Quadrilatères usuels

Reconnaître et construire rectangle, losange, carré et parallélogramme à partir de leurs propriétés.

Mathématiques 6ème Chapitre 10 / 14 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Citer les propriétés caractéristiques de chaque quadrilatère
Construire une figure à partir de consignes
Justifier la nature d'un quadrilatère

Regarde autour de toi : la porte de ta classe, la couverture de ton cahier, un carreau de la cour, le motif d'un pagne… Toutes ces formes ont 4 côtés. On les appelle des quadrilatères, et certains d'entre eux reviennent tout le temps : le rectangle, le losange, le carré et le parallélogramme.

Jusqu'ici, tu reconnaissais un rectangle « à l'œil ». Dans ce chapitre, tu vas apprendre à le prouver grâce à ses propriétés (ses angles, ses côtés, ses diagonales), et à le construire avec précision, à la règle, à l'équerre et au compas. C'est exactement ce que fait un menuisier pour une porte, une couturière pour une nappe, ou un maçon pour un carrelage.

Trois outils vont t'accompagner tout le long du chapitre : la règle (pour mesurer et tracer des segments), l'équerre (pour tracer et vérifier des angles droits) et le compas (pour reporter des longueurs égales). Garde-les à portée de main !

1Vocabulaire du quadrilatère

Avant de construire, il faut savoir nommer. Voici les mots dont tu auras besoin dans tout le chapitre.

Définition

Un quadrilatère est une figure fermée formée de 4 côtés qui sont des segments de droite. Il a donc aussi 4 sommets (les points où deux côtés se rencontrent).

On nomme un quadrilatère en écrivant ses 4 sommets dans l'ordre où on les rencontre en faisant le tour de la figure : par exemple ABCD.

Dans un quadrilatère ABCD, deux côtés qui se touchent en un sommet (comme $[AB]$ et $[BC]$ ) sont dits consécutifs. Deux côtés qui ne se touchent pas (comme $[AB]$ et $[CD]$ ) sont dits opposés. C'est la même idée pour les sommets : A et B sont consécutifs, A et C sont opposés.

Définition

Une diagonale d'un quadrilatère est un segment qui relie deux sommets opposés (donc pas deux sommets voisins). Un quadrilatère ABCD a exactement 2 diagonales : $[AC]$ et $[BD]$ .

Attention

Ne confonds pas côté et diagonale ! Un côté relie deux sommets voisins et fait partie du contour de la figure. Une diagonale relie deux sommets opposés et passe à l'intérieur du quadrilatère.

Figure 1 — Le quadrilatère ABCD a 4 sommets (A, B, C, D), 4 côtés (les segments du contour) et 2 diagonales (en pointillés), qui relient les sommets opposés.

1.1 Le périmètre d'un quadrilatère

Définition

Le périmètre d'un quadrilatère est la longueur totale de son contour : c'est la somme des longueurs de ses 4 côtés.

Exemple — périmètre d'un quadrilatère ABCD

Un quadrilatère ABCD a pour côtés $AB = 5\ \text{cm}$ , $BC = 3\ \text{cm}$ , $CD = 6\ \text{cm}$ et $DA = 4\ \text{cm}$ .

$P = AB + BC + CD + DA$
$=$ $5 + 3 + 6 + 4$ on additionne les 4 côtés, en cm
$=$ $18\ \text{cm}$

Retiens bien cette idée simple : pour trouver un périmètre, on fait toujours le tour de la figure en additionnant chaque côté. Dans les prochaines sections, tu vas découvrir des quadrilatères très particuliers, avec des propriétés qui rendent ce calcul beaucoup plus rapide.

2Rectangle : propriétés et constructions

Le rectangle est sans doute le quadrilatère que tu croises le plus souvent : une porte, un livre, un écran, une feuille A4… Sa particularité tient en un mot : les angles droits.

Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.

Propriété

Dans un rectangle :

les côtés opposés sont de même longueur et parallèles ;
les diagonales ont la même longueur ;
les diagonales se coupent en leur milieu (elles se partagent en deux, exactement au même endroit).

Et réciproquement : si les diagonales d'un quadrilatère ont la même longueur et se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle.

Sur une figure, on ne se contente pas de dessiner : on code la figure pour montrer ce que l'on sait. Un petit carré dans un angle signale un angle droit. Des petits traits identiques sur deux côtés signalent des longueurs égales.

Figure 2 — Rectangle ABCD codé : 4 angles droits, côtés opposés égaux (traits identiques), diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu (point rouge).

Démonstration — pourquoi les diagonales sont-elles égales ?

Prends une feuille rectangulaire (une feuille A4, par exemple) et plie-la le long d'une diagonale : elle se superpose exactement sur elle-même le long de cette pliure. Fais de même avec l'autre diagonale. Les deux diagonales relient toujours deux coins opposés d'un rectangle qui a la même largeur et la même longueur des deux côtés du pli : elles mesurent donc la même longueur. En mesurant au double décimètre les diagonales d'un rectangle codé, tu vérifieras à chaque fois cette égalité.

2.1 Construire un rectangle

Méthode — construire un rectangle ABCD de longueur L et de largeur l

À la règle, trace un segment $[AB]$ de longueur L.
À l'équerre, place-la sur A : trace la perpendiculaire à $[AB]$ en A. Fais de même en B.
Au compas (ou à la règle), reporte la longueur l sur chacune de ces deux perpendiculaires : tu obtiens D (au-dessus de A) et C (au-dessus de B).
Relie D et C à la règle : tu obtiens le rectangle ABCD.

Figure 3 — Les trois étapes de la construction d'un rectangle : le segment de base, les perpendiculaires à l'équerre, puis le report de la largeur au compas pour fermer la figure.

Exemple — construire et calculer le périmètre

On construit un rectangle ABCD avec la méthode ci-dessus, de longueur $L = 6\ \text{cm}$ et de largeur $l = 4\ \text{cm}$ . Comme les côtés opposés d'un rectangle sont égaux deux à deux, on additionne deux fois L et deux fois l.

$P = L + l + L + l$
$=$ $2 \times L + 2 \times l$
$=$ $2 \times (L + l)$
$=$ $2 \times (6 + 4)$
$=$ $2 \times 10$
$=$ $20\ \text{cm}$

Attention

Avoir 4 angles droits ne suffit pas à voir « à l'œil » qu'une figure est un rectangle : il faut vérifier les 4 angles à l'équerre, un par un. Un quadrilatère qui « a l'air » rectangle avec un seul angle vérifié peut très bien ne pas en être un !

Math & Co — La corde à 13 nœuds

Comment tracer un angle droit sans équerre ? Il y a environ 4 000 ans, les arpenteurs égyptiens utilisaient une corde à 13 nœuds régulièrement espacés, formant 12 intervalles égaux. En tendant la corde pour former un triangle de côtés 3, 4 et 5 intervalles, ils obtenaient toujours un angle droit entre les côtés 3 et 4 — c'est exactement le théorème que tu retrouveras plus tard sous le nom de Pythagore ! Ces « tendeurs de corde », appelés harpédonaptes, s'en servaient pour redessiner les limites des champs après les crues du Nil, et pour tracer les bases parfaitement rectangulaires des temples et des pyramides.

3Losange

Change de repère : oublie les angles droits, et concentre-toi sur les longueurs des côtés. C'est ce qui définit le losange, cette forme en « diamant » que tu reconnais sur certains pagnes ou certains vitraux.

Définition

Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de la même longueur.

Propriété

Dans un losange :

les côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
les diagonales sont perpendiculaires ;
les diagonales se coupent en leur milieu.

Figure 4 — Losange ABCD codé : les 4 côtés portent le même trait de codage (ils sont égaux) ; les diagonales, perpendiculaires, se coupent en leur milieu (point rouge).

Démonstration — pourquoi les diagonales sont-elles perpendiculaires ?

Découpe un losange dans une feuille et plie-le le long d'une diagonale : les deux moitiés se superposent exactement, car les 4 côtés sont égaux. Cette diagonale est donc un axe de symétrie : elle « retourne » la figure sur elle-même, ce qui n'est possible que si elle coupe l'autre diagonale à angle droit, exactement en son milieu.

3.1 Construire un losange

Méthode — construire un losange ABCD de côté c, connaissant la diagonale [AC]

À la règle, trace la diagonale $[AC]$ .
Au compas, pointe en A avec un écartement égal à c, et trace un arc de part et d'autre de $[AC]$ . Fais de même en pointant en C, avec le même écartement c.
Les deux arcs se coupent en deux points : ce sont B (au-dessus) et D (au-dessous). Relie A, B, C, D à la règle.

Figure 5 — Construction d'un losange au compas : la diagonale [AC], les arcs de même rayon c tracés depuis A et C, puis le losange ABCD obtenu en reliant les 4 points.

Exemple — périmètre d'un losange

Un losange a des côtés de longueur $c = 3{,}5\ \text{cm}$ . Comme ses 4 côtés sont égaux, on multiplie simplement par 4.

$P = 4 \times c$
$=$ $4 \times 3{,}5$
$=$ $14\ \text{cm}$

Exemple — reconnaître un losange

ABCD est un quadrilatère tel que $AB = BC = CD = DA = 4\ \text{cm}$ . Ses diagonales mesurent-elles la même longueur ? On mesure : $AC = 7,4$ cm et $BD = 3$ cm : les diagonales sont différentes. Ce n'est pas un problème : la définition du losange porte sur les côtés, pas sur les diagonales. ABCD est bien un losange, avec des diagonales inégales mais perpendiculaires.

Attention

Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires, mais elles n'ont pas besoin d'être égales. Ne confonds pas cette propriété avec celle du rectangle (diagonales égales, mais pas forcément perpendiculaires) !

Figure 6 — Sur ce pagne imaginaire, le motif est une bande de losanges identiques assemblés côté contre côté.

Math & Co — Le mot « losange »

Le mot losange vient du très ancien mot gaulois lausa, qui désignait une pierre plate. Au Moyen Âge, la forme en losange devient un symbole d'héraldique : sur les blasons, un losange dans les armoiries signale souvent l'appartenance d'une femme noble à sa famille. Bien plus tard et sur un autre continent, les tisserands et tisserandes d'Afrique de l'Ouest tissent des pagnes entiers à base de motifs en losanges répétés : la même figure géométrique, utilisée pour des raisons totalement différentes, à des milliers de kilomètres et des siècles d'écart !

4Carré

Et si une figure avait à la fois tous les angles droits d'un rectangle et tous les côtés égaux d'un losange ? C'est exactement le carré : le quadrilatère le plus « parfait » de tous.

Définition

Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de la même longueur.

Autrement dit : un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Propriété

Un carré cumule toutes les propriétés du rectangle et du losange. Ses diagonales sont donc :

de même longueur (propriété du rectangle) ;
perpendiculaires (propriété du losange) ;
et se coupent en leur milieu.

Figure 7 — Carré ABCD codé : 4 angles droits et 4 côtés égaux ; ses diagonales sont à la fois égales et perpendiculaires.

Exemple — périmètre d'un carré

Un carré a un côté $c = 5{,}5\ \text{cm}$ .

$P = 4 \times c$
$=$ $4 \times 5{,}5$
$=$ $22\ \text{cm}$

Exemple — un carré est-il un rectangle ?

ABCD est un carré : il a donc 4 angles droits. Un rectangle est défini comme un quadrilatère ayant 4 angles droits. Puisque ABCD vérifie cette condition, ABCD est un rectangle (un rectangle très particulier, avec en plus des côtés tous égaux). De même, ABCD est un losange particulier.

Attention

Tout carré est un rectangle, mais tout rectangle n'est pas un carré ! Il faut en plus que les côtés soient égaux. C'est comme dire « tout chat est un animal », sans que « tout animal soit un chat ».

Figure 8 — Un carrelage régulier est un pavage de carrés identiques, tous égaux et tous codés de la même façon.

Math & Co — Un carré vieux de 4 500 ans

La grande pyramide de Khéops, achevée vers -2560 à Gizeh, en Égypte, a une base presque parfaitement carrée : ses 4 côtés mesurent environ 230,4 mètres, avec un écart de seulement quelques centimètres entre eux ! Sans compas géant ni instrument moderne, les bâtisseurs égyptiens ont réussi cette précision en combinant la corde à 13 nœuds (pour les angles droits) et des cordes tendues de longueur égale (pour les côtés égaux) — exactement les deux méthodes que tu viens d'apprendre.

5Parallélogramme (approche)

Le rectangle et le losange ont un point commun que tu n'avais peut-être pas remarqué : dans les deux cas, les côtés opposés sont parallèles. C'est justement l'idée du parallélogramme, une famille de quadrilatères plus large, que tu approfondiras davantage au collège.

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Propriété

Dans un parallélogramme :

les côtés opposés sont de même longueur ;
les diagonales se coupent en leur milieu (mais elles ne sont pas forcément égales, ni perpendiculaires).

Figure 9 — Parallélogramme ABCD codé : côtés opposés égaux et parallèles (mêmes traits), diagonales qui se coupent en leur milieu commun O, sans être égales.

Exemple — le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes

Un rectangle a ses côtés opposés parallèles (ils sont même perpendiculaires aux deux autres côtés) : c'est donc un parallélogramme, avec en plus 4 angles droits. Un losange a lui aussi ses côtés opposés parallèles : c'est un parallélogramme, avec en plus 4 côtés égaux. Le carré, qui cumule les deux, est un parallélogramme très particulier.

Exemple — reconnaître un parallélogramme

ABCD est un quadrilatère dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en un point O tel que $OA = OC = 4\ \text{cm}$ et $OB = OD = 3\ \text{cm}$ . Les diagonales se coupent en leur milieu commun : c'est la propriété du parallélogramme. ABCD est donc un parallélogramme — et comme $OA \neq OB$ , rien n'indique que ce soit un rectangle, un losange ou un carré.

Attention

Ne dis jamais qu'un parallélogramme a des diagonales égales ou perpendiculaires « en général » : ce n'est vrai que pour les parallélogrammes particuliers que sont le rectangle (diagonales égales) et le losange (diagonales perpendiculaires).

6Axes de symétrie

Dernier outil pour reconnaître nos quadrilatères : leurs axes de symétrie. Un axe de symétrie est une droite qui partage une figure en deux parties qui se superposent exactement quand on plie la figure le long de cette droite.

Définition

Une droite $d$ est un axe de symétrie d'une figure si, en pliant la figure le long de $d$ , les deux parties se superposent parfaitement.

Propriété

Le rectangle a 2 axes de symétrie : les deux droites qui passent par les milieux des côtés opposés.
Le losange a 2 axes de symétrie : ce sont exactement ses deux diagonales.
Le carré, qui cumule les deux figures, a 4 axes de symétrie : les 2 droites « milieux » du rectangle, plus les 2 diagonales du losange.

Figure 10 — Les axes de symétrie (en violet) : deux « milieux » pour le rectangle, deux diagonales pour le losange, et les quatre à la fois pour le carré.

Exemple — plier une feuille rectangulaire

Prends une feuille de cahier (rectangulaire). Plie-la en amenant un petit côté sur l'autre petit côté : la pliure est un axe de symétrie. Plie-la maintenant en amenant un grand côté sur l'autre grand côté : tu obtiens le deuxième axe. En revanche, si tu plies le long d'une diagonale, les deux parties ne se superposent pas (sauf si la feuille est carrée) : la diagonale n'est donc pas un axe de symétrie du rectangle.

Exemple — le carrelage et le pagne, deux motifs symétriques

Un carreau de sol carré posé bien droit possède 4 axes de symétrie : c'est ce qui permet de le tourner d'un quart de tour sans que le carrelage « se voie ». Un losange de pagne, lui, n'a que 2 axes : ses deux diagonales. C'est pourquoi un motif en losanges a l'air différent si on le tourne d'un quart de tour, mais identique si on le retourne le long d'une diagonale.

Propriété	Parallélogramme	Rectangle	Losange	Carré
4 angles droits	non	oui	non	oui
Côtés opposés égaux	oui	oui	oui	oui
4 côtés tous égaux	non	non	oui	oui
Diagonales égales	non	oui	non	oui
Diagonales perpendiculaires	non	non	oui	oui
Diagonales de même milieu	oui	oui	oui	oui
Nombre d'axes de symétrie	0	2	2	4

Ce tableau est ta meilleure carte de visite pour tout le chapitre : avec les propriétés d'un quadrilatère, remonte la première ligne qui « colle », et tu sauras exactement de quelle figure il s'agit.

Fiche mémo

Quadrilatère : 4 côtés, 4 sommets, 2 diagonales (elles relient les sommets opposés).
Périmètre = somme des 4 côtés.
Rectangle : 4 angles droits ; côtés opposés égaux ; diagonales égales, même milieu ; $P = 2 \times (L + l)$ ; 2 axes de symétrie.
Losange : 4 côtés égaux ; diagonales perpendiculaires, même milieu ; $P = 4 \times c$ ; 2 axes de symétrie (les diagonales).
Carré = rectangle ET losange : 4 angles droits + 4 côtés égaux ; diagonales égales, perpendiculaires, même milieu ; $P = 4 \times c$ ; 4 axes de symétrie.
Parallélogramme : côtés opposés parallèles et égaux ; diagonales de même milieu (pas forcément égales ni perpendiculaires).
Tout carré est un rectangle et un losange — l'inverse est faux.
Codage : petit carré dans un angle = angle droit ; traits identiques sur deux côtés = longueurs égales.
Construire à l'équerre : tracer un angle droit. Construire au compas : reporter une longueur égale.
Diagonale ≠ côté : la diagonale relie deux sommets opposés, pas voisins.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Trace au brouillon, à main levée, un quadrilatère MNOP (dans cet ordre autour de la figure).

Cite ses 4 sommets, puis ses 4 côtés.
Cite ses 2 diagonales.
Cite un couple de côtés opposés, puis un couple de côtés consécutifs.

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1. Les 4 sommets sont M, N, O, P. Les 4 côtés sont $[MN]$ , $[NO]$ , $[OP]$ et $[PM]$ .

2. Les 2 diagonales relient les sommets opposés : ce sont $[MO]$ et $[NP]$ .

3. $[MN]$ et $[OP]$ sont des côtés opposés (ils ne se touchent pas). $[MN]$ et $[NO]$ sont des côtés consécutifs (ils se touchent au sommet N).

Un rectangle a pour longueur $L = 8\ \text{cm}$ et pour largeur $l = 5\ \text{cm}$ . Calcule son périmètre.

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$P = 2 \times (L + l)$
$=$ $2 \times (8 + 5)$
$=$ $2 \times 13$
$=$ $26\ \text{cm}$

Un losange a des côtés de longueur $c = 6{,}2\ \text{cm}$ . Calcule son périmètre.

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$P = 4 \times c$
$=$ $4 \times 6{,}2$
$=$ $24{,}8\ \text{cm}$

Un carré a un côté $c = 9\ \text{cm}$ .

Calcule son périmètre.
Ce carré est-il aussi un rectangle ? Est-il aussi un losange ? Justifie.

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$P = 4 \times c$
$=$ $4 \times 9$
$=$ $36\ \text{cm}$

2. Un carré a par définition 4 angles droits : c'est donc aussi un rectangle. Un carré a aussi 4 côtés égaux : c'est donc aussi un losange. Un carré est toujours les deux à la fois.

Voici un rectangle ABCD codé (Figure 11).

Quel est son périmètre ?
Sans les mesurer, que peux-tu affirmer sur ses diagonales ? Pourquoi ?

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Figure 11 — Rectangle ABCD codé, longueur 6 cm et largeur 3 cm.

$P = 2 \times (6 + 3)$
$=$ $2 \times 9$
$=$ $18\ \text{cm}$

2. Les diagonales d'un rectangle ont toujours la même longueur : c'est une propriété du cours, valable pour tout rectangle, donc pas besoin de les mesurer.

Niveau 2 — Approfondissement

Un rectangle a un périmètre de $30\ \text{cm}$ . Sa longueur est le double de sa largeur. Quelles sont ses dimensions ?

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On note $l$ la largeur ; la longueur vaut alors $2 \times l$ .

$P = 2 \times (L + l)$
$\Rightarrow$ $30 = 2 \times (2l + l)$
$\Rightarrow$ $30 = 2 \times 3l$
$\Rightarrow$ $30 = 6 \times l$
$\Rightarrow$ $l = 5\ \text{cm}$

La longueur vaut le double : $L = 2 \times 5 = 10\ \text{cm}$ .

Vérification : $2 \times (10 + 5) = 2 \times 15 = 30\ \text{cm}$ . Correct.

Voici un quadrilatère EFGH codé (Figure 12).

Quelle est la nature de EFGH ? Cite la propriété utilisée.
Peux-tu affirmer que c'est un carré ? Pourquoi ?

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Figure 12 — EFGH : les 4 côtés portent le même codage (traits identiques), aucun angle droit n'est codé.

1. Le codage montre que $EF = FG = GH = HE$ : les 4 côtés sont égaux. Par définition, un quadrilatère à 4 côtés égaux est un losange. EFGH est donc un losange.

2. Non : pour être un carré, il faudrait en plus que les 4 angles soient droits. Aucun angle droit n'est codé sur la figure : on ne peut donc pas affirmer que EFGH est un carré.

Un terrain a la forme d'un « L », comme sur la Figure 13 : un rectangle de $8\ \text{m}$ sur $9\ \text{m}$ auquel on a retiré un coin carré de $4\ \text{m}$ de côté. Calcule le périmètre de ce terrain.

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Figure 13 — Le terrain en L : ses 6 côtés extérieurs, tous mesurés.

On fait le tour du terrain en additionnant ses 6 côtés.

$P = 8 + 9 + 4 + 4 + 4 + 5$
$=$ $34\ \text{m}$

Remarque utile : ce périmètre est exactement celui du grand rectangle qui « contient » le terrain : $2 \times (8 + 9) = 34\ \text{m}$ . C'est normal : quand on découpe un coin rectangulaire, on ne change jamais la longueur totale du contour.

Un carré et un rectangle ont le même périmètre. Le rectangle mesure $12\ \text{cm}$ sur $6\ \text{cm}$ . Quel est le côté du carré ?

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On calcule d'abord le périmètre du rectangle.

$P_{\text{rectangle}} = 2 \times (12 + 6)$
$=$ $2 \times 18$
$=$ $36\ \text{cm}$

Le carré a le même périmètre, donc $P_{\text{carré}} = 36\ \text{cm}$ . Comme $P_{\text{carré}} = 4 \times c$ :

$4 \times c = 36$
$\Rightarrow$ $c = 36 \div 4$
$\Rightarrow$ $c = 9\ \text{cm}$

Niveau 3 — Défi

ABCD est un quadrilatère (figure à main levée, non en vraie grandeur — Figure 14) dont les diagonales se coupent en un point O tel que $OA = OB = OC = OD = 4\ \text{cm}$ .

Calcule les longueurs $AC$ et $BD$ .
Le point O est-il le milieu de $[AC]$ ? de $[BD]$ ? Justifie.
Quelle est la nature de ABCD ? Justifie en citant une propriété du cours.

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Figure 14 — ABCD : les quatre demi-diagonales OA, OB, OC, OD sont toutes égales à 4 cm (codage identique).

$AC = OA + OC = 4 + 4 = 8\ \text{cm}$
$BD = OB + OD = 4 + 4 = 8\ \text{cm}$

Donc $AC = BD$ : les diagonales sont égales.

2. Comme $OA = OC$ , le point O partage $[AC]$ en deux parts égales : O est le milieu de $[AC]$ . De même, comme $OB = OD$ , O est le milieu de $[BD]$ .

3. Les diagonales de ABCD sont de même longueur et se coupent en leur milieu : d'après la propriété du cours (la réciproque vue en section 2), ABCD est un rectangle.

Un rectangle a un périmètre de $28\ \text{cm}$ . Sa longueur dépasse sa largeur de $4\ \text{cm}$ ( $L - l = 4$ ).

Calcule $L + l$ .
En utilisant $L + l$ et $L - l$ , retrouve $L$ et $l$ .

Voir le corrigé détaillé

$P = 2 \times (L + l)$
$\Rightarrow$ $28 = 2 \times (L + l)$
$\Rightarrow$ $L + l = 14$

2. On sait que $L + l = 14$ et $L - l = 4$ . En additionnant ces deux égalités, les $l$ « s'annulent » et il ne reste que $2 \times L$ ; en les soustrayant, il ne reste que $2 \times l$ .

$2 \times L = 14 + 4 = 18$ on additionne les deux sommes
$\Rightarrow$ $L = 9\ \text{cm}$
$2 \times l = 14 - 4 = 10$ on soustrait les deux sommes
$\Rightarrow$ $l = 5\ \text{cm}$

Vérification : $2 \times (9 + 5) = 28$ et $9 - 5 = 4$ . Les deux conditions sont respectées.

Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie.

Tout losange est un parallélogramme.
Tout parallélogramme est un losange.
Un carré possède plus d'axes de symétrie qu'un rectangle qui n'est pas un carré.

Voir le corrigé détaillé

1. Vrai. Un losange a ses côtés opposés parallèles (propriété du cours) : c'est exactement la définition d'un parallélogramme.

2. Faux. Contre-exemple : un parallélogramme dont les côtés mesurent $6\ \text{cm}$ et $3\ \text{cm}$ a des côtés opposés égaux deux à deux, mais ses 4 côtés ne sont pas tous égaux : ce n'est donc pas un losange.

3. Vrai. Le carré a 4 axes de symétrie, tandis qu'un rectangle qui n'est pas un carré n'en a que 2 : $4 > 2$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La cour de Fatoumata (Bamako). Fatoumata fait carreler une cour rectangulaire de $4\ \text{m}$ sur $3\ \text{m}$ avec des tuiles carrées de $0{,}5\ \text{m}$ de côté (Figure 15), vendues $750$ F CFA la tuile.

Combien de tuiles faut-il pour couvrir toute la cour ?
Quel est le coût total des tuiles ?
Elle commande aussi une bordure de finition, vendue $1\,500$ F CFA le mètre, tout autour de la cour. Quel est le coût de cette bordure ?

Voir le corrigé détaillé

Figure 15 — La cour de 4 m sur 3 m pavée de 8 × 6 tuiles carrées de 0,5 m de côté.

1. Le long des 4 m, il faut $4 \div 0{,}5 = 8$ tuiles ; le long des 3 m, il faut $3 \div 0{,}5 = 6$ tuiles.

nombre de tuiles $= 8 \times 6$
$=$ $48$ tuiles

coût $= 48 \times 750$
$=$ $36\,000$ F CFA

3. Le périmètre de la cour (rectangle $4\ \text{m} \times 3\ \text{m}$ ) :

$P = 2 \times (4 + 3)$
$=$ $14\ \text{m}$
coût de la bordure $= 14 \times 1\,500$
$=$ $21\,000$ F CFA

Le pagne d'Aïcha (Douala). Aïcha, couturière à Douala, découpe des pièces de pagne rectangulaires de $1{,}8\ \text{m}$ sur $1{,}2\ \text{m}$ . Chaque pièce doit être bordée d'un ruban vendu $1\,200$ F CFA le mètre, tout le long de son périmètre.

Calcule le périmètre d'une pièce de pagne.
Calcule le coût du ruban nécessaire pour une pièce.
Aïcha dispose d'un budget de $15\,000$ F CFA pour le ruban. Combien de pièces complètes peut-elle border ?

Voir le corrigé détaillé

$P = 2 \times (1{,}8 + 1{,}2)$
$=$ $2 \times 3$
$=$ $6\ \text{m}$

coût $= 6 \times 1\,200$
$=$ $7\,200$ F CFA

$15\,000 \div 7\,200 \approx 2{,}08$

Elle a de quoi border 2 pièces complètes ( $2 \times 7\,200 = 14\,400$ F CFA), mais pas une 3ᵉ, qui coûterait $21\,600$ F CFA au total.

Le jardin de M. Diallo (Ndjamena). M. Diallo aménage, à Ndjamena, un massif de fleurs en forme de losange dont chaque côté mesure $2{,}4\ \text{m}$ . Il veut l'entourer d'un grillage vendu $2\,500$ F CFA le mètre, et planter un poteau à chacun de ses 4 sommets, chaque poteau coûtant $3\,000$ F CFA.

Calcule le périmètre du massif.
Calcule le coût total du grillage.
Calcule le coût total (grillage + poteaux).

Voir le corrigé détaillé

$P = 4 \times 2{,}4$
$=$ $9{,}6\ \text{m}$

coût grillage $= 9{,}6 \times 2\,500$
$=$ $24\,000$ F CFA

coût poteaux $= 4 \times 3\,000 = 12\,000$ F CFA
coût total $= 24\,000 + 12\,000$
$=$ $36\,000$ F CFA

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un quadrilatère est une figure fermée qui a :

3 côtés 4 côtés 5 côtés un nombre de côtés qui varie

Explication : Un quadrilatère est une figure fermée formée de 4 côtés, qui sont des segments de droite. Il a donc aussi 4 sommets.

Dans un quadrilatère ABCD, une diagonale est un segment qui relie :

deux sommets opposés deux sommets voisins le centre à un sommet deux côtés

Explication : Une diagonale relie deux sommets opposés (donc pas voisins) et passe à l'intérieur de la figure. Un quadrilatère a exactement 2 diagonales.

Un quadrilatère ABCD a pour côtés $AB = 4\ \text{cm}$ , $BC = 5\ \text{cm}$ , $CD = 3\ \text{cm}$ et $DA = 6\ \text{cm}$ . Quel est son périmètre ?

20\ \text{cm}

9\ \text{cm}

18\ \text{cm}

15\ \text{cm}

Explication : On additionne les 4 côtés.

4+5+3+6 = 18\ \text{cm}

Un rectangle est un quadrilatère qui a :

4 côtés égaux des diagonales perpendiculaires 3 angles droits 4 angles droits

Explication : La définition du rectangle repose uniquement sur les angles : il doit avoir 4 angles droits.

Dans un rectangle, les diagonales :

ont la même longueur et se coupent en leur milieu sont toujours perpendiculaires ne se coupent jamais sont plus courtes que les côtés

Explication : Dans un rectangle, les diagonales ont toujours la même longueur, et elles se coupent en leur milieu.

Un rectangle a pour longueur $L = 8\ \text{cm}$ et pour largeur $l = 5\ \text{cm}$ . Quel est son périmètre ?

13\ \text{cm}

26\ \text{cm}

40\ \text{cm}

20\ \text{cm}

Explication :

P = 2 \times (L+l) = 2 \times (8+5) = 2 \times 13 = 26\ \text{cm}

Un losange est un quadrilatère qui a :

4 angles droits des diagonales égales 4 côtés de la même longueur seulement 2 côtés égaux

Explication : La définition du losange repose uniquement sur les côtés : ils doivent tous avoir la même longueur.

Dans un losange, les diagonales :

ont forcément la même longueur ne se croisent jamais sont toujours des côtés du losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu

Explication : Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, mais elles n'ont pas besoin d'avoir la même longueur.

Un losange a des côtés de longueur $c = 6\ \text{cm}$ . Quel est son périmètre ?

24\ \text{cm}

12\ \text{cm}

10\ \text{cm}

36\ \text{cm}

Explication : Un losange a 4 côtés égaux.

P = 4 \times c = 4 \times 6 = 24\ \text{cm}

Un carré est un quadrilatère qui a :

4 côtés égaux seulement, sans condition sur les angles 4 angles droits ET 4 côtés de la même longueur seulement des diagonales égales 3 côtés égaux et un angle droit

Explication : Le carré cumule les deux conditions : il est à la fois un rectangle (4 angles droits) et un losange (4 côtés égaux).

Tout carré est :

seulement un losange, jamais un rectangle ni un rectangle ni un losange à la fois un rectangle et un losange seulement un rectangle, jamais un losange

Explication : Un carré a 4 angles droits (comme un rectangle) et 4 côtés égaux (comme un losange) : il est donc les deux à la fois.

Un carré a un côté $c = 9\ \text{cm}$ . Quel est son périmètre ?

36\ \text{cm}

18\ \text{cm}

81\ \text{cm}

13\ \text{cm}

Explication :

P = 4 \times c = 4 \times 9 = 36\ \text{cm}

Un parallélogramme est un quadrilatère dont :

tous les angles sont droits les côtés opposés sont parallèles deux à deux tous les côtés sont égaux les diagonales sont toujours égales

Explication : La définition du parallélogramme porte sur le parallélisme des côtés opposés, sans condition sur les angles ni sur les longueurs des diagonales.

Dans un parallélogramme, les diagonales :

sont toujours perpendiculaires sont toujours égales se coupent en leur milieu commun, sans être forcément égales ne se coupent jamais

Explication : Dans tout parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, mais elles ne sont égales ou perpendiculaires que dans des cas particuliers (rectangle, losange).

Le rectangle et le losange sont-ils des parallélogrammes ?

non, ce sont des figures totalement différentes seulement le rectangle seulement le losange oui, tous les deux, car leurs côtés opposés sont parallèles

Explication : Dans un rectangle comme dans un losange, les côtés opposés sont parallèles deux à deux : ce sont donc tous les deux des parallélogrammes particuliers.

Un axe de symétrie d'une figure est une droite telle que :

en pliant la figure le long de cette droite, les deux parties se superposent exactement elle passe toujours par le centre elle est toujours une diagonale elle coupe la figure en trois parts égales

Explication : C'est la définition de l'axe de symétrie : la pliure fait coïncider parfaitement les deux moitiés de la figure.

Combien d'axes de symétrie possède un rectangle (qui n'est pas un carré) ?

4 2 0 1

Explication : Le rectangle a 2 axes de symétrie : les deux droites qui passent par les milieux des côtés opposés (les diagonales, elles, ne sont pas des axes, sauf si c'est un carré).

Combien d'axes de symétrie possède un losange ?

4 0 2, qui sont ses deux diagonales 3

Explication : Les 2 axes de symétrie du losange sont exactement ses deux diagonales.

Combien d'axes de symétrie possède un carré ?

1 2 0 4

Explication : Le carré cumule les 2 axes du rectangle (les droites « milieux ») et les 2 diagonales du losange : cela fait 4 axes de symétrie en tout.

ABCD est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en un point O tel que $OA = OC$ et $OB = OD$ , avec $OA \neq OB$ . Que peut-on affirmer avec certitude ?

ABCD est un parallélogramme ABCD est un carré ABCD est un losange ABCD n'est pas un quadrilatère

Explication : Les diagonales se coupent en leur milieu commun : c'est exactement la propriété du parallélogramme. Comme les diagonales ne sont pas égales, rien ne permet d'affirmer que c'est un rectangle, un losange ou un carré.

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En bref

Classe : Classe de Sixième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 6 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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