Travail, puissance et énergie mécanique

Établir les théorèmes énergétiques et les utiliser.

Physique Première Chapitre 3 / 9 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Appliquer le théorème de l'énergie cinétique
Utiliser la conservation de l'énergie mécanique
Calculer le travail des frottements

Depuis la classe de Seconde, tu sais décrire une force par sa direction, son sens et sa valeur, et tu as appliqué les lois de Newton pour prévoir un mouvement. Mais dès qu’un objet change de vitesse sur une trajectoire compliquée — une bille qui dévale un toboggan, un camion qui freine, l’eau d’un barrage qui se précipite vers les turbines — reconstituer le mouvement instant par instant devient vite fastidieux. Ce chapitre t’offre un outil radicalement plus puissant : une comptabilité de l’énergie, qui relie directement l’état initial et l’état final d’un système, sans jamais avoir besoin de connaître le détail de la trajectoire.

Tu vas rencontrer trois notions étroitement liées : le travail d’une force, qui mesure l’effet cumulé d’une force sur un déplacement ; la puissance, qui mesure la rapidité avec laquelle ce travail est fourni ; et l’énergie mécanique, la grandeur qui, en l’absence de frottements, se conserve tout au long du mouvement. C’est exactement ce que calcule un ingénieur pour dimensionner les freins d’un véhicule, la turbine d’un barrage hydroélectrique ou le marteau d’une presse industrielle.

La nouveauté, par rapport à ce que tu connais déjà, tient en un théorème central que tu vas démontrer toi-même : le théorème de l’énergie cinétique. Il transforme un problème de forces et d’accélérations en un problème d’addition de travaux — souvent bien plus simple à résoudre. Tu apprendras aussi à repérer les forces conservatives (comme le poids), dont le travail ne dépend jamais du chemin suivi, et les forces non conservatives (comme les frottements), qui dissipent de l’énergie sous forme de chaleur.

Comme toujours en physique, la rigueur des unités et des signes fera la différence le jour de l’épreuve : un travail peut être positif, négatif ou nul, et cela change tout le raisonnement. Prends ton temps sur les démonstrations : elles reviennent presque à l’identique dans les exercices de type bac.

1Travail d’une force constante et d’une force variable

1.1 Travail d’une force constante

Lorsqu’un point matériel se déplace de $A$ vers $B$ sous l’action d’une force $\vec F$ constante (en direction, sens et valeur) pendant tout le trajet, on définit le travail de cette force.

Définition

Le travail $W_{AB}(\vec F)$ d’une force constante $\vec F$ dont le point d’application se déplace de $A$ à $B$ est le produit scalaire de $\vec F$ par le vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$ :

$W_{AB}(\vec F) = \vec F \cdot \overrightarrow{AB} = F \times d \times \cos\alpha$

où $F$ est la valeur de la force (en newton, N), $d = AB$ la distance parcourue (en mètre, m) et $\alpha$ l’angle entre $\vec F$ et $\overrightarrow{AB}$ . Le travail se mesure en joule (J), avec $1\ \text{J} = 1\ \text{N·m}$ .

Le travail est une grandeur scalaire (un simple nombre muni d’un signe), et non un vecteur : il ne renseigne ni sur une direction ni sur un sens, seulement sur un effet cumulé de la force le long du trajet.

Propriété — signe du travail

Si $0 \leqslant \alpha < 90°$ : $\cos\alpha > 0$ , le travail est positif : la force est dite motrice (elle favorise le mouvement).
Si $\alpha = 90°$ : $\cos\alpha = 0$ , le travail est nul : la force ne fournit ni ne consomme d’énergie (cas d’une force perpendiculaire au déplacement, comme la réaction normale d’un support horizontal).
Si $90° < \alpha \leqslant 180°$ : $\cos\alpha < 0$ , le travail est négatif : la force est dite résistante (elle s’oppose au mouvement).

Attention

N’écris jamais $W = F \times d$ sans le cosinus : cette formule simplifiée n’est valable que si la force est parallèle au déplacement ( $\alpha = 0$ ). Oublier l’angle est l’erreur la plus fréquente au bac sur ce chapitre.

Exemple — travail d’une force oblique

Un ouvrier tire une caisse à l’aide d’une corde qui fait un angle $\alpha = 35°$ avec le sol horizontal. La tension de la corde vaut $F = 250\ \text{N}$ et la caisse se déplace de $d = 12\ \text{m}$ . Calculons le travail de la tension.

$W(\vec F) = F \times d \times \cos\alpha$
$=$ $250 \times 12 \times \cos(35°)$
$=$ $3\,000 \times 0{,}819$ $\cos(35°) \approx 0{,}819$
$\approx$ $2\,457\ \text{J}$

Le travail est positif : la tension est motrice, ce qui est cohérent puisqu’elle fait avancer la caisse.

Figure 1 — La force

\vec F

, inclinée d’un angle

\alpha

sur le déplacement

\vec d

, possède une composante

F\cos\alpha

qui travaille et une composante

F\sin\alpha

, perpendiculaire au déplacement, qui ne travaille jamais.

Exemple — travail nul et travail résistant

Une valise de masse $m = 20\ \text{kg}$ glisse de $d = 6\ \text{m}$ sur un sol horizontal. Une force de frottement constante $f = 40\ \text{N}$ , opposée au mouvement, s’exerce sur la valise.

travail du poids : $\alpha = 90°$ (poids vertical, déplacement horizontal)
$\Rightarrow$ $W(\vec P) = mgd\cos(90°) = 0\ \text{J}$
travail du frottement : $\alpha = 180°$ (force opposée au déplacement)
$\Rightarrow$ $W(\vec f) = f \times d \times \cos(180°) = -f \times d$
$=$ $-40 \times 6$
$=$ $-240\ \text{J}$

Le poids ne travaille pas (force perpendiculaire au déplacement) ; le frottement travaille négativement : il retire de l’énergie au système.

1.2 Le travail du poids, une force particulière

Le poids $\vec P = m\vec g$ est une force constante (au voisinage du sol). Sa direction est toujours verticale, dirigée vers le bas. Montrons que son travail ne dépend que des altitudes de départ et d’arrivée, jamais de la forme du trajet suivi.

Théorème

Lorsqu’un point matériel de masse $m$ se déplace d’un point $A$ , d’altitude $z_A$ , à un point $B$ , d’altitude $z_B$ , le travail du poids vaut :

$W_{AB}(\vec P) = mg(z_A - z_B)$

quel que soit le chemin suivi entre $A$ et $B$ .

Démonstration

Trajet rectiligne. Orientons l’axe $(Oz)$ vers le haut. Le vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$ a pour composante verticale $z_B - z_A$ . Le poids $\vec P$ a pour composante verticale $-mg$ (il pointe vers le bas). Le produit scalaire ne retient que les composantes parallèles :

$W_{AB}(\vec P) = \vec P \cdot \overrightarrow{AB}$
$=$ $(-mg) \times (z_B - z_A)$
$=$ $mg(z_A - z_B)$

Trajet quelconque. Décomposons le trajet en une multitude de petits déplacements rectilignes successifs. Sur chacun, seule la variation d’altitude $\mathrm{d}z_i$ compte, d’après le calcul précédent : $\mathrm{d}W_i = -mg\,\mathrm{d}z_i$ . Le travail total est la somme de tous ces travaux élémentaires :

$W_{AB}(\vec P) = \displaystyle\sum_i \mathrm{d}W_i = -mg\displaystyle\sum_i \mathrm{d}z_i$
$=$ $-mg(z_B - z_A)$ les petites variations d’altitude se recomposent en la variation totale
$=$ $mg(z_A - z_B)$

Les montées et descentes intermédiaires s’annulent deux à deux dans la somme : seule compte la différence d’altitude entre le départ et l’arrivée. C.Q.F.D.

Figure 2 — Deux chemins très différents relient

A

B

: le poids

\vec P

fournit pourtant exactement le même travail

W = mg(z_A - z_B)

sur chacun, car seule compte la différence d’altitude.

Attention

Respecte l’ordre $z_A - z_B$ (altitude de départ moins altitude d’arrivée) : si l’objet descend ( $z_A > z_B$ ), le travail du poids est positif (le poids est moteur) ; si l’objet monte ( $z_A < z_B$ ), il est négatif (le poids est résistant).

Exemple — un plongeoir

Un plongeur de masse $m = 65\ \text{kg}$ saute d’un plongeoir situé à $z_A = 3{,}0\ \text{m}$ au-dessus de la surface de l’eau (origine $z_B = 0$ ).

$W(\vec P) = mg(z_A - z_B)$
$=$ $65 \times 9{,}8 \times (3{,}0 - 0)$
$\approx$ $1\,911\ \text{J}$

Peu importe qu’il plonge tête la première, en vrille ou les pieds en avant : le travail du poids ne dépend que de la chute de $3{,}0$ m.

Physique & Co — la naissance du mot « travail »

C’est l’ingénieur français Gaspard-Gustave de Coriolis qui, en 1829, dans son traité Du calcul de l’effet des machines, propose de nommer « travail » le produit d’une force par le déplacement de son point d’application. Avant lui, les ingénieurs parlaient de « quantité d’action » ou d’« effet dynamique » — des expressions floues qui ne permettaient pas de comparer objectivement deux machines.

Le choix du mot n’est pas anodin : à l’époque de la révolution industrielle, il s’agissait précisément d’évaluer le « travail » que pouvait fournir une machine à vapeur, comparé à celui d’un cheval ou d’un ouvrier. L’unité de puissance encore utilisée aujourd’hui, le cheval-vapeur, garde la trace de cette comparaison.

1.3 Travail d’une force variable

Certaines forces changent de valeur ou de direction au cours du déplacement : c’est le cas de la tension d’un ressort, qui croît avec l’allongement. La formule $W = F d \cos\alpha$ ne s’applique alors plus directement sur tout le trajet.

Méthode — travailler avec une force variable

On découpe le trajet en petits déplacements $\mathrm{d}x$ assez courts pour que la force y soit quasiment constante, on calcule le travail élémentaire $\mathrm{d}W = F(x)\,\mathrm{d}x$ sur chacun, puis on additionne (on dit : on intègre). En Première, retiens surtout le résultat pour le ressort :

Propriété — travail de la force de rappel d’un ressort

Pour un ressort de raideur $k$ (en N·m⁻¹), dont l’allongement (ou la compression) varie de $x_1$ à $x_2$ , le travail de la force de rappel vaut :

$W_{12}(\vec T) = \dfrac{1}{2}k x_1^{2} - \dfrac{1}{2}k x_2^{2}$

Ce résultat sera réutilisé dans la section consacrée à l’énergie potentielle élastique.

2Puissance

Deux machines peuvent fournir exactement le même travail — soulever la même caisse à la même hauteur — sans mettre le même temps à le faire. La puissance est la grandeur qui distingue une grue rapide d’un treuil manuel poussif.

2.1 Puissance moyenne

Définition

La puissance moyenne développée par une force qui effectue un travail $W$ pendant une durée $\Delta t$ est :

$P_{\text{moy}} = \dfrac{W}{\Delta t}$

La puissance se mesure en watt (W), avec $1\ \text{W} = 1\ \text{J·s}^{-1}$ . On utilise aussi le kilowatt ( $1\ \text{kW} = 1\,000\ \text{W}$ ) et, pour l’énergie, le kilowattheure : $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \text{J}$ .

Exemple — puissance d’un treuil

Un treuil de chantier remonte une charge de masse $m = 150\ \text{kg}$ sur une hauteur $h = 8{,}0\ \text{m}$ en $\Delta t = 20\ \text{s}$ , à vitesse constante.

$W = mgh = 150 \times 9{,}8 \times 8{,}0$
$=$ $11\,760\ \text{J}$
$P_{\text{moy}} = \dfrac{W}{\Delta t} = \dfrac{11\,760}{20}$
$=$ $588\ \text{W}$

2.2 Puissance instantanée d’une force

Définition

La puissance instantanée d’une force $\vec F$ appliquée en un point qui se déplace à la vitesse $\vec v$ est :

$P = \vec F \cdot \vec v = F \times v \times \cos\alpha$

où $\alpha$ est l’angle entre $\vec F$ et $\vec v$ . C’est la version instantanée de la formule du travail : on remplace le déplacement $\overrightarrow{AB}$ par la vitesse $\vec v$ .

Propriété

Si la force est constante et le mouvement rectiligne à vitesse constante $v$ , la puissance instantanée est constante et égale à la puissance moyenne : $P = F v \cos\alpha$ . C’est aussi la relation qui relie travail et puissance : $W = P \times \Delta t$ lorsque $P$ est constante.

Exemple — puissance d’un cycliste

Un cycliste avance à vitesse constante $v = 9{,}0\ \text{m·s}^{-1}$ sur une route plate. La force motrice qu’il développe, dans l’axe du mouvement ( $\alpha = 0$ ), vaut $F = 40\ \text{N}$ .

$P = F \times v \times \cos(0°)$
$=$ $40 \times 9{,}0 \times 1$
$=$ $360\ \text{W}$

Un cycliste amateur peut ainsi développer, en continu, une puissance proche de celle d’un petit moteur électrique domestique.

Attention

Ne confonds pas puissance moyenne (calculée sur une durée, utile quand la force ou la vitesse varient) et puissance instantanée (valable à un instant précis). Si la puissance instantanée varie au cours du temps, la puissance moyenne n’est pas la simple moyenne arithmétique des valeurs extrêmes.

3Théorème de l’énergie cinétique

3.1 Énergie cinétique d’un point matériel

Définition

L’énergie cinétique d’un point matériel de masse $m$ (en kg) animé d’une vitesse de valeur $v$ (en m·s⁻¹) est :

$E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}$

Elle s’exprime en joule (J). C’est une grandeur toujours positive ou nulle, qui ne s’annule que si le point est immobile : contrairement au travail, l’énergie cinétique ne dépend jamais du signe de $v$ , seulement de sa valeur.

Exemple — énergie cinétique d’une moto

Une moto avec son pilote, de masse totale $m = 220\ \text{kg}$ , roule à $v = 25\ \text{m·s}^{-1}$ ( $90\ \text{km/h}$ ).

$E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}$
$=$ $\dfrac{1}{2} \times 220 \times 25^{2}$
$=$ $0{,}5 \times 220 \times 625$
$=$ $68\,750\ \text{J} \approx 68{,}8\ \text{kJ}$

3.2 Énoncé du théorème de l’énergie cinétique

Théorème de l’énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un point matériel se déplace d’un point $A$ à un point $B$ , la variation de son énergie cinétique est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures qui s’exercent sur lui :

$\Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{AB}(\vec F_{\text{ext}})$

C’est l’outil le plus puissant du chapitre : il permet de trouver une vitesse sans jamais calculer d’accélération, à condition de savoir calculer le travail de chaque force.

3.3 Démonstration dans un cas simple

Démonstration — mouvement rectiligne, résultante constante

Considérons un point matériel de masse $m$ soumis à une résultante des forces $\vec F$ constante, parallèle à un déplacement rectiligne de $A$ à $B$ , de longueur $d$ . Notons $v_A$ et $v_B$ les vitesses en $A$ et $B$ , et $a$ l’accélération.

Étape 1 — la relation de cinématique (mouvement rectiligne uniformément varié) :

$v_B^{2} - v_A^{2} = 2ad$

Étape 2 — la deuxième loi de Newton, projetée sur l’axe du mouvement :

$F = ma$ deuxième loi de Newton, $\vec F$ parallèle au déplacement
$\Rightarrow$ $a = \dfrac{F}{m}$

Étape 3 — on combine. En reportant $a$ dans la relation de cinématique, puis en multipliant les deux membres par $\dfrac{m}{2}$ :

$v_B^{2} - v_A^{2} = 2 \times \dfrac{F}{m} \times d$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{2}mv_B^{2} - \dfrac{1}{2}mv_A^{2} = F \times d$
$\Rightarrow$ $E_c(B) - E_c(A) = F \times d \times \cos(0°)$
$=$ $W_{AB}(\vec F)$ $\vec F$ parallèle au déplacement, donc $\alpha = 0$

On retrouve bien $\Delta E_c = W_{AB}(\vec F)$ . Lorsque plusieurs forces agissent, le travail d’une somme de forces est la somme de leurs travaux (le produit scalaire est linéaire) : le théorème s’étend donc à la somme des travaux de toutes les forces extérieures. C.Q.F.D.

Physique & Co — le tonneau de bière de Joule

Entre 1843 et 1850, le brasseur et physicien anglais James Prescott Joule mène une expérience restée célèbre : il fait tomber des masses connues, reliées par une corde et une poulie à des palettes plongées dans un tonneau d’eau. En brassant l’eau, les palettes provoquent, par frottement, une très légère élévation de température.

En mesurant précisément la masse, la hauteur de chute et l’échauffement, Joule établit l’équivalence exacte entre le travail mécanique fourni et la chaleur produite : l’énergie ne disparaît pas, elle change de forme. C’est en son honneur que l’unité d’énergie du Système international porte, depuis, le nom de joule.

3.4 Application : la distance de freinage

Méthode — trouver une distance par le théorème de l’énergie cinétique

On identifie l’état initial et l’état final (souvent $v_{\text{finale}} = 0$ pour un freinage), on écrit le travail de chaque force extérieure (poids, réaction normale, frottements), puis on applique $\Delta E_c = \sum W$ pour isoler la distance inconnue.

Exemple — freinage d’urgence

Une voiture de masse $m = 1\,000\ \text{kg}$ roule à $v_0 = 20\ \text{m·s}^{-1}$ ( $72\ \text{km/h}$ ) sur une route horizontale. Le conducteur freine brutalement : les roues glissent, et le sol exerce une force de frottement de valeur $f = \mu m g$ , avec $\mu = 0{,}50$ . Calculons la distance d’arrêt $d$ .

Sur la route horizontale, le poids et la réaction normale sont perpendiculaires au déplacement : ils ne travaillent pas. Seul le frottement travaille, négativement ( $\alpha = 180°$ ).

$\Delta E_c = W(\vec P) + W(\vec N) + W(\vec f)$
$=$ $0 + 0 - f \times d$
$0 - \dfrac{1}{2}mv_0^{2} = -\mu m g \times d$ $v_{\text{finale}} = 0$ , $f = \mu mg$
$\Rightarrow$ $d = \dfrac{v_0^{2}}{2\mu g}$
$=$ $\dfrac{20^{2}}{2 \times 0{,}50 \times 9{,}8}$
$=$ $\dfrac{400}{9{,}8}$
$\approx$ $40{,}8\ \text{m}$

Remarque essentielle : la masse $m$ a disparu du résultat final. La distance de freinage sur route sèche ne dépend ni de la masse du véhicule, seulement de la vitesse initiale et du coefficient de frottement.

Figure 3 — Freinage d’urgence sur route sèche : le travail négatif du frottement absorbe toute l’énergie cinétique initiale ; la distance d’arrêt ne dépend pas de la masse du véhicule.

Exemple — chariot poussé

Un chariot de manutention de masse $m = 250\ \text{kg}$ , initialement immobile, est poussé par une force horizontale constante $F = 300\ \text{N}$ sur une distance $d = 10\ \text{m}$ ; une force de frottement $f = 80\ \text{N}$ s’oppose au mouvement. Quelle est sa vitesse finale ?

$\Delta E_c = W(\vec F) + W(\vec f)$
$=$ $(300 - 80) \times 10$
$=$ $2\,200\ \text{J}$
$\dfrac{1}{2}mv^{2} - 0 = 2\,200$
$\Rightarrow$ $v = \sqrt{\dfrac{2 \times 2\,200}{250}}$
$\approx$ $4{,}2\ \text{m·s}^{-1}$

Attention

Le théorème porte sur la somme des travaux de toutes les forces extérieures, pas seulement la force « motrice ». Oublier le travail (souvent nul, mais pas toujours) du poids ou de la réaction normale est une erreur fréquente — vérifie systématiquement l’angle que fait chaque force avec le déplacement.

4Énergie potentielle de pesanteur et élastique

Tu as montré que $W_{AB}(\vec P) = mg(z_A - z_B)$ . Ce résultat se lit aussi comme la diminution d’une grandeur associée à l’altitude : c’est l’idée d’énergie potentielle, une énergie « en réserve », stockée par la position de l’objet, et restituable sous forme d’énergie cinétique.

4.1 Énergie potentielle de pesanteur

Définition

L’énergie potentielle de pesanteur d’un point matériel de masse $m$ , à l’altitude $z$ comptée à partir d’une origine choisie librement ( $z=0$ ), est :

$E_{pp} = mgz$

Elle s’exprime en joule (J). Comme l’origine des altitudes est un choix arbitraire, seule la différence d’énergie potentielle entre deux points a un sens physique.

Propriété

Le travail du poids s’exprime comme l’opposé de la variation d’énergie potentielle de pesanteur :

$W_{AB}(\vec P) = mg(z_A - z_B) = mgz_A - mgz_B$
$=$ $E_{pp}(A) - E_{pp}(B)$
$=$ $-\Delta E_{pp}$

Attention

Ne cherche jamais la « vraie » valeur de $E_{pp}$ : elle n’existe pas, elle dépend du choix de l’origine. Ce qui compte au bac, c’est toujours une variation $\Delta E_{pp}$ , qui elle, ne dépend d’aucun choix.

Exemple — l’eau retenue par un barrage

Un barrage retient une masse d’eau $m = 2{,}0 \times 10^{6}\ \text{kg}$ à $h = 50\ \text{m}$ au-dessus des turbines (origine prise au niveau des turbines).

$E_{pp} = mgh$
$=$ $2{,}0 \times 10^{6} \times 9{,}8 \times 50$
$=$ $9{,}8 \times 10^{8}\ \text{J}$

C’est cette énergie potentielle, convertie en énergie cinétique de l’eau puis en énergie électrique par les turbines, qu’exploite une centrale hydroélectrique.

4.2 Énergie potentielle élastique

Définition

L’énergie potentielle élastique emmagasinée dans un ressort de raideur $k$ (en N·m⁻¹), déformé d’une longueur $x$ par rapport à sa position naturelle, est :

$E_{pe} = \dfrac{1}{2}kx^{2}$

Elle est toujours positive ou nulle, que le ressort soit étiré ou comprimé — seul le carré de la déformation intervient.

Attention

$x$ est la déformation par rapport à la longueur naturelle (à vide) du ressort, jamais sa longueur totale. Si un ressort de longueur à vide $\ell_0 = 20\ \text{cm}$ mesure $\ell = 26\ \text{cm}$ une fois étiré, alors $x = \ell - \ell_0 = 6\ \text{cm} = 0{,}06\ \text{m}$ .

Exemple — pistolet à ressort

Un jouet lance une bille de masse $m = 20\ \text{g}$ grâce à un ressort de raideur $k = 150\ \text{N·m}^{-1}$ , comprimé de $x = 8{,}0\ \text{cm}$ . On admet que toute l’énergie élastique se transforme en énergie cinétique de la bille.

$E_{pe} = \dfrac{1}{2}kx^{2} = \dfrac{1}{2} \times 150 \times 0{,}08^{2}$
$=$ $0{,}48\ \text{J}$
$\dfrac{1}{2}mv^{2} = E_{pe} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2 \times 0{,}48}{0{,}020}}$
$\approx$ $6{,}9\ \text{m·s}^{-1}$

Cette conversion intégrale d’une forme d’énergie en une autre est précisément ce qu’étudie la section suivante.

5Énergie mécanique et conservation

5.1 Définition de l’énergie mécanique

Définition

L’énergie mécanique d’un point matériel est la somme de son énergie cinétique et de son (ou ses) énergie(s) potentielle(s) :

$E_m = E_c + E_{pp}\ \ (+\ E_{pe}\ \text{si un ressort intervient})$

Elle s’exprime en joule (J).

Théorème de conservation de l’énergie mécanique

Si les seules forces qui travaillent sur un point matériel sont des forces conservatives (le poids, la tension idéale d’un ressort), alors son énergie mécanique se conserve au cours du mouvement :

$E_m(A) = E_m(B) \qquad \text{soit} \qquad \Delta E_m = 0$

5.2 Conservation en chute libre

Démonstration

Un point matériel de masse $m$ est en chute libre : la seule force qui s’exerce sur lui est son poids (on néglige l’air). Appliquons le théorème de l’énergie cinétique entre deux points $A$ et $B$ de la trajectoire :

$E_c(B) - E_c(A) = W_{AB}(\vec P)$
$=$ $E_{pp}(A) - E_{pp}(B)$ propriété démontrée en section 4.1
$\Rightarrow$ $E_c(B) + E_{pp}(B) = E_c(A) + E_{pp}(A)$
$\Rightarrow$ $E_m(B) = E_m(A)$

L’énergie mécanique se conserve : ce que l’énergie cinétique gagne, l’énergie potentielle le perd exactement, et réciproquement. C.Q.F.D.

Exemple — vitesse d’impact au sol

Un caillou de masse $m = 0{,}30\ \text{kg}$ est lâché sans vitesse initiale d’une hauteur $h = 20\ \text{m}$ . Trouvons sa vitesse au sol par conservation de l’énergie mécanique (origine des altitudes au sol).

$E_m(\text{départ}) = E_m(\text{sol})$
$0 + mgh = \dfrac{1}{2}mv^{2} + 0$ $v_{\text{départ}} = 0$ ; $E_{pp}(\text{sol}) = 0$
$\Rightarrow$ $v = \sqrt{2gh}$
$=$ $\sqrt{2 \times 9{,}8 \times 20}$
$\approx$ $19{,}8\ \text{m·s}^{-1}$

On retrouve exactement la formule de cinématique $v^{2} = 2gh$ : la conservation de l’énergie mécanique n’est qu’une autre façon, souvent plus rapide, d’exprimer les mêmes lois de Newton.

5.3 Conservation dans le pendule simple

Un pendule simple est constitué d’une petite masse $m$ (le « bob ») suspendue à un fil inextensible de longueur $L$ , de masse négligeable, fixé en un point $O$ . Écarté de sa position d’équilibre puis lâché sans vitesse initiale, il oscille.

Démonstration

Deux forces s’exercent sur le bob : son poids $\vec P$ (conservatif) et la tension $\vec T$ du fil. Le fil étant inextensible, le bob se déplace sur un cercle de centre $O$ : à chaque instant, sa vitesse $\vec v$ est tangente à ce cercle, donc perpendiculaire au fil — donc perpendiculaire à $\vec T$ , qui est radiale.

à chaque instant : $\vec T \perp \vec v$
$\Rightarrow$ la puissance de $\vec T$ est nulle : $P(\vec T) = T v \cos(90°) = 0$
$\Rightarrow$ le travail de $\vec T$ est nul sur tout le mouvement : $W(\vec T) = 0$

Bien que la tension $\vec T$ soit une force variable (elle change de valeur selon la position), son travail est nul à chaque instant : elle ne modifie donc jamais l’énergie mécanique. Seul le poids travaille, comme en chute libre : d’après la démonstration précédente, $E_m$ se conserve tout au long du mouvement. C.Q.F.D.

Attention

Ne confonds pas « force à travail nul » et « force conservative » : la tension du fil n’est associée à aucune énergie potentielle (ce n’est pas une force conservative au sens strict), mais elle ne travaille jamais ici car elle reste perpendiculaire à la vitesse. C’est ce détail géométrique, et non sa nature, qui préserve l’énergie mécanique.

Prenons un pendule de longueur $L = 1{,}00\ \text{m}$ et de masse $m = 200\ \text{g}$ , lâché sans vitesse initiale avec un écart maximal $\theta_{\max} = 30°$ par rapport à la verticale. En prenant l’origine des altitudes au point le plus bas de la trajectoire, l’altitude du bob à un angle $\theta$ vaut $z(\theta) = L(1-\cos\theta)$ .

à l’écart maximal ( $\theta = 30°$ , $v=0$ ) : $E_m = mgz_{\max} = mgL(1-\cos30°)$
$=$ $0{,}200 \times 9{,}8 \times 1{,}00 \times (1 - 0{,}866)$
$\approx$ $0{,}26\ \text{J}$ valeur constante tout au long du mouvement

Comme $E_m$ reste égale à $0{,}26\ \text{J}$ à chaque instant, on en déduit $E_c$ à n’importe quelle position par simple soustraction $E_c = E_m - E_{pp}$ — c’est exactement ce que représente la figure suivante.

Figure 4 — Le pendule aux trois positions ①②③ : l’énergie mécanique

E_m \approx 0{,}26\ \text{J}

reste constante, seule sa répartition entre

E_c

E_{pp}

change.

6Forces conservatives et non conservatives

6.1 Forces conservatives

Définition

Une force est dite conservative si le travail qu’elle exerce entre deux points $A$ et $B$ ne dépend que des positions de $A$ et de $B$ , jamais du chemin suivi. De façon équivalente, son travail sur un trajet fermé (retour au point de départ) est toujours nul.

Propriété

Le poids (démontré en section 1.2) et la tension d’un ressort idéal (section 1.3) sont des forces conservatives. À chacune, on associe une énergie potentielle ( $E_{pp}$ ou $E_{pe}$ ) telle que le travail de la force soit l’opposé de la variation de cette énergie potentielle.

6.2 Forces non conservatives : les frottements

Définition

Une force est dite non conservative si son travail dépend du chemin suivi. C’est le cas des frottements : plus le trajet est long, plus leur travail (toujours négatif dans le sens du mouvement) est important en valeur absolue.

Démonstration — variation de l’énergie mécanique

Reprenons le théorème de l’énergie cinétique en présence du poids et d’une force de frottement $\vec f$ :

$E_c(B) - E_c(A) = W_{AB}(\vec P) + W_{AB}(\vec f)$
$=$ $\left[E_{pp}(A) - E_{pp}(B)\right] + W_{AB}(\vec f)$
$\Rightarrow$ $\left[E_c(B) + E_{pp}(B)\right] - \left[E_c(A) + E_{pp}(A)\right] = W_{AB}(\vec f)$
$\Rightarrow$ $\Delta E_m = W_{AB}(\vec f)$

Théorème — énergie dissipée

En présence de frottements, l’énergie mécanique diminue :

$\Delta E_m = W(\vec f) \leqslant 0$

La quantité d’énergie mécanique perdue est appelée énergie dissipée ; elle est intégralement convertie en chaleur (et parfois en son) :

$E_{\text{dissipée}} = -\Delta E_m = |W(\vec f)| \geqslant 0$

6.3 Applications : toboggan, montagnes russes, marteau-pilon

Ces trois théorèmes — énergie cinétique, conservation, dissipation — suffisent à analyser la quasi-totalité des dispositifs mécaniques usuels : les montagnes russes, où l’énergie potentielle emmagasinée en haut de la première montée se convertit en énergie cinétique tout au long du parcours (diminuée par les frottements sur les rails) ; le marteau-pilon industriel, où l’énergie potentielle d’une masse en hauteur se convertit, lors du choc, en un travail de déformation considérable sur une distance très courte ; ou le barrage hydroélectrique (section 4.1), où l’énergie potentielle de l’eau retenue se transforme en énergie électrique via les turbines.

Exemple — toboggan avec frottement

Une luge de masse $m = 30\ \text{kg}$ part sans vitesse du sommet d’un toboggan de hauteur $h = 3{,}0\ \text{m}$ . Les frottements dissipent $15\%$ de l’énergie potentielle initiale.

sans frottement : $v_{\text{sans}} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 3{,}0} \approx 7{,}7\ \text{m·s}^{-1}$
avec frottement : $\dfrac{1}{2}mv^{2} = 0{,}85 \times mgh$
$\Rightarrow$ $v = \sqrt{2 \times 0{,}85 \times g \times h} \approx 7{,}1\ \text{m·s}^{-1}$
$E_{\text{dissipée}} = 0{,}15 \times mgh = 0{,}15 \times 30 \times 9{,}8 \times 3{,}0$
$\approx$ $132\ \text{J}$

Figure 5 — Un mobile glisse sur un toboggan de hauteur

h = 3{,}0\ \text{m}

. Sans frottement, il atteindrait

v \approx 7{,}7\ \text{m·s}^{-1}

en bas ; les frottements dissipent ici

15\%

de l’énergie potentielle initiale, et la vitesse réelle n’est plus que

v \approx 7{,}1\ \text{m·s}^{-1}

Physique & Co — Huygens et l’horloge à pendule

En 1656, le savant néerlandais Christiaan Huygens met au point la première horloge à pendule fiable, s’appuyant sur les travaux de Galilée sur l’isochronisme des petites oscillations. Sa précision, de quelques secondes par jour au lieu de quelques minutes, transforme aussitôt la navigation, l’astronomie et la vie quotidienne européenne.

Un siècle plus tard, Gottfried Wilhelm Leibniz étudie ces mêmes oscillations et introduit la notion de vis viva (« force vive »), proportionnelle à $mv^{2}$ — l’ancêtre direct de l’énergie cinétique moderne. Il faudra encore un siècle d’efforts, notamment ceux de Coriolis et de Joule, pour que la notion actuelle d’énergie mécanique et sa conservation soient formulées avec la rigueur que tu utilises aujourd’hui.

Fiche mémo

Travail d’une force constante : $W(\vec F) = F d \cos\alpha$ — positif (moteur) si $\alpha < 90°$ , nul si $\alpha = 90°$ , négatif (résistant) si $\alpha > 90°$ .
Travail du poids : $W(\vec P) = mg(z_A - z_B)$ , indépendant du chemin suivi.
Puissance moyenne $P_{\text{moy}} = \dfrac{W}{\Delta t}$ ; puissance instantanée $P = F v \cos\alpha$ . $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \text{J}$ .
Énergie cinétique : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}$ , toujours $\geqslant 0$ .
Théorème de l’énergie cinétique : $\Delta E_c = \sum W(\vec F_{\text{ext}})$ — penser à toutes les forces.
Énergie potentielle de pesanteur : $E_{pp} = mgz$ (origine arbitraire) ; $W(\vec P) = -\Delta E_{pp}$ .
Énergie potentielle élastique : $E_{pe} = \dfrac{1}{2}kx^{2}$ , $x$ = déformation par rapport à la longueur à vide.
Énergie mécanique : $E_m = E_c + E_{pp}\ (+E_{pe})$ .
Force conservative (poids, ressort idéal) : travail indépendant du chemin ⇒ $E_m$ conservée si ce sont les seules forces qui travaillent.
Force non conservative (frottements) : $\Delta E_m = W(\vec f) \leqslant 0$ ; énergie dissipée $= -\Delta E_m = |W(\vec f)|$ .
Distance de freinage (sol horizontal, glissement) : $d = \dfrac{v_0^{2}}{2\mu g}$ , indépendante de la masse.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Une force constante $F = 150\ \text{N}$ fait un angle $\alpha = 60°$ avec un déplacement rectiligne $d = 8{,}0\ \text{m}$ . Calcule le travail de cette force.

Voir le corrigé détaillé

$W = F \times d \times \cos\alpha$
$=$ $150 \times 8{,}0 \times \cos(60°)$
$=$ $1\,200 \times 0{,}5$
$=$ $600\ \text{J}$

Le travail est positif : la force est motrice.

Un colis de masse $m = 5{,}0\ \text{kg}$ descend d’une altitude $z_1 = 12\ \text{m}$ à une altitude $z_2 = 3{,}0\ \text{m}$ le long d’un toboggan de manutention. Calcule le travail du poids.

Voir le corrigé détaillé

$W(\vec P) = mg(z_1 - z_2)$
$=$ $5{,}0 \times 9{,}8 \times (12 - 3{,}0)$
$=$ $49 \times 9{,}0$
$=$ $441\ \text{J}$

Le colis descend : le poids est moteur, son travail est positif — cohérent.

Un moteur fournit un travail $W = 3\,000\ \text{J}$ en une durée $\Delta t = 15\ \text{s}$ . Calcule sa puissance moyenne.

Voir le corrigé détaillé

$P_{\text{moy}} = \dfrac{W}{\Delta t}$
$=$ $\dfrac{3\,000}{15}$
$=$ $200\ \text{W}$

Une voiture de masse $m = 900\ \text{kg}$ roule à $v = 20\ \text{m·s}^{-1}$ . Calcule son énergie cinétique.

Voir le corrigé détaillé

$E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2}$
$=$ $0{,}5 \times 900 \times 20^{2}$
$=$ $450 \times 400$
$=$ $180\,000\ \text{J} = 180\ \text{kJ}$

Une caisse de masse $m = 2{,}0\ \text{kg}$ est posée à $z = 15\ \text{m}$ de hauteur (origine au sol). Un ressort de raideur $k = 200\ \text{N·m}^{-1}$ est comprimé de $x = 5{,}0\ \text{cm}$ . Calcule $E_{pp}$ de la caisse et $E_{pe}$ du ressort.

Voir le corrigé détaillé

$E_{pp} = mgz = 2{,}0 \times 9{,}8 \times 15$
$=$ $294\ \text{J}$
$E_{pe} = \dfrac{1}{2}kx^{2} = 0{,}5 \times 200 \times 0{,}05^{2}$
$=$ $0{,}25\ \text{J}$

Un point matériel de masse $m = 2{,}0\ \text{kg}$ , initialement immobile, subit un travail total $W = 100\ \text{J}$ de la part de la résultante des forces. Calcule sa vitesse finale.

Voir le corrigé détaillé

$\Delta E_c = W$
$\dfrac{1}{2}mv^{2} - 0 = 100$
$\Rightarrow$ $v = \sqrt{\dfrac{2 \times 100}{2{,}0}}$
$=$ $\sqrt{100}$
$=$ $10\ \text{m·s}^{-1}$

Niveau 2 — Approfondissement

Un skieur de masse $m = 70\ \text{kg}$ descend, sans frottement, une pente rectiligne inclinée de $\alpha = 20°$ sur une longueur $L = 80\ \text{m}$ , parti sans vitesse initiale. Calcule le travail du poids puis la vitesse du skieur en bas de la pente.

Voir le corrigé détaillé

La dénivelée est $h = L\sin\alpha$ .

$h = 80 \times \sin(20°)$
$=$ $80 \times 0{,}342$
$\approx$ $27{,}4\ \text{m}$

Seul le poids travaille (la réaction de la piste est perpendiculaire au déplacement) :

$W(\vec P) = mgh = 70 \times 9{,}8 \times 27{,}4$
$\approx$ $18\,770\ \text{J}$
$\Delta E_c = W(\vec P) \Rightarrow \dfrac{1}{2}mv^{2} = mgh$
$\Rightarrow$ $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 27{,}4}$
$\approx$ $23{,}2\ \text{m·s}^{-1}\ (\approx 83\ \text{km/h})$

Un chariot de masse $m = 0{,}50\ \text{kg}$ , lancé à $v_0 = 2{,}0\ \text{m·s}^{-1}$ sur une table horizontale sans frottement, vient comprimer un ressort de raideur $k = 200\ \text{N·m}^{-1}$ . Calcule la compression maximale du ressort.

Voir le corrigé détaillé

À la compression maximale, le chariot est momentanément immobile : toute son énergie cinétique s’est transformée en énergie potentielle élastique.

$\dfrac{1}{2}mv_0^{2} = \dfrac{1}{2}kx^{2}$
$\Rightarrow$ $x = v_0\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
$=$ $2{,}0 \times \sqrt{\dfrac{0{,}50}{200}}$
$=$ $2{,}0 \times 0{,}05$
$=$ $0{,}10\ \text{m} = 10\ \text{cm}$

Une personne tire un traîneau à l’aide d’une corde faisant un angle $\alpha = 25°$ avec l’horizontale, avec une force $F = 80\ \text{N}$ , à vitesse constante $v = 1{,}5\ \text{m·s}^{-1}$ . Calcule la puissance développée par cette force.

Voir le corrigé détaillé

$P = F \times v \times \cos\alpha$
$=$ $80 \times 1{,}5 \times \cos(25°)$
$=$ $120 \times 0{,}906$
$\approx$ $108{,}8\ \text{W}$

Un objet est lancé verticalement vers le haut à $v_0 = 15\ \text{m·s}^{-1}$ depuis le sol (origine des altitudes). On néglige les frottements de l’air.

Calcule la hauteur maximale atteinte.
Calcule sa vitesse lorsqu’il repasse à l’altitude $z = 5{,}0\ \text{m}$ .

Voir le corrigé détaillé

1. À la hauteur maximale, la vitesse est nulle. Par conservation de l’énergie mécanique :

$\dfrac{1}{2}mv_0^{2} = mgh_{\max}$
$\Rightarrow$ $h_{\max} = \dfrac{v_0^{2}}{2g} = \dfrac{15^{2}}{2 \times 9{,}8}$
$\approx$ $11{,}5\ \text{m}$

2. Toujours par conservation de l’énergie mécanique, entre le sol et $z = 5{,}0\ \text{m}$ :

$\dfrac{1}{2}mv_0^{2} = \dfrac{1}{2}mv^{2} + mgz$
$\Rightarrow$ $v = \sqrt{v_0^{2} - 2gz}$
$=$ $\sqrt{225 - 2 \times 9{,}8 \times 5{,}0}$
$=$ $\sqrt{127}$
$\approx$ $11{,}3\ \text{m·s}^{-1}$

Remarque : c’est la même vitesse à la montée qu’à la descente, à la même altitude — conséquence directe de la conservation de l’énergie mécanique.

Niveau 3 — Défi

Un traîneau de masse $m = 40\ \text{kg}$ part du repos en haut d’une pente inclinée de $\alpha = 25°$ , de longueur $L = 60\ \text{m}$ , et arrive en bas avec une vitesse $v = 15\ \text{m·s}^{-1}$ .

Calcule la dénivelée $h$ et le travail du poids sur la pente.
Calcule l’énergie cinétique en bas de la pente.
En déduire le travail des frottements, puis la valeur de la force de frottement (supposée constante et parallèle à la pente).

Voir le corrigé détaillé

$h = L\sin\alpha = 60 \times \sin(25°)$
$\approx$ $25{,}4\ \text{m}$
$W(\vec P) = mgh = 40 \times 9{,}8 \times 25{,}4$
$\approx$ $9\,940\ \text{J}$

$E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2} = 0{,}5 \times 40 \times 15^{2}$
$=$ $4\,500\ \text{J}$

3. D’après le théorème de l’énergie cinétique, $E_c - 0 = W(\vec P) + W(\vec f)$ :

$W(\vec f) = E_c - W(\vec P)$
$=$ $4\,500 - 9\,940$
$\approx$ $-5\,440\ \text{J}$
$f = \dfrac{|W(\vec f)|}{L} = \dfrac{5\,440}{60}$
$\approx$ $90{,}7\ \text{N}$

Les frottements ont dissipé plus de la moitié de l’énergie potentielle initiale : la piste est loin d’être « lisse ».

Un marteau-pilon de masse $M = 500\ \text{kg}$ tombe en chute libre d’une hauteur $h = 2{,}0\ \text{m}$ puis s’enfonce de $d = 5{,}0\ \text{cm}$ dans une pièce métallique avant de s’arrêter, sous l’effet d’une force de résistance $\vec R$ supposée constante.

Calcule la vitesse du marteau à l’instant de l’impact.
En déduire la valeur de la force de résistance $R$ pendant l’enfoncement (le poids continue de travailler sur la distance $d$ ).
Sachant que l’enfoncement dure environ $\Delta t \approx 16\ \text{ms}$ , estime la puissance moyenne développée par la résistance.

Voir le corrigé détaillé

1. Chute libre, conservation de l’énergie mécanique :

$v_{\text{imp}} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 2{,}0}$
$\approx$ $6{,}26\ \text{m·s}^{-1}$

2. Théorème de l’énergie cinétique entre l’impact et l’arrêt (vitesse finale nulle), sur la distance $d$ :

$0 - \dfrac{1}{2}Mv_{\text{imp}}^{2} = W(\vec P) + W(\vec R)$
$\dfrac{1}{2}Mv_{\text{imp}}^{2} \approx 9\,800\ \text{J}$
$W(\vec P) = Mgd = 500 \times 9{,}8 \times 0{,}05 = 245\ \text{J}$
$\Rightarrow$ $W(\vec R) = -9\,800 - 245$
$=$ $-10\,045\ \text{J}$
$R = \dfrac{|W(\vec R)|}{d} = \dfrac{10\,045}{0{,}05}$
$\approx$ $2{,}0 \times 10^{5}\ \text{N}$

$P_{\text{moy}} = \dfrac{|W(\vec R)|}{\Delta t} = \dfrac{10\,045}{0{,}016}$
$\approx$ $6{,}3 \times 10^{5}\ \text{W} \approx 629\ \text{kW}$

Une puissance considérable, développée sur un temps extrêmement bref : le marteau-pilon concentre l’énergie potentielle accumulée lentement en une action mécanique brutale et brève.

Un barrage hydroélectrique laisse tomber un débit volumique $D = 15\ \text{m}^{3}\text{·s}^{-1}$ d’eau (masse volumique $\rho = 1\,000\ \text{kg·m}^{-3}$ ) d’une hauteur de chute $h = 40\ \text{m}$ vers les turbines.

Calcule la masse d’eau qui tombe chaque seconde.
En déduire la puissance mécanique brute disponible.
Si le rendement global de la centrale est de $85\%$ , calcule la puissance électrique produite.

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{m}{\Delta t} = \rho \times D = 1\,000 \times 15$
$=$ $15\,000\ \text{kg·s}^{-1}$

2. Chaque seconde, l’énergie potentielle perdue par cette masse d’eau devient la puissance brute disponible :

$P_{\text{brute}} = \dfrac{m}{\Delta t} \times g \times h = 15\,000 \times 9{,}8 \times 40$
$=$ $5{,}88 \times 10^{6}\ \text{W} = 5{,}88\ \text{MW}$

$P_{\text{utile}} = 0{,}85 \times P_{\text{brute}}$
$=$ $0{,}85 \times 5{,}88$
$\approx$ $5{,}0\ \text{MW}$

Une seule petite centrale de ce type alimente déjà plusieurs milliers de foyers.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le treuil d’Amadou (Dakar). Sur un chantier de Dakar, Amadou utilise un treuil électrique pour monter des sacs de ciment, masse totale $m = 1\,200\ \text{kg}$ , sur une hauteur $h = 18\ \text{m}$ , en $\Delta t = 60\ \text{s}$ , à vitesse constante. Le rendement du moteur électrique est de $80\%$ .

Calcule la puissance mécanique utile développée.
En déduire la puissance électrique consommée par le moteur.
Amadou répète cette opération $40$ fois dans la journée. Calcule l’énergie électrique consommée (en kWh) et son coût, sachant que le kWh est facturé $105$ F CFA.

Voir le corrigé détaillé

$W = mgh = 1\,200 \times 9{,}8 \times 18$
$=$ $211\,680\ \text{J}$
$P_{\text{utile}} = \dfrac{W}{\Delta t} = \dfrac{211\,680}{60}$
$=$ $3\,528\ \text{W} \approx 3{,}53\ \text{kW}$

2. Le rendement $\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{élec}}}$ :

$P_{\text{élec}} = \dfrac{P_{\text{utile}}}{\eta} = \dfrac{3\,528}{0{,}80}$
$=$ $4\,410\ \text{W} \approx 4{,}41\ \text{kW}$

$E_{\text{une levée}} = P_{\text{élec}} \times \Delta t = 4\,410 \times 60$
$=$ $264\,600\ \text{J} = 0{,}0735\ \text{kWh}$
$E_{\text{jour}} = 40 \times 0{,}0735$
$\approx$ $2{,}94\ \text{kWh}$
$\text{coût} = 2{,}94 \times 105$
$\approx$ $309\ \text{F CFA par jour}$

Freinage sur la route de Ndjamena. Ibrahim conduit un camion chargé de masse $m_1 = 8\,000\ \text{kg}$ à $v_0 = 20\ \text{m·s}^{-1}$ ( $72\ \text{km/h}$ ) sur la route entre Ndjamena et Massaguet. Il doit freiner d’urgence ; le coefficient de frottement pneus-route vaut $\mu = 0{,}45$ .

Calcule la distance de freinage du camion.
Une voiture légère, masse $m_2 = 1\,000\ \text{kg}$ , roule à la même vitesse et freine avec le même coefficient $\mu$ . Compare sa distance de freinage à celle du camion, sans refaire tout le calcul.

Voir le corrigé détaillé

1. Sur route horizontale, seul le frottement travaille lors du freinage :

$0 - \dfrac{1}{2}m_1v_0^{2} = -\mu m_1 g \times d$
$\Rightarrow$ $d = \dfrac{v_0^{2}}{2\mu g} = \dfrac{20^{2}}{2 \times 0{,}45 \times 9{,}8}$
$=$ $\dfrac{400}{8{,}82}$
$\approx$ $45{,}4\ \text{m}$

2. Dans l’expression $d = \dfrac{v_0^{2}}{2\mu g}$ , la masse $m$ a disparu — elle s’était simplifiée de chaque côté de l’égalité. La voiture légère freine donc sur exactement la même distance, $d \approx 45{,}4\ \text{m}$ , à vitesse et coefficient de frottement égaux. Résultat contre-intuitif mais essentiel pour la sécurité routière : le poids lourd n’a pas, à lui seul, une distance de freinage plus grande.

Le toboggan aquatique d’Abidjan. Fatou, de masse $m = 45\ \text{kg}$ , s’élance depuis le sommet d’un toboggan aquatique de hauteur $h = 8{,}0\ \text{m}$ , sans vitesse initiale. Les frottements (eau et parois) dissipent $20\%$ de l’énergie potentielle initiale.

Calcule la vitesse théorique de Fatou en bas du toboggan si les frottements étaient nuls.
Calcule sa vitesse réelle, frottements compris.
Calcule l’énergie dissipée en chaleur sur tout le trajet.

Voir le corrigé détaillé

$v_{\text{sans}} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 8{,}0}$
$\approx$ $12{,}5\ \text{m·s}^{-1}$

2. Il ne reste que $80\%$ de l’énergie potentielle initiale sous forme d’énergie cinétique en bas :

$\dfrac{1}{2}mv^{2} = 0{,}80 \times mgh$
$\Rightarrow$ $v = \sqrt{2 \times 0{,}80 \times g \times h}$
$=$ $\sqrt{1{,}6 \times 9{,}8 \times 8{,}0}$
$\approx$ $11{,}2\ \text{m·s}^{-1}$

$E_{\text{dissipée}} = 0{,}20 \times mgh$
$=$ $0{,}20 \times 45 \times 9{,}8 \times 8{,}0$
$\approx$ $705{,}6\ \text{J}$

Même en toboggan aquatique, un cinquième de l’énergie potentielle part en chaleur et en éclaboussures !

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Écrire le travail d'une force sous la forme simplifiée $W = F \times d$ , sans le facteur $\cos\alpha$ , n'est correct que si :

la force est perpendiculaire au déplacement la force est parallèle au déplacement (

\alpha = 0

) le déplacement est nul la force est nulle

Explication : La formule complète est

W = F d \cos\alpha

. Elle ne se réduit à

Fd

que lorsque

\alpha = 0

, c'est-à-dire lorsque la force est parallèle au déplacement. Oublier le cosinus est l'erreur la plus fréquente au bac sur ce chapitre.

Une force perpendiculaire au déplacement ( $\alpha = 90°$ ) a un travail :

toujours positif toujours négatif nul égal à

F \times d

Explication :

W = Fd\cos(90°) = 0

: une force perpendiculaire au déplacement ne fournit ni ne consomme d'énergie. C'est le cas typique de la réaction normale d'un support horizontal sur un objet qui glisse.

Une force constante $F = 100$ N fait un angle $\alpha = 60°$ avec un déplacement rectiligne $d = 10$ m. Le travail de cette force vaut :

500\ \text{J}

1\,000\ \text{J}

866\ \text{J}

0\ \text{J}

Explication :

W = F \times d \times \cos\alpha = 100 \times 10 \times \cos(60°) = 1\,000 \times 0{,}5 = 500\ \text{J}

Un objet monte d'une altitude $z_A$ à une altitude $z_B > z_A$ . Le travail du poids $W(\vec P) = mg(z_A - z_B)$ est alors :

positif, car le poids est moteur à la montée nul, car le poids ne travaille jamais lors d'une montée positif, car

z_A - z_B > 0

négatif, car

z_A < z_B

, donc

z_A - z_B < 0

Explication : Si l'objet monte,

z_B > z_A

, donc

z_A - z_B

est négatif : le travail du poids est négatif, le poids est résistant. Il ne devient moteur (positif) que lorsque l'objet descend.

Un moteur fournit un travail $W = 4\,500$ J en une durée $\Delta t = 25$ s. Sa puissance moyenne $P_{\text{moy}} = W/\Delta t$ vaut :

112\,500\ \text{W}

180\ \text{W}

18\ \text{W}

1\,800\ \text{W}

Explication :

P_{\text{moy}} = \dfrac{W}{\Delta t} = \dfrac{4\,500}{25} = 180\ \text{W}

Un cycliste avance à vitesse constante $v = 5{,}0\ \text{m·s}^{-1}$ , avec une force motrice $F = 60$ N dans l'axe du mouvement ( $\alpha = 0$ ). La puissance instantanée $P = Fv\cos\alpha$ qu'il développe vaut :

300\ \text{W}

12\ \text{W}

65\ \text{W}

3\,000\ \text{W}

Explication :

P = F \times v \times \cos(0°) = 60 \times 5{,}0 \times 1 = 300\ \text{W}

Une voiture de masse $m = 800$ kg roule à $v = 15\ \text{m·s}^{-1}$ . Son énergie cinétique $E_c = \frac{1}{2}mv^{2}$ vaut :

6\,000\ \text{J}

12\,000\ \text{J}

90\,000\ \text{J}

180\,000\ \text{J}

Explication :

E_c = \dfrac{1}{2} \times 800 \times 15^{2} = 400 \times 225 = 90\,000\ \text{J} = 90\ \text{kJ}

Le théorème de l'énergie cinétique s'énonce :

E_c(B) = E_c(A)

, toujours, quel que soit le système

\Delta E_c = W(\vec F_{\text{motrice}})

: seul le travail de la force motrice compte

E_c = \sum W

, sans notion de variation

\Delta E_c = \sum W_{AB}(\vec F_{\text{ext}})

: la variation d'énergie cinétique égale la somme des travaux de toutes les forces extérieures

Explication : Le théorème porte sur la somme des travaux de toutes les forces extérieures — poids, réaction normale, frottements, force motrice — pas seulement de la force qui fait avancer l'objet. Oublier une force (même à travail nul) est une erreur fréquente.

Une voiture roulant à $v_0 = 15\ \text{m·s}^{-1}$ freine roues bloquées sur route sèche, avec $\mu = 0{,}60$ . Sa distance de freinage $d = \dfrac{v_0^{2}}{2\mu g}$ (avec $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ) vaut environ :

11{,}5\ \text{m}

19{,}1\ \text{m}

38{,}3\ \text{m}

76{,}5\ \text{m}

Explication :

d = \dfrac{v_0^{2}}{2\mu g} = \dfrac{15^{2}}{2\times0{,}60\times9{,}8} = \dfrac{225}{11{,}76} \approx 19{,}1\ \text{m}

Deux véhicules, l'un deux fois plus lourd que l'autre, freinent roues bloquées à la même vitesse initiale et avec le même coefficient de frottement $\mu$ . Leurs distances de freinage :

sont dans le rapport 2 (le plus lourd freine deux fois plus loin) sont dans le rapport 4 sont exactement identiques : la masse disparaît de la formule

d = v_0^{2}/(2\mu g)

dépendent uniquement de la puissance du moteur de chacun

Explication : Dans le théorème de l'énergie cinétique appliqué au freinage, la masse se simplifie de chaque côté de l'égalité : la distance de freinage ne dépend que de

v_0

\mu

g

, jamais de la masse. Résultat contre-intuitif mais essentiel pour la sécurité routière.

L'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp} = mgz$ d'un objet :

dépend du choix arbitraire de l'origine des altitudes ; seule sa variation

\Delta E_{pp}

a un sens physique a toujours une valeur physique absolue, indépendante de tout choix est toujours négative, quel que soit l'objet ne dépend que de la masse, jamais de l'altitude

Explication : L'altitude

z

est comptée à partir d'une origine choisie librement :

E_{pp}

elle-même n'a donc pas de « vraie » valeur. Ce qui compte physiquement, c'est toujours une différence

\Delta E_{pp}

entre deux points, qui ne dépend d'aucun choix d'origine.

Un ressort de longueur à vide $\ell_0 = 25$ cm mesure $\ell = 31$ cm une fois étiré. La déformation $x$ à utiliser dans $E_{pe} = \frac{1}{2}kx^{2}$ vaut :

31\ \text{cm}

25\ \text{cm}

56\ \text{cm}

6\ \text{cm}

Explication :

x

est la déformation par rapport à la longueur naturelle (à vide) du ressort, jamais sa longueur totale :

x = \ell - \ell_0 = 31 - 25 = 6\ \text{cm}

Un ressort de raideur $k = 100\ \text{N·m}^{-1}$ est comprimé de $x = 4{,}0$ cm par rapport à sa longueur naturelle. Son énergie potentielle élastique $E_{pe} = \frac{1}{2}kx^{2}$ vaut :

0{,}004\ \text{J}

0{,}8\ \text{J}

0{,}08\ \text{J}

4{,}0\ \text{J}

Explication :

E_{pe} = \dfrac{1}{2} \times 100 \times (0{,}040)^{2} = 50 \times 0{,}0016 = 0{,}08\ \text{J}

L'énergie mécanique $E_m$ d'un point matériel est :

uniquement son énergie cinétique la somme de son énergie cinétique et de son (ou ses) énergie(s) potentielle(s) uniquement son énergie potentielle de pesanteur toujours nulle si le point est en mouvement

Explication :

E_m = E_c + E_{pp}

(

+E_{pe}

si un ressort intervient). C'est la grandeur qui se conserve lorsque seules des forces conservatives travaillent.

Dans un pendule simple sans frottement, la tension du fil ne modifie jamais l'énergie mécanique du système, car :

elle est nulle en permanence c'est une force conservative, associée à une énergie potentielle elle est toujours parallèle à la vitesse du bob elle reste perpendiculaire à la vitesse du bob à chaque instant, donc son travail est nul à chaque instant

Explication : Le bob se déplace sur un cercle : sa vitesse est toujours tangente à ce cercle, donc perpendiculaire à la tension (radiale). La puissance de la tension est donc nulle en permanence, et son travail total aussi — sans que la tension soit pour autant une force conservative associée à une énergie potentielle.

Un caillou est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 15$ m (frottements négligés). Sa vitesse au sol, obtenue par conservation de l'énergie mécanique ( $v = \sqrt{2gh}$ ), vaut environ :

17{,}1\ \text{m·s}^{-1}

147\ \text{m·s}^{-1}

8{,}6\ \text{m·s}^{-1}

30{,}0\ \text{m·s}^{-1}

Explication :

v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times9{,}8\times15} = \sqrt{294} \approx 17{,}1\ \text{m·s}^{-1}

Une force est dite conservative lorsque :

elle ne travaille jamais, quel que soit le déplacement son travail dépend fortement de la longueur du trajet suivi le travail qu'elle exerce entre deux points ne dépend que de leurs positions, jamais du chemin suivi elle s'oppose toujours au sens du mouvement

Explication : C'est la définition d'une force conservative — le poids et la tension d'un ressort idéal en sont les deux exemples du programme. À l'inverse, le travail des frottements (non conservatifs) dépend du chemin parcouru.

En présence de frottements sur un trajet, l'énergie mécanique du système :

reste constante, exactement comme en l'absence de frottements diminue :

\Delta E_m = W(\vec f) \leqslant 0

, l'énergie perdue étant intégralement dissipée en chaleur augmente toujours, quel que soit le trajet ne peut être calculée que si le trajet est parfaitement rectiligne

Explication : Le travail des frottements est toujours négatif dans le sens du mouvement :

\Delta E_m = W(\vec f) \leqslant 0

. L'énergie dissipée,

E_{\text{dissipée}} = -\Delta E_m = |W(\vec f)|

, se retrouve intégralement en chaleur (et parfois en son).

Une luge part sans vitesse initiale d'un toboggan de hauteur $h = 5{,}0$ m ; les frottements dissipent $10\%$ de l'énergie potentielle initiale. La vitesse réelle en bas, telle que $\frac{1}{2}mv^{2} = 0{,}90 \times mgh$ , vaut environ :

9{,}90\ \text{m·s}^{-1}

8{,}86\ \text{m·s}^{-1}

4{,}95\ \text{m·s}^{-1}

9{,}39\ \text{m·s}^{-1}

Explication :

v = \sqrt{2\times0{,}90\times g\times h} = \sqrt{1{,}8\times9{,}8\times5{,}0} = \sqrt{88{,}2} \approx 9{,}39\ \text{m·s}^{-1}

— un peu moins que la vitesse sans frottement (

\approx9{,}90\ \text{m·s}^{-1}

), à cause des

10\%

d'énergie dissipée.

Sur un trajet $AB$ avec frottements, on calcule $\Delta E_m = -180$ J. L'énergie dissipée en chaleur sur ce trajet vaut :

180\ \text{J}

-180\ \text{J}

0\ \text{J}

, car l'énergie mécanique ne se dissipe jamais

360\ \text{J}

Explication :

E_{\text{dissipée}} = -\Delta E_m = -(-180) = 180\ \text{J}

: l'énergie dissipée est, par définition, l'opposé de la variation (négative) de l'énergie mécanique — donc toujours une quantité positive.

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En bref

Classe : Classe de Première
Matière : Physique
Durée estimée : 10 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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