Nombres entiers et nombres décimaux

Lire, écrire, comparer et ranger les nombres entiers et décimaux, et les placer sur une droite graduée.

Mathématiques 6ème Chapitre 1 / 14 ⏱ 5 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Passer d'une écriture à une autre d'un même nombre
Placer et lire un nombre sur une droite graduée
Encadrer un décimal à l'unité, au dixième, au centième

Regarde autour de toi : le prix d'un sachet d'arachides au marché, la population d'une ville, ta taille en mètres, la distance entre deux villages… Tous ces nombres ne sont pas toujours des nombres « ronds ». Certains sont très grands, comme le nombre d'habitants d'un pays. D'autres ont une virgule, comme un prix ou une taille. Ce chapitre te donne les clés pour lire, écrire, comparer et placer tous ces nombres, entiers ou décimaux.

Tu utilises déjà les nombres entiers depuis longtemps : pour compter les élèves de ta classe, les jours du mois, les buts d'un match. Les nombres décimaux, eux, servent chaque fois qu'on a besoin de plus de précision qu'une simple unité : un prix en FCFA avec ses centimes, une température, la note d'un devoir.

Au collège, on va plus loin qu'à l'école primaire. Tu vas apprendre à lire des nombres avec beaucoup de chiffres (des millions !), à comprendre pourquoi la virgule fonctionne comme elle fonctionne, et à placer n'importe quel nombre décimal au bon endroit sur une droite graduée, sans te tromper.

1Numération de position et classes

Notre système d'écriture des nombres s'appelle le système décimal de position : il utilise seulement dix chiffres ( $0$ à $9$ ), et la position de chaque chiffre dans le nombre donne sa valeur.

1.1 Chiffres et nombres

Définition

Un chiffre est l'un des dix symboles $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . Un nombre s'écrit avec un ou plusieurs chiffres. Par exemple, $7$ est un chiffre et un nombre ; $47$ est un nombre à deux chiffres.

Dans un nombre, chaque chiffre occupe une position : unités, dizaines, centaines, milliers… Cette position lui donne sa valeur. C'est très différent d'un simple « rang » : le chiffre $5$ ne vaut pas la même chose dans $52$ et dans $250$ .

Propriété — valeur d'un chiffre selon sa position

Dans un nombre entier, chaque position vaut dix fois la position juste à sa droite : unités, puis dizaines ( $\times 10$ ), puis centaines ( $\times 10$ ), puis milliers ( $\times 10$ ), et ainsi de suite. On dit que notre numération est en base dix.

Exemple — la valeur d'un chiffre change avec sa position

dans $3\,247$ , le chiffre $2$ est à la position des centaines
$\Rightarrow$ il vaut $200$
dans $3\,247$ , le chiffre $4$ est à la position des dizaines
$\Rightarrow$ il vaut $40$

1.2 Les classes des grands nombres

Pour lire facilement un très grand nombre, on le sépare en tranches de trois chiffres, en partant de la droite. Chaque tranche s'appelle une classe. Dans chaque classe, on retrouve toujours le même schéma : centaines, dizaines, unités.

Définition — les classes

la classe des unités : de $0$ à $999$ ;
la classe des mille : de $1\,000$ à $999\,999$ ;
la classe des millions : de $1\,000\,000$ à $999\,999\,999$ .

Chaque classe contient trois positions : centaines, dizaines, unités (de cette classe). Entre deux classes, on laisse un petit espace à l'écrit : $12\,458\,930$ .

La distance moyenne entre la Terre et le Soleil est un excellent exemple de grand nombre à lire par classes.

Figure 1 — Tableau de numération : le grand nombre

149\,600\,000

réparti en trois classes de trois chiffres.

Méthode — lire un grand nombre

On sépare le nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite. On lit chaque tranche comme un petit nombre de trois chiffres, en ajoutant le nom de la classe (« mille », « millions »). On ne dit jamais « un mille » : on dit simplement « mille ».

Exemple — lire une population

La population d'une grande ville peut s'écrire $2\,850\,000$ habitants.

classe des millions : $2$ on lit « deux millions »
classe des mille : $850$ on lit « huit cent cinquante mille »
$\Rightarrow$ « deux millions huit cent cinquante mille habitants »

Attention

Ne saute jamais une classe vide : dans $4\,007\,215$ , la classe des mille contient $007$ , c'est-à-dire seulement sept. On lit « quatre millions sept mille deux cent quinze ». Les zéros de la classe des mille ne se voient pas dans la lecture, mais ils comptent dans l'écriture en chiffres : il ne faut pas écrire $4\,7\,215$ .

Math & Co — la naissance de nos chiffres

Les dix chiffres que tu utilises ( $0$ à $9$ ) sont nés en Inde, il y a environ $1\,500$ ans. Ce système est révolutionnaire pour une raison précise : il possède un chiffre pour zéro, ce qui permet d'écrire n'importe quel nombre, même très grand, avec seulement dix symboles et la position.

Vers l'an $800$ , le savant Al-Khwârizmî, qui travaille à Bagdad, décrit ce système dans un livre. Les commerçants et savants arabes le diffusent alors jusqu'en Europe. C'est pourquoi on parle de chiffres « arabo-indiens ». En $1202$ , le mathématicien italien Fibonacci publie le Liber Abaci, un livre qui popularise enfin ce système en Europe, à la place des chiffres romains $\text{I, V, X, L, C…}$ , bien plus difficiles pour calculer.

2Écritures d'un nombre décimal

Un nombre entier ne suffit pas toujours. Pour être plus précis — un prix, une taille, une distance parcourue — on utilise des nombres décimaux, c'est-à-dire des nombres avec une virgule.

2.1 Partie entière et partie décimale

Définition

Un nombre décimal s'écrit avec une partie entière (avant la virgule) et une partie décimale (après la virgule). Par exemple, dans $12{,}45$ : la partie entière est $12$ , la partie décimale est $45$ (on lit « quarante-cinq centièmes »).

Attention

La partie décimale de $12{,}45$ n'est pas le nombre $0{,}45$ tout seul, ni la fraction $\dfrac{45}{100}$ sans lien avec le reste : c'est une manière de lire les chiffres après la virgule. Ne confonds jamais « partie décimale » (les chiffres $45$ ) et « valeur de la partie décimale » ( $0{,}45$ ).

2.2 Fractions décimales et écriture décimale

Définition — fraction décimale

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est $10$ , $100$ , $1\,000$ … (une puissance de $10$ ). Tout nombre décimal peut s'écrire comme une somme de fractions décimales.

Exemple — d'une écriture à l'autre

$12{,}45 = 12 + \dfrac{4}{10} + \dfrac{5}{100}$ décomposition en fractions décimales
$=$ $12 + 0{,}4 + 0{,}05$ même décomposition, écriture décimale
$=$ $\dfrac{1\,245}{100}$ écriture en une seule fraction décimale

Exemple — reconnaître un nombre décimal

$3{,}5$ est décimal : sa partie décimale s'arrête (un seul chiffre après la virgule). $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ n'est pas décimal : ses chiffres après la virgule ne s'arrêtent jamais.

2.3 Tableau de numération décimale

Le principe des classes continue après la virgule, mais dans l'autre sens : chaque position vaut dix fois moins que celle juste à sa gauche.

Propriété — les positions après la virgule

1er rang après la virgule : les dixièmes ( $\dfrac{1}{10}$ ) ;
2e rang : les centièmes ( $\dfrac{1}{100}$ ) ;
3e rang : les millièmes ( $\dfrac{1}{1\,000}$ ).

Figure 2 — Tableau de numération décimale : la distance

42{,}195

km d'un marathon, chiffre par chiffre.

Exemple — décomposer un prix

Un cahier coûte $475{,}50$ FCFA.

partie entière : $475$ 4 centaines, 7 dizaines, 5 unités
partie décimale : $50$ 5 dixièmes, 0 centième
$\Rightarrow$ $475{,}50 = 400 + 70 + 5 + 0{,}5$

Démonstration — pourquoi

7{,}5 = 7{,}50

Dans le tableau de numération, $7{,}5$ a un $5$ au rang des dixièmes et rien de plus. Si on ajoute un $0$ au rang des centièmes, on ajoute $0$ centième, c'est-à-dire qu'on n'ajoute rien à la valeur du nombre. $7{,}5$ et $7{,}50$ représentent donc exactement la même quantité : $7$ unités et $5$ dixièmes.

Attention — le piège des zéros

Un zéro à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur : $3{,}20 = 3{,}2$ . Mais un zéro au milieu change tout : $3{,}02 \neq 3{,}2$ . Dans $3{,}02$ , le $2$ est un centième ; dans $3{,}2$ , le $2$ est un dixième, ce qui est dix fois plus grand.

3Demi-droite graduée

Une droite graduée permet de voir les nombres, entiers ou décimaux, les uns par rapport aux autres. C'est l'outil idéal pour comprendre ce que veut dire « être plus grand » ou « être entre deux nombres ».

3.1 Construire une graduation régulière

Définition

Une demi-droite graduée est une demi-droite sur laquelle on a choisi une origine (le point qui représente $0$ ) et une unité de longueur. On répète cette unité régulièrement pour placer les autres nombres.

Attention

Toutes les graduations doivent être régulièrement espacées : le même écart doit toujours représenter le même nombre. Une droite graduée « à la main », sans règle, où les écarts entre $0$ – $1$ et $1$ – $2$ ne sont pas égaux, est fausse : elle ne permet plus de comparer les nombres correctement.

3.2 Placer et lire un nombre décimal

Méthode — placer un décimal sur une droite graduée

Deux étapes suffisent toujours.

1. Repérer les deux entiers consécutifs entre lesquels se trouve le nombre.

2. Partager le segment entre ces deux entiers en $10$ parts égales (ou $100$ , selon la précision voulue), puis compter le bon nombre de parts.

Exemple — placer

3{,}2

$3{,}2$ est compris entre $3$ et $4$
on partage $[3\,;\,4]$ en $10$ parts égaleschaque part vaut un dixième
$\Rightarrow$ $3{,}2$ est à la $2^{\text{e}}$ graduation après $3$

Figure 3 — Trois points placés sur une demi-droite graduée : chaque dixième correspond à un dixième de l'écart entre deux entiers.

Exemple — lire l'abscisse d'un point

Sur la figure 3, le point B est situé entre les graduations $3$ et $4$ , exactement à $2$ petites graduations sur $10$ après $3$ . Son abscisse (le nombre qu'il représente) est donc $3{,}2$ .

4Comparaison, rangement, encadrement

Comparer deux nombres, c'est dire lequel est le plus grand. Avec des nombres décimaux, il faut être méthodique : ce n'est pas parce qu'un nombre a plus de chiffres après la virgule qu'il est plus grand !

4.1 Comparer deux nombres décimaux

Méthode — comparer deux décimaux

1. On compare d'abord les parties entières. La plus grande partie entière donne le plus grand nombre.

2. Si les parties entières sont égales, on complète les parties décimales avec des zéros pour qu'elles aient le même nombre de chiffres, puis on compare chiffre par chiffre, de gauche à droite.

Exemple — comparer

8{,}3

8{,}25

parties entières égales : $8 = 8$
$8{,}3 = 8{,}30$ on complète avec un zéro
on compare $30$ et $25$ centièmes
$\Rightarrow$ $8{,}30 > 8{,}25$ , donc $8{,}3 > 8{,}25$

Attention — le piège du « plus de chiffres »

$3{,}9$ est plus grand que $3{,}15$ , même si $3{,}15$ a plus de chiffres après la virgule ! On complète : $3{,}90$ contre $3{,}15$ . Au rang des dixièmes, $9 > 1$ : c'est terminé, $3{,}9 > 3{,}15$ . Le nombre de chiffres après la virgule ne dit rien sur la grandeur du nombre.

4.2 Ranger une liste de nombres

Définition

Ranger une liste de nombres, c'est les réécrire dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant (du plus grand au plus petit). Le symbole $<$ signifie « strictement inférieur à » (plus petit que).

Exemple — ranger dans l'ordre croissant

Range $7{,}2\ ;\ 7{,}08\ ;\ 7{,}8\ ;\ 6{,}99$ .

on compare les parties entières : $6$ puis $7$ $6{,}99$ est le seul avec partie entière $6$
on complète : $7{,}20\ ;\ 7{,}08\ ;\ 7{,}80$
$\Rightarrow$ $6{,}99 < 7{,}08 < 7{,}2 < 7{,}8$

4.3 Encadrer et intercaler

Définition

Encadrer un nombre, c'est trouver deux nombres entre lesquels il se situe : $a < x < b$ . Intercaler un nombre entre deux autres, c'est trouver un nombre compris strictement entre eux.

Exemple — encadrer

8{,}473

à l'unité : $8 < 8{,}473 < 9$
au dixième : $8{,}4 < 8{,}473 < 8{,}5$
au centième : $8{,}47 < 8{,}473 < 8{,}48$

Figure 4 — Encadrer

3{,}6

: d'abord entre deux entiers, puis en zoomant, entre deux dixièmes consécutifs.

Exemple — intercaler un nombre

Intercale un nombre décimal entre $3{,}4$ et $3{,}5$ .

$3{,}4 = 3{,}40$ et $3{,}5 = 3{,}50$
tout nombre $3{,}4x$ avec $x \neq 0$ convient
$\Rightarrow$ $3{,}4 < 3{,}45 < 3{,}5$

Math & Co — l'inventeur de la virgule décimale

En $1585$ , l'ingénieur flamand Simon Stevin publie un petit livre appelé La Disme (« le dixième »). Il y explique comment écrire et calculer avec des fractions décimales en utilisant une notation par position, ancêtre directe de notre virgule décimale actuelle.

Avant Stevin, les marchands et savants utilisaient surtout des fractions compliquées, difficiles à comparer entre elles. Grâce à sa méthode, comparer $3{,}9$ et $3{,}15$ devient un jeu d'enfant : plus besoin de chercher un dénominateur commun !

5Valeurs approchées et arrondis

On n'a pas toujours besoin — ni même la possibilité — d'utiliser un nombre avec tous ses chiffres. Un commerçant annonce un prix rond, un journaliste arrondit une population, un athlète connaît son temps au centième de seconde mais pas au millième. On utilise alors une valeur approchée.

5.1 Valeur approchée par défaut et par excès

Définition

Pour un rang donné (unité, dixième, centième…), la valeur approchée par défaut est la plus grande valeur, à ce rang, inférieure au nombre. La valeur approchée par excès est la plus petite valeur, à ce rang, supérieure au nombre. Ce sont exactement les deux bornes d'un encadrement.

Exemple — valeurs approchées de

8{,}473

au dixième

$8{,}4 < 8{,}473 < 8{,}5$
$\Rightarrow$ valeur approchée par défaut : $8{,}4$
$\Rightarrow$ valeur approchée par excès : $8{,}5$

5.2 Arrondir à l'unité, au dixième, au centième

Définition — arrondi

L'arrondi d'un nombre, à un rang donné, est la valeur approchée (par défaut ou par excès) la plus proche du nombre à ce rang.

Méthode — la règle de l'arrondi

On regarde le chiffre juste après le rang choisi.

si ce chiffre est $0, 1, 2, 3$ ou $4$ : on garde le chiffre du rang choisi (arrondi par défaut) ;
si ce chiffre est $5, 6, 7, 8$ ou $9$ : on augmente de 1 le chiffre du rang choisi (arrondi par excès).

Dans les deux cas, on supprime ensuite tous les chiffres après ce rang.

Exemple — arrondir

8{,}473

à l'unité : chiffre suivant $4 < 5$ le chiffre des dixièmes est 4
$\Rightarrow$ $8{,}473 \approx 8$
au dixième : chiffre suivant $7 \geqslant 5$ le chiffre des centièmes est 7
$\Rightarrow$ $8{,}473 \approx 8{,}5$
au centième : chiffre suivant $3 < 5$ le chiffre des millièmes est 3
$\Rightarrow$ $8{,}473 \approx 8{,}47$

Figure 5 — Arrondir un prix à la centaine de FCFA la plus proche :

2\,380

FCFA se trouve entre

2\,300

2\,400

, plus près de

2\,400

Attention — le cas du chiffre 5 exact

Quand le chiffre suivant est exactement 5 (et rien après), les deux valeurs approchées sont à égale distance du nombre. Par convention, en mathématiques, on arrondit alors toujours vers le haut : $2{,}5$ arrondi à l'unité donne $3$ , pas $2$ .

Math & Co — une valeur approchée dans l'histoire : le mètre

En $1795$ , les savants français décident de créer une unité de longueur universelle : le mètre. Ils le définissent comme la dix-millionième partie de la distance entre le pôle Nord et l'équateur, mesurée le long d'un méridien passant par Paris.

Pour trouver cette distance, les astronomes Delambre et Méchain passent plusieurs années, de $1792$ à $1798$ , à mesurer un morceau de méridien entre Dunkerque et Barcelone, à l'aide d'instruments de visée. Leur résultat n'était bien sûr qu'une valeur approchée : les mesures suivantes, plus précises, ont légèrement corrigé la longueur du mètre. Aujourd'hui encore, toute mesure physique reste une valeur approchée, plus ou moins précise selon l'instrument utilisé.

Fiche mémo

Un chiffre a une valeur qui dépend de sa position : unités, dizaines, centaines… (chaque rang $\times 10$ le suivant).
Grands nombres : on lit par classes de $3$ chiffres (unités, mille, millions), en partant de la droite.
Nombre décimal = partie entière + partie décimale : $12{,}45 = 12 + 0{,}4 + 0{,}05$ .
Après la virgule : dixièmes ( $\frac{1}{10}$ ), centièmes ( $\frac{1}{100}$ ), millièmes ( $\frac{1}{1\,000}$ ).
Zéro final inutile : $3{,}20 = 3{,}2$ . Zéro au milieu essentiel : $3{,}02 \neq 3{,}2$ .
Droite graduée : origine $0$ , unité fixée, graduations toujours régulières.
Pour placer un décimal : encadrer par deux entiers, puis partager en $10$ parts égales.
Comparer : parties entières d'abord ; sinon, compléter les décimales avec des zéros et comparer chiffre à chiffre.
Encadrer : $a < x < b$ . Intercaler : trouver un nombre entre deux autres. Ranger : ordre croissant ou décroissant.
Valeur approchée par défaut $\leqslant$ nombre $\leqslant$ valeur approchée par excès.
Arrondir : chiffre suivant $< 5$ → on garde ; chiffre suivant $\geqslant 5$ → on augmente de $1$ .

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Écris en chiffres : a) trois millions quatre cent mille deux cent six ; b) quatre-vingt-douze mille sept.

Voir le corrigé détaillé

a) classe des millions : $3$
classe des mille : $400$
classe des unités : $206$
$\Rightarrow$ $3\,400\,206$

b) classe des mille : $92$
classe des unités : $007$ « sept », mais il faut trois chiffres dans la classe
$\Rightarrow$ $92\,007$

Décompose en sommes de fractions décimales, puis en écriture décimale : a) $5{,}63$ ; b) $128{,}047$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $5{,}63 = 5 + \dfrac{6}{10} + \dfrac{3}{100}$
$=$ $5 + 0{,}6 + 0{,}03$

b) $128{,}047 = 128 + \dfrac{0}{10} + \dfrac{4}{100} + \dfrac{7}{1\,000}$
$=$ $128 + 0{,}04 + 0{,}007$

Compare avec $<$ , $>$ ou $=$ : a) $7{,}3$ et $7{,}30$ ; b) $4{,}08$ et $4{,}8$ ; c) $15{,}2$ et $15{,}19$ ; d) $0{,}6$ et $0{,}60$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $7{,}3 = 7{,}30$ un zéro final ne change rien
b) $4{,}08 < 4{,}8$ $4{,}8 = 4{,}80$ ; au rang des dixièmes, $0 < 8$
c) $15{,}2 > 15{,}19$ $15{,}2 = 15{,}20$ ; au rang des centièmes, $20 > 19$
d) $0{,}6 = 0{,}60$

Range dans l'ordre croissant : $9{,}05\ ;\ 9{,}5\ ;\ 9{,}15\ ;\ 8{,}99\ ;\ 9{,}50$ .

Voir le corrigé détaillé

On complète toutes les parties décimales sur deux chiffres pour comparer plus facilement.

$9{,}05\ ;\ 9{,}50\ ;\ 9{,}15\ ;\ 8{,}99\ ;\ 9{,}50$
on remarque que $9{,}5 = 9{,}50$ c'est le même nombre écrit deux fois
$\Rightarrow$ $8{,}99 < 9{,}05 < 9{,}15 < 9{,}5 = 9{,}50$

Arrondis chaque nombre au rang indiqué : a) $6{,}47$ (unité) ; b) $12{,}352$ (dixième) ; c) $5{,}231$ (centième) ; d) $0{,}08$ (dixième).

Voir le corrigé détaillé

a) chiffre suivant : $4 < 5$
$\Rightarrow$ $6{,}47 \approx 6$
b) chiffre suivant : $5 \geqslant 5$
$\Rightarrow$ $12{,}352 \approx 12{,}4$
c) chiffre suivant : $1 < 5$
$\Rightarrow$ $5{,}231 \approx 5{,}23$
d) chiffre suivant : $8 \geqslant 5$
$\Rightarrow$ $0{,}08 \approx 0{,}1$

Niveau 2 — Approfondissement

Un nombre s'écrit avec $3$ centaines, $0$ dizaine, $5$ unités, $2$ dixièmes et $7$ centièmes. Quel est ce nombre ?

Voir le corrigé détaillé

partie entière : $300 + 0 + 5 = 305$
partie décimale : $0{,}2 + 0{,}07 = 0{,}27$
$\Rightarrow$ le nombre est $305{,}27$

Sur le chemin de l'école, des bornes indiquent $0{,}5$ km, $1{,}8$ km, $2{,}3$ km et $3{,}6$ km depuis le village. Place ces quatre distances sur une droite graduée de $0$ à $4$ , puis range-les dans l'ordre croissant.

Voir le corrigé détaillé

Figure 6 — Les quatre bornes kilométriques placées sur la droite graduée.

Les quatre distances sont déjà données dans l'ordre croissant :

$0{,}5 < 1{,}8 < 2{,}3 < 3{,}6$

Range dans l'ordre décroissant : $7 + \dfrac{3}{10}\ ;\ 7{,}25\ ;$ sept unités et quarante centièmes $;\ 7 + \dfrac{1}{100}$ .

Voir le corrigé détaillé

On convertit d'abord chaque écriture en nombre décimal.

$7 + \dfrac{3}{10} = 7{,}30$
$7{,}25 = 7{,}25$
sept unités et quarante centièmes $= 7{,}40$
$7 + \dfrac{1}{100} = 7{,}01$
$\Rightarrow$ $7{,}40 > 7{,}30 > 7{,}25 > 7{,}01$

Trouve trois nombres décimaux différents compris entre $6{,}7$ et $6{,}8$ , dont l'un a exactement trois chiffres après la virgule.

Voir le corrigé détaillé

$6{,}7 = 6{,}700$ et $6{,}8 = 6{,}800$
on choisit par exemple $6{,}72\ ;\ 6{,}75\ ;\ 6{,}791$
$\Rightarrow$ $6{,}7 < 6{,}72 < 6{,}75 < 6{,}791 < 6{,}8$

Niveau 3 — Défi

Liste tous les nombres décimaux ayant exactement deux chiffres après la virgule, strictement compris entre $3{,}1$ et $3{,}2$ .
Existe-t-il d'autres nombres décimaux entre $3{,}1$ et $3{,}2$ , qui n'ont pas exactement deux chiffres après la virgule ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. On écrit $3{,}1 = 3{,}10$ et $3{,}2 = 3{,}20$ . Les centièmes possibles vont de $11$ à $19$ .

$3{,}11\ ;\ 3{,}12\ ;\ 3{,}13\ ;\ 3{,}14\ ;\ 3{,}15\ ;\ 3{,}16\ ;\ 3{,}17\ ;\ 3{,}18\ ;\ 3{,}19$
$\Rightarrow$ il y en a exactement $9$

2. Oui : par exemple $3{,}105$ (trois chiffres après la virgule) ou $3{,}111\,1$ sont aussi entre $3{,}1$ et $3{,}2$ . En fait, entre deux nombres décimaux différents, on peut toujours en trouver un autre : il en existe une infinité, pas seulement les $9$ que l'on a listés.

Avec les chiffres $0$ , $3$ , $5$ , $8$ (chacun utilisé une seule fois), forme le plus grand nombre décimal possible ayant deux chiffres avant la virgule et deux chiffres après (le nombre ne doit pas commencer par $0$ ). Forme ensuite le plus petit.

Voir le corrigé détaillé

Pour le plus grand, on place les chiffres les plus grands en premier ; pour le plus petit, le contraire, sans jamais commencer par $0$ .

plus grand : dizaines $8$ , unités $5$ , puis $3$ et $0$
$\Rightarrow$ $85{,}30$
plus petit : dizaines $3$ le plus petit chiffre non nul disponible
unités $0$ , puis $5$ et $8$
$\Rightarrow$ $30{,}58$

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. a) $3{,}995$ arrondi au centième est égal à $4{,}00$ . b) $0{,}7 > 0{,}70$ . c) Il n'existe aucun nombre décimal entre $2{,}1$ et $2{,}2$ . d) Pour comparer $12{,}5$ et $9{,}99$ , il suffit de comparer les parties entières.

Voir le corrigé détaillé

a) Vrai. Le chiffre des millièmes est $5 \geqslant 5$ : on augmente le chiffre des centièmes, $9$ , de $1$ . Mais $9+1=10$ : le centième « déborde » sur le dixième, qui déborde à son tour sur l'unité. On obtient $4{,}00$ .

b) Faux. $0{,}70$ a simplement un zéro final inutile : $0{,}7 = 0{,}70$ .

c) Faux. Par exemple $2{,}15$ est strictement compris entre $2{,}1$ et $2{,}2$ .

d) Vrai. $12 > 9$ , donc $12{,}5 > 9{,}99$ , quelle que soit la partie décimale.

Le nombre mystère. Je suis un nombre décimal. Mon arrondi à l'unité est $6$ . Mon arrondi au dixième est $6{,}4$ . Mon chiffre des centièmes est $3$ , et je n'ai aucun autre chiffre après. Qui suis-je ?

Voir le corrigé détaillé

Le chiffre des centièmes est $3$ et rien après : le nombre s'écrit $6{,}4\_3$ , où le tiret est le chiffre des dixièmes que l'on cherche.

arrondi au dixième $= 6{,}4$ le chiffre des centièmes, $3$ , est $< 5$ : l'arrondi confirme le dixième $4$
$\Rightarrow$ le chiffre des dixièmes est $4$
arrondi à l'unité $= 6$ cohérent, car $4 < 5$
$\Rightarrow$ le nombre mystère est $6{,}43$

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Au marché de Sandaga (Dakar). Trois vendeuses annoncent le même sac de riz à des prix différents : $12\,450$ FCFA, $12\,399$ FCFA et $12\,500$ FCFA.

Range ces prix du moins cher au plus cher.
Arrondis chaque prix à la centaine de FCFA la plus proche.
Quel est le prix le plus avantageux pour l'acheteur ? L'arrondi peut-il induire en erreur ?

Voir le corrigé détaillé

$12\,399 < 12\,450 < 12\,500$

$12\,399$ : chiffre des dizaines $9 \geqslant 5$
$\Rightarrow$ arrondi $\approx 12\,400$ FCFA
$12\,450$ : chiffre des dizaines $5 \geqslant 5$
$\Rightarrow$ arrondi $\approx 12\,500$ FCFA
$12\,500$
$\Rightarrow$ déjà une centaine ronde : $12\,500$ FCFA

3. Le prix réellement le plus avantageux est $12\,399$ FCFA, la plus petite valeur exacte. Attention : une fois arrondi à $12\,400$ , ce prix ressemble presque à celui de $12\,450$ arrondi à $12\,500$ — l'arrondi ne doit jamais remplacer le vrai prix au moment de payer !

Taxi-brousse Abéché–Ndjamena. Un trajet en taxi-brousse mesure environ $763{,}4$ km.

Encadre cette distance à l'unité, puis donne ses deux dixièmes voisins.
Le chauffeur affirme avoir parcouru « environ $760$ km ». Vérifie son affirmation en arrondissant $763{,}4$ à la dizaine de kilomètres la plus proche.

Voir le corrigé détaillé

à l'unité : $763 < 763{,}4 < 764$
dixièmes voisins : $763{,}3$ et $763{,}5$

chiffre des unités de $763{,}4$ : $3 < 5$
$\Rightarrow$ $763{,}4 \approx 760$ km à la dizaine près

Le chauffeur a raison : son estimation correspond exactement à l'arrondi à la dizaine de kilomètres.

Recharge téléphonique. À Bamako, une recharge coûte $1\,480$ FCFA. À Douala, la même recharge coûte $1\,450$ FCFA après une remise.

Compare les deux prix.
Arrondis chacun des deux prix à la centaine de FCFA la plus proche. Que remarques-tu ?
Calcule l'économie réelle, en FCFA, si Fatou achète sa recharge à Douala plutôt qu'à Bamako.

Voir le corrigé détaillé

$1\,450 < 1\,480$
$\Rightarrow$ Douala est moins cher

$1\,480$ : chiffre des dizaines $8 \geqslant 5$ $\Rightarrow 1\,500$ FCFA
$1\,450$ : chiffre des dizaines $5 \geqslant 5$ $\Rightarrow 1\,500$ FCFA

Les deux prix ont le même arrondi, $1\,500$ FCFA, alors qu'ils sont réellement différents : l'arrondi cache ici une vraie différence de prix.

économie $= 1\,480 - 1\,450$
$=$ $30$ FCFA

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8 questions

Nombres décimaux et opérations

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Dans le nombre $3\,247$ , le chiffre $2$ est à la position des centaines. Quelle est sa valeur ?

2

200

20

2\,000

Explication : Dans un nombre entier, la position d'un chiffre donne sa valeur. Le chiffre 2 est à la position des centaines : il vaut donc 200.

Pour lire un grand nombre, on le sépare en tranches à partir de la droite. Combien de chiffres compte chaque tranche (chaque classe) ?

2

4

3

5

Explication : Pour lire un grand nombre, on le sépare en tranches de trois chiffres, en partant de la droite. Chaque tranche s'appelle une classe.

La population d'une ville s'écrit $2\,850\,000$ habitants. Comment se lit ce nombre ?

deux millions huit cent cinquante mille vingt-huit millions cinq mille deux cent quatre-vingt-cinq mille deux millions huit cent cinquante

Explication : Classe des millions : 2, on lit « deux millions ». Classe des mille : 850, on lit « huit cent cinquante mille ».

Dans le nombre décimal $12{,}45$ , quelle est la partie entière ?

45

0{,}45

1245

12

Explication : Un nombre décimal a une partie entière (avant la virgule) et une partie décimale (après la virgule). Dans 12,45, la partie entière est 12.

Après la virgule, quel est le nom du premier rang, juste après la virgule ?

les centièmes les dixièmes les millièmes les dizaines

Explication : Le premier rang après la virgule est celui des dixièmes (

\dfrac{1}{10}

), puis viennent les centièmes, puis les millièmes.

Les nombres $3{,}20$ et $3{,}2$ représentent-ils la même quantité ?

non,

3{,}20

est plus grand non,

3{,}2

est plus grand oui, un zéro final ne change pas la valeur on ne peut pas savoir

Explication : Un zéro à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre :

3{,}20 = 3{,}2

Les nombres $3{,}02$ et $3{,}2$ sont-ils égaux ?

non, dans 3,02 le chiffre 2 est un centième, dans 3,2 c'est un dixième oui, ce sont les mêmes chiffres oui, un zéro ne change jamais rien non, car

3{,}02

est plus grand

Explication : Un zéro au milieu de la partie décimale change tout. Dans 3,02, le 2 est un centième ; dans 3,2, le 2 est un dixième, dix fois plus grand.

3{,}02 \neq 3{,}2

Pour placer un nombre décimal sur une droite graduée, que doit-on vérifier sur les graduations ?

elles peuvent être espacées n'importe comment elles doivent toutes être des nombres entiers elles doivent être régulièrement espacées il n'y a pas besoin d'unité

Explication : Toutes les graduations doivent être régulièrement espacées : le même écart doit toujours représenter le même nombre.

Sur une droite graduée, un point B est situé entre les graduations 3 et 4, exactement à 2 petites graduations sur 10 après 3. Quelle est son abscisse ?

3{,}4

3{,}2

2{,}3

4{,}2

Explication : On partage l'écart entre 3 et 4 en 10 parts égales (des dixièmes). À 2 graduations après 3, on obtient l'abscisse

3{,}2

Entre $8{,}3$ et $8{,}25$ , lequel est le plus grand ?

8{,}25

, car il a plus de chiffres ils sont égaux on ne peut pas comparer

8{,}3

, car

8{,}30 > 8{,}25

Explication : On complète :

8{,}3 = 8{,}30

. On compare 30 et 25 centièmes :

30 > 25

, donc

8{,}3 > 8{,}25

Entre $3{,}9$ et $3{,}15$ , lequel est le plus grand ?

3{,}15

, car il a plus de chiffres après la virgule ils sont égaux

3{,}9

, car au rang des dixièmes,

9 > 1

on ne peut pas savoir sans calculette

Explication : On complète :

3{,}90

contre

3{,}15

. Au rang des dixièmes,

9 > 1

3{,}9 > 3{,}15

. Le nombre de chiffres après la virgule ne dit rien sur la grandeur du nombre.

Range dans l'ordre croissant : $7{,}2\ ;\ 7{,}08\ ;\ 7{,}8\ ;\ 6{,}99$ .

6{,}99 < 7{,}08 < 7{,}2 < 7{,}8

6{,}99 < 7{,}2 < 7{,}08 < 7{,}8

7{,}8 < 7{,}2 < 7{,}08 < 6{,}99

7{,}08 < 6{,}99 < 7{,}2 < 7{,}8

Explication : On compare d'abord les parties entières : 6 puis 7. Puis on complète :

7{,}20\ ;\ 7{,}08\ ;\ 7{,}80

. On obtient

6{,}99 < 7{,}08 < 7{,}2 < 7{,}8

Encadrer un nombre, c'est :

l'arrondir au chiffre le plus proche trouver deux nombres entre lesquels il se situe le multiplier par 10 trouver sa partie décimale

Explication : Encadrer un nombre, c'est trouver deux nombres

a

b

tels que

a < x < b

Encadre $8{,}473$ à l'unité près.

8{,}4 < 8{,}473 < 8{,}5

8{,}47 < 8{,}473 < 8{,}48

8 < 8{,}473 < 9

7 < 8{,}473 < 8

Explication : À l'unité près, on cherche les deux entiers consécutifs qui encadrent le nombre :

8 < 8{,}473 < 9

Pour arrondir un nombre à un rang donné, on regarde le chiffre juste après ce rang. Si ce chiffre vaut $6$ , que fait-on ?

on garde le chiffre du rang choisi tel quel on supprime tout le nombre on ne peut pas arrondir on augmente de 1 le chiffre du rang choisi

Explication : Si le chiffre suivant est 5, 6, 7, 8 ou 9, on augmente de 1 le chiffre du rang choisi (arrondi par excès).

Arrondis $8{,}473$ au dixième près.

8{,}5

8{,}4

8{,}47

9

Explication : Le chiffre des centièmes est 7, donc

\geqslant 5

: on augmente le chiffre des dixièmes (4) de 1.

8{,}473 \approx 8{,}5

Quand le chiffre suivant est exactement 5 (et rien après), dans quel sens arrondit-on, par convention ?

on arrondit toujours vers le bas cela dépend du nombre on arrondit toujours vers le haut on ne peut pas arrondir dans ce cas

Explication : Par convention, en mathématiques, quand le chiffre suivant est exactement 5, on arrondit toujours vers le haut :

2{,}5

arrondi à l'unité donne 3, pas 2.

Un cahier coûte $475{,}50$ FCFA. Trois vendeuses annoncent un sac de riz à $12\,450$ , $12\,399$ et $12\,500$ FCFA. Quel est le prix le moins cher ?

12\,500

FCFA

12\,399

FCFA

12\,450

FCFA ils sont tous égaux

Explication : En comparant les trois prix :

12\,399 < 12\,450 < 12\,500

. Le prix le moins cher est

12\,399

FCFA.

Un trajet en taxi-brousse mesure environ $763{,}4$ km. Le chauffeur affirme avoir parcouru « environ 760 km ». Arrondi à la dizaine de kilomètres, a-t-il raison ?

non, l'arrondi est

770

km non, l'arrondi est

800

km on ne peut pas savoir oui, l'arrondi à la dizaine est bien

760

Explication : Le chiffre des unités de

763{,}4

est 3, donc

< 5

: on garde la dizaine.

763{,}4 \approx 760

km. Le chauffeur a raison.

À Bamako, une recharge coûte $1\,480$ FCFA. À Douala, la même recharge coûte $1\,450$ FCFA. Quelle est l'économie réelle si on l'achète à Douala ?

0

FCFA, les deux prix ont le même arrondi

30

FCFA

50

FCFA

100

FCFA

Explication : L'économie réelle se calcule sur les vrais prix, pas sur leurs arrondis.

1\,480 - 1\,450 = 30

FCFA.

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En bref

Classe : Classe de Sixième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 5 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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