Multiplication et division de fractions

Multiplier, diviser et prendre une fraction d'une quantité.

Mathématiques 5ème Chapitre 4 / 13 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Multiplier et simplifier avant de calculer
Diviser par une fraction
Résoudre un problème de proportion faisant intervenir des fractions

Tu sais déjà additionner et soustraire des fractions : il fallait d'abord les mettre au même dénominateur, ce qui demandait souvent plusieurs lignes de calcul. Bonne nouvelle : pour multiplier deux fractions, c'est beaucoup plus simple — pas besoin de dénominateur commun ! Et tu vas découvrir que diviser par une fraction n'est en réalité qu'une multiplication déguisée.

Ces deux opérations sont partout dans la vie de tous les jours : quand une cuisinière adapte une recette pour plus ou moins de personnes, quand un champ est partagé entre plusieurs héritiers, quand on calcule une remise de « les 3/4 du prix », ou quand un tailleur découpe des morceaux de tissu de longueur fixe dans un grand rouleau. Multiplier et diviser des fractions, c'est résoudre tout cela en quelques lignes bien organisées.

Ce chapitre te donne trois outils : la règle du produit de deux fractions — avec le réflexe de simplifier avant de calculer —, la notion d'inverse d'un nombre, et la règle magique de la division : « diviser, c'est multiplier par l'inverse ». Tu termineras en enchaînant plusieurs opérations dans le bon ordre, comme dans un vrai problème.

1Produit de deux fractions

Définition

Pour multiplier deux fractions entre elles, on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$

avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$ .

Pourquoi cette règle fonctionne-t-elle ? Regarde l'aire d'un rectangle : si tu colories $\dfrac{2}{3}$ de sa largeur et $\dfrac{3}{4}$ de sa hauteur, la zone coloriée deux fois (l'aire commune) représente exactement le produit $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}$ .

Figure 1 — Le rectangle unité est partagé en 3 colonnes (les tiers) et 4 lignes (les quarts). 2 colonnes sur 3 sont violettes, 3 lignes sur 4 sont vertes : la zone commune (6 carreaux sur 12) donne exactement le produit

\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}

Attention

Ne confonds pas avec l'addition ! Pour additionner des fractions, il faut le même dénominateur. Pour multiplier, on ne touche à rien : on multiplie directement numérateur avec numérateur, dénominateur avec dénominateur — même si les dénominateurs sont différents.

1.1 Simplifier avant de multiplier

Méthode — simplifier avant de calculer

Avant de multiplier, cherche si un numérateur et un dénominateur (peu importe lesquels) ont un diviseur commun. En simplifiant tout de suite, tu gardes des nombres petits et le résultat est déjà simplifié à la fin.

Exemple — produit avec simplification

Calculons $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$ en simplifiant avant de multiplier.

$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$
$=$ $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{8}{3}$ 3 et 9 ont pour diviseur commun 3 : $3\div 3=1$ et $9\div 3=3$
$=$ $\dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{3}$ 8 et 4 ont pour diviseur commun 4 : $8\div 4=2$ et $4\div 4=1$
$=$ $\dfrac{2}{3}$

1.2 Multiplier par un nombre entier

Propriété

Un nombre entier $n$ peut toujours s'écrire $\dfrac{n}{1}$ . Multiplier une fraction par un entier revient donc à multiplier seulement le numérateur.

$n \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \times a}{b}$

Exemple — un coureur d'Abidjan

Chaque jour, Koffi court $\dfrac{3}{5}$ km. Quelle distance parcourt-il en 4 jours ?

distance $= 4 \times \dfrac{3}{5}$
$=$ $\dfrac{4 \times 3}{5}$
$=$ $\dfrac{12}{5}$ kmsoit $2{,}4$ km

Math & Co — La barre de fraction vient du Maghreb

La petite barre horizontale que tu traces entre le numérateur et le dénominateur, $\dfrac{a}{b}$ , n'est pas si ancienne. C'est le mathématicien marocain Al-Hassar, actif à Fès vers 1170, qui l'utilise le premier de façon systématique, dans son traité de calcul Kitab al-bayan wa'l-tadhkar (« Livre de la démonstration et du rappel »). Avant lui, les savants écrivaient les fractions en toutes lettres ou avec des notations bien plus lourdes.

Cette écriture en deux étages, séparés par un trait, s'est répandue dans tout le Maghreb, puis en Europe grâce aux échanges commerciaux et aux traductions, jusqu'à devenir la notation universelle que tu utilises aujourd'hui, du Sénégal jusqu'au Québec.

2Fraction d'une quantité

Définition

Prendre une fraction $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité $N$ , c'est calculer le produit $\dfrac{a}{b} \times N$ .

$\dfrac{a}{b} \text{ de } N = \dfrac{a}{b}\times N = \dfrac{a\times N}{b}$

Méthode — calculer

\dfrac{a}{b}

d'une quantité

N

Deux façons donnent le même résultat. On choisit celle qui tombe juste le plus vite.

Diviser d'abord $N$ par $b$ , puis multiplier le résultat par $a$ ;
$N$ $N$ par $a$ , puis diviser par $b$ .

Figure 2 — 20 crayons rangés en 5 groupes égaux de 4. Deux groupes sur cinq sont pris :

\dfrac{2}{5}\times 20 = 8

crayons.

Exemple — les sportifs d'une classe

Dans une classe de 30 élèves, les $\dfrac{2}{3}$ pratiquent un sport. Combien d'élèves cela fait-il ?

nombre $= \dfrac{2}{3} \times 30$
$=$ $2 \times (30 \div 3)$ on divise d'abord par 3, le dénominateur
$=$ $2 \times 10$
$=$ $20$ élèves

2.1 Fraction d'une fraction

Prendre une fraction d'une fraction, c'est exactement la même chose : on multiplie. C'est ce que montrait déjà la Figure 1 : les $\dfrac{3}{4}$ des $\dfrac{2}{3}$ d'un gâteau, c'est $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}$ .

Exemple — les 3/4 des 2/3 d'un gâteau

$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}$
$=$ $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}$ 3 (numérateur) et 3 (dénominateur) se simplifient
$=$ $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{1}$
$=$ $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ on simplifie encore par 2

2.2 Problèmes avec des quantités concrètes

Figure 3 — Chaque ingrédient est représenté par une bande de 8 parts égales. On garde

\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}

de chaque quantité (zone violette) pour passer de 8 à 6 personnes.

Attention

Ne confonds pas $\dfrac{a}{b}$ de $N$ (un produit, une valeur plus petite que $N$ en général) avec $N \div \dfrac{a}{b}$ (une division, qui donne souvent un nombre plus grand que $N$ ). Relis toujours la phrase de l'énoncé : « les 3/4 de… » est un produit ; « combien de fois 3/4 dans… » est une division.

3Inverse d'un nombre

Définition

Soit $a$ un nombre non nul. L'inverse de $a$ est le nombre, noté $\dfrac{1}{a}$ , tel que :

$a \times \dfrac{1}{a} = 1$

L'inverse d'une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$ ) est la fraction $\dfrac{b}{a}$ : on échange le numérateur et le dénominateur.

Attention

0 n'a pas d'inverse : il n'existe aucun nombre qu'on puisse multiplier par 0 pour obtenir 1 ( $0\times\text{n'importe quoi}=0$ ). Ne confonds pas non plus l'inverse $\dfrac{1}{a}$ avec l'opposé $-a$ : l'inverse de 5 est $\dfrac{1}{5}$ , son opposé est $-5$ .

Méthode — trouver l'inverse d'un nombre

Inverse d'un entier $n$ ( $n \neq 0$ ) : $\dfrac{1}{n}$ ;
Inverse d'une fraction $\dfrac{a}{b}$ : on retourne la fraction, $\dfrac{b}{a}$ ;
Inverse d'un nombre décimal : on l'écrit d'abord sous forme de fraction, puis on retourne.

Exemple — trois inverses

inverse de $5$ est $\dfrac{1}{5}$ car $5\times\dfrac15=1$
inverse de $\dfrac{2}{7}$ est $\dfrac{7}{2}$ on échange numérateur et dénominateur
$0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ on convertit le décimal en fraction
$\Rightarrow$ inverse de $0{,}25$ est $4$

Math & Co — Les fractions unitaires des scribes égyptiens

Vers -1650, le scribe égyptien Ahmès recopie sur un long papyrus (aujourd'hui conservé au British Museum, et appelé papyrus Rhind) une centaine de problèmes de calcul. Fait étonnant : les Égyptiens de l'Antiquité n'utilisaient presque que des fractions unitaires, c'est-à-dire des inverses d'entiers comme $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{1}{3}$ ou $\dfrac{1}{7}$ — jamais, par exemple, $\dfrac{2}{5}$ directement.

Pour écrire $\dfrac{2}{5}$ , un scribe devait la décomposer en somme de fractions unitaires distinctes, par exemple $\dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15}$ . Ce système très contraignant a longtemps compliqué les calculs, jusqu'à l'arrivée, des siècles plus tard, des fractions générales que tu utilises aujourd'hui.

4Division par une fraction

Théorème

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a\times d}{b\times c} \qquad (c \neq 0)$

Démonstration — idée de preuve

On veut vérifier que $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}$ est bien égal à $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$ . Le quotient cherché est le nombre $Q$ tel que $Q \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}$ . Vérifions que $Q = \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$ convient.

$Q \times \dfrac{c}{d} = \left(\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\right)\times \dfrac{c}{d}$
$=$ $\dfrac{a}{b}\times \left(\dfrac{d}{c}\times \dfrac{c}{d}\right)$
$=$ $\dfrac{a}{b}\times 1$ $\dfrac{d}{c}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont inverses l'un de l'autre
$=$ $\dfrac{a}{b}$ c'est bien la valeur cherchée

$Q = \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$ est donc bien le quotient $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}$ . C.Q.F.D.

Figure 4 — Un ruban de 6 m est découpé en morceaux de

\dfrac{3}{4}

m. On en obtient

6 \div \dfrac{3}{4} = 6\times\dfrac{4}{3}=8

Méthode — diviser par une fraction

On repère le diviseur (la fraction placée juste après le signe $\div$ ) ;
on le remplace par son inverse ;
on transforme le $\div$ en $\times$ ;
on simplifie avant de calculer, comme pour tout produit.

Attention

Le piège classique : inverser la mauvaise fraction. On inverse toujours le diviseur (celui qui suit le $\div$ ), jamais le premier nombre (le dividende).

$\dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{4}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}$ correct : on inverse le diviseur $\frac54$
✗ $\dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{4}\neq \dfrac{3}{2}\times\dfrac{5}{4}$ erreur fréquente : ne jamais inverser le dividende

Exemple — deux divisions

$\dfrac{4}{5}\div\dfrac{2}{3}$
$=$ $\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{2}$ on multiplie par l'inverse du diviseur
$=$ $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{1}$ 4 et 2 se simplifient par 2
$=$ $\dfrac{6}{5}$
$9 \div \dfrac{3}{4}$
$=$ $9\times \dfrac{4}{3}$ 9 s'écrit $\frac91$ , on inverse le diviseur
$=$ $3\times \dfrac{4}{1}$ 9 et 3 se simplifient par 3
$=$ $12$

5Enchaînements d'opérations

Propriété — priorités

Dans une expression sans parenthèses, la multiplication et la division ont la même priorité : on les effectue dans l'ordre d'écriture, de gauche à droite. S'il y a des parenthèses, on calcule toujours ce qu'il y a dedans en premier.

Méthode — enchaîner plusieurs opérations avec des fractions

Inutile de calculer un résultat intermédiaire complet à chaque étape : transforme d'abord chaque division en multiplication par l'inverse, puis simplifie fraction par fraction, en gardant les nombres petits, avant de multiplier tout à la fin.

Exemple — un enchaînement de trois fractions

Calculons $A = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} \div \dfrac{5}{6}$ .

$A = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} \times \dfrac{6}{5}$ on transforme la division par l'inverse du diviseur
$=$ $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{6}{1}$ 5 (numérateur) et 5 (dénominateur) se simplifient
$=$ $\dfrac{2}{1} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{1}$ 3 et 6 se simplifient par 3
$=$ $\dfrac{1}{1} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{1}$ 2 et 4 se simplifient par 2
$=$ $\dfrac{1\times1\times2}{1\times2\times1}=1$

Figure 5 — Un champ de 1 ha dont

\dfrac{3}{4}

sont cultivés en mil (partie verte, à gauche). Cette partie cultivée est repartagée en 5 parts égales pour les 5 enfants : chacun reçoit

\left(\dfrac{3}{4}\right)\div 5 = \dfrac{3}{20}

ha (part encadrée en rouge).

Exemple — le champ familial (voir Figure 5)

M. Traoré possède un champ de 1 hectare. Les $\dfrac{3}{4}$ sont cultivés en mil ; le reste sert d'enclos. La partie cultivée est partagée également entre ses 5 enfants. Quelle surface reçoit chaque enfant ?

surface cultivée $= \dfrac{3}{4}$ ha
part d'un enfant $= \dfrac{3}{4} \div 5$
$=$ $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{5}$ diviser par 5, c'est multiplier par $\frac15$
$=$ $\dfrac{3}{20}$ hasoit 0,15 ha

Attention

× et ÷ ont la même priorité : on ne fait pas systématiquement toutes les multiplications avant toutes les divisions. On avance de gauche à droite. Par exemple $12 \div \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}$ se calcule dans cet ordre : d'abord $12\div\frac23$ , puis le résultat $\times\frac14$ — un résultat très différent de $12\div\left(\frac23\times\frac14\right)$ .

Fiche mémo

Produit : $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$ — jamais de dénominateur commun pour multiplier.
Entier $\times$ fraction : $n\times\dfrac{a}{b}=\dfrac{n\times a}{b}$ .
Toujours simplifier avant de multiplier (un numérateur avec un dénominateur).
Fraction d'une quantité : $\dfrac{a}{b}$ de $N$ $=\dfrac{a}{b}\times N$ .
Inverse de $a$ ( $a\neq0$ ) : $\dfrac1a$ , avec $a\times\dfrac1a=1$ . 0 n'a pas d'inverse.
Inverse de $\dfrac{a}{b}$ : $\dfrac{b}{a}$ (on retourne la fraction).
Division : $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$ — on inverse le diviseur, jamais le dividende.
Un entier $n$ se divise par une fraction : $n\div\dfrac{c}{d}=n\times\dfrac{d}{c}$ .
× et ÷ ont la même priorité : on calcule de gauche à droite, parenthèses en premier.
Piège : $\dfrac{a}{b}$ de $N$ (un produit) $\neq$ $N\div\dfrac{a}{b}$ (une division).

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Calcule chaque produit en simplifiant avant de multiplier : $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}$ ; $\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{10}$ ; $7\times\dfrac{2}{5}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}$
$=$ $\dfrac{2}{1}\times\dfrac{3}{4}$ 3 et 9 se simplifient par 3
$=$ $\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
$\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{10}$
$=$ $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{2}$ 5 et 10 se simplifient par 5
$=$ $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$ 3 et 6 se simplifient par 3
$7\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{5}$

Calcule : les $\dfrac{3}{4}$ de 48 ; les $\dfrac{2}{5}$ de 60 ; les $\dfrac{5}{6}$ de 90.

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{3}{4}\times 48 = 3\times(48\div4)$
$=$ $3\times 12 = 36$
$\dfrac{2}{5}\times 60 = 2\times(60\div5)$
$=$ $2\times 12 = 24$
$\dfrac{5}{6}\times 90 = 5\times(90\div6)$
$=$ $5\times 15 = 75$

Donne l'inverse de chacun de ces nombres : 8 ; $\dfrac{3}{7}$ ; 0,2 ; 1.

Voir le corrigé détaillé

inverse de $8$ est $\dfrac{1}{8}$
inverse de $\dfrac{3}{7}$ est $\dfrac{7}{3}$ on échange numérateur et dénominateur
$0{,}2=\dfrac{1}{5}$ on convertit en fraction
$\Rightarrow$ inverse de $0{,}2$ est $5$
inverse de $1$ est $1$ car $1\times1=1$

Calcule en transformant chaque division en multiplication : $\dfrac{4}{5}\div\dfrac{2}{3}$ ; $6\div\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{5}{9}\div 5$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{4}{5}\div\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{2}$
$=$ $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{1}=\dfrac{6}{5}$ 4 et 2 se simplifient par 2
$6\div\dfrac{3}{4}=6\times\dfrac{4}{3}$
$=$ $2\times\dfrac{4}{1}=8$ 6 et 3 se simplifient par 3
$\dfrac{5}{9}\div5=\dfrac{5}{9}\times\dfrac{1}{5}$
$=$ $\dfrac{1}{9}$ les deux 5 se simplifient

Calcule $A=\left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{5}\right)\div\dfrac{4}{9}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{1}\times\dfrac{1}{5}$ les deux 3 se simplifient
$=$ $\dfrac{2}{5}$
$A=\dfrac{2}{5}\div\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{9}{4}$
$=$ $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{9}{2}$ 2 et 4 se simplifient par 2
$=$ $\dfrac{9}{10}$

Niveau 2 — Approfondissement

Dans un collège de Bamako, les $\dfrac{3}{5}$ des 450 élèves sont des filles. Parmi elles, les $\dfrac{2}{3}$ pratiquent une activité sportive après les cours. Combien de filles pratiquent une activité sportive ?

Voir le corrigé détaillé

nombre de filles $=\dfrac{3}{5}\times450=3\times(450\div5)$
$=$ $3\times90=270$ filles
sportives $=\dfrac{2}{3}\times270=2\times(270\div3)$
$=$ $2\times90=180$ filles

Calcule $\dfrac{5}{8}\div\dfrac{5}{6}$ en multipliant par l'inverse, puis vérifie ton résultat avec le calcul direct $\dfrac{5\times6}{8\times5}$ . Que remarques-tu ?

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{5}{8}\div\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{6}{5}$
$=$ $\dfrac{1}{8}\times\dfrac{6}{1}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ les deux 5 se simplifient
vérification : $\dfrac{5\times6}{8\times5}=\dfrac{30}{40}$
$=$ $\dfrac{3}{4}$ on retrouve le même résultat

Les deux méthodes donnent la même réponse : c'est normal, puisque multiplier par l'inverse revient exactement à faire ce produit en croix.

Une recette pour 10 personnes demande 750 g de riz. Adapte cette quantité pour 4 personnes.

Voir le corrigé détaillé

fraction à prendre $=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$
riz $=\dfrac{2}{5}\times750=2\times(750\div5)$
$=$ $2\times150=300$ g

Trouve le nombre $x$ tel que $\dfrac{2}{3}\times x=\dfrac{4}{9}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{2}{3}\times x=\dfrac{4}{9}$
$\Rightarrow$ $x=\dfrac{4}{9}\div\dfrac{2}{3}$ on divise les deux membres par $\frac23$
$=$ $\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{2}$
$=$ $\dfrac{2}{9}\times\dfrac{3}{1}$ 4 et 2 se simplifient par 2
$=$ $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$

Niveau 3 — Défi

Une pizza entière est partagée en 4 parts égales. Amadou en mange une part. Les $\dfrac{3}{4}$ restants sont ensuite partagés également entre 3 amis (voir la Figure 6).

Figure 6 — La part déjà mangée (grise) vaut

\dfrac14

de la pizza. Le reste,

\dfrac34

, est partagé en 3 parts identiques : chaque ami reçoit aussi

\dfrac14

de la pizza entière.

Calcule la fraction de la pizza entière que reçoit chaque ami.
Utilise une multiplication pour vérifier ce résultat.
Une part (un quart de la pizza) pèse 210 g. Quelle est la masse de la pizza entière ? Justifie ta démarche.

Voir le corrigé détaillé

1. Chaque ami reçoit le tiers des $\dfrac34$ restants.

part d'un ami $=\dfrac{3}{4}\div3=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}$
$=$ $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{4}$ 3 et 3 se simplifient

2. Vérification : il y a 3 amis, donc

$3\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ on retrouve bien la part restante après Amadou

3. Si $\dfrac14$ de la pizza pèse 210 g, la masse totale $M$ vérifie $\dfrac14\times M=210$ , donc $M=210\div\dfrac14$ .

$M=210\times4$ l'inverse de $\frac14$ est $4$
$=$ $840$ g

Explique pourquoi diviser par $\dfrac{1}{n}$ (avec $n$ entier non nul) revient toujours à multiplier par $n$ .

Vérifie cette idée sur l'exemple $8\div\dfrac{1}{3}$ .
Généralise, en utilisant la règle « diviser, c'est multiplier par l'inverse ».

Voir le corrigé détaillé

1. Sur l'exemple :

$8\div\dfrac{1}{3}=8\times\dfrac{3}{1}$ l'inverse de $\frac13$ est $\frac31=3$
$=$ $8\times3=24$

On retrouve bien $8\times3$ : diviser par $\frac13$ revient à multiplier par 3.

2. En général, l'inverse de $\dfrac{1}{n}$ est $\dfrac{n}{1}=n$ (on échange numérateur et dénominateur). D'après le théorème du cours, diviser par $\dfrac{1}{n}$ revient donc à multiplier par cet inverse, c'est-à-dire par $n$ :

$a\div\dfrac{1}{n}=a\times n$

Calcule $B=\dfrac{3}{5}\div\left(\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}\right)\times\dfrac{1}{9}$ .

Voir le corrigé détaillé

On calcule d'abord la parenthèse.

$\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{3}{2}$ 2 et 4 se simplifient par 2
$=$ $\dfrac{3}{10}$
$B=\dfrac{3}{5}\div\dfrac{3}{10}\times\dfrac{1}{9}$
$=$ $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{3}\times\dfrac{1}{9}$ division = multiplication par l'inverse
$=$ $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{10}{1}\times\dfrac{1}{9}$ les deux 3 se simplifient
$=$ $2\times\dfrac{1}{9}$ $10\div5=2$
$=$ $\dfrac{2}{9}$

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La gargote de Dakar. Une gargote de Dakar prépare habituellement du thiéboudienne pour 12 personnes, ce qui coûte 18 000 F CFA d'ingrédients. Aujourd'hui, Awa doit préparer ce plat pour seulement 9 personnes.

Quelle fraction de la recette doit-elle préparer ?
Quel sera le coût des ingrédients pour 9 personnes ?

Voir le corrigé détaillé

fraction $=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$ on simplifie par 3

coût $=\dfrac{3}{4}\times18\,000=3\times(18\,000\div4)$
$=$ $3\times4\,500=13\,500$ F CFA

Héritage à Abéché. M. Adoum possède un champ rectangulaire de 2 hectares (soit 20 000 m²) à Abéché. Il en donne les $\dfrac{3}{5}$ à son fils aîné. Celui-ci cède ensuite le tiers de sa part à la mosquée du quartier pour l'agriculture communautaire.

Quelle surface (en m²) revient au fils aîné avant la cession ?
Quelle surface cède-t-il à la mosquée ? Quelle surface lui reste-t-il ensuite ?
Le terrain qui lui reste est un rectangle de 100 m sur 80 m. Il veut l'entourer d'un grillage à 2 800 F CFA le mètre. Calcule le coût total de la clôture.

Voir le corrigé détaillé

part du fils $=\dfrac{3}{5}\times20\,000=3\times(20\,000\div5)$
$=$ $3\times4\,000=12\,000$ m²

cession $=\dfrac{1}{3}\times12\,000=12\,000\div3=4\,000$ m²
reste $=12\,000-4\,000=8\,000$ m²cohérent avec $100\times80=8\,000$

3. Le périmètre du rectangle restant :

$P=2\times(100+80)$
$=$ $2\times180=360$ m
coût $=360\times2\,800$
$=$ $1\,008\,000$ F CFA

Le tailleur de Bamako. Un tailleur de Bamako achète un rouleau de bazin de 15 m. Chaque boubou complet nécessite $\dfrac{5}{4}$ m de tissu.

Combien de boubous complets peut-il découper dans le rouleau ?
S'il vend chaque boubou 12 500 F CFA, quelle recette totale peut-il espérer pour tous les boubous découpés ?

Voir le corrigé détaillé

nombre de boubous $=15\div\dfrac{5}{4}=15\times\dfrac{4}{5}$
$=$ $3\times\dfrac{4}{1}$ 15 et 5 se simplifient par 5
$=$ $12$ boubous

recette $=12\times12\,500$
$=$ $150\,000$ F CFA

Teste-toi gratuitement

8 questions

Nombres relatifs : calcul et repérage

Commencer →

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Comment calcule-t-on le produit de deux fractions $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}$ ?

\dfrac{a \times c}{b \times d}

\dfrac{a + c}{b + d}

\dfrac{a \times d}{b \times c}

\dfrac{a \times b}{c \times d}

Explication : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}

Parmi ces affirmations sur la multiplication de deux fractions, laquelle est VRAIE ?

Il faut d'abord mettre les deux fractions au même dénominateur, comme pour une addition. On multiplie directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans dénominateur commun. Il faut que les deux dénominateurs soient égaux. On additionne les numérateurs et on multiplie les dénominateurs.

Explication : Contrairement à l'addition, la multiplication de fractions ne demande jamais de dénominateur commun : on multiplie directement, même si les dénominateurs sont différents.

Un nombre entier $n$ multiplié par une fraction $\dfrac{a}{b}$ donne :

\dfrac{n \times a}{n \times b}

\dfrac{a}{n \times b}

\dfrac{n \times a}{b}

\dfrac{n + a}{b}

Explication : Un entier

n

s'écrit

\dfrac{n}{1}

, donc

n\times\dfrac{a}{b}=\dfrac{n\times a}{1\times b}=\dfrac{n\times a}{b}

: seul le numérateur est multiplié par

n

Prendre une fraction $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité $N$ , c'est calculer :

N \div \dfrac{a}{b}

N - \dfrac{a}{b}

\dfrac{a}{b} + N

\dfrac{a}{b} \times N

Explication : « Les

\dfrac{a}{b}

N

» se traduit toujours par un produit :

\dfrac{a}{b}\times N

L'inverse d'un nombre non nul $a$ , noté $\dfrac{1}{a}$ , vérifie toujours :

a \times \dfrac{1}{a} = 1

a + \dfrac{1}{a} = 1

a \times \dfrac{1}{a} = 0

a - \dfrac{1}{a} = 1

Explication : Par définition, l'inverse de

a

est le nombre par lequel on multiplie

a

pour obtenir

1

L'inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$ ) est :

\dfrac{a}{b}

\dfrac{b}{a}

-\dfrac{a}{b}

\dfrac{1}{a \times b}

Explication : Pour inverser une fraction, on échange le numérateur et le dénominateur : l'inverse de

\dfrac{a}{b}

est

\dfrac{b}{a}

. Attention,

-\dfrac{a}{b}

est l'opposé, pas l'inverse.

Calcule $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}$ .

\dfrac{3}{7}

\dfrac{1}{12}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{8}{3}

Explication : On multiplie numérateurs et dénominateurs :

\dfrac{2\times1}{3\times4}=\dfrac{2}{12}

=\dfrac{1}{6}

après simplification par 2.

En simplifiant avant de multiplier, calcule $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$ .

\dfrac{11}{13}

\dfrac{3}{2}

\dfrac{4}{3}

\dfrac{2}{3}

Explication : 3 et 9 ont pour diviseur commun 3 :

\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{9}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{3}

puis 8 et 4 se simplifient par 4 :

=\dfrac{1}{1}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}

Chaque jour, Koffi court $\dfrac{3}{5}$ km. Quelle distance parcourt-il en 4 jours ?

\dfrac{12}{5}

\dfrac{3}{9}

\dfrac{12}{20}

\dfrac{4}{15}

Explication : Un entier multiplie seulement le numérateur :

4 \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{4\times3}{5} = \dfrac{12}{5}

km, soit 2,4 km. Le dénominateur ne change pas.

20 crayons sont rangés en 5 groupes égaux. On en prend $\dfrac{2}{5}$ . Combien de crayons cela fait-il ?

10 8 4 40

Explication : On divise d'abord par 5, puis on multiplie par 2 :

20 \div 5 = 4

4 \times 2 = 8

crayons.

Dans une classe de 30 élèves, les $\dfrac{2}{3}$ pratiquent un sport. Combien d'élèves cela fait-il ?

15 10 20 45

Explication : On divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur :

30 \div 3 = 10

10 \times 2 = 20

élèves.

Calcule les $\dfrac{3}{4}$ des $\dfrac{2}{3}$ d'un gâteau, c'est-à-dire $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}$ .

\dfrac{5}{7}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{9}{8}

\dfrac{1}{2}

Explication : Les deux 3 se simplifient :

\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{2}{1}=\dfrac{2}{4}

=\dfrac{1}{2}

après simplification par 2.

Une recette pour 8 personnes est adaptée pour 6 personnes. Quelle fraction de chaque ingrédient doit-on garder ?

\dfrac{3}{4}

\dfrac{4}{3}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{1}{2}

Explication : On garde

\dfrac{6}{8}

de chaque ingrédient, et

\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}

une fois simplifiée par 2.

Quel est l'inverse de 8 ?

-8

\dfrac{1}{8}

8

-\dfrac{1}{8}

Explication : 8 s'écrit

\dfrac{8}{1}

, son inverse est

\dfrac{1}{8}

, car

8\times\dfrac18=1

. Ne confonds pas avec l'opposé

-8

L'inverse du nombre décimal 0,25 est :

0{,}25

0{,}4

4

\dfrac{1}{4}

Explication : On convertit d'abord en fraction :

0{,}25=\dfrac{1}{4}

l'inverse de

\dfrac{1}{4}

est

4

, car

\dfrac14\times4=1

Diviser une fraction par une fraction non nulle, c'est :

multiplier par la seconde fraction directement additionner les deux fractions diviser aussi les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux multiplier par l'inverse de la seconde fraction

Explication : Diviser par un nombre non nul revient toujours à multiplier par son inverse :

\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}

Calcule $\dfrac{4}{5} \div \dfrac{2}{3}$ .

\dfrac{6}{5}

\dfrac{8}{15}

\dfrac{5}{6}

\dfrac{15}{8}

Explication : On multiplie par l'inverse du diviseur :

\dfrac{4}{5}\div\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{2}

4 et 2 se simplifient par 2 :

=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{1}=\dfrac{6}{5}

Pour calculer $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}$ , quelle fraction faut-il inverser ?

le dividende

\dfrac{a}{b}

, celui placé avant le signe

\div

le diviseur

\dfrac{c}{d}

, celui placé après le signe

\div

les deux fractions à la fois aucune des deux, il suffit de multiplier normalement

Explication : Le piège classique est d'inverser le dividende. On inverse toujours le diviseur, celui qui suit le signe

\div

, jamais le premier nombre.

Un tailleur découpe un rouleau de tissu de 6 m en morceaux de $\dfrac{3}{4}$ m chacun. Combien de morceaux obtient-il ?

4{,}5

18 8 2

Explication : On divise par la fraction :

6 \div \dfrac{3}{4} = 6 \times \dfrac{4}{3}

6 et 3 se simplifient par 3 :

=2 \times 4 = 8

morceaux.

Que vaut $12 \div \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}$ ? (attention à l'ordre des opérations)

72 8

\dfrac{2}{9}

\dfrac{9}{2}

Explication :

\times

\div

ont la même priorité : on calcule de gauche à droite.

12 \div \dfrac{2}{3} = 12 \times \dfrac{3}{2} = 18

18 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}

.
72 est l'erreur classique qui consiste à calculer

\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{4}

en premier, comme s'il y avait des parenthèses.

S'inscrire à ce chapitre

Clique et envoie : ton message WhatsApp est déjà pré-rempli avec la classe, la matière et le chapitre.

S'inscrire sur WhatsApp

Demander un cours privé Rejoindre un groupe

En bref

Classe : Classe de Cinquième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 6 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

Les autres chapitres

Tout le programme