Triangles : constructions et droites remarquables

Construire un triangle, utiliser l'inégalité triangulaire et la somme des angles.

Mathématiques 5ème Chapitre 10 / 13 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Décider si un triangle est constructible
Calculer un angle manquant
Tracer les droites remarquables d'un triangle

Depuis la sixième, tu traces des triangles avec ta règle, ton compas et ton rapporteur, un peu au hasard. Ce chapitre change tout : tu vas apprendre à savoir à l'avance si un triangle peut exister, à retrouver un angle sans le mesurer, et à construire n'importe quel triangle à partir de seulement trois informations. Tu vas aussi découvrir que chaque triangle cache quatre familles de droites très particulières, qui se croisent toujours en un point unique : c'est presque magique, et pourtant totalement logique.

Ce chapitre prolonge directement ton travail sur les angles et le parallélisme. Il te servira toute ta scolarité : en géométrie, bien sûr, mais aussi en physique (triangulation, optique), et dans la vie de tous les jours — un architecte, un géomètre ou un charpentier utilisent chaque semaine les droites remarquables du triangle.

1Inégalité triangulaire

Prends trois brins de spaghetti de longueurs très différentes, par exemple un très court et deux longs. Essaie d'en faire un triangle en posant les bouts les uns contre les autres : parfois ça marche, parfois le petit brin est bien trop court pour rejoindre les deux autres. Cette expérience très simple contient toute l'idée de ce paragraphe.

Définition

Un triangle $ABC$ est une figure formée par trois points $A$ , $B$ , $C$ non alignés, reliés deux à deux par trois segments : $[AB]$ , $[BC]$ et $[AC]$ , appelés les côtés du triangle.

Propriété — inégalité triangulaire

Dans un triangle $ABC$ , chaque côté est toujours plus court que la somme des deux autres :

$AB < AC + CB \qquad AC < AB + BC \qquad BC < BA + AC$

Si l'une de ces trois conditions n'est pas vérifiée, alors les trois points ne peuvent pas former un vrai triangle : le triangle n'est pas constructible.

L'idée est très concrète : le chemin direct entre deux points (un côté) est toujours plus court que le chemin qui passe par un détour (les deux autres côtés). C'est le principe du « plus court chemin », celui que suit une fourmi pressée — ou ton GPS.

Méthode — décider si un triangle est constructible

On classe les trois longueurs et on ne compare que la plus grande à la somme des deux autres : c'est la seule comparaison qui peut poser problème.

si la plus grande longueur est strictement plus petite que la somme des deux autres : le triangle existe ;
si elle est égale à la somme des deux autres : les trois points sont alignés, ce n'est pas un triangle ;
si elle est plus grande : le triangle n'existe pas.

Exemple 1 — un triangle possible

Peut-on construire un triangle de côtés $5\ \text{cm}$ , $6\ \text{cm}$ et $8\ \text{cm}$ ?

la plus grande longueur est $8\ \text{cm}$
$5 + 6 = 11$ somme des deux autres côtés
$8 < 11$
$\Rightarrow$ le triangle existe

Exemple 2 — un triangle impossible

Peut-on construire un triangle de côtés $3\ \text{cm}$ , $4\ \text{cm}$ et $9\ \text{cm}$ ?

la plus grande longueur est $9\ \text{cm}$
$3 + 4 = 7$
$9 > 7$
$\Rightarrow$ le triangle n'existe pas

Avec un compas : en piquant en un point et en traçant un arc de rayon $3\ \text{cm}$ , puis en piquant à $9\ \text{cm}$ de là et en traçant un arc de rayon $4\ \text{cm}$ , les deux arcs ne se croisent jamais. Il manque $9 - 3 - 4 = 2\ \text{cm}$ pour que les arcs se touchent.

Figure 1 — Pour qu'un triangle existe, les deux arcs de compas tracés à partir des extrémités du côté connu doivent se croiser. C'est le cas seulement si le plus grand côté est plus court que la somme des deux autres.

Attention

L'inégalité doit être stricte. Si la plus grande longueur est exactement égale à la somme des deux autres (par exemple $3\ \text{cm}$ , $4\ \text{cm}$ , $7\ \text{cm}$ ), les trois points sont alignés : la figure est un segment écrasé, pas un triangle.

Math & Co — Le plus court chemin

Cette propriété apparaît déjà dans les Éléments d'Euclide, vers $-300$ , au Livre I, proposition $20$ . Les Grecs la voyaient comme une évidence géométrique : la ligne droite est le plus court chemin entre deux points. Aujourd'hui, cette même idée porte un nom savant, « l'inégalité triangulaire », et elle est utilisée partout en mathématiques modernes — jusque dans les algorithmes qui calculent le trajet le plus rapide sur ton téléphone !

2Somme des angles d'un triangle

Découpe un triangle en papier, puis déchire ses trois coins et pose-les côte à côte, pointes vers le même endroit. Tu observeras à chaque fois la même chose : les trois angles, mis bout à bout, forment une ligne bien droite. Ce n'est pas un hasard : c'est un théorème.

Théorème

Dans tout triangle $ABC$ , la somme des mesures des trois angles est égale à $180^{\circ}$ :

$\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{BCA} = 180^{\circ}$

Démonstration — par les angles alternes-internes

On trace la droite $(d)$ qui passe par $C$ et qui est parallèle à $(AB)$ .

La droite $(AC)$ coupe deux parallèles, $(AB)$ et $(d)$ : l'angle en $A$ et l'angle « jumeau » en $C$ , du côté de $A$ , sont alternes-internes, donc égaux.
De même, la droite $(BC)$ coupe $(AB)$ et $(d)$ : l'angle en $B$ et l'angle « jumeau » en $C$ , du côté de $B$ , sont alternes-internes, donc égaux.

Or, en $C$ , ces deux angles « jumeaux » et l'angle $\widehat{BCA}$ sont côte à côte sur la droite $(d)$ : ensemble, ils forment un angle plat, donc leur somme vaut $180^{\circ}$ . Comme chaque angle jumeau est égal à un angle du triangle, la somme des trois angles du triangle vaut aussi $180^{\circ}$ .

Figure 2 — La parallèle à

(AB)

tracée par

C

fait apparaître, de part et d'autre de

\widehat{BCA}

, deux angles alternes-internes égaux à

\alpha

et à

\beta

. Les trois angles, mis bout à bout sur

(d)

, forment un angle plat.

Exemple 1 — calculer un angle manquant

Dans un triangle $RST$ , on connaît $\widehat{R} = 52^{\circ}$ et $\widehat{S} = 71^{\circ}$ . Calcule $\widehat{T}$ .

$\widehat{R} + \widehat{S} + \widehat{T} = 180^{\circ}$ somme des angles d'un triangle
$\Rightarrow$ $\widehat{T} = 180^{\circ} - \widehat{R} - \widehat{S}$
$=$ $180^{\circ} - 52^{\circ} - 71^{\circ}$
$=$ $57^{\circ}$

Exemple 2 — un triangle isocèle

Un triangle $MNP$ est isocèle en $M$ , et $\widehat{M} = 40^{\circ}$ . Comme il est isocèle en $M$ , les angles à la base, $\widehat{N}$ et $\widehat{P}$ , sont égaux. Calcule $\widehat{N}$ .

$\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180^{\circ}$
$\widehat{N} = \widehat{P}$ triangle isocèle en $M$
$\Rightarrow$ $40^{\circ} + 2\widehat{N} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow$ $2\widehat{N} = 140^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\widehat{N} = 70^{\circ}$

Attention

Ne confonds pas : un triangle possède toujours trois angles dont la somme fait $180^{\circ}$ , mais rien n'oblige un de ces angles à valoir $60^{\circ}$ ou $90^{\circ}$ ! Cela n'arrive que dans des triangles particuliers (équilatéral, rectangle), voir la section suivante.

Math & Co — Le triangle des montagnes de Gauss

Vers $1820$ , le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss dirige un immense chantier de triangulation du royaume de Hanovre. Il mesure avec des instruments très précis les trois angles d'un triangle gigantesque formé par les sommets de trois montagnes (le Brocken, l'Inselsberg et le Hohenhagen), distantes de plus de $80$ km les unes des autres. But secret : vérifier si, à cette échelle, la somme des angles restait bien $180^{\circ}$ — la question de la courbure de l'espace commençait tout juste à agiter les mathématiciens ! À la précision de ses instruments près, Gauss retrouva bien $180^{\circ}$ .

3Cas des triangles particuliers

Un triangle est entièrement déterminé par très peu d'informations : trois longueurs, ou deux longueurs et un angle, ou une longueur et deux angles suffisent toujours à le construire sans ambiguïté (à condition, bien sûr, que l'inégalité triangulaire soit respectée). Avant de construire, il faut aussi savoir reconnaître les familles de triangles qui reviennent sans cesse en géométrie.

3.1 Les familles de triangles

Définition

Un triangle quelconque n'a aucune égalité particulière entre ses côtés ou ses angles.
Un triangle isocèle a (au moins) deux côtés de même longueur ; les deux angles à la base (opposés à ces côtés) sont alors égaux.
Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur ; ses trois angles valent alors chacun $60^{\circ}$ .
Un triangle rectangle a un angle droit ( $90^{\circ}$ ) ; les deux autres angles sont alors complémentaires, c'est-à-dire que leur somme vaut $90^{\circ}$ .

Exemple — reconnaître un triangle

Un triangle $DEF$ a pour angles $\widehat{D}=90^{\circ}$ , $\widehat{E}=35^{\circ}$ , $\widehat{F}=55^{\circ}$ . Comme $\widehat{D}=90^{\circ}$ , le triangle est rectangle en $D$ . On vérifie : $35^{\circ}+55^{\circ}=90^{\circ}$ , les deux autres angles sont bien complémentaires.

3.2 Construire un triangle connaissant ses trois côtés

Méthode — construction au compas (3 côtés)

Pour construire $ABC$ connaissant $AB$ , $AC$ et $BC$ :

Trace le segment $[BC]$ à la règle, à la bonne longueur.
Pique le compas en $B$ , ouvre-le à l'écartement $AB$ , trace un arc de cercle.
Pique le compas en $C$ , ouvre-le à l'écartement $AC$ , trace un second arc.
Le point $A$ est l'un des deux points d'intersection des deux arcs. Relie $A$ à $B$ et à $C$ .

Figure 3 — Les trois étapes de la construction d'un triangle connaissant ses trois côtés : le troisième sommet est à l'intersection des deux arcs de compas.

Exemple — programme de construction

Construis $RST$ tel que $RS = 7\ \text{cm}$ , $RT = 5\ \text{cm}$ , $ST = 6\ \text{cm}$ . On vérifie d'abord la constructibilité : $7 < 5+6=11$ , c'est bon. On trace $[RS]$ de $7\ \text{cm}$ , un arc de centre $R$ et de rayon $5\ \text{cm}$ , un arc de centre $S$ et de rayon $6\ \text{cm}$ ; leur intersection donne $T$ .

3.3 Construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris

Méthode — construction (2 côtés et l'angle compris)

Pour construire $ABC$ connaissant $AB$ , $AC$ et l'angle $\widehat{BAC}$ qu'ils forment :

Trace le segment $[AB]$ à la bonne longueur.
En $A$ , avec le rapporteur, trace une demi-droite qui forme l'angle $\widehat{BAC}$ donné avec $[AB]$ .
Sur cette demi-droite, reporte au compas ou à la règle la longueur $AC$ : tu obtiens $C$ .
Relie $B$ à $C$ pour fermer le triangle.

Attention

L'angle donné doit impérativement être l'angle compris entre les deux côtés connus, c'est-à-dire celui dont le sommet est le point commun aux deux longueurs. Avec un autre angle, la construction ne fonctionne pas de la même façon : le triangle obtenu n'est en général plus le même.

3.4 Construire un triangle connaissant un côté et deux angles

Méthode — construction (1 côté et 2 angles)

Pour construire $ABC$ connaissant $AB$ , $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ :

Trace le segment $[AB]$ à la bonne longueur.
En $A$ , trace au rapporteur la demi-droite formant l'angle $\widehat{A}$ avec $[AB]$ .
En $B$ , trace au rapporteur la demi-droite formant l'angle $\widehat{B}$ avec $[BA]$ , du même côté que la précédente.
Le point $C$ est le point où les deux demi-droites se coupent.

Remarque : connaissant $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ , on peut aussi calculer $\widehat{C} = 180^{\circ} - \widehat{A} - \widehat{B}$ avant de tracer, pour vérifier la figure a posteriori.

Exemple — construire par un côté et deux angles

Construis $GHI$ tel que $GH = 6\ \text{cm}$ , $\widehat{G}=50^{\circ}$ , $\widehat{H}=60^{\circ}$ . On en déduit $\widehat{I} = 180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$ , une bonne vérification une fois $I$ placé.

4Médiatrices et cercle circonscrit

Tu as déjà rencontré la médiatrice d'un segment : la droite perpendiculaire à ce segment, qui passe par son milieu. Ce paragraphe révèle une propriété étonnante : dans n'importe quel triangle, les trois médiatrices se rencontrent toujours en un seul et même point.

4.1 Rappel : la médiatrice d'un segment

Définition

La médiatrice d'un segment $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ qui passe par son milieu.

Propriété caractéristique

Un point $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si il est équidistant de $A$ et de $B$ :

$M \in \text{médiatrice de } [AB] \iff MA = MB$

4.2 Le point de concours et le cercle circonscrit

Théorème

Les trois médiatrices d'un triangle $ABC$ sont concourantes (elles se coupent en un seul point), en un point $O$ appelé centre du cercle circonscrit au triangle. Ce cercle, de centre $O$ et de rayon $OA = OB = OC$ , passe par les trois sommets du triangle.

Démonstration

Soit $O$ le point d'intersection de la médiatrice de $[AB]$ et de la médiatrice de $[BC]$ .

$O$ est sur la médiatrice de $[AB]$ , donc $OA = OB$ .
$O$ est sur la médiatrice de $[BC]$ , donc $OB = OC$ .

On en déduit $OA = OB = OC$ . En particulier $OA = OC$ , donc $O$ est équidistant de $A$ et $C$ : $O$ appartient donc aussi à la médiatrice de $[AC]$ . Les trois médiatrices passent bien par le même point $O$ , et comme $OA=OB=OC$ , le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ passe par les trois sommets. C.Q.F.D.

Figure 4 — Les trois médiatrices (en pointillés) se coupent exactement au centre

O

du cercle qui passe par les trois sommets

A

B

C

: le cercle circonscrit.

Exemple 1 — construire le cercle circonscrit

Pour tracer le cercle circonscrit à un triangle $ABC$ : on construit les médiatrices de deux côtés seulement (par exemple $[AB]$ et $[BC]$ ), leur intersection donne $O$ directement — inutile de tracer la troisième, le théorème garantit qu'elle passe aussi par $O$ . On pose ensuite la pointe du compas en $O$ , on l'ouvre jusqu'à $A$ , et on trace le cercle : il passera automatiquement par $B$ et par $C$ .

Propriété — cas du triangle rectangle

Si un triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, et le rayon vaut la moitié de l'hypoténuse.

Exemple 2 — rayon d'un triangle rectangle

Un triangle $NPQ$ est rectangle en $N$ , avec $PQ = 15\ \text{cm}$ (l'hypoténuse). Le centre du cercle circonscrit est le milieu de $[PQ]$ , et :

$R = \dfrac{PQ}{2}$
$=$ $\dfrac{15}{2}$
$=$ $7{,}5\ \text{cm}$

Attention

Le point $O$ n'est pas toujours à l'intérieur du triangle ! Si le triangle est obtusangle (un angle plus grand que $90^{\circ}$ ), le point $O$ se trouve à l'extérieur. La construction reste exactement la même : on trace les médiatrices, on les prolonge si besoin jusqu'à ce qu'elles se coupent.

Math & Co — Trianguler un pays entier

Au XVIIIe siècle, la famille Cassini entreprend la première carte précise et complète du royaume de France. Leur méthode : recouvrir le pays d'un immense réseau de triangles reliant des clochers et des collines visibles de loin, mesurer très précisément leurs angles, puis retrouver toutes les distances par le calcul. Cette technique, la triangulation, repose exactement sur les propriétés que tu étudies ici. Elle est restée la méthode de référence en cartographie jusqu'à l'arrivée du GPS, à la fin du XXe siècle.

5Hauteurs, médianes, bissectrices

Après les médiatrices, voici trois autres familles de droites remarquables. Chacune se définit très simplement à partir d'un sommet du triangle, et chacune des trois familles a, elle aussi, la bonne idée de se couper en un seul point !

5.1 Les hauteurs

Définition

La hauteur issue d'un sommet d'un triangle est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Théorème

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours s'appelle l'orthocentre du triangle.

Figure 5 — Les trois hauteurs (en tirets orange), chacune perpendiculaire au côté opposé à son sommet, se coupent en un point unique

H

, l'orthocentre.

Exemple

Pour construire la hauteur issue de $A$ dans un triangle $ABC$ : on pose l'équerre de façon qu'un de ses côtés glisse le long de $(BC)$ , on fait coïncider l'autre côté avec $A$ , et on trace. Si $(BC)$ est déjà horizontale, cette hauteur est simplement la droite verticale passant par $A$ .

Attention

Dans un triangle obtusangle, le pied d'une hauteur peut tomber en dehors du segment opposé : il faut alors prolonger ce côté avec une droite en pointillés pour pouvoir y tracer le pied de la hauteur.

5.2 Les médianes

Définition

La médiane issue d'un sommet d'un triangle est la droite qui joint ce sommet au milieu du côté opposé.

Théorème

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point $G$ , le centre de gravité. Ce point partage chaque médiane de sorte que la distance du sommet à $G$ vaut le double de la distance de $G$ au milieu du côté opposé :

$AG = \dfrac{2}{3}AI \qquad \text{et} \qquad GI = \dfrac{1}{3}AI \qquad (I \text{ milieu de } [BC])$

Figure 6 — Les trois médianes (une par sommet, vers le milieu du côté opposé) se coupent au centre de gravité

G

, qui partage chacune d'elles dans le rapport

2

pour

1

Exemple — utiliser le rapport

2:1

Dans un triangle $ABC$ , la médiane $[AI]$ ( $I$ milieu de $[BC]$ ) mesure $9\ \text{cm}$ , et $G$ est le centre de gravité. Calcule $AG$ et $GI$ .

$AG = \dfrac{2}{3} \times AI$
$=$ $\dfrac{2}{3} \times 9$
$=$ $6\ \text{cm}$
$GI = AI - AG$
$=$ $9 - 6$
$=$ $3\ \text{cm}$

5.3 Les bissectrices

Définition

La bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Dans un triangle, la bissectrice issue d'un sommet partage l'angle de ce sommet en deux angles égaux.

Théorème

Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point $I$ , le centre du cercle inscrit. Ce point est équidistant des trois côtés du triangle (et non des sommets) : le cercle de centre $I$ , tangent aux trois côtés, est le plus grand cercle que l'on puisse inscrire dans le triangle.

Figure 7 — Les trois bissectrices (en tirets orange) se coupent au centre

I

du cercle inscrit, le plus grand cercle contenu dans le triangle.

Exemple

Pour construire la bissectrice d'un angle $\widehat{BAC}$ au compas : on pique en $A$ , on trace un arc qui coupe $[AB)$ en $P$ et $[AC)$ en $Q$ ; puis, sans changer l'écartement, on pique en $P$ puis en $Q$ pour tracer deux arcs qui se coupent en un point $R$ ; la demi-droite $[AR)$ est la bissectrice cherchée.

5.4 Cas du triangle isocèle : des droites confondues

Propriété

Dans un triangle isocèle, issues du sommet principal (celui entre les deux côtés égaux), la médiane, la hauteur, la médiatrice du côté opposé et la bissectrice de l'angle au sommet sont une seule et même droite. C'est même là un excellent moyen de reconnaître un triangle isocèle sur une figure.

Cela vient de la symétrie du triangle isocèle : la droite qui partage l'angle au sommet en deux parties égales partage aussi, par symétrie, le côté opposé en son milieu et lui est perpendiculaire — elle cumule donc à elle seule les quatre rôles.

Fiche mémo

Inégalité triangulaire : le plus grand côté doit être strictement plus petit que la somme des deux autres, sinon pas de triangle.
Somme des angles : $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ dans tout triangle.
Isocèle : 2 côtés égaux, 2 angles à la base égaux. Équilatéral : 3 côtés égaux, 3 angles de $60^{\circ}$ . Rectangle : un angle de $90^{\circ}$ , les 2 autres complémentaires.
Construire un triangle : 3 côtés (compas) ; 2 côtés et l'angle compris (rapporteur) ; 1 côté et 2 angles (rapporteur).
Médiatrice de $[AB]$ : perpendiculaire à $[AB]$ en son milieu ; $M$ dessus $\iff MA=MB$ .
Les 3 médiatrices se coupent en $O$ , centre du cercle circonscrit ( $OA=OB=OC=R$ ). Triangle rectangle : $O$ = milieu de l'hypoténuse, $R = \dfrac{\text{hypoténuse}}{2}$ .
Hauteur : droite passant par un sommet, perpendiculaire au côté opposé. Les 3 hauteurs se coupent à l'orthocentre.
Médiane : droite d'un sommet vers le milieu du côté opposé. Les 3 médianes se coupent au centre de gravité $G$ : $AG = \dfrac{2}{3}AI$ .
Bissectrice : droite qui partage un angle en deux angles égaux. Les 3 bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit $I$ , équidistant des 3 côtés.
Dans un triangle isocèle, au sommet principal : médiane, hauteur, médiatrice et bissectrice sont confondues.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Pour chaque triplet de longueurs, dis si un triangle est constructible : a. $4\ \text{cm}$ , $5\ \text{cm}$ , $8\ \text{cm}$ ; b. $3\ \text{cm}$ , $3\ \text{cm}$ , $7\ \text{cm}$ ; c. $6\ \text{cm}$ , $6\ \text{cm}$ , $6\ \text{cm}$ .

Voir le corrigé détaillé

a. Plus grand côté : $8$ . Or $4+5=9$ et $8<9$ : le triangle existe.

b. Plus grand côté : $7$ . Or $3+3=6$ et $7>6$ : le triangle n'existe pas.

c. Plus grand côté : $6$ . Or $6+6=12$ et $6<12$ : le triangle existe (c'est un triangle équilatéral).

Dans un triangle $ABC$ , $\widehat{A}=72^{\circ}$ et $\widehat{B}=45^{\circ}$ . Calcule $\widehat{C}$ .

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$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\widehat{C}=180^{\circ}-72^{\circ}-45^{\circ}$
$=$ $63^{\circ}$

Donne la nature précise de chaque triangle : a. ses trois angles mesurent $60^{\circ}$ ; b. ses angles mesurent $90^{\circ}$ , $45^{\circ}$ , $45^{\circ}$ ; c. ses angles mesurent $50^{\circ}$ , $50^{\circ}$ , $80^{\circ}$ .

Voir le corrigé détaillé

a. Trois angles égaux à $60^{\circ}$ : triangle équilatéral.

b. Un angle de $90^{\circ}$ et deux angles égaux : triangle rectangle et isocèle.

c. Deux angles égaux ( $50^{\circ}$ ) : triangle isocèle.

Un triangle $RST$ est isocèle en $R$ , avec $\widehat{R}=36^{\circ}$ . Calcule les deux autres angles.

Voir le corrigé détaillé

$\widehat{S}=\widehat{T}$ isocèle en $R$ , angles à la base égaux
$36^{\circ}+2\widehat{S}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ $2\widehat{S}=144^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\widehat{S}=\widehat{T}=72^{\circ}$

Associe chaque description à la droite remarquable qu'elle définit : a. passe par un sommet et le milieu du côté opposé ; b. perpendiculaire à un côté, en son milieu ; c. partage un angle du triangle en deux angles égaux ; d. passe par un sommet, perpendiculairement au côté opposé.

Voir le corrigé détaillé

a. médiane. b. médiatrice. c. bissectrice. d. hauteur.

Niveau 2 — Approfondissement

Un triangle a pour côtés $5\ \text{cm}$ , $8\ \text{cm}$ et $x$ cm. Entre quelles valeurs $x$ doit-il être compris pour que ce triangle existe ?

Voir le corrigé détaillé

Le côté $x$ doit être plus petit que la somme des deux autres, et les deux autres côtés réunis doivent aussi dépasser $x$ — cela revient à encadrer $x$ entre la différence et la somme de $5$ et $8$ .

$x < 5+8$ $x$ plus petit que la somme des deux autres côtés
$\Rightarrow$ $x<13$
$8 < 5+x$ $8$ doit rester plus petit que la somme des deux autres
$\Rightarrow$ $x>3$

Donc $x$ doit vérifier $3\ \text{cm} < x < 13\ \text{cm}$ .

Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$ . L'angle extérieur en $B$ (qui prolonge $[AB]$ au-delà de $B$ ) mesure $130^{\circ}$ . Calcule les trois angles du triangle.

Voir le corrigé détaillé

$\widehat{ABC}+130^{\circ}=180^{\circ}$ angles supplémentaires, sur une droite
$\Rightarrow$ $\widehat{ABC}=50^{\circ}$
$\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=50^{\circ}$ isocèle en $A$ , angles à la base égaux
$\widehat{BAC}=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}$
$=$ $80^{\circ}$

Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=6\ \text{cm}$ , $AC=8\ \text{cm}$ et $BC=10\ \text{cm}$ . Sans le mesurer, donne le rayon de son cercle circonscrit et la position exacte de son centre.

Voir le corrigé détaillé

Le triangle est rectangle en $A$ : d'après la propriété du triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse $[BC]$ , et le rayon vaut la moitié de $BC$ .

$R=\dfrac{BC}{2}$
$=$ $\dfrac{10}{2}$
$=$ $5\ \text{cm}$

Figure 8 — Dans un triangle rectangle en

A

, le centre du cercle circonscrit est toujours le milieu de l'hypoténuse

[BC]

, et

R = \dfrac{BC}{2}

Dans un triangle $DEF$ , la médiane $[DK]$ mesure $15\ \text{cm}$ et la médiane $[EL]$ mesure $12\ \text{cm}$ ( $G$ est le centre de gravité). Calcule $DG$ , $GK$ , $EG$ et $GL$ .

Voir le corrigé détaillé

$DG=\dfrac{2}{3}\times DK=\dfrac{2}{3}\times 15$
$=$ $10\ \text{cm}$
$GK=DK-DG=15-10$
$=$ $5\ \text{cm}$
$EG=\dfrac{2}{3}\times EL=\dfrac{2}{3}\times 12$
$=$ $8\ \text{cm}$
$GL=EL-EG=12-8$
$=$ $4\ \text{cm}$

On construit un triangle $ABC$ tel que $AB=AC=5\ \text{cm}$ et $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ . Sans mesurer, donne la nature exacte de ce triangle et la valeur de ses deux autres angles.

Voir le corrigé détaillé

Comme $AB=AC$ , le triangle est isocèle en $A$ : les angles à la base, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ , sont égaux.

$\widehat{B}=\widehat{C}$
$60^{\circ}+2\widehat{B}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$

Les trois angles valent $60^{\circ}$ : le triangle est en réalité équilatéral !

Niveau 3 — Défi

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ tel que l'angle au sommet $\widehat{A}$ mesure la moitié de chacun des angles à la base.

Exprime $\widehat{B}$ en fonction de $\widehat{A}$ .
Calcule les trois angles du triangle.

Voir le corrigé détaillé

1. $\widehat{A}$ vaut la moitié de $\widehat{B}$ , donc $\widehat{B} = 2\widehat{A}$ . Comme le triangle est isocèle en $A$ , $\widehat{C}=\widehat{B}=2\widehat{A}$ .

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$
$\widehat{A}+2\widehat{A}+2\widehat{A}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ $5\widehat{A}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\widehat{A}=36^{\circ}$
$\widehat{B}=\widehat{C}=2\times 36^{\circ}$
$=$ $72^{\circ}$

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ ( $AB=AC$ ). Soit $I$ le milieu de $[BC]$ . Démontre que la droite $(AI)$ est perpendiculaire à $(BC)$ , c'est-à-dire que $(AI)$ est aussi la hauteur issue de $A$ .

Voir le corrigé détaillé

On compare les triangles $ABI$ et $ACI$ :

$AB=AC$ (triangle isocèle en $A$ ) ;
$BI=IC$ ( $I$ est le milieu de $[BC]$ ) ;
$AI=AI$ (côté commun).

Les triangles $ABI$ et $ACI$ ont leurs trois côtés respectivement égaux : ils sont superposables. Leurs angles correspondants sont donc égaux, en particulier :

$\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$
$\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^{\circ}$ angles supplémentaires, $B$ , $I$ , $C$ alignés
$\Rightarrow$ $2\widehat{AIB}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\widehat{AIB}=90^{\circ}$

La droite $(AI)$ forme donc un angle droit avec $(BC)$ : c'est bien la hauteur issue de $A$ (et c'est aussi la médiane, la médiatrice de $[BC]$ et la bissectrice de $\widehat{A}$ ).

Un triangle $ABC$ vérifie $AB=7\ \text{cm}$ et $AC=9\ \text{cm}$ .

Détermine l'ensemble des valeurs possibles pour $BC$ .
Le professeur choisit $BC$ de façon que le triangle soit isocèle. Donne la ou les valeurs possibles de $BC$ , et précise à chaque fois en quel sommet le triangle est isocèle.

Voir le corrigé détaillé

$BC < AB+AC=7+9$
$\Rightarrow$ $BC<16$
$AC < AB+BC$ le plus grand des deux côtés fixes doit rester inférieur à la somme
$\Rightarrow$ $9<7+BC$
$\Rightarrow$ $BC>2$

Donc $2\ \text{cm} < BC < 16\ \text{cm}$ .

2. Comme $AB=7$ et $AC=9$ sont fixés et différents, le triangle ne peut pas être isocèle en $A$ . Il reste deux possibilités :

$BC=AB=7\ \text{cm}$ (compatible avec l'encadrement) : les côtés égaux sont $[BA]$ et $[BC]$ , le triangle est isocèle en $B$ ;
$BC=AC=9\ \text{cm}$ (compatible aussi) : les côtés égaux sont $[CA]$ et $[CB]$ , le triangle est isocèle en $C$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le terrain de M. Coulibaly (Bamako). M. Coulibaly possède, près de Bamako, un terrain triangulaire dont les côtés mesurent $38\ \text{m}$ , $45\ \text{m}$ et $90\ \text{m}$ , d'après un premier relevé.

Ce terrain peut-il réellement exister ? Justifie.
Le géomètre reprend les mesures : les deux premiers côtés ( $38\ \text{m}$ et $45\ \text{m}$ ) sont exacts, mais pas le troisième. Entre quelles valeurs entières (en mètres) ce troisième côté doit-il être compris ?
Le géomètre mesure finalement ce troisième côté à $60\ \text{m}$ . Calcule le périmètre du terrain, puis le coût de la clôture, à $2\,800$ F CFA le mètre.

Voir le corrigé détaillé

1. Le plus grand côté est $90\ \text{m}$ , et $38+45=83\ \text{m}$ . Comme $90>83$ , ce triangle n'existe pas : il y a une erreur de mesure.

$x<38+45$
$\Rightarrow$ $x<83$
$45<38+x$
$\Rightarrow$ $x>7$

Donc $7<x<83$ : en valeurs entières, $x$ va de $8\ \text{m}$ à $82\ \text{m}$ .

3. Avec $60\ \text{m}$ (bien compris entre $8$ et $82$ ) :

$P=38+45+60$
$=$ $143\ \text{m}$
$\text{coût}=143\times 2\,800$
$=$ $400\,400$ F CFA

La clôture coûtera $400\,400$ F CFA.

Le toit de Douala. À Douala, un charpentier construit un toit dont la section forme un triangle isocèle : les deux pans (rampants) ont la même longueur, et l'angle au faîtage mesure $100^{\circ}$ .

Calcule l'angle que fait chaque pan avec le mur horizontal.
Le charpentier doit fixer l'arbalétrier central (la poutre qui descend du faîtage). Sur quelle droite remarquable du triangle doit-il la placer ? Pourquoi cette poutre joue-t-elle à la fois le rôle de médiane, de hauteur et de bissectrice ?

Voir le corrigé détaillé

$2\times \widehat{\text{base}}=180^{\circ}-100^{\circ}$
$\Rightarrow$ $2\times \widehat{\text{base}}=80^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\widehat{\text{base}}=40^{\circ}$

Chaque pan fait un angle de $40^{\circ}$ avec le mur horizontal.

2. Il doit la placer sur l'axe de symétrie du triangle isocèle, c'est-à-dire la droite issue du sommet (le faîtage) vers le milieu de la base. D'après la propriété du triangle isocèle (section 5.4), cette droite unique joue en même temps les quatre rôles : elle va du sommet au milieu du côté opposé (médiane), elle est perpendiculaire à ce côté (hauteur), et elle partage l'angle au faîtage en deux angles égaux de $50^{\circ}$ (bissectrice). C'est justement pour cela qu'un charpentier peut placer une seule poutre verticale : elle assure à la fois le soutien vertical et l'équilibre symétrique du toit.

L'antenne-relais près de Ndjamena. Un opérateur téléphonique veut installer une antenne à égale distance de trois villages, Alpha, Beta et Gamma, placés comme sur le quadrillage ci-dessous ( $1$ carreau $=10$ km).

Quelle construction géométrique permet de trouver l'endroit exact où installer l'antenne ?
D'après la construction, estime en kilomètres la distance entre l'antenne et chacun des villages.
Le câble électrique coûte $850\,000$ F CFA le kilomètre. Il faut relier l'antenne aux trois villages. Estime le coût total, au million de F CFA près.

Voir le corrigé détaillé

1. Le point cherché doit être équidistant des trois villages : c'est donc le point de concours des médiatrices des trois côtés du triangle Alpha-Beta-Gamma, c'est-à-dire le centre du cercle circonscrit.

Figure 9 — Le point de concours des médiatrices du triangle formé par les trois villages est équidistant des trois : c'est le meilleur emplacement pour l'antenne.

2. D'après la construction (lecture sur le quadrillage), l'antenne se trouve à environ $31{,}6$ km de chacun des trois villages.

$\text{longueur totale de câble} \approx 3 \times 31{,}6$
$\approx$ $94{,}8$ km
$\text{coût} \approx 94{,}8 \times 850\,000$
$\approx$ $80\,580\,000$ F CFA

Soit environ $81$ millions de F CFA de câble électrique.

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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L'inégalité triangulaire dit que, dans un triangle $ABC$ , chaque côté est :

toujours plus long que la somme des deux autres toujours plus court que la somme des deux autres toujours égal à la somme des deux autres toujours plus court que chacun des deux autres

Explication : Dans tout triangle, chaque côté est strictement plus court que la somme des deux autres côtés : c'est l'inégalité triangulaire.

Peut-on construire un triangle de côtés $4$ cm, $5$ cm et $8$ cm ?

non, car

4+5=9<8

non, car aucun côté ne dépasse

8

cm oui, car

4+5=9>8

on ne peut pas savoir sans le dessiner

Explication : Le plus grand côté est

8

4+5=9

8<9

, donc le triangle existe.

Peut-on construire un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $9$ cm ?

oui, sans problème oui, mais seulement s'il est rectangle non, car

3+4>9

non, car

3+4=7<9

Explication : Le plus grand côté est

9

3+4=7

9>7

, donc le triangle n'existe pas.

Si le plus grand côté d'un triplet de longueurs est exactement égal à la somme des deux autres, alors :

les trois points sont alignés, ce n'est pas un triangle c'est un triangle équilatéral c'est un triangle rectangle c'est toujours un triangle valide

Explication : L'inégalité doit être stricte. En cas d'égalité, les trois points sont alignés : ce n'est pas un vrai triangle.

Dans tout triangle $ABC$ , la somme des trois angles vaut :

90°

270°

180°

360°

Explication : Dans tout triangle,

\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°

: c'est un théorème fondamental.

Dans un triangle $RST$ , $\widehat{R}=52°$ et $\widehat{S}=71°$ . Combien vaut $\widehat{T}$ ?

67°

57°

123°

180°

Explication :

\widehat{T} = 180° - 52° - 71°

= 57°

Un triangle $MNP$ est isocèle en $M$ , avec $\widehat{M}=40°$ . Que vaut l'angle à la base $\widehat{N}$ ?

40°

140°

90°

70°

Explication : Les angles à la base sont égaux :

40° + 2\widehat{N} = 180°

2\widehat{N} = 140°

\widehat{N} = 70°

Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à :

90°

45°

60°

30°

Explication : Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles égaux ; comme leur somme fait

180°

, chacun vaut

180° \div 3 = 60°

Pour construire un triangle $ABC$ connaissant ses trois côtés, on utilise en priorité :

le rapporteur le compas, en traçant deux arcs qui se coupent l'équerre uniquement seulement la règle

Explication : On trace un côté, puis deux arcs de compas centrés sur ses extrémités, avec pour rayons les deux autres longueurs : leur intersection donne le troisième sommet.

Pour construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle qu'ils forment, cet angle doit être :

n'importe lequel des trois angles du triangle toujours un angle droit l'angle opposé au plus grand côté l'angle compris entre les deux côtés connus

Explication : L'angle donné doit être celui dont le sommet est le point commun aux deux longueurs connues, sinon la construction ne donne pas le bon triangle.

La médiatrice d'un segment $[AB]$ est :

la droite qui passe par

A

B

la droite parallèle à

[AB]

passant par son milieu la droite perpendiculaire à

[AB]

passant par son milieu le segment

[AB]

lui-même

Explication : La médiatrice de

[AB]

est la droite perpendiculaire à

[AB]

qui passe par son milieu.

Un point $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si :

MA = MB

MA = 2 \times MB

M

est le milieu de

[AB]

MA + MB = AB

Explication : C'est la propriété caractéristique de la médiatrice : un point est sur la médiatrice de

[AB]

exactement quand il est équidistant de

A

et de

B

Le point où se coupent les trois médiatrices d'un triangle est le centre :

du cercle inscrit du cercle circonscrit de gravité de l'orthocentre

Explication : Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit, le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

Un triangle $NPQ$ est rectangle en $N$ , avec $PQ = 14$ cm (l'hypoténuse). Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?

14

28

4

7

Explication : Dans un triangle rectangle, le rayon du cercle circonscrit vaut la moitié de l'hypoténuse :

R = \dfrac{14}{2}

= 7

cm.

La hauteur issue d'un sommet d'un triangle est la droite qui passe par ce sommet et qui est :

parallèle au côté opposé la bissectrice de l'angle en ce sommet perpendiculaire au côté opposé dirigée vers le milieu du côté opposé

Explication : Par définition, la hauteur issue d'un sommet passe par ce sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

Le point de concours des trois hauteurs d'un triangle s'appelle :

l'orthocentre le centre de gravité le centre du cercle inscrit le centre du cercle circonscrit

Explication : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre.

Dans un triangle $ABC$ , la médiane $[AI]$ ( $I$ milieu de $[BC]$ ) mesure $12$ cm. $G$ est le centre de gravité. Que vaut $AG$ ?

4

8

6

12

Explication :

G

partage chaque médiane aux deux tiers, à partir du sommet :

AG = \dfrac{2}{3} \times AI

= \dfrac{2}{3} \times 12

= 8

cm.

Le point où se coupent les trois bissectrices d'un triangle est équidistant :

des trois sommets du sommet le plus proche seulement de deux côtés sur trois des trois côtés

Explication : Les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit, un point équidistant des trois côtés (et non des sommets).

Dans un triangle isocèle, la médiane, la hauteur, la médiatrice et la bissectrice issues du sommet principal sont :

toujours parallèles entre elles toutes différentes une seule et même droite perpendiculaires deux à deux

Explication : Grâce à la symétrie du triangle isocèle, ces quatre droites remarquables issues du sommet principal sont confondues.

Un triangle a pour côtés $6$ cm, $9$ cm et $x$ cm. Pour que ce triangle existe, $x$ doit vérifier :

3\ \text{cm} < x < 15\ \text{cm}

x < 15\ \text{cm}

seulement

x > 3\ \text{cm}

seulement

x = 15\ \text{cm}

Explication :

x

doit être plus petit que

6+9=15

, et

9

doit rester plus petit que

6+x

, soit

x>3

. Donc

3 < x < 15

(en cm).

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En bref

Classe : Classe de Cinquième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 8 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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