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Calcul littéral et distributivité

Écrire, réduire et développer des expressions avec des lettres.

Mathématiques 5ème Chapitre 5 / 13 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Traduire un énoncé par une expression littérale
  • Développer et réduire
  • Vérifier une égalité pour une valeur donnée

Depuis que tu fais des mathématiques, tu calcules avec des nombres que tu connais : 3+53 + 5, 12×412 \times 4… Mais un nombre n'est pas toujours connu à l'avance. Le prix d'un article varie, un côté de terrain peut être plus ou moins long, un programme de calcul doit fonctionner pour n'importe quel nombre de départ. C'est là qu'interviennent les lettres : en cinquième, tu apprends à calculer même quand un nombre est remplacé par une lettre. C'est le calcul littéral.

Tu rencontres déjà le calcul littéral sans le savoir : dans la formule du périmètre d'un rectangle, P=2×(L+l)P = 2 \times (L + l), les lettres LL et ll représentent les dimensions, quelles qu'elles soient. Dans un programme de calcul, on applique toujours la même suite d'opérations à un nombre de départ, qu'on peut noter xx. Plus tard, en quatrième et en troisième, ces expressions te serviront à résoudre des équations.

Ce chapitre pose les bases : écrire correctement une expression littérale, la simplifier, la réduire, puis maîtriser les deux gestes essentiels du calcul littéral — développer (grâce à la distributivité) et factoriser (l'opération inverse). Tu apprendras aussi à vérifier si une égalité est vraie pour un nombre donné.

Une lettre n'a rien de mystérieux : elle représente toujours un nombre. Toutes les règles de calcul que tu connais déjà (priorités opératoires, addition, multiplication…) continuent de s'appliquer exactement de la même façon avec des lettres.

1Notion d'expression littérale

Définition

Une expression littérale est une expression mathématique dans laquelle au moins un nombre est remplacé par une lettre. Cette lettre représente un nombre, connu ou inconnu.

Exemples d'expressions littérales : 3x+53x + 5 ; 2(a+b)2(a+b) ; x2−4x^{2} - 4 ; h2\dfrac{h}{2}.

On utilise une expression littérale dans deux grandes situations. D'abord pour écrire une formule, valable pour toutes les valeurs possibles : par exemple l'aire d'un carré de côté cc est c2c^{2}, quelle que soit la valeur de cc. Ensuite pour décrire un programme de calcul : une suite d'opérations à effectuer sur un nombre de départ.

1.1  Traduire un énoncé en expression littérale

Traduire une phrase en langage mathématique demande de bien repérer chaque opération, dans le bon ordre.

Exemple — traduire des phrases

On note xx le nombre choisi.

PhraseExpression littérale
Le double d'un nombre2x2x
Le triple d'un nombre, augmenté de 773x+73x + 7
La somme d'un nombre et de son carréx+x2x + x^{2}
La moitié d'un nombre, diminuée de 33x2−3\dfrac{x}{2} - 3
Le carré de la somme d'un nombre et de 44(x+4)2(x+4)^{2}
Attention

« Le double d'un nombre augmenté de 7 » peut être ambigu à l'oral : 2x+72x + 7 (on double, puis on ajoute) ou 2(x+7)2(x+7) (on augmente d'abord, puis on double). À l'écrit, la virgule lève le doute : « le double d'un nombre, augmenté de 7 » donne 2x+72x+7 ; « le double d'un nombre augmenté de 7 » (sans virgule) donne 2(x+7)2(x+7).

1.2  Valeur numérique d'une expression

Définition

Calculer la valeur numérique d'une expression littérale pour une valeur donnée, c'est remplacer chaque lettre par cette valeur, puis effectuer le calcul en respectant les priorités opératoires.

Méthode — calculer une valeur numérique

On remplace la lettre par sa valeur, entre parenthèses si la valeur est négative ou si elle est suivie d'une puissance. On calcule ensuite dans l'ordre : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

Exemple — calculer A=3x+5A = 3x + 5 pour x=4x = 4
  1. A=3×4+5A = 3 \times 4 + 5on remplace xx par 44
  2. ==12+512 + 5
  3. ==1717
Exemple — calculer B=x2−2xB = x^{2} - 2x pour x=−3x = -3
  1. B=(−3)2−2×(−3)B = (-3)^{2} - 2 \times (-3)on remplace xx par (−3)(-3), entre parenthèses
  2. ==9−(−6)9 - (-6)
  3. ==9+69 + 6
  4. ==1515
Attention

Quand la valeur est négative, entoure-la toujours de parenthèses avant de remplacer. Sans parenthèses, −32-3^{2} est compris comme −(32)=−9-(3^{2}) = -9, alors que (−3)2=9(-3)^{2} = 9. Ce piège coûte cher aux contrôles.

Un même programme, pour une lettre ou pour un nombre x × 3 3x + 5 3x + 5 x = 4 4 × 3 12 + 5 17
Figure 1 — Un programme de calcul applique toujours la même suite d'opérations : avec une lettre xx (en haut), on obtient une expression littérale ; avec un nombre donné comme x=4x=4 (en bas), on obtient un résultat numérique.
Math & Co — La naissance du mot « algèbre »

Le mot algèbre vient de l'arabe al-jabr, qui signifie « la réunion » ou « la remise en place ». Il apparaît vers l'an 820820 dans le titre d'un livre du savant al-Khwârizmî, qui travaille à Bagdad, dans la fameuse « Maison de la Sagesse ». Son ouvrage, l'Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, explique — en mots, sans aucune lettre — comment résoudre des problèmes que l'on écrirait aujourd'hui avec des expressions littérales.

Il faudra attendre encore sept siècles pour que des lettres remplacent ces longues phrases : c'est tout l'objet de ce chapitre.

2Conventions d'écriture

Pour que les expressions littérales restent lisibles, les mathématiciens ont adopté des conventions d'écriture. Elles simplifient les notations, mais ne changent jamais le résultat d'un calcul.

2.1  Supprimer le signe ×

Convention

Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe ×\times :

  • entre un nombre et une lettre : 3×x=3x3 \times x = 3x ;
  • entre deux lettres : a×b=aba \times b = ab ;
  • entre un nombre (ou une lettre) et une parenthèse : 2×(x+3)=2(x+3)2 \times (x+3) = 2(x+3).

Le nombre s'écrit toujours devant la lettre : on écrit 5x5x, jamais x5x5.

Exemple — simplifier des écritures
  1. 4×x×y=4xy4 \times x \times y = 4xy
  2. a×a×a=a3a \times a \times a = a^{3}un produit de facteurs identiques devient une puissance
  3. x×5=5xx \times 5 = 5xle nombre passe devant
  4. 3×(x+1)=3(x+1)3 \times (x + 1) = 3(x+1)
Attention

On ne supprime jamais le signe ×\times entre deux nombres : 3×53 \times 5 ne s'écrit pas « 3535 ». Le signe ne disparaît que lorsqu'une lettre est présente.

2.2  Le piège 2a2a et a2a^{2}

Deux écritures se ressemblent mais n'ont rien à voir : il faut absolument les distinguer.

ÉcritureSignificationExemple pour a=5a=5
2a2a2×a2 \times a (le double de aa)2×5=102 \times 5 = 10
a2a^{2}a×aa \times a (le carré de aa)5×5=255 \times 5 = 25
Attention

2a2a et a2a^{2} donnent presque toujours des résultats différents. Ne les confonds jamais, même si les deux écritures se ressemblent.

2.3  Écrire une formule de périmètre et d'aire

Les conventions d'écriture s'appliquent aussi aux formules de géométrie. Pour un rectangle de longueur LL et de largeur ll :

Propriété

Périmètre : P=2×(L+l)=2(L+l)P = 2 \times (L + l) = 2(L+l)

Aire : A=L×l=LlA = L \times l = Ll

Rectangle de longueur L et de largeur l L l Aire = L × l Périmètre : P = 2 × (L + l) Aire : A = L × l
Figure 2 — Les lettres LL et ll désignent les deux dimensions du rectangle ; les formules restent vraies quelles que soient leurs valeurs.
Exemple — calculer PP et AA pour L=9L=9 et l=5l=5
  1. P=2(9+5)P = 2(9+5)
  2. ==2×142 \times 14
  3. ==2828unité de longueur
  4. A=9×5A = 9 \times 5
  5. ==4545unité d'aire

3Réduction

Une expression littérale est souvent une somme de plusieurs morceaux, appelés termes. Réduire une expression, c'est la rendre la plus courte possible en regroupant ce qui peut l'être, sans changer sa valeur.

3.1  Termes et termes semblables

Définition

Un terme est chaque morceau d'une somme, séparé par un signe ++ ou −-. Deux termes sont des termes semblables lorsqu'ils ont exactement la même partie littérale (mêmes lettres, avec les mêmes exposants).

Exemple — repérer les termes semblables

Dans l'expression 5x+3y−2x+75x + 3y - 2x + 7, les termes sont 5x5x, 3y3y, −2x-2x et 77.

  • 5x5x et −2x-2x sont semblables (même partie littérale xx) ;
  • 3x3x et 3x23x^{2} ne sont pas semblables (les exposants diffèrent) ;
  • 4a4a et 4b4b ne sont pas semblables (lettres différentes) ;
  • 77 et −2-2 sont semblables entre eux : ce sont des constantes (partie littérale vide).

3.2  Réduire une expression

Méthode — réduire une expression

On repère les termes semblables, puis on les regroupe : on additionne (ou soustrait) leurs coefficients, en conservant la partie littérale commune.

Exemple — réduire C=3x+5x−2xC = 3x + 5x - 2x
  1. C=3x+5x−2xC = 3x + 5x - 2x
  2. ==(3+5−2)x(3+5-2)xtous les termes sont semblables
  3. ==6x6x
Exemple — réduire D=2a+3b−a+5b−4D = 2a + 3b - a + 5b - 4
  1. D=2a+3b−a+5b−4D = 2a + 3b - a + 5b - 4
  2. ==(2a−a)+(3b+5b)−4(2a - a) + (3b + 5b) - 4on regroupe les termes en aa, puis ceux en bb
  3. ==a+8b−4a + 8b - 4
Attention

xx et x2x^{2} ne sont jamais des termes semblables : 3x+2x23x + 2x^{2} est déjà réduite, on ne peut pas aller plus loin (surtout pas écrire 5x25x^{2} ou 5x5x). De même, on ne mélange jamais un terme en xx avec un terme en yy.

4Distributivité simple k(a + b)

Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme, grâce à une règle appelée la distributivité. C'est l'un des deux gestes fondamentaux du calcul littéral, avec la factorisation que tu découvriras juste après.

4.1  La distributivité simple

Propriété — distributivité

Pour tous nombres kk, aa et bb :

k(a+b)=ka+kbetk(a−b)=ka−kbk(a+b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a-b) = ka - kb

Démonstration — justification par les aires

On construit un rectangle de largeur kk et de longueur a+ba+b, découpé en deux rectangles : l'un de longueur aa, l'autre de longueur bb (figure 3).

  1. aire du grand rectangle =k×(a+b)= k \times (a+b)largeur × longueur totale
  2. aire du grand rectangle == aire du rectangle bleu ++ aire du rectangle vert
  3. ==k×a+k×bk \times a + k \times bon additionne les deux petites aires
  4. ⇒\Rightarrowk(a+b)=ka+kbk(a+b) = ka+kbles deux calculs donnent la même aire

Ce découpage marche pour toutes les valeurs positives de kk, aa, bb ; la règle reste vraie même pour des nombres négatifs. C.Q.F.D.

Aire d'un rectangle de largeur k et de longueur (a + b) k × a k × b a b k aire totale = k × (a + b) = k × a + k × b
Figure 3 — Le grand rectangle a pour aire k(a+b)k(a+b) ; il se découpe en deux rectangles d'aires kaka et kbkb. Les deux calculs donnent le même résultat.
Exemple — vérifier la distributivité avec des nombres
  1. 5×(3+7)=5×10=505 \times (3+7) = 5 \times 10 = 50
  2. 5×3+5×7=15+35=505 \times 3 + 5 \times 7 = 15 + 35 = 50
  3. ⇒\Rightarrowles deux méthodes donnent bien 5050
Exemple — développer E=4(x+3)E = 4(x+3)
  1. E=4×x+4×3E = 4 \times x + 4 \times 3
  2. ==4x+124x + 12

4.2  Attention aux signes

Quand kk est négatif, la distributivité fonctionne exactement pareil : il faut simplement bien gérer les signes, terme par terme.

Exemple — développer F=−2(x−5)F = -2(x-5)
  1. F=(−2)×x−(−2)×5F = (-2) \times x - (-2) \times 5
  2. ==−2x−(−10)-2x - (-10)
  3. ==−2x+10-2x + 10
Attention

Un signe −- devant une parenthèse se distribue sur chaque terme, et il change son signe : −3(x−5)=−3x+15-3(x-5) = -3x + 15, et non −3x−15-3x-15. C'est l'erreur la plus fréquente de ce chapitre : ralentis dès que tu vois un signe moins devant une parenthèse.

Math & Co — La distributivité chez les Grecs

Vers −300-300, le mathématicien grec Euclide rédige les Éléments, treize livres qui rassemblent toute la géométrie connue de son époque. Dans le Livre II, il démontre des propriétés que nous écririons aujourd'hui avec des lettres — mais sans aucun symbole algébrique : tout est fait par des découpages d'aires, exactement comme sur la figure 3 !

Cette « algèbre géométrique » grecque prouve, entre autres, l'équivalent de notre distributivité k(a+b)=ka+kbk(a+b) = ka+kb, plus de deux mille ans avant que les lettres aa, bb, kk ne soient inventées pour l'écrire.

5Factorisation simple

Factoriser est l'opération inverse de développer : on part d'une somme et on la transforme en produit. C'est utile pour simplifier un calcul, ou pour préparer une résolution d'équation en quatrième.

5.1  Reconnaître un facteur commun

Propriété — factorisation

Pour tous nombres kk, aa et bb :

ka+kb=k(a+b)etka−kb=k(a−b)ka + kb = k(a+b) \qquad \text{et} \qquad ka - kb = k(a-b)

C'est exactement la même égalité que la distributivité, lue « à l'envers » : de la droite vers la gauche pour développer, de la gauche vers la droite pour factoriser.

Méthode — factoriser une expression

On cherche un nombre kk qui divise chacun des termes de la somme : c'est le facteur commun. On l'écrit devant une parenthèse qui contient ce qui reste de chaque terme une fois kk mis de côté.

Factoriser : mettre le facteur commun k en évidence k × a + k × b facteur commun k (a + b)
Figure 4 — Les deux termes k×ak \times a et k×bk \times b partagent le même facteur kk : on le sort de la somme pour écrire le produit k(a+b)k(a+b).
Exemple — factoriser G=3x+3yG = 3x + 3y
  1. G=3×x+3×yG = 3 \times x + 3 \times y33 est facteur commun
  2. ==3(x+y)3(x+y)
Exemple — factoriser H=5x+15H = 5x + 15
  1. H=5×x+5×3H = 5 \times x + 5 \times 3on remarque que 15=5×315 = 5 \times 3
  2. ==5(x+3)5(x+3)

5.2  Cas particuliers et pièges

Exemple — factoriser J=4x+6J = 4x + 6

Le plus grand facteur commun n'est pas toujours évident : ici, ce n'est pas 44 (qui ne divise pas 66), mais 22.

  1. J=2×2x+2×3J = 2 \times 2x + 2 \times 34x=2×2x4x = 2 \times 2x et 6=2×36 = 2 \times 3
  2. ==2(2x+3)2(2x+3)
Attention

3x+53x + 5 ne se factorise pas : il n'existe aucun nombre, autre que 11, qui divise à la fois 33 et 55. Avant de chercher un facteur commun, vérifie toujours qu'il divise chacun des termes — sinon l'expression reste sous forme de somme.

Math & Co — François Viète, le père des lettres

Pendant des siècles, les mathématiciens résolvaient des problèmes « avec des mots », comme al-Khwârizmî. C'est le Français François Viète (1540-1603), juriste et mathématicien, qui a l'idée décisive : utiliser des lettres pour représenter aussi bien des nombres connus que des nombres inconnus. Dans son ouvrage In artem analyticem isagoge (1591), il pose les bases de l'écriture algébrique moderne.

Sans cette invention, impossible d'écrire une formule comme k(a+b)=ka+kbk(a+b) = ka+kb : il aurait fallu, comme dans l'Antiquité, une phrase entière pour chaque cas particulier.

6Tester une égalité

Une égalité littérale, comme 3x+2=2x+53x+2 = 2x+5, n'est pas toujours vraie : elle peut être vraie pour certaines valeurs de xx seulement, ou pour toutes les valeurs (on parle alors d'identité), ou pour aucune.

Définition

Tester une égalité pour une valeur donnée, c'est calculer séparément la valeur numérique de chaque membre (chaque côté du signe ==), puis comparer les deux résultats.

Méthode — tester une égalité pour x=x = …

On calcule la valeur du membre de gauche, puis la valeur du membre de droite, séparément. Si les deux résultats sont égaux, l'égalité est vraie pour cette valeur ; sinon, elle est fausse.

Exemple — tester 3x+2=2x+53x+2 = 2x+5 pour x=3x=3, puis pour x=0x=0

Pour x=3x=3 :

  1. membre de gauche : 3×3+2=113 \times 3 + 2 = 11
  2. membre de droite : 2×3+5=112 \times 3 + 5 = 11
  3. ⇒\Rightarrowl'égalité est vraie pour x=3x=3

Pour x=0x=0 :

  1. membre de gauche : 3×0+2=23 \times 0 + 2 = 2
  2. membre de droite : 2×0+5=52 \times 0 + 5 = 5
  3. ⇒\Rightarrow2≠52 \neq 5 : l'égalité est fausse pour x=0x=0

Cette égalité n'est donc pas une identité : elle n'est vraie que pour certaines valeurs de xx (tu apprendras à toutes les trouver en résolvant une équation, l'an prochain).

Exemple — tester l'identité 2(x+3)=2x+62(x+3) = 2x+6 pour x=1x=1, puis pour x=−4x=-4
  1. pour x=1x=1 : 2(1+3)=82(1+3) = 8 et 2×1+6=82 \times 1 + 6 = 8égal
  2. pour x=−4x=-4 : 2(−4+3)=−22(-4+3) = -2 et 2×(−4)+6=−22 \times (-4) + 6 = -2égal

Ici, l'égalité est vraie pour toutes les valeurs testées — et pour cause : le membre de droite est le développement du membre de gauche par distributivité. C'est une identité, vraie pour tout nombre xx.

Attention

Un seul test qui échoue suffit à prouver qu'une égalité n'est pas une identité (on dit qu'on a trouvé un contre-exemple). Mais aucun nombre de tests réussis ne suffit à prouver qu'une égalité est vraie pour tout nombre : pour cela, il faut la démontrer, comme au paragraphe 4.1 avec la distributivité.

Fiche mémo

  • Une expression littérale contient une lettre, qui représente un nombre.
  • Valeur numérique : on remplace la lettre par sa valeur (entre parenthèses si négative), puis on calcule en respectant les priorités.
  • Écriture : 3×x=3x3 \times x = 3x, a×b=aba \times b = ab ; attention, 2a≠a22a \neq a^{2}.
  • Termes semblables : même partie littérale. On les regroupe pour réduire une expression.
  • xx et x2x^{2} ne sont jamais des termes semblables.
  • Distributivité (développer) : k(a+b)=ka+kbk(a+b) = ka+kb et k(a−b)=ka−kbk(a-b) = ka-kb.
  • Un signe −- devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l'intérieur.
  • Factoriser (opération inverse) : ka+kb=k(a+b)ka+kb = k(a+b), avec kk facteur commun à tous les termes.
  • Tester une égalité : calculer chaque membre séparément pour une valeur donnée, puis comparer.
  • Un contre-exemple réfute une identité ; des tests réussis ne la prouvent pas.
  • Rectangle : P=2(L+l)P = 2(L+l) ; A=L×lA = L \times l.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Traduis chaque phrase par une expression littérale, en notant xx le nombre choisi : « le triple d'un nombre, diminué de 44 » ; « la moitié d'un nombre, augmentée de 66 » ; « le carré d'un nombre ».

Voir le corrigé détaillé

« Le triple d'un nombre, diminué de 44 » : 3x−43x - 4.

« La moitié d'un nombre, augmentée de 66 » : x2+6\dfrac{x}{2} + 6.

« Le carré d'un nombre » : x2x^{2}.

2

Calcule la valeur numérique de M=5x−3M = 5x - 3 pour x=6x = 6, puis de N=2x2+1N = 2x^{2} + 1 pour x=−2x = -2.

Voir le corrigé détaillé
  1. M=5×6−3M = 5 \times 6 - 3
  2. ==30−330 - 3
  3. ==2727
  1. N=2×(−2)2+1N = 2 \times (-2)^{2} + 1on remplace xx par (−2)(-2), entre parenthèses
  2. ==2×4+12 \times 4 + 1
  3. ==8+18 + 1
  4. ==99
3

Réécris chaque produit sans le signe ×\times : 7×a7 \times a ; b×b×bb \times b \times b ; 3×(y+2)3 \times (y+2) ; x×9x \times 9.

Voir le corrigé détaillé
  1. 7×a=7a7 \times a = 7a
  2. b×b×b=b3b \times b \times b = b^{3}
  3. 3×(y+2)=3(y+2)3 \times (y+2) = 3(y+2)
  4. x×9=9xx \times 9 = 9xle nombre passe devant la lettre
4

Réduis chaque expression : P=4x+7x−3xP = 4x + 7x - 3x ; Q=5a−2b+3a+6bQ = 5a - 2b + 3a + 6b ; R=8−3x+2−xR = 8 - 3x + 2 - x.

Voir le corrigé détaillé
  1. P=(4+7−3)xP = (4+7-3)x
  2. ==8x8x
  1. Q=(5a+3a)+(−2b+6b)Q = (5a+3a) + (-2b+6b)
  2. ==8a+4b8a + 4b
  1. R=(8+2)+(−3x−x)R = (8+2) + (-3x-x)
  2. ==10−4x10 - 4x
5

Développe : A=6(x+2)A = 6(x+2) ; B=3(y−5)B = 3(y-5) ; C=−4(x+1)C = -4(x+1) ; D=2(3−x)D = 2(3-x).

Voir le corrigé détaillé
  1. A=6x+12A = 6x + 12
  2. B=3y−15B = 3y - 15
  3. C=−4x−4C = -4x - 4−4×1=−4-4 \times 1 = -4
  4. D=6−2xD = 6 - 2x
Niveau 2 — Approfondissement
6

Développe puis réduis : S=3(x+2)+2(x−1)S = 3(x+2) + 2(x-1) ; T=5(2x−1)−3(x−2)T = 5(2x-1) - 3(x-2).

Voir le corrigé détaillé
  1. S=3x+6+2x−2S = 3x + 6 + 2x - 2
  2. ==(3x+2x)+(6−2)(3x+2x) + (6-2)
  3. ==5x+45x + 4
  1. T=10x−5−3x+6T = 10x - 5 - 3x + 6−3(x−2)=−3x+6-3(x-2) = -3x+6
  2. ==(10x−3x)+(−5+6)(10x-3x) + (-5+6)
  3. ==7x+17x + 1
7

Factorise en trouvant le plus grand facteur commun : U=8x+12U = 8x + 12 ; V=6a−9bV = 6a - 9b ; W=10x+15yW = 10x + 15y.

Voir le corrigé détaillé
  1. U=4×2x+4×3U = 4 \times 2x + 4 \times 344 divise 88 et 1212
  2. ==4(2x+3)4(2x+3)
  1. V=3×2a−3×3bV = 3 \times 2a - 3 \times 3b
  2. ==3(2a−3b)3(2a-3b)
  1. W=5×2x+5×3yW = 5 \times 2x + 5 \times 3y
  2. ==5(2x+3y)5(2x+3y)
8

Teste l'égalité 4x−3=2x+74x - 3 = 2x + 7 pour x=5x=5, puis pour x=1x=1. Cette égalité est-elle une identité ?

Voir le corrigé détaillé
  1. pour x=5x=5 : gauche =4×5−3=17= 4\times5-3=17 ; droite =2×5+7=17=2\times5+7=17égalité vraie
  2. pour x=1x=1 : gauche =4×1−3=1=4\times1-3=1 ; droite =2×1+7=9=2\times1+7=91≠91 \neq 9, égalité fausse

L'égalité est vraie pour x=5x=5 mais fausse pour x=1x=1 : ce n'est pas une identité, elle n'est vraie que pour certaines valeurs particulières de xx.

9

Un programme de calcul : « Choisis un nombre xx, multiplie-le par 33, puis ajoute 88. » 1) Écris l'expression obtenue. 2) Calcule le résultat pour x=5x=5, puis pour x=−2x=-2.

Voir le corrigé détaillé

1. L'expression obtenue est 3x+83x + 8.

2.

  1. pour x=5x=5 : 3×5+8=233 \times 5 + 8 = 23
  2. pour x=−2x=-2 : 3×(−2)+8=23 \times (-2) + 8 = 2
Niveau 3 — Défi
10
  1. Développe et réduis séparément chaque membre de l'égalité 5(x+3)−2(x−1)=3x+175(x+3) - 2(x-1) = 3x + 17.
  2. Que peux-tu en conclure ?
  3. Vérifie ta conclusion pour x=2x = 2.
Voir le corrigé détaillé

1. Membre de gauche :

  1. 5(x+3)−2(x−1)=5x+15−2x+25(x+3) - 2(x-1) = 5x + 15 - 2x + 2
  2. ==(5x−2x)+(15+2)(5x-2x) + (15+2)
  3. ==3x+173x + 17

Membre de droite : déjà réduit, 3x+173x+17.

2. Les deux membres, une fois développés et réduits, donnent la même expression 3x+173x+17. L'égalité est donc vraie pour tout nombre xx : c'est une identité.

3. Pour x=2x=2 :

  1. gauche : 5(2+3)−2(2−1)=25−2=235(2+3) - 2(2-1) = 25-2=23
  2. droite : 3×2+17=233\times2+17=23on retrouve bien 23=2323=23
11
  1. Calcule la valeur de 3x+43x+4 pour x=5x=5, puis pour x=8x=8.
  2. Par tâtonnement (essais successifs), trouve la valeur entière de xx pour laquelle 3x+4=253x+4 = 25.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. pour x=5x=5 : 3×5+4=193\times5+4=19
  2. pour x=8x=8 : 3×8+4=283\times8+4=28

2. Le résultat cherché, 2525, est compris entre 1919 (pour x=5x=5) et 2828 (pour x=8x=8) : on essaie donc les valeurs intermédiaires.

  1. pour x=6x=6 : 3×6+4=223\times6+4=22trop petit
  2. pour x=7x=7 : 3×7+4=253\times7+4=25c'est la bonne valeur

La valeur cherchée est x=7x = 7.

12

Un terrain a la forme d'un « L » (figure 5) : un premier rectangle de largeur xx et de longueur 33, accolé à un second rectangle de largeur 2x2x et de longueur 55.

  1. Exprime l'aire totale A(x)A(x) du terrain, sous forme réduite.
  2. Exprime le périmètre P(x)P(x) du terrain, sous forme réduite.
  3. Calcule A(6)A(6) et P(6)P(6), pour x=6x=6 mètres.
Voir le corrigé détaillé
Terrain en forme de L x 3 2x 5 x × 3 2x × 5
Figure 5 — Le terrain en L se décompose en deux rectangles : l'un d'aire 3x3x, l'autre d'aire 10x10x.

1. L'aire totale est la somme des deux aires rectangulaires.

  1. A(x)=x×3+2x×5A(x) = x \times 3 + 2x \times 5
  2. ==3x+10x3x + 10x
  3. ==13x13x

2. Le contour du terrain compte six côtés : xx (haut) ; 33 (droite du petit rectangle) ; 2x−x=x2x - x = x (haut du grand rectangle, ce qui dépasse) ; 55 (droite) ; 2x2x (bas) ; 3+5=83 + 5 = 8 (gauche, en descendant).

  1. P(x)=x+3+x+5+2x+8P(x) = x + 3 + x + 5 + 2x + 8
  2. ==(x+x+2x)+(3+5+8)(x+x+2x) + (3+5+8)
  3. ==4x+164x + 16

3. Pour x=6x=6 :

  1. A(6)=13×6=78A(6) = 13 \times 6 = 78m²
  2. P(6)=4×6+16=40P(6) = 4 \times 6 + 16 = 40m
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le marché d'Abéché (Tchad). Amadou vend des sacs de mil à pp francs CFA le sac. Il vend nn sacs le lundi, et (n+15)(n+15) sacs le mardi.

  1. Exprime, en fonction de nn et pp, la recette totale RR des deux jours, sous forme factorisée.
  2. Calcule RR pour p=4 000p = 4\,000 F CFA et n=30n = 30.
Voir le corrigé détaillé

1. La recette de chaque jour est le prix du sac multiplié par le nombre de sacs vendus.

  1. R=p×n+p×(n+15)R = p \times n + p \times (n+15)
  2. ==pn+pn+15ppn + pn + 15p
  3. ==2pn+15p2pn + 15p
  4. ==p(2n+15)p(2n+15)pp est facteur commun

2.

  1. R=4 000×(2×30+15)R = 4\,000 \times (2\times30+15)
  2. ==4 000×754\,000 \times 75
  3. ==300 000300\,000F CFA
14

Un champ à Bamako (Mali). Un champ rectangulaire a pour largeur ll mètres et pour longueur (l+20)(l+20) mètres. Le grillage coûte 1 2001\,200 F CFA le mètre.

  1. Exprime le périmètre PP du champ en fonction de ll, sous forme développée.
  2. Exprime le coût total CC du grillage en fonction de ll.
  3. Calcule CC pour l=15l = 15 m.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. P=2×(l+(l+20))P = 2 \times \left(l + (l+20)\right)
  2. ==2×(2l+20)2 \times (2l+20)
  3. ==4l+404l + 40

2. Le coût total est le prix au mètre multiplié par le périmètre.

  1. C=1 200×(4l+40)C = 1\,200 \times (4l+40)
  2. ==4 800l+48 0004\,800l + 48\,000

3. Pour l=15l=15 :

  1. C=4 800×15+48 000C = 4\,800 \times 15 + 48\,000
  2. ==72 000+48 00072\,000 + 48\,000
  3. ==120 000120\,000F CFA
15

Taxi à Douala (Cameroun). Un taxi facture une prise en charge de 500500 F CFA, plus 250250 F CFA par kilomètre parcouru.

  1. Exprime le prix TT d'une course de dd kilomètres.
  2. Calcule TT pour d=12d=12 km.
  3. Deux amis partagent équitablement une course de dd km : exprime la part QQ de chacun, sous forme la plus simple possible.
Voir le corrigé détaillé

1. T=500+250dT = 500 + 250d.

2.

  1. T=500+250×12T = 500 + 250 \times 12
  2. ==500+3 000500 + 3\,000
  3. ==3 5003\,500F CFA

3. Chacun paie la moitié du prix total.

  1. Q=500+250d2Q = \dfrac{500+250d}{2}
  2. ==250+125d250 + 125don partage chaque terme en deux

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Nombres relatifs : calcul et repérage

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Une expression littérale est une expression mathématique dans laquelle :

Explication : Une lettre représente un nombre, connu ou inconnu. Exemples : 3x+53x+5 ; 2(a+b)2(a+b) ; x2−4x^2-4.

Comment écrit-on 3×x3 \times x en supprimant le signe ×\times ?

Explication : Entre un nombre et une lettre, on supprime le signe ×\times et le nombre s'écrit toujours devant la lettre : 3×x=3x3 \times x = 3x, jamais x3x3.

Pour a=5a = 5, que vaut 2a2a et que vaut a2a^2 ?

Explication : 2a=2×a=2×5=102a = 2\times a = 2\times5=10 (le double). a2=a×a=5×5=25a^2 = a\times a = 5\times5=25 (le carré). Ne confonds jamais ces deux écritures.

Quelle est la valeur de A=3x+5A = 3x + 5 pour x=4x = 4 ?

Explication : On remplace xx par 44.
A=3×4+5A = 3\times4+5
=12+5=12+5
=17=17

Combien vaut (−3)2(-3)^2 ?

Explication : (−3)2=(−3)×(−3)=9(-3)^2 = (-3)\times(-3) = 9. Attention : c'est différent de −32-3^2, qui vaut −(32)=−9-(3^2)=-9. Les parenthèses autour du nombre négatif sont essentielles.

Deux termes sont dits « semblables » lorsqu'ils ont :

Explication : 5x5x et −2x-2x sont semblables (même partie littérale xx). 3x3x et 3x23x^2 ne le sont pas : les exposants diffèrent.

Réduis l'expression 3x+5x−2x3x + 5x - 2x.

Explication : Tous les termes sont semblables : on additionne les coefficients.
(3+5−2)x(3+5-2)x
=6x=6x

Réduis l'expression 2a+3b−a+5b−42a + 3b - a + 5b - 4.

Explication : On regroupe les termes en aa, puis ceux en bb.
(2a−a)+(3b+5b)−4(2a-a) + (3b+5b) - 4
=a+8b−4= a + 8b - 4

Peut-on réduire l'expression 3x+2x23x + 2x^2 en un seul terme ?

Explication : xx et x2x^2 n'ont pas le même exposant : ce ne sont pas des termes semblables. 3x+2x23x+2x^2 est déjà sous sa forme réduite.

La distributivité s'écrit, pour tous nombres kk, aa et bb :

Explication : Le facteur kk se distribue sur chacun des deux termes : k(a+b)=ka+kbk(a+b) = ka + kb.

Développe E=4(x+3)E = 4(x+3).

Explication : E=4×x+4×3E = 4\times x + 4\times3
=4x+12= 4x+12

Développe −3(x−5)-3(x-5).

Explication : Un signe −- devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l'intérieur : −3(x−5)=−3x+15-3(x-5) = -3x + 15, et non −3x−15-3x-15. C'est le piège le plus fréquent du chapitre.

Développe F=−2(x−5)F = -2(x-5).

Explication : F=(−2)×x−(−2)×5F = (-2)\times x - (-2)\times5
=−2x−(−10)=-2x-(-10)
=−2x+10=-2x+10

Factoriser une expression, c'est :

Explication : Factoriser est l'opération inverse de développer : on part d'une somme ka+kbka+kb pour arriver au produit k(a+b)k(a+b).

Factorise G=3x+3yG = 3x + 3y.

Explication : 33 est le facteur commun aux deux termes.
G=3×x+3×yG = 3\times x + 3\times y
=3(x+y)=3(x+y)

Factorise J=4x+6J = 4x + 6 avec le plus grand facteur commun.

Explication : 44 ne divise pas 66 : ce n'est pas le bon facteur commun. C'est 22 qui convient.
J=2×2x+2×3J = 2\times2x + 2\times3
=2(2x+3)=2(2x+3)

L'expression 3x+53x + 5 peut-elle se factoriser ?

Explication : Avant de factoriser, il faut vérifier qu'un même nombre divise chacun des termes. Ici, aucun nombre autre que 11 ne divise à la fois 33 et 55 : l'expression reste sous forme de somme.

Tester une égalité pour une valeur de xx donnée, c'est :

Explication : On calcule la valeur numérique du membre de gauche, puis celle du membre de droite, séparément ; si elles sont égales, l'égalité est vraie pour cette valeur.

On teste l'égalité 4x−3=2x+74x-3=2x+7. Pour x=5x=5, les deux membres valent 1717 et 1717 (égalité vraie). Pour x=1x=1, on trouve 11 et 99 (égalité fausse). Que peut-on en conclure ?

Explication : Un seul test qui échoue (ici x=1x=1) suffit à prouver qu'une égalité n'est pas une identité. Elle peut rester vraie pour certaines valeurs particulières, comme x=5x=5.

Un taxi facture 500500 F CFA de prise en charge, plus 250250 F CFA par kilomètre. Quel est le prix d'une course de 1212 km ?

Explication : Le prix est T=500+250dT = 500 + 250d, avec dd le nombre de kilomètres.
T=500+250×12T = 500 + 250\times12
=500+3 000= 500 + 3\,000
=3 500= 3\,500 F CFA
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