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Addition, soustraction, multiplication

Maîtriser les trois premières opérations sur les entiers et les décimaux, en calcul posé comme en calcul mental.

Mathématiques 6ème Chapitre 2 / 14 ⏱ 5 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Poser et effectuer une opération sans erreur
  • Estimer un résultat avant de calculer
  • Choisir la bonne opération dans un énoncé

Depuis le CM2, tu sais additionner, soustraire et multiplier. Ce chapitre reprend tout, mais avec des nombres plus grands, des nombres à virgule, et une méthode plus sûre. Le but : ne plus jamais te tromper dans un calcul posé, et savoir dire si un résultat est plausible avant même de vérifier avec la calculatrice.

Ces trois opérations sont partout autour de toi. Au marché, tu additionnes le prix de plusieurs fruits. À la maison, tu soustrais une dépense de ton argent de poche. Pour un trajet en car, tu multiplies le prix du billet par le nombre de passagers. Sans elles, impossible de gérer un budget, une recette de cuisine ou un chantier.

La nouveauté de la Sixième, c'est la rigueur. On pose une opération proprement, chiffre sous chiffre, virgule sous virgule. On estime un ordre de grandeur avant de calculer, pour repérer tout de suite une erreur de virgule ou une retenue oubliée. Et on apprend à utiliser la calculatrice intelligemment : elle calcule vite, mais c'est toi qui dois savoir si son résultat a un sens.

1Vocabulaire : somme, différence, produit

Avant de calculer, il faut savoir nommer ce que l'on fait. Chaque opération a son vocabulaire précis : les professeurs et les énoncés l'utilisent tout le temps.

1.1  Les termes de l'addition et de la soustraction

Définition

Dans une addition, les nombres que l'on additionne s'appellent les termes. Le résultat s'appelle la somme.

4⏟terme+7⏟terme=11⏟somme \underbrace{4}_{\text{terme}} + \underbrace{7}_{\text{terme}} = \underbrace{11}_{\text{somme}}

Dans une soustraction, le résultat s'appelle la différence. On part d'un nombre, et on lui enlève une quantité.

9⏟on part de−3⏟on enleˋve=6⏟diffeˊrence \underbrace{9}_{\text{on part de}} - \underbrace{3}_{\text{on enlève}} = \underbrace{6}_{\text{différence}}

Exemple — reconnaître somme et différence

« Le prix d'un cahier et d'un stylo » : c'est une somme. « Ce qu'il reste sur un billet après un achat » : c'est une différence.

  1. cahier 350350 F + stylo 150150 F
  2. ==500500 Fc'est la somme des deux prix
  3. billet de 1 0001\,000 F moins achat de 500500 F
  4. ==500500 Fc'est la différence : ce qui reste
Attention

La soustraction n'est pas commutative : changer l'ordre change le résultat. 9−3=69-3=6 mais 3−93-9 donne un nombre négatif, −6-6. En Sixième, on soustrait toujours un nombre plus petit à un nombre plus grand.

1.2  Le facteur et le produit

Définition

Dans une multiplication, les nombres que l'on multiplie s'appellent les facteurs. Le résultat s'appelle le produit.

6⏟facteur×7⏟facteur=42⏟produit \underbrace{6}_{\text{facteur}} \times \underbrace{7}_{\text{facteur}} = \underbrace{42}_{\text{produit}}

Multiplier par un nombre entier, c'est répéter une addition : 6×76 \times 7 veut dire « 77 fois 66 », soit 6+6+6+6+6+6+66+6+6+6+6+6+6.

Exemple — de l'addition répétée au produit
  1. 250+250+250+250+250250 + 250 + 250 + 250 + 250cinq fois le même terme
  2. ==5×2505 \times 250
  3. ==1 2501\,250
Propriété

L'addition et la multiplication sont commutatives : on peut changer l'ordre des termes ou des facteurs, le résultat ne change pas.

a+b=b+aa×b=b×a a + b = b + a \qquad a \times b = b \times a

Elles sont aussi associatives : dans une suite d'additions (ou de multiplications), on peut grouper les nombres comme on veut.

(a+b)+c=a+(b+c) (a+b)+c = a+(b+c)

Math & Co — Les signes + et −

Les signes ++ et −- que tu utilises tous les jours sont apparus dans un livre allemand imprimé en 1489, le Mercantile Arithmetic de Johannes Widmann. Avant lui, on écrivait « plus » et « minus » en toutes lettres. Le signe ×\times, lui, n'apparaît qu'en 1631, sous la plume du mathématicien anglais William Oughtred.

2Techniques opératoires posées

Poser une opération, c'est l'écrire en colonnes, pour calculer sans se tromper, même avec de grands nombres ou des nombres à virgule. Règle d'or : on aligne toujours les chiffres de même rang — unités sous unités, dizaines sous dizaines, virgule sous virgule.

2.1  Poser une addition

Méthode — poser une addition

On aligne les nombres à droite. On additionne colonne par colonne, en partant de la droite. Dès qu'une colonne dépasse 99, on écrit le chiffre des unités et on reporte une retenue dans la colonne suivante.

Addition posée : 3 457 + 2 865 3457 111 + 2865 6322 les petits chiffres rouges sont les retenues
Figure 1 — Addition posée de 3 4573\,457 et 2 8652\,865 : à chaque colonne où la somme dépasse 99, on écrit le chiffre des unités et on reporte 1 dans la colonne suivante.
Exemple — addition avec décimaux

Pour additionner des nombres à virgule, on aligne les virgules : elles se retrouvent alors automatiquement les unes sous les autres.

  1. 12,4+3,7512{,}4 + 3{,}75
  2. on aligne : 12,4012{,}40 et 3,753{,}75on complète avec un zéro pour avoir autant de chiffres après la virgule
  3. ==16,1516{,}15

2.2  Poser une soustraction

Méthode — poser une soustraction

On écrit toujours le plus grand nombre en haut. On soustrait colonne par colonne, à partir de la droite. Si le chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on emprunte 11 à la colonne de gauche : le chiffre du haut gagne 1010, et celui de la colonne empruntée perd 11.

Soustraction posée : 532 − 278 532 42 − 278 254 on emprunte 1 à la colonne de gauche : 5 devient 4, 3 devient 2
Figure 2 — Soustraction posée de 532532 et 278278 : chaque fois que le chiffre du haut est trop petit, on emprunte 1 à la colonne de gauche (chiffres barrés en rouge).
Attention

La faute la plus fréquente : oublier de retirer l'emprunt à la colonne de gauche. Vérifie toujours avec l'opération inverse : 254+278254 + 278 doit redonner 532532.

2.3  Poser une multiplication

Méthode — poser une multiplication à deux chiffres

On multiplie d'abord par le chiffre des unités du second facteur. Puis on multiplie par le chiffre des dizaines, et on décale le résultat d'un rang vers la gauche. On additionne enfin les deux lignes obtenues.

Multiplication posée : 347 × 26 347 ×26 24 2082 1 694 9022 347 × 6 = 2 082 · 347 × 20 = 6 940 · 2 082 + 6 940 = 9 022
Figure 3 — Multiplication posée de 347347 par 2626 : ligne du haut = 347×6347\times 6, ligne du dessous = 347×2347\times 2 décalée d'un rang (elle représente 347×20347\times 20), puis on additionne les deux lignes.
Démonstration — pourquoi on décale d'un rang

Multiplier 347347 par 2626, c'est multiplier par 20+620 + 6.

  1. 347×26=347×(20+6)347 \times 26 = 347 \times (20+6)
  2. ==347×20+347×6347 \times 20 + 347 \times 6
  3. ==6 940+2 0826\,940 + 2\,082
  4. ==9 0229\,022

Or 347×20=347×2×10347 \times 20 = 347 \times 2 \times 10. Multiplier par 22 puis par 1010 revient à écrire 694694 décalé d'un rang vers la gauche. C'est exactement ce que fait la technique posée.

Exemple — multiplication avec un nombre décimal

On multiplie sans tenir compte de la virgule, puis on la replace à la fin : le résultat a autant de chiffres après la virgule que tous les facteurs réunis.

  1. 3,2×143{,}2 \times 14
  2. 32×14=44832 \times 14 = 448calcul sans la virgule
  3. 3,23{,}2 a un chiffre après la virgule
  4. ⇒\Rightarrow3,2×14=44,83{,}2 \times 14 = 44{,}8

2.4  Choisir entre addition et soustraction

Dans un problème, le plus dur n'est pas de calculer : c'est de choisir la bonne opération. Un schéma « parties-tout » aide à voir clair : le tout se sépare toujours en parties.

Un panier coûte 4 500 F CFA — combien manque-t-il à Awa ? Tout : 4 500 F CFA Awa a 2 800 F manque ? F tout − partie connue = partie manquante
Figure 4 — Schéma « parties-tout » : quand on connaît le tout et une partie, on trouve l'autre partie par une soustraction (ici 4 500−2 800=1 7004\,500 - 2\,800 = 1\,700 F CFA).
Méthode — parties et tout

Si tu connais le tout et une partie, tu cherches l'autre partie : c'est une soustraction (tout − partie connue). Si tu connais toutes les parties et que tu cherches le tout : c'est une addition (partie + partie = tout).

3Ordres de grandeur

Avant de calculer, un bon réflexe : estimer le résultat. On remplace les nombres par des valeurs simples, proches d'eux, pour deviner à quoi ressemblera la réponse. Cela permet de repérer tout de suite une erreur de calcul ou de virgule.

3.1  Arrondir pour estimer

Définition

Un ordre de grandeur est une valeur simple et arrondie, proche du résultat exact. On l'obtient en arrondissant chaque nombre au chiffre le plus significatif (dizaine, centaine, millier proche).

Méthode — estimer une somme ou un produit

On arrondit chaque nombre à l'unité qui rend le calcul facile de tête (dizaine, centaine, millier). On effectue le calcul avec les nombres arrondis.

Exemple — estimer une addition
  1. 48+297+15248 + 297 + 152
  2. on arrondit : 50+300+15050 + 300 + 150chaque nombre à la dizaine ou à la centaine proche
  3. ≈\approx500500

Le résultat exact, 497497, est bien proche de l'estimation 500500.

Exemple — estimer un produit
  1. 29×4129 \times 41
  2. on arrondit : 30×4030 \times 40
  3. ≈\approx1 2001\,200

Le résultat exact est 1 1891\,189 : très proche de 1 2001\,200. Si la calculatrice affichait 11 89011\,890 ou 119119, tu saurais immédiatement qu'il y a une erreur de virgule.

3.2  Vérifier un résultat

Attention

La calculatrice ne se trompe jamais de calcul, mais toi, tu peux te tromper en tapant les touches ! Un ordre de grandeur permet de repérer une faute de frappe : si tu tapes 3,2×143{,}2 \times 14 et que la calculatrice affiche 4,484{,}48 au lieu de 44,844{,}8, l'estimation (3×14≈423 \times 14 \approx 42) te montre que ce n'est pas normal.

Math & Co — Al-Khwârizmî et les chiffres

Vers 825, le savant perse Al-Khwârizmî écrit à Bagdad un traité qui diffuse en Orient puis en Europe les chiffres venus d'Inde — ceux que nous utilisons encore, avec leur position qui donne la valeur (unités, dizaines, centaines…). Grâce à ce système, poser une addition ou une multiplication devient enfin simple. Son nom, latinisé en Algorismus, a donné le mot français « algorithme ».

4Multiplication par 10, 100, 0,1

Multiplier par 1010, par 100100, ou par 0,10{,}1 va beaucoup plus vite qu'une multiplication posée : il suffit de déplacer la virgule. Encore faut-il comprendre pourquoi, pour ne jamais se tromper de sens.

4.1  Multiplier par 10, 100, 1 000

Propriété

Multiplier un nombre par 1010 (ou 100100, ou 1 0001\,000) déplace sa virgule vers la droite d'autant de rangs qu'il y a de zéros.

3,6×10=363,6×100=3603,6×1 000=3 600 3{,}6 \times 10 = 36 \qquad 3{,}6 \times 100 = 360 \qquad 3{,}6 \times 1\,000 = 3\,600

Multiplier 3,6 : la virgule se déplace 3,6 × 10 36 3,6 × 100 360 3,6 × 0,1 0,36
Figure 5 — Multiplier par 1010, 100100 ou 0,10{,}1 déplace la virgule, sans changer les chiffres.
Démonstration — pourquoi la virgule se déplace

Dans 3,63{,}6, le chiffre 33 est au rang des unités et le chiffre 66 au rang des dixièmes. Multiplier par 1010, c'est faire passer chaque chiffre à un rang dix fois plus grand.

  1. 3,6=3×1+6×0,13{,}6 = 3 \times 1 + 6 \times 0{,}1
  2. 3,6×10=3×10+6×0,1×103{,}6 \times 10 = 3 \times 10 + 6 \times 0{,}1 \times 10
  3. ==3×10+6×13 \times 10 + 6 \times 1
  4. ==30+6=3630 + 6 = 36

Le 66, qui était au rang des dixièmes, se retrouve au rang des unités : la virgule a bien avancé d'un rang.

Nombre× 10× 100× 1 000× 0,1× 0,01
7770707007007 0007\,0000,70{,}70,070{,}07
7,37{,}373737307307 3007\,3000,730{,}730,0730{,}073
25252502502 5002\,50025 00025\,0002,52{,}50,250{,}25
0,080{,}080,80{,}88880800,0080{,}0080,00080{,}0008

4.2  Multiplier par 0,1 et 0,01

Propriété

Multiplier par 0,10{,}1, c'est la même chose que diviser par 10 : la virgule se déplace vers la gauche d'un rang. Multiplier par 0,010{,}01, c'est diviser par 100100 : la virgule recule de deux rangs.

Exemple — multiplier par 0,1
  1. 452×0,1452 \times 0{,}1
  2. 452×0,1=452÷10452 \times 0{,}1 = 452 \div 10
  3. ==45,245{,}2
Attention

« Multiplier » ne veut pas toujours dire « agrandir » ! Multiplier par 0,10{,}1 donne un résultat plus petit que le nombre de départ. Et ajouter un zéro à la fin d'un nombre décimal ne le multiplie pas par 1010 : 3,63{,}6 et 3,603{,}60 sont le même nombre.

5Calcul mental et astuces

Pas besoin de poser une opération pour calculer vite et juste. Quelques astuces simples suffisent à calculer de tête, ou à vérifier un résultat en un clin d'œil.

5.1  Décomposer les nombres

Méthode — décomposer pour additionner ou soustraire

On sépare un nombre en centaines, dizaines et unités, et on calcule par morceaux.

Exemple — addition décomposée
  1. 47+3547 + 35
  2. 47+35=47+30+547 + 35 = 47 + 30 + 5
  3. ==77+577 + 5
  4. ==8282

5.2  La distributivité en calcul mental

Propriété

Pour multiplier, on peut décomposer un facteur en une somme ou une différence, et répartir la multiplication sur chaque partie.

a×(b+c)=a×b+a×ca×(b−c)=a×b−a×c a \times (b+c) = a \times b + a \times c \qquad a \times (b-c) = a \times b - a \times c

Exemple — multiplier par 99
  1. 8×998 \times 99
  2. 8×99=8×(100−1)8 \times 99 = 8 \times (100 - 1)
  3. ==8×100−8×18 \times 100 - 8 \times 1
  4. ==800−8800 - 8
  5. ==792792
Exemple — multiplier par 25

Multiplier par 2525, c'est multiplier par 100100 puis diviser par 44 (car 25=100÷425 = 100 \div 4).

  1. 16×2516 \times 25
  2. ==16×100÷416 \times 100 \div 4
  3. ==1 600÷41\,600 \div 4
  4. ==400400

5.3  Compenser pour calculer plus vite

Méthode — compenser dans une soustraction

Pour soustraire un nombre proche d'une dizaine ou d'une centaine, on arrondit ce nombre, on soustrait, puis on corrige le résultat.

Exemple — compenser
  1. 154−98154 - 98
  2. 154−98=154−100+2154 - 98 = 154 - 100 + 2on a enlevé 2 de trop, donc on les rend
  3. ==54+254 + 2
  4. ==5656
Attention

La calculatrice reste indispensable pour les grands nombres, mais elle ne remplace pas ta réflexion. Un élève qui calcule mentalement repère tout de suite une erreur ; un élève qui tape sans réfléchir peut valider n'importe quel résultat absurde.

Math & Co — Les tables babyloniennes

Il y a environ 3 800 ans, les scribes de Babylone gravaient déjà des tables de multiplication sur des tablettes d'argile, en écriture cunéiforme. Leur système comptait en base 6060 (et non en base 1010 comme nous), ce qui explique pourquoi une heure compte encore aujourd'hui 6060 minutes, et un cercle 360360 degrés !

Fiche mémo

  • Addition : termes + termes = somme. Soustraction : on enlève une partie au tout, résultat = différence. Multiplication : facteurs × facteurs = produit.
  • On pose les opérations en alignant les unités sous unités, et les virgules sous virgules.
  • Addition posée : on additionne colonne par colonne depuis la droite, on reporte la retenue à gauche dès qu'on dépasse 9.
  • Soustraction posée : le plus grand nombre en haut ; si besoin, on emprunte 1 à la colonne de gauche.
  • Multiplication posée à deux chiffres : on multiplie par les unités, puis par les dizaines (résultat décalé d'un rang), puis on additionne.
  • Un ordre de grandeur (nombres arrondis) permet de vérifier qu'un résultat est plausible avant de faire confiance à la calculatrice.
  • a×10a \times 10, ×100\times 100, ×1 000\times 1\,000 : la virgule avance de 11, 22, 33 rangs vers la droite.
  • a×0,1a \times 0{,}1, ×0,01\times 0{,}01 : la virgule recule de 11, 22 rangs vers la gauche (c'est diviser par 10, par 100).
  • Addition et multiplication sont commutatives et associatives ; la soustraction ne l'est pas.
  • Distributivité : a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b+c) = a\times b + a\times c — utile pour calculer de tête (8×99=800−88\times99 = 800-8).
  • Schéma parties-tout : tout − partie connue = partie manquante ; partie + partie = tout.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Pose et effectue l'addition 4 268+3 7544\,268 + 3\,754. Nomme les deux termes et la somme.

Voir le corrigé détaillé
  1. 4 268+3 7544\,268 + 3\,754
  2. unités : 8+4=128+4=12, on écrit 22, on retient 11
  3. dizaines : 6+5+1=126+5+1=12, on écrit 22, on retient 11
  4. centaines : 2+7+1=102+7+1=10, on écrit 00, on retient 11
  5. milliers : 4+3+1=84+3+1=8
  6. ==8 0228\,022

Les termes sont 4 2684\,268 et 3 7543\,754 ; la somme vaut 8 022\boldsymbol{8\,022}.

2

Pose et effectue la soustraction 812−465812 - 465.

Voir le corrigé détaillé
  1. unités : 2<52 < 5, on emprunte : 12−5=712-5=7
  2. dizaines : le 11 devient 00 ; 0<60 < 6, on emprunte : 10−6=410-6=4
  3. centaines : le 88 devient 77 ; 7−4=37-4=3
  4. ==347347

Vérification : 465+347=812465+347=812. Correct.

3

Pose et effectue 6,25+3,86{,}25 + 3{,}8.

Voir le corrigé détaillé
  1. on aligne les virgules : 6,256{,}25 et 3,803{,}80on complète avec un zéro
  2. centièmes : 5+0=55+0=5 ; dixièmes : 2+8=102+8=10, on écrit 00, on retient 11
  3. unités : 6+3+1=106+3+1=10
  4. ==10,0510{,}05
4

Pose et effectue 234×7234 \times 7.

Voir le corrigé détaillé
  1. unités : 4×7=284\times7=28, on écrit 88, on retient 22
  2. dizaines : 3×7=21+2=233\times7=21+2=23, on écrit 33, on retient 22
  3. centaines : 2×7=14+2=162\times7=14+2=16
  4. ==1 6381\,638
5

Donne un ordre de grandeur de 397+205397+205, puis calcule la valeur exacte.

Voir le corrigé détaillé
  1. on arrondit : 400+200400+200
  2. ≈\approx600600
  3. valeur exacte : 397+205397+205
  4. ==602602

602602 est bien proche de l'estimation 600600.

Niveau 2 — Approfondissement
6

Pose et effectue 428×34428 \times 34.

Voir le corrigé détaillé
  1. 428×4=1 712428 \times 4 = 1\,712multiplication par les unités
  2. 428×3=1 284428 \times 3 = 1\,284, décalé d'un rang : 12 84012\,840multiplication par les dizaines
  3. 1 712+12 8401\,712 + 12\,840
  4. ==14 55214\,552
7

Calcule sans poser : 56×1056 \times 10 ; 7,2×1007{,}2 \times 100 ; 0,9×0,10{,}9 \times 0{,}1.

Voir le corrigé détaillé
  1. 56×10=56056 \times 10 = 560virgule avance d'1 rang
  2. 7,2×100=7207{,}2 \times 100 = 720virgule avance de 2 rangs
  3. 0,9×0,1=0,090{,}9 \times 0{,}1 = 0{,}09virgule recule d'1 rang
8

Calcule astucieusement, en utilisant la distributivité : 12×9912 \times 99 puis 24×2524 \times 25.

Voir le corrigé détaillé
  1. 12×99=12×(100−1)12 \times 99 = 12 \times (100-1)
  2. ==1 200−12=1 1881\,200 - 12 = 1\,188
  3. 24×25=24×100÷424 \times 25 = 24 \times 100 \div 4
  4. ==2 400÷4=6002\,400 \div 4 = 600
9

Un fermier récolte 1 2401\,240 kg de mil et 875875 kg de maïs. Il vend 900900 kg au marché. Combien de kilogrammes de récolte lui reste-t-il ?

Voir le corrigé détaillé

On calcule d'abord le tout (la récolte totale), puis on enlève la partie vendue.

  1. récolte totale =1 240+875=1\,240+875
  2. ==2 1152\,115 kg
  3. reste =2 115−900=2\,115-900
  4. ==1 2151\,215 kg
Niveau 3 — Défi
10

Dans l'addition posée 5 ■ 2+278=8305\,\blacksquare\,2 + 278 = 830, un chiffre a été effacé (le ■, chiffre des dizaines). Retrouve ce chiffre.

Voir le corrigé détaillé

On note dd le chiffre effacé. Le premier terme vaut 500+10d+2500+10d+2.

  1. (500+10d+2)+278=830(500+10d+2)+278=830
  2. ⇒\Rightarrow780+10d=830780+10d=830
  3. ⇒\Rightarrow10d=5010d=50
  4. ⇒\Rightarrowd=5d=5

Le nombre effacé est 55. Vérification : 552+278=830552+278=830. Correct.

11

La somme de deux nombres entiers est 9696. Leur différence est 1414. Trouve ces deux nombres.

Voir le corrigé détaillé

Notons gg le plus grand nombre et pp le plus petit. On sait que g+p=96g+p=96 et g−p=14g-p=14.

  1. en additionnant les deux égalités : (g+p)+(g−p)=96+14(g+p)+(g-p)=96+14
  2. ⇒\Rightarrow2g=1102g=110
  3. ⇒\Rightarrowg=55g=55
  4. p=96−g=96−55p=96-g=96-55
  5. ==4141

Les deux nombres sont 5555 et 4141. Vérification : 55+41=9655+41=96 et 55−41=1455-41=14. Correct.

12
  1. Explique pourquoi, pour tout nombre aa, on a a×98=a×100−2×aa \times 98 = a \times 100 - 2 \times a.
  2. Utilise cette égalité pour calculer 37×9837 \times 98 de tête.
Voir le corrigé détaillé

1. Comme 98=100−298=100-2, la distributivité donne a×98=a×(100−2)=a×100−a×2a\times98=a\times(100-2)=a\times100-a\times2, c'est-à-dire a×100−2×aa\times100-2\times a.

2.

  1. 37×98=37×100−2×3737 \times 98 = 37 \times 100 - 2 \times 37
  2. ==3 700−743\,700 - 74
  3. ==3 6263\,626
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Au marché de Dakar, Fatou achète 33 kg de riz à 650650 F CFA le kg, 22 kg de sucre à 900900 F CFA le kg, et un poulet à 3 5003\,500 F CFA. Elle paie avec un billet de 10 00010\,000 F CFA. Quelle monnaie lui rend-on ?

Voir le corrigé détaillé
  1. riz =3×650=1 950=3\times650=1\,950 F
  2. sucre =2×900=1 800=2\times900=1\,800 F
  3. total des achats =1 950+1 800+3 500=1\,950+1\,800+3\,500
  4. ==7 2507\,250 F CFA
  5. monnaie =10 000−7 250=10\,000-7\,250
  6. ==2 7502\,750 F CFA
Paiement de Fatou au marché de Dakar Tout : billet de 10 000 F CFA Achats : 7 250 F Monnaie : 2 750 F billet − achats = monnaie rendue
Figure 6 — Le billet de 10 00010\,000 F CFA se partage en deux parties : les achats de Fatou et la monnaie qu'on lui rend.
14

Un car relie Abidjan à Bamako. Le billet coûte 15 00015\,000 F CFA par passager.

  1. Calcule le prix total pour un groupe de 2323 passagers.
  2. La compagnie propose une réduction de 45 00045\,000 F CFA pour ce groupe. Quel est le prix total après réduction ?
  3. Donne un ordre de grandeur du prix total avant réduction, pour vérifier le calcul du 1).
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 15 000×23=15 000×(20+3)15\,000 \times 23 = 15\,000 \times (20+3)
  2. ==300 000+45 000300\,000 + 45\,000
  3. ==345 000345\,000 F CFA

2.

  1. 345 000−45 000345\,000 - 45\,000
  2. ==300 000300\,000 F CFA

3. Ordre de grandeur : 15 000×20≈300 00015\,000 \times 20 \approx 300\,000 F CFA. On retrouve bien le bon ordre de grandeur (des centaines de milliers de francs), ce qui confirme le calcul du 1).

15

Pour la rentrée à Ndjamena, Moussa achète pour ses trois enfants : chacun a besoin d'un cartable à 8 5008\,500 F CFA et de 44 cahiers à 350350 F CFA l'unité.

  1. Calcule le coût pour un seul enfant.
  2. Calcule le coût total pour les trois enfants.
  3. Moussa dispose de 35 00035\,000 F CFA. Lui reste-t-il de l'argent, et si oui combien ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. cahiers =4×350=1 400=4\times350=1\,400 F
  2. coût d'un enfant =8 500+1 400=8\,500+1\,400
  3. ==9 9009\,900 F CFA

2.

  1. 9 900×39\,900 \times 3
  2. ==29 70029\,700 F CFA

3.

  1. 35 000−29 70035\,000-29\,700
  2. ==5 3005\,300 F CFA

Il reste 5 300\boldsymbol{5\,300} F CFA à Moussa.

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8 questions

Nombres décimaux et opérations

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans une addition, comment s'appelle le résultat ?

Explication : Dans une addition, les nombres additionnés s'appellent les termes, et le résultat s'appelle la somme.

Dans une soustraction, comment s'appelle le résultat ?

Explication : Le résultat d'une soustraction s'appelle la différence. Par exemple, 9−3=69-3=6 : 66 est la différence.

Dans une multiplication, comment s'appellent les nombres que l'on multiplie ?

Explication : Les nombres multipliés s'appellent les facteurs, et le résultat s'appelle le produit.

On sait que 8+5=138+5=13. Que vaut 5+85+8 ?

Explication : L'addition est commutative : changer l'ordre des termes ne change pas le résultat. 5+8=8+5=135+8 = 8+5 = 13.

Est-ce que 9−49-4 donne le même résultat que 4−94-9 ?

Explication : La soustraction n'est pas commutative : 9−4=59-4=5, mais 4−94-9 donne un nombre négatif, −5-5. Changer l'ordre change le résultat.

Calcule de tête : 28+1528 + 15.

Explication : 28+15=28+10+5=38+5=4328 + 15 = 28 + 10 + 5 = 38 + 5 = 43.

Calcule de tête : 52−2752 - 27.

Explication : 52−27=52−30+3=22+3=2552 - 27 = 52 - 30 + 3 = 22 + 3 = 25.

Pour poser la multiplication 34×2634 \times 26, après avoir multiplié par les unités (66), on multiplie par les dizaines (22). Ce deuxième résultat doit être :

Explication : Multiplier par le chiffre des dizaines revient à multiplier par un nombre dix fois plus grand : on décale donc le résultat d'un rang vers la gauche avant d'additionner les deux lignes.

Quel est un ordre de grandeur (une estimation rapide) de 49+3149 + 31 ?

Explication : On arrondit : 49≈5049 \approx 50 et 31≈3031 \approx 30, donc 50+30=8050+30=80. C'est un bon ordre de grandeur pour vérifier le calcul exact.

Un élève tape « 6×216 \times 21 » sur sa calculatrice et lit 12,612{,}6. Que peut-on en déduire ?

Explication : Un ordre de grandeur (6×20=1206 \times 20 = 120) montre tout de suite que 12,612{,}6 est faux : l'élève a sûrement fait une erreur de frappe (comme oublier un zéro).

Combien vaut 4,3×104{,}3 \times 10 ?

Explication : Multiplier par 1010 déplace la virgule d'un rang vers la droite : 4,3×10=434{,}3 \times 10 = 43.

Combien vaut 2,5×1002{,}5 \times 100 ?

Explication : Multiplier par 100100 déplace la virgule de deux rangs vers la droite : 2,5×100=2502{,}5 \times 100 = 250.

Combien vaut 60×0,160 \times 0{,}1 ?

Explication : Multiplier par 0,10{,}1, c'est diviser par 1010 : la virgule recule d'un rang vers la gauche. 60×0,1=660 \times 0{,}1 = 6.

Les nombres 5,25{,}2 et 5,205{,}20 sont-ils différents ?

Explication : Ajouter un zéro à la fin d'un nombre décimal ne le multiplie pas par 1010 : 5,25{,}2 et 5,205{,}20 représentent exactement le même nombre.

La propriété de distributivité dit que a×(b+c)a \times (b + c) est égal à :

Explication : La distributivité permet de répartir une multiplication sur chaque partie d'une somme : a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b+c) = a \times b + a \times c.

En utilisant 7×99=7×(100−1)7 \times 99 = 7 \times (100 - 1), calcule 7×997 \times 99 de tête.

Explication : 7×99=7×100−7×1=700−7=6937 \times 99 = 7 \times 100 - 7 \times 1 = 700 - 7 = 693.

Pour calculer 83−1983 - 19 de tête, on peut faire 83−20+183 - 20 + 1. Que vaut 83−1983 - 19 ?

Explication : On a enlevé 11 de trop en soustrayant 2020 au lieu de 1919 : il faut donc le rendre. 83−20+1=63+1=6483 - 20 + 1 = 63 + 1 = 64.

Un panier de fruits coûte 1 2001\,200 F CFA en tout. Les mangues coûtent 700700 F CFA, le reste est le prix des oranges. Quelle opération permet de trouver le prix des oranges, et quel est ce prix ?

Explication : On connaît le tout (1 2001\,200) et une partie (700700) : pour trouver l'autre partie, on fait tout − partie connue. 1 200−700=5001\,200 - 700 = 500 F CFA.

Amadou a 33 billets de 1 0001\,000 F CFA et 22 pièces de 500500 F CFA. Quelle somme possède-t-il en tout ?

Explication : 3×1 000=3 0003 \times 1\,000 = 3\,000 F CFA, et 2×500=1 0002 \times 500 = 1\,000 F CFA. Somme totale : 3 000+1 000=4 0003\,000 + 1\,000 = 4\,000 F CFA.

Un vendeur a 3 5003\,500 F CFA. Une vente lui rapporte 1 2001\,200 F CFA de plus, puis il dépense 800800 F CFA. Combien lui reste-t-il ?

Explication : D'abord une addition : 3 500+1 200=4 7003\,500 + 1\,200 = 4\,700 F CFA. Puis une soustraction : 4 700−800=3 9004\,700 - 800 = 3\,900 F CFA.
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