Angles et parallélisme

Utiliser les angles alternes-internes et correspondants pour démontrer un parallélisme.

Mathématiques 5ème Chapitre 9 / 13 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Reconnaître deux angles alternes-internes
Calculer un angle sur une figure
Démontrer que deux droites sont parallèles

Regarde autour de toi : le coin d'une table, les deux pans d'un toit, les rails d'une voie ferrée, les lignes de ton cahier… partout des angles et des droites parallèles. Depuis la Sixième, tu sais nommer un angle et le mesurer au rapporteur. Ce chapitre va plus loin : tu vas apprendre à reconnaître des angles égaux sans même sortir ton rapporteur, uniquement grâce à leur position les uns par rapport aux autres.

L'outil principal de ce chapitre, ce sont les angles alternes-internes et les angles correspondants. Ils vont te permettre de faire quelque chose de nouveau et de très puissant : démontrer que deux droites sont parallèles, à partir d'une seule mesure d'angle, sans prolonger les droites sur toute la feuille pour « vérifier à l'œil ». C'est exactement le principe qu'utilisait déjà, il y a plus de deux mille ans, un savant grec pour mesurer la taille de la Terre entière — tu découvriras son histoire dans ce chapitre.

Prends ton rapporteur, ta règle et un crayon bien taillé : ce chapitre demande de la précision, mais chaque propriété se justifie simplement, avec une figure claire à l'appui. C'est parti !

1Angles adjacents, complémentaires, supplémentaires

1.1 Mesurer un angle : rappel du rapporteur

Un angle se mesure en degrés, avec un rapporteur. On dit que sa mesure est comprise entre $0°$ (angle nul) et $180°$ (angle plat).

Méthode — lire un angle au rapporteur

On place le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l'angle, et la ligne $0°$ - $180°$ le long d'un des deux côtés. On lit alors, sur l'autre côté de l'angle, la graduation qui correspond, en partant de $0°$ du côté où est posée la règle du rapporteur.

Figure 1 — Pour lire cet angle, on part de

0°

sur le côté horizontal et on suit la graduation jusqu'au second côté : on lit

55°

Math & Co — Pourquoi 360° dans un cercle ?

Le découpage du cercle en $360$ degrés vient des astronomes babyloniens, il y a environ $4\,000$ ans, en Mésopotamie (l'actuel Irak). Ils utilisaient un système de calcul en base $60$ (encore présent aujourd'hui dans les heures et les minutes !) et avaient remarqué que le Soleil met à peu près $360$ jours pour revenir à la même position dans le ciel au cours d'une année. Le nombre $360$ a aussi l'avantage d'être divisible par énormément de nombres entiers ( $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12$ …), ce qui rend les partages d'angles très pratiques.

1.2 Angles adjacents

Définition

Deux angles sont adjacents lorsqu'ils remplissent trois conditions à la fois : ils ont le même sommet, un côté commun, et ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun (leurs intérieurs ne se chevauchent pas).

Figure 2 — Les angles

\widehat{AOB}

(bleu) et

\widehat{BOC}

(vert) ont le même sommet

O

, le côté commun

[OB)

, et sont situés de part et d'autre de

[OB)

: ils sont adjacents.

Exemple — utiliser l'adjacence

Sur la figure 2, les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ sont adjacents. On peut donc affirmer que $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC}$ : les mesures s'additionnent.

$\widehat{AOB} = 32°$ et $\widehat{BOC} = 46°$
$\Rightarrow$ $\widehat{AOC} = 32° + 46°$
$=$ $78°$

Attention

Deux angles peuvent partager un sommet et un côté sans être adjacents : si l'un est « à l'intérieur » de l'autre (leurs intérieurs se recouvrent), ils ne sont pas adjacents. Il faut toujours vérifier les trois conditions de la définition.

1.3 Angles complémentaires

Définition

Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut $90°$ .

$\widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 90°$

Exemple — trouver un complément

Quel est le complément d'un angle de $37°$ ?

complément $= 90° - 37°$
$=$ $53°$ car $37° + 53° = 90°$

1.4 Angles supplémentaires

Définition

Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut $180°$ .

$\widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 180°$

Exemple — trouver un supplément

Quel est le supplément d'un angle de $118°$ ?

supplément $= 180° - 118°$
$=$ $62°$ car $118° + 62° = 180°$

Attention

Complémentaires (somme $= 90°$ ) et supplémentaires (somme $= 180°$ ) ne veulent pas dire adjacents ! Ce sont uniquement des conditions sur la somme des mesures — les deux angles peuvent être placés n'importe où sur la feuille, adjacents ou non.

2Angles opposés par le sommet

2.1 Définition

Définition

Deux droites sécantes forment quatre angles autour de leur point d'intersection. Deux de ces angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont les demi-droites opposées aux côtés de l'autre — autrement dit, ils sont face à face, sans côté commun.

Figure 3 — Les droites

(d)

(d')

se coupent en

O

. L'angle du haut et l'angle du bas (bleus,

70°

chacun) sont opposés par le sommet, tout comme l'angle de droite et l'angle de gauche (verts,

110°

chacun).

2.2 Propriété et démonstration

Propriété

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Démonstration

Sur la figure 3, notons $\widehat{1}$ l'angle du haut, $\widehat{2}$ l'angle de droite, $\widehat{3}$ l'angle du bas et $\widehat{4}$ l'angle de gauche. $\widehat{1}$ et $\widehat{2}$ sont adjacents et forment ensemble l'angle plat porté par $(d')$ : ils sont donc supplémentaires. De même, $\widehat{2}$ et $\widehat{3}$ sont adjacents et supplémentaires (angle plat porté par $(d)$ ).

$\widehat{1} + \widehat{2} = 180°$
$\widehat{2} + \widehat{3} = 180°$
$\Rightarrow$ $\widehat{1} + \widehat{2} = \widehat{2} + \widehat{3}$ les deux sommes valent $180°$
$\Rightarrow$ $\widehat{1} = \widehat{3}$ on retire $\widehat{2}$ de chaque côté

Le même raisonnement, appliqué à $\widehat{2}$ et $\widehat{4}$ , donne $\widehat{2} = \widehat{4}$ . C.Q.F.D.

Exemple — calculer les quatre angles

Deux droites sécantes forment un angle de $63°$ . Calcule les trois autres angles.

angle opposé par le sommet $= 63°$ propriété des angles opposés par le sommet
angle adjacent $= 180° - 63°$
$=$ $117°$ angles supplémentaires
le quatrième angle, opposé par le sommet au précédent, mesure aussi $117°$

Les quatre angles mesurent donc $63°$ , $117°$ , $63°$ et $117°$ , dans cet ordre autour du point.

3Angles alternes-internes et correspondants

3.1 Deux droites coupées par une sécante

Quand une troisième droite, appelée sécante, coupe deux autres droites $(d)$ et $(d')$ , elle crée huit angles : quatre autour de chaque point d'intersection. Ces huit angles portent des noms précis selon leur position, que les deux droites $(d)$ et $(d')$ soient parallèles ou non.

Figure 4 — La sécante

(\Delta)

coupe

(d)

A

(angles

1

4

) et

(d')

B

(angles

5

8

). Ici,

(d)

(d')

ne sont pas parallèles : ces noms d'angles existent quelle que soit la situation.

3.2 Angles alternes-internes

Définition

Deux angles formés par une sécante avec deux droites sont alternes-internes lorsqu'ils sont :

internes : situés entre les deux droites $(d)$ et $(d')$ ;
alternes : situés de part et d'autre de la sécante.

Sur la figure 4, les angles internes sont ceux qui se trouvent entre $(d)$ et $(d')$ : en $A$ , ce sont les angles $3$ et $4$ ; en $B$ , ce sont les angles $5$ et $6$ . Parmi eux, les angles $3$ et $6$ (en rouge) sont de part et d'autre de la sécante $(\Delta)$ : ils sont alternes-internes. De même, $4$ et $5$ sont alternes-internes.

3.3 Angles correspondants

Définition

Deux angles formés par une sécante avec deux droites sont correspondants lorsqu'ils occupent la même position par rapport à leur point d'intersection et par rapport à la sécante (tous les deux « en haut à droite », par exemple).

Sur la figure 4, les angles $1$ et $5$ (en vert) occupent tous les deux la position « au-dessus de la droite, à droite de la sécante » : ils sont correspondants. Il en va de même pour les paires $(2\,;6)$ , $(3\,;7)$ et $(4\,;8)$ .

Exemple — repérer les paires

Sur la figure 4, cite une paire d'angles alternes-internes, puis une paire d'angles correspondants, autres que celles déjà données.

Alternes-internes : $4$ et $5$ (internes, de part et d'autre de la sécante). Correspondants : $3$ et $7$ (même position « en bas à gauche » en $A$ et en $B$ ).

Attention

Ces noms décrivent uniquement la position des angles. Sur la figure 4, $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles, et les angles $3$ et $6$ n'ont aucune raison d'être égaux. C'est ce qui va changer dès que les deux droites deviennent parallèles : place à la section suivante.

4Propriétés avec deux parallèles

4.1 Propriété admise : angles correspondants

Propriété admise

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors leurs angles correspondants sont égaux.

Cette propriété est admise : elle correspond à un fait fondamental de la géométrie plane, connu depuis Euclide, que l'on ne démontre pas au collège. Elle va nous servir de point de départ pour tout le reste du chapitre.

4.2 Conséquence : angles alternes-internes

Propriété

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors leurs angles alternes-internes sont égaux.

Cette propriété se déduit de la précédente à l'aide des angles opposés par le sommet : tu en verras la démonstration complète dans la section 5.

Figure 5 —

(d) \parallel (d')

: les angles violets (

1, 3, 5, 7

) valent tous

126°

, les angles verts (

2, 4, 6, 8

) valent tous

54°

. Alternes-internes :

(3\,;5)

(4\,;6)

. Correspondants :

(1\,;5)

(2\,;6)

(3\,;7)

(4\,;8)

4.3 Réciproque : démontrer un parallélisme

Théorème (réciproque)

Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux (ou des angles correspondants égaux), alors ces deux droites sont parallèles.

Méthode — démontrer que deux droites sont parallèles

On repère une sécante commune aux deux droites. On identifie deux angles alternes-internes (ou deux angles correspondants). Si leurs mesures sont égales, on conclut, en citant la réciproque, que les deux droites sont parallèles.

Exemple — calculer à l'aide de la figure 5

On donne $\widehat{2} = 54°$ . Calcule $\widehat{6}$ puis $\widehat{4}$ .

$\widehat{6} = \widehat{2}$ angles correspondants, $(d) \parallel (d')$
$=$ $54°$
$\widehat{4} = \widehat{2}$ angles opposés par le sommet en $A$
$=$ $54°$

Exemple — prouver un parallélisme

Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. On mesure deux angles alternes-internes : $108°$ d'un côté, $108°$ de l'autre. Que peut-on conclure ?

Les deux angles alternes-internes sont égaux ( $108° = 108°$ ). D'après la réciproque, on en déduit que $(d_1) \parallel (d_2)$ .

Attention

Pour appliquer la réciproque, il faut comparer la bonne paire d'angles (alternes-internes, ou correspondants) — pas n'importe quelle paire d'angles égaux prise au hasard sur la figure. Vérifie toujours la position des deux angles avant de conclure.

5Démonstrations

5.1 Les angles alternes-internes sont égaux

Nous avons admis que deux parallèles coupées par une sécante donnent des angles correspondants égaux. Nous allons maintenant démontrer, à partir de cette seule propriété admise et de ce que tu sais déjà sur les angles opposés par le sommet, que les angles alternes-internes sont eux aussi égaux.

Figure 6 —

(d) \parallel (d')

. L'angle

1

est correspondant à l'angle

5

; l'angle

1

est opposé par le sommet à l'angle

3

. Ces deux faits suffisent à relier

3

5

Démonstration

On reprend les notations de la figure 6 : $(d) \parallel (d')$ , coupées par la sécante $(\Delta)$ en $A$ et en $B$ . Les angles $3$ et $5$ sont alternes-internes (internes, de part et d'autre de la sécante). Montrons qu'ils sont égaux.

$\widehat{1} = \widehat{5}$ angles correspondants, $(d) \parallel (d')$ — propriété admise
$\widehat{1} = \widehat{3}$ angles opposés par le sommet en $A$
$\Rightarrow$ $\widehat{3} = \widehat{5}$ deux quantités égales à $\widehat{1}$ sont égales entre elles

Les angles alternes-internes $\widehat{3}$ et $\widehat{5}$ sont donc égaux. C.Q.F.D.

5.2 Justification de la réciproque

La réciproque affirme que des angles alternes-internes égaux entraînent le parallélisme. L'idée est simple et repose sur un fait que tu utilises depuis longtemps sans le savoir : par un point donné, il ne passe qu'une seule parallèle à une droite donnée.

Démonstration (idée)

Soit $(d)$ une droite et $B$ un point hors de $(d)$ , et supposons qu'une sécante coupe $(d)$ en $A$ et une droite $(d')$ passant par $B$ , en formant des angles alternes-internes égaux. Traçons par $B$ la parallèle $(d'')$ à $(d)$ : d'après la propriété admise, elle forme avec la sécante un angle correspondant égal à celui de $(d)$ , donc — par le même raisonnement qu'au 5.1 — un angle alternes-internes égal à celui donné. Comme il n'existe qu'une seule droite passant par $B$ formant cet angle précis avec la sécante, $(d')$ et $(d'')$ sont la même droite : $(d')$ est donc bien parallèle à $(d)$ .

Math & Co — Ératosthène mesure la Terre

Vers $-240$ , à Alexandrie (Égypte), le savant grec Ératosthène apprend qu'à Syène (aujourd'hui Assouan), le jour du solstice d'été, le Soleil éclaire le fond d'un puits à midi : ses rayons tombent donc à la verticale. Le même jour, à Alexandrie, il mesure l'ombre d'un bâton vertical et en déduit que les rayons du Soleil y forment un angle d'environ $7,2°$ avec la verticale.

Ératosthène considère les rayons du Soleil comme parallèles (le Soleil est si loin que c'est une excellente approximation), et la verticale à Alexandrie comme une sécante à ces parallèles. L'angle qu'il a mesuré à Alexandrie est alors alterne-interne avec l'angle, au centre de la Terre, entre Syène et Alexandrie ! Connaissant la distance entre les deux villes (environ $800$ km, mesurée en jours de marche de chameau), il calcule la circonférence totale de la Terre :

$7,2°$ correspond à $800$ km
$360°$ correspond à $x$ km
$x = 800 \times \dfrac{360}{7,2}$
$=$ $40\,000$ km environ

Le résultat est étonnamment proche de la vraie valeur ( $40\,075$ km) ! Une prouesse rendue possible par... une paire d'angles alternes-internes.

Math & Co — Le postulat qui a dérangé Euclide

Vers $-300$ , dans ses Éléments, Euclide pose la propriété admise du 4.1 comme l'un de ses cinq postulats de base. Ce « cinquième postulat » a toujours semblé moins évident que les quatre autres : pendant plus de $2\,000$ ans, des mathématiciens ont cherché — en vain — à le démontrer à partir des autres. Ce n'est qu'au $19^{\text{e}}$ siècle que Gauss, Lobatchevski et Bolyai ont compris qu'il s'agissait d'un choix : en le remplaçant par un autre postulat, on obtient des géométries tout aussi cohérentes, dites « non euclidiennes », utilisées aujourd'hui par exemple en relativité générale.

Fiche mémo

Adjacents : même sommet, un côté commun, de part et d'autre de ce côté.
Complémentaires : la somme des mesures vaut $90°$ . Supplémentaires : la somme vaut $180°$ (pas besoin d'être adjacents).
Opposés par le sommet : côtés opposés deux à deux ⇒ angles égaux (démonstration : via deux angles supplémentaires en commun).
Une sécante coupant deux droites crée $8$ angles : $4$ internes (entre les deux droites), $4$ externes.
Alternes-internes : internes, de part et d'autre de la sécante. Correspondants : même position aux deux points d'intersection.
Propriété admise : $(d) \parallel (d')$ ⇒ angles correspondants égaux.
Propriété (démontrée) : $(d) \parallel (d')$ ⇒ angles alternes-internes égaux (via opposés par le sommet).
Réciproque : angles alternes-internes égaux (ou correspondants égaux) ⇒ $(d) \parallel (d')$ . C'est l'outil pour démontrer un parallélisme.
Toujours vérifier la position exacte des angles avant de conclure : une simple égalité de mesures « au hasard » ne suffit pas.
Avec deux parallèles et une sécante, il n'y a que deux mesures d'angles distinctes sur toute la figure, chacune répétée $4$ fois.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Calcule le complément de chacun de ces angles : $15°$ ; $42°$ ; $73°$ ; $8°$ .

Voir le corrigé détaillé

$90° - 15° = 75°$
$90° - 42° = 48°$
$90° - 73° = 17°$
$90° - 8° = 82°$

Calcule le supplément de chacun de ces angles : $35°$ ; $110°$ ; $162°$ ; $90°$ .

Voir le corrigé détaillé

$180° - 35° = 145°$
$180° - 110° = 70°$
$180° - 162° = 18°$
$180° - 90° = 90°$ un angle droit est son propre supplément

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

Deux angles complémentaires sont toujours adjacents.
Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure.
Un angle de $95°$ et un angle de $85°$ sont supplémentaires.
Deux angles adjacents sont toujours supplémentaires.
Deux angles alternes-internes sont toujours internes à deux droites, de part et d'autre de la sécante.

Voir le corrigé détaillé

1. Faux. La définition ne parle que de la somme des mesures ( $90°$ ), pas de position.

2. Vrai. C'est la propriété démontrée au 2.2.

3. Vrai. $95° + 85° = 180°$ .

4. Faux. Par exemple, deux angles adjacents de $20°$ et $30°$ ne sont pas supplémentaires (somme $50°$ ).

5. Vrai. C'est exactement la définition du 3.2.

Deux droites sécantes forment un angle de $47°$ . Calcule les trois autres angles formés.

Voir le corrigé détaillé

angle opposé par le sommet à $47°$ : $47°$ angles opposés par le sommet
angle adjacent : $180° - 47°$
$=$ $133°$ angles supplémentaires
quatrième angle, opposé par le sommet au précédent : $133°$

Les quatre angles mesurent $47°$ , $133°$ , $47°$ et $133°$ .

En reprenant la figure 5 du cours ( $(d) \parallel (d')$ , angles numérotés $1$ à $8$ ), on donne $\widehat{7} = 126°$ . Calcule $\widehat{3}$ , $\widehat{1}$ et $\widehat{5}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\widehat{3} = \widehat{7}$ angles correspondants
$=$ $126°$
$\widehat{1} = \widehat{3}$ angles opposés par le sommet en $A$
$=$ $126°$
$\widehat{5} = \widehat{3}$ angles alternes-internes
$=$ $126°$

Sami place le côté de départ de son angle sur la graduation $0°$ de son rapporteur, et lit $128°$ sur l'autre côté. Quelle est la mesure de son angle ? Est-il aigu, droit ou obtus ?

Voir le corrigé détaillé

L'angle mesure $128°$ . Comme $90° < 128° < 180°$ , c'est un angle obtus.

Niveau 2 — Approfondissement

Deux droites sécantes forment un angle aigu et un angle obtus. L'angle obtus dépasse le double de l'angle aigu de $6°$ . Calcule les quatre angles formés.

Voir le corrigé détaillé

Notons $x$ la mesure de l'angle aigu. L'angle obtus mesure alors $2x + 6$ . Ces deux angles sont adjacents et supplémentaires.

$x + (2x + 6) = 180$
$\Rightarrow$ $3x + 6 = 180$
$\Rightarrow$ $3x = 174$
$\Rightarrow$ $x = 58$

L'angle aigu mesure $58°$ , l'angle obtus mesure $2 \times 58 + 6 = 122°$ . Par angles opposés par le sommet, les quatre angles sont $58°$ , $122°$ , $58°$ et $122°$ .

Deux droites parallèles $(d)$ et $(d')$ sont coupées par une sécante $(\Delta)$ en $A$ et $B$ . L'angle interne en $A$ , du côté gauche de la sécante, mesure $118°$ . Calcule l'angle $x$ en $B$ , alterne-interne à celui-ci, puis l'angle $y$ , adjacent et supplémentaire à $x$ .

Voir le corrigé détaillé

Figure 7 — L'angle donné en

A

(rouge,

118°

) détermine

x

B

par alternes-internes, puis

y

par angles supplémentaires adjacents.

$x = 118°$ angles alternes-internes, $(d) \parallel (d')$
$y = 180° - x$ angles adjacents et supplémentaires en $B$
$=$ $180° - 118°$
$=$ $62°$

Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. On mesure deux angles correspondants : $95°$ sur $(d_1)$ , $97°$ sur $(d_2)$ . Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles parallèles ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

Non. Si $(d_1)$ et $(d_2)$ étaient parallèles, la propriété admise imposerait des angles correspondants égaux. Or $95° \neq 97°$ : par contraposée, $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.

Classe chacune de ces paires d'angles : adjacents, complémentaires, supplémentaires, ou opposés par le sommet (plusieurs réponses possibles).

$38°$ et $52°$ , qui partagent un sommet et un côté.
$64°$ et $116°$ , sans lien de position connu.
Deux angles formés par deux droites sécantes, situés « face à face ».
$90°$ et $90°$ , qui partagent un sommet et un côté.

Voir le corrigé détaillé

1. Adjacents (position) et complémentaires ( $38 + 52 = 90$ ).

2. Supplémentaires uniquement ( $64 + 116 = 180$ ), position inconnue.

3. Opposés par le sommet.

4. Adjacents et supplémentaires ( $90 + 90 = 180$ ) — ce sont deux angles droits côte à côte.

Niveau 3 — Défi

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle interne mesure $(3x + 10)°$ ; l'angle alterne-interne qui lui correspond mesure $(5x - 30)°$ .

Pourquoi ces deux angles sont-ils égaux ?
Calcule $x$ .
Donne la mesure commune de ces deux angles, puis celle de leur angle supplémentaire adjacent.

Voir le corrigé détaillé

1. Les deux droites sont parallèles et les angles sont alternes-internes : d'après la propriété du 4.2, ils sont égaux.

$3x + 10 = 5x - 30$
$\Rightarrow$ $10 + 30 = 5x - 3x$
$\Rightarrow$ $40 = 2x$
$\Rightarrow$ $x = 20$

mesure commune $= 3 \times 20 + 10$
$=$ $70°$
supplément $= 180° - 70°$
$=$ $110°$

Trois droites $(d_1)$ , $(d_2)$ et $(d_3)$ vérifient $(d_1) \parallel (d_2)$ et $(d_2) \parallel (d_3)$ .

Trace (mentalement) une sécante commune aux trois droites. Que peux-tu dire de l'angle correspondant qu'elle forme avec $(d_1)$ et de celui qu'elle forme avec $(d_2)$ ?
Que peux-tu dire de l'angle correspondant formé avec $(d_2)$ et de celui formé avec $(d_3)$ ?
Déduis-en que $(d_1) \parallel (d_3)$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Une sécante coupant trois droites forme un angle correspondant avec chacune. Comme $(d_1) \parallel (d_2)$ , l'angle correspondant avec $(d_1)$ est égal à celui avec $(d_2)$ (propriété admise).

2. De même, comme $(d_2) \parallel (d_3)$ , l'angle correspondant avec $(d_2)$ est égal à celui avec $(d_3)$ .

angle avec $(d_1)$ $=$ angle avec $(d_2)$
angle avec $(d_2)$ $=$ angle avec $(d_3)$
$\Rightarrow$ angle avec $(d_1)$ $=$ angle avec $(d_3)$

Les angles correspondants formés avec $(d_1)$ et $(d_3)$ sont égaux : d'après la réciproque, $(d_1) \parallel (d_3)$ . C.Q.F.D.

On reprend la figure 5 du cours ( $(d) \parallel (d')$ , angles $1$ à $8$ ). On sait que $\widehat{3}$ vaut le triple de $\widehat{2}$ .

Quelle relation lie $\widehat{2}$ et $\widehat{3}$ (position, puis équation) ?
Calcule $\widehat{2}$ et $\widehat{3}$ .
Sans nouveau calcul, donne les six autres angles.

Voir le corrigé détaillé

1. $\widehat{2}$ et $\widehat{3}$ sont adjacents et supplémentaires (ils partagent le côté gauche de la droite $(d)$ ) : $\widehat{2} + \widehat{3} = 180°$ . Notons $x = \widehat{2}$ ; alors $\widehat{3} = 3x$ .

$x + 3x = 180$
$\Rightarrow$ $4x = 180$
$\Rightarrow$ $x = 45$

$\widehat{2} = 45°$ et $\widehat{3} = 135°$ .

3. Par opposés par le sommet et correspondants : $\widehat{1} = \widehat{5} = \widehat{7} = 135°$ ; $\widehat{4} = \widehat{6} = \widehat{8} = 45°$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La toiture (Ndjamena). Un charpentier installe deux pannes parallèles sur un toit, reliées par un chevron qui forme un angle interne de $52°$ avec la première panne.

Calcule l'angle alterne-interne formé avec la seconde panne.
Calcule l'angle supplémentaire adjacent, nécessaire pour tailler l'autre extrémité du chevron.
Chaque chevron mesure $2,4$ m et coûte $1\,850$ F CFA le mètre. Le charpentier en pose $6$ identiques : quel est le coût total ?

Voir le corrigé détaillé

1. Angles alternes-internes, pannes parallèles : l'angle vaut $52°$ .

$180° - 52° = 128°$

coût d'un chevron $= 2,4 \times 1\,850$
$=$ $4\,440$ F CFA
coût total $= 6 \times 4\,440$
$=$ $26\,640$ F CFA

Les rues de Dakar. Deux rues parallèles, Rue A et Rue B, sont coupées par une avenue en diagonale. L'angle formé par l'avenue avec la Rue A, côté nord, mesure $74°$ .

Quel est l'angle correspondant formé avec la Rue B ?
Quelle est la mesure de l'angle adjacent et supplémentaire à celui de $74°$ , sur la Rue A ?
Un géomètre, sans savoir si les rues sont parallèles, mesure sur le terrain deux angles alternes-internes : $74°$ et $74°$ . Peut-il affirmer que les rues sont parallèles ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. $74°$ (angles correspondants, rues parallèles).

$180° - 74° = 106°$

3. Oui. Les deux angles alternes-internes mesurés sont égaux ( $74° = 74°$ ) : d'après la réciproque, les deux rues sont parallèles — sans avoir besoin de les prolonger sur toute la ville !

La clôture (Abidjan). Pour un champ à Abidjan, un maçon doit planter deux rangées de piquets parallèles. En tendant une corde en diagonale entre les deux rangées, il mesure deux angles alternes-internes : $63°$ et $63°$ .

Les deux rangées sont-elles parallèles ? Justifie.
Sachant qu'elles le sont, il tend du grillage entre les deux piquets extrêmes, sur une longueur totale de $45$ m, au prix de $2\,100$ F CFA le mètre. Calcule le coût du grillage.

Voir le corrigé détaillé

1. Oui : les deux angles alternes-internes mesurés sont égaux ( $63° = 63°$ ), donc, d'après la réciproque, les deux rangées de piquets sont parallèles.

coût $= 45 \times 2\,100$
$=$ $94\,500$ F CFA

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Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont :

le même sommet, un côté commun, et sont de part et d'autre de ce côté la même mesure des côtés parallèles une somme de

180°

Explication : La définition demande trois conditions à la fois : même sommet, côté commun, et angles de part et d'autre de ce côté commun.

Deux angles sont complémentaires quand la somme de leurs mesures vaut :

180°

90°

360°

45°

Explication : Complémentaires : somme

=90°

. Ne confonds pas avec supplémentaires, dont la somme vaut

180°

Quel est le complément d'un angle de $37°$ ?

143°

63°

53°

37°

Explication : complément

= 90° - 37°

= 53°

car

37°+53°=90°

Deux angles sont supplémentaires quand la somme de leurs mesures vaut :

90°

360°

45°

180°

Explication : Supplémentaires : somme

=180°

90°

, c'est complémentaires.

Quel est le supplément d'un angle de $118°$ ?

72°

62°

242°

118°

Explication : supplément

= 180° - 118°

= 62°

car

118°+62°=180°

Deux angles complémentaires ou supplémentaires sont-ils obligatoirement adjacents ?

Non, ces définitions ne concernent que la somme des mesures, pas la position Oui, toujours Oui, mais seulement s'ils sont supplémentaires Oui, mais seulement s'ils sont complémentaires

Explication : Complémentaires et supplémentaires sont des conditions sur la somme des mesures uniquement. Les deux angles peuvent être placés n'importe où sur la feuille.

Deux angles sont opposés par le sommet lorsque :

ils ont un côté commun leur somme vaut

90°

leurs côtés sont les demi-droites opposées deux à deux, sans côté commun ils sont placés n'importe où sur la feuille

Explication : Deux droites sécantes forment quatre angles ; deux d'entre eux sont opposés par le sommet quand ils sont « face à face », leurs côtés étant des demi-droites opposées deux à deux.

Deux angles opposés par le sommet ont toujours :

une somme de

90°

une somme de

180°

des mesures différentes la même mesure

Explication : C'est la propriété démontrée dans le cours, à l'aide de deux angles supplémentaires ayant un angle en commun.

Deux droites sécantes forment un angle de $63°$ . Quelle est la mesure de l'angle adjacent à celui-ci, sur la même droite ?

117°

63°

27°

180°

Explication : Ces deux angles sont adjacents et supplémentaires (ils forment un angle plat).

180° - 63°

= 117°

Deux angles formés par une sécante coupant deux droites sont alternes-internes lorsqu'ils sont :

situés du même côté de la sécante, à l'extérieur des deux droites toujours égaux, quelle que soit la position des droites internes (entre les deux droites) et de part et d'autre de la sécante opposés par le sommet

Explication : Alternes-internes = internes (entre les deux droites) + alternes (de part et d'autre de la sécante).

Deux angles formés par une sécante coupant deux droites sont correspondants lorsqu'ils :

sont tous les deux internes occupent la même position par rapport à leur point d'intersection et à la sécante sont opposés par le sommet ont une somme de

180°

Explication : Correspondants = même position (par exemple « en haut à droite ») aux deux points d'intersection.

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors leurs angles correspondants sont :

supplémentaires complémentaires opposés par le sommet égaux

Explication : C'est la propriété admise : avec deux parallèles, les angles correspondants sont toujours égaux.

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors leurs angles alternes-internes sont :

supplémentaires différents égaux toujours droits

Explication : C'est une conséquence de la propriété admise sur les angles correspondants, démontrée à l'aide des angles opposés par le sommet.

Pour démontrer que deux droites sont parallèles à l'aide d'une sécante, il suffit de montrer que :

deux angles alternes-internes (ou correspondants) qu'elles forment sont égaux deux angles quelconques de la figure sont égaux la sécante est perpendiculaire à l'une des deux droites les deux droites ont la même longueur

Explication : C'est la réciproque : angles alternes-internes égaux (ou correspondants égaux) entraînent le parallélisme. Attention à bien vérifier la position de la paire d'angles.

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle mesure $54°$ . Quelle est la mesure de son angle correspondant sur l'autre droite ?

126°

36°

90°

54°

Explication : Droites parallèles : les angles correspondants sont égaux, donc l'angle correspondant mesure aussi

54°

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle interne en $A$ mesure $118°$ . Quelle est la mesure de l'angle alterne-interne qui lui correspond en $B$ ?

62°

118°

90°

236°

Explication : Droites parallèles : les angles alternes-internes sont égaux, donc l'angle en

B

mesure aussi

118°

Deux droites sont coupées par une sécante. On mesure deux angles correspondants : $95°$ sur la première droite, $97°$ sur la seconde. Que peut-on en conclure ?

Les droites sont parallèles car les angles sont proches On ne peut rien dire Les droites ne sont pas parallèles, car des parallèles donneraient des angles correspondants égaux Les droites sont perpendiculaires

Explication : Si les droites étaient parallèles, la propriété admise imposerait des angles correspondants égaux. Or

95° \neq 97°

: les droites ne sont pas parallèles.

Un charpentier installe deux pannes parallèles reliées par un chevron qui forme un angle interne de $52°$ avec la première panne. Quel est l'angle alterne-interne formé avec la seconde panne ?

52°

128°

38°

104°

Explication : Les deux pannes sont parallèles : l'angle alterne-interne vaut donc la même mesure,

52°

Dans la situation précédente (chevron à $52°$ ), quel est l'angle supplémentaire adjacent, nécessaire pour tailler l'autre extrémité du chevron ?

52°

90°

62°

128°

Explication : Angles adjacents et supplémentaires.

180° - 52°

= 128°

Un géomètre mesure sur le terrain deux angles alternes-internes entre deux rues et une avenue en diagonale : $74°$ et $74°$ . Peut-il affirmer que les deux rues sont parallèles ?

Non, il faudrait mesurer tous les angles Oui, d'après la réciproque, deux angles alternes-internes égaux entraînent le parallélisme Non, il faudrait que les angles soient supplémentaires On ne peut jamais le savoir sans prolonger les droites

Explication : Les deux angles alternes-internes mesurés sont égaux (

74°=74°

) : d'après la réciproque, les rues sont parallèles, sans avoir besoin de les prolonger.

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En bref

Classe : Classe de Cinquième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 7 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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