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Symétrie axiale

Construire le symétrique d'une figure et reconnaître les axes de symétrie des figures usuelles.

Mathématiques 6ème Chapitre 8 / 14 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Construire un symétrique à la règle et au compas
  • Justifier une égalité de longueurs par symétrie
  • Tracer une médiatrice et énoncer sa propriété

Regarde autour de toi : un papillon qui déploie ses ailes, le visage d'un camarade, la façade d'une case ou d'une mosquée, le motif d'un pagne… Beaucoup de formes que tu croises chaque jour semblent « pareilles » de chaque côté d'une ligne invisible. Cette ligne, c'est un axe de symétrie, et la transformation qui explique ce phénomène s'appelle la symétrie axiale.

Tu as déjà rencontré la symétrie sans le savoir : en pliant une feuille en deux, en te regardant dans un miroir, en découpant un cœur en papier. Ce chapitre te donne les mots et les outils — règle, équerre, compas — pour construire le symétrique d'une figure avec précision, et pour reconnaître les axes de symétrie des figures que tu connais déjà : carré, rectangle, triangle, cercle.

Tu vas aussi découvrir la médiatrice d'un segment, une droite très utile qui reviendra sans cesse dans tes prochaines années de géométrie — pour construire des triangles, partager un terrain équitablement, ou placer un point à égale distance de deux autres.

1Symétrique d'un point par rapport à une droite

1.1  Qu'est-ce qu'un axe de symétrie ?

Prends une feuille de papier. Plie-la bien à plat en deux. Dessine une moitié de forme contre le pli, puis découpe-la aux ciseaux sans couper le long du pli. Déplie la feuille : tu obtiens une forme complète, et la ligne du pli passe exactement au milieu.

Définition

Une figure possède un axe de symétrie dd lorsque, en pliant la feuille le long de dd, les deux parties de la figure se superposent exactement. Deux figures sont symétriques par rapport à une droite dd lorsque le pliage le long de dd fait superposer l'une sur l'autre.

1. On plie et on découpe une forme 2. On déplie : la forme est symétrique pli axe de symétrie (la pliure)
Figure 1 — Quand on plie la feuille et qu'on découpe une forme sur le pli, les deux moitiés se superposent exactement en dépliant : la ligne de pliure est un axe de symétrie.

Ce test du pliage est la meilleure façon de vérifier une symétrie sur du papier calque : si les deux figures se superposent parfaitement en pliant le long de dd, alors elles sont bien symétriques par rapport à dd.

1.2  Symétrique d'un point

Le pliage est pratique pour vérifier, mais pour construire avec précision, sans papier calque, on utilise l'équerre et le compas. Voici la règle exacte.

Définition

Soit dd une droite et MM un point. Le symétrique du point MM par rapport à dd est le point M′M' tel que :

  • la droite (MM′)(MM') est perpendiculaire à dd ;
  • MM et M′M' sont à la même distance de dd, de part et d'autre de dd.

Si MM est un point de dd, alors M′=MM' = M : un point de l'axe est son propre symétrique.

Méthode — construire le symétrique d'un point MM par rapport à une droite dd
  1. À l'équerre, on trace la droite perpendiculaire à dd passant par MM. Elle coupe dd en un point HH.
  2. Au compas, la pointe en HH et l'écartement réglé sur HMHM, on reporte cette longueur de l'autre côté de dd, sur la même perpendiculaire.
  3. Le point obtenu est M′M', le symétrique de MM par rapport à dd.
d A H A' AH = HA' et (AA') ⊥ d
Figure 2 — Construction du symétrique A′A' d'un point AA par rapport à une droite dd : perpendiculaire à l'équerre, puis report de longueur au compas.
Exemple — construire A′A', symétrique de AA par rapport à dd

Sur la figure ci-dessus, on a mesuré AH=6AH = 6 cm.

  1. (AA′)⊥d(AA') \perp dtracée à l'équerre, passant par AA
  2. doncHA′=HA=6HA' = HA = 6 cmreportée au compas, de l'autre côté de dd

Le point A′A' est ainsi entièrement déterminé : une seule perpendiculaire à dd passe par AA, et une seule distance est possible de l'autre côté.

Exemple — un point situé sur l'axe

KK est un point de la droite dd. Quel est son symétrique K′K' par rapport à dd ?

  1. K∈dK \in d
  2. doncKK′⊥dKK' \perp d et KK′=0KK' = 0la distance de KK à dd est nulle
  3. doncK′=KK' = K
Attention

Deux erreurs fréquentes : oublier de vérifier que (MM′)(MM') est bien perpendiculaire à dd (une droite oblique ne suffit jamais), et se tromper de côté en reportant la distance au compas — M′M' doit être de l'autre côté de dd par rapport à MM, jamais du même côté.

Math & Co — Un mot venu de Grèce

Le mot « symétrie » vient du grec ancien summetria, formé de syn (« avec, ensemble ») et metron (« mesure ») : littéralement, « la juste mesure », ou « des proportions harmonieuses ». Les architectes de la Grèce antique, en construisant des temples comme le Parthénon d'Athènes vers −447-447, recherchaient déjà cet équilibre entre les deux moitiés d'un bâtiment. Le sens mathématique précis que tu étudies ici — une transformation exacte du plan — ne s'est fixé que bien plus tard, à partir du XIXe siècle.

2Propriétés de conservation

2.1  Ce qui est conservé

Quand on construit le symétrique d'une figure entière — pas seulement d'un point —, la nouvelle figure a exactement la même « taille » et la même « forme » que la figure de départ. On dit que la symétrie axiale est une transformation qui conserve certaines grandeurs.

Propriété

La symétrie axiale conserve :

  • les longueurs : si A′A' et B′B' sont les symétriques de AA et BB, alors A′B′=ABA'B' = AB ;
  • les angles : un angle et son symétrique ont la même mesure ;
  • les aires : une figure et son symétrique ont la même aire ;
  • l'alignement : si AA, BB, CC sont alignés, alors A′A', B′B', C′C' le sont aussi.
Démonstration — pourquoi les longueurs sont conservées

C'est le pliage qui l'explique simplement. Quand on plie la feuille le long de dd, le point AA vient exactement se superposer sur A′A', et BB sur B′B' — c'est la définition même du symétrique. Le segment [AB][AB] tout entier se superpose donc sur le segment [A′B′][A'B']. Deux segments qui se superposent parfaitement ont, par définition, la même longueur : A′B′=ABA'B' = AB. Le même raisonnement du pliage montre que les angles et les aires sont conservés.

d A B C A' B' C' AB = A'B' · BC = B'C' · CA = C'A' · angle en A = angle en A'
Figure 3 — Le triangle A′B′C′A'B'C', symétrique du triangle ABCABC par rapport à dd, a exactement les mêmes longueurs de côtés et les mêmes angles.
Exemple — utiliser la conservation des longueurs

CC et DD sont les symétriques de AA et BB par rapport à une droite dd, avec AB=4,5AB = 4{,}5 cm.

  1. CC et DD sont les symétriques de AA et BBpar rapport à dd
  2. doncCD=ABCD = ABla symétrie conserve les longueurs
  3. doncCD=4,5CD = 4{,}5 cm

2.2  Ce qui change : le sens de la figure

Une chose n'est pas conservée : le sens de la figure. Regarde un mot écrit sur une vitre et lu de l'autre côté : les lettres sont retournées, comme dans un miroir. C'est pour cela que sur certains véhicules de secours, le mot « AMBULANCE » est écrit à l'envers à l'avant du véhicule : dans le rétroviseur de la voiture qui précède, la symétrie du miroir le remet à l'endroit, et on peut alors le lire.

À retenir : une figure symétrique a la même taille, les mêmes longueurs, les mêmes angles que la figure de départ — mais elle est retournée, comme une image dans un miroir.
Attention

Ne confonds pas « avoir les mêmes mesures » et « être superposable directement, sans pliage ». Deux figures symétriques par rapport à une droite ont toujours la même forme et les mêmes dimensions, mais il faut un pliage (ou un retournement) pour les faire coïncider — jamais un simple glissement sur la feuille.

Math & Co — Léonard de Vinci et le corps humain

Vers 1490, l'artiste et savant italien Léonard de Vinci dessine l'Homme de Vitruve, une étude du corps humain inscrit dans un cercle et un carré. Son dessin met en évidence que le visage et le corps humains sont, en première approximation, symétriques par rapport à un axe vertical : un œil et son symétrique, une main et son symétrique. Cette observation n'est qu'approximative — aucun visage n'est parfaitement symétrique — mais elle a profondément influencé l'art et l'architecture pendant des siècles.

3Symétrique d'un segment, d'une droite, d'un cercle

Tu sais construire le symétrique d'un point. Pour une figure faite de plusieurs points — un segment, une droite, un cercle — il existe des raccourcis pratiques : il n'est jamais nécessaire de reporter tous les points un par un.

d Segment M N M' N' Droite ΔΔ' Cercle rr O O' même rayon, centre symétrique du centre
Figure 4 — Symétriques d'un segment [MN][MN], d'une droite Δ\Delta et d'un cercle par rapport à dd : la longueur, la nature de l'objet et le rayon sont conservés.

3.1  Symétrique d'un segment

Propriété

Le symétrique d'un segment [AB][AB] par rapport à une droite dd est le segment [A′B′][A'B'], où A′A' et B′B' sont les symétriques de AA et BB. On a A′B′=ABA'B' = AB.

Méthode — tracer le symétrique d'un segment

On construit les symétriques des deux extrémités seulement (avec équerre et compas, comme en section 1), puis on les relie par un trait droit. Inutile de reporter le milieu ou d'autres points du segment : deux points suffisent à tracer un segment.

Exemple — longueur d'un segment symétrique

[MN][MN] a pour longueur MN=7MN = 7 cm. On construit son symétrique [M′N′][M'N'] par rapport à dd.

  1. [M′N′][M'N'] est le symétrique de [MN][MN]par rapport à dd
  2. doncM′N′=MNM'N' = MNconservation des longueurs
  3. doncM′N′=7M'N' = 7 cm

3.2  Symétrique d'une droite

Propriété

Le symétrique d'une droite Δ\Delta par rapport à dd est une droite Δ′\Delta'. Si Δ\Delta coupe dd en un point II, alors Δ′\Delta' passe aussi par II (un point de l'axe est son propre symétrique). Si Δ\Delta est parallèle à dd, alors Δ′\Delta' est parallèle à dd aussi.

Méthode — tracer le symétrique d'une droite

Une droite est entièrement déterminée par deux de ses points. On construit donc les symétriques de deux points de Δ\Delta, puis on trace la droite qui les joint : c'est Δ′\Delta'.

3.3  Symétrique d'un cercle

Propriété

Le symétrique d'un cercle de centre OO et de rayon rr par rapport à dd est le cercle de centre O′O' (le symétrique de OO) et de même rayon rr.

Méthode — tracer le symétrique d'un cercle

Pas besoin de reporter tout le cercle point par point ! On construit seulement le symétrique O′O' du centre OO, puis on trace au compas, sans changer l'écartement, un cercle de centre O′O' et de rayon rr.

Exemple — symétrique d'un cercle

Un cercle de centre OO a pour rayon r=3,2r = 3{,}2 cm. Son symétrique par rapport à dd a pour centre O′O'.

  1. le cercle symétrique a pour centre O′O'le symétrique de OO par rapport à dd
  2. doncson rayon vaut 3,23{,}2 cmle rayon ne change jamais
Attention

Le rayon d'un cercle symétrique est toujours identique à celui du cercle de départ : c'est une longueur, donc elle est conservée. Le piège classique est de changer l'écartement du compas entre les deux tracés — vérifie-le avant de tracer !

4Axes de symétrie des figures usuelles

4.1  Axe de symétrie d'une figure : une nouvelle idée

Jusqu'ici, la droite dd transformait une figure en une autre figure, ailleurs sur la feuille. Il existe un cas particulier très important : quand le symétrique d'une figure par rapport à dd est la figure elle-même.

Définition

Une droite dd est un axe de symétrie d'une figure FF lorsque le symétrique de FF par rapport à dd est FF elle-même : en pliant selon dd, la figure se superpose exactement sur elle-même.

Attention à ne pas confondre

« Deux figures symétriques l'une de l'autre » (section 1) et « une figure qui a un axe de symétrie » (ici) sont deux idées liées mais différentes. Dans le premier cas, il y a deux figures distinctes. Dans le second, il y en a une seule, qui se replie sur elle-même.

4.2  Combien d'axes ? Les figures usuelles

Une figure peut avoir zéro, un, plusieurs, voire une infinité d'axes de symétrie. Pour les trouver, on plie mentalement (ou vraiment) la figure de toutes les façons possibles, et on cherche les pliages où tout coïncide.

Carré 4 axes Triangle équilatéral 3 axes Rectangle 2 axes Triangle isocèle 1 axe Cercle une infinité d'axes Lettre A 1 axe (vertical)
Figure 5 — Nombre d'axes de symétrie de quelques figures usuelles et d'une lettre.
FigureNombre d'axes de symétrie
Triangle quelconque0 en général
Triangle isocèle non équilatéral1
Triangle équilatéral3
Rectangle non carré2
Losange non carré2
Carré4
Cercleune infinité
Exemple — compter les axes d'un losange

Un losange (non carré) a ses deux diagonales perpendiculaires. Combien a-t-il d'axes de symétrie ?

Chaque diagonale du losange est un axe de symétrie : en pliant le long d'une diagonale, les deux triangles obtenus se superposent (côtés du losange égaux deux à deux). Le losange a donc 2 axes de symétrie : ses deux diagonales.

4.3  La symétrie autour de nous : frises et motifs

Les artisans utilisent la symétrie depuis toujours pour décorer tissus, poteries et façades. Un motif symétrique se répète de part et d'autre d'un axe, comme sur ce dessin inspiré des motifs de pagne.

axe
Figure 6 — Motif inspiré des pagnes : chaque forme à gauche de l'axe a exactement son symétrique à droite (même taille, même distance à l'axe).
Math & Co — Symétrie et architecture en Afrique

La Grande Mosquée de Djenné, au Mali, la plus grande construction en terre crue du monde (reconstruite en 1907 sur le modèle d'un édifice du XIIIe siècle), présente une façade principale rigoureusement symétrique par rapport à un axe vertical, avec ses trois minarets alignés. On retrouve la même recherche de symétrie dans les motifs bogolan du Mali, les tissus kita et les symboles Adinkra du Ghana : des motifs géométriques répétés de part et d'autre d'un ou plusieurs axes, transmis depuis des générations.

5Médiatrice d'un segment

5.1  Définition et construction

Reprends la définition du symétrique d'un point (section 1) : pour construire M′M', symétrique de MM par rapport à dd, on trace la perpendiculaire à dd passant par MM, et dd coupe cette perpendiculaire au milieu de [MM′][MM']. Cette droite dd porte un nom précis.

Définition

La médiatrice d'un segment [AB][AB] est la droite perpendiculaire à [AB][AB] et qui passe par son milieu.

Propriété

La médiatrice d'un segment [AB][AB] est l'axe de symétrie du segment [AB][AB] : le symétrique de AA par rapport à cette droite est BB, et le symétrique de BB est AA.

médiatrice de [AB] A B I P Q M
Figure 7 — Construction de la médiatrice de [AB][AB] au compas : deux arcs de même rayon, centrés en AA et BB, se coupent en PP et QQ ; la droite (PQ)(PQ) est la médiatrice. Tout point MM de cette droite vérifie MA=MBMA = MB.
Méthode — construire la médiatrice de [AB][AB] au compas
  1. On règle le compas sur un écartement supérieur à la moitié de ABAB.
  2. La pointe en AA, on trace un arc de cercle au-dessus et un arc en dessous du segment.
  3. Sans changer l'écartement, la pointe en BB, on trace deux autres arcs qui coupent les précédents en PP et QQ.
  4. La droite (PQ)(PQ) est la médiatrice de [AB][AB].
Attention

Une médiatrice doit vérifier deux conditions à la fois : être perpendiculaire à [AB][AB], et passer par son milieu. Une droite seulement perpendiculaire, ou seulement passant par le milieu, n'est pas forcément la médiatrice.

5.2  Propriété d'équidistance

Propriété

Tout point MM de la médiatrice d'un segment [AB][AB] est à égale distance de AA et de BB : MA=MBMA = MB.

Démonstration

La médiatrice dd de [AB][AB] est l'axe de symétrie de [AB][AB] : le symétrique de AA par rapport à dd est BB. Soit MM un point de dd : comme MM est sur l'axe, MM est son propre symétrique. Le segment [MA][MA] a donc pour symétrique le segment [MB][MB]. Or la symétrie conserve les longueurs (section 2) : MA=MBMA = MB.

Exemple — écartement minimal du compas

On veut construire la médiatrice de [AB][AB] avec AB=8AB = 8 cm. Quel écartement minimal donner au compas ?

  1. l'écartement doit dépasser la moitié de ABABsinon les arcs ne se coupent pas
  2. moitié de AB=8÷2AB = 8 \div 2
  3. =44 cm
  4. doncil faut un écartement strictement supérieur à 44 cm
Exemple — utiliser l'équidistance

MM est un point de la médiatrice de [AB][AB], avec MA=5,3MA = 5{,}3 cm. Que vaut MBMB ?

  1. MM appartient à la médiatrice de [AB][AB]
  2. doncMB=MAMB = MAtout point de la médiatrice est équidistant de AA et BB
  3. doncMB=5,3MB = 5{,}3 cm
Dans la vraie vie : pour installer un forage à égale distance de deux villages, un ingénieur trace la médiatrice du segment qui relie les deux villages sur une carte : n'importe quel point de cette droite convient.

Fiche mémo

  • Symétrique d'un point MM par rapport à dd : point M′M' tel que (MM′)⊥d(MM') \perp d et MM, M′M' à même distance de dd, de part et d'autre.
  • Un point KK de l'axe dd vérifie K′=KK' = K.
  • La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement — mais inverse le sens (effet miroir).
  • Symétrique d'un segment [AB][AB] : le segment [A′B′][A'B'], avec A′B′=ABA'B' = AB.
  • Symétrique d'une droite : une droite (deux points suffisent pour la tracer).
  • Symétrique d'un cercle de centre OO et rayon rr : le cercle de centre O′O' et de même rayon rr.
  • Une droite dd est axe de symétrie d'une figure FF quand le symétrique de FF par rapport à dd est FF elle-même.
  • Nombre d'axes : triangle équilatéral 3 · carré 4 · rectangle (non carré) 2 · losange (non carré) 2 · triangle isocèle 1 · cercle une infinité.
  • La médiatrice de [AB][AB] : droite perpendiculaire à [AB][AB] passant par son milieu.
  • La médiatrice de [AB][AB] est l'axe de symétrie de [AB][AB] (elle échange AA et BB).
  • Tout point MM de la médiatrice de [AB][AB] vérifie MA=MBMA = MB.
  • Construction de la médiatrice au compas : deux arcs de même rayon (supérieur à la moitié de ABAB), centrés en AA et BB, qui se coupent en deux points PP et QQ ; la médiatrice est (PQ)(PQ).

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Sur un quadrillage, une droite dd verticale est tracée. Le point MM est placé 33 carreaux à gauche de dd, sur une certaine ligne. Construis (en comptant les carreaux) le symétrique M′M' de MM par rapport à dd, et indique à combien de carreaux de dd il se trouve.

Voir le corrigé détaillé

La perpendiculaire à dd passant par MM est ici une ligne horizontale du quadrillage (dd est verticale). On compte les carreaux entre MM et dd : il y en a 33. On reporte cette même distance de l'autre côté de dd, sur la même ligne : on obtient M′M', à 33 carreaux de dd, du côté opposé à MM.

d M M' 3 carreaux d'un côté, 3 carreaux de l'autre
Figure 8 — Construction de M′M' par comptage de carreaux : 33 carreaux d'un côté de dd, 33 carreaux de l'autre, sur la même ligne.
2

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse en une phrase. a) Un rectangle non carré a 44 axes de symétrie. b) Le symétrique d'un point de l'axe dd est ce point lui-même. c) La symétrie axiale conserve les aires. d) Deux figures symétriques par rapport à une droite ont toujours le même sens de lecture.

Voir le corrigé détaillé

a) Faux. Un rectangle non carré n'a que 22 axes de symétrie (les deux médianes) ; ses diagonales ne sont pas des axes.

b) Vrai. Un point de l'axe est à distance nulle de dd : son symétrique est donc lui-même.

c) Vrai. C'est une des propriétés de conservation de la symétrie axiale (section 2).

d) Faux. La symétrie axiale inverse le sens de la figure, comme un miroir ; c'est la seule grandeur qui n'est pas conservée.

3

Compte le nombre d'axes de symétrie des lettres majuscules (écriture capitale d'imprimerie) : A, B, D, E, H, M, N, O, S, T, X, Z.

Voir le corrigé détaillé
LettreABDEHMNOSTXZ
Axes111121020120

A, B, D, E, M, T ont un axe vertical ou horizontal. H, O, X ont deux axes (un vertical et un horizontal). N, S, Z n'ont aucun axe : aucun pliage ne les fait coïncider avec elles-mêmes.

4

Un segment [PQ][PQ] mesure PQ=6,4PQ = 6{,}4 cm. On construit son symétrique [P′Q′][P'Q'] par rapport à une droite dd. Quelle est la longueur de P′Q′P'Q' ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé
  1. [P′Q′][P'Q'] est le symétrique de [PQ][PQ]par rapport à dd
  2. doncP′Q′=PQP'Q' = PQla symétrie conserve les longueurs
  3. doncP′Q′=6,4P'Q' = 6{,}4 cm
5

Complète : donne le nombre d'axes de symétrie d'un carré, d'un triangle équilatéral, d'un rectangle non carré et d'un cercle.

Voir le corrigé détaillé
FigureCarréTriangle équilatéralRectangle non carréCercle
Nombre d'axes432une infinité
Niveau 2 — Approfondissement
6

ABCABC est un triangle. On construit A′A', le symétrique de AA par rapport à la droite (BC)(BC). Quelle est la nature du quadrilatère BACA′BACA' ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

BB et CC appartiennent à l'axe (BC)(BC) : ils sont donc leurs propres symétriques. Le symétrique du triangle ABCABC est donc le triangle A′BCA'BC.

  1. A′A' est le symétrique de AA par rapport à (BC)(BC)
  2. doncBA′=BABA' = BAconservation des longueurs
  3. doncCA′=CACA' = CAconservation des longueurs

Le quadrilatère BACA′BACA' a donc deux paires de côtés consécutifs de même longueur (BA=BA′BA=BA' et CA=CA′CA=CA') : c'est un cerf-volant.

axe = (BC) B C A A'
Figure 9 — BACA′BACA' est un cerf-volant : BA=BA′BA = BA' et CA=CA′CA = CA' par conservation des longueurs.
7

AB=10AB = 10 cm. On trace la médiatrice de [AB][AB] et on place un point MM sur cette médiatrice, avec MA=6,5MA = 6{,}5 cm. 1° Que vaut MBMB ? 2° Le point II est le milieu de [AB][AB] : que vaut AIAI ?

Voir le corrigé détaillé

1.

  1. MM appartient à la médiatrice de [AB][AB]
  2. doncMB=MAMB = MAéquidistance
  3. doncMB=6,5MB = 6{,}5 cm

2.

  1. II est le milieu de [AB][AB]
  2. doncAI=AB÷2AI = AB \div 2
  3. =10÷210 \div 2
  4. =55 cm
8

Un point OO est situé à 33 cm de la droite dd. Un cercle de centre OO et de rayon 4,74{,}7 cm est symétrique par rapport à dd. 1° À quelle distance de dd se trouve O′O' , le symétrique de OO ? 2° Quel est le rayon du cercle symétrique ?

Voir le corrigé détaillé

1. Par définition du symétrique d'un point, O′O' est à la même distance de dd que OO, de l'autre côté : O′O' est à 33 cm de dd.

2.

  1. le cercle symétrique a pour centre O′O' et pour rayon celui du cercle de départconservation des longueurs
  2. doncson rayon vaut 4,74{,}7 cm
9

Un angle xOy^\widehat{xOy} mesure 55°55°. Son symétrique par rapport à une droite dd mesure combien ? Même question pour un angle de 128°128°. Justifie en une phrase.

Voir le corrigé détaillé

La symétrie axiale conserve les angles : un angle et son symétrique ont toujours la même mesure.

  1. l'angle symétrique de 55°55° mesure 55°55°
  2. l'angle symétrique de 128°128° mesure 128°128°
Niveau 3 — Défi
10

Une figure est formée de 55 carrés identiques assemblés en forme de croix, tous de même taille (une croix grecque).

  1. Cite les axes de symétrie possibles de cette figure.
  2. Combien cette croix a-t-elle d'axes de symétrie en tout ? Justifie.
  3. On allonge le bras du haut de la croix, en gardant les quatre autres carrés identiques. La figure a-t-elle encore ses 44 axes ? Justifie.
Voir le corrigé détaillé
4 axes : 1 vertical, 1 horizontal, 2 diagonales
Figure 10 — La croix grecque (55 carrés identiques) a 44 axes de symétrie.

1. Les axes possibles sont : l'axe vertical, l'axe horizontal, et les deux diagonales.

2. Les cinq carrés étant identiques et disposés symétriquement autour du centre, un pliage selon chacune de ces quatre droites fait coïncider la figure avec elle-même : la croix a 44 axes de symétrie.

3. Non. En allongeant seulement le bras du haut, le bras du haut n'est plus identique au bras du bas : un pliage selon l'axe horizontal ou selon une diagonale ne fait plus coïncider la figure. Seul l'axe vertical (qui passe par le milieu du bras allongé, toujours symétrique par rapport à lui) est conservé : il ne reste qu'un seul axe.

11

Démontre que le symétrique d'un triangle équilatéral ABCABC par rapport à une droite dd quelconque est encore un triangle équilatéral.

  1. Que peut-on dire des longueurs A′B′A'B', B′C′B'C', C′A′C'A' par rapport à ABAB, BCBC, CACA ? Cite la propriété utilisée.
  2. Que peut-on en déduire sur les trois côtés du triangle A′B′C′A'B'C' entre eux, sachant que ABCABC est équilatéral ?
  3. Rédige une phrase de conclusion.
Voir le corrigé détaillé

1. La symétrie axiale conserve les longueurs (section 2) : donc A′B′=ABA'B' = AB, B′C′=BCB'C' = BC et C′A′=CAC'A' = CA.

2. ABCABC est équilatéral, donc AB=BC=CAAB = BC = CA. Comme A′B′=ABA'B' = AB, B′C′=BCB'C' = BC et C′A′=CAC'A' = CA, on obtient A′B′=B′C′=C′A′A'B' = B'C' = C'A' : les trois côtés de A′B′C′A'B'C' ont la même longueur.

3. Le triangle A′B′C′A'B'C', symétrique de ABCABC par rapport à dd, a ses trois côtés de même longueur : c'est donc bien un triangle équilatéral. C.Q.F.D.

12

AA et BB sont symétriques par rapport à une droite dd, et CC est un point de dd.

  1. Que peut-on dire de CACA et CBCB ? Justifie.
  2. Sachant que CA=7,2CA = 7{,}2 cm, donne CBCB.
  3. Que représente la droite dd pour le segment [AB][AB] ?
Voir le corrigé détaillé

1. CC appartient à l'axe dd : CC est donc son propre symétrique. Comme AA et BB sont symétriques par rapport à dd, le segment [CA][CA] a pour symétrique le segment [CB][CB]. La symétrie conserve les longueurs : donc CA=CBCA = CB.

2.

  1. CB=CACB = CA
  2. doncCB=7,2CB = 7{,}2 cm

3. Puisque dd transforme AA en BB, dd est perpendiculaire à [AB][AB] et passe par son milieu : dd est la médiatrice de [AB][AB].

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le pagne d'Aminata (Abidjan). Aminata, couturière à Abidjan, dessine un motif symétrique par rapport à un axe vertical pour décorer un pagne. Elle a besoin d'un morceau de tissu de 7070 cm de long (les deux moitiés du motif) pour 6060 cm de large. Le tissu, vendu au mètre courant sur un rouleau de 6060 cm de large, coûte 2 5002\,500 FCFA le mètre.

  1. Quelle longueur de tissu (en mètre) Aminata doit-elle acheter ?
  2. Calcule le prix total.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. longueur nécessaire =70= 70 cm
  2. =0,700{,}70 m

2.

  1. prix =0,70×2 500= 0{,}70 \times 2\,500
  2. =1 7501\,750 F CFA

Aminata doit acheter 0,700{,}70 m de tissu, pour un coût de 1 7501\,750 F CFA.

14

Le logo de l'entreprise (Dakar). Une entreprise de Dakar fait dessiner un logo symétrique par rapport à un axe vertical. La partie du logo à droite de l'axe a une aire de 1818 cm². L'imprimeur facture 850850 FCFA par cm² imprimé sur un panneau publicitaire, pour le logo complet.

  1. Quelle est l'aire totale du logo (les deux moitiés) ?
  2. Calcule le prix total facturé par l'imprimeur.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. la symétrie conserve les airesles deux moitiés ont la même aire
  2. aire totale =18+18= 18 + 18
  3. =3636 cm²

2.

  1. prix =36×850= 36 \times 850
  2. =30 60030\,600 F CFA

L'aire totale du logo est 3636 cm², pour un coût total de 30 60030\,600 F CFA.

15

Le pont piétonnier (Ndjamena). Un pont piétonnier de Ndjamena a un garde-corps symétrique par rapport à un axe vertical central. Une moitié du garde-corps mesure 42,542{,}5 m de long. Repeindre le garde-corps coûte 3 2003\,200 FCFA le mètre.

  1. Quelle est la longueur totale du garde-corps (les deux moitiés) ?
  2. Calcule le coût total de la peinture.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. la symétrie conserve les longueursles deux moitiés du garde-corps sont symétriques
  2. longueur totale =42,5×2= 42{,}5 \times 2
  3. =8585 m

2.

  1. coût =85×3 200= 85 \times 3\,200
  2. =272 000272\,000 F CFA

Le garde-corps mesure 8585 m au total, pour un coût de peinture de 272 000272\,000 F CFA.

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Qu'est-ce qu'un axe de symétrie d'une figure ?

Explication : Un axe de symétrie est une droite le long de laquelle on peut plier la figure pour que ses deux parties se superposent exactement.

Le symétrique d'un point MM par rapport à une droite dd est un point M′M' tel que :

Explication : C'est la définition exacte du symétrique d'un point : perpendicularité et même distance de part et d'autre de dd.

KK est un point situé sur la droite dd. Quel est son symétrique K′K' par rapport à dd ?

Explication : Un point de l'axe est à distance nulle de dd : son symétrique est donc lui-même.

Pour construire le symétrique d'un point avec précision, on utilise :

Explication : On trace la perpendiculaire à dd à l'équerre, puis on reporte la même longueur de l'autre côté au compas.

Parmi ces grandeurs, laquelle N'est PAS conservée par la symétrie axiale ?

Explication : La symétrie axiale retourne la figure, comme dans un miroir : le sens n'est pas conservé, contrairement aux longueurs, aux angles et aux aires.

La symétrie axiale conserve :

Explication : La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement. Seul le sens de la figure change.

A′A' et B′B' sont les symétriques de AA et BB par rapport à une droite dd, avec AB=4,5AB = 4{,}5 cm. Que vaut A′B′A'B' ?

Explication : La symétrie axiale conserve les longueurs, donc A′B′=AB=4,5A'B' = AB = 4{,}5 cm.

Le symétrique d'un segment [MN][MN] par rapport à dd s'obtient en construisant :

Explication : Deux points suffisent pour tracer un segment : il suffit de construire les symétriques M′M' et N′N', puis de les relier.

Le symétrique d'un cercle de centre OO et de rayon rr, par rapport à une droite dd, est :

Explication : Le centre se déplace en son symétrique O′O', mais le rayon, qui est une longueur, est conservé.

Un cercle a un rayon de 3,23{,}2 cm. Quel est le rayon de son symétrique par rapport à une droite dd ?

Explication : Le rayon d'un cercle est une longueur : il ne change jamais par symétrie. Le symétrique a donc le même rayon, 3,23{,}2 cm.

Une droite dd est un axe de symétrie d'une figure FF lorsque :

Explication : Quand on plie la figure le long de son axe de symétrie, elle se superpose exactement sur elle-même.

Combien d'axes de symétrie a un carré ?

Explication : Un carré a 4 axes de symétrie : les 2 médianes et les 2 diagonales.

Combien d'axes de symétrie a un cercle ?

Explication : Toute droite passant par le centre d'un cercle est un axe de symétrie : il y en a donc une infinité.

Combien d'axes de symétrie a un triangle équilatéral ?

Explication : Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie : ce sont les 3 médiatrices de ses côtés.

Combien d'axes de symétrie a un rectangle non carré ?

Explication : Un rectangle non carré a 2 axes de symétrie : les deux droites qui passent par les milieux des côtés opposés. Ses diagonales ne sont pas des axes.

La médiatrice d'un segment [AB][AB] est :

Explication : La médiatrice doit vérifier deux conditions à la fois : être perpendiculaire à [AB][AB] ET passer par son milieu.

MM est un point de la médiatrice d'un segment [AB][AB], avec MA=5,3MA = 5{,}3 cm. Que vaut MBMB ?

Explication : Tout point de la médiatrice de [AB][AB] est à égale distance de AA et de BB, donc MB=MA=5,3MB = MA = 5{,}3 cm.

AB=8AB = 8 cm. Pour construire la médiatrice de [AB][AB] au compas, quel écartement minimal faut-il donner au compas ?

Explication : L'écartement doit dépasser la moitié de ABAB, sinon les arcs tracés depuis AA et BB ne se coupent pas.
Moitié de AB=8÷2=4AB = 8 \div 2 = 4 cm, donc il faut plus de 44 cm.

Un ingénieur veut installer un forage à égale distance de deux villages AA et BB. Sur quelle droite doit-il le placer ?

Explication : Tout point de la médiatrice de [AB][AB] est à égale distance de AA et de BB : c'est exactement ce que cherche l'ingénieur.

Une couturière dessine un motif symétrique par rapport à un axe vertical. Une moitié du motif mesure 7070 cm de long. Quelle longueur totale de tissu faut-il pour les deux moitiés ?

Explication : Les deux moitiés symétriques ont la même longueur.
Longueur totale =70×2=140= 70 \times 2 = 140 cm.
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