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Statistiques : effectifs et fréquences

Organiser une série de données et la représenter.

Mathématiques 5ème Chapitre 7 / 13 ⏱ 5 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Construire un tableau d'effectifs et de fréquences
  • Choisir une représentation adaptée
  • Interpréter une enquête

Un sondage sur le sport préféré de la classe, un tableau de notes affiché au mur, un article de journal avec un joli graphique en camembert : partout autour de toi, des données sont recueillies, puis organisées pour être comprises d'un seul coup d'œil. C'est exactement le métier de la statistique.

Tu as sans doute déjà compté « combien d'élèves aiment le foot » ou « combien de 1515 sur 2020 dans la classe ». Ce chapitre te donne une méthode rigoureuse pour organiser n'importe quelle enquête : un tableau d'effectifs, des fréquences (en fraction, en nombre décimal, en pourcentage), un regroupement en classes quand il y a trop de valeurs différentes, et de vrais diagrammes — en bâtons, en pictogrammes, ou circulaires avec de vrais angles calculés.

Ces outils ne servent pas qu'en classe : journalistes, commerçants, médecins, ingénieurs les utilisent chaque jour, partout où il faut résumer une grande quantité d'informations en une image claire et honnête.

1Population, caractère, effectif

Définition

La population est l'ensemble des personnes ou des objets sur lesquels porte une étude statistique. Chaque élément de la population est un individu. Le caractère (ou variable statistique) est la question précise que l'on étudie chez chaque individu.

Exemple : dans la classe de 5e B de Bamako (2828 élèves), le professeur interroge chaque élève sur son moyen de transport pour venir à l'école. La population est l'ensemble des 2828 élèves de la classe ; un individu est un élève ; le caractère étudié est « le moyen de transport pour venir à l'école ».

1.1  Caractère qualitatif ou quantitatif

Propriété

Un caractère est qualitatif quand ses réponses ne sont pas des nombres (couleur, sport, moyen de transport…). Il est quantitatif quand ses réponses sont des nombres (taille, note, âge, nombre de frères et sœurs…).

Exemple — reconnaître le type de caractère
  • « Quelle est ta matière préférée ? » → réponses : Maths, Français, SVT… → caractère qualitatif.
  • « Combien de livres as-tu lus ce mois-ci ? » → réponses : 00, 11, 22, 33… → caractère quantitatif.
  • « Quelle est ta couleur préférée ? » → qualitatif. « Quelle est ta taille en cm ? » → quantitatif.

1.2  Valeurs, effectif et effectif total

Définition

Chaque réponse possible d'un caractère est une valeur (ou modalité). L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus de la population qui ont donné cette réponse. L'effectif total, noté NN, est le nombre total d'individus interrogés : c'est aussi la somme de tous les effectifs.

Exemple — moyen de transport (2828 élèves de Bamako)

Le professeur relève les réponses : 1212 élèves viennent à pied, 99 en bus, 55 à vélo, 22 en voiture. La valeur « à pied » a pour effectif 1212. Vérifions que l'on retrouve bien l'effectif total.

  1. N=12+9+5+2N = 12 + 9 + 5 + 2
  2. ==2828on retrouve bien les 2828 élèves de la classe
Attention

Ne confonds jamais la valeur (ce que répond l'individu, par exemple « à pied ») et l'effectif (le nombre d'individus qui ont donné cette réponse, par exemple 1212). Beaucoup d'erreurs viennent de ce mélange dans un tableau : un effectif est toujours un nombre d'individus, jamais une réponse.

Math & Co — Les débuts de la statistique

En 16621662, à Londres, le marchand John Graunt publie un livre étonnant : il a dépouillé, semaine après semaine, les registres des naissances et des décès de la ville pour en tirer de véritables tableaux d'effectifs. C'est l'un des tout premiers travaux de statistique de l'histoire : pour la première fois, on compte une population avec méthode plutôt qu'à l'estimation.

Le mot « statistique » lui-même vient du mot État : au XVIIIe siècle, l'économiste allemand Gottfried Achenwall (qui invente le mot en 17491749) désigne ainsi les chiffres que les gouvernements recueillent pour connaître leur population, leurs récoltes et leurs impôts.

2Tableau d'effectifs

Une enquête donne d'abord une liste brute de réponses, dans le désordre. Pour pouvoir l'étudier, on l'organise dans un tableau d'effectifs : une ligne (ou colonne) pour les valeurs, une ligne pour les effectifs correspondants.

2.1  Construire un tableau d'effectifs

Méthode — construire un tableau d'effectifs
  1. On liste toutes les valeurs possibles du caractère, une seule fois chacune.
  2. On dépouille les réponses une par une : à chaque réponse, on ajoute un petit bâton « | » sur la ligne de la bonne valeur (on barre souvent le 5e5^{\text{e}} bâton pour former des paquets de 55, plus faciles à compter).
  3. On compte les bâtons de chaque ligne : c'est l'effectif de la valeur.
  4. On vérifie que la somme de tous les effectifs est bien égale à l'effectif total NN (le nombre de personnes interrogées).
Exemple — sport préféré des 2020 élèves d'un collège de N'Djamena

Voici, dans l'ordre où elles ont été recueillies, les réponses des 2020 élèves interrogés :

Football, Basket, Football, Natation, Athlétisme, Basket, Football, Natation, Basket, Football, Athlétisme, Basket, Football, Natation, Basket, Football, Natation, Basket, Football, Football.

En dépouillant ces 2020 réponses (un bâton par élève, sur la ligne de son sport), on obtient le tableau d'effectifs suivant :

Sport préféréFootballBasketNatationAthlétismeTotal
Effectif864220

On vérifie l'effectif total :

  1. N=8+6+4+2N = 8 + 6 + 4 + 2
  2. ==2020on retrouve bien les 2020 élèves interrogés

Ce tableau du sport préféré va nous accompagner tout au long du chapitre : nous y reviendrons pour calculer des fréquences, puis pour construire un diagramme en bâtons, un pictogramme et un diagramme circulaire.

2.2  Lire et interpréter un tableau

Un tableau d'effectifs bien construit permet de répondre très vite à des questions, sans revenir à la liste brute des réponses.

Exemple — questions sur le tableau des sports
  • Quel est le sport le plus populaire ? C'est celui dont l'effectif est le plus grand : le football, avec 88 élèves.
  • Quel est le sport le moins populaire ? L'athlétisme, avec 22 élèves.
  • Combien d'élèves pratiquent un sport avec ballon (football ou basket) ?
  1. 8+68 + 6
  2. ==1414 élèveson additionne les effectifs des deux valeurs concernées
Attention

Pour additionner des effectifs de plusieurs valeurs (« football ou basket »), il faut qu'ils viennent du même tableau, avec le même effectif total NN. On ne mélange jamais les effectifs de deux enquêtes différentes sans y réfléchir : 1515 élèves qui aiment le foot dans une classe de 2020, ce n'est pas la même chose que 1515 élèves qui aiment le foot dans une classe de 4040 — nous verrons pourquoi dans la section suivante, avec les fréquences.

3Fréquences et pourcentages

Un effectif seul (« 1515 élèves aiment le foot ») ne dit pas tout : 1515 élèves sur 2020, ce n'est pas la même proportion que 1515 élèves sur 4040. Pour comparer des populations, on utilise la fréquence, qui mesure une proportion et non un nombre brut.

3.1  Calculer une fréquence

Définition

La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total NN :

f=effectif de la valeurNf = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{N}

Une fréquence peut s'écrire sous trois formes : en fraction, en nombre décimal, ou en pourcentage (en multipliant le nombre décimal par 100100).

Méthode — calculer une fréquence en pourcentage
  1. On écrit la fréquence sous forme de fraction : effectifN\dfrac{\text{effectif}}{N}.
  2. On la simplifie si possible.
  3. On la convertit en nombre décimal (division).
  4. On multiplie par 100100 pour obtenir le pourcentage.
Exemple — fréquences du sport préféré (N=20N = 20)

Reprenons le tableau des 2020 élèves. Calculons en détail la fréquence du football, dont l'effectif est 88.

  1. ffootball=820f_{\text{football}} = \dfrac{8}{20}
  2. ==25\dfrac{2}{5}on simplifie en divisant par 44
  3. ==0,40{,}4forme décimale
  4. ==40%40\%on multiplie le décimal par 100100

En procédant de même pour les autres sports, on complète le tableau :

SportFootballBasketNatationAthlétismeTotal
Effectif864220
Fréquence (décimal)0,40,30,20,11
Fréquence (%)40 %30 %20 %10 %100 %
Propriété

La somme de toutes les fréquences d'un tableau vaut toujours 11, soit 100%100\%.

Démonstration

Notons e1,e2,…,eke_1, e_2, \ldots, e_k les effectifs des valeurs d'un tableau, et NN l'effectif total, de sorte que N=e1+e2+⋯+ekN = e_1 + e_2 + \cdots + e_k. La fréquence de la valeur numéro ii est fi=eiNf_i = \dfrac{e_i}{N}.

  1. f1+f2+⋯+fk=e1N+e2N+⋯+ekNf_1 + f_2 + \cdots + f_k = \dfrac{e_1}{N} + \dfrac{e_2}{N} + \cdots + \dfrac{e_k}{N}
  2. ==e1+e2+⋯+ekN\dfrac{e_1 + e_2 + \cdots + e_k}{N}même dénominateur NN
  3. ==NN\dfrac{N}{N}par définition de NN
  4. ==11

C'est pour cela qu'un dernier calcul de fréquence sert toujours de vérification : si le total n'est pas 11 (ou 100%100\%), il y a une erreur quelque part.

3.2  Comparer des populations grâce aux fréquences

Les fréquences permettent de comparer équitablement deux populations qui n'ont pas le même effectif total — ce que les effectifs seuls ne permettent jamais de faire.

Exemple — deux classes, deux effectifs totaux différents

Dans la classe A de Bamako (2828 élèves), 1212 élèves préfèrent le football. Dans la classe B d'Abidjan (4040 élèves), 1515 élèves préfèrent le football. Où le football est-il, en proportion, le plus populaire ?

  1. Classe A : fA=1228=37f_A = \dfrac{12}{28} = \dfrac{3}{7}
  2. ≈\approx0,42860{,}4286division approchée
  3. ≈\approx42,9%42{,}9\%
  4. Classe B : fB=1540=38f_B = \dfrac{15}{40} = \dfrac{3}{8}
  5. ==0,3750{,}375
  6. ==37,5%37{,}5\%

Bien que 15>1215 > 12 en effectif, la classe A a une fréquence de football-fans plus grande (42,9%42,9\% contre 37,5%37,5\%). C'est donc en classe A, proportionnellement, que le football est le plus populaire.

Attention

On ne compare jamais directement deux effectifs venant de populations de tailles différentes. Il faut toujours passer par les fréquences pour comparer équitablement.

4Regroupement en classes

Quand un caractère quantitatif prend beaucoup de valeurs différentes (des notes de 00 à 2020, des tailles en cm…), un tableau avec une ligne par valeur devient illisible : trop de lignes, souvent avec un effectif de 11 chacune. On regroupe alors les valeurs en classes.

Définition

Une classe est un intervalle de valeurs, noté [a ;b[[a\,;b[ (aa inclus, bb exclu). Sa amplitude est la largeur de l'intervalle : b−ab - a. L'effectif de la classe est le nombre d'individus dont la valeur appartient à cet intervalle.

Attention aux bornes

Par convention, la borne inférieure d'une classe est incluse et la borne supérieure est exclue : une valeur de 1010 appartient à [10 ;15[[10\,;15[, pas à [5 ;10[[5\,;10[. Exception : la toute dernière classe est fermée des deux côtés (par exemple [15 ;20][15\,;20]), afin que la valeur maximale possible ait bien une classe.

4.1  Construire un tableau de classes

Méthode — regrouper des données en classes
  1. On choisit une amplitude adaptée (la même pour toutes les classes), en fonction de l'étendue des valeurs.
  2. On liste des classes consécutives de cette amplitude, qui couvrent toutes les valeurs possibles.
  3. On compte, pour chaque classe, combien de valeurs y appartiennent (attention aux bornes !).
  4. On vérifie que la somme des effectifs de classes est bien égale à l'effectif total NN.
Exemple — notes sur 2020 de 2424 élèves d'Abéché

Voici les notes obtenues par les 2424 élèves d'une classe de 5e à un devoir de mathématiques :

88, 1212, 1515, 66, 1111, 1414, 99, 1717, 1313, 1010, 77, 1616, 1212, 55, 1818, 1111, 99, 1313, 1515, 44, 1212, 1010, 1414, 33.

On choisit une amplitude de 55, ce qui donne 44 classes : [0 ;5[[0\,;5[, [5 ;10[[5\,;10[, [10 ;15[[10\,;15[, et la dernière classe fermée [15 ;20][15\,;20]. On compte les notes qui tombent dans chaque classe :

Notes (classe)[0 ;5[[0\,;5[[5 ;10[[5\,;10[[10 ;15[[10\,;15[[15 ;20][15\,;20]Total
Effectif2611524

Vérification de l'effectif total :

  1. N=2+6+11+5N = 2 + 6 + 11 + 5
  2. ==2424on retrouve bien les 2424 élèves

4.2  La classe modale

Définition

La classe modale est la classe qui a le plus grand effectif : celle où il y a le plus d'individus.

Dans l'exemple précédent, la classe modale est [10 ;15[[10\,;15[, avec un effectif de 1111 : c'est dans cette tranche de notes que se trouve le plus grand nombre d'élèves. On peut aussi calculer sa fréquence, comme pour n'importe quelle valeur d'un tableau :

  1. f=1124f = \dfrac{11}{24}
  2. ≈\approx0,4580{,}458
  3. ≈\approx45,8%45{,}8\%presque un élève sur deux

5Diagrammes en bâtons et circulaires

Un tableau donne les nombres exacts, mais un diagramme permet de les voir et de les comparer d'un seul coup d'œil. Reprenons une dernière fois le tableau du sport préféré des 2020 élèves, pour construire trois représentations différentes.

5.1  Le diagramme en bâtons

Définition

Un diagramme en bâtons représente chaque valeur par un bâton (un rectangle étroit) partant de l'axe horizontal. La hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif de la valeur qu'il représente.

Méthode — construire un diagramme en bâtons
  1. On trace un axe horizontal, avec une graduation régulière pour chaque valeur.
  2. On trace un axe vertical gradué, en choisissant une échelle adaptée au plus grand effectif.
  3. On dessine, pour chaque valeur, un bâton de la bonne hauteur.
  4. On indique l'effectif au-dessus de chaque bâton, pour une lecture immédiate.
Sport préféré des 20 élèves — diagramme en bâtons Effectif 2 4 6 8 0 8 6 4 2 Football Basket Natation Athlétisme
Figure 1 — Diagramme en bâtons du sport préféré des 2020 élèves : la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif.
Attention

L'axe des effectifs doit toujours commencer à 00. Un axe « coupé » (qui commence par exemple à 55) exagère visuellement les différences entre les bâtons : c'est un classique des graphiques trompeurs dans les journaux.

5.2  Le pictogramme

Définition

Un pictogramme représente chaque valeur par une rangée de symboles identiques (un ballon, une silhouette, une icône…). Chaque symbole représente un même nombre d'individus, précisé dans une légende. Si un effectif n'est pas un multiple exact de cette échelle, on dessine un symbole partiel (une moitié de symbole, par exemple).

Sport préféré — pictogramme (1 symbole = 2 élèves) Football 8 élèves Basket 6 élèves Natation 4 élèves Athlétisme 2 élèves = 2 élèves
Figure 2 — Pictogramme du sport préféré : chaque symbole représente 22 élèves.
Attention — le piège du pictogramme

Il ne faut jamais agrandir un symbole dans les deux sens (largeur et hauteur) pour représenter un effectif plus grand : sa surface serait alors multipliée par bien plus que l'effectif réel, ce qui trompe l'œil. La bonne méthode est toujours de répéter le même symbole, jamais de l'agrandir.

5.3  Le diagramme circulaire (calcul des angles)

Définition

Un diagramme circulaire (ou « camembert ») représente chaque valeur par un secteur d'un disque. L'angle de chaque secteur au centre est proportionnel à l'effectif de la valeur : le disque entier, qui correspond à l'effectif total NN, mesure 360°360°.

Propriété — calcul de l'angle

angle=f×360°=effectifN×360°\text{angle} = f \times 360° = \dfrac{\text{effectif}}{N} \times 360°

La somme de tous les angles d'un diagramme circulaire vaut toujours 360°360°, tout comme la somme des fréquences vaut toujours 11.

Méthode — construire un diagramme circulaire
  1. On calcule la fréquence de chaque valeur (ou on la connaît déjà).
  2. On multiplie chaque fréquence par 360°360° pour obtenir l'angle du secteur.
  3. On vérifie que la somme des angles fait bien 360°360°.
  4. On trace les secteurs au rapporteur, en partant d'un même point du cercle.
Exemple — angles du diagramme circulaire du sport préféré

On reprend les fréquences déjà calculées (N=20N = 20) et on multiplie chacune par 360°360°.

  1. Football : 0,4×360°0{,}4 \times 360°
  2. ==144°144°
  3. Basket : 0,3×360°0{,}3 \times 360°
  4. ==108°108°
  5. Natation : 0,2×360°0{,}2 \times 360°
  6. ==72°72°
  7. Athlétisme : 0,1×360°0{,}1 \times 360°
  8. ==36°36°
  9. Vérification : 144+108+72+36144 + 108 + 72 + 36
  10. ==360°360°on retrouve bien le disque entier
Sport préféré — diagramme circulaire (N = 20) 40 % 30 % 20 % 10 % Football — 8 élèves (40 %, soit 144°) Basket — 6 élèves (30 %, soit 108°) Natation — 4 élèves (20 %, soit 72°) Athlétisme — 2 élèves (10 %, soit 36°)
Figure 3 — Diagramme circulaire du sport préféré : l'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif (angle = fréquence × 360°\times\, 360°).

5.4  Choisir une représentation, lire avec esprit critique

Il n'existe pas « un seul bon » diagramme : le choix dépend du caractère étudié et du message à transmettre.

  • Le diagramme en bâtons est idéal pour comparer précisément des effectifs entre eux.
  • Le pictogramme est agréable à lire et parlant pour un public non spécialiste, mais moins précis.
  • Le diagramme circulaire montre bien comment un tout (l'effectif total) se répartit en parts : il est adapté quand on veut insister sur des proportions plutôt que sur des nombres bruts.
Attention — lecture critique d'un graphique

Avant de faire confiance à un graphique, vérifie toujours : l'axe des effectifs commence-t-il à 00 ? Les symboles d'un pictogramme sont-ils bien répétés, et non agrandis ? Les angles d'un diagramme circulaire sont-ils cohérents avec les effectifs annoncés (la somme fait-elle 360°360°) ? Un graphique mal construit peut donner une impression totalement fausse, même avec des chiffres exacts en dessous.

Fiche mémo

  • Population = ensemble étudié ; individu = un élément ; caractère = ce qu'on observe (qualitatif ou quantitatif) ; valeur = une réponse possible.
  • Effectif d'une valeur = son nombre d'individus ; effectif total NN = somme de tous les effectifs.
  • Fréquence : f=effectifNf = \dfrac{\text{effectif}}{N}, en fraction, en décimal, ou en %\% (×100\times 100).
  • La somme des fréquences vaut toujours 11, soit 100%100\%.
  • Pour comparer deux populations de tailles différentes : toujours utiliser les fréquences, jamais les effectifs bruts.
  • Classe = intervalle [a ;b[[a\,;b[ ; amplitude =b−a= b - a ; la dernière classe est fermée [a ;b][a\,;b].
  • Classe modale = la classe qui a le plus grand effectif.
  • Diagramme en bâtons : hauteur ∝\propto effectif, axe des effectifs toujours à partir de 00.
  • Pictogramme : un symbole = kk individus ; on répète le symbole, on ne l'agrandit jamais.
  • Diagramme circulaire : angle=f×360°\text{angle} = f \times 360° ; la somme des angles vaut toujours 360°360°.
  • Trois vérifications systématiques : somme des effectifs =N= N ; somme des fréquences =100%= 100\% ; somme des angles =360°= 360°.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Pour chaque caractère étudié, précise s'il est qualitatif ou quantitatif : a) la couleur des yeux ; b) la taille en cm ; c) le sport pratiqué ; d) le nombre de frères et sœurs ; e) la matière préférée ; f) la note obtenue à un devoir.

Voir le corrigé détaillé

a) Qualitatif (une couleur n'est pas un nombre). b) Quantitatif (un nombre de cm). c) Qualitatif (un nom de sport). d) Quantitatif (un nombre d'enfants). e) Qualitatif (un nom de matière). f) Quantitatif (une note est un nombre).

2

Voici le fruit préféré de 1515 élèves de Douala : Mangue, Banane, Mangue, Orange, Mangue, Banane, Mangue, Orange, Banane, Mangue, Banane, Mangue, Orange, Banane, Mangue. Construis le tableau d'effectifs de cette enquête.

Voir le corrigé détaillé

En dépouillant les 1515 réponses :

FruitMangueBananeOrangeTotal
Effectif75315
  1. N=7+5+3N = 7 + 5 + 3
  2. ==1515on retrouve bien les 1515 élèves
3

Dans une classe de 2525 élèves, la couleur préférée se répartit ainsi : Bleu 1010, Rouge 88, Vert 55, Jaune 22. Calcule la fréquence de chaque couleur, en pourcentage.

Voir le corrigé détaillé
  1. Bleu : 1025=0,4\dfrac{10}{25} = 0{,}4
  2. ==40%40\%
  3. Rouge : 825=0,32\dfrac{8}{25} = 0{,}32
  4. ==32%32\%
  5. Vert : 525=0,2\dfrac{5}{25} = 0{,}2
  6. ==20%20\%
  7. Jaune : 225=0,08\dfrac{2}{25} = 0{,}08
  8. ==8%8\%
  9. Vérification : 40+32+20+840 + 32 + 20 + 8
  10. ==100%100\%
4

Voici les tailles (en cm) de 2020 élèves de Douala : 145145, 152152, 148148, 161161, 158158, 167167, 143143, 155155, 172172, 149149, 163163, 151151, 146146, 159159, 168168, 154154, 171171, 147147, 162162, 156156. Regroupe ces tailles en classes d'amplitude 1010 cm, en commençant à 140140.

Voir le corrigé détaillé

Les classes sont [140 ;150[[140\,;150[, [150 ;160[[150\,;160[, [160 ;170[[160\,;170[ et [170 ;180][170\,;180] (dernière classe fermée).

Taille (cm)[140 ;150[[140\,;150[[150 ;160[[150\,;160[[160 ;170[[160\,;170[[170 ;180][170\,;180]Total
Effectif675220

Vérification : 6+7+5+2=206 + 7 + 5 + 2 = 20, on retrouve bien les 2020 élèves.

5

Un sondage sur l'animal préféré de 1818 élèves donne : Chien 99, Chat 66, Autre 33. Calcule l'angle du secteur circulaire de chaque réponse, et vérifie que la somme fait 360°360°.

Voir le corrigé détaillé
  1. Chien : 918×360°\dfrac{9}{18} \times 360°
  2. ==0,5×360°0{,}5 \times 360°
  3. ==180°180°
  4. Chat : 618×360°\dfrac{6}{18} \times 360°
  5. ==120°120°
  6. Autre : 318×360°\dfrac{3}{18} \times 360°
  7. ==60°60°
  8. Vérification : 180+120+60180 + 120 + 60
  9. ==360°360°
6

À Yaoundé, l'activité extrascolaire de 3030 élèves se répartit ainsi : Musique 66, Danse 55, Théâtre 44, Sport 1010, Rien 55. a) Vérifie l'effectif total. b) Quelle est l'activité la plus choisie ? c) Combien d'élèves font musique ou danse ? d) Quelle est la fréquence du sport, en pourcentage ?

Voir le corrigé détaillé

a) 6+5+4+10+5=306+5+4+10+5 = 30 : effectif total vérifié. b) Le sport (effectif 1010) est l'activité la plus choisie. c) Musique + danse =6+5=11= 6 + 5 = 11 élèves.

  1. fsport=1030f_{\text{sport}} = \dfrac{10}{30}
  2. ==13\dfrac{1}{3}
  3. ≈\approx33,3%33{,}3\%
Niveau 2 — Approfondissement
7

À Abidjan, on interroge 2424 élèves sur leur moyen de transport pour venir au collège. Voici les réponses : Pied, Bus, Taxi, Pied, Bus, Vélo, Pied, Taxi, Bus, Pied, Bus, Pied, Taxi, Bus, Pied, Bus, Pied, Taxi, Vélo, Pied, Bus, Pied, Bus, Pied. 1) Construis le tableau d'effectifs. 2) Calcule la fréquence de chaque valeur, en pourcentage. 3) Quelle fraction des élèves utilise un moyen de transport motorisé (bus ou taxi) ?

Voir le corrigé détaillé

1.

TransportPiedBusTaxiVéloTotal
Effectif1084224

2.

  1. Pied : 1024=512≈0,417\dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}417
  2. ≈\approx41,7%41{,}7\%
  3. Bus : 824=13≈0,333\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333
  4. ≈\approx33,3%33{,}3\%
  5. Taxi : 424=16≈0,167\dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167
  6. ≈\approx16,7%16{,}7\%
  7. Vélo : 224=112≈0,083\dfrac{2}{24} = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}083
  8. ≈\approx8,3%8{,}3\%

3. Motorisé = bus + taxi =8+4=12= 8 + 4 = 12 élèves.

  1. 1224\dfrac{12}{24}
  2. ==12\dfrac{1}{2}soit la moitié des élèves
8

Dans une chorale de Bamako, 1818 élèves apprennent un instrument : Guitare 77, Piano 55, Tam-tam 44, Kora 22. 1) Construis le diagramme en bâtons correspondant. 2) Quelle fraction des élèves apprend un instrument à cordes (guitare ou kora) ?

Voir le corrigé détaillé
Instrument appris — diagramme en bâtons 2 4 6 0 7 5 4 2 Guitare Piano Tam-tam Kora
Figure 4 — Diagramme en bâtons des instruments appris dans la chorale de Bamako.

2. Instruments à cordes = guitare + kora =7+2=9= 7 + 2 = 9.

  1. 918\dfrac{9}{18}
  2. ==12\dfrac{1}{2}la moitié de la chorale
9

Voici le temps de trajet (en minutes) de 2020 élèves pour venir au collège : 55, 1212, 88, 2222, 1515, 3131, 77, 1818, 2525, 99, 1414, 2828, 66, 1919, 3333, 1111, 1717, 2424, 1010, 1616. 1) Regroupe ces temps en classes d'amplitude 1010 minutes, à partir de 00. 2) Calcule la fréquence de chaque classe, en pourcentage. 3) Donne la classe modale.

Voir le corrigé détaillé

1.

Temps (min)[0 ;10[[0\,;10[[10 ;20[[10\,;20[[20 ;30[[20\,;30[[30 ;40][30\,;40]Total
Effectif594220

2.

  1. [0 ;10[[0\,;10[ : 520=0,25\dfrac{5}{20} = 0{,}25
  2. ==25%25\%
  3. [10 ;20[[10\,;20[ : 920=0,45\dfrac{9}{20} = 0{,}45
  4. ==45%45\%
  5. [20 ;30[[20\,;30[ : 420=0,2\dfrac{4}{20} = 0{,}2
  6. ==20%20\%
  7. [30 ;40][30\,;40] : 220=0,1\dfrac{2}{20} = 0{,}1
  8. ==10%10\%

3. La classe modale est [10 ;20[[10\,;20[, avec un effectif de 99 (soit 45%45\%).

10

Le moyen de communication préféré de 1515 élèves donne : Téléphone 99, Ordinateur 44, Tablette 22. 1) Calcule la fréquence de chaque valeur, en pourcentage. 2) Calcule l'angle du secteur circulaire de chaque valeur, sans tracer le diagramme. 3) Vérifie que la somme des angles vaut 360°360°.

Voir le corrigé détaillé
  1. Téléphone : 915=0,6=60%\dfrac{9}{15} = 0{,}6 = 60\%
  2. ⇒\Rightarrowangle =0,6×360°=216°= 0{,}6 \times 360° = 216°
  3. Ordinateur : 415≈0,267≈26,7%\dfrac{4}{15} \approx 0{,}267 \approx 26{,}7\%
  4. ⇒\Rightarrowangle ≈0,267×360°≈96°\approx 0{,}267 \times 360° \approx 96°
  5. Tablette : 215≈0,133≈13,3%\dfrac{2}{15} \approx 0{,}133 \approx 13{,}3\%
  6. ⇒\Rightarrowangle ≈0,133×360°≈48°\approx 0{,}133 \times 360° \approx 48°
  7. Vérification : 216+96+48216 + 96 + 48
  8. ==360°360°
Niveau 3 — Défi
11

Dans un diagramme circulaire sur le sport préféré, le secteur « Football » mesure 90°90° et correspond à 2121 élèves. 1) Quel est l'effectif total NN de l'enquête ? 2) Un autre secteur mesure 60°60° : quel est son effectif ?

Voir le corrigé détaillé

1. La fréquence du football correspond à son angle sur 360°360°.

  1. ffootball=90°360°f_{\text{football}} = \dfrac{90°}{360°}
  2. ==0,250{,}25soit 25%25\%
  3. Or ffootball=21Nf_{\text{football}} = \dfrac{21}{N}, donc 0,25=21N0{,}25 = \dfrac{21}{N}
  4. ⇒\RightarrowN=210,25N = \dfrac{21}{0{,}25}
  5. ==8484

2.

  1. f=60°360°f = \dfrac{60°}{360°}
  2. ==16\dfrac{1}{6}
  3. effectif =84×16= 84 \times \dfrac{1}{6}
  4. ==1414
12

Un magazine publie un diagramme en bâtons comparant les ventes de deux téléphones, mais l'axe des effectifs commence à 4040 au lieu de 00 : téléphone A vendu à 5252 unités (bâton très haut), téléphone B à 4848 unités (bâton très bas), donnant l'impression que A se vend « presque deux fois plus » que B. 1) Calcule la fréquence réelle de chaque téléphone parmi les ventes totales. 2) Explique pourquoi ce graphique donne une fausse impression. 3) Comment faudrait-il tracer l'axe des effectifs ?

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1. Total des ventes =52+48=100= 52 + 48 = 100.

  1. fA=52100=52%f_A = \dfrac{52}{100} = 52\%
  2. fB=48100=48%f_B = \dfrac{48}{100} = 48\%

2. En réalité, la différence entre les deux téléphones n'est que de 44 points de pourcentage (52%52\% contre 48%48\%), presque un partage égal. En coupant l'axe à 4040, le magazine agrandit visuellement une toute petite différence : le bâton de A paraît deux fois plus haut que celui de B, alors que les ventes réelles sont presque identiques.

3. L'axe des effectifs doit toujours commencer à 00, pour que la hauteur des bâtons reste bien proportionnelle aux effectifs réels.

13

Deux collèges organisent le même sondage sur la matière préférée « Mathématiques ». Collège 1 (Lomé) : 4545 élèves sur 150150 interrogés préfèrent les maths. Collège 2 (Kara) : 108108 élèves sur 400400 interrogés préfèrent les maths. 1) Calcule la fréquence des maths dans chaque collège, en pourcentage. 2) Dans lequel des deux collèges les maths sont-elles, proportionnellement, les plus appréciées ? 3) Si le collège 2 avait interrogé 500500 élèves avec la même fréquence qu'à la question 1, combien auraient répondu « Maths » ?

Voir le corrigé détaillé

1.

  1. Collège 1 : f1=45150f_1 = \dfrac{45}{150}
  2. ==0,3=30%0{,}3 = 30\%
  3. Collège 2 : f2=108400f_2 = \dfrac{108}{400}
  4. ==0,27=27%0{,}27 = 27\%

2. 30%>27%30\% > 27\% : c'est au collège 1 (Lomé) que les maths sont, proportionnellement, les plus appréciées, malgré un effectif brut de fans plus petit (45<10845 < 108).

3.

  1. 500×0,27500 \times 0{,}27
  2. ==135135 élèves
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Le budget de la famille Ndiaye (Dakar). Le budget mensuel de 120 000120\,000 F CFA se répartit ainsi : Loyer 42 00042\,000 F CFA, Nourriture 36 00036\,000 F CFA, Transport 18 00018\,000 F CFA, Autres dépenses 24 00024\,000 F CFA. 1) Calcule la fréquence de chaque poste, en pourcentage. 2) Calcule l'angle du secteur circulaire de chaque poste, et vérifie que la somme fait 360°360°. 3) Le mois suivant, le loyer augmente de 6 0006\,000 F CFA (le reste ne change pas) : donne le nouveau budget total et la nouvelle fréquence du loyer, arrondie à 0,1%0{,}1\% près.

Voir le corrigé détaillé

1.

  1. Loyer : 42 000120 000=0,35=35%\dfrac{42\,000}{120\,000} = 0{,}35 = 35\%
  2. Nourriture : 36 000120 000=0,30=30%\dfrac{36\,000}{120\,000} = 0{,}30 = 30\%
  3. Transport : 18 000120 000=0,15=15%\dfrac{18\,000}{120\,000} = 0{,}15 = 15\%
  4. Autres : 24 000120 000=0,20=20%\dfrac{24\,000}{120\,000} = 0{,}20 = 20\%

2.

  1. Loyer : 0,35×360°=126°0{,}35 \times 360° = 126°
  2. Nourriture : 0,30×360°=108°0{,}30 \times 360° = 108°
  3. Transport : 0,15×360°=54°0{,}15 \times 360° = 54°
  4. Autres : 0,20×360°=72°0{,}20 \times 360° = 72°
  5. Somme : 126+108+54+72126 + 108 + 54 + 72
  6. ==360°360°
Budget mensuel de la famille Ndiaye — 120 000 F CFA 35 % 30 % 15 % 20 % Loyer — 42 000 F CFA (35 %, 126°) Nourriture — 36 000 F CFA (30 %, 108°) Transport — 18 000 F CFA (15 %, 54°) Autres — 24 000 F CFA (20 %, 72°)
Figure 5 — Répartition du budget mensuel de la famille Ndiaye, à Dakar : l'angle de chaque secteur est proportionnel à la dépense.

3.

  1. nouveau loyer =42 000+6 000=48 000= 42\,000 + 6\,000 = 48\,000 F CFA
  2. nouveau total =120 000+6 000=126 000= 120\,000 + 6\,000 = 126\,000 F CFA
  3. floyer=48 000126 000=821f_{\text{loyer}} = \dfrac{48\,000}{126\,000} = \dfrac{8}{21}
  4. ≈\approx0,38100{,}3810
  5. ≈\approx38,1%38{,}1\%
15

Le marché de Ndjamena. Un vendeur note le nombre de fruits vendus en une journée : Mangues 4545, Bananes 3030, Oranges 2020, Papayes 55. 1) Calcule l'effectif total de fruits vendus. 2) Calcule la fréquence de chaque fruit, en pourcentage. 3) Sachant qu'une mangue coûte 250250 F CFA, une banane 100100 F CFA, une orange 150150 F CFA et une papaye 400400 F CFA, calcule la recette totale de la journée.

Voir le corrigé détaillé

1.

  1. N=45+30+20+5N = 45 + 30 + 20 + 5
  2. ==100100 fruits

2. Comme N=100N = 100, la fréquence en pourcentage est directement égale à l'effectif : Mangues 45%45\%, Bananes 30%30\%, Oranges 20%20\%, Papayes 5%5\%.

3.

  1. Mangues : 45×250=11 25045 \times 250 = 11\,250 F CFA
  2. Bananes : 30×100=3 00030 \times 100 = 3\,000 F CFA
  3. Oranges : 20×150=3 00020 \times 150 = 3\,000 F CFA
  4. Papayes : 5×400=2 0005 \times 400 = 2\,000 F CFA
  5. Recette totale =11 250+3 000+3 000+2 000= 11\,250 + 3\,000 + 3\,000 + 2\,000
  6. ==19 25019\,250 F CFA
16

Le transport scolaire à Bamako. Sur 200200 élèves interrogés : 8080 marchent à pied (gratuit), 6060 prennent le bus (150150 F CFA par jour), 4040 prennent un taxi-moto (400400 F CFA par jour), 2020 viennent à vélo (gratuit). 1) Vérifie l'effectif total. 2) Calcule la fréquence de chaque moyen de transport, en pourcentage. 3) Calcule la dépense totale journalière de transport pour l'ensemble des 200200 élèves. 4) Sur 2020 jours d'école dans le mois, quelle est la dépense mensuelle totale ?

Voir le corrigé détaillé

1. 80+60+40+20=20080 + 60 + 40 + 20 = 200 : effectif total vérifié.

2.

  1. Pied : 80200=40%\dfrac{80}{200} = 40\%
  2. Bus : 60200=30%\dfrac{60}{200} = 30\%
  3. Taxi-moto : 40200=20%\dfrac{40}{200} = 20\%
  4. Vélo : 20200=10%\dfrac{20}{200} = 10\%

3.

  1. Bus : 60×150=9 00060 \times 150 = 9\,000 F CFA
  2. Taxi-moto : 40×400=16 00040 \times 400 = 16\,000 F CFA
  3. Dépense journalière =9 000+16 000= 9\,000 + 16\,000
  4. ==25 00025\,000 F CFA

4.

  1. 25 000×2025\,000 \times 20
  2. ==500 000500\,000 F CFAdépense mensuelle totale de transport

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Nombres relatifs : calcul et repérage

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans une étude statistique, l'ensemble des personnes ou objets étudiés s'appelle :

Explication : La population est l'ensemble des individus sur lesquels porte l'étude. Le caractère est la question posée à chaque individu.

Un caractère est dit « qualitatif » quand :

Explication : Qualitatif = réponses non numériques (une couleur, un sport…). Quantitatif = réponses numériques (une taille, une note…).

« Combien de frères et sœurs as-tu ? » est un caractère :

Explication : Les réponses (00, 11, 22…) sont des nombres : le caractère est quantitatif.

L'effectif d'une valeur est :

Explication : L'effectif est un nombre d'individus, jamais une réponse ni un pourcentage.

Dans une classe, 1111 élèves viennent à pied, 77 en bus, 44 à vélo. L'effectif total NN vaut :

Explication : L'effectif total est la somme de tous les effectifs :
N=11+7+4N = 11 + 7 + 4
=22= 22.

La fréquence d'une valeur se calcule ainsi :

Explication : La fréquence est le quotient f=effectifNf = \dfrac{\text{effectif}}{N}, un nombre entre 00 et 11.

Dans un tableau d'effectifs, sur 3030 élèves, 1212 préfèrent les maths. La fréquence des maths est :

Explication : La fréquence est effectif ÷\div effectif total, soit 1230\dfrac{12}{30} ici.

Sur 2020 élèves, 88 aiment le football. Quelle est la fréquence en pourcentage ?

Explication : f=820f = \dfrac{8}{20}
=0,4= 0{,}4
=40%= 40\% (on multiplie le décimal par 100100).

Sur 2525 élèves interrogés sur leur couleur préférée, 55 répondent « vert ». La fréquence, en pourcentage, est :

Explication : f=525f = \dfrac{5}{25}
=0,2= 0{,}2
=20%= 20\%.

Un tableau d'effectifs donne : Bleu 30%30\%, Rouge 45%45\%, Vert xx%\%. La somme des fréquences valant toujours 100%100\%, xx vaut :

Explication : x=100−30−45x = 100 - 30 - 45
=25= 25.

Dans une classe A de 2020 élèves, 88 aiment le foot. Dans une classe B de 4040 élèves, 1414 aiment le foot. Que peut-on dire ?

Explication : fA=820=40%f_A = \dfrac{8}{20} = 40\%
fB=1440=35%f_B = \dfrac{14}{40} = 35\%
Même si 14>814 > 8 en effectif, la fréquence est plus grande en A : c'est elle qu'il faut comparer.

Pour comparer les proportions de deux populations d'effectifs totaux différents, il faut utiliser :

Explication : Comparer des effectifs bruts venant de populations différentes est trompeur : il faut toujours passer par les fréquences.

La classe [10 ;15[[10\,;15[ contient :

Explication : Par convention, la borne inférieure est incluse et la borne supérieure est exclue : 1010 appartient à [10 ;15[[10\,;15[, mais pas 1515.

Une note de 1515 sur 2020 appartient à la classe :

Explication : 1515 n'appartient pas à [10 ;15[[10\,;15[ (borne supérieure exclue). La dernière classe est fermée des deux côtés : 1515 appartient à [15 ;20][15\,;20].

La classe modale d'un tableau de classes est :

Explication : La classe modale est celle où il y a le plus d'individus, c'est-à-dire l'effectif le plus élevé.

Dans un diagramme en bâtons correctement tracé, l'axe des effectifs doit :

Explication : Un axe coupé (qui ne commence pas à 00) exagère visuellement les différences entre bâtons : c'est un graphique trompeur.

Dans un pictogramme, pour représenter un effectif deux fois plus grand, il faut :

Explication : Il ne faut jamais agrandir un symbole (sa surface serait multipliée bien plus vite que l'effectif) : on répète toujours le même symbole.

Dans un diagramme circulaire, l'angle d'un secteur se calcule par la formule :

Explication : Le disque entier (effectif total) mesure 360°360° ; l'angle d'un secteur est proportionnel à la fréquence : angle =f×360°= f \times 360°.

Sur 2424 élèves, 66 préfèrent la natation. Quel est l'angle du secteur « natation » dans le diagramme circulaire ?

Explication : f=624=0,25f = \dfrac{6}{24} = 0{,}25
angle =0,25×360°= 0{,}25 \times 360°
=90°= 90°.

Dans un diagramme circulaire, le secteur « lecture » mesure 72°72° et correspond à 1010 élèves. Quel est l'effectif total NN de l'enquête ?

Explication : La fréquence est f=72°360°=0,2f = \dfrac{72°}{360°} = 0{,}2.
Or f=10Nf = \dfrac{10}{N}, donc 0,2=10N0{,}2 = \dfrac{10}{N}
N=100,2N = \dfrac{10}{0{,}2}
=50= 50.
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