Division euclidienne et division décimale

Comprendre la division, ses deux formes, et l'utiliser pour résoudre des problèmes concrets.

Mathématiques 6ème Chapitre 3 / 14 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Poser une division et interpréter le reste
Reconnaître un multiple ou un diviseur
Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10

Tu as déjà partagé des bonbons entre amis, ou rangé des œufs dans une boîte de six. Sans le savoir, tu faisais déjà de la division ! Ce chapitre te donne les mots justes et la méthode pour la maîtriser complètement.

Il existe deux sortes de divisions. La division euclidienne s'arrête sur un nombre entier et laisse parfois un reste. La division décimale continue après la virgule, pour obtenir un résultat plus précis, exact ou approché.

Tu vas apprendre à poser une division, à reconnaître si un nombre en divise un autre sans calcul grâce à des astuces appelées « critères de divisibilité », puis à résoudre de vrais problèmes de partage : à la maison, à l'école, ou au marché.

Prends ton temps, pose bien tes calculs, et vérifie toujours ton résultat. C'est la meilleure façon de ne plus jamais te tromper.

1Division euclidienne : quotient et reste

Imagine que tu as 17 billes et 5 amis. Tu veux donner le même nombre de billes à chacun. Combien chaque ami reçoit-il ? Et que se passe-t-il s'il en reste ?

1.1 Le vocabulaire de la division

Définition

Effectuer la division euclidienne d'un nombre $a$ (le dividende) par un nombre $b$ non nul (le diviseur), c'est trouver deux nombres entiers, le quotient $q$ et le reste $r$ , tels que :

$a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant r < b$

Le reste $r$ doit toujours être strictement plus petit que le diviseur $b$ . Sinon, on pourrait encore partager une fois de plus !

Exemple — partager 17 billes entre 5 amis

Chaque ami reçoit 3 billes. Il reste 2 billes qu'on ne peut pas partager également.

dividende $a = 17$ , diviseur $b = 5$
$17 = 5 \times 3 + 2$
quotient $q = 3$ , reste $r = 2$ on vérifie bien $2 < 5$

Figure 2 — 17 billes partagées entre 5 enfants : chacun reçoit 3 billes, il en reste 2 qu'on ne peut pas partager davantage.

Attention

Le reste ne peut jamais être plus grand ou égal au diviseur. Si tu trouves un reste de $6$ pour une division par $5$ , tu t'es trompé quelque part : il faut continuer à partager !

1.2 Poser une division euclidienne

Méthode — poser et effectuer une division

On travaille chiffre par chiffre, de gauche à droite. À chaque étape :

on regarde le nombre déjà formé ;
on cherche combien de fois le diviseur y entre, sans dépasser ;
on multiplie, puis on soustrait pour trouver un reste partiel ;
on abaisse le chiffre suivant du dividende, et on recommence.

On s'arrête quand tous les chiffres du dividende ont été abaissés : le dernier reste obtenu est le reste final.

Figure 1 — Poser la division de 537 par 4 : à chaque étape, on multiplie, on soustrait, puis on abaisse le chiffre suivant.

Exemple — vérifier la division posée ci-dessus

dividende $537$ , diviseur $4$
quotient $134$ , reste $1$
$4 \times 134 = 536$
$\Rightarrow$ $536 + 1 = 537$ on retrouve bien le dividende

Entraîne-toi avec un autre exemple, sans la figure cette fois : pose $456 \div 7$ .

$7 \times 65 = 455$
$456 - 455 = 1$
$\Rightarrow$ $456 = 7 \times 65 + 1$ quotient $65$ , reste $1$ , et $1 < 7$

Math & Co — Pourquoi « euclidienne » ?

Ce mot vient du savant grec Euclide, qui a vécu à Alexandrie, en Égypte, vers -300. Dans son livre Les Éléments, en treize volumes, il rassemble tout ce que les Grecs savaient en mathématiques.

Dans le Livre VII, Euclide étudie précisément les nombres entiers, leurs diviseurs et leurs restes. C'est en son honneur que l'on appelle aujourd'hui cette division « euclidienne » : elle date de plus de deux mille trois cents ans, et elle fonctionne toujours exactement de la même façon !

2Multiples et diviseurs

Quand le reste d'une division vaut $0$ , il se passe quelque chose de particulier : le partage tombe juste, sans rien qui reste. On dit alors que les deux nombres sont liés par une relation de multiple et de diviseur.

2.1 Multiples d'un nombre

Définition

Un nombre $m$ est un multiple d'un nombre $a$ s'il existe un nombre entier $k$ tel que $m = a \times k$ . Autrement dit, $m$ est obtenu en comptant par bonds de $a$ , à partir de $0$ .

Exemple — les multiples de 6

On compte de 6 en 6, à partir de 0 :

$0,\ 6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30,\ 36,\ 42,\ \dots$

Cette liste n'a pas de fin : il existe une infinité de multiples de 6.

Méthode — tester si un nombre est multiple d'un autre

On effectue la division euclidienne. Si le reste vaut 0, le nombre est un multiple. Sinon, non.

$84 = 6 \times 14 + 0$
$\Rightarrow$ $84$ est un multiple de $6$ reste nul

2.2 Diviseurs d'un nombre

Définition

Un nombre $d$ est un diviseur d'un nombre $n$ si la division de $n$ par $d$ tombe juste, avec un reste nul. On dit aussi que $n$ est divisible par $d$ .

Exemple — les diviseurs de 24

On teste chaque nombre entier, à partir de 1, jusqu'à trouver toutes les paires :

$1 \times 24,\quad 2 \times 12,\quad 3 \times 8,\quad 4 \times 6$

Les diviseurs de $24$ sont donc : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$ . Il y en a $8$ . Le plus petit est toujours $1$ , le plus grand est toujours le nombre lui-même.

Propriété

Dire « $d$ est un diviseur de $n$ » et dire « $n$ est un multiple de $d$ » sont deux façons de dire la même chose.

Démonstration

Si $d$ est un diviseur de $n$ , alors $n = d \times q$ avec un reste nul, pour un certain entier $q$ . Mais l'écriture $n = d \times q$ signifie justement que $n$ est un multiple de $d$ : c'est exactement la définition du multiple, avec $k = q$ . Le raisonnement fonctionne aussi dans l'autre sens : c'est bien la même relation, vue sous deux angles différents.

Attention

$1$ est diviseur de tous les nombres. Et tout nombre est diviseur de lui-même. Ne les oublie pas quand tu dresses une liste de diviseurs !

3Critères de divisibilité

Faut-il toujours poser une division pour savoir si un nombre en divise un autre ? Non ! Il existe des astuces rapides, appelées critères de divisibilité. Elles se lisent directement sur les chiffres du nombre, sans aucun calcul long.

3.1 Divisible par 2, 5 et 10 : le dernier chiffre

Propriété

Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ .
Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ .
Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$ .

Exemple — tester 348 et 675

$348$ se termine par $8$ : il est divisible par $2$ , mais pas par $5$ ni par $10$ .

$675$ se termine par $5$ : il est divisible par $5$ , mais pas par $2$ (il est impair) ni par $10$ .

3.2 Divisible par 3 et 9 : la somme des chiffres

Propriété

Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$ .
Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9$ .

Exemple — tester 315 et 1 470

$315$ : $3 + 1 + 5 = 9$
$\Rightarrow$ $9$ est un multiple de $3$ et de $9$ donc $315$ est divisible par $3$ et par $9$
$1\,470$ : $1 + 4 + 7 + 0 = 12$
$\Rightarrow$ $12$ est un multiple de $3$ , mais pas de $9$ $1\,470$ est divisible par $3$ , pas par $9$

Démonstration — idée du critère de 9

Pourquoi la somme des chiffres fonctionne-t-elle ? Regarde : $10 = 9 + 1$ , et $100 = 99 + 1$ . Chaque « paquet » de dizaines, de centaines… est un multiple de $9$ , plus 1. Un nombre comme $315$ s'écrit $3 \times 100 + 1 \times 10 + 5$ . En remplaçant $100$ et $10$ par « multiple de 9, plus 1 », il ne reste, une fois les multiples de 9 mis de côté, que la somme des chiffres $3+1+5$ . C'est pour cela que tester la divisibilité par 9 du nombre revient à tester celle de la somme de ses chiffres.

Math & Co — L'algorithme venu de Bagdad

Vers 820, à Bagdad, le savant Al-Khwârizmî travaille à la Maison de la Sagesse, une grande bibliothèque fondée par le calife al-Ma'mûn. Il écrit un traité de calcul qui explique, étape par étape, comment poser les opérations avec les chiffres indiens (ceux que nous utilisons encore aujourd'hui !).

Son nom, déformé en latin, a donné le mot « algorithme » : une suite précise d'étapes à suivre pour résoudre un problème. C'est exactement ce que tu fais quand tu poses une division ! En 1202, le mathématicien italien Fibonacci fait connaître ces méthodes de calcul à toute l'Europe, dans son livre Liber Abaci.

3.3 Combiner plusieurs critères

Méthode — tester la divisibilité par 6

$6 = 2 \times 3$ . Un nombre est divisible par $6$ s'il est à la fois divisible par $2$ et par $3$ . Il faut vérifier les deux conditions, pas une seule !

Exemple — 234 est-il divisible par 6 ?

$234$ se termine par $4$ divisible par 2
$2 + 3 + 4 = 9$ multiple de 3, donc divisible par 3
$\Rightarrow$ $234$ est divisible par $2$ et par $3$ , donc par $6$

Diviseur	Critère	Exemple
$2$	dernier chiffre $0,2,4,6,8$	$348$
$5$	dernier chiffre $0$ ou $5$	$675$
$10$	dernier chiffre $0$	$920$
$3$	somme des chiffres multiple de $3$	$315$
$9$	somme des chiffres multiple de $9$	$315$

Attention

Pour $6$ , il faut vérifier 2 et 3 en même temps. $15$ est divisible par $3$ mais pas par $2$ : il n'est pas divisible par $6$ . Un seul critère qui échoue suffit à tout annuler.

4Division décimale et quotient approché

Parfois, un partage ne tombe pas juste avec un nombre entier. On continue alors la division après la virgule, pour obtenir un résultat plus précis. C'est la division décimale.

4.1 Un quotient qui continue après la virgule

Définition

Dans une division décimale, on ne s'arrête pas au reste entier. On place une virgule au quotient, puis on ajoute des zéros au reste pour continuer les calculs, chiffre après chiffre.

Méthode — continuer une division après la virgule

Une fois tous les chiffres du dividende abaissés, s'il reste un reste non nul : on pose une virgule au quotient, on abaisse un $0$ à côté du reste, et on continue exactement comme avant.

Exemple — continuer 537 ÷ 4 après la virgule

Tu connais déjà $537 = 4 \times 134 + 1$ (Figure 1). Continuons après la virgule :

reste $1$ , on abaisse un $0$ : $10$
$10 = 4 \times 2 + 2$ on écrit 2 après la virgule au quotient
reste $2$ , on abaisse un $0$ : $20$
$20 = 4 \times 5 + 0$ reste nul : la division s'arrête
$\Rightarrow$ $537 \div 4 = 134{,}25$

4.2 Quotient exact ou quotient approché

Définition

Un quotient décimal est exact quand on finit par obtenir un reste nul. Il est approché quand la division ne s'arrête jamais : on choisit alors de s'arrêter à un rang précis (dixième, centième…), et on utilise le symbole $\approx$ au lieu de $=$ .

Méthode — arrondir un quotient

On calcule un chiffre de plus que la précision demandée. Si ce chiffre supplémentaire est $5$ , $6$ , $7$ , $8$ ou $9$ , on augmente le dernier chiffre gardé d'une unité. Sinon, on le laisse tel quel.

Exemple — deux quotients bien différents

$25 \div 8 = 3{,}125$ reste nul obtenu : quotient exact
$10 \div 3 = 3{,}333\dots$ le 3 se répète indéfiniment, jamais de reste nul
$\Rightarrow$ $10 \div 3 \approx 3{,}33$ valeur approchée au centième

Figure 3 — Un sac de 2,5 kg de riz coûte 3 750 F CFA : le prix au kilogramme s'obtient par une division décimale.

Attention

En argent, le franc CFA n'a pas de centimes dans la vie courante. Un prix au kilogramme comme $333{,}33$ F CFA sera souvent arrondi à l'unité : environ $333$ F CFA.

5Problèmes de partage

Il existe deux façons d'utiliser une division dans un problème concret. Partager : le nombre de parts est connu, on cherche la valeur d'une part. Grouper : la taille d'un groupe est connue, on cherche combien de groupes on peut former. Dans les deux cas, c'est une division — mais le sens du quotient change !

5.1 Partager : trouver la valeur d'une part

Méthode — reconnaître un partage

On connaît le nombre de parts (c'est le diviseur). Le quotient donne la valeur d'une part. Le reste, s'il existe, ne peut pas être partagé également.

Exemple — distribuer des cahiers

Une école reçoit $84$ cahiers, à répartir également entre $6$ classes.

$84 \div 6$
$84 = 6 \times 14 + 0$
$\Rightarrow$ chaque classe reçoit $14$ cahiersreste nul : le partage tombe juste

5.2 Grouper : trouver le nombre de groupes

Méthode — reconnaître un groupement

On connaît la taille d'un groupe (c'est le diviseur). Le quotient donne le nombre de groupes complets. Le reste correspond aux éléments qui ne suffisent pas à former un groupe de plus.

Figure 4 — 50 œufs rangés par boîtes de 6 : on remplit 8 boîtes complètes, il reste 2 œufs.

Attention

Dans un groupement, le reste ne disparaît pas ! S'il faut absolument tout transporter ou tout ranger, il faut parfois prévoir un groupe de plus, même incomplet. C'est le cas des 2 œufs restants : il faudra bien une 9ᵉ boîte, même si elle n'est pas pleine.

Math & Co — Les partages du papyrus Rhind

Vers -1650, en Égypte ancienne, le scribe Ahmès recopie un très vieux rouleau de calculs sur un papyrus. Ce document, retrouvé au XIXᵉ siècle et conservé au British Museum sous le nom de papyrus Rhind, contient plus de 80 problèmes.

Plusieurs racontent des partages : comment répartir des pains entre des hommes, ou diviser des récoltes de grain. Les Égyptiens utilisaient des fractions un peu différentes des nôtres, mais le problème posé, lui, n'a pas changé en plus de 36 siècles : partager équitablement !

5.3 Calculer un prix unitaire

Méthode — trouver un prix unitaire

$\text{prix d'une unité} = \text{prix total} \div \text{quantité}$

C'est une division décimale : le quotient peut être exact ou approché.

Exemple — un sac de mil

Un sac de $25$ kg de mil coûte $12\,500$ F CFA.

$12\,500 \div 25$
$12\,500 = 25 \times 500$
$\Rightarrow$ le kilogramme de mil coûte $500$ F CFA

Fiche mémo

Division euclidienne : $a = b \times q + r$ avec $0 \leqslant r < b$ (dividende, diviseur, quotient, reste).
Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.
$m$ est multiple de $a$ s'il existe $k$ entier tel que $m = a \times k$ .
$d$ est diviseur de $n$ si la division de $n$ par $d$ a un reste nul (« $n$ divisible par $d$ » = « $n$ multiple de $d$ »).
Divisible par $2$ : dernier chiffre pair ( $0,2,4,6,8$ ). Par $5$ : dernier chiffre $0$ ou $5$ . Par $10$ : dernier chiffre $0$ .
Divisible par $3$ : somme des chiffres multiple de $3$ . Par $9$ : somme des chiffres multiple de $9$ .
Divisible par $6$ : divisible par $2$ et par $3$ , les deux conditions à la fois.
Division décimale : on ajoute des zéros après la virgule pour continuer au-delà du reste entier.
Quotient exact : on obtient un reste nul. Quotient approché : on arrondit, avec le symbole $\approx$ .
Partage : le nombre de parts est connu, le quotient donne la valeur d'une part.
Groupement : la taille d'un groupe est connue, le quotient donne le nombre de groupes.
Un reste dans un groupement oblige parfois à prévoir un groupe supplémentaire.
Prix unitaire $=$ prix total $\div$ quantité.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Pose chacune de ces divisions euclidiennes, donne le quotient et le reste, puis vérifie avec l'égalité $a = b \times q + r$ .

a. $763 \div 5$ b. $924 \div 6$ c. $1\,000 \div 9$ d. $345 \div 4$

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$5 \times 152 = 760$
$763 - 760 = 3$
$\Rightarrow$ $763 = 5 \times 152 + 3$ quotient 152, reste 3

$6 \times 154 = 924$
$\Rightarrow$ $924 = 6 \times 154 + 0$ quotient 154, reste 0 : division exacte

$9 \times 111 = 999$
$1\,000 - 999 = 1$
$\Rightarrow$ $1\,000 = 9 \times 111 + 1$ quotient 111, reste 1

$4 \times 86 = 344$
$345 - 344 = 1$
$\Rightarrow$ $345 = 4 \times 86 + 1$ quotient 86, reste 1

Léa affirme : « $50 = 6 \times 7 + 8$ ». A-t-elle raison ? Si non, trouve le bon quotient et le bon reste de $50 \div 6$ .

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Léa a tort. Elle a bien $6 \times 7 + 8 = 42 + 8 = 50$ , le calcul semble juste… mais le reste 8 est plus grand que le diviseur 6 ! C'est interdit : on peut encore partager une fois de plus.

$6 \times 8 = 48$
$50 - 48 = 2$
$\Rightarrow$ $50 = 6 \times 8 + 2$ quotient 8, reste 2, et bien $2 < 6$

Écris tous les multiples de $7$ inférieurs à $100$ . Puis écris tous les diviseurs de $60$ .

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Multiples de 7 inférieurs à 100 (on compte de 7 en 7) :

$0,\ 7,\ 14,\ 21,\ 28,\ 35,\ 42,\ 49,\ 56,\ 63,\ 70,\ 77,\ 84,\ 91,\ 98$

Diviseurs de 60 (on cherche toutes les paires dont le produit vaut 60) :

$1 \times 60,\quad 2 \times 30,\quad 3 \times 20,\quad 4 \times 15,\quad 5 \times 12,\quad 6 \times 10$

Les diviseurs de $60$ sont donc : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ , soit $12$ diviseurs.

Pour chacun des nombres $132$ , $245$ , $819$ , $990$ et $1\,001$ , indique par lesquels parmi $2, 3, 5, 9, 10$ il est divisible.

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Nombre	Divisible par
$132$	$2$ (dernier chiffre pair) et $3$ ( $1+3+2=6$ )
$245$	$5$ (dernier chiffre 5) seulement
$819$	$3$ et $9$ ( $8+1+9=18$ )
$990$	$2, 3, 5, 9, 10$ : tous à la fois ! ( $9+9+0=18$ )
$1\,001$	aucun de ces cinq nombres

Curiosité : $1\,001$ échappe à tous nos critères, mais il se cache quand même $1\,001 = 7 \times 11 \times 13$ — hors programme, mais amusant à vérifier !

Effectue ces divisions décimales exactes : a. $37{,}5 \div 5$ b. $18 \div 8$ c. $54 \div 4$

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$37{,}5 \div 5 = 7{,}5$ car $5 \times 7{,}5 = 37{,}5$
$18 \div 8 = 2{,}25$ car $8 \times 2{,}25 = 18$
$54 \div 4 = 13{,}5$ car $4 \times 13{,}5 = 54$

Niveau 2 — Approfondissement

Un collège doit transporter $250$ élèves en bus. Chaque bus a $45$ places. Combien de bus complets peut-on remplir ? Combien de bus faut-il prévoir au total pour transporter tous les élèves ?

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$45 \times 5 = 225$
$250 - 225 = 25$
$\Rightarrow$ $250 = 45 \times 5 + 25$ 5 bus complets, 25 élèves restants

Les $25$ élèves restants ne peuvent pas rester à terre ! Il faut donc prévoir un $6^{\text{e}}$ bus, même incomplet. Réponse : $6$ bus au total.

Trouve tous les diviseurs communs de $36$ et de $60$ .

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Diviseurs de $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ .

Diviseurs de $60$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ .

Les diviseurs qui apparaissent dans les deux listes sont les diviseurs communs :

$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$

Je suis un nombre compris entre $100$ et $130$ . Je suis divisible par $2$ , par $3$ et par $5$ en même temps. Quel nombre suis-je ?

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Être divisible à la fois par $2$ , $3$ et $5$ , c'est être divisible par leur produit : $2 \times 3 \times 5 = 30$ . Il faut donc chercher un multiple de $30$ entre $100$ et $130$ .

multiples de $30$ : $90,\ 120,\ 150,\ \dots$
$\Rightarrow$ seul $120$ est compris entre $100$ et $130$

Vérification : $120$ se termine par $0$ (divisible par 2, 5, 10) et $1+2+0=3$ (divisible par 3). Le nombre cherché est 120.

Calcule $250 \div 3$ . Donne une valeur approchée au dixième, puis au centième.

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$3 \times 83 = 249$
$250 - 249 = 1$
$250 \div 3 = 83{,}333\dots$ le chiffre 3 se répète indéfiniment
$\Rightarrow$ $250 \div 3 \approx 83{,}3$ valeur approchée au dixième
$\Rightarrow$ $250 \div 3 \approx 83{,}33$ valeur approchée au centième

Niveau 3 — Défi

Dans une division euclidienne, le quotient vaut $23$ , le reste vaut $4$ et le diviseur vaut $7$ . Retrouve le dividende.
Explique pourquoi un reste de $7$ ou plus aurait été impossible pour ce diviseur.

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1. On utilise l'égalité $a = b \times q + r$ , à l'envers.

$a = 7 \times 23 + 4$
$7 \times 23 = 161$
$\Rightarrow$ $a = 161 + 4 = 165$

Vérification : $165 \div 7$ donne bien $7 \times 23 = 161$ , reste $165-161=4$ . ✓

2. Un reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur. Si le reste valait $7$ (ou plus), cela signifierait qu'on peut encore retirer un groupe de $7$ : le quotient ne serait alors pas le bon, il faudrait l'augmenter d'une unité.

Explique pourquoi un nombre divisible par $9$ est toujours divisible par $3$ .

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Le critère de $9$ dit : « la somme des chiffres est un multiple de $9$ ». Or, $9$ est lui-même un multiple de $3$ ( $9 = 3 \times 3$ ). Donc, si la somme des chiffres est un multiple de $9$ , elle est automatiquement un multiple de $3$ aussi — tout multiple de $9$ est un multiple de $3$ .

Comme le critère de $3$ utilise cette même somme des chiffres, le nombre est donc aussi divisible par $3$ .

Exemple : $819$ a pour somme de chiffres $18$ , multiple de $9$ ( $819$ divisible par 9) et de $3$ ( $18 = 3 \times 6$ , donc $819$ divisible par 3).

Un club sportif compte $138$ joueurs. On forme d'abord des équipes de $8$ joueurs.

Combien d'équipes complètes peut-on former ? Combien de joueurs restent ?
Peut-on former une équipe supplémentaire avec les joueurs restants ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

$8 \times 17 = 136$
$138 - 136 = 2$
$\Rightarrow$ $138 = 8 \times 17 + 2$ 17 équipes complètes, 2 joueurs restants

2. Non. Il manquerait $8 - 2 = 6$ joueurs pour compléter une $18^{\text{e}}$ équipe. Les $2$ joueurs restants devront être intégrés aux équipes existantes, ou rester remplaçants.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Au marché de Dakar. Un sac de riz de $25$ kg coûte $15\,000$ F CFA. Fatou en achète seulement $4$ kg auprès d'un vendeur qui casse le sac.

Calcule le prix d'un kilogramme de riz.
Calcule le prix payé par Fatou pour ses $4$ kg.

Voir le corrigé détaillé

$15\,000 \div 25$
$25 \times 600 = 15\,000$
$\Rightarrow$ le kilogramme coûte $600$ F CFA

$600 \times 4 = 2\,400$
$\Rightarrow$ Fatou paie $2\,400$ F CFA

Une distribution à Ndjamena. Une association distribue $275$ cahiers, en parts égales, entre $12$ écoles de Ndjamena.

Combien de cahiers reçoit chaque école ? Combien de cahiers restent ?
Propose une solution pour ces cahiers restants.

Voir le corrigé détaillé

$12 \times 22 = 264$
$275 - 264 = 11$
$\Rightarrow$ $275 = 12 \times 22 + 11$ 22 cahiers par école, 11 restants

2. Les $11$ cahiers restants peuvent être gardés en réserve pour l'année suivante, ou donnés à l'école qui compte le plus d'élèves.

Transport à Abidjan. Un chauffeur doit transporter $96$ passagers avec des minibus de $14$ places chacun.

Combien de minibus complets peut-il remplir ?
Combien de minibus faut-il au total pour transporter tout le monde ?

Voir le corrigé détaillé

$14 \times 6 = 84$
$96 - 84 = 12$
$\Rightarrow$ $96 = 14 \times 6 + 12$ 6 minibus complets, 12 passagers restants

2. Les $12$ passagers restants doivent aussi voyager : il faut un $7^{\text{e}}$ minibus. Réponse : 7 minibus.

Vente d'œufs à Abéché. Une marchande range ses œufs par plateaux de $30$ . Elle possède $517$ œufs. Un plateau complet se vend $2\,500$ F CFA, et un œuf vendu à l'unité coûte $100$ F CFA.

Combien de plateaux complets peut-elle remplir ? Combien d'œufs restent ?
Si elle vend tout (plateaux pleins et œufs à l'unité), quelle est sa recette totale ?

Voir le corrigé détaillé

$30 \times 17 = 510$
$517 - 510 = 7$
$\Rightarrow$ $517 = 30 \times 17 + 7$ 17 plateaux complets, 7 œufs restants

$17 \times 2\,500 = 42\,500$ recette des plateaux
$7 \times 100 = 700$ recette des œufs à l'unité
$\Rightarrow$ $42\,500 + 700 = 43\,200$

La marchande gagne au total 43 200 F CFA.

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Nombres décimaux et opérations

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans une division euclidienne, le nombre qu'on partage s'appelle :

le diviseur le quotient le dividende le reste

Explication : Le dividende est le nombre de départ, celui qu'on partage. Le diviseur est le nombre par lequel on partage.

Dans l'égalité $a = b \times q + r$ , que représente $r$ ?

le diviseur le reste le quotient le dividende

Explication : Dans

a = b \times q + r

a

est le dividende,

b

le diviseur,

q

le quotient et

r

le reste.

Quelle condition le reste $r$ doit-il toujours respecter, avec $b$ le diviseur ?

0 \leqslant r < b

r > b

r = b

r \leqslant b

Explication : Le reste doit toujours être strictement plus petit que le diviseur, sinon on pourrait encore partager une fois de plus.

17 billes sont partagées entre 5 amis. Combien de billes reçoit chaque ami, et combien en reste-t-il ?

4 billes chacun, il en reste 3 2 billes chacun, il en reste 7 5 billes chacun, il en reste 0 3 billes chacun, il en reste 2

Explication :

17 = 5 \times 3 + 2

.
Chaque ami reçoit 3 billes, il en reste 2 (et

2 < 5

, c'est bien correct).

Un nombre $m$ est un multiple d'un nombre $a$ quand :

a

est plus petit que

m

il existe un entier

k

tel que

m = a \times k

m

divisé par

a

donne toujours 1

a

m

sont tous les deux pairs

Explication : C'est la définition du multiple :

m

s'obtient en comptant par bonds de

a

, à partir de 0.

Un nombre $d$ est un diviseur d'un nombre $n$ quand la division de $n$ par $d$ donne :

un quotient égal à 1 un reste égal à

d

un reste nul un quotient décimal

Explication :

d

est diviseur de

n

si le partage tombe juste, avec un reste égal à 0. On dit aussi que

n

est divisible par

d

On pose $537 \div 4$ . On trouve un quotient de 134 et un reste de 1. Comment vérifier ce résultat ?

calculer

4 \times 134 + 1

et retrouver 537 calculer

537 + 4

calculer

134 - 1

calculer

4 \times 1

Explication : On vérifie toujours avec

a = b \times q + r

4 \times 134 = 536

536 + 1 = 537

on retrouve bien le dividende de départ.

Combien vaut $84 \div 6$ ? Est-ce que 84 est un multiple de 6 ?

quotient 13, reste 6 ; non quotient 15, reste 0 ; oui quotient 14, reste 0 ; oui quotient 14, reste 6 ; non

Explication :

6 \times 14 = 84

, donc

84 = 6 \times 14 + 0

.
Le reste est nul : 84 est bien un multiple de 6.

Parmi ces nombres, lequel est divisible par 2 ?

347 2 548 1 231 675

Explication : Un nombre est divisible par 2 quand son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Seul 2 548 (dernier chiffre 8) convient.

Le nombre 315 est-il divisible par 3 ?

non, car il est impair non, car il se termine par 5 oui, car

3+1+5=9

, multiple de 3 on ne peut pas savoir sans poser la division

Explication : Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

3+1+5=9

, et 9 est un multiple de 3 : donc 315 est divisible par 3.

Pour savoir si un nombre est divisible par 6, que faut-il vérifier ?

seulement qu'il est divisible par 2 seulement qu'il est divisible par 3 qu'il se termine par 6 qu'il est divisible à la fois par 2 et par 3

Explication :

6 = 2 \times 3

. Un nombre divisible par 6 doit être divisible par 2 et par 3 en même temps. Un seul critère qui échoue suffit à tout annuler.

Le nombre 15 est-il divisible par 6 ?

non, car il n'est pas divisible par 2 oui, car il est divisible par 3 oui, car il se termine par 5 non, car il n'est pas divisible par 3

Explication : 15 est bien divisible par 3, mais il est impair (il ne se termine pas par un chiffre pair) : il n'est donc pas divisible par 2, donc pas par 6.

Dans une division décimale, quand le quotient continue-t-il après la virgule ?

jamais, on s'arrête toujours à un nombre entier quand le reste entier n'est pas nul seulement si le diviseur est décimal quand le dividende est pair

Explication : Si, une fois tous les chiffres du dividende abaissés, le reste n'est pas nul, on place une virgule au quotient et on continue en ajoutant des zéros.

Combien vaut $537 \div 4$ , en continuant après la virgule ?

134{,}5

134{,}1

134{,}25

134{,}2

Explication : On repart du reste 1 :
reste 1, on abaisse un 0 : 10, et

10 = 4 \times 2 + 2

reste 2, on abaisse un 0 : 20, et

20 = 4 \times 5 + 0

d'où

537 \div 4 = 134{,}25

Un quotient décimal est dit « approché » quand :

le reste devient nul très vite le dividende est un nombre décimal le diviseur est plus grand que le dividende la division ne s'arrête jamais et on doit arrondir

Explication : Quand la division ne s'arrête jamais (le reste ne devient jamais nul), on s'arrête à un rang précis et on utilise le symbole

\approx

: c'est un quotient approché.

Un sac de riz de 2,5 kg coûte 3 750 F CFA. Quel est le prix au kilogramme ?

1 500 F/kg 1 250 F/kg 2 500 F/kg 3 750 F/kg

Explication : Prix au kg = prix total ÷ quantité.

3\,750 \div 2{,}5 = 1\,500

.
Vérification :

1\,500 \times 2{,}5 = 3\,750

Une école reçoit 84 cahiers à répartir également entre 6 classes. Ici, la division sert à :

grouper des cahiers par paquets de 6 partager : on cherche la valeur d'une part calculer le nombre de classes calculer le nombre de cahiers restants uniquement

Explication : On connaît le nombre de parts (6 classes), le diviseur : c'est un partage. Le quotient

84 \div 6 = 14

donne le nombre de cahiers par classe.

50 œufs sont rangés par boîtes de 6. Combien de boîtes complètes peut-on remplir, et combien d'œufs restent ?

6 boîtes complètes, 8 œufs restants 9 boîtes complètes, 0 œuf restant 8 boîtes complètes, 2 œufs restants 7 boîtes complètes, 4 œufs restants

Explication :

50 = 6 \times 8 + 2

.
On remplit 8 boîtes complètes, il reste 2 œufs (et

2 < 6

Un collège doit transporter 250 élèves avec des bus de 45 places. On trouve $250 = 45 \times 5 + 25$ . Combien de bus faut-il prévoir pour transporter TOUS les élèves ?

4 bus 45 bus 5 bus 6 bus

Explication : 5 bus complets ne suffisent pas : il reste 25 élèves qui doivent aussi voyager. Il faut donc un 6ᵉ bus, même incomplet, soit 6 bus au total.

Un sac de mil de 25 kg coûte 12 500 F CFA. Combien coûte 1 kg de mil ?

600 F CFA 500 F CFA 125 F CFA 250 F CFA

Explication :

12\,500 \div 25 = 500

, car

25 \times 500 = 12\,500

. Le kilogramme de mil coûte 500 F CFA.

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En bref

Classe : Classe de Sixième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 6 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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