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Les triangles

Classer, construire et étudier les triangles particuliers.

Mathématiques 6ème Chapitre 9 / 14 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Construire un triangle connaissant trois données
  • Reconnaître un triangle particulier
  • Tracer les hauteurs d'un triangle

Depuis que tu sais dessiner, tu traces des triangles sans même y penser : le toit d’une maison, une part de pizza coupée en deux, la voile triangulaire d’une pirogue sur le fleuve... Le triangle est la figure la plus simple qui existe avec des côtés bien droits : il suffit de trois points qui ne sont pas alignés. Et pourtant, cette figure toute simple obéit à des règles précises, que les bâtisseurs, les couturières et les architectes utilisent chaque jour.

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à nommer chaque partie d’un triangle, à reconnaître les triangles qui ont des propriétés particulières (isocèle, équilatéral, rectangle), puis à les construire toi-même à la règle et au compas, avec une précision parfaite. Tu découvriras aussi une règle étonnante : on ne peut pas fabriquer un triangle avec n’importe quelles longueurs de côtés !

Enfin, tu apprendras à tracer les hauteurs d’un triangle, ces droites bien particulières qui te serviront, plus tard, à calculer l’aire de n’importe quelle figure. Prends ta règle, ton compas et ton équerre : c’est parti !

1Triangle quelconque : vocabulaire

Définition

Un triangle est une figure formée par trois points non alignés, appelés sommets, reliés deux à deux par trois segments, appelés côtés.

Un triangle de sommets AA, BB et CC se note triangle ABCABC. L’ordre des lettres n’a pas d’importance : ABCABC, BCABCA ou CABCAB désignent le même triangle. Avant de construire un triangle avec les instruments, on commence souvent par un croquis à main levée : un dessin rapide, pas forcément à l’échelle, sur lequel on note tout de suite les longueurs et les angles connus.

A B C [AB] [AC] [BC] sommets · côtés · notation
Figure 1 — Un triangle à main levée, codé : trois sommets AA, BB, CC et trois côtés [AB][AB], [BC][BC], [AC][AC].

1.1  Côtés, sommets et angles

Chaque sommet d’un triangle porte un angle. L’angle situé au sommet BB du triangle ABCABC se note ABC^\widehat{ABC} (la lettre du sommet est toujours au milieu) ; on l’écrit parfois simplement B^\widehat{B} quand il n’y a pas d’ambiguïté.

Attention

Ne confonds pas [AB][AB], qui désigne le segment (le côté lui-même), et ABAB sans crochets, qui désigne la longueur de ce segment, un nombre en centimètres par exemple. On écrit AB=5 cmAB = 5\ \text{cm}, jamais [AB]=5 cm[AB] = 5\ \text{cm}.

1.2  Le périmètre d’un triangle

Définition

Le périmètre d’un triangle est la longueur totale de son contour, c’est-à-dire la somme des longueurs de ses trois côtés.

P=AB+BC+CAP = AB + BC + CA

Exemple — calculer un périmètre
  1. Un triangle ABCABC a pour côtés AB=5,2AB = 5{,}2 cm, BC=4,8BC = 4{,}8 cm, CA=6CA = 6 cm.
  2. P=5,2+4,8+6P = 5{,}2 + 4{,}8 + 6
  3. ==1616 cm
Exemple — retrouver un côté manquant

Le triangle RSTRST a un périmètre de 1818 cm, avec RS=6RS = 6 cm et ST=7ST = 7 cm. On cherche RTRT.

  1. RT=P−RS−STRT = P - RS - ST
  2. ==18−6−718 - 6 - 7
  3. ==55 cm

2Triangle isocèle, équilatéral, rectangle

Certains triangles ont des propriétés particulières : des côtés égaux, ou un angle droit. On les repère grâce à un codage : de petits traits identiques sur les côtés égaux, un petit carré pour marquer un angle droit.

2.1  Le triangle isocèle

Définition

Un triangle est isocèle lorsque deux de ses côtés ont la même longueur. Le troisième côté s’appelle la base, et le sommet d’où partent les deux côtés égaux s’appelle le sommet principal.

A B C CA = CB (codés par un même trait)
Figure 2 — Un triangle isocèle en CC : les côtés [CA][CA] et [CB][CB] ont la même longueur.
Propriété (admise)

Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.

Exemple — reconnaître un triangle isocèle

Un triangle RSTRST a pour côtés RS=4,5RS = 4{,}5 cm, ST=4,5ST = 4{,}5 cm et RT=6RT = 6 cm. Comme RS=STRS = ST, le triangle RSTRST est isocèle en SS : c’est de SS que partent les deux côtés égaux.

2.2  Le triangle équilatéral

Définition

Un triangle est équilatéral lorsque ses trois côtés ont la même longueur.

A B C AB = BC = CA
Figure 3 — Un triangle équilatéral : ses trois côtés ont la même longueur, codés par trois traits identiques.
Propriété

Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux, chacun mesurant 60∘60^{\circ} (tu comprendras pourquoi à la section 4). C’est donc aussi un triangle isocèle : un équilatéral est un cas particulier d’isocèle !

Exemple — périmètre d’un équilatéral
  1. Un triangle équilatéral a un côté de 77 cm.
  2. P=3×7P = 3 \times 7
  3. ==2121 cm
Math & Co — Les harpédonaptes d’Égypte

Vers −2000-2000, les bâtisseurs égyptiens ne connaissaient pas encore le mot « angle droit », mais ils savaient déjà en tracer des parfaits pour construire leurs temples. Leur outil : une simple corde à treize nœuds, régulièrement espacés. En la tendant avec trois piquets pour former un triangle de côtés 33, 44 et 55 intervalles, ils obtenaient toujours un angle droit entre les côtés 33 et 44. Ces « tendeurs de corde », ou harpédonaptes, utilisaient sans le démontrer ce que nous appelons aujourd’hui le triangle 33-44-55.

2.3  Le triangle rectangle

Définition

Un triangle est rectangle lorsqu’il possède un angle droit (un angle de 90∘90^{\circ}). Le côté le plus long, opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse.

A B C hypoténuse
Figure 4 — Un triangle rectangle en AA : l’angle en AA est droit (codé par un petit carré) ; [BC][BC], opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse.
Exemple — nommer l’hypoténuse

Le triangle MNPMNP est rectangle en NN : l’angle droit est situé en NN. Son hypoténuse est donc le côté opposé à NN, c’est-à-dire [MP][MP] — c’est lui le plus long des trois côtés.

Attention

« Rectangle en NN » signifie que l’angle droit est situé au sommet NN. Ne confonds pas avec le quadrilatère « rectangle » à quatre côtés : ici, un triangle rectangle n’a que trois côtés !

3Constructions à la règle et au compas

Construire un triangle, c’est le tracer avec des instruments (règle, compas, équerre) de façon exacte, à partir de quelques informations connues : trois longueurs de côtés, par exemple. La méthode la plus utilisée s’appelle la méthode aux arcs de cercle.

3.1  Construire un triangle connaissant ses 3 côtés

Méthode — construire le triangle ABCABC connaissant ABAB, ACAC et BCBC
  1. On trace un des côtés, par exemple [BC][BC], à la règle.
  2. Avec le compas ouvert sur la longueur ABAB, on pique en BB et on trace un arc de cercle.
  3. Avec le compas ouvert sur la longueur ACAC, on pique en CC et on trace un second arc de cercle.
  4. Le point AA est l’un des deux points où les arcs se coupent. On relie AA à BB et à CC à la règle.
1. Tracer [BC] B C BC = 5 cm 2. Arc en B B C rayon = AB 3. Arc en C B C A les arcs se coupent en A 4. Relier A B C A triangle ABC construit
Figure 5 — Les quatre étapes de la construction d’un triangle connaissant ses trois côtés (méthode aux arcs de cercle).
Math & Co — Euclide et la règle du compas

Vers −300-300, le mathématicien grec Euclide réunit dans ses Éléments toutes les règles de la géométrie connues de son temps. Dans le Livre I, la proposition 22 explique, exactement comme toi aujourd’hui, comment construire un triangle à partir de trois longueurs données, à l’aide d’arcs de cercle. Pendant plus de deux mille ans, cette méthode « à la règle et au compas » est restée la référence absolue de la géométrie.

3.2  L’inégalité triangulaire

Essaie de construire un triangle avec des côtés de 33 cm, 44 cm et 1212 cm : tu n’y arriveras jamais. Les deux arcs de cercle sont trop courts pour se rejoindre !

Propriété — inégalité triangulaire

Un triangle de côtés aa, bb et cc ne peut exister que si chaque côté est plus court que la somme des deux autres :

a<b+cb<a+cc<a+ba < b + c \qquad b < a + c \qquad c < a + b

En pratique, il suffit de vérifier cette condition pour le plus grand des trois côtés.

Exemple — un triangle constructible
  1. Côtés proposés : 55 cm, 66 cm, 99 cm.
  2. Le plus grand côté est 99.
  3. 5+6=115 + 6 = 11
  4. 9<119 < 11la condition est vérifiée
  5. ⇒\Rightarrowle triangle existe
Exemple — un triangle impossible
  1. Côtés proposés : 33 cm, 44 cm, 1212 cm.
  2. Le plus grand côté est 1212.
  3. 3+4=73 + 4 = 7
  4. 7<127 < 12la condition n’est pas vérifiée
  5. ⇒\Rightarrowle triangle n’existe pas
B C BC = 12 cm rayon 3 cm rayon 4 cm les arcs ne se rencontrent pas 3 + 4 = 7 < 12
Figure 6 — Cas impossible : avec des côtés de 33 cm, 44 cm et 1212 cm, les arcs ne se croisent jamais, car 3+4<123+4<12.

3.3  Construire un triangle rectangle à l’équerre

Méthode — construire un triangle rectangle en AA
  1. On trace un premier côté [AB][AB] à la règle.
  2. On place l’équerre en AA, un bord aligné sur (AB)(AB) : l’autre bord donne la direction perpendiculaire à [AB][AB].
  3. Le long de cette direction, on reporte au compas la longueur ACAC voulue : on obtient le point CC.
  4. On trace [BC][BC] à la règle : le triangle ABCABC, rectangle en AA, est terminé.
Attention

L’équerre sert uniquement à tracer un angle droit. Pour reporter une longueur précise, il faut toujours utiliser le compas ou la règle graduée : ne mesure jamais « à l’œil ».

4Somme des angles (approche)

Tous les triangles n’ont pas la même forme, et pourtant leurs trois angles cachent un point commun étonnant. Une petite activité suffit à le découvrir.

4.1  Une activité de découpage

Démonstration — activité (idée de preuve)

Dessine un grand triangle sur une feuille, puis découpe ses trois angles aux ciseaux. Place ensuite les trois pointes côte à côte, sommet contre sommet, sur une ligne droite. Quel que soit le triangle de départ, les trois angles se rejoignent toujours pour former un angle plat, c’est-à-dire une ligne droite : 180∘180^{\circ}. Cette activité n’est pas une démonstration rigoureuse, mais elle rend le résultat visuellement évident.

ABC triangle ABC on aligne les 3 angles A B C angle plat = 180°
Figure 7 — Les trois angles d’un triangle, mis bout à bout, forment toujours un angle plat de 180∘180^{\circ}.
Propriété

La somme des mesures des angles d’un triangle est toujours égale à 180∘180^{\circ} (un angle plat) :

A^+B^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ}

Exemple — trouver l’angle manquant

Un triangle a deux angles de 72∘72^{\circ} et 55∘55^{\circ}. On cherche le troisième.

  1. 72+55=12772 + 55 = 127
  2. troisième angle =180−127= 180 - 127
  3. ==53∘53^{\circ}
Exemple — triangle isocèle : angle au sommet donné

Un triangle isocèle a un angle au sommet principal de 40∘40^{\circ}. On cherche les deux angles à la base, qui sont égaux.

  1. somme des deux angles de base =180−40= 180 - 40
  2. ==140∘140^{\circ}
  3. chaque angle de base =140÷2= 140 \div 2
  4. ==70∘70^{\circ}

4.2  Conséquences utiles

Propriété — triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, l’angle droit mesure 90∘90^{\circ}. Les deux autres angles sont donc complémentaires : leur somme vaut 90∘90^{\circ}.

Exemple — angles d’un triangle rectangle

Le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec B^=35∘\widehat{B} = 35^{\circ}. On cherche C^\widehat{C}.

  1. A^+B^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ}
  2. 90+35+C^=18090 + 35 + \widehat{C} = 180
  3. ⇒\RightarrowC^=180−125\widehat{C} = 180 - 125
  4. ==55∘55^{\circ}
Math & Co — D’où viennent ces mots ?

Le mot triangle vient du latin tri- (« trois ») et angulus (« angle »). Isocèle vient du grec isos (« égal ») et skelos (« jambe ») : un triangle aux « jambes égales ». Équilatéral vient du latin aequus (« égal ») et latus (« côté »). Et c’est encore Euclide qui donne, dans ses Éléments (vers −300-300, proposition 32 du Livre I), la toute première démonstration rigoureuse que la somme des angles d’un triangle vaut 180∘180^{\circ}.

5Hauteurs d’un triangle

Chaque triangle possède trois hauteurs, une par sommet. Elles serviront, dès l’année prochaine, à calculer l’aire d’un triangle — mais dès aujourd’hui, apprenons à les tracer correctement.

Définition

Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). Le point où elle rencontre ce côté — ou son prolongement — s’appelle le pied de la hauteur.

5.1  Tracer une hauteur à l’équerre

Méthode — tracer la hauteur issue de AA
  1. On place un bord de l’équerre le long du côté opposé, (BC)(BC) — ou de son prolongement.
  2. On fait glisser l’équerre le long de (BC)(BC) jusqu’à ce que son second bord touche le sommet AA.
  3. On trace le trait le long de ce second bord, du sommet AA jusqu’au côté (BC)(BC) : c’est la hauteur issue de AA.
A B C les trois hauteurs sont concourantes
Figure 8 — Dans ce triangle acutangle, les trois hauteurs (une par sommet) se coupent en un même point.
Propriété

Les trois hauteurs d’un triangle se coupent toujours en un même point, quelle que soit la forme du triangle. On dit qu’elles sont concourantes.

Exemple — hauteurs d’un triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral, chaque hauteur tombe exactement au milieu du côté opposé, par symétrie. Les trois hauteurs se coupent alors au centre même du triangle.

5.2  Quand le pied de la hauteur sort du triangle

Si le triangle a un angle obtus (supérieur à 90∘90^{\circ}), certaines hauteurs ne tombent plus à l’intérieur du côté opposé : il faut alors prolonger ce côté (en pointillés) pour y placer le pied de la hauteur.

D E F pied de la hauteur (hors du triangle) angle obtus en E
Figure 9 — Le triangle DEFDEF a un angle obtus en EE : la hauteur issue de DD tombe hors du triangle, sur le prolongement (en pointillés) de [EF][EF].
Attention

N’oublie jamais de prolonger le côté (au crayon fin, ou en pointillés) quand le pied de la hauteur tombe à l’extérieur du triangle. C’est un piège fréquent : beaucoup d’élèves arrêtent leur tracé au bord du triangle et n’obtiennent pas un angle droit.

Exemple — repérer un pied extérieur

Le triangle DEFDEF a un angle E^=110∘\widehat{E} = 110^{\circ} (obtus). La hauteur issue de DD coupe-t-elle [EF][EF] entre EE et FF ?

Non. Comme l’angle en EE est obtus, le pied de cette hauteur tombe forcément à l’extérieur du segment [EF][EF], sur son prolongement au-delà de EE — exactement comme sur la figure ci-dessus.

Fiche mémo

  • Triangle ABCABC : sommets AA, BB, CC ; côtés [AB][AB], [BC][BC], [AC][AC] ; angles A^\widehat{A}, B^\widehat{B}, C^\widehat{C}.
  • Périmètre P=AB+BC+CAP = AB + BC + CA.
  • Isocèle : 2 côtés égaux ; les 2 angles à la base sont égaux.
  • Équilatéral : 3 côtés égaux ; 3 angles de 60∘60^{\circ} chacun (cas particulier d’isocèle).
  • Rectangle : 1 angle droit (90∘)(90^{\circ}) ; l’hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l’angle droit.
  • Construction aux arcs de cercle : les 3 rayons des arcs = les 3 longueurs des côtés.
  • Inégalité triangulaire : chaque côté << somme des deux autres, sinon le triangle n’existe pas.
  • Somme des angles d’un triangle : A^+B^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ}.
  • Triangle rectangle : les 2 angles aigus sont complémentaires (somme =90∘= 90^{\circ}).
  • Hauteur issue d’un sommet : droite passant par ce sommet, perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
  • Un triangle a 3 hauteurs ; elles sont toujours concourantes (même point de rencontre).
  • Triangle à angle obtus : au moins une hauteur a son pied hors du triangle — il faut prolonger le côté opposé.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Voici un triangle RSTRST, dessiné à main levée. 1) Nomme ses trois sommets. 2) Nomme ses trois côtés, avec la notation entre crochets. 3) Nomme ses trois angles, avec la notation  ^\widehat{\ }.

Voir le corrigé détaillé

1) Les sommets sont RR, SS et TT.

2) Les côtés sont [RS][RS], [ST][ST] et [RT][RT].

3) Les angles sont RST^\widehat{RST} (angle en SS), STR^\widehat{STR} (angle en TT) et TRS^\widehat{TRS} (angle en RR).

2

Un triangle ABCABC a pour côtés AB=6,3AB = 6{,}3 cm, BC=5,7BC = 5{,}7 cm et CA=4CA = 4 cm. Calcule son périmètre.

Voir le corrigé détaillé
  1. P=AB+BC+CAP = AB + BC + CA
  2. ==6,3+5,7+46{,}3 + 5{,}7 + 4
  3. ==1616 cm
3

Donne le type de chaque triangle, connaissant ses côtés : a) 55 cm, 55 cm, 55 cm. b) 55 cm, 55 cm, 88 cm. c) 55 cm, 77 cm, 99 cm.

Voir le corrigé détaillé

a) Les trois côtés sont égaux : le triangle est équilatéral (donc isocèle aussi).

b) Deux côtés sont égaux (5=5)(5 = 5), le troisième est différent : le triangle est isocèle, mais pas équilatéral.

c) Aucun côté n’est égal à un autre : le triangle est quelconque.

4

Un triangle a deux angles de 48∘48^{\circ} et 79∘79^{\circ}. Calcule le troisième angle.

Voir le corrigé détaillé
  1. 48+79=12748 + 79 = 127
  2. troisième angle =180−127= 180 - 127
  3. ==53∘53^{\circ}
5

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. a) Un triangle a toujours 3 hauteurs. b) Le pied d’une hauteur est toujours à l’intérieur du triangle. c) Les 3 hauteurs d’un triangle se coupent toujours en un même point. d) La hauteur issue de AA est perpendiculaire au côté [AB][AB].

Voir le corrigé détaillé

a) Vrai. Chaque sommet possède sa propre hauteur : il y en a toujours trois.

b) Faux. Dans un triangle à angle obtus, le pied d’une hauteur peut tomber hors du triangle (voir Figure 9).

c) Vrai. C’est une propriété générale, valable pour tous les triangles.

d) Faux. La hauteur issue de AA est perpendiculaire au côté opposé à AA, c’est-à-dire [BC][BC], pas à [AB][AB].

Niveau 2 — Approfondissement
6

Un triangle isocèle a un angle au sommet principal de 96∘96^{\circ}. Calcule les deux angles à la base.

Voir le corrigé détaillé
  1. somme des deux angles de base =180−96= 180 - 96
  2. ==84∘84^{\circ}
  3. les deux angles de base sont égaux
  4. chaque angle de base =84÷2= 84 \div 2
  5. ==42∘42^{\circ}
7

Ces triangles sont-ils constructibles ? Justifie. a) côtés 44 cm, 55 cm, 88 cm. b) côtés 22 cm, 33 cm, 66 cm.

Voir le corrigé détaillé

a) Le plus grand côté est 88.

  1. 4+5=94 + 5 = 9
  2. 8<98 < 9condition vérifiée
  3. ⇒\Rightarrowle triangle existe

b) Le plus grand côté est 66.

  1. 2+3=52 + 3 = 5
  2. 5<65 < 6condition NON vérifiée
  3. ⇒\Rightarrowle triangle n’existe pas
8

Un triangle équilatéral a un côté de 9,49{,}4 cm. Donne son périmètre et la mesure de chacun de ses angles.

Voir le corrigé détaillé
  1. P=3×9,4P = 3 \times 9{,}4
  2. ==28,228{,}2 cm

Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à 60∘60^{\circ} : c’est vrai ici aussi, quelle que soit la longueur du côté.

9

Le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec B^=62∘\widehat{B} = 62^{\circ}. Calcule C^\widehat{C}.

Voir le corrigé détaillé
  1. A^+B^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ}
  2. 90+62+C^=18090 + 62 + \widehat{C} = 180
  3. ⇒\RightarrowC^=180−152\widehat{C} = 180 - 152
  4. ==28∘28^{\circ}
10

On veut construire un triangle ABCABC tel que AB=7AB = 7 cm, AC=6AC = 6 cm et BC=5BC = 5 cm, puis tracer la hauteur issue de AA. 1) Décris les étapes de la construction. 2) Le pied de cette hauteur tombe-t-il à l’intérieur du triangle ?

Voir le corrigé détaillé

1) On trace [BC][BC] (55 cm). On pique le compas en BB, ouvert sur 77 cm, et on trace un arc. On pique le compas en CC, ouvert sur 66 cm, et on trace un second arc. Le point AA est à l’intersection des deux arcs. On relie AA à BB et à CC.

2) Le triangle obtenu est acutangle (ses trois angles sont aigus), donc le pied de chaque hauteur, y compris celle issue de AA, tombe bien à l’intérieur du côté opposé.

A B C AB = 7 cm AC = 6 cm BC = 5 cm
Figure 10 — Le triangle ABCABC construit, avec la hauteur issue de AA : son pied est bien à l’intérieur de [BC][BC].
Niveau 3 — Défi
11

Les angles d’un triangle sont proportionnels à 22, 33 et 44. Calcule chacun des trois angles.

Voir le corrigé détaillé

On appelle kk la valeur d’une « part ». Les angles valent alors 2k2k, 3k3k et 4k4k.

  1. 2k+3k+4k=1802k + 3k + 4k = 180
  2. ⇒\Rightarrow9k=1809k = 180
  3. ⇒\Rightarrowk=20k = 20

Les trois angles mesurent donc 2×20=40∘2 \times 20 = 40^{\circ}, 3×20=60∘3 \times 20 = 60^{\circ} et 4×20=80∘4 \times 20 = 80^{\circ}. Vérification : 40+60+80=18040 + 60 + 80 = 180. ✓

12

Un triangle isocèle possède un angle de 100∘100^{\circ}. Cet angle est-il l’angle au sommet principal, ou l’un des deux angles de base ? Calcule les deux autres angles.

Voir le corrigé détaillé

Supposons que 100∘100^{\circ} soit un angle de base : les deux angles de base seraient alors égaux à 100∘100^{\circ} chacun, et leur somme vaudrait déjà 200∘200^{\circ}, ce qui dépasse 180∘180^{\circ}. C’est impossible.

L’angle de 100∘100^{\circ} est donc forcément l’angle au sommet principal.

  1. somme des deux angles de base =180−100= 180 - 100
  2. ==80∘80^{\circ}
  3. chaque angle de base =80÷2= 80 \div 2
  4. ==40∘40^{\circ}
13

On veut construire un triangle avec deux côtés de 33 cm et 44 cm, et un troisième côté de xx cm, où xx est un nombre entier. 1) Montre que x=8x = 8 ne convient pas. 2) Trouve la plus petite valeur entière possible de xx. 3) Trouve la plus grande valeur entière possible de xx.

Voir le corrigé détaillé

1) Avec x=8x = 8, le plus grand côté est 88, et 3+4=7<83 + 4 = 7 < 8 : la condition n’est pas vérifiée, le triangle n’existe pas.

2) et 3) Il faut vérifier l’inégalité triangulaire pour les deux plus grands côtés à chaque fois.

  1. il faut x<3+4x < 3 + 4, donc x<7x < 7
  2. il faut aussi 4<3+x4 < 3 + x, donc x>1x > 1
  3. ⇒\Rightarrow1<x<71 < x < 7

Comme xx est un nombre entier, xx peut valoir 22, 33, 44, 55 ou 66. La plus petite valeur possible est donc x=2\boldsymbol{x = 2}, et la plus grande est x=6\boldsymbol{x = 6}.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Le jardin d’Amadou (Dakar). Amadou possède, à Dakar, un jardin de forme triangulaire, de côtés 1212 m, 1515 m et 99 m. Il veut l’entourer entièrement d’une clôture en fil de fer vendue 850850 F CFA le mètre. 1) Calcule le périmètre du jardin. 2) Calcule le coût total de la clôture.

Voir le corrigé détaillé

1)

  1. P=12+15+9P = 12 + 15 + 9
  2. ==3636 m

2)

  1. coût =36×850= 36 \times 850
  2. ==30 60030\,600 F CFA

Amadou devra prévoir 30 600 F CFA pour clôturer son jardin.

15

Le toit d’une maison (Abéché). Vu de face, le toit d’une maison à Abéché a la forme d’un triangle isocèle. L’angle au faîte (au sommet) mesure 74∘74^{\circ}. Calcule les deux angles à la base, qui donnent la pente de chaque pan du toit.

Voir le corrigé détaillé
  1. somme des deux angles de base =180−74= 180 - 74
  2. ==106∘106^{\circ}
  3. chaque angle de base =106÷2= 106 \div 2
  4. ==53∘53^{\circ}
74° 53° 53° mur (sol du toit)
Figure 11 — Le pignon du toit, triangle isocèle : l’angle au faîte (74∘)(74^{\circ}) et les deux angles de base égaux (53∘(53^{\circ} chacun).
16

Un terrain suspect (Douala). Un vendeur propose à Fatou, à Douala, un terrain triangulaire dont il annonce les longueurs des côtés : 5050 m, 8080 m et 2020 m. Fatou se méfie. 1) A-t-elle raison de se méfier ? Justifie avec l’inégalité triangulaire. 2) En gardant 5050 m et 8080 m, propose une valeur plausible pour le troisième côté.

Voir le corrigé détaillé

1) Le plus grand côté annoncé est 8080 m.

  1. 50+20=7050 + 20 = 70
  2. 70<8070 < 80condition NON vérifiée
  3. ⇒\Rightarrowun tel triangle n’existe pas

Fatou a raison de se méfier : ce terrain, avec ces trois mesures, ne peut pas exister.

2) En gardant 5050 m et 8080 m, le troisième côté xx doit vérifier 80−50<x<80+5080 - 50 < x < 80 + 50, soit 30<x<13030 < x < 130. Une valeur plausible, par exemple x=60x = 60 m, convient parfaitement.

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un triangle est formé par :

Explication : Un triangle est une figure formée par trois points non alignés, appelés sommets, reliés deux à deux par trois segments appelés côtés.

Que désigne l'écriture ABAB, sans crochets ?

Explication : [AB][AB] désigne le segment, alors que ABAB sans crochets désigne sa longueur, un nombre. On écrit AB=5 cmAB = 5\ \text{cm}, jamais [AB]=5 cm[AB] = 5\ \text{cm}.

Un triangle ABCABC a pour côtés AB=5,2AB = 5{,}2 cm, BC=4,8BC = 4{,}8 cm, CA=6CA = 6 cm. Quel est son périmètre ?

Explication : Le périmètre est la somme des trois côtés.
P=5,2+4,8+6=16P = 5{,}2 + 4{,}8 + 6 = 16 cm.

Un triangle est dit isocèle quand :

Explication : Un triangle est isocèle lorsque deux de ses côtés ont la même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.

Un triangle RSTRST a pour côtés RS=4,5RS = 4{,}5 cm, ST=4,5ST = 4{,}5 cm et RT=6RT = 6 cm. Comment le qualifier ?

Explication : Comme RS=STRS = ST, le triangle est isocèle. Le sommet d'où partent les deux côtés égaux est SS : il est isocèle en S.

Un triangle est dit équilatéral quand :

Explication : Un triangle est équilatéral lorsque ses trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles mesurent alors chacun 60°.

Un triangle équilatéral a un côté de 77 cm. Quel est son périmètre ?

Explication : Les trois côtés sont égaux à 7 cm.
P=3×7=21P = 3 \times 7 = 21 cm.

Le triangle MNPMNP est rectangle en NN. Quel côté est l'hypoténuse ?

Explication : L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. L'angle droit est en N, donc l'hypoténuse est le côté opposé à N, c'est-à-dire [MP][MP].

Pour construire un triangle connaissant ses trois côtés, quel instrument utilise-t-on pour reporter les longueurs ABAB et ACAC ?

Explication : On ouvre le compas sur la longueur voulue, on pique en B ou en C, et on trace un arc de cercle pour reporter la longueur.

Des côtés de 55 cm, 66 cm et 99 cm forment-ils un triangle ?

Explication : Le plus grand côté est 9. On vérifie : 5+6=115 + 6 = 11, et 9<119 < 11 : la condition est vérifiée, le triangle existe.

La somme des mesures des trois angles d'un triangle vaut toujours :

Explication : La somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à 180°, quel que soit le triangle.

Un triangle a deux angles de 72°72° et 55°55°. Quelle est la mesure du troisième angle ?

Explication : 72+55=12772 + 55 = 127.
Le troisième angle vaut 180−127=53°180 - 127 = 53°.

Un triangle isocèle a un angle au sommet principal de 40°40°. Quelle est la mesure de chaque angle à la base ?

Explication : Somme des angles de base =180−40=140°= 180 - 40 = 140°.
Comme les deux angles de base sont égaux : 140÷2=70°140 \div 2 = 70° chacun.

Le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec B^=35°\widehat{B} = 35°. Quelle est la mesure de C^\widehat{C} ?

Explication : A^+B^+C^=180°\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°.
90+35+C^=18090 + 35 + \widehat{C} = 180.
C^=180−125=55°\widehat{C} = 180 - 125 = 55°.

La hauteur d'un triangle issue d'un sommet est une droite qui passe par ce sommet et qui est :

Explication : La hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).

Les trois hauteurs d'un triangle sont dites « concourantes ». Que cela signifie-t-il ?

Explication : Les trois hauteurs d'un triangle se coupent toujours en un même point, quelle que soit la forme du triangle.

Le triangle DEFDEF a un angle obtus en EE. Où tombe le pied de la hauteur issue de DD ?

Explication : Quand l'angle en E est obtus, le pied de la hauteur issue de D tombe forcément à l'extérieur du segment [EF] : il faut prolonger ce côté pour tracer la hauteur.

Amadou possède un jardin triangulaire de côtés 1212 m, 1515 m et 99 m. Il veut le clôturer avec du fil vendu 850850 F CFA le mètre. Combien coûtera la clôture ?

Explication : Le périmètre est P=12+15+9=36P = 12 + 15 + 9 = 36 m.
Coût =36×850=30 600= 36 \times 850 = 30\,600 F CFA.

Un vendeur propose un terrain triangulaire de côtés 5050 m, 8080 m et 2020 m. Ce terrain peut-il vraiment exister ?

Explication : Le plus grand côté est 80. On vérifie : 50+20=7050 + 20 = 70, et 70<8070 < 80 : la condition n'est pas vérifiée, ce triangle ne peut pas exister.

Le toit d'une maison, vu de face, a la forme d'un triangle isocèle. L'angle au faîte mesure 74°74°. Quelle est la mesure de chaque angle à la base ?

Explication : Somme des angles de base =180−74=106°= 180 - 74 = 106°.
Chaque angle de base =106÷2=53°= 106 \div 2 = 53°.
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