Périmètres et aires

Calculer périmètres et aires des figures usuelles et convertir correctement les unités.

Mathématiques 6ème Chapitre 12 / 14 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Choisir la bonne formule
Convertir des unités de longueur et d'aire
Résoudre un problème de clôture, de carrelage ou de peinture

Un jardin à clôturer, un terrain à carreler, une piste à repeindre... Dans chacune de ces situations, tu as besoin de deux mesures très différentes : la longueur du tour de la figure, et la mesure de sa surface. Ce sont exactement les deux notions de ce chapitre : le périmètre et l'aire.

Tu connais déjà le rectangle et le carré depuis l'école primaire, et tu sais compter des carreaux sur un quadrillage pour trouver une surface. Ce chapitre te donne les formules qui remplacent ce comptage — beaucoup plus rapides dès que les figures deviennent grandes ou compliquées — et il ajoute une figure nouvelle : le cercle, avec son fameux nombre $\pi$ .

Garde en tête une règle d'or pendant tout le chapitre : le périmètre et l'aire ne mesurent pas la même chose. Le périmètre se mesure en unités de longueur (cm, m...), l'aire en unités au carré (cm², m²...). Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes : tu vas t'en convaincre toi-même avec des exemples très concrets.

1Périmètre du rectangle, du carré, du triangle

1.1 Qu'est-ce que le périmètre ?

Définition

Le périmètre d'une figure, c'est la longueur de son contour : la distance parcourue en faisant le tour complet de la figure, en suivant tous ses côtés.

Pour le calculer, il suffit d'additionner la longueur de tous les côtés. Le périmètre se mesure toujours dans une unité de longueur : mm, cm, m, km...

Sur un quadrillage, c'est très simple : tu comptes le nombre de carreaux que traverse le contour, côté après côté.

Figure 1 — Sur un quadrillage, le périmètre s'obtient en additionnant, côté après côté, le nombre de carreaux traversés par le contour.

Cette figure n'est ni un carré ni un rectangle, mais la méthode reste toujours la même : on additionne, dans l'ordre, la longueur de chaque côté.

Exemple — calculer un périmètre côté par côté

$P = 3+2+2+2+5+4$
$=$ $18$

Le périmètre de cette figure vaut $18$ unités (par exemple $18\ \text{cm}$ si chaque carreau mesure $1\ \text{cm}$ de côté).

1.2 Le rectangle et le carré

Le rectangle a une propriété très utile : ses côtés opposés ont la même longueur. Pas besoin d'additionner quatre nombres différents : deux suffisent.

Propriété

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ a pour périmètre :

$P = 2 \times (L+l)$

Un carré de côté $c$ a pour périmètre :

$P = 4 \times c$

Justification

Un rectangle a quatre côtés, mais seulement deux longueurs différentes : $L$ , $L$ , $l$ , $l$ . Additionner ces quatre nombres revient à faire $L+L+l+l$ , c'est-à-dire $2 \times L + 2 \times l$ , c'est-à-dire encore $2 \times (L+l)$ .

Le carré est un rectangle très particulier, dont les quatre côtés sont égaux : $L = l = c$ . On obtient alors $P = 2 \times (c+c) = 2 \times 2c = 4 \times c$ .

Exemple — rectangle et carré

Rectangle $L = 12\ \text{cm}$ , $l = 7\ \text{cm}$
$P = 2 \times (12+7)$
$=$ $2 \times 19$
$=$ $38\ \text{cm}$

Carré $c = 9\ \text{cm}$
$P = 4 \times 9$
$=$ $36\ \text{cm}$

1.3 Le périmètre du triangle

Un triangle n'a pas forcément de côtés égaux : il n'existe donc pas de formule toute faite. On revient simplement à la définition : on additionne les trois côtés.

Propriété

Un triangle de côtés $a$ , $b$ et $c$ a pour périmètre :

$P = a+b+c$

Exemple — périmètre d'un triangle

Un triangle a pour côtés $5\ \text{cm}$ , $6\ \text{cm}$ et $9\ \text{cm}$ .

$P = 5+6+9$
$=$ $20\ \text{cm}$

Attention

Avant d'additionner, vérifie toujours que toutes les longueurs sont dans la même unité. $2\ \text{m} + 40\ \text{cm}$ ne fait pas $42$ : il faut d'abord convertir, par exemple $2\ \text{m} = 200\ \text{cm}$ , pour obtenir $240\ \text{cm}$ .

1.4 Un problème de clôture

Le périmètre sert très souvent dans la vie réelle : poser une clôture, une bordure, un ruban... Il faut alors connaître la longueur du tour de la figure.

Figure 2 — Un terrain rectangulaire à clôturer : ses deux dimensions suffisent pour calculer le périmètre, donc la longueur de grillage nécessaire.

Méthode — résoudre un problème de clôture

1) Je calcule le périmètre du terrain avec la formule adaptée à sa forme. 2) Je multiplie ce périmètre par le prix au mètre, pour obtenir le coût total.

Exemple — clôturer un terrain

Un terrain rectangulaire mesure $25\ \text{m}$ sur $14\ \text{m}$ . Le grillage coûte $2\,500$ F CFA le mètre.

$P = 2 \times (25+14)$
$=$ $2 \times 39$
$=$ $78\ \text{m}$
Coût $= 78 \times 2\,500$
$=$ $195\,000$ F CFA

Math & Co — Le mot « géométrie »

Vers $-450$ , l'historien grec Hérodote raconte que les paysans égyptiens, au bord du Nil, voyaient chaque année les limites de leurs champs effacées par la crue du fleuve. Il fallait alors retracer le contour de chaque terrain : des arpenteurs, surnommés « tendeurs de corde », utilisaient une corde à treize nœuds pour reconstruire des angles droits et mesurer les côtés.

Ce travail de mesure des terres a donné son nom à toute une science : géométrie vient du grec gê (la Terre) et metron (la mesure). Périmètre et aire d'un champ étaient déjà, il y a plus de $2\,000$ ans, des questions très sérieuses : les impôts se calculaient selon la surface possédée !

2Longueur du cercle

2.1 Rayon et diamètre : rappels

Définition

Un cercle de centre $O$ est l'ensemble des points situés à la même distance de $O$ . Cette distance s'appelle le rayon, noté $r$ .

Le diamètre, noté $d$ , est un segment qui passe par le centre et relie deux points du cercle. Il mesure le double du rayon :

$d = 2 \times r$

Figure 3 — Le cercle, son centre

O

, son rayon

r

et son diamètre

d

; le contour violet représente sa longueur.

2.2 La formule de la longueur du cercle

La longueur du cercle (on dit aussi circonférence) est le périmètre du cercle : la distance parcourue en faisant le tour complet.

Propriété

La longueur d'un cercle de rayon $r$ (et de diamètre $d$ ) vaut :

$C = 2 \times \pi \times r = \pi \times d$

où $\pi$ (« pi ») est un nombre bien précis, dont une valeur approchée est $\pi \approx 3{,}14$ .

Attention

$\pi$ n'est pas égal à $3$ , et $3{,}14$ n'est qu'une valeur approchée : les chiffres de $\pi$ continuent indéfiniment ( $3{,}14159265\ldots$ ). Ta calculatrice possède une touche $\pi$ qui donne une valeur bien plus précise que $3{,}14$ .

Exemple — calculer une longueur de cercle

Un cercle a pour rayon $r = 6\ \text{cm}$ .

$C = 2 \times \pi \times r$
$=$ $2 \times \pi \times 6$
$=$ $12\pi$
$\approx$ $12 \times 3{,}14$
$\approx$ $37{,}68\ \text{cm}$

Une roue de vélo a un diamètre $d = 70\ \text{cm}$ : à chaque tour de roue, le vélo avance de $C = \pi \times 70 \approx 219{,}8\ \text{cm}$ , soit presque $2{,}2$ m !

Math & Co — Archimède et la chasse à

\pi

Vers $-250$ , le savant grec Archimède de Syracuse cherche à connaître $\pi$ avec précision, sans calculatrice. Il encadre le cercle entre deux polygones réguliers, l'un inscrit à l'intérieur, l'autre circonscrit à l'extérieur, dont il sait calculer les périmètres.

En poussant le calcul jusqu'à des polygones de $96$ côtés, il démontre que $\pi$ est compris entre $3\dfrac{10}{71}$ et $3\dfrac{1}{7}$ , soit entre environ $3{,}1408$ et $3{,}1429$ . Une prouesse extraordinaire pour l'époque, à l'origine de l'approximation $\pi \approx \dfrac{22}{7}$ , toujours utile aujourd'hui sans calculatrice sous la main.

3Aires usuelles

3.1 Qu'est-ce que l'aire ?

Définition

L'aire d'une figure, c'est la mesure de sa surface : la place qu'elle occupe à l'intérieur de son contour.

L'unité de référence est un carré dont le côté mesure une unité de longueur : un carré de $1\ \text{cm}$ de côté a une aire de $1\ \text{cm}^2$ (on dit « un centimètre carré »), un carré de $1\ \text{m}$ de côté a une aire de $1\ \text{m}^2$ .

Sur un quadrillage, on trouve l'aire d'une figure en comptant le nombre de carreaux situés à l'intérieur de son contour.

Figure 4 — L'aire se compte en carreaux : ce rectangle contient

6 \times 3 = 18

carreaux, donc son aire vaut

18\ \text{cm}^2

3.2 Aire du rectangle et du carré

Propriété

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ a pour aire :

$A = L \times l$

Un carré de côté $c$ a pour aire :

$A = c \times c = c^2$

Justification

Regarde la Figure 4 : le rectangle contient $3$ rangées de carreaux, et chaque rangée compte $6$ carreaux. Compter tous les carreaux revient donc à calculer $6 \times 3$ . C'est exactement ce que dit la formule $A = L \times l$ : on multiplie le nombre de colonnes par le nombre de rangées.

Exemple — aires du rectangle et du carré

Rectangle $L = 8\ \text{cm}$ , $l = 5\ \text{cm}$
$A = 8 \times 5$
$=$ $40\ \text{cm}^2$

Carré $c = 7\ \text{cm}$
$A = 7 \times 7$
$=$ $49\ \text{cm}^2$

3.3 Aire du triangle

Définition

Dans un triangle, on choisit un côté comme base $b$ . La hauteur $h$ associée est la distance entre le sommet opposé et la droite qui porte la base, mesurée perpendiculairement.

Propriété

Un triangle de base $b$ et de hauteur $h$ a pour aire :

$A = \dfrac{b \times h}{2}$

Idée de la justification

Complète le triangle pour former un rectangle de côtés $b$ et $h$ : ce rectangle est composé du triangle de départ et d'un second triangle qui lui est superposable. Le rectangle a pour aire $b \times h$ ; le triangle, qui en est la moitié, a donc pour aire $\dfrac{b \times h}{2}$ .

Exemple — aire d'un triangle

Un triangle a pour base $b = 8\ \text{cm}$ et pour hauteur $h = 5\ \text{cm}$ .

$A = \dfrac{8 \times 5}{2}$
$=$ $\dfrac{40}{2}$
$=$ $20\ \text{cm}^2$

C'est bien la moitié de l'aire d'un rectangle de mêmes base et hauteur, qui vaudrait $8 \times 5 = 40\ \text{cm}^2$ .

Attention

La hauteur n'est pas forcément un des côtés du triangle : c'est une distance perpendiculaire à la base. Dans un triangle « pointu » (obtusangle), le pied de cette hauteur peut même tomber en dehors du triangle — la formule reste pourtant valable.

3.4 Périmètre et aire : deux mesures indépendantes

Voici l'expérience la plus importante du chapitre : deux figures peuvent avoir le même périmètre tout en ayant des aires très différentes. Le périmètre ne permet donc jamais de deviner l'aire, ni l'aire de deviner le périmètre.

Figure 5 — Deux rectangles de même périmètre (

16

unités chacun) : à gauche

6 \times 2

(aire

12

), à droite

4 \times 4

(aire

16

). Le périmètre ne dit rien sur l'aire !

Exemple — vérifions la Figure 5

Rectangle $6 \times 2$ : $P = 2 \times (6+2) = 16$ et $A = 6 \times 2 = 12$
Carré $4 \times 4$ : $P = 4 \times 4 = 16$ et $A = 4 \times 4 = 16$
$\Rightarrow$ même périmètre $16$ , aires différentes $12$ et $16$

4Aire du disque

Définition

Le disque est la surface délimitée par un cercle : le cercle est son contour, le disque en est l'intérieur (comme une pièce de monnaie pleine, alors que le cercle serait seulement son bord).

Propriété

L'aire d'un disque de rayon $r$ vaut :

$A = \pi \times r^2$

4.1 D'où vient cette formule ?

Idée de la justification

Découpe le disque en fines parts de tarte, puis range-les tête-bêche, une part vers le haut, une part vers le bas. Tu obtiens presque un rectangle : sa hauteur vaut $r$ (le rayon de chaque part) et sa longueur vaut environ la moitié de la circonférence, soit $\pi \times r$ (puisque les parts alternent d'un bord à l'autre). Plus les parts sont fines, plus la forme ressemble à un vrai rectangle.

L'aire de ce rectangle vaut $\pi r \times r = \pi r^2$ : c'est l'aire du disque.

Figure 6 — En découpant le disque en parts fines et en les alignant tête-bêche, on obtient presque un rectangle de longueur

\pi r

et de largeur

r

, donc d'aire

\pi r \times r = \pi r^2

Exemple — aire d'un disque

Un disque a pour rayon $r = 5\ \text{cm}$ .

$A = \pi \times r^2$
$=$ $\pi \times 5^2$
$=$ $25\pi$
$\approx$ $25 \times 3{,}14$
$\approx$ $78{,}5\ \text{cm}^2$

Attention

La formule utilise le rayon, jamais directement le diamètre ! Si l'énoncé donne le diamètre $d$ , commence toujours par calculer $r = d \div 2$ avant d'appliquer $A = \pi r^2$ . Oublier ce partage par deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Math & Co — Le papyrus Rhind

Vers $-1650$ , le scribe égyptien Ahmès recopie un long texte de mathématiques aujourd'hui appelé papyrus Rhind. Son problème $50$ explique comment calculer l'aire d'un champ circulaire : il conseille de retirer un neuvième du diamètre, puis d'élever le résultat au carré.

$A \approx \left(d - \dfrac{d}{9}\right)^2$

Cette règle, sans qu'Ahmès parle de $\pi$ , revient à utiliser une valeur approchée d'environ $3{,}16$ — étonnamment proche des $3{,}14$ que tu utilises aujourd'hui, plus de $3\,500$ ans plus tard !

5Unités d'aire et conversions

5.1 Rappel : les unités de longueur

Tu connais déjà l'échelle des unités de longueur. En passant d'une unité à l'unité juste en dessous, on multiplie par $10$ ; en remontant, on divise par $10$ .

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
$1\,000\ \text{m}$	$100\ \text{m}$	$10\ \text{m}$	$1\ \text{m}$	$0{,}1\ \text{m}$	$0{,}01\ \text{m}$	$0{,}001\ \text{m}$

5.2 Les unités d'aire

Une unité d'aire est toujours le carré d'une unité de longueur. Or, quand le côté d'un carré est multiplié par $10$ , son aire n'est pas multipliée par $10$ , mais par $10 \times 10 = 100$ , puisque l'aire a deux dimensions.

Figure 7 — Un carré de

1\ \text{m}

de côté contient

10 \times 10 = 100

petits carrés de

1\ \text{dm}

de côté :

1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2

Propriété

Voici les équivalences les plus utiles :

Unité	Symbole	Équivalent en m²
kilomètre carré	km²	$1\,000\,000\ \text{m}^2$
hectare	ha	$10\,000\ \text{m}^2$
are	a	$100\ \text{m}^2$
mètre carré	m²	$1\ \text{m}^2$
décimètre carré	dm²	$0{,}01\ \text{m}^2$
centimètre carré	cm²	$0{,}0001\ \text{m}^2$
millimètre carré	mm²	$0{,}000001\ \text{m}^2$

Méthode — convertir une aire

Pour chaque « pas » vers une unité plus petite (par exemple de m² à dm²), on multiplie par $100$ . Pour remonter vers une unité plus grande, on divise par $100$ . Attention : ce n'est pas la même règle que pour les longueurs, où l'on multiplie ou divise seulement par $10$ .

Exemple — convertir des aires

$3\ \text{m}^2$ en cm² : deux pas (m² → dm² → cm²)
$3 \times 100 \times 100$
$=$ $30\,000\ \text{cm}^2$

$45\,000\ \text{cm}^2$ en m² : deux pas (cm² → dm² → m²)
$45\,000 \div 100 \div 100$
$=$ $4{,}5\ \text{m}^2$

Attention

L'erreur la plus fréquente : décaler la virgule de un seul chiffre par unité, comme pour les longueurs. Pour les aires, chaque unité vaut deux chiffres (un facteur $100$ ) : $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2$ , pas $10\ \text{dm}^2$ !

5.3 Un problème de carrelage

Méthode — résoudre un problème de carrelage ou de peinture

1) Je calcule l'aire de la surface à recouvrir. 2) Je calcule l'aire d'un seul carreau (ou d'un pot de peinture). 3) Je divise l'aire totale par l'aire d'une unité, pour trouver le nombre de carreaux (ou de pots) nécessaires.

Exemple — carreler une salle

Une salle rectangulaire mesure $6\ \text{m}$ sur $4\ \text{m}$ . On veut la carreler avec des carreaux carrés de $40\ \text{cm}$ de côté, vendus $800$ F CFA pièce.

Aire de la salle $= 6 \times 4$
$=$ $24\ \text{m}^2$
Côté d'un carreau $= 40\ \text{cm} = 0{,}4\ \text{m}$ on convertit dans la même unité
Aire d'un carreau $= 0{,}4 \times 0{,}4$
$=$ $0{,}16\ \text{m}^2$
Nombre de carreaux $= 24 \div 0{,}16$
$=$ $150$ carreaux
Coût $= 150 \times 800$
$=$ $120\,000$ F CFA

Fiche mémo

Périmètre rectangle : $P = 2 \times (L+l)$ ; carré : $P = 4 \times c$ ; triangle : $P = a+b+c$ .
Longueur du cercle : $C = 2\pi r = \pi d$ , avec $\pi \approx 3{,}14$ .
Aire rectangle : $A = L \times l$ ; carré : $A = c^2$ .
Aire triangle : $A = \dfrac{b \times h}{2}$ , avec $h$ perpendiculaire à la base $b$ .
Aire disque : $A = \pi \times r^2$ — attention, toujours le rayon, jamais directement le diamètre !
Le périmètre se mesure en unités de longueur (cm, m...), l'aire en unités au carré (cm², m²...) : ce ne sont jamais les mêmes nombres.
Même périmètre n'implique pas même aire, et réciproquement.
Conversion de longueurs : chaque pas d'unité $\times 10$ ou $\div 10$ .
Conversion d'aires : chaque pas d'unité $\times 100$ ou $\div 100$ (car deux dimensions).
$1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ .
$1$ hectare (ha) $= 10\,000\ \text{m}^2$ ; $1$ are (a) $= 100\ \text{m}^2$ .
Problème de clôture → calcule un périmètre. Problème de carrelage ou peinture → calcule une aire.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Calcule le périmètre d'un rectangle de longueur $L = 15\ \text{cm}$ et de largeur $l = 9\ \text{cm}$ .

Voir le corrigé détaillé

$P = 2 \times (L+l)$
$=$ $2 \times (15+9)$
$=$ $2 \times 24$
$=$ $48\ \text{cm}$

Calcule le périmètre d'un carré de côté $c = 11\ \text{cm}$ .

Voir le corrigé détaillé

$P = 4 \times c$
$=$ $4 \times 11$
$=$ $44\ \text{cm}$

Calcule l'aire d'un rectangle de longueur $13\ \text{cm}$ et de largeur $6\ \text{cm}$ .

Voir le corrigé détaillé

$A = L \times l$
$=$ $13 \times 6$
$=$ $78\ \text{cm}^2$

Calcule l'aire d'un carré de côté $8\ \text{cm}$ .

Voir le corrigé détaillé

$A = c \times c$
$=$ $8 \times 8$
$=$ $64\ \text{cm}^2$

Calcule la longueur d'un cercle de rayon $r = 4\ \text{cm}$ , puis celle d'un cercle de diamètre $d = 15\ \text{cm}$ . Arrondis au centième.

Voir le corrigé détaillé

$C = 2 \times \pi \times r = 2 \times \pi \times 4$
$=$ $8\pi$
$\approx$ $8 \times 3{,}14$
$\approx$ $25{,}12\ \text{cm}$

$C = \pi \times d = \pi \times 15$
$\approx$ $15 \times 3{,}14$
$\approx$ $47{,}1\ \text{cm}$

Niveau 2 — Approfondissement

Un triangle a pour côtés $1{,}2\ \text{m}$ , $85\ \text{cm}$ et $0{,}9\ \text{m}$ . Calcule son périmètre en mètres.

Voir le corrigé détaillé

On convertit d'abord toutes les longueurs dans la même unité, le centimètre.

$1{,}2\ \text{m} = 120\ \text{cm}$ et $0{,}9\ \text{m} = 90\ \text{cm}$
$P = 120+85+90$
$=$ $295\ \text{cm}$
$=$ $2{,}95\ \text{m}$

Un triangle a pour base $12\ \text{cm}$ et pour hauteur $7\ \text{cm}$ . Calcule son aire, puis celle d'un rectangle de mêmes base et hauteur. Quelle fraction du rectangle représente le triangle ?

Voir le corrigé détaillé

Aire du triangle $= \dfrac{12 \times 7}{2}$
$=$ $\dfrac{84}{2}$
$=$ $42\ \text{cm}^2$
Aire du rectangle $= 12 \times 7$
$=$ $84\ \text{cm}^2$

Le triangle a une aire deux fois plus petite que le rectangle : il en représente exactement la moitié ( $\dfrac{1}{2}$ ), ce qui confirme la formule.

Calcule l'aire d'un disque de diamètre $d = 18\ \text{cm}$ .

Voir le corrigé détaillé

Attention, la formule utilise le rayon : on divise d'abord le diamètre par $2$ .

$r = d \div 2 = 18 \div 2$
$=$ $9\ \text{cm}$
$A = \pi \times r^2$
$=$ $\pi \times 9^2$
$=$ $81\pi$
$\approx$ $81 \times 3{,}14$
$\approx$ $254{,}34\ \text{cm}^2$

Reprends la figure en L de la Figure 1 (page précédente). Calcule son aire en la découpant en deux rectangles.

Voir le corrigé détaillé

On découpe la figure en deux rectangles : un rectangle du haut, de dimensions $3 \times 2$ , et un rectangle du bas, de dimensions $5 \times 2$ .

Figure 8 — La même figure qu'à la Figure 1, découpée cette fois en deux rectangles pour calculer son aire.

Rectangle du haut : $3 \times 2 = 6\ \text{cm}^2$
Rectangle du bas : $5 \times 2 = 10\ \text{cm}^2$
$A = 6+10$
$=$ $16\ \text{cm}^2$

Niveau 3 — Défi

Une corde de $24\ \text{m}$ sert à clôturer un enclos rectangulaire, avec des dimensions entières en mètres.

Liste toutes les dimensions $(L,l)$ possibles.
Calcule l'aire pour chacune.
Quelle forme donne la plus grande aire ?

Voir le corrigé détaillé

1. La corde donne le périmètre : $P = 24\ \text{m}$ , donc $L+l = 24 \div 2 = 12$ . Les couples d'entiers possibles sont : $(1,11)$ , $(2,10)$ , $(3,9)$ , $(4,8)$ , $(5,7)$ , $(6,6)$ .

2. On calcule l'aire $A = L \times l$ pour chaque couple :

$L \times l$	$1 \times 11$	$2 \times 10$	$3 \times 9$	$4 \times 8$	$5 \times 7$	$6 \times 6$
Aire	$11$	$20$	$27$	$32$	$35$	$36$

3. L'aire augmente à mesure que le rectangle se rapproche d'un carré. C'est le carré $6 \times 6$ , d'aire $36\ \text{m}^2$ , qui donne la plus grande surface pour une même longueur de corde.

Un carré a un périmètre de $52\ \text{cm}$ .

Trouve la longueur de son côté.
Calcule son aire.
Un rectangle de dimensions $20\ \text{cm} \times 6\ \text{cm}$ a le même périmètre. Calcule son aire et compare.

Voir le corrigé détaillé

1. Le périmètre d'un carré vaut $4$ fois son côté.

$c = P \div 4 = 52 \div 4$
$=$ $13\ \text{cm}$

$A = 13 \times 13$
$=$ $169\ \text{cm}^2$

3. Vérifions d'abord le périmètre du rectangle : $2 \times (20+6) = 2 \times 26 = 52\ \text{cm}$ , c'est bien le même.

$A = 20 \times 6$
$=$ $120\ \text{cm}^2$

Le carré ( $169\ \text{cm}^2$ ) a une aire bien plus grande que le rectangle allongé ( $120\ \text{cm}^2$ ), pour le même périmètre. C'est la même idée qu'à l'exercice 10 : à périmètre égal, la forme la plus « carrée » gagne toujours en aire.

Un jardin carré et un jardin rectangulaire ont tous les deux une aire de $144\ \text{m}^2$ . Le jardin rectangulaire mesure $16\ \text{m} \times 9\ \text{m}$ .

Trouve le côté du jardin carré (cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne $144$ ).
Calcule les deux périmètres.
Lequel des deux jardins nécessite le plus de grillage ?

Voir le corrigé détaillé

1. On cherche un nombre que l'on multiplie par lui-même pour obtenir $144$ : $12 \times 12 = 144$ . Le côté du carré mesure donc $12\ \text{m}$ .

2. Vérifions d'abord l'aire du rectangle : $16 \times 9 = 144\ \text{m}^2$ , c'est bien la même aire.

Carré : $P = 4 \times 12 = 48\ \text{m}$
Rectangle : $P = 2 \times (16+9) = 2 \times 25 = 50\ \text{m}$

3. Même si les deux jardins ont la même aire ( $144\ \text{m}^2$ ), leurs périmètres sont différents : le jardin rectangulaire ( $50\ \text{m}$ ) demande davantage de grillage que le jardin carré ( $48\ \text{m}$ ). Comme pour les Figures 5 et l'exercice 10 : périmètre et aire sont vraiment deux mesures indépendantes.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le terrain de Fatou (Dakar). Fatou possède un terrain rectangulaire de $32\ \text{m}$ sur $18\ \text{m}$ , à Dakar. Elle veut l'entourer d'un grillage vendu $3\,200$ F CFA le mètre.

Calcule le périmètre du terrain.
Calcule le coût total du grillage.

Voir le corrigé détaillé

Figure 9 — Le terrain rectangulaire de Fatou à Dakar, avec ses deux dimensions.

$P = 2 \times (32+18)$
$=$ $2 \times 50$
$=$ $100\ \text{m}$
Coût $= 100 \times 3\,200$
$=$ $320\,000$ F CFA

Il faut $100\ \text{m}$ de grillage, pour un coût total de $320\,000$ F CFA.

La salle de Karim (Abidjan). Karim veut carreler une salle rectangulaire de $7\ \text{m}$ sur $5\ \text{m}$ , à Abidjan, avec des carreaux carrés de $50\ \text{cm}$ de côté vendus $950$ F CFA pièce.

Calcule l'aire de la salle.
Calcule le nombre de carreaux nécessaires.
Calcule le coût total.

Voir le corrigé détaillé

Aire de la salle $= 7 \times 5$
$=$ $35\ \text{m}^2$
Côté d'un carreau $= 50\ \text{cm} = 0{,}5\ \text{m}$
Aire d'un carreau $= 0{,}5 \times 0{,}5$
$=$ $0{,}25\ \text{m}^2$
Nombre de carreaux $= 35 \div 0{,}25$
$=$ $140$ carreaux
Coût $= 140 \times 950$
$=$ $133\,000$ F CFA

Karim doit acheter $140$ carreaux, pour un coût total de $133\,000$ F CFA.

Le rond-point de Ndjamena. Le disque central d'un rond-point de Ndjamena a un rayon de $6\ \text{m}$ . On veut y planter du gazon, à $1\,500$ F CFA le m².

Calcule l'aire du disque (arrondis au centième).
Calcule le coût total, arrondi à la centaine de francs.

Voir le corrigé détaillé

$A = \pi \times r^2$
$=$ $\pi \times 6^2$
$=$ $36\pi$
$\approx$ $36 \times 3{,}14$
$\approx$ $113{,}04\ \text{m}^2$
Coût $\approx 113{,}04 \times 1\,500$
$\approx$ $169\,560$ F CFA
$\approx$ $169\,600$ F CFA

Il faut environ $113\ \text{m}^2$ de gazon, pour un coût d'environ $169\,600$ F CFA.

Le champ de Moussa (Abéché). Moussa possède un champ triangulaire à Abéché, de base $40\ \text{m}$ et de hauteur $25\ \text{m}$ . Un sac de semences permet d'ensemencer $100\ \text{m}^2$ et coûte $4\,500$ F CFA.

Calcule l'aire du champ.
Calcule le nombre de sacs nécessaires.
Calcule le coût total.

Voir le corrigé détaillé

$A = \dfrac{40 \times 25}{2}$
$=$ $\dfrac{1\,000}{2}$
$=$ $500\ \text{m}^2$
Nombre de sacs $= 500 \div 100$
$=$ $5$ sacs
Coût $= 5 \times 4\,500$
$=$ $22\,500$ F CFA

Moussa doit acheter $5$ sacs de semences, pour un coût total de $22\,500$ F CFA.

Teste-toi gratuitement

8 questions

Nombres décimaux et opérations

Commencer →

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Le périmètre d'une figure, c'est :

la surface qu'elle occupe la longueur de son contour le nombre de ses côtés son nombre de sommets

Explication : Le périmètre est la distance parcourue en faisant le tour complet de la figure : on additionne la longueur de tous les côtés.

Une figure a des côtés de longueurs 3 cm, 2 cm, 2 cm et 4 cm. Quel est son périmètre ?

11 cm 8 cm 6 cm 9 cm

Explication : On additionne tous les côtés.

3+2+2+4 = 11

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ a pour périmètre :

P = L \times l

P = L + l

P = 2 \times (L+l)

P = 4 \times L

Explication : Le rectangle a deux côtés de longueur

L

et deux côtés de longueur

l

P = L+L+l+l = 2\times(L+l)

Un rectangle mesure $L = 10\ \text{cm}$ et $l = 4\ \text{cm}$ . Quel est son périmètre ?

40\ \text{cm}

14\ \text{cm}

20\ \text{cm}

28\ \text{cm}

Explication :

P = 2 \times (10+4)

= 2 \times 14

= 28\ \text{cm}

Un carré de côté $c$ a pour périmètre :

P = 4 \times c

P = c \times c

P = 2 \times c

P = c + 4

Explication : Un carré a quatre côtés égaux :

P = c+c+c+c = 4 \times c

Quel est le périmètre d'un carré de côté $c = 6\ \text{cm}$ ?

36\ \text{cm}

24\ \text{cm}

12\ \text{cm}

10\ \text{cm}

Explication :

P = 4 \times 6 = 24\ \text{cm}

Un triangle a pour côtés $5\ \text{cm}$ , $7\ \text{cm}$ et $9\ \text{cm}$ . Quel est son périmètre ?

35\ \text{cm}

12\ \text{cm}

21\ \text{cm}

16\ \text{cm}

Explication : Il n'y a pas de formule spéciale pour le triangle : on additionne les trois côtés.

5+7+9 = 21

Pour calculer $2\ \text{m} + 40\ \text{cm}$ , il faut :

écrire directement

42

ignorer les centimètres additionner

2

40

sans convertir convertir dans la même unité avant d'additionner

Explication : On doit d'abord tout mettre dans la même unité :

2\ \text{m} = 200\ \text{cm}

, donc

200 + 40 = 240\ \text{cm}

, et non

42

La longueur d'un cercle de rayon $r$ se calcule avec la formule :

C = 2 \times \pi \times r

C = \pi \times r^2

C = r \times r

C = 4 \times r

Explication : La longueur du cercle (circonférence) vaut

C = 2\pi r

, c'est-à-dire aussi

\pi \times d

puisque le diamètre

d = 2r

Un cercle a pour rayon $r = 10\ \text{cm}$ . Quelle est sa longueur, en prenant $\pi \approx 3{,}14$ ?

31{,}4\ \text{cm}

62{,}8\ \text{cm}

314\ \text{cm}

20\ \text{cm}

Explication :

C = 2 \times \pi \times r = 2 \times 3{,}14 \times 10

= 62{,}8\ \text{cm}

Le diamètre d'un cercle est toujours égal à :

la moitié du rayon le rayon deux fois le rayon trois fois le rayon

Explication : Le diamètre relie deux points du cercle en passant par le centre :

d = 2 \times r

L'aire d'une figure, c'est :

la longueur de son contour le nombre de ses sommets toujours un nombre de centimètres la mesure de sa surface

Explication : L'aire mesure la place occupée à l'intérieur du contour de la figure, en unités « au carré » (cm², m²...).

Un rectangle mesure $L = 9\ \text{cm}$ et $l = 5\ \text{cm}$ . Quelle est son aire ?

45\ \text{cm}^2

28\ \text{cm}^2

14\ \text{cm}^2

40\ \text{cm}^2

Explication :

A = L \times l = 9 \times 5 = 45\ \text{cm}^2

Un carré a un côté de $6\ \text{cm}$ . Quelle est son aire ?

24\ \text{cm}^2

36\ \text{cm}^2

12\ \text{cm}^2

18\ \text{cm}^2

Explication :

A = c \times c = 6 \times 6 = 36\ \text{cm}^2

Un triangle a une base $b = 10\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 6\ \text{cm}$ . Quelle est son aire ?

60\ \text{cm}^2

16\ \text{cm}^2

30\ \text{cm}^2

20\ \text{cm}^2

Explication :

A = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{10 \times 6}{2} = \dfrac{60}{2} = 30\ \text{cm}^2

Un rectangle $6\times2$ et un carré $4\times4$ ont tous les deux un périmètre de $16$ . Que peux-tu dire de leurs aires ?

elles sont forcément égales aussi elles n'existent pas le rectangle a toujours la plus grande aire elles peuvent être différentes (ici 12 et 16)

Explication : Même périmètre ne veut pas dire même aire ! Le rectangle

6\times2

a une aire de

12

, le carré

4\times4

une aire de

16

: ce sont deux mesures indépendantes.

L'aire d'un disque de rayon $r = 3\ \text{cm}$ , avec $\pi \approx 3{,}14$ , vaut environ :

28{,}26\ \text{cm}^2

9\ \text{cm}^2

18{,}84\ \text{cm}^2

6{,}28\ \text{cm}^2

Explication :

A = \pi \times r^2 = 3{,}14 \times 3^2

= 3{,}14 \times 9

\approx 28{,}26\ \text{cm}^2

Un disque a un diamètre de $10\ \text{cm}$ . Pour calculer son aire avec $A = \pi \times r^2$ , il faut d'abord :

utiliser directement

10

comme rayon diviser le diamètre par 2 pour obtenir le rayon multiplier le diamètre par 2 calculer

\pi \times 10

Explication : La formule utilise le rayon, jamais directement le diamètre. Il faut calculer

r = d \div 2 = 10 \div 2 = 5\ \text{cm}

avant d'appliquer la formule.

Combien vaut $1\ \text{m}^2$ en $\text{dm}^2$ ?

10\ \text{dm}^2

1\,000\ \text{dm}^2

100\ \text{dm}^2

1\ \text{dm}^2

Explication : Pour les aires, chaque pas d'unité vaut un facteur

100

(et non

10

comme pour les longueurs) :

1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2

Un terrain rectangulaire mesure $20\ \text{m}$ sur $15\ \text{m}$ . On veut le clôturer avec un grillage à $2\,000$ F CFA le mètre. Quel est le coût total ?

300\,000

F CFA

35\,000

F CFA

600\,000

F CFA

140\,000

F CFA

Explication : Pour une clôture, on calcule d'abord le périmètre.

P = 2 \times (20+15) = 2 \times 35 = 70\ \text{m}

Coût

= 70 \times 2\,000 = 140\,000

F CFA

S'inscrire à ce chapitre

Clique et envoie : ton message WhatsApp est déjà pré-rempli avec la classe, la matière et le chapitre.

S'inscrire sur WhatsApp

Demander un cours privé Rejoindre un groupe

En bref

Classe : Classe de Sixième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 7 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

Les autres chapitres

Tout le programme