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Condensateurs

Étudier le condensateur, sa charge et son énergie.

Physique Première Chapitre 6 / 9 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer une capacité équivalente
  • Exploiter la relation q = C·u
  • Calculer l'énergie stockée dans un condensateur

Regarde autour de toi : le flash de ton téléphone qui illumine une pièce sombre en un éclair, le clavier sur lequel tu tapes, l'alimentation qui recharge ton ordinateur sans à-coups, ou encore le défibrillateur qui peut relancer un cœur à l'hôpital de ta ville — tous ces objets cachent le même composant discret : le condensateur. Contrairement à une pile, il ne fabrique pas d'énergie électrique ; il sait la stocker très vite, puis la restituer tout aussi vite.

Tu connais déjà la tension uu, l'intensité ii et la loi d'Ohm u=R⋅iu = R \cdot i pour le résistor : dans ce chapitre, tu rencontres un composant d'une autre nature, capable d'accumuler des charges électriques sur ses armatures. La tension à ses bornes ne s'établit plus instantanément : elle évolue dans le temps, selon une courbe caractéristique que tu vas apprendre à lire et à exploiter.

À la fin de ce chapitre, tu sauras calculer une capacité équivalente pour des condensateurs associés en série ou en parallèle, exploiter la relation q=C⋅uq = C \cdot u pour relier charge, capacité et tension, et calculer l'énergie stockée dans un condensateur chargé. Ce sont des outils que tu retrouveras dans les circuits électroniques, en physique du solide, et jusque dans la conception d'un flash ou d'un défibrillateur.

1Description et capacité

Un condensateur est l'un des composants électroniques les plus simples à fabriquer : deux plaques métalliques et un isolant suffisent. Sa simplicité cache pourtant un comportement électrique riche, que tu vas découvrir pas à pas.

1.1  Constitution et symbole

Définition

Un condensateur est un composant formé de deux surfaces conductrices, appelées armatures, séparées par un matériau isolant appelé diélectrique (air, papier, mica, céramique, oxyde métallique…). Les armatures ne se touchent jamais : aucun courant de conduction ne traverse le diélectrique.

Quand on relie un condensateur à un générateur, des charges électriques s'accumulent sur chaque armature : une charge +q+q sur l'une, une charge −q-q sur l'autre — les deux armatures portent toujours des charges opposées, si bien que la charge totale du condensateur reste nulle. La tension uu aux bornes du condensateur se compte de l'armature chargée +q+q vers l'armature chargée −q-q.

Constitution physiqueSymbole normalisé +q−qisolant e S AB +q−q C u
Figure 1 — Un condensateur est formé de deux armatures conductrices en regard, séparées par un isolant (le diélectrique). Le symbole normalisé conserve cette double armature ; la tension uu se compte de l'armature +q+q vers l'armature −q-q.
Attention

Aucune charge ne traverse le diélectrique : ce n'est pas un courant de conduction qui circule « à travers » le condensateur. Pendant la charge, un courant existe bien dans les fils du circuit, mais il correspond à des charges qui s'accumulent sur une armature et qui quittent l'autre — jamais à des charges qui franchissent l'isolant.

1.2  Capacité, l'unité farad

Définition

La capacité CC d'un condensateur mesure son aptitude à stocker des charges électriques pour une tension donnée. C'est une grandeur positive, caractéristique du condensateur (elle ne dépend ni de uu ni de qq), qui s'exprime en farads, de symbole F\text{F}, en hommage au physicien anglais Michael Faraday.

Le farad est une unité énorme pour l'électronique courante : un condensateur de 1 F1\ \text{F} serait encombrant. En pratique, on utilise presque toujours ses sous-multiples.

Unitémicrofaradnanofaradpicofarad
SymboleμF\mu\text{F}nF\text{nF}pF\text{pF}
Relation au farad1 μF=10−6 F1\ \mu\text{F} = 10^{-6}\ \text{F}1 nF=10−9 F1\ \text{nF} = 10^{-9}\ \text{F}1 pF=10−12 F1\ \text{pF} = 10^{-12}\ \text{F}
Exemple — conversions d'unités
  1. C1=220 μFC_1 = 220\ \mu\text{F}
  2. ==220×10−6 F=2,20×10−4 F220 \times 10^{-6}\ \text{F} = 2{,}20 \times 10^{-4}\ \text{F}
  3. C2=47 nFC_2 = 47\ \text{nF}
  4. ==47×10−9 F=4,7×10−8 F47 \times 10^{-9}\ \text{F} = 4{,}7 \times 10^{-8}\ \text{F}
  5. C3=100 pFC_3 = 100\ \text{pF}
  6. ==100×10−12 F=1,0×10−10 F100 \times 10^{-12}\ \text{F} = 1{,}0 \times 10^{-10}\ \text{F}

1.3  Le condensateur plan

Le condensateur plan — deux armatures planes, parallèles, de même surface SS, séparées d'une distance ee très petite devant leurs dimensions — permet de comprendre ce qui gouverne la valeur de CC.

Propriété — capacité d'un condensateur plan

C=εSeC = \varepsilon \dfrac{S}{e}

avec SS la surface en regard des armatures (en m2\text{m}^{2}), ee l'épaisseur du diélectrique (en m\text{m}), et ε=ε0εr\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r la permittivité du diélectrique (en F⋅m−1\text{F·m}^{-1}), où ε0≈8,85×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{F·m}^{-1} est la permittivité du vide et εr⩾1\varepsilon_r \geqslant 1 la permittivité relative du matériau isolant.

Cette formule se comprend qualitativement : des armatures plus grandes (SS plus grand) offrent plus de place pour accumuler des charges en regard, donc CC augmente. Des armatures plus rapprochées (ee plus petit) renforcent l'attraction entre charges opposées, donc CC augmente aussi. Enfin, un diélectrique qui se polarise facilement (εr\varepsilon_r grand, comme la céramique) « aide » à séparer les charges et augmente encore CC par rapport au vide.

Exemple — condensateur plan à air

Deux armatures de surface S=25 cm2S = 25\ \text{cm}^{2}, séparées par de l'air (εr≈1\varepsilon_r \approx 1) sur e=0,50 mme = 0{,}50\ \text{mm}.

  1. S=25×10−4 m2 ; e=0,50×10−3 mS = 25 \times 10^{-4}\ \text{m}^{2}\ ;\ e = 0{,}50 \times 10^{-3}\ \text{m}
  2. C=ε0SeC = \varepsilon_0 \dfrac{S}{e}
  3. ==8,85×10−12×25×10−40,50×10−38{,}85 \times 10^{-12} \times \dfrac{25 \times 10^{-4}}{0{,}50 \times 10^{-3}}
  4. ==4,4×10−11 F=44 pF4{,}4 \times 10^{-11}\ \text{F} = 44\ \text{pF}un condensateur à air a une très faible capacité
Physique & Co — La bouteille de Leyde

Le tout premier condensateur naît par hasard, en 17451745, dans le cabinet du chanoine Ewald Georg von Kleist, à Cammin. Il tente de « capturer » l'électricité dans un flacon rempli d'eau, avec un clou métallique plongé dedans : en touchant le clou, il reçoit une décharge d'une violence inattendue.

L'année suivante, à l'université de Leyde aux Pays-Bas, le physicien Pieter van Musschenbroek redécouvre et décrit précisément le phénomène : l'eau et le clou forment une armature intérieure, la main de l'expérimentateur (ou une feuille métallique) l'armature extérieure, et le verre du flacon joue le rôle de diélectrique. L'objet reste célèbre sous le nom de bouteille de Leyde. Il faudra attendre le physicien italien Alessandro Volta, en 17821782, pour que le terme de « condensateur » (condensatore) s'impose et pour que la grandeur CC soit clairement définie.

2Relation q=C⋅uq = C \cdot u

Comment être certain que la capacité CC est bien une constante du condensateur, indépendante de la tension appliquée ? La réponse vient d'une expérience simple à mettre en œuvre, et décisive : la charge à courant constant.

2.1  Charge à courant constant

On charge un condensateur initialement déchargé à l'aide d'un générateur de courant constant, qui impose une intensité II fixe dans le circuit. Un ampèremètre vérifie que II ne varie pas, un voltmètre relève la tension uu aux bornes du condensateur, et un chronomètre donne la date tt de chaque mesure.

Méthode — établir expérimentalement q=Cuq = Cu

À courant II constant, la charge qui s'accumule sur l'armature pendant une durée tt vaut q=I×tq = I \times t (c'est la définition même de l'intensité : un débit de charge). On relève uu à différentes dates tt, on calcule q=Itq = I t pour chacune, puis on place les points (u ; q)(u\,;\,q) dans un repère.

Montage de charge à courant constantGraphe expérimental q = f(u) I A C V uqO ΔuΔq pente = C
Figure 2 — Montage de charge à courant constant : le courant II étant constant, la charge accumulée vaut q=I×tq = I \times t. Le tracé de qq en fonction de uu mesuré donne une droite passant par l'origine, de pente CC — ce qui établit expérimentalement la relation q=Cuq = Cu.
Démonstration — origine expérimentale de q=Cuq = Cu

À courant II constant, la quantité de charge transférée entre l'instant 00 et l'instant tt vaut, par définition de l'intensité, q=I×tq = I \times t. On mesure en parallèle la tension u(t)u(t) aux bornes du condensateur.

  1. les points (u ; q)(u\,;\,q) relevés sont alignés sur une droite
  2. cette droite passe par l'origine (0 ; 0)(0\,;\,0)condensateur initialement déchargé
  3. ⇒\Rightarrowqq et uu sont proportionnels
  4. ⇒\Rightarrowq=k⋅uq = k \cdot u, où kk est le coefficient directeur (la pente) de la droite

Ce coefficient kk, qui ne dépend que du condensateur testé (et pas de II ni de tt), est défini comme sa capacité CC. On a donc établi expérimentalement la relation fondamentale q=Cuq = Cu.

2.2  La relation q=Cuq = Cu et sa convention de signe

Théorème

La charge qq portée par l'armature reliée au pôle ++ du générateur et la tension uu orientée de cette armature vers l'autre sont liées par :

q=C⋅uq = C \cdot u

avec qq en coulombs (C\text{C}), CC en farads (F\text{F}), uu en volts (V\text{V}). L'autre armature porte la charge −q-q.

Exemple — charge d'un condensateur

Un condensateur de capacité C=470 μFC = 470\ \mu\text{F} est chargé sous une tension u=12 Vu = 12\ \text{V}.

  1. q=C⋅uq = C \cdot u
  2. ==470×10−6×12470 \times 10^{-6} \times 12
  3. ==5,64×10−3 C5{,}64 \times 10^{-3}\ \text{C}soit 5,64 mC5{,}64\ \text{mC}
Exemple — déterminer CC à partir d'un graphe

Deux points relevés sur une droite q=f(u)q = f(u) passant par l'origine : u1=2,0 Vu_1 = 2{,}0\ \text{V}, q1=9,4 μCq_1 = 9{,}4\ \mu\text{C} et u2=6,0 Vu_2 = 6{,}0\ \text{V}, q2=28,2 μCq_2 = 28{,}2\ \mu\text{C}.

  1. C=ΔqΔu=q2−q1u2−u1C = \dfrac{\Delta q}{\Delta u} = \dfrac{q_2 - q_1}{u_2 - u_1}
  2. ==28,2−9,46,0−2,0 μF\dfrac{28{,}2 - 9{,}4}{6{,}0 - 2{,}0}\ \mu\text{F}
  3. ==18,84,0=4,7 μF\dfrac{18{,}8}{4{,}0} = 4{,}7\ \mu\text{F}
Attention

qq désigne la charge portée par une seule armature (celle reliée au ++), jamais la charge totale du condensateur, qui vaut toujours 00 (+q+q et −q-q se compensent). Et CC est une constante du composant : elle ne change pas quand uu change (tant que le condensateur reste dans son domaine de fonctionnement normal).

3Association de condensateurs

Dans un circuit réel, on n'a pas toujours sous la main la capacité exacte dont on a besoin. On combine alors plusieurs condensateurs, en série ou en parallèle, pour obtenir une capacité équivalente CeqC_{eq} qui se comporte, vue de l'extérieur, comme un condensateur unique.

Association en sérieAssociation en parallèle ABC₁C₂ u = u₁ + u₂ AB C₁ C₂ u
Figure 3 — En série, les deux condensateurs portent la même charge qq et les tensions s'ajoutent. En parallèle, ils subissent la même tension uu et les charges s'ajoutent.

3.1  Association en série

Démonstration — capacité équivalente en série

Le point milieu entre les deux condensateurs est isolé : il ne peut échanger de charge avec l'extérieur. Les charges qui apparaissent sur ses deux armatures en regard sont donc opposées, ce qui impose la même charge qq sur les deux condensateurs. La tension totale se répartit entre eux : u=u1+u2u = u_1 + u_2.

  1. u=u1+u2u = u_1 + u_2
  2. u1=qC1 ;u2=qC2u_1 = \dfrac{q}{C_1}\ ;\quad u_2 = \dfrac{q}{C_2}même charge qq sur les deux condensateurs
  3. ⇒\Rightarrowu=qC1+qC2=q(1C1+1C2)u = \dfrac{q}{C_1} + \dfrac{q}{C_2} = q\left(\dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}\right)
  4. or, par définition, u=qCequ = \dfrac{q}{C_{eq}}
  5. ⇒\Rightarrow1Ceq=1C1+1C2\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}
Théorème

Pour nn condensateurs en série :

1Ceq=1C1+1C2+⋯+1Cn\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \cdots + \dfrac{1}{C_n}

Pour deux condensateurs seulement, cela se réécrit Ceq=C1×C2C1+C2C_{eq} = \dfrac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2}. La capacité équivalente série est toujours plus petite que la plus petite des capacités associées.

Exemple — deux condensateurs en série

C1=100 μFC_1 = 100\ \mu\text{F} et C2=150 μFC_2 = 150\ \mu\text{F} sont associés en série.

  1. Ceq=C1×C2C1+C2C_{eq} = \dfrac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2}
  2. ==100×150100+150\dfrac{100 \times 150}{100 + 150}
  3. ==15 000250\dfrac{15\,000}{250}
  4. ==60 μF60\ \mu\text{F}bien inférieur à 100 μF100\ \mu\text{F}, la plus petite des deux

3.2  Association en parallèle

Démonstration — capacité équivalente en parallèle

Les deux condensateurs sont reliés aux mêmes nœuds AA et BB : ils subissent donc la même tension uu. Chacun porte sa propre charge, et la charge totale fournie par le générateur se répartit entre eux : q=q1+q2q = q_1 + q_2.

  1. q=q1+q2q = q_1 + q_2
  2. q1=C1u ;q2=C2uq_1 = C_1 u\ ;\quad q_2 = C_2 umême tension uu aux bornes des deux condensateurs
  3. ⇒\Rightarrowq=C1u+C2u=(C1+C2) uq = C_1 u + C_2 u = (C_1 + C_2)\,u
  4. or, par définition, q=Ceq uq = C_{eq}\,u
  5. ⇒\RightarrowCeq=C1+C2C_{eq} = C_1 + C_2
Théorème

Pour nn condensateurs en parallèle :

Ceq=C1+C2+⋯+CnC_{eq} = C_1 + C_2 + \cdots + C_n

La capacité équivalente parallèle est toujours plus grande que la plus grande des capacités associées.

Exemple — deux condensateurs en parallèle

C1=220 nFC_1 = 220\ \text{nF} et C2=330 nFC_2 = 330\ \text{nF} sont associés en parallèle.

  1. Ceq=C1+C2C_{eq} = C_1 + C_2
  2. ==220+330220 + 330
  3. ==550 nF550\ \text{nF}
Attention

C'est l'inverse des résistors ! En série, les résistances s'additionnent directement alors que les capacités se combinent par inverses. En parallèle, c'est le contraire : les résistances se combinent par inverses, les capacités s'additionnent directement. Ne confonds jamais les deux formules le jour du contrôle.

4Charge et décharge à travers une résistance

Un condensateur ne se charge (et ne se décharge) jamais instantanément dès qu'un résistor limite le courant dans le circuit. Cette section explique pourquoi, et te donne les outils pour lire une durée caractéristique directement sur un graphe.

4.1  Montage et allure des courbes

On associe en série un générateur de tension constante EE, un résistor de résistance RR et un condensateur de capacité CC, avec un interrupteur à deux positions : position 11 pour charger le condensateur à travers RR, position 22 pour le décharger à travers RR seul (générateur débranché). Un oscilloscope ou une interface d'acquisition enregistre uC(t)u_C(t).

Charge et décharge : uᶜ(t) tuᶜ0 E 0,63 E τ 2τ 3τ 4τ 5τ chargedécharge
Figure 4 — Courbes exactes de charge uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right) et de décharge uC(t)=E e−t/τu_C(t) = E\,\mathrm{e}^{-t/\tau}, avec τ=RC\tau = RC. Les deux points marqués sont à l'instant t=τt = \tau.

4.2  Équation et expression de uC(t)u_C(t)

La loi des mailles, appliquée à la charge, donne E=uR+uCE = u_R + u_C avec uR=Riu_R = Ri et i=CduCdti = C \dfrac{\text{d}u_C}{\text{d}t} (le courant qui charge le condensateur). On obtient l'équation différentielle du circuit :

RC duCdt+uC=ERC\,\dfrac{\text{d}u_C}{\text{d}t} + u_C = E

Démonstration — vérification de la solution de charge

On admet la forme de la solution et on vérifie qu'elle satisfait bien l'équation différentielle et la condition initiale (condensateur déchargé à t=0t=0) : uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right), avec τ=RC\tau = RC.

  1. duCdt=Eτ e−t/τ\dfrac{\text{d}u_C}{\text{d}t} = \dfrac{E}{\tau}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}
  2. RC duCdt+uC=RC×Eτ e−t/τ+E(1−e−t/τ)RC\,\dfrac{\text{d}u_C}{\text{d}t} + u_C = RC \times \dfrac{E}{\tau}\,\mathrm{e}^{-t/\tau} + E\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right)
  3. ==E e−t/τ+E−E e−t/τE\,\mathrm{e}^{-t/\tau} + E - E\,\mathrm{e}^{-t/\tau}car RC=τRC = \tau
  4. ==EEl'équation est bien vérifiée
  5. de plus uC(0)=E(1−e0)=0u_C(0) = E(1 - \mathrm{e}^{0}) = 0condition initiale correcte

La démarche est identique pour la décharge, avec E=0E = 0 dans le circuit et uC(0)=Eu_C(0) = E : on obtient uC(t)=E e−t/τu_C(t) = E\,\mathrm{e}^{-t/\tau}. C.Q.F.D.

4.3  La constante de temps τ=RC\tau = RC

Définition

La constante de temps τ=RC\tau = RC caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge. Plus τ\tau est petit, plus le régime évolue vite. Après une durée t=5τt = 5\tau, on considère le régime permanent atteint (uCu_C a varié de plus de 99 %99\ \% de l'écart total).

Démonstration — homogénéité de RCRC à un temps
  1. loi d'Ohm : [R]=[u][i][R] = \dfrac{[u]}{[i]}volts par ampère
  2. [C]=[q][u][C] = \dfrac{[q]}{[u]}définition de la capacité
  3. [q]=[i]×[t][q] = [i] \times [t]l'intensité est un débit de charge
  4. ⇒\Rightarrow[C]=[i]×[t][u][C] = \dfrac{[i] \times [t]}{[u]}
  5. ⇒\Rightarrow[R]×[C]=[u][i]×[i]×[t][u][R] \times [C] = \dfrac{[u]}{[i]} \times \dfrac{[i] \times [t]}{[u]}
  6. ==[t][t]les [u][u] et les [i][i] se simplifient

Le produit RCRC est donc bien homogène à un temps : il s'exprime en secondes lorsque RR est en ohms et CC en farads.

Exemple — calculer τ\tau

R=4,7 kΩR = 4{,}7\ \text{k}\Omega et C=220 μFC = 220\ \mu\text{F}.

  1. τ=RC\tau = RC
  2. ==4,7×103×220×10−64{,}7 \times 10^{3} \times 220 \times 10^{-6}
  3. ==1,03 s1{,}03\ \text{s}

4.4  Déterminer τ\tau graphiquement

Méthode — deux façons de lire τ\tau

Méthode de la tangente à l'origine : on trace la tangente à la courbe uC(t)u_C(t) au point t=0t = 0 ; cette droite coupe l'asymptote horizontale uC=Eu_C = E en l'abscisse t=τt = \tau. Méthode des 63 %63\ \% : pour la charge, on repère l'instant où uCu_C atteint 0,63 E0{,}63\,E (car 1−e−1≈0,631 - \mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}63) ; pour la décharge, l'instant où uCu_C est tombé à 0,37 E0{,}37\,E.

Méthode de la tangente et méthode des 63 % tuᶜ0 E 0,63 E τ 2τ 3τ 4τ 5τ tangente à l'origineuᶜ(t)
Figure 5 — La tangente à l'origine de la courbe de charge coupe l'asymptote uC=Eu_C = E exactement à t=τt = \tau ; la courbe atteint 0,63 E0{,}63\,E au même instant t=τt = \tau. Les deux méthodes s'accordent.
Exemple — lecture graphique de τ\tau

Sur un graphe de charge, l'asymptote est à E=6,0 VE = 6{,}0\ \text{V} et la tangente à l'origine coupe cette asymptote à t=4,0 mst = 4{,}0\ \text{ms}. On sait que R=2,0 kΩR = 2{,}0\ \text{k}\Omega.

  1. τ=4,0 ms=4,0×10−3 s\tau = 4{,}0\ \text{ms} = 4{,}0 \times 10^{-3}\ \text{s}
  2. τ=RC⇒C=τR\tau = RC \Rightarrow C = \dfrac{\tau}{R}
  3. ==4,0×10−32,0×103\dfrac{4{,}0 \times 10^{-3}}{2{,}0 \times 10^{3}}
  4. ==2,0×10−6 F=2,0 μF2{,}0 \times 10^{-6}\ \text{F} = 2{,}0\ \mu\text{F}
Attention

La tangente à l'origine doit être tracée exactement au point t=0t = 0 (pas ailleurs sur la courbe : la pente diminue ensuite). Et 0,63 E0{,}63\,E se lit sur l'axe des tensions, pas sur l'axe des temps — une confusion fréquente le jour du contrôle.

5Énergie emmagasinée

Un condensateur chargé n'est pas seulement porteur de charges : il stocke aussi de l'énergie électrique, qu'il peut restituer très vite lors de la décharge. C'est précisément ce qui rend un flash aussi éblouissant, ou un défibrillateur aussi efficace.

5.1  Expression de l'énergie

Définition

L'énergie électrique EE emmagasinée par un condensateur de capacité CC, chargé sous une tension UU, est donnée par :

E=12 C U2E = \dfrac{1}{2}\,C\,U^{2}

avec EE en joules (J\text{J}), CC en farads (F\text{F}), UU en volts (V\text{V}).

Énergie = aire sous la droite q = Cu uqO UQ E = aire du triangle = ½ × U × Q = ½ C U²
Figure 6 — Sur le graphe q=f(u)q = f(u), l'énergie emmagasinée est l'aire du triangle compris entre la droite, l'axe des uu et la verticale u=Uu = U : c'est le travail fourni pour amener progressivement le condensateur de 00 à UU.
Démonstration — par l'aire du graphe

Charger le condensateur, c'est déplacer des charges depuis une tension nulle jusqu'à UU, pas à pas. À chaque étape infinitésimale, le travail fourni correspond à l'aire d'une fine bande sous la droite q=f(u)q = f(u) : la somme de toutes ces bandes, de 00 à UU, est exactement l'aire du triangle compris sous la droite.

  1. E=aire du triangleE = \text{aire du triangle}
  2. ==12×base×hauteur\dfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}
  3. ==12×U×Q\dfrac{1}{2} \times U \times Q
  4. or Q=CUQ = C Urelation q=Cuq = Cu
  5. ⇒\RightarrowE=12×U×CUE = \dfrac{1}{2} \times U \times CU
  6. ==12 C U2\dfrac{1}{2}\,C\,U^{2}

5.2  Applications numériques

Exemple — énergie stockée

C=1 000 μFC = 1\,000\ \mu\text{F}, chargé sous U=16 VU = 16\ \text{V}.

  1. E=12 C U2E = \dfrac{1}{2}\,C\,U^{2}
  2. ==0,5×1 000×10−6×1620{,}5 \times 1\,000 \times 10^{-6} \times 16^{2}
  3. ==0,5×10−3×2560{,}5 \times 10^{-3} \times 256
  4. ==0,128 J0{,}128\ \text{J}
Exemple — puissance délivrée par un flash

Le condensateur d'un flash, C=220 μFC = 220\ \mu\text{F} chargé sous U=300 VU = 300\ \text{V}, se décharge dans la lampe en Δt=1,0 ms\Delta t = 1{,}0\ \text{ms}.

  1. E=12 C U2E = \dfrac{1}{2}\,C\,U^{2}
  2. ==0,5×220×10−6×30020{,}5 \times 220 \times 10^{-6} \times 300^{2}
  3. ==9,9 J9{,}9\ \text{J}
  4. Pmoy=EΔtP_{moy} = \dfrac{E}{\Delta t}
  5. ==9,91,0×10−3\dfrac{9{,}9}{1{,}0 \times 10^{-3}}
  6. ==9,9×103 W9{,}9 \times 10^{3}\ \text{W}près de 10 kW10\ \text{kW} pendant une milliseconde : d'où l'éclat du flash
Attention

L'énergie varie comme le carré de UU, pas comme UU : doubler la tension aux bornes d'un condensateur quadruple l'énergie stockée, alors que cela ne fait que doubler la charge q=Cuq = Cu. Ne confonds pas ces deux dépendances.

6Applications

Le condensateur est partout dans les objets techniques qui t'entourent. Cinq applications concrètes suffisent à montrer l'étendue de ses usages, du plus rapide au plus lent.

Le flash photographique

Une pile charge lentement (quelques secondes, τ\tau grand car RR interne élevée) un condensateur jusqu'à une haute tension. Au déclenchement, il se décharge en une fraction de milliseconde dans la lampe au xénon (τ\tau très petit, résistance de la lampe faible) : toute l'énergie stockée est libérée quasi instantanément, d'où une puissance instantanée énorme malgré une énergie totale modeste.

La temporisation (minuterie d'éclairage)

Dans une minuterie d'escalier, un circuit RCRC commande l'extinction de la lumière : au moment de l'appui, un condensateur se charge (ou se décharge) à travers une résistance, et un circuit électronique coupe l'éclairage lorsque uCu_C franchit un seuil. Régler la durée d'éclairage revient à régler τ=RC\tau = RC, le plus souvent via une résistance variable.

Le filtrage dans une alimentation

Après un redressement (pont de diodes), la tension obtenue reste ondulée. Un condensateur placé en parallèle de la charge se recharge à chaque maximum et se décharge lentement entre deux maxima (à travers la charge), ce qui lisse la tension et réduit fortement son ondulation résiduelle.

Le défibrillateur

Un condensateur de quelques microfarads, chargé sous plusieurs kilovolts, se décharge en quelques millisecondes à travers le thorax du patient via deux électrodes. L'énergie délivrée, de l'ordre de 150150 à 300 J300\ \text{J}, doit être suffisante pour resynchroniser le cœur, tout en restant contrôlée pour ne pas endommager les tissus.

Le clavier à condensateurs

Chaque touche d'un clavier capacitif forme, avec le circuit imprimé, un petit condensateur plan C=εS/eC = \varepsilon S / e. Appuyer sur la touche réduit l'épaisseur ee entre les armatures, donc augmente CC : l'électronique détecte cette variation, sans aucun contact mécanique entre pistes métalliques — d'où une durabilité bien supérieure à celle des claviers à contact.

Physique & Co — La première défibrillation

C'est le chirurgien américain Claude Beck qui réalise, en 19471947 à Cleveland, la première défibrillation cardiaque réussie chez l'humain, à cœur ouvert, sur un adolescent de 1414 ans en arrêt cardiaque pendant une opération. L'appareil de l'époque utilisait le secteur alternatif ; les défibrillateurs modernes, bien plus sûrs, déchargent un condensateur préalablement chargé — une application directe de E=12CU2E = \frac{1}{2}CU^{2} qui sauve aujourd'hui des milliers de vies chaque année, y compris via les défibrillateurs automatisés externes désormais présents dans les lieux publics.

Fiche mémo

  • Condensateur : deux armatures séparées par un isolant (diélectrique) ; q=Cuq = C u, avec CC en farads (F\text{F}).
  • Condensateur plan : C=εSeC = \varepsilon \dfrac{S}{e}, avec ε=ε0εr\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r et ε0≈8,85×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{F·m}^{-1}.
  • Série : 1Ceq=1C1+1C2+⋯\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \cdots (même charge qq, CeqC_{eq} plus petite que la plus petite).
  • Parallèle : Ceq=C1+C2+⋯C_{eq} = C_1 + C_2 + \cdots (même tension uu, CeqC_{eq} plus grande que la plus grande).
  • Charge : uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right)  ·  Décharge : uC(t)=E e−t/τu_C(t) = E\,\mathrm{e}^{-t/\tau}, avec τ=RC\tau = RC en secondes.
  • Détermination de τ\tau : tangente à l'origine coupant l'asymptote en t=τt = \tau, ou uC(τ)≈0,63 Eu_C(\tau) \approx 0{,}63\,E (charge) / 0,37 E0{,}37\,E (décharge).
  • Régime permanent atteint après environ 5τ5\tau.
  • Énergie stockée : E=12 C U2E = \dfrac{1}{2}\,C\,U^{2} (en joules) — varie comme le carré de UU.
  • Applications : flash (décharge rapide), minuterie (charge/décharge RCRC), filtrage (lissage), défibrillateur (haute énergie), clavier capacitif (variation de CC).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Convertis en farads : 330 pF330\ \text{pF} ; 4,7 nF4{,}7\ \text{nF} ; 100 μF100\ \mu\text{F} ; 2 200 μF2\,200\ \mu\text{F}.

Voir le corrigé détaillé
  1. 330 pF=330×10−12 F=3,3×10−10 F330\ \text{pF} = 330 \times 10^{-12}\ \text{F} = 3{,}3 \times 10^{-10}\ \text{F}
  2. 4,7 nF=4,7×10−9 F4{,}7\ \text{nF} = 4{,}7 \times 10^{-9}\ \text{F}
  3. 100 μF=100×10−6 F=1,0×10−4 F100\ \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6}\ \text{F} = 1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{F}
  4. 2 200 μF=2,2×10−3 F2\,200\ \mu\text{F} = 2{,}2 \times 10^{-3}\ \text{F}
2

Un condensateur de capacité C=100 μFC = 100\ \mu\text{F} est chargé sous une tension u=9,0 Vu = 9{,}0\ \text{V}. Calcule la charge qq portée par chaque armature. Ce même condensateur porte ensuite une charge q′=2,0 mCq' = 2{,}0\ \text{mC} : quelle est alors la tension u′u' à ses bornes ?

Voir le corrigé détaillé
  1. q=Cuq = C u
  2. ==100×10−6×9,0100 \times 10^{-6} \times 9{,}0
  3. ==9,0×10−4 C=0,90 mC9{,}0 \times 10^{-4}\ \text{C} = 0{,}90\ \text{mC}
  4. q′=Cu′⇒u′=q′Cq' = C u' \Rightarrow u' = \dfrac{q'}{C}
  5. ==2,0×10−3100×10−6\dfrac{2{,}0 \times 10^{-3}}{100 \times 10^{-6}}
  6. ==20 V20\ \text{V}
3

Deux condensateurs C1=330 nFC_1 = 330\ \text{nF} et C2=470 nFC_2 = 470\ \text{nF} sont associés en série. Calcule la capacité équivalente CeqC_{eq}.

Voir le corrigé détaillé
  1. Ceq=C1×C2C1+C2C_{eq} = \dfrac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2}
  2. ==330×470330+470\dfrac{330 \times 470}{330 + 470}
  3. ==155 100800\dfrac{155\,100}{800}
  4. ==194 nF194\ \text{nF}bien inférieure à 330 nF330\ \text{nF}
4

Trois condensateurs C1=100 μFC_1 = 100\ \mu\text{F}, C2=220 μFC_2 = 220\ \mu\text{F} et C3=150 μFC_3 = 150\ \mu\text{F} sont associés en parallèle. Calcule CeqC_{eq}.

Voir le corrigé détaillé
  1. Ceq=C1+C2+C3C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3
  2. ==100+220+150100 + 220 + 150
  3. ==470 μF470\ \mu\text{F}
5

Un circuit RCRC comporte R=10 kΩR = 10\ \text{k}\Omega et C=47 μFC = 47\ \mu\text{F}. Calcule τ\tau, puis la durée au bout de laquelle le régime permanent est atteint.

Voir le corrigé détaillé
  1. τ=RC\tau = RC
  2. ==10×103×47×10−610 \times 10^{3} \times 47 \times 10^{-6}
  3. ==0,47 s0{,}47\ \text{s}
  4. régime permanent : 5τ5\tau
  5. ==5×0,47=2,35 s5 \times 0{,}47 = 2{,}35\ \text{s}
6

Un condensateur C=680 μFC = 680\ \mu\text{F} est chargé sous U=25 VU = 25\ \text{V}. Calcule l'énergie EE qu'il emmagasine.

Voir le corrigé détaillé
  1. E=12 C U2E = \dfrac{1}{2}\,C\,U^{2}
  2. ==0,5×680×10−6×2520{,}5 \times 680 \times 10^{-6} \times 25^{2}
  3. ==0,5×680×10−6×6250{,}5 \times 680 \times 10^{-6} \times 625
  4. ==0,2125 J≈0,21 J0{,}2125\ \text{J} \approx 0{,}21\ \text{J}
Niveau 2 — Approfondissement
7

Lors d'une charge à courant constant, on relève deux points alignés de la droite q=f(u)q = f(u) : (u1=1,5 V ; q1=33 μC)(u_1 = 1{,}5\ \text{V}\,;\,q_1 = 33\ \mu\text{C}) et (u2=4,5 V ; q2=99 μC)(u_2 = 4{,}5\ \text{V}\,;\,q_2 = 99\ \mu\text{C}).

  1. Détermine la capacité CC du condensateur testé.
  2. Calcule la charge q3q_3 portée pour une tension u3=10,0 Vu_3 = 10{,}0\ \text{V}.
Voir le corrigé détaillé

1. La droite passe par l'origine, sa pente vaut CC.

  1. C=q2−q1u2−u1C = \dfrac{q_2 - q_1}{u_2 - u_1}
  2. ==99−334,5−1,5\dfrac{99 - 33}{4{,}5 - 1{,}5}
  3. ==663,0=22 μF\dfrac{66}{3{,}0} = 22\ \mu\text{F}

2.

  1. q3=Cu3q_3 = C u_3
  2. ==22×10,022 \times 10{,}0
  3. ==220 μC220\ \mu\text{C}
8

Un montage associe C2=100 μFC_2 = 100\ \mu\text{F} et C3=100 μFC_3 = 100\ \mu\text{F} en parallèle ; cet ensemble est associé en série avec C1=150 μFC_1 = 150\ \mu\text{F}. Calcule la capacité équivalente totale CeqC_{eq}.

Voir le corrigé détaillé

On procède en deux temps : d'abord le sous-ensemble parallèle, puis la mise en série avec C1C_1.

  1. C23=C2+C3C_{23} = C_2 + C_3
  2. ==100+100=200 μF100 + 100 = 200\ \mu\text{F}
  3. Ceq=C1×C23C1+C23C_{eq} = \dfrac{C_1 \times C_{23}}{C_1 + C_{23}}
  4. ==150×200150+200\dfrac{150 \times 200}{150 + 200}
  5. ==30 000350\dfrac{30\,000}{350}
  6. ≈\approx85,7 μF85{,}7\ \mu\text{F}
9

On charge un condensateur à travers une résistance R=2,5 kΩR = 2{,}5\ \text{k}\Omega. La courbe ci-dessous (Figure 7) donne uC(t)u_C(t).

Charge d'un condensateur — uᶜ(t) t (ms)uᶜ (V)0 5,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5
Figure 7 — Courbe de charge relevée à l'oscilloscope.

Détermine graphiquement τ\tau (tangente à l'origine ou méthode des 63 %63\ \%), puis calcule la capacité CC.

Voir le corrigé détaillé

L'asymptote est à E=5,0 VE = 5{,}0\ \text{V}, donc le seuil des 63 %63\ \% vaut 0,63×5,0≈3,15 V0{,}63 \times 5{,}0 \approx 3{,}15\ \text{V}. La courbe atteint cette valeur (et la tangente à l'origine coupe l'asymptote) à t≈2,5 mst \approx 2{,}5\ \text{ms} : on lit donc τ≈2,5 ms\tau \approx 2{,}5\ \text{ms}.

  1. τ=RC⇒C=τR\tau = RC \Rightarrow C = \dfrac{\tau}{R}
  2. ==2,5×10−32,5×103\dfrac{2{,}5 \times 10^{-3}}{2{,}5 \times 10^{3}}
  3. ==1,0×10−6 F=1,0 μF1{,}0 \times 10^{-6}\ \text{F} = 1{,}0\ \mu\text{F}
10

Un condensateur se charge sous E=12 VE = 12\ \text{V}, avec τ=0,20 s\tau = 0{,}20\ \text{s}. Calcule uCu_C à l'instant t=0,20 st = 0{,}20\ \text{s}, puis vérifie que ce résultat correspond bien à 63 %63\ \% de EE.

Voir le corrigé détaillé
  1. t=τ⇒tτ=1t = \tau \Rightarrow \dfrac{t}{\tau} = 1
  2. uC(τ)=E(1−e−1)u_C(\tau) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-1}\right)
  3. ==12×(1−0,368)12 \times (1 - 0{,}368)
  4. ==12×0,63212 \times 0{,}632
  5. ==7,6 V7{,}6\ \text{V}

Or 0,63×12=7,56 V≈7,6 V0{,}63 \times 12 = 7{,}56\ \text{V} \approx 7{,}6\ \text{V} : le résultat coïncide bien avec la règle des 63 %63\ \%, à t=τt = \tau.

Niveau 3 — Défi
11

Un circuit RCRC comprend un générateur E=9,0 VE = 9{,}0\ \text{V}, R=1,0 kΩR = 1{,}0\ \text{k}\Omega et C=470 μFC = 470\ \mu\text{F}, condensateur initialement déchargé. On ferme l'interrupteur en position charge à t=0t = 0.

  1. Calcule τ\tau.
  2. Calcule uCu_C à t=1,0 st = 1{,}0\ \text{s}.
  3. Calcule l'énergie emmagasinée à cet instant.
  4. Le régime permanent étant atteint, on bascule sur décharge (résistance RR inchangée) : calcule uCu_C à t′=2,0 st' = 2{,}0\ \text{s} après le début de cette décharge.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. τ=RC\tau = RC
  2. ==1,0×103×470×10−61{,}0 \times 10^{3} \times 470 \times 10^{-6}
  3. ==0,47 s0{,}47\ \text{s}

2. À t=1,0 st = 1{,}0\ \text{s}, tτ=1,00,47≈2,13\dfrac{t}{\tau} = \dfrac{1{,}0}{0{,}47} \approx 2{,}13.

  1. uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right)
  2. ==9,0×(1−e−2,13)9{,}0 \times \left(1 - \mathrm{e}^{-2{,}13}\right)
  3. ==9,0×(1−0,119)9{,}0 \times (1 - 0{,}119)
  4. ==7,9 V7{,}9\ \text{V}

3.

  1. Estock=12CuC2E_{stock} = \dfrac{1}{2} C u_C^{2}
  2. ==0,5×470×10−6×7,920{,}5 \times 470 \times 10^{-6} \times 7{,}9^{2}
  3. ==0,5×470×10−6×62,40{,}5 \times 470 \times 10^{-6} \times 62{,}4
  4. ≈\approx1,5×10−2 J=14,8 mJ1{,}5 \times 10^{-2}\ \text{J} = 14{,}8\ \text{mJ}

4. Après la décharge, uC(0)=E=9,0 Vu_C(0) = E = 9{,}0\ \text{V} et t′τ=2,00,47≈4,26\dfrac{t'}{\tau} = \dfrac{2{,}0}{0{,}47} \approx 4{,}26.

  1. uC(t′)=E e−t′/τu_C(t') = E\,\mathrm{e}^{-t'/\tau}
  2. ==9,0×e−4,269{,}0 \times \mathrm{e}^{-4{,}26}
  3. ==9,0×0,01429{,}0 \times 0{,}0142
  4. ≈\approx0,13 V0{,}13\ \text{V}le condensateur est quasiment déchargé après 4,3τ4{,}3\tau
12

Démontre que, pour nn condensateurs C1,C2,…,CnC_1, C_2, \ldots, C_n associés en parallèle entre deux points AA et BB, la capacité équivalente vaut Ceq=C1+C2+⋯+CnC_{eq} = C_1 + C_2 + \cdots + C_n.

Voir le corrigé détaillé

Chacun des nn condensateurs est relié aux mêmes points AA et BB : ils subissent donc tous la même tension u=uABu = u_{AB}. Chaque condensateur kk porte sa propre charge qk=Ck uq_k = C_k\,u, et la charge totale fournie par le générateur au nœud AA est la somme de ces charges, puisque le générateur ne « voit » que ce total.

  1. qtotal=q1+q2+⋯+qnq_{total} = q_1 + q_2 + \cdots + q_n
  2. qk=Ck uq_k = C_k\,u pour chaque kkmême tension uu pour tous
  3. ⇒\Rightarrowqtotal=C1u+C2u+⋯+Cnuq_{total} = C_1 u + C_2 u + \cdots + C_n u
  4. ==(C1+C2+⋯+Cn)u\left(C_1 + C_2 + \cdots + C_n\right) u
  5. or, par définition de CeqC_{eq} : qtotal=Ceq uq_{total} = C_{eq}\,u
  6. ⇒\RightarrowCeq=C1+C2+⋯+CnC_{eq} = C_1 + C_2 + \cdots + C_n

Cette égalité étant vraie pour toute tension uu, l'identification des coefficients est légitime. C.Q.F.D.

13

Un flash utilise C=150 μFC = 150\ \mu\text{F}. On souhaite une charge « douce » avec τcharge=3,0 s\tau_{charge} = 3{,}0\ \text{s}, et une décharge quasi instantanée dans la lampe avec τdeˊcharge=0,50 ms\tau_{décharge} = 0{,}50\ \text{ms}. Calcule la résistance de charge RchargeR_{charge} (résistance interne de la pile et du circuit de charge) et la résistance RdeˊchargeR_{décharge} (résistance de la lampe), puis compare-les.

Voir le corrigé détaillé
  1. τcharge=RchargeC⇒Rcharge=τchargeC\tau_{charge} = R_{charge} C \Rightarrow R_{charge} = \dfrac{\tau_{charge}}{C}
  2. ==3,0150×10−6\dfrac{3{,}0}{150 \times 10^{-6}}
  3. ==2,0×104 Ω=20 kΩ2{,}0 \times 10^{4}\ \Omega = 20\ \text{k}\Omega
  4. Rdeˊcharge=τdeˊchargeCR_{décharge} = \dfrac{\tau_{décharge}}{C}
  5. ==0,50×10−3150×10−6\dfrac{0{,}50 \times 10^{-3}}{150 \times 10^{-6}}
  6. ==3,3 Ω3{,}3\ \Omega

Le rapport RchargeRdeˊcharge=20 0003,3≈6 000\dfrac{R_{charge}}{R_{décharge}} = \dfrac{20\,000}{3{,}3} \approx 6\,000 : la résistance de charge est six mille fois plus grande que celle de décharge, ce qui explique pourquoi la pile charge lentement le condensateur alors que la lampe le vide presque instantanément — c'est tout le principe du flash.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Le flash d'un studio photo (Dakar). Un studio photo à Dakar utilise un flash dont le condensateur, de capacité C=330 μFC = 330\ \mu\text{F}, est chargé sous U=330 VU = 330\ \text{V} par le générateur haute tension de l'appareil.

  1. Calcule l'énergie EE stockée dans le condensateur.
  2. La décharge dans la lampe dure Δt=0,80 ms\Delta t = 0{,}80\ \text{ms} : calcule la puissance moyenne délivrée.
  3. Le générateur charge le condensateur avec un courant constant I=15 mAI = 15\ \text{mA}. Calcule la durée de charge nécessaire, à partir d'un condensateur déchargé.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. E=12 C U2E = \dfrac{1}{2}\,C\,U^{2}
  2. ==0,5×330×10−6×33020{,}5 \times 330 \times 10^{-6} \times 330^{2}
  3. ==18,0 J18{,}0\ \text{J}

2.

  1. Pmoy=EΔtP_{moy} = \dfrac{E}{\Delta t}
  2. ==18,00,80×10−3\dfrac{18{,}0}{0{,}80 \times 10^{-3}}
  3. ==2,25×104 W2{,}25 \times 10^{4}\ \text{W}soit 22,5 kW22{,}5\ \text{kW} pendant moins d'une milliseconde

3. À courant constant, q=Itq = It, et l'on veut atteindre Q=CUQ = CU.

  1. Q=CUQ = C U
  2. ==330×10−6×330=0,1089 C330 \times 10^{-6} \times 330 = 0{,}1089\ \text{C}
  3. Q=It⇒t=QIQ = I t \Rightarrow t = \dfrac{Q}{I}
  4. ==0,108915×10−3\dfrac{0{,}1089}{15 \times 10^{-3}}
  5. ==7,3 s7{,}3\ \text{s}
15

Le défibrillateur d'une clinique (Abidjan). Un défibrillateur utilisé dans une clinique d'Abidjan doit délivrer une énergie E=200 JE = 200\ \text{J} à travers un condensateur de capacité C=32 μFC = 32\ \mu\text{F}.

  1. Calcule la tension de charge UU nécessaire.
  2. La décharge dure Δt=10 ms\Delta t = 10\ \text{ms} : calcule la puissance moyenne délivrée au patient.
  3. Le condensateur est rechargé par une batterie délivrant un courant constant I=0,40 AI = 0{,}40\ \text{A}. Calcule la durée de charge nécessaire.
Voir le corrigé détaillé

1. On isole UU dans E=12CU2E = \frac{1}{2}CU^2 ; une tension est positive.

  1. U2=2ECU^{2} = \dfrac{2E}{C}
  2. ==2×20032×10−6\dfrac{2 \times 200}{32 \times 10^{-6}}
  3. ==1,25×107 V21{,}25 \times 10^{7}\ \text{V}^{2}
  4. ⇒\RightarrowU=1,25×107U = \sqrt{1{,}25 \times 10^{7}}
  5. ≈\approx3,54×103 V3{,}54 \times 10^{3}\ \text{V}soit environ 3,5 kV3{,}5\ \text{kV}

2.

  1. Pmoy=EΔtP_{moy} = \dfrac{E}{\Delta t}
  2. ==20010×10−3\dfrac{200}{10 \times 10^{-3}}
  3. ==2,0×104 W2{,}0 \times 10^{4}\ \text{W}

3.

  1. Q=CUQ = C U
  2. ==32×10−6×3,54×103≈0,113 C32 \times 10^{-6} \times 3{,}54 \times 10^{3} \approx 0{,}113\ \text{C}
  3. t=QIt = \dfrac{Q}{I}
  4. ==0,1130,40\dfrac{0{,}113}{0{,}40}
  5. ≈\approx0,28 s0{,}28\ \text{s}une recharge très rapide entre deux chocs
16

La minuterie d'escalier (Ndjamena). Dans un immeuble à Ndjamena, une minuterie d'escalier utilise un circuit RCRC : après l'appui sur l'interrupteur, le condensateur (initialement chargé à E=12 VE = 12\ \text{V}) se décharge, et l'électronique coupe l'éclairage lorsque uCu_C atteint le seuil us=1,5 Vu_s = 1{,}5\ \text{V}. On utilise C=470 μFC = 470\ \mu\text{F}, et l'on veut que la lumière reste allumée exactement toff=90 st_{off} = 90\ \text{s}.

  1. Exprime tofft_{off} en fonction de RR, CC, EE et usu_s, puis calcule la résistance RR nécessaire.
  2. Calcule τ\tau correspondant et vérifie que toff=τln⁡ ⁣(Eus)t_{off} = \tau \ln\!\left(\dfrac{E}{u_s}\right) redonne bien 90 s90\ \text{s}.
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1. La décharge suit uC(t)=E e−t/RCu_C(t) = E\,\mathrm{e}^{-t/RC}. L'éclairage s'éteint quand uC(toff)=usu_C(t_{off}) = u_s.

  1. us=E e−toff/RCu_s = E\,\mathrm{e}^{-t_{off}/RC}
  2. ⇒\Rightarrowe−toff/RC=usE\mathrm{e}^{-t_{off}/RC} = \dfrac{u_s}{E}
  3. ⇒\Rightarrow−toffRC=ln⁡ ⁣(usE)-\dfrac{t_{off}}{RC} = \ln\!\left(\dfrac{u_s}{E}\right)
  4. ⇒\Rightarrowtoff=RC ln⁡ ⁣(Eus)t_{off} = RC\,\ln\!\left(\dfrac{E}{u_s}\right)
  5. ⇒\RightarrowR=toffC ln⁡(E/us)R = \dfrac{t_{off}}{C\,\ln(E/u_s)}

Application numérique : ln⁡ ⁣(121,5)=ln⁡8≈2,08\ln\!\left(\dfrac{12}{1{,}5}\right) = \ln 8 \approx 2{,}08.

  1. R=90470×10−6×2,08R = \dfrac{90}{470 \times 10^{-6} \times 2{,}08}
  2. ==909,77×10−4\dfrac{90}{9{,}77 \times 10^{-4}}
  3. ≈\approx9,2×104 Ω=92 kΩ9{,}2 \times 10^{4}\ \Omega = 92\ \text{k}\Omega

2.

  1. τ=RC\tau = RC
  2. ==9,2×104×470×10−6≈43,3 s9{,}2 \times 10^{4} \times 470 \times 10^{-6} \approx 43{,}3\ \text{s}
  3. toff=τln⁡8t_{off} = \tau \ln 8
  4. ==43,3×2,0843{,}3 \times 2{,}08
  5. ≈\approx90 s90\ \text{s}cohérent avec la durée visée

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices séparées par :

Explication : Les deux armatures conductrices ne se touchent jamais : elles sont séparées par un isolant, le diélectrique (air, papier, mica, céramique...).

Lorsqu'un condensateur est chargé, les charges portées par ses deux armatures sont :

Explication : Une armature porte une charge +q+q, l'autre −q-q : la charge totale du condensateur reste toujours nulle, même chargé.

L'unité de la capacité d'un condensateur est :

Explication : La capacité CC s'exprime en farads (F), en hommage à Michael Faraday. Le farad est une unité énorme : on utilise en pratique le microfarad, le nanofarad ou le picofarad.

Pour un condensateur plan, la capacité est donnée par :

Explication : C=εSeC=\varepsilon\dfrac{S}{e}, avec SS la surface en regard, ee l'épaisseur du diélectrique et ε=ε0εr\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r la permittivité : CC augmente avec SS et diminue avec ee.

Lors d'une charge à courant constant, le tracé des points (u ; q)(u\,;\,q) donne une droite passant par l'origine. Ceci établit expérimentalement que :

Explication : Les points relevés sont alignés sur une droite passant par l'origine, ce qui prouve que qq et uu sont proportionnels ; la pente de cette droite est, par définition, la capacité CC.

Un condensateur de C=470 μFC=470\ \mu\text{F} est chargé sous u=12 Vu=12\ \text{V}. La charge qq portée par l'armature ++ vaut :

Explication : q=Cu=470×10−6×12q=Cu=470\times10^{-6}\times12
=5,64×10−3 C=5{,}64\times10^{-3}\ \text{C}, soit 5,64 mC5{,}64\ \text{mC}.

Deux condensateurs C1=100 μFC_1=100\ \mu\text{F} et C2=150 μFC_2=150\ \mu\text{F} sont associés en série. La capacité équivalente est :

Explication : Ceq=C1×C2C1+C2=100×150250C_{eq}=\dfrac{C_1\times C_2}{C_1+C_2}=\dfrac{100\times150}{250}
=60 μF=60\ \mu\text{F}, bien inférieure à la plus petite des deux capacités (comportement inverse des résistances).

Deux condensateurs C1=220 nFC_1=220\ \text{nF} et C2=330 nFC_2=330\ \text{nF} sont associés en parallèle. La capacité équivalente est :

Explication : En parallèle, les capacités s'additionnent directement : Ceq=C1+C2=220+330=550 nFC_{eq}=C_1+C_2=220+330=550\ \text{nF}, toujours supérieure à la plus grande des deux.

Dans un circuit de charge RCRC, la constante de temps τ=RC\tau=RC caractérise :

Explication : τ=RC\tau=RC caractérise la rapidité du régime transitoire ; plus τ\tau est petit, plus la charge ou la décharge est rapide. Le régime permanent est atteint après environ 5τ5\tau.

Lors de la charge d'un condensateur à travers une résistance, à l'instant t=τt=\tau, la tension uCu_C vaut environ :

Explication : uC(τ)=E(1−e−1)≈0,63Eu_C(\tau)=E(1-\mathrm{e}^{-1})\approx0{,}63E : c'est la méthode dite « des 63 % » pour lire τ\tau sur un graphe de charge (pour la décharge, on utilise plutôt 37 %37\ \%).

Un circuit RCRC comporte R=4,7 kΩR=4{,}7\ \text{k}\Omega et C=220 μFC=220\ \mu\text{F}. La constante de temps τ\tau vaut environ :

Explication : τ=RC=4,7×103×220×10−6\tau=RC=4{,}7\times10^{3}\times220\times10^{-6}
=1,03 s=1{,}03\ \text{s}.

Pour déterminer τ\tau graphiquement par la méthode de la tangente à l'origine, on trace la tangente à uC(t)u_C(t) en t=0t=0 ; elle coupe l'asymptote uC=Eu_C=E :

Explication : La tangente à l'origine de la courbe de charge coupe l'asymptote horizontale uC=Eu_C=E précisément en l'abscisse t=τt=\tau, en cohérence avec la méthode des 63 %.

L'énergie électrique emmagasinée dans un condensateur de capacité CC chargé sous une tension UU est :

Explication : E=12CU2E=\dfrac{1}{2}CU^2 s'obtient comme l'aire du triangle sous la droite q=Cuq=Cu, c'est-à-dire le travail nécessaire pour charger progressivement le condensateur de 00 à UU.

Un condensateur C=1 000 μFC=1\,000\ \mu\text{F} est chargé sous U=16 VU=16\ \text{V}. L'énergie stockée est environ :

Explication : E=12×1 000×10−6×162E=\dfrac{1}{2}\times1\,000\times10^{-6}\times16^{2}
=0,5×10−3×256=0{,}5\times10^{-3}\times256
=0,128 J=0{,}128\ \text{J}.

Si l'on double la tension UU aux bornes d'un condensateur, son énergie stockée :

Explication : E=12CU2E=\dfrac{1}{2}CU^2 varie comme le carré de UU : doubler UU quadruple EE, alors que cela ne fait que doubler la charge q=Cuq=Cu. Piège classique à ne pas confondre.

Dans un flash photographique, la charge du condensateur est lente (τ\tau grand) tandis que la décharge dans la lampe est quasi instantanée (τ\tau très petit). Ceci s'explique par :

Explication : τ=RC\tau=RC, avec la même capacité CC pour les deux phases : c'est la résistance interne de la pile (grande) qui rend la charge lente, et la faible résistance de la lampe qui rend la décharge quasi instantanée.

Un défibrillateur délivre une énergie E=200 JE=200\ \text{J} grâce à un condensateur de capacité C=32 μFC=32\ \mu\text{F}. La tension de charge nécessaire est proche de :

Explication : U=2EC=2×20032×10−6=1,25×107U=\sqrt{\dfrac{2E}{C}}=\sqrt{\dfrac{2\times200}{32\times10^{-6}}}=\sqrt{1{,}25\times10^{7}}
≈3,54×103 V\approx3{,}54\times10^{3}\ \text{V}, soit environ 3,5 kV3{,}5\ \text{kV}.

Un montage associe deux condensateurs C2=100 μFC_2=100\ \mu\text{F} et C3=100 μFC_3=100\ \mu\text{F} en parallèle ; l'ensemble est mis en série avec C1=150 μFC_1=150\ \mu\text{F}. La capacité équivalente totale est environ :

Explication : C23=C2+C3=200 μFC_{23}=C_2+C_3=200\ \mu\text{F} (parallèle)
puis Ceq=C1×C23C1+C23=150×200350C_{eq}=\dfrac{C_1\times C_{23}}{C_1+C_{23}}=\dfrac{150\times200}{350}
≈85,7 μF\approx85{,}7\ \mu\text{F}.

Dans un clavier à condensateurs, appuyer sur une touche rapproche les armatures (diminue ee). L'électronique détecte alors :

Explication : Comme C=εSeC=\varepsilon\dfrac{S}{e}, diminuer ee (rapprocher les armatures) augmente CC : c'est cette variation, détectée sans aucun contact mécanique, qui déclenche la touche.

Une minuterie d'escalier utilise un condensateur C=470 μFC=470\ \mu\text{F} initialement chargé à E=12 VE=12\ \text{V}, qui se décharge jusqu'au seuil us=1,5 Vu_s=1{,}5\ \text{V} où la lumière s'éteint, avec τ=RC\tau=RC. La relation reliant la durée d'éclairage tofft_{off} à τ\tau est :

Explication : us=E e−toff/τu_s=E\,\mathrm{e}^{-t_{off}/\tau} donne, en isolant tofft_{off}, la relation toff=τln⁡ ⁣(Eus)t_{off}=\tau\ln\!\left(\dfrac{E}{u_s}\right) : c'est cette formule qui permet de choisir la résistance RR pour régler la durée d'éclairage voulue.
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