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Solides usuels et volumes

Reconnaître les solides, dessiner un patron et calculer un volume.

Mathématiques 6ème Chapitre 13 / 14 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Construire le patron d'un pavé ou d'un cylindre
  • Calculer un volume et le convertir en litres
  • Lire une représentation en perspective cavalière

Autour de toi, presque rien n'est plat. Un dé à jouer, une boîte de conserve, un ballon de football, une brique de lait : tous ces objets ont une épaisseur, une profondeur. En mathématiques, on les appelle des solides. Ce chapitre t'apprend à les reconnaître, à les dessiner à plat — on dit « en patron » — et à mesurer la place qu'ils occupent : leur volume.

Jusqu'à présent, tu as surtout travaillé avec des figures planes : carrés, rectangles, triangles, cercles. Tu savais calculer un périmètre (le tour) et une aire (la surface). Avec les solides, tu ajoutes une troisième dimension. Un carré devient un cube, un rectangle devient un pavé droit. Et à l'aire succède une nouvelle grandeur : le volume, qui se mesure en cm³, en dm³ ou en litres.

Ce chapitre est très concret. Tu vas construire de vrais patrons en carton, compter des petits cubes empilés, et résoudre des problèmes de tous les jours : combien de litres d'eau dans un aquarium ? combien de briques pour construire un mur ? Ce sont exactement les calculs que fait un maçon, un poissonnier ou un livreur.

Prends ton temps : dessiner un solide en perspective demande un peu d'entraînement, mais les règles sont toujours les mêmes. Un crayon, une règle, et c'est parti !

1Pavé droit, cube, cylindre : description

1.1  Les solides qui nous entourent

Définition — Solide

Un solide est un objet à trois dimensions (longueur, largeur, hauteur) qui occupe une place dans l'espace : cette place s'appelle son volume. Les surfaces qui limitent un solide s'appellent ses faces.

Définition — Face, arête, sommet

Une face est une surface (plane ou courbe) qui délimite le solide. Une arête est la ligne où deux faces se rencontrent. Un sommet est un point où plusieurs arêtes se rejoignent.

Il existe six solides usuels que tu dois savoir reconnaître : le cube, le pavé droit, le cylindre, la pyramide, le cône et la boule.

Les six solides usuels, en perspective cavalière Cube Pavé droit Cylindre Pyramide Cône Boule (sphère)
Figure 1 — Les six solides usuels. Les traits pleins montrent les arêtes visibles, les pointillés montrent les arêtes cachées derrière le solide.
Exemple — un solide, un objet

Chaque solide te rappelle un objet du quotidien : le cube, c'est un dé à jouer ; le pavé droit, une brique de lait ou une boîte à chaussures ; le cylindre, une boîte de conserve ; la pyramide, un toit égyptien ; le cône, un chapeau de fête ou une glace ; la boule, un ballon de football.

1.2  Le pavé droit et le cube

Définition — Pavé droit

Un pavé droit est un solide qui a 6 faces rectangulaires, opposées deux à deux et de même dimensions. Deux faces qui se touchent forment toujours un angle droit. On le décrit par trois dimensions : sa longueur LL, sa largeur ll et sa hauteur hh.

Définition — Cube

Un cube est un pavé droit très particulier : ses 6 faces sont des carrés identiques. Autrement dit, ses trois dimensions sont égales : L=l=hL = l = h. On appelle ce nombre commun le côté du cube, noté cc.

Attention

Tout cube est un pavé droit (un cas particulier), mais un pavé droit n'est pas forcément un cube ! Une brique de lait est un pavé droit, mais ce n'est pas un cube car ses trois dimensions sont différentes.

Propriété

Le cube et le pavé droit ont exactement le même nombre de faces, d'arêtes et de sommets :

  • 6 faces (des rectangles, ou des carrés pour le cube) ;
  • 12 arêtes ;
  • 8 sommets.
Exemple — compter sur une brique de lait

Une brique de lait a la forme d'un pavé droit. Elle a bien 6 faces rectangulaires (dessus, dessous, avant, arrière, gauche, droite), 12 arêtes (les plis du carton) et 8 sommets (les coins).

1.3  Le cylindre

Définition — Cylindre

Un cylindre (de révolution) a 2 faces planes circulaires, appelées bases, identiques et parallèles, reliées par une face latérale courbe. On le décrit par le rayon rr de sa base et par sa hauteur hh.

Contrairement au cube et au pavé droit, le cylindre n'a aucun sommet : sa face latérale est courbe, elle ne forme pas de coin pointu. Il a seulement 2 arêtes, qui sont les deux cercles des bases.

Exemple — une boîte de conserve

Une boîte de conserve est un cylindre. Elle a 2 faces planes (le dessus et le dessous, deux disques identiques) et 1 face latérale courbe (l'étiquette enroulée autour). Un rayon r=4r = 4 cm et une hauteur h=10h = 10 cm sont des dimensions réalistes pour une petite boîte.

SolideFacesArêtesSommets
Cube6128
Pavé droit6128
Cylindre2 planes + 1 courbe2 (cercles)0
Pyramide (base carrée)5 (1 base + 4 triangles)85
Cône1 plane + 1 courbe1 (cercle)1
Boule1 courbe00
Math & Co — Les pyramides d'Égypte

Vers −2560-2560, les Égyptiens achèvent la grande pyramide de Khéops, près du Caire. Avec ses 146 mètres de hauteur à l'origine, elle reste la plus grande construction géométrique de l'Antiquité, faite de plus de deux millions de blocs de pierre.

Les bâtisseurs égyptiens ne connaissaient pas l'algèbre que tu apprends aujourd'hui, mais ils maîtrisaient déjà très précisément les formes des solides : la base carrée de la grande pyramide est un carré presque parfait, avec une erreur de moins de 20 cm sur 230 mètres de côté !

2Patrons et représentation en perspective

2.1  La perspective cavalière

Définition — Perspective cavalière

La perspective cavalière est une façon de dessiner un solide en 3D sur une feuille plate, en suivant trois règles :

  • la face de devant est dessinée en vraie grandeur, sans déformation ;
  • les arêtes qui « fuient » vers l'arrière sont parallèles entre elles, inclinées (souvent à 45°), et réduites (environ moitié moins longues) ;
  • les arêtes cachées par le solide sont dessinées en pointillés.
Méthode — lire une perspective cavalière

Pour comprendre un dessin en perspective : repère d'abord la face de devant (un rectangle ou un carré, en vraie grandeur). Ensuite, suis les arêtes obliques qui partent vers l'arrière : elles montrent la profondeur du solide. Enfin, les pointillés t'indiquent les arêtes que tu ne pourrais pas voir si l'objet était réellement devant toi.

Regarde à nouveau la Figure 1 : sur le cube et le pavé droit, la face de devant est un rectangle net, les faces du dessus et de droite sont des parallélogrammes obliques, et un seul sommet (le plus « arrière ») est caché, relié par trois arêtes en pointillés.

Exemple — reconnaître les faces cachées

Sur le dessin du cube de la Figure 1, trois arêtes sont en pointillés : elles se rejoignent toutes en un seul sommet, le sommet le plus caché du cube, derrière les trois faces visibles (devant, dessus, droite).

2.2  Le patron d'un solide

Définition — Patron

Le patron d'un solide est une figure plane qui, une fois découpée puis pliée le long de ses arêtes, permet de reconstruire exactement ce solide — sans trou, et sans qu'aucune face ne se superpose à une autre.

Méthode — vérifier qu'un patron est correct

1) Compte les faces du patron : il doit y en avoir autant que sur le solide (6 pour un cube ou un pavé droit). 2) Vérifie que les faces qui doivent se rejoindre en se pliant ont bien la même longueur d'arête. 3) Imagine le pliage mentalement (ou découpe-le vraiment !) pour t'assurer qu'aucune face ne se chevauche.

Un patron du cube (arête 4 cm) 1 2 3 4 5 6 4 cm
Figure 2 — Un patron exact du cube : 6 carrés identiques de 4 cm de côté, disposés en croix. Une fois plié, il forme un cube d'arête 4 cm.
Un patron du pavé droit (8 cm × 5 cm × 4 cm) dessus avant droite arrière gauche dessous L = 8 cm l = 5 cm h = 4 cm
Figure 3 — Un patron exact du pavé droit : les faces opposées (dessus/dessous, avant/arrière, gauche/droite) ont deux à deux les mêmes dimensions.
Attention

Un piège classique : un patron avec 6 carrés mal disposés (par exemple en une seule rangée de 6, ou avec deux carrés qui se superposeraient au pliage) n'est pas un patron valide, même s'il a le bon nombre de faces. Il faut toujours vérifier le pliage !

Exemple — patron d'un cylindre

Le patron d'un cylindre est fait de 3 morceaux : un rectangle (qui s'enroule pour former la face latérale courbe) et 2 disques identiques (les deux bases). La largeur du rectangle doit être égale à la hauteur hh du cylindre, et sa longueur doit être égale au tour d'un disque.

3Volume du pavé et du cube

3.1  Compter les cubes unités

Définition — Volume, cube unité

Le volume d'un solide est la mesure de la place qu'il occupe dans l'espace. Pour le mesurer, on choisit une unité : le cube unité, un petit cube d'arête 1 (par exemple 1 cm). Son volume vaut, par définition, 1 unité de volume (par exemple 1 cm³).

Propriété

Le volume d'un solide, exprimé en cubes unités, est le nombre de cubes unités nécessaires pour le remplir exactement, sans trou ni superposition.

Un pavé décomposé en cubes unités 1 cube = 1 cm³ 3 (longueur)2 (profondeur)2 (hauteur) 12 cubes unités → V = 12 cm³
Figure 4 — Un pavé droit de 3 cubes de long, 2 de profondeur et 2 de haut. En comptant, on trouve 3×2×2=123 \times 2 \times 2 = 12 cubes unités : son volume est donc 1212 cm³.
Exemple — compter une couche à la fois

Sur la Figure 4, chaque « couche » horizontale contient 3×2=63 \times 2 = 6 cubes. Il y a 22 couches empilées (la hauteur), donc au total 6×2=126 \times 2 = 12 cubes unités. On retrouve bien le même résultat qu'en comptant un par un.

3.2  Les formules V=L×l×hV = L \times l \times h et V=c3V = c^{3}

Propriété — Volume du pavé droit

Le volume d'un pavé droit de longueur LL, de largeur ll et de hauteur hh est :

V=L×l×hV = L \times l \times h

Démonstration — pourquoi cette formule ?

Une « couche » de cubes unités posée au sol contient L×lL \times l cubes (comme une aire, en cubes de base). La hauteur hh donne le nombre de couches empilées. Le nombre total de cubes est donc L×lL \times l répété hh fois, soit L×l×hL \times l \times h. C'est exactement ce que montre la Figure 4 avec 3×2×23 \times 2 \times 2.

Propriété — Volume du cube

Un cube est un pavé droit dont les trois dimensions sont égales à son côté cc. Son volume est donc :

V=c×c×c=c3V = c \times c \times c = c^{3}

Attention

c3c^{3} signifie c×c×cc \times c \times c, et surtout pas 3×c3 \times c ! De même, ne confonds pas une aire (en cm², deux dimensions) avec un volume (en cm³, trois dimensions) : une aire mesure une surface, un volume mesure une place dans l'espace.

Exemple — volume d'une boîte à chaussures

Une boîte à chaussures mesure L=30L = 30 cm, l=20l = 20 cm et h=12h = 12 cm.

  1. V=30×20×12V = 30 \times 20 \times 12
  2. 30×20=60030 \times 20 = 600
  3. ⇒\RightarrowV=600×12V = 600 \times 12
  4. ==7 2007\,200cm³

Le volume de la boîte est 7 2007\,200 cm³.

Exemple — volume d'un cube d'arête 4 cm

Reprenons le cube de la Figure 2, d'arête c=4c = 4 cm.

  1. V=43=4×4×4V = 4^{3} = 4 \times 4 \times 4
  2. 4×4=164 \times 4 = 16
  3. ⇒\RightarrowV=16×4V = 16 \times 4
  4. ==6464cm³

Le volume de ce cube est 6464 cm³.

Math & Co — Archimède et le bain qui déborde

Au IIIe siècle avant notre ère, à Syracuse (en Sicile), le savant grec Archimède doit vérifier si la couronne du roi Hiéron II est en or pur, sans l'abîmer. En entrant dans son bain, il remarque que le niveau de l'eau monte exactement selon le volume de son corps immergé.

Il comprend alors qu'il peut mesurer le volume de la couronne, même irrégulière, en plongeant celle-ci dans l'eau et en mesurant le volume d'eau déplacé ! La légende raconte qu'il se serait précipité, tout nu, dans les rues de Syracuse en criant « Eurêka ! » (« J'ai trouvé ! »). C'est l'une des premières idées de mesure de volume par immersion, encore utilisée aujourd'hui pour des solides irréguliers.

4Unités de volume et capacités

4.1  Les unités de volume

Comme pour les longueurs, il existe plusieurs unités de volume : le millimètre cube (mm³), le centimètre cube (cm³), le décimètre cube (dm³) et le mètre cube (m³). Mais attention : ici, on passe d'une unité à l'autre en multipliant ou divisant par 1 000, et non par 10 !

Propriété — changer d'unité de volume

Un cube de 1 dm de côté peut se découper en 10×10×10=1 00010 \times 10 \times 10 = 1\,000 petits cubes de 1 cm de côté. Donc :

1 dm3=1 000 cm31 m3=1 000 dm31 cm3=1 000 mm31\ \text{dm}^{3} = 1\,000\ \text{cm}^{3} \qquad 1\ \text{m}^{3} = 1\,000\ \text{dm}^{3} \qquad 1\ \text{cm}^{3} = 1\,000\ \text{mm}^{3}

Unitém³dm³cm³mm³
Équivaut à111 0001\,0001 000 0001\,000\,0001 000 000 0001\,000\,000\,000
Exemple — convertir un volume
  1. 2 dm3=2×1 000 cm32\ \text{dm}^{3} = 2 \times 1\,000\ \text{cm}^{3}
  2. ==2 000 cm32\,000\ \text{cm}^{3}
  1. 5 000 cm3=5 000÷1 000 dm35\,000\ \text{cm}^{3} = 5\,000 \div 1\,000\ \text{dm}^{3}
  2. ==5 dm35\ \text{dm}^{3}

4.2  Les capacités et le litre

Définition — Capacité

La capacité d'un récipient est le volume de liquide qu'il peut contenir. Elle se mesure en litres (L), ou en sous-unités : le millilitre (mL), le centilitre (cL), le décilitre (dL).

Propriété — le lien volume / capacité

1 L=1 dm31 mL=1 cm31\ \text{L} = 1\ \text{dm}^{3} \qquad\qquad 1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^{3}

UnitéhLdaLLdLcLmL
Équivaut à1001001010110,10{,}10,010{,}010,0010{,}001
Méthode — convertir un volume en litres

1) Ramène le volume en cm³ si besoin. 2) Divise par 1 0001\,000 pour obtenir des dm³, qui sont aussi des litres (1 dm3=1 L1\ \text{dm}^{3} = 1\ \text{L}). 3) N'oublie jamais d'écrire l'unité finale.

Exemple — la boîte à chaussures, en litres

Reprenons la boîte à chaussures de 7 2007\,200 cm³.

  1. V=7 200 cm3V = 7\,200\ \text{cm}^{3}
  2. ==7 200÷1 000 dm37\,200 \div 1\,000\ \text{dm}^{3}
  3. ==7,2 dm37{,}2\ \text{dm}^{3}
  4. ==7,2 L7{,}2\ \text{L}car 1 dm3=1 L1\ \text{dm}^{3} = 1\ \text{L}

Si on remplissait cette boîte d'eau, elle contiendrait 7,27{,}2 litres.

Math & Co — la naissance du litre

Avant 1795, chaque région de France (et d'ailleurs) avait ses propres unités de mesure : la pinte de Paris n'était pas celle de Lyon ! Le commerce en devenait très compliqué.

En 1795, pendant la Révolution française, l'Académie des sciences crée le système métrique : le mètre pour les longueurs, et le litre, défini comme le volume d'un cube de 11 dm de côté, pour les capacités. Ce système, simple et basé sur le nombre 1010 (et ses puissances), s'est ensuite répandu dans presque tout le monde, y compris en Afrique francophone aujourd'hui.

5Problèmes concrets

Méthode — résoudre un problème de volume

1) Identifie les trois dimensions utiles (LL, ll, hh, ou le côté cc). 2) Applique la formule V=L×l×hV = L \times l \times h ou V=c3V = c^{3}, une étape à la fois. 3) Convertis le résultat dans l'unité demandée (litres, dm³…). 4) Réponds par une phrase complète, avec l'unité.

5.1  L'aquarium

Un aquarium à coter L = 50 cm l = 30 cm h = 25 cm
Figure 5 — Un aquarium coté : longueur L=50L = 50 cm, largeur l=30l = 30 cm, hauteur h=25h = 25 cm.
Exemple — le volume de l'aquarium

Quelle quantité d'eau, en litres, faut-il pour remplir complètement cet aquarium ?

  1. V=50×30×25V = 50 \times 30 \times 25
  2. 50×30=1 50050 \times 30 = 1\,500
  3. ⇒\RightarrowV=1 500×25V = 1\,500 \times 25
  4. ==37 500 cm337\,500\ \text{cm}^{3}
  5. ==37 500÷1 000 dm337\,500 \div 1\,000\ \text{dm}^{3}
  6. ==37,5 dm3=37,5 L37{,}5\ \text{dm}^{3} = 37{,}5\ \text{L}

Il faut 37,5 litres d'eau pour remplir cet aquarium jusqu'en haut.

5.2  La caisse de rangement

Exemple — combien de petites boîtes tiennent dans la caisse ?

Une caisse en carton mesure 6060 cm ×\times 4040 cm ×\times 3030 cm. On veut y ranger des petites boîtes cubiques de 1010 cm de côté. Combien de petites boîtes peut-on ranger, au maximum ?

  1. Vcaisse=60×40×30V_{\text{caisse}} = 60 \times 40 \times 30
  2. 60×40=2 40060 \times 40 = 2\,400
  3. ⇒\RightarrowVcaisse=2 400×30=72 000 cm3V_{\text{caisse}} = 2\,400 \times 30 = 72\,000\ \text{cm}^{3}
  4. Vboıˆte=103=1 000 cm3V_{\text{boîte}} = 10^{3} = 1\,000\ \text{cm}^{3}
  5. nombre de boîtes =72 000÷1 000= 72\,000 \div 1\,000
  6. ==7272boîtes

On peut vérifier autrement : le long de la caisse, on range 60÷10=660 \div 10 = 6 boîtes ; en largeur, 40÷10=440 \div 10 = 4 ; en hauteur, 30÷10=330 \div 10 = 3. Et 6×4×3=726 \times 4 \times 3 = 72 : on retrouve le même résultat !

5.3  Le mur de briques

Exemple — combien de briques pour un mur ?

Un maçon de Bamako doit construire un mur de 22 m de long, 33 m de haut et 0,20{,}2 m d'épaisseur. Il utilise des briques de 2020 cm ×\times 1010 cm ×\times 1010 cm. Combien de briques lui faut-il, au minimum ?

  1. Vmur=2×3×0,2V_{\text{mur}} = 2 \times 3 \times 0{,}2
  2. 2×3=62 \times 3 = 6
  3. ⇒\RightarrowVmur=6×0,2=1,2 m3V_{\text{mur}} = 6 \times 0{,}2 = 1{,}2\ \text{m}^{3}
  4. ==1,2×1 000 dm3=1 200 dm31{,}2 \times 1\,000\ \text{dm}^{3} = 1\,200\ \text{dm}^{3}
  5. Vbrique=20×10×10=2 000 cm3=2 dm3V_{\text{brique}} = 20 \times 10 \times 10 = 2\,000\ \text{cm}^{3} = 2\ \text{dm}^{3}
  6. nombre de briques =1 200÷2= 1\,200 \div 2
  7. ==600600briques

Il faut 600 briques (sans compter le ciment entre les briques, dans la réalité). Ce calcul très concret est celui que fait un maçon avant de commander ses matériaux !

Attention

Dans un problème concret, vérifie toujours que toutes tes longueurs sont dans la même unité avant de multiplier ! Dans l'exemple du mur, il fallait convertir des mètres en décimètres pour comparer avec le volume d'une brique.

Fiche mémo

  • Six solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, pyramide, cône, boule.
  • Cube et pavé droit : 66 faces, 1212 arêtes, 88 sommets. Cylindre : 22 arêtes (cercles), 00 sommet.
  • Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur ; fuites obliques (souvent 45°), réduites ; arêtes cachées en pointillés.
  • Patron : figure plane qui se plie pour former le solide, sans trou ni superposition.
  • Le volume = nombre de cubes unités qui remplissent le solide.
  • Pavé droit : V=L×l×hV = L \times l \times h.
  • Cube : V=c3=c×c×cV = c^{3} = c \times c \times c (et pas 3×c3 \times c).
  • Unités de volume : on multiplie/divise par 1 0001\,000 entre chaque unité (mm³, cm³, dm³, m³).
  • 1 dm3=1 L1\ \text{dm}^{3} = 1\ \text{L} et 1 cm3=1 mL1\ \text{cm}^{3} = 1\ \text{mL}.
  • Pour convertir un volume en litres : ramène-le en dm³ (÷ 1 000 depuis les cm³).
  • Ne confonds jamais une aire (cm², 2 dimensions) et un volume (cm³, 3 dimensions).

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Associe chaque objet à son solide : un dé à jouer, une boîte de conserve, un ballon de football, un chapeau de fête pointu, une brique de lait.

Voir le corrigé détaillé

Un dé à jouer est un cube. Une boîte de conserve est un cylindre. Un ballon de football est une boule. Un chapeau de fête pointu est un cône. Une brique de lait est un pavé droit.

2

Donne le nombre de faces, d'arêtes et de sommets d'un cube, puis d'un pavé droit.

Voir le corrigé détaillé

Le cube et le pavé droit ont exactement les mêmes nombres : 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Seule la forme des faces change : des carrés pour le cube, des rectangles (pas forcément carrés) pour le pavé droit.

3

Calcule le volume d'un pavé droit de longueur L=6L = 6 cm, de largeur l=4l = 4 cm et de hauteur h=3h = 3 cm.

Voir le corrigé détaillé
  1. V=6×4×3V = 6 \times 4 \times 3
  2. 6×4=246 \times 4 = 24
  3. ⇒\RightarrowV=24×3V = 24 \times 3
  4. ==72 cm372\ \text{cm}^{3}

Le volume de ce pavé droit est 7272 cm³.

4

Calcule le volume d'un cube d'arête c=5c = 5 cm.

Voir le corrigé détaillé
  1. V=53=5×5×5V = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5
  2. 5×5=255 \times 5 = 25
  3. ⇒\RightarrowV=25×5V = 25 \times 5
  4. ==125 cm3125\ \text{cm}^{3}

Le volume de ce cube est 125125 cm³.

5

Convertis : 3 dm33\ \text{dm}^{3} en cm³ ; 8 000 cm38\,000\ \text{cm}^{3} en dm³ ; 2 L2\ \text{L} en mL.

Voir le corrigé détaillé
  1. 3 dm3=3×1 000 cm3=3 000 cm33\ \text{dm}^{3} = 3 \times 1\,000\ \text{cm}^{3} = 3\,000\ \text{cm}^{3}
  2. 8 000 cm3=8 000÷1 000 dm3=8 dm38\,000\ \text{cm}^{3} = 8\,000 \div 1\,000\ \text{dm}^{3} = 8\ \text{dm}^{3}
  3. 2 L=2×1 000 mL=2 000 mL2\ \text{L} = 2 \times 1\,000\ \text{mL} = 2\,000\ \text{mL}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Un pavé droit est empilé avec des cubes unités : 4 cubes de long, 3 de profondeur et 2 de haut. Combien de cubes unités contient-il ? Quel est son volume, en cm³ ?

Voir le corrigé détaillé

Comptons couche par couche : une couche horizontale contient 4×3=124 \times 3 = 12 cubes. Il y a 22 couches empilées.

  1. nombre de cubes =12×2= 12 \times 2
  2. ==2424

On retrouve le même résultat avec la formule : 4×3×2=244 \times 3 \times 2 = 24. Le solide contient 24 cubes unités, son volume est donc 2424 cm³ (si chaque cube unité mesure 1 cm de côté).

7

Observe la Figure 6. Quel est ce solide ? Donne son nombre de faces, d'arêtes et de sommets.

Voir le corrigé détaillé
Quel est ce solide ?
Figure 6 — Solide mystère, en perspective cavalière.

Ce solide a une base circulaire et une pointe : c'est un cône. Il a 2 faces (1 face plane, la base circulaire, et 1 face latérale courbe), 1 arête (le cercle de la base) et 1 sommet (la pointe, souvent appelée « sommet du cône »).

8

Un petit réservoir mesure 4040 cm ×\times 2525 cm ×\times 2020 cm. Calcule son volume en cm³, puis convertis-le en litres.

Voir le corrigé détaillé
  1. V=40×25×20V = 40 \times 25 \times 20
  2. 40×25=1 00040 \times 25 = 1\,000
  3. ⇒\RightarrowV=1 000×20=20 000 cm3V = 1\,000 \times 20 = 20\,000\ \text{cm}^{3}
  4. ==20 000÷1 000 dm3=20 dm320\,000 \div 1\,000\ \text{dm}^{3} = 20\ \text{dm}^{3}
  5. ==20 L20\ \text{L}

Ce réservoir peut contenir 20 litres.

9

Un pavé droit a un volume de 150150 cm³. Sa longueur est L=10L = 10 cm et sa largeur l=5l = 5 cm. Calcule sa hauteur hh.

Voir le corrigé détaillé

Comme V=L×l×hV = L \times l \times h, on peut retrouver hh en divisant.

  1. L×l=10×5=50L \times l = 10 \times 5 = 50
  2. h=V÷(L×l)h = V \div (L \times l)
  3. ==150÷50150 \div 50
  4. ==3 cm3\ \text{cm}

La hauteur de ce pavé droit est 33 cm.

Niveau 3 — Défi
10

Reprends le patron du pavé droit de la Figure 3 (L=8L = 8 cm, l=5l = 5 cm, h=4h = 4 cm).

  1. Calcule l'aire de la face « avant » (un rectangle L×hL \times h).
  2. Calcule l'aire de la face « droite » (un rectangle l×hl \times h) et celle de la face « dessus » (un rectangle L×lL \times l).
  3. En te souvenant que chaque face apparaît deux fois dans le patron (une paire de faces opposées), calcule l'aire totale du carton nécessaire.
Voir le corrigé détaillé

1. Aire de la face avant :

  1. Aavant=L×h=8×4A_{\text{avant}} = L \times h = 8 \times 4
  2. ==32 cm232\ \text{cm}^{2}

2. Aires des deux autres faces différentes :

  1. Adroite=l×h=5×4=20 cm2A_{\text{droite}} = l \times h = 5 \times 4 = 20\ \text{cm}^{2}
  2. Adessus=L×l=8×5=40 cm2A_{\text{dessus}} = L \times l = 8 \times 5 = 40\ \text{cm}^{2}

3. Le patron a 6 faces, formant 3 paires de faces identiques (avant/arrière, droite/gauche, dessus/dessous) :

  1. Atotale=2×(32+20+40)A_{\text{totale}} = 2 \times (32 + 20 + 40)
  2. 32+20+40=9232 + 20 + 40 = 92
  3. ⇒\RightarrowAtotale=2×92A_{\text{totale}} = 2 \times 92
  4. ==184 cm2184\ \text{cm}^{2}

Il faut 184 cm² de carton pour fabriquer ce pavé droit.

11

Un cube d'arête c=4c = 4 cm et un pavé droit ont le même volume. Le pavé droit a pour dimensions L=8L = 8 cm et l=2l = 2 cm.

  1. Calcule le volume du cube.
  2. Déduis-en la hauteur hh du pavé droit.
  3. Vérifie ton résultat en recalculant le volume du pavé droit.
Voir le corrigé détaillé

1. Volume du cube :

  1. Vcube=43=4×4×4=64 cm3V_{\text{cube}} = 4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64\ \text{cm}^{3}

2. Le pavé droit a le même volume, donc L×l×h=64L \times l \times h = 64.

  1. L×l=8×2=16L \times l = 8 \times 2 = 16
  2. h=64÷16h = 64 \div 16
  3. ==4 cm4\ \text{cm}

3. Vérification :

  1. Vpaveˊ=8×2×4V_{\text{pavé}} = 8 \times 2 \times 4
  2. ==64 cm364\ \text{cm}^{3}

On retrouve bien 6464 cm³ : le résultat est cohérent.

12

Deux citernes existent. La citerne A mesure 1,21{,}2 m ×\times 0,80{,}8 m ×\times 11 m. La citerne B mesure 9090 cm ×\times 100100 cm ×\times 110110 cm.

  1. Convertis les dimensions de la citerne B en mètres.
  2. Calcule le volume de chaque citerne, en m³ puis en litres.
  3. Quelle citerne contient le plus d'eau ? De combien de litres de plus ?
Voir le corrigé détaillé

1. Citerne B : 9090 cm =0,9= 0{,}9 m ; 100100 cm =1= 1 m ; 110110 cm =1,1= 1{,}1 m.

2. Volume de la citerne A :

  1. VA=1,2×0,8×1V_A = 1{,}2 \times 0{,}8 \times 1
  2. 1,2×0,8=0,961{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96
  3. ⇒\RightarrowVA=0,96 m3=960 LV_A = 0{,}96\ \text{m}^{3} = 960\ \text{L}

Volume de la citerne B :

  1. VB=0,9×1×1,1V_B = 0{,}9 \times 1 \times 1{,}1
  2. ==0,99 m3=990 L0{,}99\ \text{m}^{3} = 990\ \text{L}

3. 990>960990 > 960 : la citerne B contient le plus d'eau, avec 990−960=30990 - 960 = 30 litres de plus. Même si ses dimensions semblent « plus petites » au premier coup d'œil, il fallait bien convertir avant de comparer !

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le réservoir de M. Idriss (Ndjamena). M. Idriss installe un réservoir d'eau rectangulaire de 22 m de long, 1,51{,}5 m de large et 11 m de haut, chez lui à Ndjamena.

  1. Calcule le volume du réservoir en m³.
  2. Convertis ce volume en litres.
  3. L'eau coûte 55 F CFA le litre. Calcule le prix pour remplir entièrement le réservoir.
Voir le corrigé détaillé

1. Volume :

  1. V=2×1,5×1V = 2 \times 1{,}5 \times 1
  2. ==3 m33\ \text{m}^{3}

2. Conversion en litres :

  1. V=3×1 000 dm3V = 3 \times 1\,000\ \text{dm}^{3}
  2. ==3 000 dm3=3 000 L3\,000\ \text{dm}^{3} = 3\,000\ \text{L}

3. Coût de remplissage :

  1. prix =3 000×5= 3\,000 \times 5
  2. ==15 00015\,000F CFA

Il faut 15 000 F CFA pour remplir entièrement le réservoir.

14

Les caisses de Kofi (Abidjan). Kofi transporte des caisses en bois pour son commerce à Abidjan (voir Figure 7). Chaque caisse mesure 6060 cm de long, 4040 cm de haut et 5050 cm de profondeur.

  1. Calcule le volume d'une caisse en cm³, puis en m³.
  2. Kofi doit transporter 25 caisses. Calcule le volume total.
  3. Le transporteur facture 8 0008\,000 F CFA par m³. Calcule le coût total du transport.
Voir le corrigé détaillé
Une caisse à transporter (Abidjan) 60 cm 40 cm 50 cm
Figure 7 — Une caisse de 60×40×5060 \times 40 \times 50 cm, à transporter.

1. Volume d'une caisse :

  1. V=60×40×50V = 60 \times 40 \times 50
  2. 60×40=2 40060 \times 40 = 2\,400
  3. ⇒\RightarrowV=2 400×50=120 000 cm3V = 2\,400 \times 50 = 120\,000\ \text{cm}^{3}
  4. ==0,12 m30{,}12\ \text{m}^{3}120 000÷1 000 000120\,000 \div 1\,000\,000

2. Pour 25 caisses :

  1. Vtotal=0,12×25V_{\text{total}} = 0{,}12 \times 25
  2. ==3 m33\ \text{m}^{3}

3. Coût du transport :

  1. prix =3×8 000= 3 \times 8\,000
  2. ==24 00024\,000F CFA

Le transport des 25 caisses coûte 24 000 F CFA.

15

L'aquarium du poissonnier (Dakar). Un poissonnier de Dakar installe un aquarium de vitrine de 8080 cm de long, 3535 cm de large et 4040 cm de haut (comme celui de la Figure 5, avec d'autres dimensions).

  1. Calcule le volume de l'aquarium en cm³, puis en litres.
  2. Il faut environ 5 litres d'eau par poisson pour qu'ils soient à l'aise. Combien de poissons peut-il mettre au maximum ?
Voir le corrigé détaillé

1. Volume :

  1. V=80×35×40V = 80 \times 35 \times 40
  2. 80×35=2 80080 \times 35 = 2\,800
  3. ⇒\RightarrowV=2 800×40=112 000 cm3V = 2\,800 \times 40 = 112\,000\ \text{cm}^{3}
  4. ==112 L112\ \text{L}

2. Nombre de poissons :

  1. nombre =112÷5= 112 \div 5
  2. ==22,422{,}4

On ne peut pas avoir 0,40{,}4 poisson ! On arrondit à l'entier inférieur : le poissonnier peut mettre au maximum 22 poissons.

16

Le mur de Fatim (Douala). Fatim fait construire un mur de 55 m de long, 22 m de haut et 0,20{,}2 m d'épaisseur, à Douala. Les briques utilisées mesurent 2020 cm ×\times 1010 cm ×\times 1010 cm et coûtent 7575 F CFA l'unité.

  1. Calcule le volume du mur, en m³ puis en dm³.
  2. Calcule le nombre de briques nécessaires.
  3. Calcule le coût total des briques.
Voir le corrigé détaillé

1. Volume du mur :

  1. V=5×2×0,2V = 5 \times 2 \times 0{,}2
  2. 5×2=105 \times 2 = 10
  3. ⇒\RightarrowV=10×0,2=2 m3V = 10 \times 0{,}2 = 2\ \text{m}^{3}
  4. ==2 000 dm32\,000\ \text{dm}^{3}

2. Volume d'une brique : 20×10×10=2 000 cm3=2 dm320 \times 10 \times 10 = 2\,000\ \text{cm}^{3} = 2\ \text{dm}^{3}.

  1. nombre de briques =2 000÷2= 2\,000 \div 2
  2. ==1 0001\,000

3. Coût total :

  1. prix =1 000×75= 1\,000 \times 75
  2. ==75 00075\,000F CFA

Il faut 1 000 briques, pour un coût total de 75 000 F CFA.

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Qu'est-ce qu'un solide, en mathématiques ?

Explication : Un solide a une longueur, une largeur et une hauteur : il occupe une vraie place dans l'espace. C'est ce qui le distingue d'une figure plane comme un carré.

Comment appelle-t-on une surface qui délimite un solide ?

Explication : Une face est une surface, plane ou courbe, qui délimite le solide. Par exemple, un cube a 6 faces carrées.

Comment appelle-t-on la ligne où deux faces d'un solide se rencontrent ?

Explication : Une arête est la ligne où deux faces se rejoignent. Sur une brique de lait, les arêtes sont les plis du carton.

Un dé à jouer a la forme d'un :

Explication : Un dé a 6 faces carrées identiques : c'est un cube.

Une boîte de conserve a la forme d'un :

Explication : Une boîte de conserve a deux faces planes rondes (les bases) reliées par une face latérale courbe : c'est un cylindre.

Un pavé droit a :

Explication : Un pavé droit a 6 faces rectangulaires : elles sont identiques deux à deux (dessus/dessous, avant/arrière, gauche/droite).

Un cube est un pavé droit très particulier car :

Explication : Dans un cube, la longueur, la largeur et la hauteur sont toutes les trois égales : on appelle ce nombre commun le côté du cube.

Parmi ces affirmations, laquelle est vraie ?

Explication : Le cube est un cas particulier de pavé droit (ses 3 dimensions sont égales), mais l'inverse n'est pas vrai : une brique de lait est un pavé droit qui n'est pas un cube.

Un cube (comme un pavé droit) possède :

Explication : Cube et pavé droit ont exactement les mêmes nombres : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets. Seule la forme des faces change.

Combien de sommets a un cylindre ?

Explication : La face latérale du cylindre est courbe : elle ne forme aucun coin pointu. Le cylindre n'a donc aucun sommet.

Sur un dessin en perspective cavalière, la face de devant est dessinée :

Explication : C'est la première règle de la perspective cavalière : la face de devant garde exactement ses vraies dimensions, sans déformation.

Sur un dessin en perspective cavalière, les arêtes qu'on ne pourrait pas voir en réalité sont dessinées :

Explication : Les arêtes cachées (par exemple derrière le solide) sont dessinées en pointillés, pour les distinguer des arêtes visibles.

Le patron d'un solide est :

Explication : Un patron, une fois découpé puis plié, forme exactement le solide, sans trou et sans qu'aucune face ne se superpose à une autre.

On dessine 6 carrés identiques alignés en une seule rangée, comme un train de 6 wagons. Est-ce un patron valide du cube ?

Explication : En pliant 6 carrés alignés en une seule rangée, on ne peut pas reconstruire un cube fermé : certaines faces manqueraient et d'autres se chevaucheraient. Il faut toujours vérifier le pliage.

Le volume d'un solide, exprimé en cubes unités, correspond :

Explication : Le volume, exprimé en cubes unités, est le nombre de petits cubes qu'il faut pour remplir exactement le solide, sans trou ni superposition.

Dans un coffre de rangement, on empile des cubes unités : 4 cubes de long, 2 de large et 3 de haut. Combien de cubes unités contient le coffre ?

Explication : Une couche horizontale contient 4×2=84 \times 2 = 8 cubes.
Il y a 3 couches empilées.
8×3=248 \times 3 = 24 cubes unités.

Un pavé droit mesure L=5L = 5 cm, l=3l = 3 cm et h=2h = 2 cm. Quel est son volume ?

Explication : V=L×l×hV = L \times l \times h
V=5×3×2V = 5 \times 3 \times 2
5×3=155 \times 3 = 15
15×2=3015 \times 2 = 30 cm³.

Un cube a une arête de 33 cm. Quel est son volume ?

Explication : V=c3=3×3×3V = c^{3} = 3 \times 3 \times 3
3×3=93 \times 3 = 9
9×3=279 \times 3 = 27 cm³.
Attention : 99 cm³ serait l'aire d'une face, pas le volume !

Combien de cm³ y a-t-il dans 11 dm³ ?

Explication : Un cube de 1 dm de côté se découpe en 10×10×10=1 00010 \times 10 \times 10 = 1\,000 petits cubes de 1 cm de côté. Donc 11 dm³ =1 000= 1\,000 cm³.

Un bidon d'eau, à Bamako, a un volume de 55 dm³. Sachant que 11 dm³ =1= 1 L, quelle est sa capacité ?

Explication : Comme 11 dm³ =1= 1 L, un volume de 55 dm³ correspond directement à une capacité de 55 L.
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