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Les angles

Nommer, mesurer, construire et comparer des angles.

Mathématiques 6ème Chapitre 7 / 14 ⏱ 5 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Mesurer un angle au degré près
  • Construire un angle de mesure donnée
  • Tracer la bissectrice d'un angle

Regarde autour de toi : le coin d'une table, les deux aiguilles d'une montre, une porte entrouverte, les branches d'une paire de ciseaux… Partout, deux traits qui partent d'un même point s'écartent plus ou moins. Cet écartement, c'est un angle. En CM2, tu as appris à reconnaître un angle droit avec l'équerre. Ce chapitre va beaucoup plus loin.

Tu vas apprendre à nommer un angle avec des lettres, à le mesurer précisément au degré près avec un outil merveilleux — le rapporteur — puis à construire toi-même un angle dont on te donne la mesure. Enfin, tu découvriras la bissectrice, cette demi-droite magique qui coupe un angle en deux parts parfaitement égales.

Ces gestes ne sont pas seulement scolaires : un architecte qui dessine un toit, un menuisier qui taille un cadre, un footballeur qui vise un but, tous utilisent des angles sans même y penser. À toi de devenir un expert du rapporteur !

1Vocabulaire et notation d'un angle

Définition

Un angle est une figure formée par deux demi-droites de même origine. Cette origine commune s'appelle le sommet de l'angle. Les deux demi-droites s'appellent les côtés de l'angle.

Pour nommer un angle, on utilise trois points et un petit chapeau : si le sommet est le point BB, et que les deux côtés passent par les points AA et CC, on note l'angle ABC^\widehat{ABC} — la lettre du sommet est toujours au milieu. On lit « angle A-B-C ». On peut aussi écrire CBA^\widehat{CBA} : c'est exactement le même angle, l'ordre des côtés n'a pas d'importance, seul le sommet doit rester au centre.

Un angle : deux demi-droites de même origine B (sommet) A C côté [BA) côté [BC) ABC^\widehat{ABC}
Figure 1 — L'angle ABC^\widehat{ABC} : le sommet BB est au milieu de la notation, les côtés sont les demi-droites [BA) et [BC).

1.1  Comparer deux angles

Méthode — comparer deux angles sans les mesurer

On peut comparer deux angles avec un gabarit (un calque, un papier transparent) : on décalque le premier angle, puis on superpose le calque sur le second en faisant coïncider les sommets et un côté. Si les deux autres côtés se superposent aussi, les angles sont égaux. Sinon, celui dont le côté « dépasse » est le plus grand.

Attention

La longueur des traits que tu dessines ne change rien à la mesure d'un angle ! Un angle, c'est un écartement, pas une longueur. Deux angles peuvent avoir la même ouverture même si l'un est dessiné avec des petits traits et l'autre avec des grands traits — pense aux aiguilles d'une montre : elles sont courtes, mais l'angle qu'elles forment est bien réel.

Exemple — nommer un angle

Sur une figure, le sommet est le point RR, un côté passe par SS, l'autre par TT. On peut noter cet angle SRT^\widehat{SRT} ou TRS^\widehat{TRS} : la lettre RR reste toujours au centre, car c'est le sommet. Si un seul angle est dessiné en RR, on peut aussi l'appeler simplement R^\widehat{R}.

Exemple — comparer par superposition

Léa découpe dans du papier un angle xOy^\widehat{xOy} et le pose sur un angle uPv^\widehat{uPv} dessiné au tableau, sommet sur sommet, un côté sur l'autre. Le second côté de son papier tombe à l'intérieur de l'angle du tableau. Elle en déduit que xOy^\widehat{xOy} est plus petit que uPv^\widehat{uPv}, sans avoir mesuré aucun des deux angles.

2Angle aigu, droit, obtus, plat

Maintenant que tu sais nommer un angle, apprends à le classer selon son ouverture. Il existe quatre familles principales, que tu dois reconnaître d'un coup d'œil.

Définition
  • Un angle aigu mesure moins de 90°90° : il est « pointu », bien fermé.
  • Un angle droit mesure exactement 90°90° : c'est l'angle de l'équerre, celui du coin d'une feuille.
  • Un angle obtus mesure plus de 90°90° et moins de 180°180° : il est plus « ouvert » qu'un angle droit.
  • Un angle plat mesure exactement 180°180° : ses deux côtés forment une seule ligne droite.
AIGU mesure < 90° exemple : 40° DROIT mesure = 90° équerre ⊾ OBTUS 90° < mesure < 180° exemple : 130° PLAT mesure = 180° côtés alignés
Figure 2 — Les quatre familles d'angles, classées de la plus fermée (aigu) à la plus ouverte (plat).

2.1  Reconnaître un angle droit

Pour vérifier qu'un angle est droit sans rapporteur, on pose une équerre : si les deux côtés de l'angle collent exactement aux deux bords droits de l'équerre, l'angle mesure 90°90°. C'est la méthode que tu connais déjà depuis le CM2, et elle reste très utile pour vérifier vite une construction.

Exemple — classer des angles
  1. un angle de 35°35°35<9035 < 90 : angle aigu
  2. un angle de 90°90°angle droit
  3. un angle de 133°133°90<133<18090 < 133 < 180 : angle obtus
  4. un angle de 180°180°angle plat
Exemple — dans la vie de tous les jours

Le coin d'une porte fermée contre son cadre forme un angle droit. Une porte entrouverte « à moitié » forme souvent un angle aigu. Une porte grande ouverte, presque à plat contre le mur, forme un angle obtus, proche de l'angle plat.

Math & Co — Pourquoi 360 degrés ?

C'est chez les Babyloniens, il y a environ 4 0004\,000 ans, en Mésopotamie (l'actuel Irak), que naît l'idée de découper le tour complet en 360360 parts égales appelées degrés. Les Babyloniens comptaient en base soixante, et 360=6×60360 = 6 \times 60 s'accordait bien avec leur calendrier : ils pensaient qu'une année comptait environ 360360 jours. Ce découpage, transmis par les astronomes grecs comme Hipparque puis par les savants arabes, est resté en usage jusqu'à aujourd'hui — alors que le système métrique, lui, a remplacé presque toutes les autres unités anciennes !

3Mesure au rapporteur

Regarder un angle et deviner « il est aigu » ou « il est obtus », c'est bien. Mais pour connaître sa valeur exacte, il faut un instrument : le rapporteur. C'est un demi-disque transparent gradué de 0°0° à 180°180°, avec deux séries de graduations qui se lisent en sens opposés — et c'est justement là que se cache le piège le plus classique de la sixième !

Méthode — mesurer un angle au rapporteur
  1. Place le centre du rapporteur (le petit repère au milieu de son bord droit) exactement sur le sommet de l'angle.
  2. Fais coïncider la ligne de base 0°0°–180°180° du rapporteur avec l'un des côtés de l'angle, de façon que ce côté passe par la graduation 00.
  3. Repère le point où le second côté de l'angle traverse le bord arrondi du rapporteur.
  4. Lis la graduation à cet endroit, en partant bien du 00 que tu as choisi à l'étape 2 — pas de l'autre !
Le rapporteur en position de lecture 0 30 60 70 90 120 150 180 180 150 120 110 90 60 30 0 70° B (sommet) côté à 0° côté mesuré ZOOM — double graduation 60 70 80 120 110 100 0 à droite ⇒ on lit 70°, pas 110°
Figure 3 — Le côté [BA) est aligné sur le 0°0°. Le second côté traverse l'arc à la graduation 70° (échelle bleue, celle qui part du 00 choisi) — pas 110° (échelle orange, qui part de l'autre côté).

3.1  Le piège de la double graduation

Attention

Sur un vrai rapporteur, chaque petit trait porte deux nombres : un en bleu (qui compte à partir du 00 de droite) et un en orange (qui compte à partir du 00 de gauche). Les deux nombres d'un même trait font toujours 180180 au total. Avant de lire, regarde de quel côté part le 00 que tu as aligné sur ton angle : c'est cette échelle qu'il faut suivre jusqu'au second côté, jamais l'autre !

Propriété

Pour une même graduation du rapporteur, les deux lectures possibles sont toujours liées :

lecture bleue+lecture orange=180°\text{lecture bleue} + \text{lecture orange} = 180°

C'est une excellente façon de te vérifier : si tu trouves 70°70° sur l'échelle bleue, l'échelle orange doit afficher 110°110° juste en dessous, car 70+110=18070 + 110 = 180.

Exemple — mesurer un angle pas à pas

Pour mesurer ABC^\widehat{ABC}, Malick pose le centre du rapporteur sur BB, aligne le côté [BA)[BA) sur le 00 de l'échelle bleue. Le côté [BC)[BC) traverse l'arc à l'endroit marqué « 5555 » en bleu et « 125125 » en orange.

  1. côté [BA)[BA) aligné sur le 00 bleu
  2. doncon lit l'échelle bleue au niveau de [BC)[BC)
  3. ⇒\RightarrowABC^=55°\widehat{ABC} = 55°vérification : 55+125=18055 + 125 = 180 ✓
Exemple — éviter le piège

Sami lit « 4040 » sur l'échelle orange au niveau du second côté de son angle, mais son côté de référence était aligné sur le 00 bleu (à droite). Il ne doit donc pas garder 40°40° : il doit lire l'échelle bleue à ce même endroit, c'est-à-dire 180−40=140°180 - 40 = 140°. L'angle de Sami mesure en réalité 140°140° : c'est un angle obtus, ce qui est cohérent avec son dessin.

4Construction d'un angle donné

Tu sais désormais lire une mesure. Voyons maintenant l'opération inverse : construire un angle dont on te donne la mesure, par exemple 50°50°. Il te faut une règle, un rapporteur, et de la méthode.

Méthode — construire un angle de mesure donnée
  1. Trace une demi-droite [OA)[OA) à la règle : ce sera le premier côté de l'angle.
  2. Place le centre du rapporteur sur OO, aligne le 0°0° sur [OA)[OA).
  3. Repère et marque un point au crayon à la graduation demandée (par exemple 5050) — sur la bonne échelle, celle qui part du 00 aligné.
  4. Retire le rapporteur, puis trace au feutre ou au crayon la demi-droite [OB)[OB) qui relie OO à ce point.
Étape 1 O Trace [OA) Étape 2 50° Vise 50°, marque un point Étape 3 O 50° Trace [OB) : c'est fait !
Figure 4 — Les trois étapes pour construire un angle de 50°50° à la règle et au rapporteur.
Attention

Ici encore, la double graduation peut piéger : si tu vises la mauvaise échelle en étape 3, tu obtiens l'angle supplémentaire 180°−50°=130°180° - 50° = 130° au lieu de 50°50°. Repère toujours d'abord de quel côté est ton 00, avant de marquer ton point.

Exemple — construire un angle obtus

Pour construire un angle de 135°135°, on trace [OA)[OA), on aligne le 00 du rapporteur sur [OA)[OA), puis on cherche la graduation 135135 sur l'échelle qui part de ce 00 — elle se trouve bien après le repère des 90°90°, du côté « penché » du rapporteur. On marque le point, on trace [OB)[OB) : l'angle obtenu est bien obtus, plus ouvert qu'un angle droit.

Exemple — vérifier une construction

Après avoir construit un angle censé mesurer 90°90°, on peut poser une équerre sur le sommet : si les deux côtés collent parfaitement aux bords de l'équerre, la construction est juste. C'est un excellent moyen de se relire sans reprendre tout le rapporteur.

Math & Co — La corde à treize nœuds

Bien avant l'invention du rapporteur, les bâtisseurs de l'Égypte antique, il y a plus de 4 0004\,000 ans, traçaient des angles droits parfaits sur leurs chantiers grâce à une simple corde nouée en treize nœuds régulièrement espacés, formant douze intervalles égaux. En tendant la corde selon des côtés de 33, 44 et 55 intervalles, ils obtenaient toujours un triangle avec un angle droit exact entre les côtés 33 et 44 — une astuce redécouverte plus tard par le théorème de Pythagore, que tu étudieras dans une prochaine classe. On raconte que les « tendeurs de corde » égyptiens utilisaient déjà cette méthode pour aligner les bases des pyramides !

5Bissectrice

Pour finir ce chapitre, découvrons une demi-droite très spéciale : celle qui coupe un angle en deux parts parfaitement égales, comme quand on plie une feuille exactement en deux. On l'appelle la bissectrice de l'angle.

Définition

La bissectrice d'un angle ABC^\widehat{ABC} est la demi-droite issue du sommet BB, intérieure à l'angle, qui le partage en deux angles adjacents de même mesure.

5.1  Découvrir la bissectrice par pliage

Trace un angle ABC^\widehat{ABC} sur une feuille, puis plie la feuille de façon à superposer exactement le côté [BA)[BA) sur le côté [BC)[BC). Le pli que tu obtiens passe forcément par le sommet BB : c'est la bissectrice de l'angle ! En pliant, tu viens de prouver, sans aucun calcul, que les deux moitiés obtenues sont égales : elles se superposent parfaitement, puisque c'est le même pli qui les sépare.

Avant pliage B A C 80° Après pliage B A C D 40° 40° pli = bissectrice
Figure 5 — En pliant la feuille pour superposer [BA)[BA) sur [BC)[BC), le pli [BD)[BD) partage l'angle 80°80° en deux angles égaux de 40°40° : c'est la bissectrice.
Démonstration — idée de preuve par pliage

Quand on plie la feuille pour superposer exactement [BA)[BA) sur [BC)[BC), le point BB ne bouge pas (c'est le sommet, sur le pli), et le côté [BA)[BA) vient recouvrir [BC)[BC) au millimètre près. L'angle ABD^\widehat{ABD} (entre le pli et [BA)[BA)) se retrouve donc exactement superposé à l'angle DBC^\widehat{DBC} (entre le pli et [BC)[BC)) : deux figures superposables ont la même mesure. D'où ABD^=DBC^\widehat{ABD} = \widehat{DBC}.

Propriété

Si [BD)[BD) est la bissectrice de l'angle ABC^\widehat{ABC}, alors :

ABD^=DBC^=ABC^2\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}

5.2  Tracer la bissectrice au rapporteur

Méthode — construire la bissectrice sans pliage
  1. Mesure l'angle ABC^\widehat{ABC} au rapporteur.
  2. Divise cette mesure par 22.
  3. À partir d'un côté, place le rapporteur et marque un point à cette moitié de mesure.
  4. Trace la demi-droite [BD)[BD) qui joint BB à ce point : c'est la bissectrice.
Attention

Ne confonds pas la bissectrice d'un angle avec le milieu d'un segment ! Le milieu partage une longueur en deux longueurs égales ; la bissectrice partage un angle en deux angles égaux. Ce sont deux idées de « moitié », mais elles ne s'appliquent pas au même type d'objet.

Exemple — trouver les deux moitiés

L'angle ABC^\widehat{ABC} mesure 74°74°. Sa bissectrice [BD)[BD) le partage en deux angles égaux.

  1. ABD^=DBC^=74°2\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \dfrac{74°}{2}
  2. ==37°37°
Exemple — retrouver l'angle total

On sait que [BD)[BD) est la bissectrice de ABC^\widehat{ABC}, et que ABD^=28°\widehat{ABD} = 28°.

  1. DBC^=ABD^=28°\widehat{DBC} = \widehat{ABD} = 28°propriété de la bissectrice
  2. ABC^=ABD^+DBC^\widehat{ABC} = \widehat{ABD} + \widehat{DBC}
  3. ==28°+28°28° + 28°
  4. ==56°56°

Fiche mémo

  • Un angle = deux demi-droites de même origine, le sommet. Notation ABC^\widehat{ABC} : le sommet BB est toujours au milieu.
  • La longueur des traits dessinés ne change jamais la mesure d'un angle : seule compte l'ouverture.
  • Aigu : mesure <90°< 90°. Droit : mesure =90°= 90° (équerre). Obtus : 90°<90° < mesure <180°< 180°. Plat : mesure =180°= 180° (côtés alignés).
  • Rapporteur : centre sur le sommet, 0°0° aligné sur un côté, lecture sur l'échelle qui part de ce 00.
  • Piège de la double graduation : les deux lectures d'un même trait font toujours 180°180° au total ; vérifie toujours de quel côté part ton 00.
  • Construire un angle donné : demi-droite [OA)[OA), rapporteur centré sur OO et 0°0° sur [OA)[OA), point marqué à la bonne graduation, puis tracé de [OB)[OB).
  • Bissectrice [BD)[BD) de ABC^\widehat{ABC} : demi-droite intérieure telle que ABD^=DBC^=ABC^2\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}.
  • On découvre la bissectrice par pliage : le pli qui superpose les deux côtés de l'angle est sa bissectrice.
  • Ne confonds pas milieu d'un segment (longueurs égales) et bissectrice d'un angle (angles égaux).

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Sur une figure, le sommet d'un angle est le point RR, et ses deux côtés passent par les points SS et TT. Donne deux façons correctes de noter cet angle, puis indique le nom du sommet et des deux côtés.

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La lettre du sommet doit rester au milieu de la notation. On peut donc écrire :

SRT^ouTRS^\widehat{SRT} \quad \text{ou} \quad \widehat{TRS}

Sommet : RR. Côtés : les demi-droites [RS)[RS) et [RT)[RT).

2

Classe chacun de ces angles en aigu, droit, obtus ou plat : 35°35° ; 90°90° ; 178°178° ; 12°12° ; 146°146° ; 61°61°.

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Mesure35°35°90°90°178°178°12°12°146°146°61°61°
Familleaigudroitobtusaiguobtusaigu
3

Le côté de référence d'un angle est aligné sur le 00 de l'échelle bleue du rapporteur. Le second côté traverse l'arc à l'endroit où l'on peut lire « 5555 » en bleu et « 125125 » en orange. Quelle est la mesure de cet angle ?

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Le côté de référence part du 00 bleu : il faut donc lire l'échelle bleue.

  1. mesure de l'angle =55°= 55°on lit l'échelle qui part du 0 aligné

Vérification : 55+125=18055 + 125 = 180 ✓ — les deux lectures sont bien liées.

4

Sans utiliser de rapporteur, explique comment tu peux comparer deux angles dessinés sur deux feuilles différentes.

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On décalque le premier angle sur du papier transparent (un gabarit), puis on le pose sur le second angle en superposant le sommet et un côté. Si le second côté du calque tombe exactement sur le second côté de l'autre angle, les deux angles sont égaux. S'il tombe à l'intérieur, l'angle du calque est plus petit ; s'il dépasse à l'extérieur, il est plus grand.

5

Vrai ou faux ? a. Un angle plat mesure 180°180°. b. Le sommet d'un angle est un segment. c. On vérifie qu'un angle est droit avec une équerre. d. La longueur des côtés dessinés change la mesure de l'angle. e. Sur un rapporteur, les deux lectures d'un même trait font 180°180° au total.

Voir le corrigé détaillé
  • a. Vrai. C'est la définition de l'angle plat.
  • b. Faux. Le sommet d'un angle est un point, pas un segment.
  • c. Vrai. Les côtés doivent coller exactement aux deux bords de l'équerre.
  • d. Faux. Seule l'ouverture compte, jamais la longueur des traits.
  • e. Vrai. Lecture bleue + lecture orange =180°= 180° toujours.
Niveau 2 — Approfondissement
6

Sur la figure de l'angle XYZ^\widehat{XYZ}, le côté [YX)[YX) est aligné sur le 0°0° et le côté [YZ)[YZ) coupe le rapporteur à 123°123° sur l'échelle qui part de ce 00. Quelle est la mesure de XYZ^\widehat{XYZ} ? Est-il aigu, droit, obtus ou plat ?

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  1. XYZ^=123°\widehat{XYZ} = 123°lecture directe sur l'échelle du 0 aligné
  2. 90<123<18090 < 123 < 180
  3. ⇒\RightarrowXYZ^\widehat{XYZ} est un angle obtus
Y X Z 123°
Figure 6 — L'angle XYZ^\widehat{XYZ} mesure 123°123° : il est obtus.
7

Décris les étapes pour construire un angle MNP^\widehat{MNP} de 115°115°, puis explique comment vérifier que tu n'as pas lu la mauvaise échelle.

Voir le corrigé détaillé

On trace [NM)[NM), on centre le rapporteur sur NN avec le 0°0° sur [NM)[NM), on marque un point à la graduation 115115 sur l'échelle qui part de ce 00, puis on trace [NP)[NP).

Vérification : sur le même trait, l'autre échelle doit indiquer 180−115=65°180 - 115 = 65°. Si le point choisi affichait 6565 au lieu de 115115 sur l'échelle du bon côté, l'angle obtenu serait le mauvais.

8

L'angle ABC^\widehat{ABC} mesure 96°96°. Sa bissectrice est [BD)[BD). Calcule les mesures de ABD^\widehat{ABD} et DBC^\widehat{DBC}.

Voir le corrigé détaillé
  1. ABD^=DBC^=ABC^2\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}
  2. ==96°2\dfrac{96°}{2}
  3. ==48°48°
9

Le côté de référence d'un angle est aligné sur le 00 bleu. On lit « 152152 » sur l'échelle orange à l'endroit où le second côté traverse l'arc. Quelle est la véritable mesure de l'angle ?

Voir le corrigé détaillé

Comme le 00 de référence est bleu, il faut lire l'échelle bleue, pas l'orange.

  1. lecture bleue =180°−152°= 180° - 152°les deux lectures d'un même trait font 180°
  2. ==28°28°

L'angle mesure en réalité 28°28° (un angle aigu), et non 152°152°.

10

Construis (en pensée) un angle ABC^\widehat{ABC} de 140°140°, trace sa bissectrice [BD)[BD), donne la mesure de chaque moitié, puis classe-la (aigu, droit ou obtus).

Voir le corrigé détaillé
  1. ABD^=DBC^=140°2\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \dfrac{140°}{2}
  2. ==70°70°

70<9070 < 90 : chaque moitié est un angle aigu, même si l'angle de départ était obtus.

Niveau 3 — Défi
11

Un angle plat ABC^\widehat{ABC} est partagé par deux demi-droites [BD)[BD) et [BE)[BE) en trois angles adjacents : ABD^=52°\widehat{ABD} = 52°, DBE^=118°\widehat{DBE} = 118°, et EBC^\widehat{EBC} est inconnu.

  1. Calcule EBC^\widehat{EBC}.
  2. Vérifie que la somme des trois angles fait bien 180°180°.
  3. Classe chacun des trois angles.
Voir le corrigé détaillé

1. Les trois angles adjacents recouvrent l'angle plat tout entier.

  1. ABD^+DBE^+EBC^=180°\widehat{ABD} + \widehat{DBE} + \widehat{EBC} = 180°
  2. 52°+118°+EBC^=180°52° + 118° + \widehat{EBC} = 180°
  3. ⇒\RightarrowEBC^=180°−170°\widehat{EBC} = 180° - 170°
  4. ==10°10°

2. 52+118+10=18052 + 118 + 10 = 180 ✓, la somme est bien celle d'un angle plat.

3. ABD^=52°\widehat{ABD} = 52° : aigu. DBE^=118°\widehat{DBE} = 118° : obtus. EBC^=10°\widehat{EBC} = 10° : aigu.

12

1. Décris la construction d'un angle ABC^\widehat{ABC} de 126°126°. 2. Décris le tracé de sa bissectrice [BD)[BD). 3. Calcule et classe les deux angles ABD^\widehat{ABD} et DBC^\widehat{DBC}.

Voir le corrigé détaillé

1. On trace [BA)[BA), on centre le rapporteur sur BB, 0°0° sur [BA)[BA), on marque un point à 126126 sur la bonne échelle, puis on trace [BC)[BC).

2. On mesure ABC^=126°\widehat{ABC} = 126°, on divise par 22, on marque un point à cette moitié à partir de [BA)[BA), puis on trace [BD)[BD).

3.

  1. ABD^=DBC^=126°2\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \dfrac{126°}{2}
  2. ==63°63°

63<9063 < 90 : les deux moitiés sont des angles aigus.

13

Deux triangles superposables (l'un est un calque exact de l'autre) portent chacun un angle marqué M^\widehat{M}. 1. Explique, sans les mesurer, pourquoi ces deux angles ont forcément la même mesure. 2. Sachant que cet angle vaut le tiers d'un angle plat, calcule sa mesure.

Voir le corrigé détaillé

1. Les deux triangles sont superposables : en posant le calque de l'un sur l'autre, sommets et côtés coïncident exactement, angle M^\widehat{M} compris. Deux figures qui se superposent parfaitement ont forcément les mêmes mesures d'angles.

2.

  1. M^=180°3\widehat{M} = \dfrac{180°}{3}
  2. ==60°60°
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Le portail de Bamako. Un menuisier de Bamako fabrique un portail en fer forgé. Deux barres forment un angle de 118°118°. Il doit choisir une charnière : type A (2 5002\,500 F CFA) pour un angle aigu, type B (3 2003\,200 F CFA) pour un angle droit ou obtus. Il lui faut 66 charnières identiques.

  1. Classe l'angle de 118°118°.
  2. Détermine le type de charnière à acheter.
  3. Calcule le coût total des 66 charnières.
Voir le corrigé détaillé

1. 90<118<18090 < 118 < 180 : l'angle est obtus.

2. Un angle obtus impose la charnière de type B.

3.

  1. coût =6×3 200= 6 \times 3\,200
  2. ==19 20019\,200 F CFA

Le menuisier doit prévoir 19 200 F CFA pour les charnières.

15

Le parasol de Ndjamena. Au marché central de Ndjamena, un grand parasol circulaire est soutenu par 88 baleines (rayons) régulièrement espacées autour du centre.

  1. Calcule la mesure de l'angle formé entre deux baleines consécutives.
  2. Cet angle est-il aigu, droit ou obtus ?
  3. Un logo est fixé bien au milieu d'un secteur, sur sa bissectrice. À quelle distance angulaire se trouve-t-il de chaque baleine voisine ?
Voir le corrigé détaillé

1. Le tour complet autour du centre mesure 360°360°, partagé en 88 parts égales.

  1. angle entre deux baleines =360°8= \dfrac{360°}{8}
  2. ==45°45°

2. 45<9045 < 90 : c'est un angle aigu.

3.

  1. distance à chaque baleine =45°2= \dfrac{45°}{2}
  2. ==22,5°22{,}5°
45° 22,5° 8 baleines régulièrement espacées
Figure 7 — Entre deux baleines consécutives du parasol, l'angle mesure 45°45° ; sa bissectrice (en vert) le partage en deux fois 22,5°22{,}5°.
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Le carrefour de Dakar. Sur un plan, deux rues se croisent à Dakar en formant un angle de 72°72°. La mairie souhaite planter un panneau exactement sur la bissectrice de cet angle, et faire poser 1212 m de câble électrique pour l'éclairer, à 3 5003\,500 F CFA le mètre.

  1. Calcule la mesure de chaque moitié de l'angle formée par la bissectrice.
  2. Calcule le coût total du câble.
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1.

  1. chaque moitié =72°2= \dfrac{72°}{2}
  2. ==36°36°

2.

  1. coût =12×3 500= 12 \times 3\,500
  2. ==42 00042\,000 F CFA

Le panneau sera planté à 36°36° de chaque rue, pour un coût de câblage de 42 000 F CFA.

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un angle est formé par :

Explication : Un angle est une figure formée par deux demi-droites de même origine. Cette origine commune s'appelle le sommet de l'angle.

Dans la notation ABC^\widehat{ABC}, quelle lettre représente le sommet de l'angle ?

Explication : Dans la notation d'un angle, la lettre du sommet est toujours écrite au milieu. Ici, c'est BB.

Pour comparer deux angles sans les mesurer, on peut utiliser :

Explication : On décalque le premier angle, puis on le superpose au second en faisant coïncider le sommet et un côté, pour voir lequel est le plus ouvert.

Si on dessine un angle avec des traits très courts, puis le même angle avec des traits très longs, que peut-on dire des deux angles ?

Explication : La longueur des traits ne change jamais la mesure d'un angle. Un angle est un écartement, pas une longueur.

Un angle qui mesure exactement 90°90° est appelé un angle :

Explication : Un angle droit mesure exactement 90°. C'est l'angle de l'équerre, celui du coin d'une feuille.

Un angle de 133°133° est un angle :

Explication : Un angle obtus mesure plus de 90° et moins de 180°. Comme 90<133<18090 < 133 < 180, c'est un angle obtus.

Un angle plat mesure :

Explication : Un angle plat mesure exactement 180° : ses deux côtés forment une seule ligne droite.

Un angle de 35°35° est un angle :

Explication : Un angle aigu mesure moins de 90°. Comme 35<9035 < 90, c'est un angle aigu.

Sur un rapporteur, un même petit trait porte deux nombres, un bleu et un orange. Que vaut toujours leur somme ?

Explication : Pour une même graduation, lecture bleue + lecture orange = 180°. C'est une excellente façon de se vérifier.

Le côté de référence d'un angle est aligné sur le 00 bleu. Le second côté traverse l'arc à « 55 » en bleu et « 125 » en orange. Quelle est la mesure de l'angle ?

Explication : Le côté de référence part du 0 bleu, donc on lit l'échelle bleue : la mesure de l'angle est 55°.
Vérification : 55+125=18055 + 125 = 180 ✓

Le côté de référence d'un angle est aligné sur le 00 bleu. On lit « 152 » sur l'échelle orange à l'endroit où le second côté traverse l'arc. Quelle est la véritable mesure de l'angle ?

Explication : Comme le 0 de référence est bleu, il faut lire l'échelle bleue, pas l'orange.
Lecture bleue = 180°−152°=28°180° - 152° = 28°.

Pour construire un angle OAB^\widehat{OAB} de 50°50°, quelle est la première étape ?

Explication : On commence toujours par tracer une demi-droite à la règle : ce sera le premier côté de l'angle. Ensuite seulement, on place le rapporteur.

En construisant un angle de 50°50°, si on vise par erreur la mauvaise échelle du rapporteur, quel angle obtient-on à la place ?

Explication : Si on vise la mauvaise échelle, on obtient l'angle supplémentaire 180°−50°=130°180° - 50° = 130° au lieu de 50°.

La bissectrice d'un angle est :

Explication : La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet, intérieure à l'angle, qui le partage en deux angles adjacents de même mesure.

Comment peut-on retrouver la bissectrice d'un angle par pliage ?

Explication : En pliant la feuille pour superposer exactement un côté de l'angle sur l'autre, le pli obtenu passe par le sommet : c'est la bissectrice.

L'angle ABC^\widehat{ABC} mesure 74°74°. Sa bissectrice [BD)[BD) le partage en deux angles égaux. Quelle est la mesure de chaque moitié ?

Explication : ABD^=DBC^=74°2=37°\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \dfrac{74°}{2} = 37°.

[BD)[BD) est la bissectrice de ABC^\widehat{ABC}, et ABD^=28°\widehat{ABD} = 28°. Quelle est la mesure de ABC^\widehat{ABC} ?

Explication : Comme [BD)[BD) est la bissectrice, DBC^=ABD^=28°\widehat{DBC} = \widehat{ABD} = 28°.
ABC^=ABD^+DBC^=28°+28°=56°\widehat{ABC} = \widehat{ABD} + \widehat{DBC} = 28° + 28° = 56°.

Un angle plat ABC^\widehat{ABC} est partagé par deux demi-droites en trois angles adjacents : ABD^=52°\widehat{ABD} = 52°, DBE^=118°\widehat{DBE} = 118°, et EBC^\widehat{EBC} inconnu. Combien vaut EBC^\widehat{EBC} ?

Explication : Les trois angles recouvrent l'angle plat : 52°+118°+EBC^=180°52° + 118° + \widehat{EBC} = 180°.
EBC^=180°−170°=10°\widehat{EBC} = 180° - 170° = 10°.

Un parasol circulaire est soutenu par 8 baleines régulièrement espacées autour du centre. Quelle est la mesure de l'angle entre deux baleines consécutives ?

Explication : Le tour complet mesure 360°, partagé en 8 parts égales.
360°÷8=45°360° \div 8 = 45°.

Deux rues de Dakar se croisent en formant un angle de 72°72°. On plante un panneau sur la bissectrice de cet angle. Quelle est la mesure de chaque moitié de l'angle ?

Explication : Chaque moitié =72°2=36°= \dfrac{72°}{2} = 36°.
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