Addition et soustraction de nombres relatifs

Calculer des sommes et des différences de relatifs et simplifier une expression.

Mathématiques 5ème Chapitre 2 / 13 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Additionner et soustraire des relatifs sans erreur de signe
Simplifier une écriture avec parenthèses
Calculer une variation (écart de température, solde)

Un plongeur remonte de $12$ m, puis redescend de $5$ m : à quelle profondeur se trouve-t-il ? Un commerçant gagne $4\,500$ F CFA le matin et perd $1\,800$ F CFA l'après-midi : quel est son résultat de la journée ? Depuis la 6^e et le début de la 5^e, tu sais comparer et placer des nombres relatifs sur une droite graduée. Il est temps maintenant d'apprendre à calculer avec eux : les additionner, les soustraire, simplifier une écriture qui contient plusieurs signes.

La bonne nouvelle, c'est que tu connais déjà tout ce qu'il faut pour comprendre les règles : il suffit d'imaginer des déplacements sur une droite graduée (avancer, reculer) ou des jetons qui représentent des gains et des pertes. Chaque règle que tu vas apprendre a une image simple derrière elle — retiens l'image, et le calcul suivra tout seul.

Dans ce chapitre : la somme de deux relatifs et sa règle des signes, la soustraction (qui se ramène toujours à une addition), la façon de supprimer les parenthèses dans une écriture, le calcul organisé d'une somme algébrique, et enfin des problèmes de variation (température, altitude, solde) où tu utiliseras tout cela.

1Somme de deux relatifs : règle des signes

Définition — valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre relatif $a$ , notée $|a|$ , est sa distance à zéro sur une droite graduée. C'est toujours un nombre positif ou nul, et elle « oublie » le signe de $a$ .

$|+7| = 7 \qquad |-7| = 7 \qquad |0| = 0$

Grâce à la valeur absolue, on peut énoncer une règle unique pour additionner deux relatifs, selon qu'ils ont le même signe ou des signes différents.

Propriété — règle des signes de l'addition

Même signe : on additionne les valeurs absolues, et on garde le signe commun.
Signes différents : on soustrait la plus petite valeur absolue à la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.

1.1 Additionner deux relatifs de même signe

Méthode — additionner deux relatifs

1) Je regarde si les deux nombres ont le même signe ou des signes différents. 2) J'applique la règle correspondante sur les valeurs absolues. 3) Je n'oublie jamais d'écrire le signe du résultat.

Exemple — un commerce à Bamako

Un vendeur de tissus gagne $4\,500$ F CFA le matin, puis gagne encore $2\,300$ F CFA l'après-midi (deux gains : même signe).

$(+4\,500) + (+2\,300)$
$=$ $+(4\,500 + 2\,300)$ même signe : on additionne les valeurs absolues
$=$ $+6\,800$

Il a gagné en tout 6 800 F CFA.

Exemple — calculs directs

$(+4) + (+7) = +11$
$(-6) + (-9) = -15$ même signe (−) : $6+9=15$
$(-3{,}5) + (-2{,}8) = -6{,}3$

Figure 1 — Additionner un relatif, c'est avancer (s'il est positif) ou reculer (s'il est négatif) sur la droite graduée. En haut, deux avances s'additionnent. En bas, l'avance et le recul se compensent partiellement.

1.2 Additionner deux relatifs de signes différents

Exemple — signes différents

$(+8) + (-3)$
$=$ $+(8-3)$ signes différents, $|+8|>|-3|$ : on soustrait, on garde le signe de $8$
$=$ $+5$

$(-10) + (+4)$
$=$ $-(10-4)$ $|-10|>|+4|$ : on garde le signe de $-10$
$=$ $-6$

$(+5) + (-5) = 0$ deux nombres opposés : la somme est toujours nulle

Cas	Que faire ?	Exemple
Même signe	On additionne les valeurs absolues, on garde le signe commun	$(+4)+(+7)=+11$
Même signe (−)	Idem, résultat négatif	$(-6)+(-9)=-15$
Signes différents	On soustrait (grande valeur absolue − petite), on garde le signe du plus « fort »	$(+8)+(-3)=+5$
Nombres opposés	Le résultat vaut $0$	$(+5)+(-5)=0$

Attention

Avec des signes différents, on ne fait jamais $8+3=11$ ! On soustrait les valeurs absolues. L'erreur la plus fréquente en 5^e est d'additionner alors qu'il fallait soustraire (ou l'inverse). Demande-toi toujours d'abord : « même signe, ou signes différents ? »

Figure 2 — Modèle des jetons : chaque jeton « +1 » annule un jeton « −1 ». Ce qui reste donne le résultat, avec son signe.

Math & Co — Des bâtonnets rouges et noirs

C'est en Chine ancienne que les nombres négatifs apparaissent pour la première fois avec des règles de calcul claires. Le traité Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique (compilé vers $-200$ ) utilise des bâtonnets de calcul : les bâtonnets rouges représentent les quantités positives (les gains), les bâtonnets noirs les quantités négatives (les dettes). Le mathématicien Liu Hui, qui commente ce texte vers $263$ , explique précisément comment additionner ces bâtonnets de couleurs différentes — exactement la règle des signes que tu viens d'apprendre, plus de deux mille ans plus tard !

2Soustraire, c'est ajouter l'opposé

Définition — nombres opposés

Deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils ont la même valeur absolue mais des signes contraires. L'opposé de $a$ se note $-a$ .

$\text{opposé de } (+9) = -9 \qquad \text{opposé de } (-12) = +12 \qquad \text{opposé de } 0 = 0$

2.1 La règle de la soustraction

Règle — soustraire, c'est ajouter l'opposé

Pour tous nombres relatifs $a$ et $b$ :

$a - b = a + (-b)$

Soustraire un nombre revient à additionner son opposé. Grâce à cette règle, tu n'as plus qu'une seule opération à savoir faire : l'addition de deux relatifs.

Justification — pourquoi ça marche

Imagine une droite graduée. Ajouter $(+5)$ , c'est avancer de $5$ . Soustraire $(+5)$ , c'est reculer de $5$ — exactement le même mouvement que si l'on avançait de $(-5)$ , l'opposé de $5$ ! Reculer de $5$ ou avancer de $-5$ : c'est le même déplacement, on arrive au même point. C'est pour cela que $a - 5$ et $a + (-5)$ donnent toujours le même résultat.

Figure 3 — Reculer de

5

(soustraire

+5

) ou avancer de

-5

(ajouter l'opposé) : même point d'arrivée, même résultat.

2.2 Calculer une soustraction de relatifs

Exemple — on transforme puis on applique la règle des signes

$(+3) - (+8)$
$=$ $(+3) + (-8)$ soustraire $+8$ , c'est ajouter son opposé $-8$
$=$ $-5$

$(-6) - (-10)$
$=$ $(-6) + (+10)$ opposé de $-10$ est $+10$
$=$ $+4$

$(-7) - (+3)$
$=$ $(-7) + (-3)$
$=$ $-10$

Attention

Ne confonds pas le signe « − » d'une opération (soustraire) et le signe « − » collé à un nombre (un nombre négatif). Dans $(-6) - (-10)$ , le premier « − » est une opération, le second fait partie du nombre $-10$ . C'est pour cela qu'on écrit toujours les relatifs entre parenthèses tant que la règle n'est pas bien automatisée.

Math & Co — Des dettes qui se soustraient

En $1202$ , le mathématicien italien Léonard de Pise, surnommé Fibonacci, publie le Liber Abaci, un ouvrage qui introduit en Europe les chiffres et méthodes de calcul venus du monde arabo-musulman. Pour donner un sens concret aux nombres négatifs — encore mal acceptés à l'époque —, Fibonacci les interprète comme des dettes dans des problèmes de comptabilité marchande : gagner de l'argent, c'est additionner ; devoir de l'argent, c'est comme soustraire. C'est exactement l'idée que tu utilises aujourd'hui avec les gains et les pertes !

3Suppression des parenthèses

Maintenant que tu sais que soustraire, c'est ajouter l'opposé, tu peux simplifier n'importe quelle écriture avec parenthèses et retrouver une écriture plus courte, sans parenthèses : une somme algébrique.

Propriété — règles de suppression des parenthèses

$+(+a) = +a$ et $-(-a) = +a$ → deux signes identiques donnent $+$
$+(-a) = -a$ et $-(+a) = -a$ → deux signes différents donnent $-$

Écriture	Devient	Règle
$+(+a)$	$+a$	signes identiques → $+$
$+(-a)$	$-a$	signes différents → $-$
$-(+a)$	$-a$	signes différents → $-$
$-(-a)$	$+a$	signes identiques → $+$

Méthode — simplifier une écriture avec parenthèses

Je regarde chaque parenthèse l'une après l'autre : je combine le signe devant la parenthèse avec le signe du nombre à l'intérieur, en utilisant le tableau ci-dessus. J'obtiens alors une somme algébrique, sans aucune parenthèse.

Exemple — supprimer les parenthèses puis calculer

$A = (+7) - (-4) + (-9) - (+2)$
$=$ $7 + 4 - 9 - 2$ on supprime les parenthèses signe par signe
$=$ $11 - 9 - 2$ on regroupe les positifs $7+4$
$=$ $2 - 2$
$=$ $0$

$B = -(+6) + (-3) - (-11)$
$=$ $-6 - 3 + 11$
$=$ $-9 + 11$
$=$ $2$

Attention

Le tout premier terme d'une écriture, quand il n'a pas de parenthèse devant lui (par exemple $8 - (+2)$ ), garde simplement son signe : il n'y a pas de signe « devant » à combiner. Ne cherche une combinaison de signes que lorsqu'il y a vraiment deux signes côte à côte.

4Somme algébrique

4.1 Qu'est-ce qu'une somme algébrique ?

Définition

Une somme algébrique est une écriture de nombres relatifs reliés uniquement par des signes $+$ (une fois toutes les parenthèses supprimées). Chaque nombre, avec son signe, s'appelle un terme de la somme.

Par exemple, $-5 + 8 - 12 + 3$ est une somme algébrique de quatre termes : $-5$ , $+8$ , $-12$ et $+3$ .

Propriété — on peut réorganiser les termes

Dans une somme algébrique, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut : le résultat final ne change pas. C'est ce qui permet de calculer une somme algébrique de façon organisée, plutôt que terme après terme dans l'ordre où ils sont écrits.

4.2 Calculer une somme algébrique organisée

Méthode — calculer une somme algébrique

1) Je regroupe tous les termes positifs ensemble, et tous les termes négatifs ensemble. 2) Je calcule la somme des positifs, puis la somme des négatifs (deux additions de même signe, faciles). 3) Il ne reste plus qu'une addition de deux relatifs de signes différents à calculer.

Exemple — regrouper avant de calculer

$C = -5 + 8 - 12 + 3 - 7$
$=$ $(8+3) + (-5-12-7)$ on regroupe les positifs, puis les négatifs
$=$ $11 - 24$
$=$ $-13$

$D = 14 - 20 + 6 - 9 + 11$
$=$ $(14+6+11) - (20+9)$
$=$ $31 - 29$
$=$ $2$

$E = 3{,}4 - 7{,}8 + 2{,}6 - 1{,}2$
$=$ $(3{,}4+2{,}6) - (7{,}8+1{,}2)$
$=$ $6 - 9$
$=$ $-3$

Attention

En regroupant, garde toujours le signe collé à son nombre : dans $D$ , le terme est $-9$ (pas $9$ ) et il rejoint le groupe des négatifs. Une erreur de recopiage du signe est la faute la plus fréquente sur ce type de calcul — relis toujours ta ligne avant de passer à la suivante.

5Problèmes de variation

5.1 La variation d'une grandeur

Définition — variation

La variation d'une grandeur entre un état initial et un état final est le nombre relatif :

$\text{variation} = \text{valeur finale} - \text{valeur initiale}$

Si la variation est positive, la grandeur a augmenté. Si elle est négative, la grandeur a diminué.

Méthode — calculer une variation

1) Je repère la valeur initiale et la valeur finale. 2) Je calcule (valeur finale) $-$ (valeur initiale), en ajoutant l'opposé de la valeur initiale. 3) J'interprète le signe du résultat : hausse ou baisse, et de combien.

Exemple — température à Ndjamena

À $15$ h, le thermomètre affiche $38\ \text{°C}$ . À $23$ h, il affiche $21\ \text{°C}$ .

$\text{variation} = 21 - 38$
$=$ $21 + (-38)$
$=$ $-17$

La variation vaut $-17\ \text{°C}$ : la température a baissé de 17 °C entre 15 h et 23 h.

Figure 4 — Sur cette droite graduée verticale (un thermomètre), la variation

21-38=-17

se lit comme un déplacement vers le bas.

Exemple — solde d'un compte

Le solde d'un compte est de $-3\,200$ F CFA (découvert). Après un dépôt, il passe à $+5\,800$ F CFA.

$\text{variation} = 5\,800 - (-3\,200)$
$=$ $5\,800 + 3\,200$
$=$ $9\,000$

Le solde a augmenté de 9 000 F CFA.

5.2 Distance entre deux points d'une droite graduée

Définition — distance sur une droite graduée

Si $A$ a pour abscisse $a$ et $B$ a pour abscisse $b$ sur une droite graduée, la distance $AB$ est :

$AB = \text{le plus grand des deux nombres} - \text{le plus petit}$

La distance est toujours positive (ou nulle) : contrairement à la variation, elle n'a pas de sens de parcours.

Exemple — calculer une distance

$A$ a pour abscisse $-5$ et $B$ a pour abscisse $4$ . Comme $4 > -5$ :

$AB = 4 - (-5)$
$=$ $4 + 5$
$=$ $9$

Exemple — deux points négatifs

$P$ a pour abscisse $-8$ et $Q$ a pour abscisse $-3$ . Comme $-3 > -8$ :

$PQ = -3 - (-8)$
$=$ $-3 + 8$
$=$ $5$

Figure 5 — La distance

AB

se lit toujours dans le sens positif : on soustrait le plus petit nombre au plus grand.

Attention

Ne confonds pas variation et distance ! La variation « de $A$ vers $B$ » peut être négative ( $-5$ vers $4$ donne $+9$ , mais $4$ vers $-5$ donne $-9$ : ça dépend du sens). La distance $AB$ , elle, est toujours positive, quel que soit le sens dans lequel on la lit.

Math & Co — Des « racines fausses »

Même bien après les Chinois et Fibonacci, les nombres négatifs restent longtemps suspects en Europe. En $1637$ , dans La Géométrie, le philosophe et mathématicien français René Descartes appelle encore les solutions négatives d'une équation des « racines fausses » — il les calcule, mais ne leur fait pas pleinement confiance ! Il faudra attendre le $19^{\text{e}}$ siècle pour que les nombres relatifs soient acceptés sans réserve comme des nombres à part entière, aussi légitimes que les nombres positifs.

Fiche mémo

$|a|$ = distance de $a$ à $0$ : toujours positive ou nulle.
Même signe : on additionne les valeurs absolues, on garde le signe commun.
Signes différents : on soustrait (grande valeur absolue − petite), on garde le signe du plus « fort ».
Deux nombres opposés ont même valeur absolue, signes contraires ; leur somme vaut $0$ .
$a - b = a + (-b)$ : soustraire, c'est ajouter l'opposé.
$+(+a)=+a$ ; $+(-a)=-a$ ; $-(+a)=-a$ ; $-(-a)=+a$ .
Somme algébrique : écriture avec seulement des $+$ , après suppression des parenthèses.
On peut réorganiser librement les termes d'une somme algébrique (regrouper les $+$ , regrouper les $-$ ).
Variation = valeur finale $-$ valeur initiale (positive = hausse, négative = baisse).
Distance $AB$ = plus grand nombre $-$ plus petit nombre : toujours positive, sans sens de parcours.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Calcule (les deux nombres ont le même signe) : a) $(+7)+(+5)$ b) $(-8)+(-3)$ c) $(-12{,}5)+(-7{,}5)$ d) $(-6)+(-14)$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $(+7)+(+5) = +12$
b) $(-8)+(-3) = -11$
c) $(-12{,}5)+(-7{,}5) = -20$
d) $(-6)+(-14) = -20$

Calcule (les deux nombres ont des signes différents) : a) $(+9)+(-4)$ b) $(-7)+(+2)$ c) $(+3)+(-3)$ d) $(-15)+(+9)$ e) $(+4{,}5)+(-6{,}5)$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $(+9)+(-4) = +5$ $|+9|>|-4|$ : signe de $9$
b) $(-7)+(+2) = -5$
c) $(+3)+(-3) = 0$ nombres opposés
d) $(-15)+(+9) = -6$
e) $(+4{,}5)+(-6{,}5) = -2$

Donne l'opposé du second nombre, puis calcule : a) $(+6)-(+9)$ b) $(-4)-(-7)$ c) $(+5)-(-2)$ d) $(-3)-(+8)$ .

Voir le corrigé détaillé

a) opposé de $+9$ : $-9$ → $(+6)+(-9) = -3$
b) opposé de $-7$ : $+7$ → $(-4)+(+7) = +3$
c) opposé de $-2$ : $+2$ → $(+5)+(+2) = +7$
d) opposé de $+8$ : $-8$ → $(-3)+(-8) = -11$

Supprime les parenthèses, puis calcule : a) $(+7)-(-3)+(-5)$ b) $-(+4)+(-6)-(-9)$ c) $8-(+2)-(-5)+(-1)$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $(+7)-(-3)+(-5) = 7+3-5$
$=$ $5$

b) $-(+4)+(-6)-(-9) = -4-6+9$
$=$ $-1$

c) $8-(+2)-(-5)+(-1) = 8-2+5-1$
$=$ $10$

Calcule ces sommes algébriques en regroupant les positifs et les négatifs : a) $A=-5+8-3+2-6$ b) $B=12-20+7-4+9$ .

Voir le corrigé détaillé

$A = (8+2)-(5+3+6)$
$=$ $10-14$
$=$ $-4$

$B = (12+7+9)-(20+4)$
$=$ $28-24$
$=$ $4$

Niveau 2 — Approfondissement

Simplifie l'écriture puis calcule : $C = -\big[(-8)-(-3)\big] + (-5)$ .

Voir le corrigé détaillé

On commence par le contenu du crochet.

$(-8)-(-3) = -8+3 = -5$

Le crochet vaut donc $-5$ , et on lui applique le signe $-$ placé devant.

$C = -(-5) + (-5)$
$=$ $5 + (-5)$
$=$ $0$

Calcule la somme algébrique $D = -3{,}4 + 7{,}8 - 2{,}6 + 1{,}2 - 5$ .

Voir le corrigé détaillé

$D = (7{,}8+1{,}2)-(3{,}4+2{,}6+5)$
$=$ $9 - 11$
$=$ $-2$

Sur une droite graduée, on place $A(-7)$ et $B(5)$ . 1) Calcule la distance $AB$ . 2) Calcule la variation pour aller de $B$ vers $A$ .

Voir le corrigé détaillé

1) Comme $5 > -7$ :

$AB = 5-(-7)$
$=$ $5+7$
$=$ $12$

2) Aller de $B$ vers $A$ : on calcule (arrivée) $-$ (départ), donc $x_A - x_B$ .

$-7-5$
$=$ $-12$

La distance vaut $12$ (toujours positive), et la variation de $B$ vers $A$ vaut $-12$ (on recule de $12$ ).

Un plongeur se trouve à $-18$ m (18 m sous la surface). Il remonte de $11$ m, puis descend de $6$ m, puis remonte encore de $9$ m. 1) Calcule sa profondeur finale. 2) A-t-il fini plus haut ou plus bas que son point de départ, et de combien ?

Voir le corrigé détaillé

1) Remonter, c'est ajouter ; descendre, c'est soustraire.

$-18+11 = -7$
$-7-6 = -13$
$-13+9 = -4$

2) Variation totale :

$-4-(-18)$
$=$ $-4+18$
$=$ $14$

Le plongeur termine à $-4$ m, soit $14$ m plus haut qu'à son départ.

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. a) Pour tous relatifs $a$ et $b$ : $a-b = b-a$ . b) Pour tous relatifs $a$ et $b$ : $-(a+b) = (-a)+(-b)$ .

Voir le corrigé détaillé

a) Faux, en général. Contre-exemple : $5-3=2$ alors que $3-5=-2$ ; ces deux résultats sont opposés, pas égaux (sauf si $a=b$ , auquel cas les deux valent $0$ ).

b) Vrai. On supprime les parenthèses (signe $-$ devant, puis signe $+$ ) :

$-(a+b) = -a-b$
$=$ $(-a)+(-b)$

L'opposé d'une somme est bien la somme des opposés.

Niveau 3 — Défi

Trouve le nombre relatif manquant. 1° $x+(-8)=5$ . 2° $(-6)+y=-20$ . 3° $z-(-9)=-2$ .

Voir le corrigé détaillé

1° Pour isoler $x$ , on ajoute l'opposé de $-8$ de chaque côté, ce qui revient à écrire $x = 5-(-8)$ .

$x = 5-(-8)$
$=$ $5+8$
$=$ $13$

2° De même, $y = -20-(-6)$ .

$y = -20-(-6)$
$=$ $-20+6$
$=$ $-14$

3° Ici $z-(-9)=-2$ , donc $z+9=-2$ , donc $z = -2-9$ .

$z = -2-9$
$=$ $-11$

Vérification : $(-11)-(-9) = -11+9 = -2$ . ✓

Démontre que, pour tous nombres relatifs $a$ et $b$ : $-(a-b) = b-a$ .

Voir le corrigé détaillé

On part de $-(a-b)$ et on supprime les parenthèses en combinant le signe $-$ de devant avec chacun des deux signes intérieurs.

$-(a-b) = -a-(-b)$ on réécrit $a-b$ sous forme $a+(-b)$ avant de distribuer le signe
$=$ $-a+b$
$=$ $b-a$

D'où $-(a-b)=b-a$ pour tous relatifs $a$ et $b$ . Cela confirme que $a-b$ et $b-a$ sont toujours des nombres opposés.

Dans un jeu, on lance $5$ jetons. Chaque jeton retombe sur la face $+4$ ou sur la face $-3$ . Le score total obtenu est $-1$ . Combien de jetons sont tombés sur chaque face ?

Voir le corrigé détaillé

Notons $p$ le nombre de jetons $+4$ et $n$ le nombre de jetons $-3$ . Il y a $5$ jetons en tout, donc $n = 5-p$ . Le score s'écrit $4p - 3n = -1$ .

$4p - 3(5-p) = -1$
$=$ $4p - 15 + 3p = -1$
$=$ $7p - 15 = -1$
$=$ $7p = 14$
$\Rightarrow$ $p = 2$

Donc $n = 5-2 = 3$ . Vérification : $4\times 2 - 3\times 3 = 8-9=-1$ . ✓ Il y a 2 jetons « +4 » et 3 jetons « −3 ».

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le marché Sandaga (Dakar). Chaque jour, Awa note son résultat (gain ou perte) à son étal de fruits, en F CFA : lundi $+12\,500$ ; mardi $-3\,200$ ; mercredi $+8\,700$ ; jeudi $-15\,000$ ; vendredi $+21\,300$ . 1) Calcule le résultat total de la semaine. 2) Awa a-t-elle fait un bénéfice ou une perte ? De combien ?

Voir le corrigé détaillé

$\text{total} = (12\,500+8\,700+21\,300)-(3\,200+15\,000)$
$=$ $42\,500 - 18\,200$
$=$ $24\,300$

Le résultat total est $+24\,300$ F CFA : Awa a fait un bénéfice de 24 300 F CFA sur la semaine.

Une journée à Abéché (Tchad). À midi, le thermomètre indique $41\ \text{°C}$ . La température baisse de $14\ \text{°C}$ au coucher du soleil, puis baisse encore de $9\ \text{°C}$ durant la nuit. 1) Température au coucher du soleil ? 2) Température minimale de la nuit ? 3) Variation totale entre midi et la nuit ?

Voir le corrigé détaillé

$41 + (-14) = 27$

$27 + (-9) = 18$

$18 - 41$
$=$ $-23$

Il fait $27\ \text{°C}$ au coucher du soleil, $18\ \text{°C}$ la nuit, et la température a baissé de 23 °C au total entre midi et la nuit.

Mobile money à Bamako. Le compte de paiement mobile de Moussa affiche $-4\,500$ F CFA (découvert autorisé). Il reçoit un transfert de $+18\,000$ F CFA de son frère installé à Abidjan, puis règle son loyer, ce qui retire $12\,000$ F CFA, puis reçoit un remboursement de $+2\,500$ F CFA. 1) Calcule le nouveau solde, étape par étape. 2) Le compte est-il encore en découvert ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

$-4\,500 + 18\,000 = 13\,500$
$13\,500 - 12\,000 = 1\,500$
$1\,500 + 2\,500 = 4\,000$

Le solde final est $+4\,000$ F CFA. Comme ce nombre est positif, le compte n'est plus en découvert.

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8 questions

Nombres relatifs : calcul et repérage

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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La valeur absolue d'un nombre relatif, c'est :

sa distance à zéro sur une droite graduée son signe le nombre situé juste après lui sur la droite graduée toujours un nombre négatif

Explication : La valeur absolue de

a

, notée

|a|

, est la distance de

a

0

sur la droite graduée. Elle « oublie » le signe et elle est toujours positive ou nulle.

Combien vaut $|-9|$ ?

-9

9

0

18

Explication :

|-9|

est la distance entre

-9

0

, qui vaut

9

. La valeur absolue ne peut jamais être négative.

Quand deux nombres relatifs ont le même signe, pour les additionner on :

soustrait leurs valeurs absolues additionne leurs valeurs absolues et on met toujours un signe

+

additionne leurs valeurs absolues et on garde le signe commun garde seulement le plus grand des deux nombres

Explication : Même signe : on additionne les valeurs absolues, et on garde ce signe commun.
Exemple :

(-6)+(-9)

6+9=15

donc

(-6)+(-9) = -15

Quand deux nombres relatifs ont des signes différents, pour les additionner on :

additionne toujours les valeurs absolues garde le signe du premier nombre écrit additionne les valeurs absolues et on garde le signe du plus petit nombre soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue

Explication : C'est le piège le plus fréquent : avec des signes différents, on ne fait jamais une addition simple, on soustrait les valeurs absolues et on garde le signe du nombre « le plus fort ».

Deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils ont :

la même valeur absolue et le même signe la même valeur absolue mais des signes contraires des valeurs absolues différentes et le même signe une somme égale à

1

Explication : Deux nombres opposés sont à la même distance de

0

, mais de part et d'autre : par exemple

+9

-9

La somme de deux nombres opposés vaut toujours :

0

leur valeur absolue commune le double de l'un des deux

1

Explication : Deux nombres opposés se compensent exactement.
Exemple :

(+5)+(-5)

=0

Calcule : $(+4) + (+7)$ .

+3

-11

+11

+28

Explication : Même signe (+) : on additionne les valeurs absolues.

4+7=11

donc

(+4)+(+7) = +11

Calcule : $(-6) + (-9)$ .

+15

-3

-54

-15

Explication : Même signe (−) : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe

-

6+9=15

donc

(-6)+(-9) = -15

Un vendeur de fruits gagne $8\,000$ F CFA le matin, puis perd $3\,000$ F CFA l'après-midi. Quel est son résultat de la journée ?

+5\,000

F CFA

-11\,000

F CFA

+11\,000

F CFA

-5\,000

F CFA

Explication : Un gain, c'est

+8\,000

; une perte, c'est

-3\,000

. Signes différents : on soustrait les valeurs absolues.

8\,000 - 3\,000 = 5\,000

on garde le signe du plus grand (

+8\,000

), donc le résultat est

+5\,000

F CFA.

Calcule : $(-10) + (+4)$ .

+6

-14

-6

+14

Explication : Signes différents :

|-10| > |+4|

, on soustrait.

10-4=6

on garde le signe de

-10

, donc le résultat est

-6

Pour tous nombres relatifs $a$ et $b$ , on a toujours :

a - b = b - a

a - b = a + (-b)

a - b = a + b

a - b = -a - b

Explication : Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé :

a-b = a+(-b)

. C'est la règle qui permet de tout ramener à une addition.

Calcule : $(+3) - (+8)$ .

+11

+5

-11

-5

Explication : Soustraire

+8

, c'est ajouter son opposé

-8

(+3) - (+8) = (+3) + (-8)

signes différents :

8-3=5

on garde le signe de

-8

, donc le résultat est

-5

Calcule : $(-6) - (-10)$ .

-16

-4

+4

+16

Explication : L'opposé de

-10

est

+10

(-6) - (-10) = (-6) + (+10)

signes différents :

10-6=4

on garde le signe de

+10

, donc le résultat est

+4

Simplifie l'écriture $-(-6)$ .

+6

-6

-12

0

Explication : Deux signes

-

côte à côte donnent un

+

-(-a) = +a

. Donc

-(-6) = +6

Simplifie l'écriture $-(+5)$ .

+5

+10

-10

-5

Explication : Deux signes différents (

-

puis

+

) donnent un

-

-(+a) = -a

. Donc

-(+5) = -5

Calcule la somme algébrique $C = -5 + 8 - 12 + 3 - 7$ en regroupant les positifs et les négatifs.

+13

-13

-33

-3

Explication : On regroupe les positifs et les négatifs séparément.
positifs :

8+3=11

négatifs :

5+12+7=24

C = 11 - 24 = -13

La variation d'une grandeur entre un état initial et un état final est égale à :

valeur initiale

-

valeur finale valeur finale

+

valeur initiale valeur finale

-

valeur initiale le plus grand nombre moins le plus petit

Explication : Par définition, la variation se calcule toujours dans le sens « arrivée moins départ » : valeur finale

-

valeur initiale.

À 15 h, il fait $30\ \text{°C}$ . À 22 h, il fait $19\ \text{°C}$ . Quelle est la variation de température entre 15 h et 22 h ?

-11\ \text{°C}

+11\ \text{°C}

+49\ \text{°C}

-49\ \text{°C}

Explication : variation = valeur finale − valeur initiale.

19 - 30

= -11

La température a baissé de

11\ \text{°C}

Sur une droite graduée, $A$ a pour abscisse $-6$ et $B$ a pour abscisse $5$ . Quelle est la distance $AB$ ?

-11

1

-1

11

Explication : Comme

5 > -6

, on calcule le plus grand moins le plus petit.

AB = 5-(-6)

=5+6

=11

La distance est toujours positive.

Le solde d'un compte de mobile money est de $-2\,500$ F CFA. Après un dépôt, il passe à $+6\,000$ F CFA. Quelle est la variation du solde ?

3\,500

F CFA

8\,500

F CFA

-8\,500

F CFA

6\,000

F CFA

Explication : variation = valeur finale − valeur initiale.

6\,000 - (-2\,500)

= 6\,000 + 2\,500

= 8\,500

Le solde a augmenté de

8\,500

F CFA.

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En bref

Classe : Classe de Cinquième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 6 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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