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Cinématique du point

Décrire précisément les mouvements avec les vecteurs position, vitesse et accélération.

Physique Première Chapitre 1 / 9 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Établir les équations horaires d'un mouvement
  • Exploiter un graphique v = f(t)
  • Calculer une accélération normale et tangentielle

Une voiture qui double sur la route de Thiès, un satellite qui tourne autour de la Terre, une balle de tennis qui retombe après un service : dans chacun de ces cas, un objet occupe, à chaque instant, une position différente dans l'espace. Décrire ce mouvement de façon précise — dire où se trouve l'objet, à quelle vitesse il se déplace et comment cette vitesse change — c'est tout l'objet de la cinématique, du grec kinêma, « mouvement ».

Jusqu'ici, tu savais calculer une vitesse moyenne : distance divisée par durée. Ce chapitre va beaucoup plus loin. Le mouvement va être décrit avec des vecteurs — position, vitesse, accélération — qui portent une direction et un sens, pas seulement une valeur numérique. Tu vas aussi découvrir la vitesse instantanée, celle qu'indique le compteur d'une voiture à un instant précis, et qui se calcule par dérivation.

Cette rigueur nouvelle n'est pas un luxe : elle est indispensable pour aborder, l'an prochain, les lois de Newton et la dynamique. Un point mobile dont on sait écrire les équations horaires — c'est-à-dire x(t)x(t), v(t)v(t), a(t)a(t) — est un point mobile dont on peut prédire l'avenir. C'est exactement ce que fait un ingénieur qui calcule la distance de freinage d'un bus rapide à Dakar, ou un physicien qui place un satellite sur une orbite.

À la fin de ce chapitre, tu sauras établir les équations horaires d'un mouvement rectiligne ou circulaire, exploiter un graphique v=f(t)v = f(t), et calculer une accélération tangentielle et une accélération normale.

1Repérage et vecteur position

Avant de parler de vitesse, il faut savoir répondre à une question plus simple : « où est l'objet ? ». Répondre correctement suppose de préciser par rapport à quoi on observe le mouvement.

1.1  Référentiel et repère d'espace-temps

Définition

Un référentiel est un solide de référence (le sol, une voiture, le Soleil…) auquel on associe un repère d'espace — une origine OO et des axes — et une horloge pour mesurer le temps tt, en secondes (s).

Le mouvement d'un point n'a de sens que si l'on précise le référentiel choisi. Un passager assis dans un car qui roule est immobile par rapport au car (référentiel du car), mais il se déplace à 90 km⋅h−190\ \text{km·h}^{-1} par rapport à la route (référentiel terrestre). Les deux descriptions sont exactes : elles répondent simplement à deux questions différentes.

Attention

Il n'existe aucun mouvement absolu. Un exercice qui ne précise pas le référentiel est incomplet : toujours l'indiquer dans ta réponse, par exemple « dans le référentiel terrestre, supposé galiléen ».

Physique & Co — Le bateau de Galilée

En 1632, dans son Dialogue sur les deux grands systèmes du monde, Galilée imagine un passager enfermé dans la cabine d'un bateau, sans hublot. Aucune expérience de mécanique menée dans cette cabine — laisser tomber une bille, observer le vol d'un papillon — ne permet de savoir si le bateau est immobile au port ou s'il avance en ligne droite à vitesse constante sur une mer calme. C'est le premier énoncé clair du principe de relativité du mouvement : le mouvement n'existe que relativement à un référentiel. Cette idée, reprise et généralisée par Newton puis par Einstein, reste un pilier de toute la physique.

1.2  Vecteur position et coordonnées

Définition

Dans un repère (O;ı⃗,ȷ⃗)(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}), la position d'un point mobile MM à l'instant tt est repérée par le vecteur position OM→(t)\overrightarrow{OM}(t). Ses coordonnées x(t)x(t) et y(t)y(t), exprimées en mètres (m), sont les équations horaires de la position :

OM→(t)=x(t) ı⃗+y(t) ȷ⃗\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\,\vec{\imath} + y(t)\,\vec{\jmath}

Connaître OM→(t)\overrightarrow{OM}(t) à chaque instant, c'est connaître tout du mouvement : la trajectoire, la vitesse et l'accélération s'en déduisent, comme tu vas le voir dans ce chapitre.

Exemple — position d'un robot mobile

Un petit robot se déplace dans un plan horizontal. Ses équations horaires, en mètres et secondes, sont x(t)=3t+2x(t) = 3t + 2 et y(t)=0,5 t2y(t) = 0{,}5\,t^{2}. Calculons sa position à t=2 st = 2\ \text{s}.

  1. x(2)=3×2+2x(2) = 3 \times 2 + 2
  2. ==8 m8\ \text{m}
  3. y(2)=0,5×22y(2) = 0{,}5 \times 2^{2}
  4. ==2 m2\ \text{m}

À t=2 st = 2\ \text{s}, le robot se trouve au point de coordonnées (8 ; 2)(8~;~2), soit OM→(2)=8 ı⃗+2 ȷ⃗\overrightarrow{OM}(2) = 8\,\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath}.

Vecteur position d'un point M en mouvement x y O M₀ M OM(t) x(t) y(t) s
Figure 1 — Le vecteur position OM→(t)\overrightarrow{OM}(t) repère le point mobile MM à chaque instant ; ses coordonnées x(t)x(t) et y(t)y(t) sont les projections sur les axes. L'abscisse curviligne ss (en vert) mesure la distance parcourue le long de la trajectoire depuis le point de départ M0M_{0}.

1.3  Trajectoire et abscisse curviligne

Définition

La trajectoire d'un point mobile est l'ensemble des positions successives qu'il occupe au cours du temps, dans un référentiel donné. L'abscisse curviligne s(t)s(t) est la distance parcourue le long de la trajectoire depuis une origine M0M_{0} choisie ; elle s'exprime en mètres.

La trajectoire dépend, elle aussi, du référentiel : la valve d'une roue de vélo décrit un cercle par rapport au moyeu, mais une courbe en forme d'arches (une cycloïde) par rapport à la route. On classe les mouvements selon la forme de la trajectoire : rectiligne (droite), circulaire (cercle), ou curviligne quelconque.

Exemple — distance parcourue sur une piste

Un athlète part du point M0M_{0} d'une piste circulaire et atteint le point MM après avoir parcouru un quart de cercle de rayon R=40 mR = 40\ \text{m}.

  1. s=14×2πRs = \dfrac{1}{4} \times 2\pi R
  2. ==π×402\dfrac{\pi \times 40}{2}
  3. ≈\approx62,8 m62{,}8\ \text{m}à ne pas confondre avec la distance en ligne droite M0MM_{0}M

2Vecteur vitesse et vecteur accélération

Le vecteur position dit où se trouve le mobile. Ses dérivées successives par rapport au temps disent comment il s'y déplace : c'est l'objet de cette section.

2.1  Vitesse moyenne

Définition

Entre deux instants tt et t+Δtt+\Delta t, le mobile passe du point MM au point M′M'. Le vecteur vitesse moyenne est :

v⃗m=MM′→Δt\vec{v}_{m} = \dfrac{\overrightarrow{MM'}}{\Delta t}

Sa norme vm=MM′Δtv_{m} = \dfrac{MM'}{\Delta t} s'exprime en mètres par seconde (m⋅s−1\text{m·s}^{-1}).

Exemple — vitesse moyenne d'un cycliste

Un cycliste parcourt 15 km15\ \text{km} en 30 min30\ \text{min}.

  1. vm=dΔt=15 00030×60v_{m} = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{15\,000}{30 \times 60}
  2. ==8,3 m⋅s−18{,}3\ \text{m·s}^{-1}soit 30 km⋅h−130\ \text{km·h}^{-1}

2.2  Vecteur vitesse instantanée

Définition

Le vecteur vitesse instantanée à l'instant tt est la limite du vecteur vitesse moyenne lorsque Δt\Delta t tend vers 00 : c'est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

v⃗(t)=lim⁡Δt→0MM′→Δt=dOM→dt\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\overrightarrow{MM'}}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}

En coordonnées cartésiennes : vx=dxdtv_{x} = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} et vy=dydtv_{y} = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.

Propriété

Le vecteur vitesse v⃗(t)\vec{v}(t) est en tout point tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement. Sa norme v(t)=vx2+vy2v(t) = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} est la vitesse instantanée, en m⋅s−1\text{m·s}^{-1}.

Du vecteur déplacement au vecteur vitesse M(t) M(t+Δt) MM'/Δt v(t)
Figure 2 — Le vecteur vitesse moyenne MM′→/Δt\overrightarrow{MM'}/\Delta t (orange, en pointillé) relie deux positions successives. Quand Δt\Delta t tend vers 00, M′M' se rapproche de MM et ce vecteur devient le vecteur vitesse instantanée v⃗(t)\vec{v}(t) (bleu), tangent à la trajectoire.
Méthode — dériver les fonctions usuelles de la cinématique

Ce chapitre n'utilise que trois règles de dérivation, déjà rencontrées en mathématiques :

  1. ddt(k)=0\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(k) = 0une constante kk ne varie pas
  2. ddt(k t)=k\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(k\,t) = k
  3. ddt(k t2)=2k t\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(k\,t^{2}) = 2k\,t
Exemple — calculer un vecteur vitesse

Reprenons le robot de la section 1 : x(t)=3t+2x(t) = 3t+2 et y(t)=0,5 t2y(t) = 0{,}5\,t^{2} (en mètres).

  1. vx(t)=dxdt=3 m⋅s−1v_{x}(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 3\ \text{m·s}^{-1}constante
  2. vy(t)=dydt=t m⋅s−1v_{y}(t) = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = t\ \text{m·s}^{-1}
  3. à t=2 st=2\ \text{s} : vx=3 m⋅s−1v_{x} = 3\ \text{m·s}^{-1} et vy=2 m⋅s−1v_{y} = 2\ \text{m·s}^{-1}
  4. v=32+22v = \sqrt{3^{2}+2^{2}}
  5. ==13≈3,6 m⋅s−1\sqrt{13} \approx 3{,}6\ \text{m·s}^{-1}

2.3  Vecteur accélération

Définition

Le vecteur accélération a⃗(t)\vec{a}(t) est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

a⃗(t)=dv⃗dt=d2OM→dt2\vec{a}(t) = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}^{2}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t^{2}}

Il s'exprime en mètres par seconde au carré (m⋅s−2\text{m·s}^{-2}) et en coordonnées : ax=dvxdta_{x} = \dfrac{\mathrm{d}v_{x}}{\mathrm{d}t}, ay=dvydta_{y} = \dfrac{\mathrm{d}v_{y}}{\mathrm{d}t}.

Propriété — décomposition tangentielle et normale

Dans le repère mobile de Frenet, lié au point MM, le vecteur accélération se décompose selon la tangente u⃗t\vec{u}_{t} et la normale u⃗n\vec{u}_{n} à la trajectoire (dirigée vers le centre de courbure) :

a⃗=at u⃗t+an u⃗navecat=dvdtetan=v2R\vec{a} = a_{t}\,\vec{u}_{t} + a_{n}\,\vec{u}_{n} \qquad \text{avec} \qquad a_{t} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \quad \text{et} \quad a_{n} = \dfrac{v^{2}}{R}

RR est le rayon de courbure de la trajectoire au point MM (le rayon du cercle si la trajectoire est circulaire). ata_{t} traduit le changement de la norme de la vitesse ; ana_{n} traduit le changement de direction de la vitesse.

Attention

Un mobile peut avoir une accélération non nulle tout en gardant une vitesse de norme constante : c'est le cas de tout mouvement circulaire uniforme (section 5), où at=0a_{t} = 0 mais an=v2/R≠0a_{n} = v^{2}/R \neq 0. Accélération nulle signifie v⃗\vec{v} constant en norme ET en direction, donc un mouvement rectiligne uniforme.

Décomposition tangentielle et normale de l'accélération M v aₜ aₙ a
Figure 3 — En un point MM de la trajectoire, l'accélération a⃗\vec{a} (rouge) se décompose en une composante tangentielle ata_{t} (orange, colinéaire à v⃗\vec{v}) et une composante normale ana_{n} (verte, dirigée vers le centre de courbure). Les pointillés montrent la construction du vecteur somme a⃗=atu⃗t+anu⃗n\vec{a} = a_{t}\vec{u}_{t}+a_{n}\vec{u}_{n}.
Méthode — calculer une accélération normale

On calcule ana_{n} avec an=v2/Ra_{n} = v^{2}/R, vv étant la vitesse (en m⋅s−1\text{m·s}^{-1}) et RR le rayon de courbure (en m) au point considéré. Si la trajectoire est rectiligne, R→∞R \to \infty donc an=0a_{n} = 0 : l'accélération est alors purement tangentielle.

Exemple — accélération normale d'un virage

Une voiture aborde un virage de rayon R=50 mR = 50\ \text{m} à la vitesse constante v=54 km⋅h−1v = 54\ \text{km·h}^{-1}.

  1. v=54÷3,6=15 m⋅s−1v = 54 \div 3{,}6 = 15\ \text{m·s}^{-1}
  2. at=0a_{t} = 0vitesse constante en norme
  3. an=v2R=15250a_{n} = \dfrac{v^{2}}{R} = \dfrac{15^{2}}{50}
  4. ==4,5 m⋅s−24{,}5\ \text{m·s}^{-2}

Cette accélération, dirigée vers le centre du virage, est celle que « ressentent » les passagers plaqués vers l'extérieur.

3Mouvement rectiligne uniforme

Le mouvement le plus simple à décrire est aussi le plus fréquent dans les exercices : celui où le mobile va tout droit, à vitesse constante.

3.1  Définition

Définition

Un mouvement est rectiligne uniforme (MRU) si sa trajectoire est une droite et si le vecteur vitesse est constant (norme et direction inchangées) au cours du temps. Le vecteur accélération est alors nul : a⃗=0⃗\vec{a} = \vec{0}.

On choisit toujours l'axe (Ox)(Ox) confondu avec la trajectoire : le mouvement devient une simple fonction x(t)x(t), la vitesse se réduit à sa composante vx=vv_{x} = v, constante.

3.2  Équation horaire

Théorème

Pour un mouvement rectiligne uniforme de vitesse vv, partant de la position x0x_{0} à t=0t=0 :

x(t)=v t+x0x(t) = v\,t + x_{0}

Démonstration

Par définition du MRU, vx(t)=dxdt=vv_{x}(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v, une constante. On cherche une fonction x(t)x(t) dont la dérivée vaut vv.

  1. d'après la méthode 2.2, ddt(v t)=v\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v\,t) = v
  2. ⇒\Rightarrowx(t)=v t+Cx(t) = v\,t + CCC constante, car la dérivée d'une constante est nulle
  3. condition initiale : à t=0t=0, x(0)=x0x(0) = x_{0}
  4. v×0+C=x0v \times 0 + C = x_{0}
  5. ⇒\RightarrowC=x0C = x_{0}

D'où x(t)=v t+x0x(t) = v\,t + x_{0}. C.Q.F.D.

Exemple — position d'un cycliste

Un cycliste roule en ligne droite à vitesse constante v=15 m⋅s−1v = 15\ \text{m·s}^{-1} ; à t=0t=0, il se trouve à x0=10 mx_{0} = 10\ \text{m} d'une borne kilométrique.

  1. x(t)=15 t+10x(t) = 15\,t + 10
  2. à t=5 st = 5\ \text{s} : x(5)=15×5+10x(5) = 15 \times 5 + 10
  3. ==85 m85\ \text{m}
Mouvement rectiligne uniforme : x(t), v(t), a(t) x (m) t (s) 10 85 v (m/s) t (s) v = 15 m/s aire = 45 m a (m/s²) t (s) a = 0
Figure 4 — Diagrammes horaires d'un mouvement rectiligne uniforme (x0=10 mx_{0}=10\ \text{m}, v=15 m⋅s−1v=15\ \text{m·s}^{-1}) : x(t)x(t) est une droite de pente vv ; v(t)v(t) est une droite horizontale ; a(t)a(t) est confondue avec l'axe des temps. La surface colorée sous v(t)v(t) entre 00 et 3 s3\ \text{s} vaut 45 m45\ \text{m}, le déplacement pendant cette durée.

4Mouvement rectiligne uniformément varié

Dès qu'un véhicule démarre, freine ou prend un virage, sa vitesse change : le mouvement n'est plus uniforme. Le cas le plus simple — et le plus utile — est celui où l'accélération est constante.

4.1  Définition

Définition

Un mouvement est rectiligne uniformément varié (MRUV) si sa trajectoire est une droite et si le vecteur accélération est constant, non nul : a⃗=cste⃗\vec{a} = \vec{\text{cste}}.

Attention

« Uniformément varié » ne veut pas dire « uniforme » : c'est l'accélération qui est constante, pas la vitesse. Si aa et vv sont de même signe, le mouvement est accéléré (la vitesse augmente en norme) ; s'ils sont de signes opposés, le mouvement est décéléré (freinage).

4.2  Équations horaires

Théorème

Pour un MRUV d'accélération aa, de vitesse initiale v0v_{0} et de position initiale x0x_{0} à t=0t=0 :

v(t)=a t+v0x(t)=12 a t2+v0 t+x0v(t) = a\,t + v_{0} \qquad\qquad x(t) = \dfrac{1}{2}\,a\,t^{2} + v_{0}\,t + x_{0}

Démonstration

Vitesse. Par définition, ax(t)=dvdt=aa_{x}(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a, constante.

  1. v(t)=a t+C1v(t) = a\,t + C_{1}car ddt(at)=a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(at)=a
  2. à t=0t=0 : v(0)=v0v(0) = v_{0}
  3. ⇒\RightarrowC1=v0C_{1} = v_{0}
  4. d'où v(t)=a t+v0v(t) = a\,t+v_{0}

Position. On cherche x(t)x(t) dont la dérivée vaut v(t)=at+v0v(t)=at+v_{0}.

  1. ddt(12a t2)=a t\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{1}{2}a\,t^{2}\right) = a\,trègle ddt(kt2)=2kt\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(k t^2)=2kt avec k=a/2k=a/2
  2. ddt(v0 t)=v0\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v_{0}\,t) = v_{0}
  3. ⇒\Rightarrowx(t)=12a t2+v0 t+C2x(t) = \dfrac{1}{2}a\,t^{2}+v_{0}\,t+C_{2}
  4. à t=0t=0 : x(0)=x0⇒C2=x0x(0)=x_{0} \Rightarrow C_{2}=x_{0}

D'où x(t)=12a t2+v0 t+x0x(t) = \dfrac{1}{2}a\,t^{2}+v_{0}\,t+x_{0}. C.Q.F.D.

Exemple — voiture qui accélère

Une voiture roule à v0=5 m⋅s−1v_{0}=5\ \text{m·s}^{-1} puis accélère avec a=4 m⋅s−2a=4\ \text{m·s}^{-2} pendant 5 s5\ \text{s} (on prend x0=0x_{0}=0).

  1. v(t)=4t+5v(t) = 4t+5
  2. v(5)=4×5+5v(5) = 4 \times 5+5
  3. ==25 m⋅s−125\ \text{m·s}^{-1}
  4. x(t)=12×4 t2+5tx(t) = \dfrac{1}{2}\times 4\,t^{2}+5t
  5. x(5)=2×25+5×5x(5) = 2\times 25+5\times 5
  6. ==75 m75\ \text{m}
Mouvement rectiligne uniformément varié : x(t), v(t), a(t) x (m) t (s) 0 75 v (m/s) t (s) t=3s v = 4t+5 aire = 33 m a (m/s²) t (s) a = 4 m/s²
Figure 5 — Diagrammes horaires d'un mouvement rectiligne uniformément varié (v0=5 m⋅s−1v_{0}=5\ \text{m·s}^{-1}, a=4 m⋅s−2a=4\ \text{m·s}^{-2}) : x(t)x(t) est une parabole, v(t)v(t) une droite de pente aa, a(t)a(t) une droite horizontale. La surface colorée sous v(t)v(t) entre 00 et 3 s3\ \text{s} vaut 33 m33\ \text{m}, conforme à x(3)=33 mx(3) = 33\ \text{m}.

4.3  Relation indépendante du temps

Théorème

Pour un MRUV, on a la relation, valable pour n'importe quels instants :

v2−v02=2 a (x−x0)v^{2} - v_{0}^{2} = 2\,a\,(x-x_{0})

Démonstration

On élimine le temps tt entre les deux équations horaires. De v=at+v0v = at+v_{0}, on tire t=v−v0at = \dfrac{v-v_{0}}{a}, que l'on reporte dans x−x0=v0t+12at2x-x_{0} = v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2}.

  1. x−x0=v0v−v0a+12a(v−v0a)2x-x_{0} = v_{0}\dfrac{v-v_{0}}{a} + \dfrac{1}{2}a\left(\dfrac{v-v_{0}}{a}\right)^{2}
  2. ==v0(v−v0)a+(v−v0)22a\dfrac{v_{0}(v-v_{0})}{a} + \dfrac{(v-v_{0})^{2}}{2a}
  3. ==2v0(v−v0)+(v−v0)22a\dfrac{2v_{0}(v-v_{0}) + (v-v_{0})^{2}}{2a}
  4. ==(v−v0)[2v0+(v−v0)]2a\dfrac{(v-v_{0})\left[2v_{0}+(v-v_{0})\right]}{2a}facteur commun (v−v0)(v-v_0)
  5. ==(v−v0)(v+v0)2a\dfrac{(v-v_{0})(v+v_{0})}{2a}
  6. ==v2−v022a\dfrac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}identité (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

D'où 2a(x−x0)=v2−v022a(x-x_{0}) = v^{2}-v_{0}^{2}. C.Q.F.D.

Méthode — quand utiliser cette relation ?

Dès que le temps tt n'apparaît pas dans l'énoncé ou dans la question (on te donne ou on te demande des vitesses et des positions, jamais une durée), c'est le signal qu'il faut utiliser v2−v02=2a(x−x0)v^{2}-v_{0}^{2}=2a(x-x_{0}) plutôt que les équations horaires complètes.

Exemple — distance de freinage

Une voiture roulant à v0=20 m⋅s−1v_{0}=20\ \text{m·s}^{-1} freine avec une décélération constante a=−4 m⋅s−2a=-4\ \text{m·s}^{-2} jusqu'à l'arrêt. Distance de freinage ?

  1. v2−v02=2a(x−x0)v^{2}-v_{0}^{2} = 2a(x-x_{0})
  2. à l'arrêt, v=0v=0
  3. 0−202=2×(−4)×(x−x0)0 - 20^{2} = 2\times(-4)\times(x-x_{0})
  4. −400=−8 (x−x0)-400 = -8\,(x-x_{0})
  5. ⇒\Rightarrowx−x0=50 mx-x_{0} = 50\ \text{m}

5Mouvement circulaire uniforme

Une roue de vélo, les aiguilles d'une montre, un satellite en orbite basse : tous décrivent, en première approximation, un cercle à vitesse constante en norme. C'est le mouvement circulaire uniforme (MCU).

5.1  Période et fréquence

Définition

Dans un MCU, le mobile parcourt le cercle de rayon RR à vitesse de norme vv constante. La période TT (en s) est la durée d'un tour complet ; la fréquence ff (en hertz, Hz) est le nombre de tours par seconde :

f=1Tf = \dfrac{1}{T}

5.2  Vitesse angulaire

Définition

La vitesse angulaire ω\omega (en rad⋅s−1\text{rad·s}^{-1}) mesure la rapidité de rotation de l'angle θ(t)\theta(t) balayé par le rayon OMOM :

ω=dθdt=2πT=2πf\omega = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f

Théorème

v=R ωv = R\,\omega

Démonstration

L'abscisse curviligne le long du cercle vaut s=R θs = R\,\theta (arc = rayon × angle en radians). Or v=dsdtv = \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} et RR est constant.

  1. v=dsdt=d(Rθ)dtv = \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}(R\theta)}{\mathrm{d}t}
  2. ==R dθdtR\,\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}RR constant, sort de la dérivée
  3. ==R ωR\,\omega

5.3  Accélération centripète

Propriété

En MCU, la norme de la vitesse est constante donc at=0a_{t}=0 : l'accélération est purement normale, dirigée vers le centre OO du cercle (on parle d'accélération centripète) :

an=v2R=R ω2a_{n} = \dfrac{v^{2}}{R} = R\,\omega^{2}

Mouvement circulaire uniforme O R M θ=ωt v aₙ ω
Figure 6 — En mouvement circulaire uniforme, le point MM parcourt le cercle de rayon RR autour de OO à vitesse angulaire ω\omega constante ; le vecteur vitesse v⃗\vec{v} (bleu) est tangent au cercle, l'accélération centripète a⃗n\vec{a}_{n} (verte) pointe vers le centre OO.
Physique & Co — Huygens et la force centripète

C'est le savant hollandais Christiaan Huygens qui, dans son ouvrage Horologium Oscillatorium publié en 1673 — traité sur les horloges à pendule —, établit le premier la formule reliant l'accélération d'un mobile en trajectoire circulaire à sa vitesse et au rayon du cercle, ce qu'il appelle la « force centrifuge ». Ce résultat, obtenu quatorze ans avant les Principia de Newton (1687), sera un ingrédient essentiel de la découverte de la loi de la gravitation universelle : Newton s'en sert pour comparer l'accélération de la Lune sur son orbite à celle d'une pomme qui tombe.

Exemple — disque en rotation

Un disque tourne à N=300 tr⋅min−1N = 300\ \text{tr·min}^{-1}. Un point de son bord est à R=0,15 mR = 0{,}15\ \text{m} de l'axe.

  1. f=N60=30060f = \dfrac{N}{60} = \dfrac{300}{60}
  2. ==5 Hz5\ \text{Hz}
  3. T=1f=0,2 sT = \dfrac{1}{f} = 0{,}2\ \text{s}
  4. ω=2πf=2π×5\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5
  5. ≈\approx31,4 rad⋅s−131{,}4\ \text{rad·s}^{-1}
  6. v=Rω=0,15×31,4v = R\omega = 0{,}15 \times 31{,}4
  7. ≈\approx4,7 m⋅s−14{,}7\ \text{m·s}^{-1}
  8. an=v2R=4,720,15a_{n} = \dfrac{v^{2}}{R} = \dfrac{4{,}7^{2}}{0{,}15}
  9. ≈\approx148 m⋅s−2148\ \text{m·s}^{-2}

6Équations horaires

Les sections précédentes ont traité des cas particuliers (MRU, MRUV, MCU). Voici la démarche générale qui les englobe tous : à partir de l'accélération, on remonte à la vitesse, puis à la position.

6.1  Démarche générale

Méthode — établir les équations horaires d'un mouvement

Connaissant a⃗(t)\vec{a}(t), on procède en trois étapes :

  1. On projette sur les axes du repère : ax(t)a_{x}(t) et ay(t)a_{y}(t).
  2. On cherche une fonction vx(t)v_{x}(t) (respectivement vy(t)v_{y}(t)) dont la dérivée est ax(t)a_{x}(t) (resp. ay(t)a_{y}(t)), puis on fixe la constante avec la vitesse initiale vx(0)=v0xv_{x}(0)=v_{0x}.
  3. On recommence : on cherche x(t)x(t) dont la dérivée est vx(t)v_{x}(t), et l'on fixe la constante avec la position initiale x(0)=x0x(0)=x_{0}.

Chaque intégration fait apparaître une constante, déterminée par une condition initiale — c'est exactement ce qu'on a fait aux sections 3 et 4.

6.2  Mouvements plans : composition de deux mouvements

Définition

Un mouvement plan se décrit par deux équations horaires x(t)x(t) et y(t)y(t). Si les accélérations axa_{x} et aya_{y} sont chacune constantes (éventuellement nulles) et indépendantes l'une de l'autre, le mouvement selon (Ox)(Ox) et le mouvement selon (Oy)(Oy) sont chacun un MRU ou un MRUV : le mouvement plan est la composition de deux mouvements rectilignes.

Attention

Chaque axe se traite indépendamment de l'autre. Piège classique : croire que la composante horizontale de la vitesse diminue pendant une chute. Si ax=0a_{x}=0, vxv_{x} reste rigoureusement constante, même si vyv_{y} varie fortement.

Exemple — bille lancée horizontalement

Une bille est lancée horizontalement à v0=4 m⋅s−1v_{0}=4\ \text{m·s}^{-1} depuis une table de hauteur h=1,25 mh=1{,}25\ \text{m}. On prend g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}, origine au point de lancement, axe (Oy)(Oy) vertical descendant.

Selon (Ox)(Ox) : ax=0a_{x}=0 (MRU), donc x(t)=v0tx(t)=v_{0}t. Selon (Oy)(Oy) : ay=ga_{y}=g (MRUV, v0y=0v_{0y}=0), donc y(t)=12g t2y(t) = \dfrac{1}{2}g\,t^{2}.

  1. la bille touche le sol quand y(t)=hy(t)=h
  2. 12×9,8×t2=1,25\dfrac{1}{2}\times 9{,}8\times t^{2} = 1{,}25
  3. t2=2×1,259,8t^{2} = \dfrac{2\times 1{,}25}{9{,}8}
  4. ==0,255 s20{,}255\ \text{s}^{2}
  5. ⇒\Rightarrowt≈0,50 st \approx 0{,}50\ \text{s}durée de chute
  6. portée x(t)=v0 t≈4×0,50x(t) = v_{0}\,t \approx 4 \times 0{,}50
  7. ≈\approx2,0 m2{,}0\ \text{m}

La trajectoire obtenue, y=g2v02x2y = \dfrac{g}{2v_{0}^{2}}x^{2} (en éliminant tt), est une parabole : c'est la signature de tout mouvement plan résultant de la composition d'un MRU et d'un MRUV perpendiculaires.

7Graphiques du mouvement

Un physicien lit un graphique comme un texte : chaque pente, chaque aire, chaque forme de courbe raconte une information précise sur le mouvement. Savoir les décoder, sans même connaître les équations horaires, est une compétence essentielle du bac.

7.1  Lire un graphique x(t)x(t)

Méthode — vitesse à partir de x(t)

La pente de la sécante entre deux points d'un graphique x(t)x(t) donne la vitesse moyenne entre ces deux instants. La pente de la tangente en un point donne la vitesse instantanée à cet instant précis. Une droite oblique traduit un MRU (pente constante = vv) ; une parabole traduit un MRUV (pente croissante ou décroissante).

7.2  Lire un graphique v(t)v(t)

Méthode — accélération et déplacement à partir de v(t)

La pente d'un graphique v(t)v(t) donne l'accélération aa (constante si la droite est une droite, comme le montrent les figures 4 et 5). L'aire sous la courbe v(t)v(t), entre deux instants, donne le déplacement x(t2)−x(t1)x(t_{2})-x(t_{1}) effectué pendant cette durée — c'est ainsi qu'on a retrouvé, sur les figures 4 et 5, les valeurs 45 m45\ \text{m} et 33 m33\ \text{m}.

Attention

Ne confonds jamais la valeur lue sur l'axe des ordonnées à un instant donné avec la pente de la courbe en ce point : la première est une position ou une vitesse, la seconde est une vitesse ou une accélération. Vérifie toujours les unités et l'échelle des axes avant de conclure.

7.3  Reconnaître un mouvement à partir d'un graphique

Nature du mouvementGraphique x(t)x(t)Graphique v(t)v(t)Graphique a(t)a(t)
Immobiledroite horizontaleconfondu avec l'axe ttconfondu avec l'axe tt
MRUdroite obliquedroite horizontaleconfondu avec l'axe tt
MRUVparaboledroite obliquedroite horizontale
quelconquecourbe quelconquecourbe quelconquecourbe quelconque

Une chronophotographie — succession de positions enregistrées à intervalles de temps Δt\Delta t égaux — permet aussi de reconnaître un mouvement d'un simple coup d'œil, sans tracer aucun graphique : des points équidistants signent un MRU ; des points de plus en plus espacés signent un mouvement accéléré.

Mouvement uniforme — écarts égaux t₀ t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ Mouvement uniformément varié — écarts croissants t₀ t₆ 1 3 5 7 9 11
Figure 7 — Chronophotographies obtenues à intervalles de temps Δt\Delta t égaux. En haut, mouvement uniforme : les écarts entre points successifs sont constants. En bas, mouvement uniformément varié depuis le repos : les écarts successifs sont dans le rapport 1:3:5:7:9:111:3:5:7:9:11 — la loi des nombres impairs découverte par Galilée sur le plan incliné en 1604.
Exemple — lecture d'un graphique v(t)

Un graphique v(t)v(t) montre une droite passant par les points (t=1 s;v=6 m⋅s−1)(t=1\ \text{s} ; v=6\ \text{m·s}^{-1}) et (t=4 s;v=18 m⋅s−1)(t=4\ \text{s} ; v=18\ \text{m·s}^{-1}).

  1. a=ΔvΔt=18−64−1a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{18-6}{4-1}
  2. ==4 m⋅s−24\ \text{m·s}^{-2}
  3. la droite étant oblique, le mouvement est un MRUV

Fiche mémo

  • Toujours préciser le référentiel : aucun mouvement n'est absolu.
  • Vecteur position : OM→(t)=x(t)ı⃗+y(t)ȷ⃗\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath} ; abscisse curviligne s(t)s(t) le long de la trajectoire.
  • Vecteur vitesse : v⃗=dOM→dt\vec{v}=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}, tangent à la trajectoire, v=vx2+vy2v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
  • Vecteur accélération : a⃗=dv⃗dt=atu⃗t+anu⃗n\vec{a}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=a_t\vec{u}_t+a_n\vec{u}_n, avec at=dvdta_t=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} et an=v2Ra_n=\dfrac{v^2}{R}.
  • MRU (a⃗=0⃗\vec{a}=\vec{0}) : x(t)=vt+x0x(t)=vt+x_0.
  • MRUV (a⃗\vec{a} constant) : v(t)=at+v0v(t)=at+v_0 ; x(t)=12at2+v0t+x0x(t)=\dfrac{1}{2}at^2+v_0t+x_0 ; v2−v02=2a(x−x0)v^2-v_0^2=2a(x-x_0).
  • MCU : TT période, f=1/Tf=1/T, ω=2π/T=2πf\omega=2\pi/T=2\pi f, v=Rωv=R\omega, at=0a_t=0, an=v2/R=Rω2a_n=v^2/R=R\omega^2.
  • Graphique x(t)x(t) : pente = vitesse. Graphique v(t)v(t) : pente = accélération, aire = déplacement.
  • x(t)x(t) droite oblique ou v(t)v(t) horizontale ⇒\Rightarrow MRU ; x(t)x(t) parabole ou v(t)v(t) droite oblique ⇒\Rightarrow MRUV.
  • Mouvement plan = composition de deux mouvements indépendants selon (Ox)(Ox) et (Oy)(Oy) : chaque axe se traite séparément.

8Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Un taxi roule à vitesse constante v=72 km⋅h−1v = 72\ \text{km·h}^{-1} sur une route rectiligne pendant 15 min15\ \text{min}. Calcule la distance parcourue, en mètres puis en kilomètres.

Voir le corrigé détaillé
  1. v=72÷3,6=20 m⋅s−1v = 72 \div 3{,}6 = 20\ \text{m·s}^{-1}
  2. Δt=15×60=900 s\Delta t = 15 \times 60 = 900\ \text{s}
  3. mouvement rectiligne uniforme : d=v×Δtd = v \times \Delta t
  4. d=20×900d = 20 \times 900
  5. ==18 000 m=18 km18\,000\ \text{m} = 18\ \text{km}
2

Un point mobile a pour équations horaires x(t)=4t+1x(t) = 4t+1 et y(t)=t2y(t) = t^{2} (en mètres, tt en secondes). Détermine vx(t)v_{x}(t), vy(t)v_{y}(t), puis la vitesse vv à t=3 st=3\ \text{s}.

Voir le corrigé détaillé
  1. vx(t)=dxdt=4 m⋅s−1v_{x}(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 4\ \text{m·s}^{-1}
  2. vy(t)=dydt=2t m⋅s−1v_{y}(t) = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 2t\ \text{m·s}^{-1}
  3. à t=3 st=3\ \text{s} : vx=4 m⋅s−1v_{x}=4\ \text{m·s}^{-1} et vy=2×3=6 m⋅s−1v_{y}=2\times 3=6\ \text{m·s}^{-1}
  4. v=vx2+vy2=42+62v = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} = \sqrt{4^{2}+6^{2}}
  5. ==52≈7,2 m⋅s−1\sqrt{52} \approx 7{,}2\ \text{m·s}^{-1}
3

Un mobile part avec v0=2 m⋅s−1v_{0}=2\ \text{m·s}^{-1} et x0=0x_{0}=0 sur une trajectoire rectiligne, avec une accélération constante a=3 m⋅s−2a=3\ \text{m·s}^{-2}. Écris v(t)v(t) et x(t)x(t), puis calcule vv et xx à t=4 st=4\ \text{s}.

Voir le corrigé détaillé
  1. v(t)=at+v0=3t+2v(t) = at+v_{0} = 3t+2
  2. x(t)=12at2+v0t+x0=1,5 t2+2tx(t) = \dfrac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_{0} = 1{,}5\,t^{2}+2t
  3. v(4)=3×4+2v(4) = 3\times 4+2
  4. ==14 m⋅s−114\ \text{m·s}^{-1}
  5. x(4)=1,5×16+2×4x(4) = 1{,}5\times 16+2\times 4
  6. ==24+8=32 m24+8 = 32\ \text{m}
4

Le ventilateur d'un bureau tourne à N=900 tr⋅min−1N = 900\ \text{tr·min}^{-1}. L'extrémité d'une pale se trouve à R=0,25 mR = 0{,}25\ \text{m} de l'axe. Calcule la période TT, la fréquence ff, la vitesse angulaire ω\omega et la vitesse linéaire vv de cette extrémité.

Voir le corrigé détaillé
  1. f=N60=90060f = \dfrac{N}{60} = \dfrac{900}{60}
  2. ==15 Hz15\ \text{Hz}
  3. T=1f≈0,067 sT = \dfrac{1}{f} \approx 0{,}067\ \text{s}
  4. ω=2πf=2π×15\omega = 2\pi f = 2\pi \times 15
  5. ≈\approx94,2 rad⋅s−194{,}2\ \text{rad·s}^{-1}
  6. v=Rω=0,25×94,2v = R\omega = 0{,}25 \times 94{,}2
  7. ≈\approx23,6 m⋅s−123{,}6\ \text{m·s}^{-1}
5

Un graphique v(t)v(t) est une droite horizontale passant par les points (t=0 ; v=4 m⋅s−1)(t=0~;~v=4\ \text{m·s}^{-1}) et (t=5 s ; v=4 m⋅s−1)(t=5\ \text{s}~;~v=4\ \text{m·s}^{-1}). Identifie la nature du mouvement, puis calcule la distance parcourue entre t=0t=0 et t=5 st=5\ \text{s}.

Voir le corrigé détaillé

La droite v(t)v(t) est horizontale : la vitesse est constante, donc le mouvement est rectiligne uniforme.

  1. la distance parcourue est l'aire du rectangle sous v(t)v(t)
  2. d=v×Δt=4×5d = v \times \Delta t = 4 \times 5
  3. ==20 m20\ \text{m}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Une voiture roulant à v0=25 m⋅s−1v_{0}=25\ \text{m·s}^{-1} freine avec une décélération constante a=−5 m⋅s−2a=-5\ \text{m·s}^{-2} jusqu'à l'arrêt complet. Calcule la durée du freinage puis la distance parcourue, par deux méthodes différentes.

Voir le corrigé détaillé

Durée. À l'arrêt, v=0v=0.

  1. v=at+v0=0v = at+v_{0} = 0
  2. ⇒\Rightarrowt=−v0a=−25−5t = -\dfrac{v_{0}}{a} = -\dfrac{25}{-5}
  3. ==5 s5\ \text{s}

Distance — méthode 1 (équation horaire).

  1. x−x0=v0t+12at2x-x_{0} = v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2}
  2. =25×5+0,5×(−5)×25= 25\times 5 + 0{,}5\times(-5)\times 25
  3. ==125−62,5=62,5 m125-62{,}5 = 62{,}5\ \text{m}

Distance — méthode 2 (relation indépendante du temps).

  1. v2−v02=2a(x−x0)v^{2}-v_{0}^{2} = 2a(x-x_{0})
  2. 0−252=2×(−5)×(x−x0)0-25^{2} = 2\times(-5)\times(x-x_{0})
  3. ⇒\Rightarrowx−x0=−625−10x-x_{0} = \dfrac{-625}{-10}
  4. ==62,5 m62{,}5\ \text{m}les deux méthodes concordent
7

Un vélo roule sans glisser à v=9 m⋅s−1v = 9\ \text{m·s}^{-1}. Une roue a un rayon R=0,33 mR = 0{,}33\ \text{m} : la vitesse linéaire d'un point du pneu au contact du sol se déplaçant avec la roue vaut vv. Calcule la vitesse angulaire ω\omega de la roue, puis sa fréquence de rotation NN en tours par minute.

Voir le corrigé détaillé
  1. v=Rω⇒ω=vR=90,33v = R\omega \Rightarrow \omega = \dfrac{v}{R} = \dfrac{9}{0{,}33}
  2. ≈\approx27,3 rad⋅s−127{,}3\ \text{rad·s}^{-1}
  3. f=ω2π=27,32πf = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{27{,}3}{2\pi}
  4. ≈\approx4,34 Hz4{,}34\ \text{Hz}
  5. N=f×60≈4,34×60N = f \times 60 \approx 4{,}34\times 60
  6. ≈\approx260 tr⋅min−1260\ \text{tr·min}^{-1}
8

Une bille est lancée horizontalement à v0=6 m⋅s−1v_{0}=6\ \text{m·s}^{-1} depuis une hauteur h=2 mh=2\ \text{m}. On prend g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}. Calcule la durée de la chute, la portée horizontale, et la norme de la vitesse à l'arrivée au sol.

Voir le corrigé détaillé

Axe (Ox)(Ox) horizontal (MRU, x(t)=v0tx(t)=v_{0}t), axe (Oy)(Oy) vertical descendant (MRUV, y(t)=12gt2y(t)=\frac{1}{2}gt^{2}).

  1. arrivée au sol : y(t)=hy(t)=h
  2. t2=2hg=2×29,8t^{2} = \dfrac{2h}{g} = \dfrac{2\times 2}{9{,}8}
  3. ==0,408 s20{,}408\ \text{s}^{2}
  4. ⇒\Rightarrowt≈0,64 st \approx 0{,}64\ \text{s}
  5. portée x=v0t≈6×0,64x = v_{0}t \approx 6\times 0{,}64
  6. ≈\approx3,8 m3{,}8\ \text{m}
  7. vy=gt≈9,8×0,64≈6,3 m⋅s−1v_{y} = gt \approx 9{,}8\times 0{,}64 \approx 6{,}3\ \text{m·s}^{-1}
  8. v=v02+vy2=62+6,32v = \sqrt{v_{0}^{2}+v_{y}^{2}} = \sqrt{6^{2}+6{,}3^{2}}
  9. ≈\approx8,7 m⋅s−18{,}7\ \text{m·s}^{-1}
9

Deux mobiles roulent sur le même axe rectiligne. Le mobile A part de xA=0x_{A}=0 à t=0t=0 avec vA=20 m⋅s−1v_{A}=20\ \text{m·s}^{-1} ; le mobile B part de xB=300 mx_{B}=300\ \text{m} à t=0t=0 et se dirige vers A à 15 m⋅s−115\ \text{m·s}^{-1}. À quel instant et en quel point se croisent-ils ?

Voir le corrigé détaillé
  1. xA(t)=20tx_{A}(t) = 20t
  2. xB(t)=300−15tx_{B}(t) = 300-15tB se rapproche de A, vitesse négative sur l'axe orienté de A vers B
  3. rencontre : xA(t)=xB(t)x_{A}(t)=x_{B}(t)
  4. 20t=300−15t20t = 300-15t
  5. ⇒\Rightarrow35t=30035t = 300
  6. ⇒\Rightarrowt≈8,6 st \approx 8{,}6\ \text{s}
  7. xA(8,6)=20×8,6x_{A}(8{,}6) = 20\times 8{,}6
  8. ≈\approx171 m171\ \text{m}

Les deux mobiles se croisent environ 8,6 s8{,}6\ \text{s} après le départ, à 171 m171\ \text{m} du point de départ de A.

Niveau 3 — Défi
10

Un TGV effectue un trajet en trois phases : il accélère uniformément depuis l'arrêt avec a1=0,5 m⋅s−2a_{1}=0{,}5\ \text{m·s}^{-2} pendant t1=60 st_{1}=60\ \text{s} ; il roule ensuite à vitesse constante pendant t2=300 st_{2}=300\ \text{s} ; il freine enfin uniformément avec a3=−1 m⋅s−2a_{3}=-1\ \text{m·s}^{-2} jusqu'à l'arrêt.

  1. Calcule la vitesse atteinte et la distance parcourue à la fin de la phase 1.
  2. Calcule la distance parcourue pendant la phase 2.
  3. Calcule la durée et la distance de la phase 3, puis la distance totale et la durée totale du trajet.
Voir le corrigé détaillé

1. Phase 1, MRUV depuis le repos (v0=0v_{0}=0).

  1. v1=a1t1=0,5×60v_{1} = a_{1}t_{1} = 0{,}5\times 60
  2. ==30 m⋅s−130\ \text{m·s}^{-1}
  3. d1=12a1t12=0,5×0,5×602d_{1} = \dfrac{1}{2}a_{1}t_{1}^{2} = 0{,}5\times 0{,}5\times 60^{2}
  4. ==900 m900\ \text{m}

2. Phase 2, MRU à v1=30 m⋅s−1v_{1}=30\ \text{m·s}^{-1}.

  1. d2=v1×t2=30×300d_{2} = v_{1}\times t_{2} = 30\times 300
  2. ==9 000 m9\,000\ \text{m}

3. Phase 3, freinage de v1=30 m⋅s−1v_{1}=30\ \text{m·s}^{-1} à l'arrêt.

  1. t3=0−v1a3=−30−1t_{3} = \dfrac{0-v_{1}}{a_{3}} = \dfrac{-30}{-1}
  2. ==30 s30\ \text{s}
  3. 0−v12=2a3 d30-v_{1}^{2} = 2a_{3}\,d_{3}
  4. ⇒\Rightarrowd3=−900−2d_{3} = \dfrac{-900}{-2}
  5. ==450 m450\ \text{m}
  6. distance totale =900+9 000+450= 900+9\,000+450
  7. ==10 350 m=10,35 km10\,350\ \text{m} = 10{,}35\ \text{km}
  8. durée totale =60+300+30= 60+300+30
  9. ==390 s=6 min 30 s390\ \text{s} = 6\ \text{min}\ 30\ \text{s}
11

Un petit satellite décrit une orbite circulaire de rayon R=6,8×106 mR = 6{,}8\times 10^{6}\ \text{m} autour de la Terre, avec une période T=5 400 sT=5\,400\ \text{s} (90 min90\ \text{min}).

  1. Calcule la vitesse angulaire ω\omega puis la vitesse vv du satellite.
  2. Calcule son accélération centripète ana_{n} et compare-la à g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}.
  3. Le satellite « tombe »-t-il ? Commente brièvement.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. ω=2πT=2π5 400\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{5\,400}
  2. ≈\approx1,16×10−3 rad⋅s−11{,}16\times 10^{-3}\ \text{rad·s}^{-1}
  3. v=Rω≈6,8×106×1,16×10−3v = R\omega \approx 6{,}8\times 10^{6}\times 1{,}16\times 10^{-3}
  4. ≈\approx7,91×103 m⋅s−17{,}91\times 10^{3}\ \text{m·s}^{-1}soit environ 7,9 km⋅s−17{,}9\ \text{km·s}^{-1}

2.

  1. an=v2R≈(7,91×103)26,8×106a_{n} = \dfrac{v^{2}}{R} \approx \dfrac{(7{,}91\times 10^{3})^{2}}{6{,}8\times 10^{6}}
  2. ≈\approx9,2 m⋅s−29{,}2\ \text{m·s}^{-2}
  3. ang≈9,29,8\dfrac{a_{n}}{g} \approx \dfrac{9{,}2}{9{,}8}
  4. ≈\approx0,940{,}94

3. Oui, en un sens : le satellite est constamment en « chute libre » vers la Terre, son accélération centripète étant très proche de la valeur de la pesanteur à cette altitude. Mais sa vitesse horizontale vv est si grande que la trajectoire de chute « manque » la Terre en permanence et se referme sur elle-même : c'est le principe même de la mise en orbite, que tu approfondiras l'an prochain avec les lois de Newton.

12

Un point matériel se déplace dans un plan avec une accélération constante de composantes ax=2 m⋅s−2a_{x}=2\ \text{m·s}^{-2} et ay=−3 m⋅s−2a_{y}=-3\ \text{m·s}^{-2}. À t=0t=0, sa vitesse est v0x=1 m⋅s−1v_{0x}=1\ \text{m·s}^{-1}, v0y=4 m⋅s−1v_{0y}=4\ \text{m·s}^{-1} et sa position est l'origine (0 ; 0)(0~;~0).

  1. Établis les équations horaires vx(t)v_{x}(t) et vy(t)v_{y}(t).
  2. Établis les équations horaires x(t)x(t) et y(t)y(t).
  3. Calcule la position et la vitesse (norme comprise) du point à t=2 st=2\ \text{s}.
Voir le corrigé détaillé

1. Selon chaque axe, l'accélération est constante : mouvement de type MRUV sur (Ox)(Ox) et sur (Oy)(Oy), indépendamment.

  1. vx(t)=axt+v0x=2t+1v_{x}(t) = a_{x}t+v_{0x} = 2t+1
  2. vy(t)=ayt+v0y=−3t+4v_{y}(t) = a_{y}t+v_{0y} = -3t+4

2.

  1. x(t)=12axt2+v0xt=t2+tx(t) = \dfrac{1}{2}a_{x}t^{2}+v_{0x}t = t^{2}+t
  2. y(t)=12ayt2+v0yt=−1,5 t2+4ty(t) = \dfrac{1}{2}a_{y}t^{2}+v_{0y}t = -1{,}5\,t^{2}+4t

3.

  1. x(2)=22+2=6 mx(2) = 2^{2}+2 = 6\ \text{m}
  2. y(2)=−1,5×4+4×2=−6+8=2 my(2) = -1{,}5\times 4+4\times 2 = -6+8 = 2\ \text{m}
  3. vx(2)=2×2+1=5 m⋅s−1v_{x}(2) = 2\times 2+1 = 5\ \text{m·s}^{-1}
  4. vy(2)=−3×2+4=−2 m⋅s−1v_{y}(2) = -3\times 2+4 = -2\ \text{m·s}^{-1}
  5. v=52+(−2)2=29v = \sqrt{5^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{29}
  6. ≈\approx5,4 m⋅s−15{,}4\ \text{m·s}^{-1}

À t=2 st=2\ \text{s}, le point est en (6 ; 2)(6~;~2) avec une vitesse de norme 5,4 m⋅s−15{,}4\ \text{m·s}^{-1}.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le BRT de Dakar. Sur une portion rectiligne du réseau, un bus rapide roule à vitesse constante v=45 km⋅h−1v=45\ \text{km·h}^{-1} entre deux stations distantes de 6 km6\ \text{km}. Il quitte la première station à 7h007\text{h}00.

  1. Calcule la durée du trajet, en minutes.
  2. Donne l'heure d'arrivée à la seconde station.
Voir le corrigé détaillé

Mouvement rectiligne uniforme : Δt=d/v\Delta t = d/v.

  1. v=45÷3,6=12,5 m⋅s−1v = 45\div 3{,}6 = 12{,}5\ \text{m·s}^{-1}
  2. d=6 000 md = 6\,000\ \text{m}
  3. Δt=6 00012,5\Delta t = \dfrac{6\,000}{12{,}5}
  4. ==480 s=8 min480\ \text{s} = 8\ \text{min}

Le bus parcourt cette portion en 8 min8\ \text{min} : il arrive à la seconde station à 7h087\text{h}08.

14

Moto-taxi à Ndjamena. Une moto-taxi démarre à l'arrêt, accélère uniformément à a1=2,5 m⋅s−2a_{1}=2{,}5\ \text{m·s}^{-2} pendant 6 s6\ \text{s}, puis freine uniformément à a2=−4 m⋅s−2a_{2}=-4\ \text{m·s}^{-2} jusqu'à l'arrêt complet pour déposer un client.

  1. Calcule la vitesse atteinte à la fin de la phase d'accélération, et la distance parcourue.
  2. Calcule la durée et la distance de la phase de freinage.
  3. Donne la distance totale parcourue et la durée totale du trajet.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. v1=a1t1=2,5×6v_{1} = a_{1}t_{1} = 2{,}5\times 6
  2. ==15 m⋅s−115\ \text{m·s}^{-1}
  3. d1=12a1t12=0,5×2,5×36d_{1} = \dfrac{1}{2}a_{1}t_{1}^{2} = 0{,}5\times 2{,}5\times 36
  4. ==45 m45\ \text{m}

2.

  1. t2=−v1a2=−15−4t_{2} = \dfrac{-v_{1}}{a_{2}} = \dfrac{-15}{-4}
  2. ==3,75 s3{,}75\ \text{s}
  3. 0−v12=2a2d2⇒d2=−225−80-v_{1}^{2}=2a_{2}d_{2} \Rightarrow d_{2} = \dfrac{-225}{-8}
  4. ==28,1 m28{,}1\ \text{m}

3.

  1. distance totale =45+28,1= 45+28{,}1
  2. ==73,1 m73{,}1\ \text{m}
  3. durée totale =6+3,75= 6+3{,}75
  4. ==9,75 s9{,}75\ \text{s}
15

Le grand manège d'Abidjan. Un enfant est assis à R=6 mR=6\ \text{m} du centre d'un manège circulaire qui effectue un tour complet en T=24 sT=24\ \text{s}, à vitesse angulaire constante.

  1. Calcule la vitesse vv de l'enfant.
  2. Calcule son accélération centripète ana_{n} et compare-la à g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}.
Voir le corrigé détaillé
  1. v=2πRT=2π×624v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2\pi\times 6}{24}
  2. ≈\approx1,57 m⋅s−11{,}57\ \text{m·s}^{-1}
  3. an=v2R=1,5726a_{n} = \dfrac{v^{2}}{R} = \dfrac{1{,}57^{2}}{6}
  4. ≈\approx0,41 m⋅s−20{,}41\ \text{m·s}^{-2}
  5. ang≈0,419,8\dfrac{a_{n}}{g} \approx \dfrac{0{,}41}{9{,}8}
  6. ≈\approx0,0420{,}042

L'accélération centripète ne représente que 4 %4\ \% environ de gg : ce manège tourne doucement, sensation confortable — bien loin des manèges à sensations fortes, beaucoup plus rapides ou de plus petit rayon.

16

Départ du 100 m à Abéché. Un jeune athlète, lors d'une course de 100 m100\ \text{m}, part du repos et accélère uniformément à a=4 m⋅s−2a=4\ \text{m·s}^{-2} pendant 2,5 s2{,}5\ \text{s}, avant de courir le reste de la distance à vitesse constante jusqu'à la ligne d'arrivée.

  1. Calcule la vitesse de pointe atteinte et la distance parcourue pendant la phase d'accélération.
  2. Calcule la durée de la phase à vitesse constante, puis la durée totale de la course.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. vmax⁡=a t1=4×2,5v_{\max} = a\,t_{1} = 4\times 2{,}5
  2. ==10 m⋅s−110\ \text{m·s}^{-1}
  3. d1=12a t12=0,5×4×2,52d_{1} = \dfrac{1}{2}a\,t_{1}^{2} = 0{,}5\times 4\times 2{,}5^{2}
  4. ==12,5 m12{,}5\ \text{m}

2.

  1. distance restante =100−12,5= 100-12{,}5
  2. ==87,5 m87{,}5\ \text{m}
  3. t2=87,5vmax⁡=87,510t_{2} = \dfrac{87{,}5}{v_{\max}} = \dfrac{87{,}5}{10}
  4. ==8,75 s8{,}75\ \text{s}
  5. durée totale =2,5+8,75= 2{,}5+8{,}75
  6. ==11,25 s11{,}25\ \text{s}

11,25 s11{,}25\ \text{s} est un temps honorable pour un athlète amateur — loin, bien sûr, du record du monde (9,58 s9{,}58\ \text{s}), obtenu avec une accélération initiale bien plus forte et une vitesse de pointe bien supérieure.

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Un référentiel est constitué :

Explication : Un référentiel associe un solide de référence, un repère d'espace (origine et axes) et une horloge pour mesurer le temps. Il n'existe aucun mouvement absolu : le référentiel doit toujours être précisé.

Le vecteur position OM→(t)\overrightarrow{OM}(t) d'un point mobile s'écrit, en coordonnées cartésiennes :

Explication : Le vecteur position se décompose sur les axes du repère à l'aide des équations horaires x(t)x(t) et y(t)y(t), exprimées en mètres.

Un robot a pour équations horaires x(t)=3t+2x(t)=3t+2 et y(t)=0,5t2y(t)=0{,}5t^{2} (en mètres). Sa position à t=2 st=2\ \text{s} est :

Explication : x(2)=3×2+2=8 mx(2)=3\times2+2=8\ \text{m}
y(2)=0,5×22=2 my(2)=0{,}5\times2^{2}=2\ \text{m}
d'où (8 ; 2)(8~;~2).

Le vecteur vitesse instantanée v⃗(t)\vec{v}(t) est défini comme :

Explication : v⃗(t)=dOM→dt\vec{v}(t)=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}, limite du vecteur vitesse moyenne lorsque Δt\Delta t tend vers 00.

Le vecteur vitesse v⃗(t)\vec{v}(t) est en tout point :

Explication : Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire en tout point, orienté dans le sens du mouvement ; sa norme est v=vx2+vy2v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.

Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération se décompose selon :

Explication : a⃗=atu⃗t+anu⃗n\vec{a}=a_t\vec{u}_t+a_n\vec{u}_n : ata_t traduit le changement de norme de la vitesse, ana_n le changement de direction (dirigée vers le centre de courbure).

Pour un mouvement rectiligne uniforme (MRU) de vitesse vv et de position initiale x0x_0, l'équation horaire est :

Explication : En MRU, vx(t)=vv_x(t)=v est constante ; on en déduit x(t)=vt+x0x(t)=vt+x_0, une fonction affine du temps (droite dans le graphique x(t)x(t)).

Pour un mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV), les équations horaires sont :

Explication : En MRUV, l'accélération aa est constante ; en intégrant successivement, on obtient v(t)=at+v0v(t)=at+v_0 puis x(t)=12at2+v0t+x0x(t)=\dfrac{1}{2}at^{2}+v_0t+x_0.

Une voiture roule à v0=5 m⋅s−1v_0=5\ \text{m·s}^{-1} et accélère à a=4 m⋅s−2a=4\ \text{m·s}^{-2} pendant 5 s5\ \text{s} (x0=0x_0=0). Sa vitesse finale et sa position finale sont :

Explication : v(5)=4×5+5=25 m⋅s−1v(5)=4\times5+5=25\ \text{m·s}^{-1}
x(5)=12×4×25+5×5=50+25=75 mx(5)=\dfrac{1}{2}\times4\times25+5\times5=50+25=75\ \text{m}.

La relation indépendante du temps pour un MRUV s'écrit :

Explication : Cette relation, obtenue en éliminant le temps entre v(t)v(t) et x(t)x(t), s'utilise dès qu'un énoncé ne fait intervenir aucune durée.

Une voiture roulant à v0=20 m⋅s−1v_0=20\ \text{m·s}^{-1} freine avec a=−4 m⋅s−2a=-4\ \text{m·s}^{-2} jusqu'à l'arrêt. La distance de freinage est :

Explication : 0−202=2×(−4)×(x−x0)0-20^{2}=2\times(-4)\times(x-x_0)
−400=−8(x−x0)-400=-8(x-x_0)
x−x0=50 mx-x_0=50\ \text{m}.

Dans un mouvement circulaire uniforme (MCU) de rayon RR et de vitesse angulaire ω\omega, la vitesse linéaire vaut :

Explication : Comme s=Rθs=R\theta le long du cercle et v=ds/dtv=\mathrm{d}s/\mathrm{d}t, on obtient v=R dθ/dt=Rωv=R\,\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t=R\omega.

En mouvement circulaire uniforme, l'accélération centripète ana_n est :

Explication : En MCU, at=0a_t=0 (vitesse constante en norme) mais an=v2/R=Rω2a_n=v^2/R=R\omega^2, dirigée vers le centre : c'est l'accélération centripète, non nulle malgré une vitesse de norme constante.

Un disque tourne à N=300 tr⋅min−1N=300\ \text{tr·min}^{-1}. Sa fréquence ff et sa période TT valent :

Explication : f=N60=30060=5 Hzf=\dfrac{N}{60}=\dfrac{300}{60}=5\ \text{Hz}
T=1f=0,2 sT=\dfrac{1}{f}=0{,}2\ \text{s}.

Dans un mouvement plan résultant de la composition de deux mouvements rectilignes indépendants (chute avec vitesse horizontale initiale), la composante horizontale de la vitesse vxv_x :

Explication : Chaque axe se traite indépendamment : piège classique, croire que vxv_x diminue pendant une chute. Si ax=0a_x=0, vxv_x reste constante quelle que soit l'évolution de vyv_y.

Une bille est lancée horizontalement à v0=4 m⋅s−1v_0=4\ \text{m·s}^{-1} depuis une table de hauteur h=1,25 mh=1{,}25\ \text{m} (g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}). La portée horizontale au sol est environ :

Explication : Durée de chute : t2=2×1,259,8≈0,255t^{2}=\dfrac{2\times1{,}25}{9{,}8}\approx0{,}255, t≈0,50 st\approx0{,}50\ \text{s}
portée x=v0t≈4×0,50x=v_0t\approx4\times0{,}50
≈2,0 m\approx2{,}0\ \text{m}.

Sur un graphique x(t)x(t), la pente de la tangente en un point donne :

Explication : La pente de la tangente à x(t)x(t) donne la vitesse instantanée ; une droite oblique traduit un MRU, une parabole un MRUV.

Sur un graphique v(t)v(t), l'aire sous la courbe entre deux instants donne :

Explication : L'aire sous v(t)v(t) entre deux instants correspond au déplacement x(t2)−x(t1)x(t_2)-x(t_1) ; la pente de v(t)v(t), elle, donne l'accélération.

Un graphique v(t)v(t) est une droite oblique passant par (t=1 s ; v=6 m⋅s−1)(t=1\ \text{s}~;~v=6\ \text{m·s}^{-1}) et (t=4 s ; v=18 m⋅s−1)(t=4\ \text{s}~;~v=18\ \text{m·s}^{-1}). Le mouvement correspondant et son accélération sont :

Explication : a=ΔvΔt=18−64−1=4 m⋅s−2a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{18-6}{4-1}=4\ \text{m·s}^{-2} : une droite oblique sur v(t)v(t) signe un mouvement rectiligne uniformément varié.

Un petit satellite décrit une orbite circulaire à vitesse v≈7,9 km⋅s−1v\approx7{,}9\ \text{km·s}^{-1}, avec une accélération centripète très proche de gg. On dit que le satellite est en « chute libre permanente » car :

Explication : Le satellite subit constamment une accélération centripète voisine de gg, mais sa vitesse horizontale considérable fait que sa trajectoire de chute se referme sur elle-même : c'est le principe de la mise en orbite.
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