Cercle et disque

Manipuler le cercle : rayon, diamètre, corde, arc, et l'utiliser dans les constructions.

Mathématiques 6ème Chapitre 11 / 14 ⏱ 4 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Tracer un cercle passant par des points donnés
Utiliser le compas pour reporter une longueur
Décrire un cercle avec le vocabulaire exact

Regarde autour de toi : la roue d'une bicyclette, une pièce de monnaie, une horloge, une pizza, le Soleil dans le ciel du soir... Le cercle est sans doute la figure géométrique la plus présente dans le monde qui t'entoure. Depuis l'école primaire, tu sais reconnaître un cercle du premier coup d'œil. Mais sais-tu le décrire avec des mots précis ? Sais-tu le construire sans jamais le recopier sur un modèle ?

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à utiliser un outil que tout géomètre digne de ce nom sait manier : le compas. Avec lui, tu vas tracer des cercles d'une précision parfaite, reporter une longueur d'un trait à un autre sans jamais utiliser de règle graduée, et même construire de magnifiques rosaces, comme celles que l'on retrouve sur les grandes mosquées ou dans les tissus traditionnels.

Tu vas aussi croiser un nombre extraordinaire, que les mathématiciens étudient depuis plus de deux mille ans : le nombre π (« pi »). Il se cache dans chaque cercle du monde, du plus petit bouton de chemise à la plus grande roue de fête foraine.

Ce chapitre change une chose importante par rapport à ce que tu connaissais : jusqu'ici, un cercle était juste « un rond ». À partir de maintenant, un cercle est un ensemble de points qui obéissent tous à une même règle de distance. C'est cette règle, très simple, qui va tout t'expliquer.

1Vocabulaire : centre, rayon, diamètre, corde, arc

Avant de tracer quoi que ce soit, apprenons à nommer chaque partie d'un cercle. En mathématiques, on ne dit jamais « le rond » ou « le bord » — on utilise des mots précis, que tout le monde comprend de la même façon.

1.1 Le centre et le rayon

Définition

Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble de tous les points situés exactement à la distance $r$ du point $O$ .

Si $M$ est un point du cercle, alors $OM = r$ .

Le mot rayon désigne deux choses à la fois : le segment qui joint le centre à un point du cercle (comme $[OA]$ ), et sa longueur (le nombre $r$ ).

Le centre $O$ n'est pas sur le cercle : il est au milieu, à l'intérieur. Tous les points du cercle sont à la même distance de lui — c'est exactement ce qui donne au cercle sa forme parfaitement ronde.

Exemple — mesurer un rayon

Une pièce de $500$ F CFA a un diamètre d'environ $2{,}6$ cm. On demande son rayon.

le rayon vaut la moitié du diamètre
$r = 2{,}6 \div 2$
$=$ $1{,}3$ cm

1.2 Le diamètre

Définition

Le diamètre d'un cercle est un segment qui joint deux points du cercle en passant par le centre. C'est aussi le nom donné à sa longueur, notée $d$ .

Propriété

Le diamètre mesure deux fois le rayon :

$d = 2 \times r \qquad \text{et donc} \qquad r = d \div 2$

Exemple — passer du rayon au diamètre

un cercle a pour rayon $r = 4{,}5$ cm
$d = 2 \times 4{,}5$
$=$ $9$ cm

Et si l'on connaît le diamètre $d = 15$ cm, on retrouve $r = 15 \div 2 = 7{,}5$ cm.

Attention

Le piège classique : multiplier ou diviser par $2$ au mauvais moment ! Retiens l'ordre des grandeurs : le diamètre est toujours plus grand que le rayon (deux fois plus grand, exactement). Si ton résultat donne un rayon plus grand que le diamètre de départ, tu t'es trompé de sens.

1.3 La corde et l'arc

Définition

Une corde est un segment qui joint deux points du cercle, sans obligation de passer par le centre.

Un diamètre est donc une corde particulière : la seule qui passe par le centre. Une corde « quelconque » est en général plus courte que le diamètre.

Définition

Un arc de cercle est un morceau de la ligne du cercle, compris entre deux de ses points.

La figure suivante réunit tout ce vocabulaire sur un seul cercle : prends le temps de bien repérer chaque couleur.

Figure 1 — Sur ce cercle de centre

O

[OA]

est un rayon,

[BC]

est un diamètre (il passe par

O

[DE]

est une corde (elle ne passe pas par

O

), et l'arc rouge est un arc de cercle.

Exemple — identifier chaque segment

Sur un cercle de centre $O$ : le segment $[OF]$ mesure $3$ cm, le segment $[GH]$ passe par $O$ et mesure $6$ cm, le segment $[IJ]$ ne passe pas par $O$ et mesure $4$ cm.

$[OF]$ est un rayon (il relie le centre à un point du cercle). $[GH]$ est un diamètre (il passe par $O$ ) — et l'on vérifie bien $6 = 2 \times 3$ . $[IJ]$ est une corde quelconque (elle ne passe pas par $O$ ).

1.4 Cercle ou disque ?

Attention — le piège le plus fréquent

Le cercle est seulement la ligne courbe, le bord. Le disque est toute la surface, à l'intérieur du cercle, bord compris. On confond souvent les deux mots — pourtant, un cercle ne peut pas se « colorier » (ce n'est qu'un trait), alors qu'un disque, oui.

Figure 2 — À gauche, un cercle : seulement la ligne. À droite, un disque : toute la surface intérieure, jusqu'au bord.

Exemple — cercle ou disque, dans la vraie vie

Le bord d'une pièce de monnaie, vu de très près, est un cercle. La pièce entière, avec sa matière, est un disque. Une pizza entière (pâte et garniture) est un disque ; le contour de sa croûte, lui, est un cercle.

2Construction au compas

Maintenant que tu sais nommer chaque partie du cercle, apprenons à le construire avec l'outil du géomètre : le compas. Contrairement à un gabarit, le compas permet de tracer un cercle de n'importe quel rayon, avec une précision parfaite.

2.1 Bien tenir le compas

Méthode — tracer un cercle de rayon

r

Un compas a deux branches : une pointe sèche (en métal, qui ne bouge pas) et une mine (le crayon, qui trace).

On règle l'écartement du compas sur la longueur $r$ souhaitée, à l'aide d'une règle graduée.
On plante la pointe sèche au centre $O$ , sans la faire bouger.
On fait tourner la mine tout autour, en gardant l'écartement bien fixe, jusqu'à revenir au point de départ.

Figure 3 — Le compas ne trace bien que si l'écartement (la distance entre la pointe sèche et la mine) reste constant du début à la fin du tracé.

Attention

Le piège classique en 6ème : la main serre trop fort ou pas assez, et l'écartement change tout seul pendant le tracé. Résultat : un « cercle » qui ressemble à un œuf ! Entraîne-toi à faire tourner la feuille plutôt que le compas, une main tenant fermement la pointe sèche.

Math & Co — Un instrument vieux de plus de 2000 ans

Vers l'an $-300$ , le mathématicien grec Euclide rédige à Alexandrie (Égypte) les Éléments, un immense livre de géométrie. Son troisième postulat affirme qu'on peut toujours « décrire un cercle à partir de n'importe quel centre et n'importe quelle distance » — c'est exactement la règle que tu appliques avec ton compas aujourd'hui !

À cette époque, le compas était déjà un instrument essentiel des bâtisseurs et des astronomes, utilisé pour tracer des plans, des cadrans solaires et des cartes du ciel.

2.2 Tracer un cercle passant par un point donné

Méthode — faire passer un cercle par un point précis

On veut qu'un cercle de centre $O$ passe exactement par un point $A$ donné. Il suffit de régler l'écartement du compas sur la longueur $OA$ : la mine posée en $A$ , la pointe sèche en $O$ , sans bouger l'écartement.

Exemple — régler l'écartement

On veut tracer le cercle de centre $O$ passant par un point $A$ situé à $4$ cm de $O$ .

On pose la pointe sèche sur $A$ et la mine sur $O$ (ou l'inverse), pour mesurer directement l'écartement $OA = 4$ cm sans même utiliser la règle.
Sans rien changer, on replace la pointe sèche sur $O$ .
On fait tourner : le cercle obtenu passe forcément par $A$ , puisque l'écartement vaut $4$ cm partout.

Exemple — vérifier qu'un point est sur un cercle

Un cercle de centre $O$ a pour rayon $5$ cm. Sans le mesurer à la règle, comment savoir si un point $M$ est sur ce cercle ?

On pose la pointe sèche du compas sur $O$ , en gardant l'écartement de $5$ cm déjà réglé pour ce cercle. Si la mine, en tournant, passe exactement par $M$ , alors $OM = 5$ cm et $M$ est bien sur le cercle. Sinon, $M$ est soit trop proche, soit trop loin de $O$ : il n'est pas sur le cercle.

3Cercle et distance

Tu as vu que le cercle est défini par une seule règle : être à la distance $r$ du centre. Cette règle simple permet de savoir, pour n'importe quel point de la feuille, s'il est sur le cercle, dedans, ou dehors. Elle permet aussi de calculer une chose étonnante : la longueur totale du tour du cercle.

3.1 Être sur le cercle, dans le disque, ou dehors

Propriété

Soit un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , et $M$ un point quelconque de la feuille.

si $OM = r$ : $M$ est sur le cercle ;
si $OM < r$ : $M$ est à l'intérieur du cercle (dans le disque, mais pas sur le bord) ;
si $OM > r$ : $M$ est à l'extérieur du cercle (et du disque).

Figure 4 — Trois points, trois situations :

A

est sur le cercle,

P

est dans le disque (trop près de

O

Q

est en dehors (trop loin de

O

Exemple — classer des points

Un cercle de centre $O$ a pour rayon $r = 6$ cm. On donne $OM = 6$ cm, $ON = 4{,}2$ cm et $OP = 7{,}1$ cm.

$M$ : $OM = r$ donc $M$ est sur le cercle. $N$ : $ON < r$ donc $N$ est dans le disque, à l'intérieur. $P$ : $OP > r$ donc $P$ est en dehors du disque.

Exemple — un cercle qui grandit

Si l'on garde le même centre $O$ mais qu'on augmente le rayon, tous les points qui étaient « en dehors » du petit cercle peuvent se retrouver « dans le disque » du grand cercle. C'est ainsi que fonctionnent les cibles de fléchettes : plusieurs cercles concentriques (même centre), de rayons différents.

3.2 Le tour du cercle : à la découverte de π

Existe-t-il un lien entre le diamètre d'un cercle et la longueur de son tour (son périmètre) ? Faisons l'expérience avec une ficelle.

Figure 5 — On entoure un cercle de diamètre

d

avec une ficelle, puis on la déroule : sa longueur vaut toujours 3 diamètres, plus un petit morceau — quel que soit le cercle !

Propriété

La longueur du tour d'un cercle (son périmètre) s'obtient à partir de son diamètre :

$P \approx 3{,}14 \times d$

Le nombre $3{,}14$ est une valeur approchée d'un nombre très célèbre, noté $\pi$ (« pi »). Comme $d = 2r$ , on peut aussi écrire $P \approx 3{,}14 \times 2 \times r$ .

Attention

La formule utilise le diamètre, pas le rayon ! Si l'énoncé ne donne que le rayon, pense à le doubler avant de multiplier par $3{,}14$ — c'est l'erreur la plus fréquente sur ce calcul.

Exemple — calculer un périmètre

Une grande roue de fête foraine a un diamètre de $40$ m. Quelle distance parcourt une cabine en un tour complet ?

$P \approx 3{,}14 \times d$
$P \approx 3{,}14 \times 40$
$\approx$ $125{,}6$ m

En un tour, une cabine parcourt environ 125,6 mètres.

Exemple — retrouver le diamètre à partir du périmètre

Le tour d'un rond-point mesure environ $94{,}2$ m. Quel est son diamètre ?

$P \approx 3{,}14 \times d$
$\Rightarrow$ $d \approx P \div 3{,}14$
$d \approx 94{,}2 \div 3{,}14$
$\approx$ $30$ m

Math & Co — Archimède encercle π

Vers $-250$ , le savant grec Archimède de Syracuse (Sicile) cherche à connaître $\pi$ avec précision, sans pouvoir mesurer un vrai cercle avec une ficelle parfaite. Son idée : entourer le cercle par un polygone à l'extérieur, et un autre à l'intérieur, avec de plus en plus de côtés — jusqu'à $96$ côtés ! Il « coince » ainsi $\pi$ entre deux valeurs très proches, et démontre que $\pi$ est compris entre $3\dfrac{10}{71}$ et $3\dfrac{1}{7}$ , c'est-à-dire entre $3{,}1408$ et $3{,}1429$ environ. Sa méthode restera la meilleure pendant près de $1\,800$ ans.

4Reports de longueurs

Le compas n'est pas seulement fait pour tracer des cercles : c'est aussi un instrument de mesure, tout aussi précis qu'une règle graduée. Il permet de « transporter » une longueur d'un endroit à un autre de la feuille, sans jamais lire un seul chiffre.

4.1 Reporter une longueur avec le compas

Méthode — reporter une longueur

[AB]

à partir d'un point

C

On règle l'écartement du compas exactement sur $AB$ : pointe sèche en $A$ , mine en $B$ .
Sans rien changer, on déplace le compas : pointe sèche en $C$ .
On trace un petit arc de cercle qui coupe la demi-droite souhaitée : le point d'intersection $D$ vérifie $CD = AB$ .

Figure 6 — L'écartement mesuré sur

[AB]

est reporté à partir de

C

: le point

D

trouvé grâce au petit arc vérifie

CD = AB

, sans aucune règle graduée.

Exemple — reproduire un segment

Tu veux tracer, plus loin sur ta feuille, un segment de la même longueur qu'un segment $[EF]$ déjà dessiné, sans utiliser ta règle.

Tu poses ton compas avec la pointe sèche sur $E$ et la mine sur $F$ : l'écartement obtenu est exactement la longueur $EF$ . Tu déplaces ensuite le compas, pointe sèche sur ton nouveau point de départ, et tu traces un arc : il croise ta droite exactement à la bonne distance.

4.2 Comparer deux longueurs sans les mesurer

Exemple — quel est le segment le plus long ?

Deux segments $[GH]$ et $[IJ]$ sont dessinés sur la feuille, à des endroits différents et dans des directions différentes. Comment savoir, sans règle, lequel est le plus long ?

On règle l'écartement du compas sur $GH$ , puis, sans rien changer, on pose la pointe sèche sur $I$ et l'on regarde où tombe la mine par rapport à $J$ . Si la mine dépasse $J$ , alors $GH > IJ$ ; si elle tombe avant $J$ , alors $GH < IJ$ ; si elle tombe pile sur $J$ , les deux segments sont égaux.

5Frises et rosaces

Le compas ne sert pas qu'à mesurer ou à vérifier : c'est aussi un formidable outil pour décorer. En répétant toujours le même geste — reporter la même longueur, tracer le même arc — on obtient des motifs d'une régularité parfaite. C'est ainsi que sont nées, dans le monde entier, les plus belles frises et rosaces géométriques.

5.1 Une frise de demi-cercles

Définition

Une frise est un motif qui se répète régulièrement le long d'une ligne, comme une bordure décorative.

Méthode — construire une frise de demi-cercles

On trace une ligne droite, puis on y reporte plusieurs fois la même longueur au compas, pour marquer des points régulièrement espacés.
Entre chaque paire de points voisins, on trace un demi-cercle, en alternant une fois au-dessus, une fois en dessous de la ligne.

Figure 7 — Chaque point est obtenu par un report de longueur identique. Le motif se répète : dessus, dessous, dessus, dessous…

5.2 La rosace à six pétales, pas à pas

La plus célèbre figure au compas s'appelle la rosace. Voici comment la construire, en trois étapes seulement, sans jamais changer l'écartement du compas.

Figure 8 — Étape 1 : un cercle et un point

A

sur son bord. Étape 2 : sans changer l'écartement, on pique en

A

puis en chaque nouveau point trouvé — on obtient exactement 6 points. Étape 3 : depuis chacun de ces 6 points, on trace un cercle complet de même rayon : les pétales apparaissent.

Pourquoi exactement 6 pétales ?

Quand on reporte le rayon $r$ tout autour du cercle, chaque nouveau point est à la distance $r$ du précédent et du centre $O$ : le triangle formé est donc équilatéral, avec un angle de $60°$ au centre. Comme un tour complet mesure $360°$ , on obtient $360 \div 60 = 6$ points, ni plus, ni moins. C'est ce qui rend la rosace à six pétales toujours parfaitement identique, où qu'on la dessine.

Math & Co — Des rosaces dans le monde entier

Ce motif à six pétales, obtenu uniquement au compas, est l'un des plus anciens de l'histoire de la géométrie : on le retrouve gravé sur des colonnes égyptiennes, dans les vitraux des cathédrales, et surtout dans les magnifiques entrelacs géométriques de l'architecture islamique, comme ceux de la grande mosquée de Djenné, au Mali, joyau d'architecture en terre crue reconstruit en $1907$ sur les plans d'un édifice du $\text{XIII}^{\text{e}}$ siècle. Ces motifs, tous construits au compas, décorent aussi de nombreux tissus traditionnels africains.

Exemple — compter les pétales autrement

Et si l'on reportait un écartement plus petit que le rayon, par exemple la moitié de $r$ ? Le triangle formé au centre ne serait plus équilatéral, l'angle ne vaudrait plus $60°$ , et l'on n'obtiendrait plus 6 points en un tour complet. C'est bien parce que l'écartement est égal au rayon que la rosace classique compte toujours exactement six pétales.

Fiche mémo

Cercle de centre $O$ , rayon $r$ : ensemble des points $M$ tels que $OM = r$ .
Rayon $[OA]$ : du centre à un point du cercle. Diamètre : corde passant par $O$ , $d = 2 \times r$ .
Corde : segment entre deux points du cercle (passe ou non par $O$ ). Arc : morceau de la ligne du cercle.
Cercle = la ligne seulement. Disque = toute la surface, bord compris.
Au compas : écartement = rayon souhaité, pointe sèche fixe au centre, écartement constant pendant tout le tracé.
$OM = r \Rightarrow M$ sur le cercle ; $OM < r \Rightarrow M$ dans le disque ; $OM > r \Rightarrow M$ à l'extérieur.
Périmètre du cercle : $P \approx 3{,}14 \times d$ (le nombre $3{,}14$ est une valeur approchée de $\pi$ ).
Report de longueur : on mesure un écartement à un endroit, on le reporte ailleurs, sans règle graduée.
Rosace à six pétales : on reporte le rayon $6$ fois autour du cercle, car $360° \div 60° = 6$ .

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Sur un cercle de centre $O$ : le segment $[OA]$ mesure $3{,}2$ cm ; le segment $[BC]$ passe par $O$ et mesure $6{,}4$ cm ; le segment $[DE]$ ne passe pas par $O$ et mesure $5$ cm ; le morceau de ligne entre $F$ et $G$ fait partie du cercle. Nomme chacun de ces quatre éléments.

Voir le corrigé détaillé

$[OA]$ relie le centre à un point du cercle : c'est un rayon. $[BC]$ passe par $O$ : c'est un diamètre — on vérifie d'ailleurs que $6{,}4 = 2 \times 3{,}2$ . $[DE]$ ne passe pas par $O$ : c'est une corde. Le morceau de ligne entre $F$ et $G$ est un arc de cercle.

Calcule le diamètre ou le rayon manquant. a. $r = 6$ cm, $d = \,?$ b. $d = 17$ cm, $r = \,?$ c. $r = 0{,}8$ cm, $d = \,?$ en mm. d. $d = 54$ mm, $r = \,?$ en cm.

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a. $d = 2 \times 6 = 12$ cm
b. $r = 17 \div 2 = 8{,}5$ cm
c. $0{,}8$ cm $= 8$ mmconversion
$\Rightarrow$ $d = 2 \times 8 = 16$ mm
d. $54$ mm $= 5{,}4$ cmconversion
$\Rightarrow$ $r = 5{,}4 \div 2 = 2{,}7$ cm

Trace un cercle de centre $O$ et de rayon $3{,}5$ cm. Place un point $A$ sur ce cercle, un point $B$ tel que $OB = 2$ cm, un point $C$ tel que $OC = 5$ cm. Justifie où se trouve chaque point par rapport au cercle et au disque.

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On règle l'écartement du compas sur $3{,}5$ cm et on trace le cercle, pointe sèche en $O$ .

$A$ : on garde le même écartement $3{,}5$ cm et on marque $A$ n'importe où sur l'arc tracé, donc $OA = 3{,}5$ cm $= r$ : $A$ est sur le cercle. $B$ : $OB = 2$ cm $< 3{,}5$ cm, donc $B$ est dans le disque, à l'intérieur. $C$ : $OC = 5$ cm $> 3{,}5$ cm, donc $C$ est à l'extérieur du disque.

Calcule le périmètre d'un cercle de diamètre $10$ cm, puis d'un cercle de diamètre $25$ cm.

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$P_1 \approx 3{,}14 \times 10$
$\approx$ $31{,}4$ cm
$P_2 \approx 3{,}14 \times 25$
$\approx$ $78{,}5$ cm

Convertis. a. $r = 45$ mm, en cm puis en m. b. $d = 2{,}3$ m, en cm. c. $r = 120$ cm : donne le diamètre en m.

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a. $45$ mm $= 4{,}5$ cm $= 0{,}045$ m
b. $2{,}3$ m $= 230$ cm
c. $r = 120$ cm $= 1{,}2$ m
$\Rightarrow$ $d = 2 \times 1{,}2 = 2{,}4$ m

Niveau 2 — Approfondissement

Un segment $[MN]$ est déjà tracé sur ta feuille (on sait juste que $MN = 4{,}7$ cm). Sans mesurer une seconde fois avec la règle, explique comment construire, ailleurs sur la feuille, un segment $[PQ]$ tel que $PQ = MN$ , en n'utilisant que le compas.

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On règle l'écartement du compas en posant la pointe sèche sur $M$ et la mine sur $N$ : l'écartement obtenu vaut exactement $MN$ , sans qu'on ait besoin de connaître le chiffre $4{,}7$ .

On trace ensuite une droite quelconque, on y place un point $P$ , et sans rien changer à l'écartement, on pose la pointe sèche sur $P$ : on trace un petit arc qui coupe la droite en un point $Q$ . Par construction, $PQ = MN = 4{,}7$ cm.

Le tour d'un cercle mesure $157$ cm. Calcule son diamètre, puis son rayon.

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$P \approx 3{,}14 \times d$
$\Rightarrow$ $d \approx P \div 3{,}14$
$d \approx 157 \div 3{,}14$
$\approx$ $50$ cm
$r = 50 \div 2$
$=$ $25$ cm

a. Un élève reporte, tout autour d'un cercle de rayon $3$ cm, un écartement de compas de $3$ cm. Combien de points obtient-il en un tour complet ? Justifie avec un calcul d'angle. b. Le même élève garde un écartement de $3$ cm mais utilise cette fois un cercle de rayon $5$ cm. Obtiendra-t-il encore exactement $6$ points ? Explique sans calculer d'angle précis.

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a. L'écartement ( $3$ cm) est égal au rayon ( $3$ cm) : chaque triangle formé au centre a donc ses trois côtés égaux à $3$ cm, il est équilatéral, avec un angle de $60°$ au centre.

$360° \div 60°$
$=$ $6$

Il obtient exactement 6 points.

b. Cette fois, l'écartement ( $3$ cm) est différent du rayon ( $5$ cm) : le triangle formé n'a plus ses trois côtés égaux, il n'est plus équilatéral, donc l'angle au centre ne vaut plus $60°$ . L'élève n'obtiendra pas exactement 6 points en un tour complet.

Deux cercles ont pour rayons $r_1 = 2$ cm et $r_2 = 5$ cm. Calcule la différence entre leurs diamètres, puis entre leurs périmètres.

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$d_1 = 2 \times 2 = 4$ cm et $d_2 = 2 \times 5 = 10$ cm
$\Rightarrow$ différence de diamètres $= 10 - 4 = 6$ cm
$P_1 \approx 3{,}14 \times 4 \approx 12{,}56$ cm
$P_2 \approx 3{,}14 \times 10 \approx 31{,}4$ cm
$\Rightarrow$ différence de périmètres $\approx 31{,}4 - 12{,}56 \approx 18{,}84$ cm

Deux cercles ont le même centre $O$ : le petit a pour rayon $3$ cm, le grand $6$ cm. Place chacun des points suivants par rapport aux deux cercles : $M$ avec $OM = 3$ cm ; $N$ avec $ON = 4{,}5$ cm ; $P$ avec $OP = 7$ cm ; $Q$ avec $OQ = 6$ cm.

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$M$ : $OM = 3$ cm $= r_1$ : $M$ est sur le petit cercle (et à l'intérieur du grand disque). $N$ : $3 < 4{,}5 < 6$ : $N$ est entre les deux cercles (dans la zone appelée « couronne »). $P$ : $OP = 7$ cm $> 6$ cm $\,= r_2$ : $P$ est en dehors des deux cercles. $Q$ : $OQ = 6$ cm $= r_2$ : $Q$ est sur le grand cercle.

Niveau 3 — Défi

Une droite peut rencontrer un cercle de $0$ , $1$ ou $2$ points, selon sa position. Observe les trois cas ci-dessous et explique, pour chacun, en comparant la distance du centre $O$ à la droite avec le rayon $r$ .

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Figure 9 — Trois positions possibles d'une droite par rapport à un cercle de centre

O

et de rayon

r

Cas 1 : la distance de $O$ à la droite est plus grande que $r$ : la droite reste trop loin, elle ne touche jamais le cercle : $0$ point commun.

Cas 2 : la distance de $O$ à la droite est exactement égale à $r$ : la droite touche le cercle en un seul point. On dit qu'elle est tangente au cercle.

Cas 3 : la distance de $O$ à la droite est plus petite que $r$ : la droite traverse le disque et coupe le cercle en deux points. On dit qu'elle est sécante.

Une rosace à six pétales est tracée dans un cercle de rayon $5$ cm. Sans rien mesurer, donne la longueur du côté de l'hexagone formé par les six points marqués sur le cercle. Justifie complètement.

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Deux points voisins $V_1$ et $V_2$ parmi les six sont reliés au centre $O$ par deux rayons : $OV_1 = OV_2 = 5$ cm. L'angle $V_1OV_2$ au centre vaut $60°$ (car $360° \div 6 = 60°$ ). Le triangle $OV_1V_2$ a donc deux côtés égaux à $5$ cm avec un angle de $60°$ entre eux : c'est un triangle équilatéral, donc son troisième côté $V_1V_2$ mesure lui aussi $5$ cm.

Le côté de l'hexagone est donc égal au rayon : $5$ cm.

Une cible de fléchettes est formée de trois cercles concentriques (même centre $O$ ), de rayons $5$ cm, $10$ cm et $15$ cm, dessinés à l'intérieur d'un grand disque de rayon $15$ cm. Combien de zones distinctes forme cette cible ? Décris chaque zone avec le vocabulaire du chapitre.

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La cible forme 3 zones :

le petit disque central, formé des points $M$ tels que $OM < 5$ cm ;
la couronne du milieu, formée des points $M$ tels que $5 \text{ cm} < OM < 10$ cm ;
la couronne extérieure, formée des points $M$ tels que $10 \text{ cm} < OM < 15$ cm.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le jardin de Fatou (Ndjamena). Fatou possède un jardin circulaire de diamètre $10$ m, à Ndjamena. Elle veut poser un grillage tout autour, sauf sur $1{,}4$ m réservés à un portail. Le grillage coûte $2\,500$ F CFA le mètre.

Calcule le périmètre du jardin.
Calcule la longueur de grillage réellement nécessaire.
Calcule le coût total du grillage.

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Figure 10 — Le jardin de Fatou : le grillage vert entoure le pourtour, sauf sur la largeur du portail.

$P \approx 3{,}14 \times 10$
$\approx$ $31{,}4$ m

longueur de grillage $= P - 1{,}4$
$= 31{,}4 - 1{,}4$
$=$ $30$ m

coût $= 30 \times 2\,500$
$=$ $75\,000$ F CFA

Fatou devra prévoir 30 mètres de grillage, pour un coût de 75 000 F CFA.

Le puits d'Abéché. Autour de la margelle circulaire d'un puits, à Abéché, on entoure une ficelle qui, une fois déroulée, mesure $4{,}71$ m.

Calcule le diamètre, puis le rayon de l'ouverture du puits.
Un petit muret ajoute $20$ cm au rayon, tout autour. Calcule le rayon extérieur, puis le périmètre extérieur du muret.

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$P \approx 3{,}14 \times d$
$\Rightarrow$ $d \approx 4{,}71 \div 3{,}14$
$\approx$ $1{,}5$ m
$r = 1{,}5 \div 2$
$=$ $0{,}75$ m

$20$ cm $= 0{,}20$ m
$r_{\text{ext}} = 0{,}75 + 0{,}20$
$=$ $0{,}95$ m
$P_{\text{ext}} \approx 3{,}14 \times (2 \times 0{,}95)$
$\approx 3{,}14 \times 1{,}9$
$\approx$ $5{,}97$ m

Le vélo d'Amadou (Bamako). La roue du vélo d'Amadou, à Bamako, a un diamètre de $66$ cm. Amadou pédale et sa roue tourne exactement $500$ fois.

Calcule la distance parcourue en un seul tour de roue (arrondis au centimètre).
Calcule la distance totale parcourue, en mètres, puis en kilomètres arrondis au centième.

Voir le corrigé détaillé

$P \approx 3{,}14 \times 66$
$\approx$ $207{,}24$ cm

distance $\approx 207{,}24 \times 500$
$\approx$ $103\,620$ cm
$103\,620$ cm $= 1\,036{,}2$ m
$=$ $1{,}0362$ km
$\approx$ $1{,}04$ km

En $500$ tours de roue, Amadou parcourt environ 1,04 km.

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Nombres décimaux et opérations

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M$ tels que :

OM = r

OM < r

OM > r

OM = 2r

Explication : Par définition, tous les points d'un cercle de centre

O

et de rayon

r

sont exactement à la distance

r

du centre :

OM = r

Le rayon d'un cercle est :

un segment qui joint deux points du cercle sans passer par le centre le segment (et sa longueur) qui joint le centre à un point du cercle toute la surface à l'intérieur du cercle un morceau de la ligne du cercle

Explication : Le rayon désigne à la fois le segment qui va du centre

O

à un point du cercle, et sa longueur.

Quelle est la relation entre le diamètre $d$ et le rayon $r$ d'un cercle ?

d = r + 1

d = r \div 2

d = 2 \times r

d = r

Explication : Le diamètre mesure toujours deux fois le rayon :

d = 2 \times r

, et donc

r = d \div 2

Quelle est la différence entre un cercle et un disque ?

ce sont deux mots pour dire exactement la même chose le disque est plus petit que le cercle le cercle est toute la surface, le disque est juste la ligne le cercle est juste la ligne, le disque est toute la surface (bord compris)

Explication : Le cercle est seulement la ligne courbe, le bord. Le disque, lui, désigne toute la surface à l'intérieur, jusqu'au bord.

Une corde d'un cercle est :

un segment qui joint deux points du cercle, sans obligation de passer par le centre un segment qui va toujours du centre à un point du cercle toute la surface intérieure du cercle un point situé exactement au centre

Explication : Une corde joint deux points du cercle, sans forcément passer par le centre. Le diamètre est une corde particulière : la seule qui passe par le centre.

Un arc de cercle est :

un segment qui traverse le disque un morceau de la ligne du cercle, compris entre deux de ses points le centre du cercle une droite qui ne touche jamais le cercle

Explication : Un arc de cercle est un morceau de la ligne courbe du cercle, situé entre deux points de ce cercle.

Un cercle a pour rayon $r = 5$ cm. Quel est son diamètre ?

2{,}5

5

10

15

Explication :

d = 2 \times r = 2 \times 5 = 10

cm.

Un cercle a pour diamètre $d = 14$ cm. Quel est son rayon ?

28

14

2

7

Explication :

r = d \div 2 = 14 \div 2 = 7

cm.

Un élève trouve un rayon plus grand que le diamètre du même cercle. Que peut-on en conclure ?

il s'est trompé, le diamètre est toujours plus grand que le rayon c'est normal, cela arrive parfois c'est possible si le cercle est très grand c'est possible si le cercle est très petit

Explication : Le diamètre vaut toujours deux fois le rayon, il est donc toujours plus grand que lui. Si le rayon trouvé est plus grand que le diamètre, il y a forcément une erreur.

Pour tracer un cercle au compas, que doit-on faire de la pointe sèche ?

la faire glisser tout autour du centre la planter au centre et ne pas la faire bouger la poser sur un point quelconque du cercle l'enlever pendant le tracé

Explication : La pointe sèche doit rester fixe, plantée exactement au centre du cercle, pendant que la mine tourne tout autour à écartement constant.

Un cercle a pour centre $O$ et pour rayon $r = 6$ cm. Un point $M$ vérifie $OM = 6$ cm. Où se trouve $M$ ?

à l'intérieur du disque, mais pas sur le cercle à l'extérieur du disque sur le cercle au centre du cercle

Explication : Puisque

OM = r

, le point

M

est exactement sur le cercle, par définition.

Même cercle ( $O$ , $r = 6$ cm). Un point $N$ vérifie $ON = 4$ cm. Où se trouve $N$ ?

sur le cercle à l'extérieur du disque exactement au centre à l'intérieur du disque

Explication :

ON = 4

cm est inférieur au rayon

r = 6

cm : le point

N

est donc à l'intérieur du disque, plus proche du centre que le bord.

Même cercle ( $O$ , $r = 6$ cm). Un point $P$ vérifie $OP = 9$ cm. Où se trouve $P$ ?

à l'extérieur du disque à l'intérieur du disque sur le cercle au centre

Explication :

OP = 9

cm est supérieur au rayon

r = 6

cm : le point

P

est donc à l'extérieur du cercle et du disque.

Comment calcule-t-on, de façon approchée, le périmètre $P$ (le tour) d'un cercle ?

P \approx 3{,}14 \times r

P \approx 3{,}14 \times d

P \approx d \div 3{,}14

P \approx d + 3{,}14

Explication : Le périmètre d'un cercle s'obtient en multipliant son diamètre par

3{,}14

, une valeur approchée du nombre

\pi

P \approx 3{,}14 \times d

Un cercle a pour diamètre $d = 10$ cm. Quel est, environ, son périmètre ?

3{,}14

13{,}14

31{,}4

100

Explication :

P \approx 3{,}14 \times d = 3{,}14 \times 10 = 31{,}4

cm.

Un exercice donne seulement le rayon d'un cercle. Pour calculer son périmètre avec la formule $P \approx 3{,}14 \times d$ , que doit-on faire d'abord ?

multiplier directement le rayon par

3{,}14

diviser le rayon par

3{,}14

rien, la formule fonctionne aussi avec le rayon calculer d'abord le diamètre, en doublant le rayon

Explication : La formule utilise le diamètre, pas le rayon. Il faut d'abord doubler le rayon pour obtenir

d

, avant de multiplier par

3{,}14

— c'est l'erreur la plus fréquente.

Tu veux reproduire, ailleurs sur ta feuille, un segment de la même longueur qu'un segment $[EF]$ déjà tracé, sans utiliser de règle. Que fais-tu ?

tu règles l'écartement du compas sur

EF

, puis tu le reportes ailleurs tu dessines un cercle de rayon

EF

centré n'importe où c'est impossible sans règle graduée tu mesures

EF

à l'œil, sans instrument

Explication : Le compas sert aussi à mesurer : on règle son écartement sur

EF

(pointe sèche en

E

, mine en

F

), puis on reporte cet écartement ailleurs, sans jamais lire un chiffre.

Pour construire une rosace classique, on reporte l'écartement égal au rayon tout autour du cercle. Pourquoi obtient-on toujours exactement 6 points ?

parce que

360 \div 6 = 60

°, ce qui ne veut rien dire de particulier ici parce que chaque triangle formé au centre est équilatéral (angle de 60°), et

360° \div 60° = 6

parce que le compas ne peut tracer que 6 points parce qu'un cercle a toujours exactement 6 côtés

Explication : Quand l'écartement égale le rayon, chaque triangle formé au centre a trois côtés égaux : il est équilatéral, avec un angle de 60° au centre. Comme un tour complet fait 360°, on obtient

360 \div 60 = 6

points.

Une pizza a un diamètre de $30$ cm. Quel est son rayon ?

30

60

15

10

Explication :

r = d \div 2 = 30 \div 2 = 15

cm.

Un rond-point a un diamètre de $30$ m. Quel est, environ, le tour complet de ce rond-point (son périmètre) ?

9{,}42

15

30

94{,}2

Explication :

P \approx 3{,}14 \times d = 3{,}14 \times 30 = 94{,}2

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En bref

Classe : Classe de Sixième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 4 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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