terminale à l'aide du théorème de Gauss). En superposant les champs créés par les deux armatures opposées, on obtient entre elles un champ uniforme qui s'ajoute (les deux contributions pointent dans le même sens), et à l'extérieur un champ quasi nul (les deux contributions s'annulent).

Exemple — calculer le champ dans un condensateur

Un condensateur plan a ses armatures séparées de d=4,0 mmd = 4{,}0\ \text{mm}, soumises à une tension U=200 VU = 200\ \text{V}. Calcule EE.

  1. E=Ud=2004,0×10−3E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{200}{4{,}0\times10^{-3}}
  2. ==5,0×104 V⋅m−15{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}
Exemple — effet du rapprochement des armatures

À tension UU fixée, on rapproche les armatures de d1=5,0 mmd_1=5{,}0\ \text{mm} à d2=2,0 mmd_2=2{,}0\ \text{mm}. Comment évolue EE ?

Comme E=U/dE = U/d et que UU est constant, EE est inversement proportionnel à dd : en divisant dd par 2,52{,}5, on multiplie EE par 2,52{,}5. Rapprocher les armatures renforce le champ, à tension égale — un principe exploité dans de nombreux capteurs.

Attention

Ne confonds pas la tension UU (en volts) et le champ EE (en V⋅m−1\text{V·m}^{-1}) : EE dépend à la fois de UU et de l'écartement dd des armatures. Deux condensateurs soumis à la même tension peuvent avoir des champs très différents si leurs armatures ne sont pas espacées de la même façon.

4.2  Applications du champ électrique

Le paratonnerre exploite la concentration du champ au voisinage des pointes conductrices : lors d'un orage, le champ s'y renforce localement au point d'amorcer une décharge contrôlée vers le sol, évitant à la foudre de frapper le bâtiment. Le photocopieur charge un tambour selon l'image à reproduire, puis attire par force électrique les particules d'encre (toner), chargées de façon opposée, avant de les transférer sur la feuille. Le précipitateur électrostatique, utilisé dans les cimenteries, charge les particules de poussière en suspension dans un gaz puis les capture sur une électrode grâce à la force électrique — un procédé clé de dépollution industrielle. Enfin, la foudre résulte de l'accumulation de charges dans les nuages orageux : quand le champ entre nuage et sol dépasse le champ disruptif de l'air (3×106 V⋅m−13\times10^{6}\ \text{V·m}^{-1} environ), l'air s'ionise brutalement et un arc électrique gigantesque — l'éclair — se produit.

Physique & Co — Franklin et le cerf-volant (1752)

En juin 1752, l'Américain Benjamin Franklin fait voler, pendant un orage, un cerf-volant muni d'une tige métallique relié au sol par un fil se terminant par une clé. En approchant la main de la clé, il observe des étincelles, prouvant que les nuages orageux sont électriquement chargés et que la foudre est une gigantesque décharge électrique.

Il en tire aussitôt une application salvatrice : le paratonnerre, tige pointue reliée au sol, installée dès 1752. Le principe protège encore aujourd'hui de nombreux édifices, y compris à Dakar, Abidjan ou Douala.

5Potentiel et tension

Le champ électrique décrit, en chaque point, une force potentielle par unité de charge. Une grandeur voisine, le potentiel électrique, permet quant à elle de décrire l'état électrique d'un point sans référence à une direction : c'est elle qui donne naissance à la notion, essentielle en électricité, de tension.

5.1  Potentiel électrique et tension

Définition

À tout point MM de l'espace où règne un champ électrique, on associe un nombre appelé potentiel électrique V(M)V(M), exprimé en volt (V). La tension (différence de potentiel) entre deux points AA et BB est :

UAB=VA−VBU_{AB} = V_A - V_B

Elle s'exprime elle aussi en volts. Une tension se mesure toujours entre deux points : le potentiel d'un point isolé n'a de sens physique que par différence.

Attention

UABU_{AB} et UBAU_{BA} ne désignent pas la même chose : UBA=VB−VA=−UABU_{BA} = V_B - V_A = -U_{AB}. Le sens dans lequel on définit la tension doit toujours être précisé.

Exemple — lire une tension

Entre les armatures AA (positive) et BB (négative) d'un condensateur, un voltmètre indique UAB=+150 VU_{AB} = +150\ \text{V}. Que vaut UBAU_{BA} ?

Par définition, UBA=−UAB=−150 VU_{BA} = -U_{AB} = -150\ \text{V} : la tension change de signe lorsqu'on inverse l'ordre des points.

5.2  Tension et champ dans le condensateur plan

Propriété

Dans un condensateur plan d'armatures AA (positive) et BB (négative), espacées de dd, la relation E=UAB/dE = U_{AB}/d établie au chapitre précédent relie directement le champ électrique — grandeur locale, vectorielle — et la tension — grandeur globale, entre les deux armatures :

UAB=E×dU_{AB} = E \times d

Exemple — retrouver la tension

Un condensateur plan crée un champ E=2,5×104 V⋅m−1E = 2{,}5\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1} entre des armatures espacées de d=6,0 mmd = 6{,}0\ \text{mm}. Calcule la tension UABU_{AB}.

  1. UAB=E×dU_{AB} = E \times d
  2. ==2,5×104×6,0×10−32{,}5\times10^{4}\times6{,}0\times10^{-3}
  3. ==150 V150\ \text{V}
Exemple — tension de claquage

L'air ambiant devient conducteur (claquage disruptif) pour un champ Ed≈3,0×106 V⋅m−1E_d \approx 3{,}0\times10^{6}\ \text{V·m}^{-1}. Quelle tension maximale un condensateur d'entrefer d=1,0 cmd = 1{,}0\ \text{cm} supporte-t-il avant qu'un arc électrique ne se forme dans l'air ?

  1. Umax⁡=Ed×dU_{\max} = E_d \times d
  2. ==3,0×106×1,0×10−23{,}0\times10^{6}\times1{,}0\times10^{-2}
  3. ==3,0×104 V3{,}0\times10^{4}\ \text{V}

Au-delà de 30 00030\,000 V, une étincelle traverse cet entrefer.

Physique & Co — Volta et l'unité volt

En 1800, l'Italien Alessandro Volta invente la première pile électrique — la « pile voltaïque » — empilement de disques de zinc et de cuivre séparés par des rondelles imbibées d'acide. Pour la première fois, on dispose d'une source de tension continue et durable, alors que jusque-là on ne savait produire que des décharges brèves (bouteille de Leyde). En 1881, le Congrès international des électriciens honore cette invention en donnant son nom, le volt (V), à l'unité de tension et de potentiel électrique.

6Énergie potentielle électrique

Comme la pesanteur, la force électrique est une force conservative : le travail qu'elle effectue lorsqu'une charge se déplace ne dépend que des positions de départ et d'arrivée, jamais du chemin suivi. On peut donc, comme en mécanique, lui associer une énergie potentielle.

6.1  Travail de la force électrique

Propriété — travail de la force électrique

Lorsqu'une charge qq se déplace d'un point AA vers un point BB dans un champ électrique, le travail de la force électrique qu'elle subit vaut :

WA→B=q UABW_{A \to B} = q\,U_{AB}

Ce travail ne dépend que de qq et de la tension UAB=VA−VBU_{AB} = V_A - V_B, jamais de la trajectoire suivie entre AA et BB : la force électrique est conservative.

Démonstration — cas du champ uniforme

Dans un condensateur plan, la force électrique sur une charge qq a pour intensité F=∣q∣EF = |q|E, constante et parallèle au déplacement lorsque la charge va d'une armature AA à l'autre BB, séparées de dd. Le travail d'une force constante colinéaire au déplacement vaut :

  1. WA→B=q E×dW_{A\to B} = q\,E \times ddéplacement de AA vers BB, dans le sens du champ pour q>0q>0
  2. or E×d=UABE \times d = U_{AB}
  3. ⇒\RightarrowWA→B=q UABW_{A\to B} = q\,U_{AB}

Ce résultat, établi ici pour un champ uniforme, se généralise à tout champ électrique. C.Q.F.D.

6.2  Énergie potentielle d'une charge

Définition

L'énergie potentielle électrique EpE_p d'une charge qq placée en un point de potentiel VV est :

Ep=q VE_p = q\,V

(définie à une constante additive près, comme tout potentiel). Sa variation entre deux points AA et BB est reliée au travail de la force électrique par :

ΔEp=Ep,B−Ep,A=−WA→B=−q UAB\Delta E_p = E_{p,B} - E_{p,A} = -W_{A \to B} = -q\,U_{AB}

Attention

Le signe de WA→B=qUABW_{A\to B} = qU_{AB} dépend à la fois du signe de la charge et du sens du déplacement. Une charge positive qui se déplace « en descendant » les potentiels (UAB>0U_{AB}>0) reçoit un travail moteur (W>0W>0) : la force électrique l'accélère, exactement comme le poids accélère une masse qui descend.

Exemple — travail de la force électrique

Une charge q=+3,0 μCq = +3{,}0\ \mu\text{C} se déplace d'un point AA vers un point BB tels que UAB=80 VU_{AB} = 80\ \text{V}. Calcule le travail de la force électrique et la variation d'énergie potentielle.

  1. WA→B=q UABW_{A\to B} = q\,U_{AB}
  2. ==3,0×10−6×803{,}0\times10^{-6}\times80
  3. ==2,4×10−4 J2{,}4\times10^{-4}\ \text{J}travail moteur, positif
  4. ΔEp=−WA→B=−2,4×10−4 J\Delta E_p = -W_{A\to B} = -2{,}4\times10^{-4}\ \text{J}

L'énergie potentielle électrique de la charge diminue : elle est convertie, par exemple, en énergie cinétique si la charge est libre de se déplacer.

Exemple — énergie potentielle d'une charge négative

Une charge q=−2,0 μCq = -2{,}0\ \mu\text{C} se déplace de AA vers BB, avec UAB=−50 VU_{AB} = -50\ \text{V}. Le travail de la force électrique est-il moteur ou résistant ?

  1. WA→B=q UABW_{A\to B} = q\,U_{AB}
  2. ==(−2,0×10−6)×(−50)(-2{,}0\times10^{-6})\times(-50)
  3. ==+1,0×10−4 J+1{,}0\times10^{-4}\ \text{J}produit de deux nombres négatifs : positif

Le travail est positif : bien que q<0q<0 et UAB<0U_{AB}<0, le produit qUABqU_{AB} reste moteur pour la charge.

Fiche mémo

  • Charge élémentaire e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{C} ; quantification q=neq = ne ; charge totale d'un système isolé conservée.
  • Électrisation : par frottement (transfert d'électrons), par contact (même signe pour les deux corps), par influence (redistribution, sans transfert).
  • Loi de Coulomb : F=k∣q1∣∣q2∣d2F = k\dfrac{|q_1||q_2|}{d^{2}}, k=9,0×109 N⋅m2⋅C−2k = 9{,}0\times10^{9}\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2} ; attraction si signes opposés, répulsion si signes identiques.
  • Champ électrique : E⃗=F⃗/q\vec{E} = \vec{F}/q, unité V⋅m−1=N⋅C−1\text{V·m}^{-1} = \text{N·C}^{-1} ; champ d'une charge ponctuelle E=k∣Q∣/d2E = k|Q|/d^{2}.
  • Lignes de champ : tangentes à E⃗\vec{E}, de ++ vers −-, jamais sécantes, resserrées où le champ est fort.
  • Superposition : E⃗=E1⃗+E2⃗+…\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \dots — somme vectorielle, pas somme des normes.
  • Condensateur plan : champ uniforme E=U/dE = U/d, dirigé de l'armature ++ vers l'armature −-.
  • Tension : UAB=VA−VB=−UBAU_{AB} = V_A - V_B = -U_{BA}, en volts (V).
  • Travail de la force électrique : WA→B=qUABW_{A\to B} = qU_{AB}, force conservative, indépendant du chemin suivi.
  • Énergie potentielle : Ep=qVE_p = qV ; ΔEp=−WA→B=−qUAB\Delta E_p = -W_{A\to B} = -qU_{AB}.
  • Applications : paratonnerre (concentration du champ aux pointes), photocopieur (attraction du toner), précipitateur électrostatique (dépoussiérage), foudre (claquage de l'air à Ed≈3×106 V⋅m−1E_d \approx 3\times10^{6}\ \text{V·m}^{-1}).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Deux charges ponctuelles q1=+6,0 μCq_1 = +6{,}0\ \mu\text{C} et q2=+2,0 μCq_2 = +2{,}0\ \mu\text{C} sont séparées de d=30 cmd = 30\ \text{cm} dans l'air. Calcule l'intensité de la force qui s'exerce entre elles et précise sa nature.

Voir le corrigé détaillé
  1. F=k ∣q1∣∣q2∣d2F = k\,\dfrac{|q_1||q_2|}{d^{2}}d=0,30 md = 0{,}30\ \text{m}
  2. ==9,0×109×6,0×10−6×2,0×10−6(0,30)29{,}0\times10^{9}\times\dfrac{6{,}0\times10^{-6}\times2{,}0\times10^{-6}}{(0{,}30)^{2}}
  3. ==9,0×109×1,2×10−119,0×10−29{,}0\times10^{9}\times\dfrac{1{,}2\times10^{-11}}{9{,}0\times10^{-2}}
  4. ==1,2 N1{,}2\ \text{N}

Les deux charges étant de même signe, la force est répulsive.

2

Un bâton d'ébonite frotté avec de la fourrure acquiert une charge q=−6,4 nCq = -6{,}4\ \text{nC}. Combien d'électrons a-t-il gagnés ?

Voir le corrigé détaillé
  1. q=n e⇒n=qeq = n\,e \Rightarrow n = \dfrac{q}{e}
  2. n=−6,4×10−91,6×10−19n = \dfrac{-6{,}4\times10^{-9}}{1{,}6\times10^{-19}}
  3. ==−4,0×1010-4{,}0\times10^{10}

Le bâton a gagné 4,0×10104{,}0\times10^{10} électrons (n<0n<0, cohérent avec une charge négative).

3

Une charge ponctuelle Q=+2,0×10−7 CQ = +2{,}0\times10^{-7}\ \text{C} est placée en un point fixe. Calcule le champ électrique qu'elle crée à d=15 cmd = 15\ \text{cm}.

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  1. E=k ∣Q∣d2E = k\,\dfrac{|Q|}{d^{2}}
  2. ==9,0×109×2,0×10−7(0,15)29{,}0\times10^{9}\times\dfrac{2{,}0\times10^{-7}}{(0{,}15)^{2}}
  3. ==9,0×109×2,0×10−72,25×10−29{,}0\times10^{9}\times\dfrac{2{,}0\times10^{-7}}{2{,}25\times10^{-2}}
  4. ==8,0×104 V⋅m−18{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}
4

Une charge q=5,0 μCq = 5{,}0\ \mu\text{C} est placée dans un champ électrique uniforme E=2,0×104 V⋅m−1E = 2{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}. Calcule l'intensité de la force électrique qu'elle subit.

Voir le corrigé détaillé
  1. F=∣q∣ EF = |q|\,E
  2. ==5,0×10−6×2,0×1045{,}0\times10^{-6}\times2{,}0\times10^{4}
  3. ==1,0×10−1 N1{,}0\times10^{-1}\ \text{N}
5

Un condensateur plan a ses armatures séparées de d=3,0 mmd = 3{,}0\ \text{mm}, soumises à une tension U=120 VU = 120\ \text{V}. Calcule le champ électrique EE entre les armatures.

Voir le corrigé détaillé
  1. E=Ud=1203,0×10−3E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{120}{3{,}0\times10^{-3}}
  2. ==4,0×104 V⋅m−14{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Deux charges positives q1=+3,0 μCq_1 = +3{,}0\ \mu\text{C} et q2=+12 μCq_2 = +12\ \mu\text{C} sont fixées sur un axe, distantes de d=40 cmd = 40\ \text{cm}. Détermine la position du point MM, situé entre elles, où le champ électrique résultant est nul.

Voir le corrigé détaillé

Notons xx la distance de MM à q1q_1 (donc d−xd-x sa distance à q2q_2). Entre les deux charges positives, E1⃗\vec{E_1} et E2⃗\vec{E_2} sont opposés : ils peuvent s'annuler.

  1. kq1x2=kq2(d−x)2k\dfrac{q_1}{x^{2}} = k\dfrac{q_2}{(d-x)^{2}}
  2. ⇒\Rightarrowd−xx=q2q1=123,0=2,0\dfrac{d-x}{x} = \sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}} = \sqrt{\dfrac{12}{3{,}0}} = 2{,}0
  3. ⇒\Rightarrowd−x=2,0 x⇒d=3,0 xd - x = 2{,}0\,x \Rightarrow d = 3{,}0\,x
  4. ⇒\Rightarrowx=d3,0=0,403,0=0,133 mx = \dfrac{d}{3{,}0} = \dfrac{0{,}40}{3{,}0} = 0{,}133\ \text{m}

Le champ résultant s'annule à x≈13,3 cmx \approx 13{,}3\ \text{cm} de q1q_1 (donc à 26,7 cm26{,}7\ \text{cm} de q2q_2), plus proche de la charge la plus faible.

7

Deux charges identiques q=2,0 μCq = 2{,}0\ \mu\text{C} se repoussent avec une force F=0,50 NF = 0{,}50\ \text{N}. Calcule la distance dd qui les sépare.

Voir le corrigé détaillé
  1. F=kq2d2⇒d2=k q2FF = k\dfrac{q^{2}}{d^{2}} \Rightarrow d^{2} = \dfrac{k\,q^{2}}{F}
  2. d2=9,0×109×(2,0×10−6)20,50d^{2} = \dfrac{9{,}0\times10^{9}\times(2{,}0\times10^{-6})^{2}}{0{,}50}
  3. ==7,2×10−2 m27{,}2\times10^{-2}\ \text{m}^{2}
  4. ⇒\Rightarrowd=7,2×10−2≈0,268 m≈26,8 cmd = \sqrt{7{,}2\times10^{-2}} \approx 0{,}268\ \text{m} \approx 26{,}8\ \text{cm}
8

Un condensateur plan a ses armatures espacées de d=5,0 mmd = 5{,}0\ \text{mm} et créé un champ E=6,0×104 V⋅m−1E = 6{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}.

  1. Calcule la tension UU aux bornes du condensateur.
  2. Une charge q=+2,0 nCq = +2{,}0\ \text{nC} est placée entre les armatures. Calcule la force électrique qu'elle subit.
  3. Calcule le travail de la force électrique lorsque la charge se déplace d'une armature à l'autre.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. U=E×d=6,0×104×5,0×10−3U = E \times d = 6{,}0\times10^{4}\times5{,}0\times10^{-3}
  2. ==300 V300\ \text{V}

2.

  1. F=qE=2,0×10−9×6,0×104F = qE = 2{,}0\times10^{-9}\times6{,}0\times10^{4}
  2. ==1,2×10−4 N1{,}2\times10^{-4}\ \text{N}

3.

  1. W=q U=2,0×10−9×300W = q\,U = 2{,}0\times10^{-9}\times300
  2. ==6,0×10−7 J6{,}0\times10^{-7}\ \text{J}on retrouve le même résultat via W=F×dW=F\times d
9

Dans un atome d'hydrogène, l'électron (charge −e-e, masse me=9,1×10−31 kgm_e = 9{,}1\times10^{-31}\ \text{kg}) orbite autour du proton (charge +e+e, masse mp=1,67×10−27 kgm_p = 1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}) à la distance r=5,3×10−11 mr = 5{,}3\times10^{-11}\ \text{m} (rayon de Bohr). Compare l'intensité de la force électrique et celle de la force gravitationnelle entre les deux particules (G=6,67×10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}).

Voir le corrigé détaillé
  1. Fe=ke2r2=9,0×109×(1,6×10−19)2(5,3×10−11)2F_{\text{e}} = k\dfrac{e^{2}}{r^{2}} = 9{,}0\times10^{9}\times\dfrac{(1{,}6\times10^{-19})^{2}}{(5{,}3\times10^{-11})^{2}}
  2. ==8,2×10−8 N8{,}2\times10^{-8}\ \text{N}
  3. Fg=Gmempr2=6,67×10−11×9,1×10−31×1,67×10−27(5,3×10−11)2F_{\text{g}} = G\dfrac{m_e m_p}{r^{2}} = 6{,}67\times10^{-11}\times\dfrac{9{,}1\times10^{-31}\times1{,}67\times10^{-27}}{(5{,}3\times10^{-11})^{2}}
  4. ==3,6×10−47 N3{,}6\times10^{-47}\ \text{N}
  5. FeFg=8,2×10−83,6×10−47\dfrac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}} = \dfrac{8{,}2\times10^{-8}}{3{,}6\times10^{-47}}
  6. ≈\approx2,3×10392{,}3\times10^{39}

La force électrique est environ 103910^{39} fois plus intense que la force gravitationnelle : à l'échelle atomique, la gravitation est totalement négligeable devant l'interaction électrique.

10

Deux charges ponctuelles q1=+6,0 μCq_1 = +6{,}0\ \mu\text{C} et q2=−2,0 μCq_2 = -2{,}0\ \mu\text{C} sont fixées sur un axe, distantes de d=40 cmd = 40\ \text{cm}. Montre qu'il existe, en dehors du segment [q1q2][q_1q_2], un point où le champ résultant est nul, et détermine sa position.

Voir le corrigé détaillé

Entre les deux charges, E1⃗\vec{E_1} et E2⃗\vec{E_2} pointent dans le même sens (de q1q_1 vers q2q_2) : ils ne peuvent s'annuler nulle part sur ce segment. Le point cherché est donc à l'extérieur, du côté de la charge la plus faible q2q_2, à une distance xx au-delà de q2q_2.

  1. kq1(d+x)2=kq2x2k\dfrac{q_1}{(d+x)^{2}} = k\dfrac{q_2}{x^{2}}
  2. ⇒\Rightarrowxd+x=q2q1=2,06,0≈0,577\dfrac{x}{d+x} = \sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}} = \sqrt{\dfrac{2{,}0}{6{,}0}} \approx 0{,}577
  3. ⇒\Rightarrowx≈0,577 (d+x)x \approx 0{,}577\,(d+x)
  4. ⇒\Rightarrow0,423 x≈0,577 d⇒x≈1,365 d0{,}423\,x \approx 0{,}577\,d \Rightarrow x \approx 1{,}365\,d
  5. ⇒\Rightarrowx≈0,546 mx \approx 0{,}546\ \text{m}

Le champ s'annule à environ 54,6 cm54{,}6\ \text{cm} au-delà de q2q_2, soit à 94,6 cm94{,}6\ \text{cm} de q1q_1.

Niveau 3 — Défi
11

Une petite boule conductrice de masse m=0,50 gm = 0{,}50\ \text{g}, suspendue à un fil isolant, est placée dans une région où règne un champ électrique horizontal uniforme E=8,0×104 V⋅m−1E = 8{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}. À l'équilibre, le fil fait un angle θ=15°\theta = 15° avec la verticale (g=9,8 m⋅s−2g = 9{,}8\ \text{m·s}^{-2}).

  1. Fais le bilan des forces appliquées à la boule et représente-les.
  2. Calcule l'intensité de la force électrique FF, puis celle de la tension TT du fil.
  3. En déduis la charge qq portée par la boule, puis le nombre d'électrons en excès ou en défaut.
Voir le corrigé détaillé

1. La boule est soumise à trois forces : son poids P⃗=mg⃗\vec{P} = m\vec{g} (vertical, vers le bas), la tension T⃗\vec{T} du fil (le long du fil, vers le support) et la force électrique F⃗=qE⃗\vec{F} = q\vec{E} (horizontale). À l'équilibre, leur somme vectorielle est nulle : T⃗+F⃗+P⃗=0⃗\vec{T}+\vec{F}+\vec{P}=\vec{0}.

(a) situation physique θ=15° P F T équilibre : trois forces concourantes (b) triangle des forces (à l'échelle) P = mg F T
Figure 6 — (a) Bilan des trois forces concourantes appliquées à la boule à l'équilibre. (b) Triangle des forces construit à l'échelle : P⃗\vec{P}, F⃗\vec{F} et T⃗\vec{T} se referment, ce qui traduit T⃗+F⃗+P⃗=0⃗\vec{T}+\vec{F}+\vec{P}=\vec{0}.

2. Le triangle des forces est rectangle (F⃗⊥P⃗\vec{F} \perp \vec{P}), d'où tan⁡θ=F/P\tan\theta = F/P.

  1. P=mg=5,0×10−4×9,8P = mg = 5{,}0\times10^{-4}\times9{,}8
  2. ==4,9×10−3 N4{,}9\times10^{-3}\ \text{N}
  3. F=Ptan⁡θ=4,9×10−3×tan⁡15°F = P\tan\theta = 4{,}9\times10^{-3}\times\tan15°
  4. ≈\approx1,31×10−3 N1{,}31\times10^{-3}\ \text{N}
  5. T=Pcos⁡θ=4,9×10−3cos⁡15°T = \dfrac{P}{\cos\theta} = \dfrac{4{,}9\times10^{-3}}{\cos15°}
  6. ≈\approx5,07×10−3 N5{,}07\times10^{-3}\ \text{N}

3.

  1. F=qE⇒q=FE=1,31×10−38,0×104F = qE \Rightarrow q = \dfrac{F}{E} = \dfrac{1{,}31\times10^{-3}}{8{,}0\times10^{4}}
  2. ≈\approx1,64×10−8 C=16,4 nC1{,}64\times10^{-8}\ \text{C} = 16{,}4\ \text{nC}
  3. n=qe=1,64×10−81,6×10−19n = \dfrac{q}{e} = \dfrac{1{,}64\times10^{-8}}{1{,}6\times10^{-19}}
  4. ≈\approx1,0×10111{,}0\times10^{11}la boule manque 1,0×10111{,}0\times10^{11} électrons : elle est chargée positivement
12

Une charge qA=+4,0 nCq_A = +4{,}0\ \text{nC} est placée en AA, une charge qB=−3,0 nCq_B = -3{,}0\ \text{nC} en BB, et MM est un point tel que le triangle AMBAMB soit rectangle en MM, avec AM=6,0 cmAM = 6{,}0\ \text{cm} et BM=8,0 cmBM = 8{,}0\ \text{cm}.

  1. Justifie que EA⃗(M)\vec{E_A}(M) et EB⃗(M)\vec{E_B}(M) sont perpendiculaires.
  2. Calcule les intensités EAE_A et EBE_B, puis l'intensité EE du champ résultant en MM et l'angle qu'il fait avec EA⃗\vec{E_A}.
Voir le corrigé détaillé

1. EA⃗\vec{E_A} est porté par la droite (AM)(AM), EB⃗\vec{E_B} par la droite (BM)(BM). Le triangle étant rectangle en MM, ces deux droites sont perpendiculaires : donc EA⃗⊥EB⃗\vec{E_A} \perp \vec{E_B}.

2.

  1. EA=kqAAM2=9,0×109×4,0×10−9(0,060)2E_A = k\dfrac{q_A}{AM^{2}} = 9{,}0\times10^{9}\times\dfrac{4{,}0\times10^{-9}}{(0{,}060)^{2}}
  2. ==1,00×104 V⋅m−11{,}00\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}
  3. EB=kqBBM2=9,0×109×3,0×10−9(0,080)2E_B = k\dfrac{q_B}{BM^{2}} = 9{,}0\times10^{9}\times\dfrac{3{,}0\times10^{-9}}{(0{,}080)^{2}}
  4. ==4,22×103 V⋅m−14{,}22\times10^{3}\ \text{V·m}^{-1}

EA⃗\vec{E_A} et EB⃗\vec{E_B} étant perpendiculaires, le théorème de Pythagore s'applique directement à leur somme :

  1. E=EA2+EB2E = \sqrt{E_A^{2} + E_B^{2}}
  2. ==(1,00×104)2+(4,22×103)2\sqrt{(1{,}00\times10^{4})^{2} + (4{,}22\times10^{3})^{2}}
  3. ≈\approx1,09×104 V⋅m−11{,}09\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}
  4. tan⁡α=EBEA=4,22×1031,00×104≈0,422\tan\alpha = \dfrac{E_B}{E_A} = \dfrac{4{,}22\times10^{3}}{1{,}00\times10^{4}} \approx 0{,}422
  5. ⇒\Rightarrowα≈22,9°\alpha \approx 22{,}9°
13

Un électron (q=−eq=-e, me=9,1×10−31 kgm_e = 9{,}1\times10^{-31}\ \text{kg}) pénètre à la vitesse horizontale v0=2,0×107 m⋅s−1v_0 = 2{,}0\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1} entre les plaques d'un dispositif de déviation, de longueur L=4,0 cmL = 4{,}0\ \text{cm} et distantes de d=2,0 cmd = 2{,}0\ \text{cm}, soumises à U=200 VU = 200\ \text{V}.

  1. Calcule le champ EE entre les plaques et l'accélération aa subie par l'électron.
  2. Calcule la durée tt de traversée, puis la déviation verticale yy à la sortie.
  3. Vérifie que l'électron ne heurte pas une plaque.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. E=Ud=2002,0×10−2=1,0×104 V⋅m−1E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{200}{2{,}0\times10^{-2}} = 1{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}
  2. a=eEme=1,6×10−19×1,0×1049,1×10−31a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times1{,}0\times10^{4}}{9{,}1\times10^{-31}}
  3. ≈\approx1,76×1015 m⋅s−21{,}76\times10^{15}\ \text{m·s}^{-2}

2. Le mouvement horizontal est uniforme (v0v_0 constant), le mouvement vertical est uniformément accéléré à partir du repos vertical.

  1. t=Lv0=4,0×10−22,0×107t = \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{4{,}0\times10^{-2}}{2{,}0\times10^{7}}
  2. ==2,0×10−9 s2{,}0\times10^{-9}\ \text{s}
  3. y=12a t2=12×1,76×1015×(2,0×10−9)2y = \dfrac{1}{2}a\,t^{2} = \dfrac{1}{2}\times1{,}76\times10^{15}\times(2{,}0\times10^{-9})^{2}
  4. ≈\approx3,5×10−3 m=3,5 mm3{,}5\times10^{-3}\ \text{m} = 3{,}5\ \text{mm}
− (plaque) + (plaque) E e⁻, v₀ y Déviation dans le champ uniforme
Figure 7 — Trajectoire parabolique de l'électron entre les plaques : mouvement uniforme selon xx, uniformément accéléré selon yy sous l'effet de la force électrique.

3. Le demi-espace disponible vaut d/2=1,0 cm=10 mmd/2 = 1{,}0\ \text{cm} = 10\ \text{mm}. Comme y≈3,5 mm<10 mmy \approx 3{,}5\ \text{mm} < 10\ \text{mm}, l'électron ressort bien sans heurter la plaque positive dont il se rapproche.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Orage à Dakar. Pendant la saison des pluies, un nuage orageux situé à h=800 mh = 800\ \text{m} au-dessus du sol accumule, par rapport à celui-ci, une différence de potentiel U≈5,0×107 VU \approx 5{,}0\times10^{7}\ \text{V} (5050 millions de volts).

  1. En modélisant grossièrement le système nuage-sol comme un condensateur plan, calcule le champ électrique moyen EE entre le nuage et le sol.
  2. Compare-le au champ disruptif de l'air, Ed≈3,0×106 V⋅m−1E_d \approx 3{,}0\times10^{6}\ \text{V·m}^{-1}. L'air « claque »-t-il uniformément sur toute la hauteur ?
  3. Explique alors pourquoi un paratonnerre, simple tige métallique pointue reliée au sol, protège efficacement un immeuble.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. E=Uh=5,0×107800E = \dfrac{U}{h} = \dfrac{5{,}0\times10^{7}}{800}
  2. ==6,25×104 V⋅m−16{,}25\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}

2. On a E≈6,25×104 V⋅m−1≪Ed=3,0×106 V⋅m−1E \approx 6{,}25\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1} \ll E_d = 3{,}0\times10^{6}\ \text{V·m}^{-1} : le champ moyen sur toute la hauteur est très en dessous du seuil de claquage. L'air ne « casse » donc pas de façon uniforme sur les 800800 m.

3. Le champ se concentre fortement au voisinage des pointes (lignes de champ resserrées). Une tige pointue reliée au sol y crée localement un champ très supérieur au champ moyen — suffisant pour amorcer un canal ionisé, qui offre à la décharge un chemin préférentiel et contrôlé vers la terre.

15

Photocopieur à Abidjan. Dans un photocopieur, le tambour crée un champ E=1,0×105 V⋅m−1E = 1{,}0\times10^{5}\ \text{V·m}^{-1} au voisinage de sa surface, qui attire les grains de toner (masse m=1,0×10−12 kgm = 1{,}0\times10^{-12}\ \text{kg}, charge q=1,0×10−14 Cq = 1{,}0\times10^{-14}\ \text{C}).

  1. Calcule l'intensité de la force électrique et celle du poids d'un grain de toner (g=9,8 m⋅s−2g = 9{,}8\ \text{m·s}^{-2}).
  2. Compare ces deux forces et explique pourquoi le toner adhère facilement au tambour malgré la gravité.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. Feˊlec=qE=1,0×10−14×1,0×105F_{\text{élec}} = qE = 1{,}0\times10^{-14}\times1{,}0\times10^{5}
  2. ==1,0×10−9 N1{,}0\times10^{-9}\ \text{N}
  3. P=mg=1,0×10−12×9,8P = mg = 1{,}0\times10^{-12}\times9{,}8
  4. ==9,8×10−12 N9{,}8\times10^{-12}\ \text{N}

2.

  1. FeˊlecP=1,0×10−99,8×10−12\dfrac{F_{\text{élec}}}{P} = \dfrac{1{,}0\times10^{-9}}{9{,}8\times10^{-12}}
  2. ≈\approx102102

La force électrique est environ 100100 fois plus intense que le poids du grain : à cette échelle, elle domine très largement le mouvement, d'où l'efficacité du transfert du toner malgré sa masse.

16

Cimenterie à Ndjamena. Un précipitateur électrostatique dépoussière les fumées d'une cimenterie : les particules de poussière, chargées q=4,0×10−15 Cq = 4{,}0\times10^{-15}\ \text{C}, traversent un champ E=2,5×105 V⋅m−1E = 2{,}5\times10^{5}\ \text{V·m}^{-1} sur une distance d=15 cmd = 15\ \text{cm} avant de se déposer sur l'électrode collectrice.

  1. Calcule l'intensité de la force électrique subie par une particule.
  2. Calcule le travail de cette force sur tout le trajet, jusqu'à la collecte.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. F=qE=4,0×10−15×2,5×105F = qE = 4{,}0\times10^{-15}\times2{,}5\times10^{5}
  2. ==1,0×10−9 N1{,}0\times10^{-9}\ \text{N}

2.

  1. W=F×d=1,0×10−9×0,15W = F \times d = 1{,}0\times10^{-9}\times0{,}15
  2. ==1,5×10−10 J1{,}5\times10^{-10}\ \text{J}

Minuscule pour une particule, ce travail se répète sur des milliards de grains chaque seconde : c'est ce qui rend le précipitateur efficace à l'échelle industrielle.

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Électriser un corps, c'est :

Explication : À l'état normal, un objet possède autant de charges positives que négatives (il est neutre). L'électriser, c'est rompre cet équilibre en créant un excès ou un déficit d'électrons.

Lors d'une électrisation par frottement entre deux isolants différents, le corps qui perd des électrons se charge ______, celui qui en gagne se charge ______.

Explication : Le frottement arrache des électrons à l'un des matériaux pour les fixer sur l'autre. Celui qui a perdu des électrons se charge positivement (déficit), celui qui en a gagné se charge négativement (excès).

Dans le pendule électrostatique, une boule neutre est attirée par une tige chargée approchée sans contact (électrisation par influence). On peut affirmer que la boule :

Explication : Par influence, le corps chargé repousse les charges de même signe et attire celles de signe opposé à l'intérieur du conducteur neutre : c'est une redistribution interne, sans transfert de charge. Ce n'est que si la boule touche la tige qu'elle se charge réellement, par contact.

La charge élémentaire ee vaut environ :

Explication : La charge élémentaire, portée par le proton (+e+e) ou l'électron (−e-e), vaut e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{C} : c'est la plus petite charge que l'on puisse isoler.

La charge électrique totale d'un système isolé :

Explication : C'est la propriété de conservation de la charge : dans un système isolé, la charge totale reste constante, même si elle se redistribue entre les corps qui le composent.

Deux charges ponctuelles q1q_1 et q2q_2 de même signe exercent l'une sur l'autre une force de Coulomb :

Explication : D'après la loi de Coulomb, deux charges de même signe se repoussent ; deux charges de signes opposés s'attirent. Les deux forces sont toujours dirigées selon la droite joignant les charges.

Deux charges ponctuelles q1=2,0 μCq_1 = 2{,}0\ \mu\text{C} et q2=3,0 μCq_2 = 3{,}0\ \mu\text{C} sont séparées de d=10d = 10 cm dans l'air (k=9,0×109 N⋅m2⋅C−2k = 9{,}0\times10^{9}\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2}). L'intensité de la force entre elles vaut :

Explication : F=k∣q1∣∣q2∣d2=9,0×109×2,0×10−6×3,0×10−6(0,10)2F = k\dfrac{|q_1||q_2|}{d^{2}} = 9{,}0\times10^{9}\times\dfrac{2{,}0\times10^{-6}\times3{,}0\times10^{-6}}{(0{,}10)^{2}}
=9,0×109×6,0×10−121,0×10−2= 9{,}0\times10^{9}\times\dfrac{6{,}0\times10^{-12}}{1{,}0\times10^{-2}}
=5,4 N= 5{,}4\ \text{N}.

L'unité du champ électrique, le volt par mètre (V⋅m−1\text{V·m}^{-1}), est équivalente à :

Explication : Par définition E⃗=F⃗/q\vec{E} = \vec{F}/q : une force en newtons divisée par une charge en coulombs, soit N⋅C−1\text{N·C}^{-1}, unité équivalente au V⋅m−1\text{V·m}^{-1}.

Une charge ponctuelle Q=1,0×10−7 CQ = 1{,}0\times10^{-7}\ \text{C} crée, à une distance d=30d = 30 cm, un champ électrique d'intensité :

Explication : E=k∣Q∣d2=9,0×109×1,0×10−7(0,30)2E = k\dfrac{|Q|}{d^{2}} = 9{,}0\times10^{9}\times\dfrac{1{,}0\times10^{-7}}{(0{,}30)^{2}}
=9,0×109×1,0×10−79,0×10−2= 9{,}0\times10^{9}\times\dfrac{1{,}0\times10^{-7}}{9{,}0\times10^{-2}}
=1,0×104 V⋅m−1= 1{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}.

Concernant les lignes de champ électrique, on peut affirmer qu'elles :

Explication : En un point donné, le champ E⃗\vec{E} a une direction unique : les lignes de champ ne se croisent donc jamais. Elles partent des charges positives et se referment sur les charges négatives (courbes pour un dipôle, radiales pour une charge seule).

Deux charges créent, en un même point MM, deux champs E1⃗(M)\vec{E_1}(M) et E2⃗(M)\vec{E_2}(M) non colinéaires. Le champ résultant E⃗(M)\vec{E}(M) est :

Explication : Le principe de superposition impose une somme vectorielle : E⃗=E1⃗+E2⃗\vec{E} = \vec{E_1}+\vec{E_2}. Sauf si les deux champs sont colinéaires et de même sens, la norme de E⃗\vec{E} n'est pas la somme des normes E1E_1 et E2E_2.

Un condensateur plan a ses armatures séparées de d=2,0d = 2{,}0 mm, soumises à une tension U=100U = 100 V. Le champ électrique entre les armatures vaut :

Explication : E=Ud=1002,0×10−3E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{100}{2{,}0\times10^{-3}}
=5,0×104 V⋅m−1= 5{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}.

Un voltmètre indique une tension UAB=+80U_{AB} = +80 V entre deux points AA et BB. La tension UBAU_{BA} vaut :

Explication : Par définition, UBA=VB−VA=−UABU_{BA} = V_B - V_A = -U_{AB} : inverser l'ordre des points change le signe de la tension. Ici UBA=−80 VU_{BA} = -80\ \text{V}.

Deux condensateurs plans sont soumis à la même tension UU, mais leurs armatures ne sont pas espacées de la même distance dd. Ont-ils le même champ électrique EE entre leurs armatures ?

Explication : E=U/dE = U/d dépend à la fois de la tension et de l'écartement des armatures. À tension égale, un condensateur aux armatures plus rapprochées a un champ plus intense.

Une charge q=−2,0 μCq = -2{,}0\ \mu\text{C} se déplace d'un point AA vers un point BB tels que UAB=−50U_{AB} = -50 V. Le travail WA→B=qUABW_{A\to B} = qU_{AB} de la force électrique est :

Explication : WA→B=(−2,0×10−6)×(−50)=+1,0×10−4 JW_{A\to B} = (-2{,}0\times10^{-6})\times(-50) = +1{,}0\times10^{-4}\ \text{J}. Le produit de deux nombres négatifs est positif : bien que qq et UABU_{AB} soient tous deux négatifs, le travail est moteur.

Le champ disruptif de l'air vaut environ Ed≈3,0×106 V⋅m−1E_d \approx 3{,}0\times10^{6}\ \text{V·m}^{-1}. Un condensateur d'entrefer d=2,0d = 2{,}0 cm ne produit aucun arc électrique tant que la tension UU reste :

Explication : Le claquage se produit quand E=U/dE = U/d atteint EdE_d, soit Umax⁡=Ed×d=3,0×106×2,0×10−2=6,0×104 VU_{\max} = E_d \times d = 3{,}0\times10^{6}\times2{,}0\times10^{-2} = 6{,}0\times10^{4}\ \text{V}. En dessous de cette tension, pas d'arc électrique.

Pourquoi une tige pointue de paratonnerre déclenche-t-elle une décharge contrôlée pendant un orage ?

Explication : Les lignes de champ se resserrent fortement près d'une pointe conductrice, ce qui y intensifie localement le champ électrique jusqu'à amorcer une décharge ionisée : celle-ci offre à la foudre un chemin préférentiel et contrôlé vers le sol.

Dans un précipitateur électrostatique de cimenterie, les particules de poussière chargées sont capturées sur l'électrode collectrice principalement grâce à :

Explication : Les particules chargées subissent une force électrique F=qEF=qE qui les dévie vers l'électrode collectrice ; à l'échelle de ces particules très légères, cette force domine très largement leur poids.

Une charge q=+4,0 μCq = +4{,}0\ \mu\text{C} se déplace d'un point AA vers un point BB tels que UAB=60U_{AB} = 60 V. La variation d'énergie potentielle électrique ΔEp=−qUAB\Delta E_p = -qU_{AB} de la charge vaut :

Explication : WA→B=qUAB=4,0×10−6×60=2,4×10−4 JW_{A\to B} = qU_{AB} = 4{,}0\times10^{-6}\times60 = 2{,}4\times10^{-4}\ \text{J}
ΔEp=−WA→B=−2,4×10−4 J\Delta E_p = -W_{A\to B} = -2{,}4\times10^{-4}\ \text{J} : l'énergie potentielle diminue, le travail est moteur.

Dans un atome d'hydrogène, la force électrique entre le proton et l'électron est environ 103910^{39} fois plus intense que la force gravitationnelle entre eux. On peut en conclure que :

Explication : Le rapport Fe/Fg≈2,3×1039F_{\text{e}}/F_{\text{g}} \approx 2{,}3\times10^{39} montre que la force électrique écrase littéralement la force gravitationnelle à l'échelle de l'atome, malgré la même structure en 1/d21/d^{2} des deux lois. C'est pourquoi la cohésion atomique s'explique par l'électrostatique, jamais par la gravitation.
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