Points, droites, demi-droites et segments

Installer le vocabulaire et les notations de la géométrie, et apprendre à coder une figure.

Mathématiques 6ème Chapitre 6 / 14 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Utiliser les notations correctes (AB), [AB), [AB]
Construire des perpendiculaires et des parallèles
Coder correctement une figure

Depuis l'école primaire, tu sais tracer des traits à la règle et mesurer des longueurs. En sixième, la géométrie devient une vraie langue, avec ses propres mots et ses propres symboles : un point, une droite, une demi-droite et un segment ne sont pas la même chose, même si on les dessine tous avec un simple trait de crayon. Apprendre à les distinguer, c'est apprendre à lire et à écrire les figures avec précision — exactement comme un architecte lit un plan ou un pilote lit une carte.

Tu croises la géométrie tous les jours sans t'en rendre compte : les rues d'une ville qui se croisent (des droites sécantes), les rails d'un chemin de fer qui ne se touchent jamais (des droites parallèles), le coin bien carré d'un cahier ou d'une porte (deux droites perpendiculaires). Ce chapitre te donne le vocabulaire et les outils — règle, compas, équerre — pour nommer et construire toutes ces situations avec exactitude.

Au programme : utiliser les bonnes notations, comme $(AB)$ , $[AB)$ et $[AB]$ — trois écritures qui désignent pourtant trois objets différents ; trouver et construire le milieu d'un segment, au compas et à la règle graduée ; tracer des droites parallèles et perpendiculaires ; et enfin coder une figure, c'est-à-dire ajouter les petits signes qui indiquent les longueurs égales et les angles droits, sans avoir besoin de ressortir la règle.

1Point, droite, demi-droite, segment : notations

Définition — le point

Un point marque un endroit précis, sans dimension : ni longueur, ni largeur. On le représente par une petite croix ou un petit rond, et on le nomme toujours par une lettre majuscule : $A$ , $B$ , $M$ …

Deux points distincts permettent de tracer trois objets différents, selon ce que l'on garde du trait de crayon : tout le trait (la droite), la moitié du trait (la demi-droite), ou seulement le morceau entre les deux points (le segment).

Objet	Notation	On lit	Illimité ?
Point	$A$	« point A »	—
Droite	$(AB)$	« droite AB »	des deux côtés
Demi-droite	$[AB)$	« demi-droite AB »	d'un seul côté (vers B)
Segment	$[AB]$	« segment AB »	non — deux extrémités

Définition — droite, demi-droite, segment

La droite $(AB)$ passe par $A$ et $B$ et se prolonge indéfiniment des deux côtés : elle n'a ni début ni fin.

La demi-droite $[AB)$ a une origine en $A$ ; elle passe par $B$ et se prolonge indéfiniment de ce côté-là seulement. Le crochet fermé, du côté de $A$ , marque l'origine ; le crochet ouvert, du côté de $B$ , marque le côté illimité.

Le segment $[AB]$ est la partie de droite comprise entre $A$ et $B$ , bornée par ses deux extrémités. Sa longueur se note $AB$ (sans crochets) : c'est un nombre, exprimé dans une unité de longueur, par exemple $AB = 4{,}5\ \text{cm}$ .

Figure 1 — À partir des deux mêmes points A et B, on obtient trois objets différents selon les crochets utilisés : la droite (AB), la demi-droite [AB) et le segment [AB].

Attention

Les crochets ne sont jamais décoratifs : ils changent le sens. $(AB)$ sans crochet = droite. $[AB)$ = demi-droite (un seul crochet fermé, du côté de l'origine). $[AB]$ = segment (deux crochets fermés). Une erreur de crochet est une erreur de mathématiques, pas un détail d'écriture !

Exemple — lire et écrire les notations

On donne trois points $E$ , $F$ , $G$ .

« La droite qui passe par $E$ et $F$ » s'écrit $(EF)$ .
« La demi-droite d'origine $F$ , qui passe par $G$ » s'écrit $[FG)$ .
« Le segment reliant $E$ et $G$ » s'écrit $[EG]$ , et sa longueur se note $EG$ .

Exemple — mesurer un segment

Julien pose sa règle graduée le long du segment $[PQ]$ : l'extrémité $P$ est sur la graduation $0$ , et $Q$ sur la graduation $6{,}3$ . La longueur du segment vaut donc $PQ = 6{,}3\ \text{cm}$ . Remarque : $[PQ]$ désigne l'objet (le trait entre $P$ et $Q$ ), alors que $PQ$ désigne le nombre (sa longueur, en cm).

1.1 Bien tracer : le matériel et les habitudes

Méthode — pour des figures propres

Un crayon bien taillé (une pointe fine trace un trait net, pas un trait flou).
Une règle tenue fermement, sans qu'elle glisse pendant le tracé.
Les points se marquent par une petite croix nette (pas un gros rond qui « mange » plusieurs millimètres).
Le nom du point s'écrit juste à côté, jamais dessus.

Math & Co — La toute première définition

Il y a plus de $2\,300$ ans, à Alexandrie, en Égypte, le mathématicien grec Euclide rédige un immense ouvrage appelé les Éléments (vers $-300$ ). Dès la toute première page, il tente de définir le point : « Un point est ce qui n'a aucune partie. » Cette phrase peut sembler mystérieuse, mais elle dit une chose essentielle : un point n'a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur — seulement une position. Depuis vingt-trois siècles, les élèves du monde entier apprennent encore ce mot inventé par Euclide.

Propriété

Par deux points distincts, il passe une seule droite. Par un seul point, en revanche, passent une infinité de droites.

Démonstration — pourquoi une seule droite ?

Imagine deux punaises plantées sur un mur et une règle rigide que tu poses contre les deux. Une fois la règle en appui sur les deux punaises, elle ne peut plus ni glisser, ni tourner : il n'existe qu'une seule position possible. C'est pour cela qu'une seule droite passe par deux points donnés. Avec une seule punaise, au contraire, la règle peut pivoter librement autour d'elle : une infinité de droites sont possibles.

2Appartenance et alignement

Définition — appartenance

Dire qu'un point $A$ appartient à une droite $(d)$ signifie que $A$ est posé sur $(d)$ . On note $A \in (d)$ , qui se lit « $A$ appartient à $(d)$ ». Si le point n'est pas sur la droite, on note $A \notin (d)$ , qui se lit « $A$ n'appartient pas à $(d)$ ».

Le symbole $\in$ s'utilise de la même façon pour une demi-droite ou un segment : $M \in [AB]$ signifie que $M$ est un point du segment $[AB]$ , quelque part entre $A$ et $B$ (bornes comprises).

Définition — points alignés

Des points sont alignés lorsqu'ils appartiennent tous à une même droite. Pour vérifier que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, on pose le bord d'une règle contre deux d'entre eux : s'ils touchent tous les trois le bord de la règle en même temps, ils sont alignés.

Propriété

Si $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, alors les droites $(AB)$ , $(AC)$ et $(BC)$ sont en réalité la même droite : cela n'a donc pas d'importance de dire $B \in (AC)$ ou $C \in (AB)$ , c'est vrai dans les deux cas.

Figure 2 — A, B et C sont alignés : ils appartiennent tous à la même droite (AC). D n'est pas sur cette droite.

Exemple — vérifier un alignement

Sur un quadrillage, on place $A$ , $B$ et $C$ régulièrement espacés sur une même ligne du quadrillage : la règle posée contre $A$ et $C$ touche aussi $B$ . On écrit $B \in (AC)$ : les trois points sont alignés.

Exemple — utiliser

\in

\notin

Sur une figure, le point $E$ est un point du segment $[FG]$ : on écrit $E \in [FG]$ . Le point $H$ , lui, est en dehors de la droite $(FG)$ : on écrit $H \notin (FG)$ . Ces deux petites lignes suffisent à décrire toute la situation, sans phrase.

Attention

L'œil se trompe facilement ! Trois points qui semblent alignés sur un dessin à main levée ne le sont pas forcément. Il faut toujours vérifier avec la règle avant d'affirmer un alignement — jamais « à vue d'œil ».

3Milieu d'un segment

Définition

Le milieu d'un segment $[AB]$ est le point $I$ qui partage ce segment en deux parties de même longueur. Il vérifie deux conditions à la fois :

$I \in [AB] \quad \text{et} \quad IA = IB$

Propriété

Un segment $[AB]$ possède un seul et unique milieu. Si $I$ est ce milieu, alors $IA = IB = \dfrac{AB}{2}$ .

Il existe deux façons de trouver ce point avec exactitude : en mesurant à la règle graduée, ou en construisant au compas, sans mesurer du tout. La première figure à main levée d'un exercice n'est jamais assez précise pour repérer un milieu « à l'œil ».

Figure 3 — Placer un milieu « à l'œil » n'est pas fiable : seule la mesure à la règle graduée donne le vrai milieu I, tel que AI = IB.

Méthode — trouver le milieu à la règle graduée

Mesurer la longueur $AB$ avec la règle.
Diviser cette longueur par $2$ .
Placer $I$ sur $[AB]$ , à cette distance depuis $A$ (ou depuis $B$ , c'est équivalent).

Exemple — calcul du milieu

$AB = 8{,}6\ \text{cm}$
$AI = IB = \dfrac{AB}{2}$
$=$ $\dfrac{8{,}6}{2}$
$=$ $4{,}3\ \text{cm}$ on place I à 4,3 cm de A, sur [AB]

3.1 Reporter une longueur au compas

Méthode — le compas, un outil de report

Le compas ne mesure pas : il reporte une longueur, exactement, sans passer par un nombre. On ouvre le compas entre deux points d'un écartement précis (une longueur donnée, ou celle d'un segment existant), puis on pique une pointe sur un nouveau point de départ et on trace un arc : tout point de cet arc est à la même distance du point de départ.

Exemple — reporter

AB

sur une demi-droite

On veut placer, sur une demi-droite $[Ox)$ , un point $P$ tel que $OP = AB$ . On ouvre le compas en piquant une pointe en $A$ et en amenant l'autre exactement sur $B$ : l'écartement obtenu vaut $AB$ , sans qu'on ait besoin de connaître ce nombre. On repique la pointe sèche en $O$ , et l'arc tracé coupe $[Ox)$ au point $P$ cherché : $OP = AB$ , exactement.

3.2 Construire le milieu au compas

Méthode — construction du milieu au compas

On ouvre le compas avec un écartement supérieur à la moitié de $AB$ .
Pointe sèche en $A$ , on trace un grand arc au-dessus et au-dessous du segment.
Sans changer l'écartement, pointe sèche en $B$ , on trace un second arc, de part et d'autre.
Les deux arcs se coupent en deux points. La droite qui joint ces deux points coupe $[AB]$ exactement en son milieu $I$ .

Figure 4 — Deux arcs de même rayon, centrés en A puis en B, se coupent en deux points ; la droite qui les joint (en violet) coupe [AB] exactement en son milieu I.

Attention

Si l'écartement du compas est trop petit (inférieur ou égal à la moitié de $AB$ ), les deux arcs ne se croisent pas : la construction échoue. Ouvre toujours le compas largement, nettement plus que la moitié du segment.

4Droites sécantes, parallèles, perpendiculaires

Définition

Deux droites qui se coupent en un seul point sont dites sécantes. Ce point commun s'appelle le point d'intersection.

Deux droites perpendiculaires sont des droites sécantes qui se coupent en formant un angle droit. On note $(d) \perp (d')$ .

Deux droites parallèles ne se coupent jamais, même prolongées à l'infini : elles gardent toujours le même écart. On note $(d) \parallel (d')$ .

Attention

Perpendiculaire est un cas particulier de sécant : deux droites perpendiculaires sont toujours sécantes, mais deux droites sécantes ne sont pas forcément perpendiculaires (l'angle formé peut ne pas être droit).

Figure 5 — Trois façons pour deux droites de se comporter l'une par rapport à l'autre : sécantes en un point, perpendiculaires (angle droit codé par le petit carré), ou parallèles (jamais sécantes).

4.1 Tracer avec l'équerre

Méthode — tracer une perpendiculaire à l'équerre

On place un côté de l'angle droit de l'équerre exactement le long de la droite $(d)$ , puis on fait glisser l'équerre jusqu'au point voulu. L'autre côté de l'angle droit donne alors la direction de la perpendiculaire.

Méthode — tracer une parallèle (règle + équerre)

On pose l'équerre contre $(d)$ , puis on fait glisser une règle le long du deuxième côté de l'équerre. On fait glisser l'équerre le long de cette règle (qui reste fixe) jusqu'à la position voulue, et on trace : la nouvelle droite garde le même écart avec $(d)$ , donc elle lui est parallèle.

Propriété

Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Exemple — utiliser la propriété

Une table a ses deux longueurs $(d_1)$ et $(d_2)$ toutes deux perpendiculaires au même petit côté $(d_3)$ . D'après la propriété, $(d_1) \parallel (d_2)$ : les deux longueurs de la table sont automatiquement parallèles, sans qu'on ait besoin de le vérifier séparément.

Exemple — lire une figure

Sur un plan de quartier, la rue $(d)$ croise l'avenue $(d')$ en formant un coin bien carré : les deux voies sont perpendiculaires, $(d) \perp (d')$ . Plus loin, deux ruelles $(e)$ et $(e')$ longent chacune un côté du même grand boulevard sans jamais se rapprocher ni s'éloigner : elles sont parallèles, $(e) \parallel (e')$ .

Math & Co — l'angle droit des bâtisseurs

Bien avant Euclide, les arpenteurs de l'Égypte antique, que les Grecs appelaient les harpédonaptes (« tendeurs de corde »), devaient tracer des angles parfaitement droits pour bâtir les temples et les pyramides. Leur astuce : une corde à $12$ nœuds régulièrement espacés, tendue pour former un triangle de côtés $3$ , $4$ et $5$ unités. Ce triangle particulier possède toujours un angle droit entre les côtés $3$ et $4$ — un fait que les Égyptiens utilisaient concrètement, plus de mille ans avant que le théorème portant le nom du grec Pythagore (vers $-570$ à $-495$ ) n'en donne l'explication.

5Codage d'une figure

Définition

Coder une figure, c'est ajouter de petits signes qui indiquent des propriétés (longueurs égales, angles droits) directement sur le dessin, sans avoir besoin de mesurer. Trois codes principaux :

un petit carré dans un angle indique un angle droit ;
un (ou plusieurs) trait(s) sur un côté indique une longueur ; deux côtés portant le même nombre de traits ont la même longueur ;
un (ou plusieurs) petit(s) arc(s) sur un angle indique de la même façon des angles égaux entre eux.

Figure 6 — Figure codée : les petits carrés indiquent quatre angles droits en A, B, C, D ; un trait indique [AB] = [CD] ; deux traits indiquent [AD] = [BC]. Toutes ces égalités se lisent sans sortir la règle.

Méthode — coder une figure à partir d'un énoncé

On repère dans l'énoncé toutes les longueurs égales entre elles : on leur attribue à chacune un nombre de traits (les groupes différents reçoivent des nombres de traits différents).
On repère tous les angles droits annoncés : on trace le petit carré dans chacun.
On repère les angles égaux entre eux (s'il y en a) : on leur attribue le même nombre de petits arcs.

Exemple — coder à partir d'un énoncé

On sait que $EFGH$ est une figure telle que $EF = GH$ , $FG = EH$ , et que l'angle en $E$ est droit. Pour la coder : un trait sur $[EF]$ et un trait sur $[GH]$ (même longueur) ; deux traits sur $[FG]$ et deux traits sur $[EH]$ (autre longueur, différente de la première) ; un petit carré dans l'angle en $E$ .

Exemple — lire une figure codée

Sur une figure, le côté $[MN]$ porte un trait et le côté $[PQ]$ porte aussi un trait : sans rien mesurer, on peut affirmer $MN = PQ$ . Si de plus l'angle en $M$ porte le petit carré, on sait immédiatement que cet angle est droit — c'est tout l'intérêt du codage : il remplace la règle et le rapporteur.

Attention

On ne code jamais au hasard : le codage doit correspondre à des longueurs ou des angles réellement égaux, obtenus par construction (mesure, compas, équerre) ou donnés par l'énoncé. Ajouter un trait « pour faire joli » sur une figure fausse est une erreur grave en géométrie.

Fiche mémo

Point $A$ : position, sans dimension. Droite $(AB)$ : illimitée des deux côtés.
Demi-droite $[AB)$ : origine en $A$ , illimitée du côté de $B$ . Segment $[AB]$ : borné, de longueur $AB$ .
Les crochets ne sont jamais interchangeables : $(AB) \neq [AB) \neq [AB]$ .
$A \in (d)$ : « A appartient à (d) ». $A \notin (d)$ : « A n'appartient pas à (d) ».
Points alignés = tous sur une même droite. On vérifie toujours avec la règle, jamais à l'œil.
Milieu $I$ de $[AB]$ : $I \in [AB]$ et $IA = IB = \dfrac{AB}{2}$ . Il est unique.
Construction du milieu au compas : écartement $>\dfrac{AB}{2}$ , arcs centrés en $A$ puis en $B$ ; la droite joignant les deux intersections coupe $[AB]$ en $I$ .
Le compas reporte une longueur, il ne la mesure pas.
Droites sécantes : un seul point commun. Perpendiculaires : sécantes formant un angle droit, $(d) \perp (d')$ .
Droites parallèles : jamais sécantes, même prolongées, $(d) \parallel (d')$ .
Deux droites parallèles (ou perpendiculaires) à une même troisième sont parallèles entre elles.
Codage : petit carré = angle droit ; même nombre de traits sur deux côtés = mêmes longueurs.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

On donne trois points $R$ , $S$ , $T$ non alignés. 1° Écris la notation de la droite passant par $R$ et $S$ . 2° Écris la notation de la demi-droite d'origine $S$ passant par $T$ . 3° Écris la notation du segment reliant $R$ et $T$ , puis le nom de sa longueur.

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1° $(RS)$ . 2° $[ST)$ . 3° $[RT]$ , de longueur $RT$ .

Sur une figure, le point $K$ est posé sur la droite $(d)$ , le point $L$ est posé sur le segment $[MN]$ , et le point $P$ est en dehors de la droite $(d)$ . Écris ces trois phrases avec les symboles $\in$ et $\notin$ .

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$K \in (d)$ ; $L \in [MN]$ ; $P \notin (d)$ .

Sur un quadrillage, on place trois points $U$ , $V$ , $W$ : pour aller de $U$ à $V$ , on avance de $2$ carreaux vers la droite et $1$ carreau vers le haut ; pour aller de $V$ à $W$ , on avance encore de $2$ carreaux vers la droite et $1$ carreau vers le haut. $U$ , $V$ et $W$ sont-ils alignés ? Justifie.

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Oui, $U$ , $V$ et $W$ sont alignés : on se déplace exactement de la même façon (2 carreaux à droite, 1 carreau vers le haut) à chaque étape. La règle posée sur $U$ et $W$ toucherait aussi $V$ : $V \in (UW)$ .

Le segment $[CD]$ mesure $9{,}4\ \text{cm}$ . $J$ est le milieu de $[CD]$ . Calcule $CJ$ et $JD$ .

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$CJ = JD = \dfrac{CD}{2}$
$=$ $\dfrac{9{,}4}{2}$
$=$ $4{,}7\ \text{cm}$

Pour chaque situation, dis si les deux droites sont sécantes, perpendiculaires, ou parallèles : a) les deux rails d'une voie ferrée ; b) les aiguilles d'une horloge à $3\,\text{h}\,00$ ; c) les deux bords d'une feuille A4 qui se touchent dans un coin.

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a) Parallèles : les rails ne se touchent jamais. b) Perpendiculaires : à $3\,\text{h}\,00$ , les deux aiguilles forment un angle droit. c) Perpendiculaires : le coin d'une feuille est un angle droit — les deux bords sont donc sécantes et perpendiculaires.

Niveau 2 — Approfondissement

$B$ est le milieu de $[AC]$ . On sait que $AB = 5{,}2\ \text{cm}$ . Calcule $AC$ , puis $BC$ .

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$B$ milieu de $[AC]$ donc $AC = 2 \times AB$
$=$ $2 \times 5{,}2$
$=$ $10{,}4\ \text{cm}$
$BC = AB$ B est le milieu, les deux moitiés sont égales
$=$ $5{,}2\ \text{cm}$

On veut construire au compas le milieu du segment $[EF]$ , avec $EF = 6\ \text{cm}$ . Parmi les écartements $2\ \text{cm}$ , $3\ \text{cm}$ , $4\ \text{cm}$ , lesquels permettent la construction ? Justifie, puis décris les deux premières étapes.

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La moitié de $EF$ vaut $3\ \text{cm}$ . Il faut un écartement strictement supérieur à $3\ \text{cm}$ .

$2\ \text{cm}$ : trop petit, les arcs ne se rejoignent même pas — impossible.
$3\ \text{cm}$ : exactement la moitié, les arcs se touchent tout juste sur le segment, en un seul point — impossible à utiliser.
$4\ \text{cm}$ : supérieur à $3\ \text{cm}$ — possible.

Étapes avec un écartement de $4\ \text{cm}$ : pointe sèche en $E$ , on trace un grand arc au-dessus et en dessous de $[EF]$ ; sans changer l'écartement, pointe sèche en $F$ , on trace un second arc de part et d'autre.

Sur une figure, $[GH]$ et $[IJ]$ portent chacun deux traits, $[GI]$ et $[HJ]$ portent chacun un trait, et les angles en $G$ et en $J$ portent un petit carré. Écris toutes les égalités que ce codage permet d'affirmer.

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$GH = IJ$ (deux traits) ; $GI = HJ$ (un trait) ; l'angle en $G$ est droit ; l'angle en $J$ est droit.

Trois routes $(r_1)$ , $(r_2)$ , $(r_3)$ vérifient $(r_1) \perp (r_3)$ et $(r_2) \perp (r_3)$ . Que peux-tu dire de $(r_1)$ et $(r_2)$ ? Justifie en citant la propriété du cours.

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$(r_1)$ et $(r_2)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même troisième droite $(r_3)$ . D'après la propriété du cours, deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles : donc $(r_1) \parallel (r_2)$ .

Niveau 3 — Défi

Trace un segment $[AB]$ tel que $AB = 8\ \text{cm}$ .
Construis au compas le point $I$ , milieu de $[AB]$ , en expliquant chaque étape.
En reportant au compas, depuis $B$ , une longueur égale à $AI$ sur la demi-droite $[AB)$ au-delà de $B$ , on obtient un point $C$ . Calcule $AC$ .

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1° On trace $[AB]$ à la règle, avec $AB = 8\ \text{cm}$ .

2° On ouvre le compas à un écartement supérieur à $4\ \text{cm}$ (la moitié de $8\ \text{cm}$ ). Pointe sèche en $A$ , on trace un arc au-dessus et en dessous de $[AB]$ ; même écartement, pointe sèche en $B$ , on trace un second arc. Les deux arcs se coupent en deux points ; la droite qui les joint coupe $[AB]$ en son milieu $I$ , avec $AI = IB = 4\ \text{cm}$ .

Figure 7 — Construction du milieu I de [AB], puis report au compas de la longueur AI à partir de B : BC = AI = 4 cm, donc AC = 12 cm.

3°

$BC = AI = 4\ \text{cm}$ report au compas de la même longueur
$AC = AB + BC$
$=$ $8 + 4$
$=$ $12\ \text{cm}$

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie. a) $[AB]$ et $[BA]$ désignent le même segment. b) $(AB)$ et $[AB)$ désignent la même chose. c) Un point peut appartenir à une droite sans appartenir à un segment particulier tracé sur cette droite. d) Deux droites perpendiculaires sont toujours sécantes. e) Si deux droites sont chacune sécantes à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

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a) Vrai. L'ordre des lettres ne change pas l'objet : $[AB] = [BA]$ , et $AB = BA$ pour la longueur.

b) Faux. $(AB)$ est une droite, illimitée des deux côtés ; $[AB)$ est une demi-droite, avec une origine en $A$ . Ce n'est pas le même objet.

c) Vrai. Un point peut être plus loin sur la droite, en dehors du segment précis qu'on a tracé — il reste sur la droite, mais pas sur ce segment-là.

d) Vrai. C'est la définition : perpendiculaire est un cas particulier de sécant, avec en plus un angle droit.

e) Faux. Être sécantes toutes les deux à une même troisième droite ne suffit pas : la propriété du cours ne s'applique que si les deux droites sont parallèles ou perpendiculaires à cette troisième droite. Deux droites sécantes quelconques peuvent très bien être elles-mêmes sécantes entre elles.

$ABCD$ est un rectangle codé : les quatre angles sont droits. On rappelle que dans un rectangle, les deux diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont la même longueur et se coupent en leur milieu commun.

Que peux-tu dire des droites $(AB)$ et $(DC)$ ? Justifie.
Que peux-tu dire des droites $(AD)$ et $(BC)$ ? Justifie.
$I$ est le milieu de $[AC]$ et $J$ est le milieu de $[BD]$ . Que peux-tu dire des points $I$ et $J$ ?

Voir le corrigé détaillé

1° L'angle droit en $A$ donne $(AB) \perp (AD)$ ; l'angle droit en $D$ donne $(DC) \perp (AD)$ . $(AB)$ et $(DC)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(AD)$ , donc, d'après la propriété du cours, $(AB) \parallel (DC)$ .

2° L'angle droit en $A$ donne aussi $(AD) \perp (AB)$ ; l'angle droit en $B$ donne $(BC) \perp (AB)$ . $(AD)$ et $(BC)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(AB)$ , donc $(AD) \parallel (BC)$ .

3° Puisque les diagonales se coupent en leur milieu commun, ce point unique est à la fois le milieu de $[AC]$ et le milieu de $[BD]$ : $I$ et $J$ sont donc le même point.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La route Thiès – Diourbel (Sénégal). Sur la route qui relie Thiès et Diourbel, trois localités sont alignées dans cet ordre : Thiès ( $T$ ), le village de Ngoye ( $N$ ), puis Diourbel ( $D$ ). $N$ est le milieu du segment $[TD]$ , et $TD = 48\ \text{km}$ .

Calcule la distance $TN$ .
La mairie refait le revêtement de la route entre Thiès et Ngoye, pour $2\,500\,000$ FCFA le kilomètre. Calcule le coût total.

Voir le corrigé détaillé

Figure 8 — N, milieu de [TD], se trouve exactement à 24 km de Thiès comme de Diourbel.

1°

$N$ milieu de $[TD]$ donc $TN = \dfrac{TD}{2}$
$=$ $\dfrac{48}{2}$
$=$ $24\ \text{km}$

2°

coût $= 24 \times 2\,500\,000$
$=$ $60\,000\,000$ FCFA

Le champ de Bamako (Mali). Un champ rectangulaire est codé comme dans la figure 6 du cours : ses deux longueurs mesurent chacune $60\ \text{m}$ (un trait), ses deux largeurs chacune $35\ \text{m}$ (deux traits).

Calcule le périmètre du champ.
Le grillage coûte $1\,800$ FCFA le mètre. Calcule le coût total du grillage nécessaire.

Voir le corrigé détaillé

1° Grâce au codage, les deux longueurs sont égales entre elles et les deux largeurs sont égales entre elles : le périmètre est le double de la somme d'une longueur et d'une largeur.

$P = 2 \times (60 + 35)$
$=$ $2 \times 95$
$=$ $190\ \text{m}$

2°

coût $= 190 \times 1\,800$
$=$ $342\,000$ FCFA

Le maçon d'Abéché (Tchad). Pour vérifier qu'un coin de maison forme un angle droit en $A$ , un maçon utilise une corde, comme les harpédonaptes égyptiens. Le mur $[AB]$ mesure $3\ \text{m}$ et le mur $[AC]$ mesure $4\ \text{m}$ .

Quelle longueur $BC$ doit-il mesurer pour être certain que l'angle en $A$ est droit ?
La corde à noeuds coûte $750$ FCFA le mètre, et il lui faut une longueur totale égale au périmètre du triangle $3$ - $4$ - $5$ . Calcule le coût de la corde.

Voir le corrigé détaillé

1° Le triangle de côtés $3$ , $4$ et $5$ a toujours un angle droit entre les côtés $3$ et $4$ (règle des harpédonaptes, vue en Math & Co). Les côtés du maçon sont dans les mêmes proportions ( $3\ \text{m}$ et $4\ \text{m}$ ) : il doit donc mesurer $BC = 5\ \text{m}$ pour être certain de l'angle droit.

2°

périmètre $= 3 + 4 + 5$
$=$ $12\ \text{m}$
coût $= 12 \times 750$
$=$ $9\,000$ FCFA

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8 questions

Nombres décimaux et opérations

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Un point, c'est :

un trait illimité un morceau de droite avec deux bouts un endroit précis, sans longueur ni largeur toujours le milieu d'un segment

Explication : Un point marque seulement une position : il n'a ni longueur, ni largeur. On le nomme toujours par une lettre majuscule.

Que représente la notation $(AB)$ ?

une droite, illimitée des deux côtés un segment, borné par A et B une demi-droite d'origine A seulement le point A

Explication : Sans crochet,

(AB)

désigne la droite qui passe par A et B : elle se prolonge indéfiniment des deux côtés.

Que représente la notation $[AB)$ ?

une droite illimitée des deux côtés une demi-droite d'origine A, illimitée du côté de B un segment de longueur AB une demi-droite d'origine B

Explication : Le crochet fermé du côté de A marque l'origine ; le crochet ouvert du côté de B marque le côté illimité : c'est la demi-droite d'origine A qui passe par B.

Que représente la notation $[AB]$ ?

une droite une demi-droite juste un point un segment, borné par ses deux extrémités A et B

Explication : Les deux crochets fermés désignent le segment

[AB]

: la partie de droite comprise entre A et B, avec deux extrémités. Sa longueur se note AB, sans crochets.

Combien de droites passent par deux points distincts donnés ?

une seule deux une infinité aucune

Explication : Par deux points distincts, il passe une seule droite. Par un seul point, en revanche, passent une infinité de droites.

Le point $K$ est posé sur la droite $(d)$ . Comment écrit-on cela ?

K \notin (d)

K \in (d)

K = (d)

(d) \in K

Explication : Le symbole

\in

se lit « appartient à ». Comme K est posé sur la droite, on écrit

K \in (d)

Des points sont dits alignés lorsque :

ils sont tous à la même distance d'un point O ils forment un angle droit ils appartiennent tous à une même droite ils sont tous des milieux de segments

Explication : Des points alignés appartiennent tous à une seule et même droite. On vérifie toujours avec la règle, jamais seulement à l'œil.

Le milieu $I$ d'un segment $[AB]$ vérifie toujours :

IA = 2 \times IB

I \notin [AB]

IA = AB

I \in [AB]

IA = IB

Explication : Le milieu partage le segment en deux parties de même longueur : il appartient au segment et est à la même distance des deux extrémités.

Un segment $[CD]$ mesure $9\ \text{cm}$ . $J$ est son milieu. Combien mesure $CJ$ ?

4{,}5\ \text{cm}

9\ \text{cm}

18\ \text{cm}

3\ \text{cm}

Explication :

CJ = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5\ \text{cm}

Que fait un compas quand on l'utilise pour reporter une longueur ?

il mesure la longueur en centimètres il reporte exactement une longueur, sans passer par un nombre il trace uniquement des angles droits il calcule le milieu automatiquement

Explication : Le compas ne mesure pas : il reporte une longueur telle quelle. On ouvre le compas entre deux points, puis on reproduit cet écartement ailleurs.

Pour construire au compas le milieu d'un segment $[EF]$ de $6\ \text{cm}$ , quel écartement de compas faut-il utiliser ?

exactement

3\ \text{cm}

exactement

6\ \text{cm}

un écartement supérieur à

3\ \text{cm}

un écartement inférieur à

3\ \text{cm}

Explication : Il faut un écartement strictement supérieur à la moitié du segment (ici

3\ \text{cm}

), sinon les deux arcs tracés depuis E et depuis F ne se croisent pas.

Deux droites sécantes sont deux droites qui :

ne se coupent jamais sont toujours perpendiculaires se coupent en deux points se coupent en un seul point

Explication : Deux droites sécantes se coupent en un seul point, appelé point d'intersection. Elles peuvent former n'importe quel angle, pas forcément un angle droit.

Deux droites perpendiculaires sont des droites sécantes qui :

forment un angle droit ne se croisent jamais ont la même longueur passent toutes les deux par le même troisième point

Explication : Les droites perpendiculaires sont un cas particulier de droites sécantes : en plus de se couper, elles forment un angle droit. On note

(d) \perp (d')

Deux droites parallèles sont des droites qui :

se coupent toujours en un point ne se coupent jamais, même prolongées forment obligatoirement un angle droit ont le même point d'origine

Explication : Deux droites parallèles gardent toujours le même écart et ne se croisent jamais, même en les prolongeant indéfiniment. On note

(d) \parallel (d')

Deux droites $(r_1)$ et $(r_2)$ sont toutes deux perpendiculaires à une même troisième droite $(r_3)$ . Que peut-on en conclure ?

(r_1)

(r_2)

sont sécantes

(r_1)

(r_2)

sont perpendiculaires entre elles

(r_1)

(r_2)

sont parallèles entre elles on ne peut rien dire

Explication : Deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont toujours parallèles entre elles : c'est une propriété du cours.

Sur une figure codée, que signifie un petit carré dessiné dans un angle ?

deux longueurs égales un point milieu deux droites parallèles un angle droit

Explication : Le petit carré est le code habituel pour indiquer qu'un angle est un angle droit, sans avoir besoin de mesurer avec le rapporteur.

Sur une figure, $[MN]$ porte un trait et $[PQ]$ porte aussi un trait. Que peut-on en conclure sans mesurer ?

MN = PQ

MN

PQ

sont perpendiculaires M est le milieu de

[PQ]

rien, il faut mesurer

Explication : Deux côtés portant le même nombre de traits ont, par convention de codage, la même longueur : ici

MN = PQ

À 3h00 pile, les deux aiguilles d'une horloge sont :

parallèles perpendiculaires confondues (superposées) non sécantes

Explication : À 3h00, la petite aiguille pointe vers le 3 et la grande vers le 12 : elles forment un angle droit, donc elles sont perpendiculaires.

$B$ est le milieu de $[AC]$ , avec $AB = 6\ \text{cm}$ . Que vaut $AC$ ?

6\ \text{cm}

3\ \text{cm}

12\ \text{cm}

18\ \text{cm}

Explication : Comme B est le milieu,

AB = BC = 6\ \text{cm}

, donc :

AC = AB + BC = 6 + 6 = 12\ \text{cm}

Les deux rails d'une voie ferrée ne se touchent jamais et gardent toujours le même écart. On dit qu'ils sont :

sécants perpendiculaires alignés avec le train parallèles

Explication : Deux droites qui ne se croisent jamais, même prolongées, et qui gardent le même écart sont parallèles : c'est exactement le cas des deux rails.

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En bref

Classe : Classe de Sixième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 6 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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