Fractions : comparaison, addition et soustraction

Mettre au même dénominateur pour comparer et additionner des fractions.

Mathématiques 5ème Chapitre 3 / 13 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Rendre deux fractions au même dénominateur
Additionner et soustraire des fractions
Comparer des fractions de dénominateurs différents

Tu sais déjà ce qu'est une fraction : un partage, comme $\dfrac{3}{4}$ d'une plaque de chocolat ou $\dfrac{2}{5}$ d'un champ de mil. Mais essaie de répondre vite : qui a la plus grande part, celui qui a $\dfrac{3}{4}$ d'un gâteau ou celui qui en a $\dfrac{5}{6}$ ? Et si tu ajoutes $\dfrac{1}{2}$ litre d'huile à $\dfrac{1}{3}$ de litre déjà versé, quelle quantité obtiens-tu au total ? Impossible de répondre sans une méthode sûre.

C'est exactement ce que tu vas apprendre dans ce chapitre : comparer, additionner et soustraire des fractions, même quand elles n'ont pas le même dénominateur. Le secret tient en une seule idée, que tu vas utiliser sans cesse : deux fractions ne se comparent et ne s'additionnent facilement que lorsqu'elles ont le même dénominateur, c'est-à-dire lorsque leurs parts sont de la même taille.

Ces techniques ne sont pas réservées à la salle de classe. Un commerçant de Ndjamena qui partage un sac d'arachides, une couturière de Bamako qui coupe $\dfrac{2}{3}$ puis $\dfrac{1}{4}$ d'un tissu, une famille de Douala qui partage un héritage : tous ont besoin, un jour, de comparer ou d'additionner des fractions.

Tu savais déjà, depuis la sixième, lire une fraction et la placer approximativement sur une droite graduée. En cinquième, tu vas apprendre une méthode rigoureuse — la mise au même dénominateur — qui fonctionne à chaque fois, sans exception et sans tâtonnement.

1Fractions égales, simplification

1.1 Rappel : qu'est-ce qu'une fraction ?

Définition

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$ ) représente le partage d'une unité en $b$ parts égales, dont on prend $a$ parts. Le nombre $a$ s'appelle le numérateur, le nombre $b$ s'appelle le dénominateur.

Une fraction est aussi un quotient : $\dfrac{a}{b} = a \div b$ .

Par exemple, $\dfrac{2}{5}$ d'un champ signifie ceci : on partage le champ en $5$ parts égales, et on en prend $2$ . C'est aussi le résultat exact de la division $2 \div 5$ .

1.2 Fractions égales

Définition

Deux fractions sont égales lorsqu'elles représentent la même quantité, même si elles s'écrivent avec des nombres différents.

Propriété

On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant — ou en divisant — son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul $k$ :

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} \qquad (b \neq 0,\ k \neq 0)$

Démonstration — pourquoi ça marche

Imagine un rectangle partagé en $3$ bandes égales, dont tu colories $2$ : c'est $\dfrac{2}{3}$ du rectangle. Repartage maintenant chaque bande en $2$ : tu obtiens $6$ petites parts, et la zone coloriée en contient $4$ . L'aire coloriée n'a pas changé, seul le découpage a changé ! C'est exactement pourquoi $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}$ .

Figure 1 — Le rectangle de gauche, partagé en 3, a 2 parts coloriées ; celui de droite, partagé en 6, en a 4 : la même aire est coloriée, donc

\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}

Exemple — construire des fractions égales

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{5}{20}$
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{9}{15}$

1.3 Simplifier une fraction

Méthode — simplifier une fraction

On divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun, autant de fois que possible, jusqu'à ce qu'il n'existe plus aucun diviseur commun (autre que $1$ ). La fraction obtenue est dite irréductible.

Exemple — simplifier

\dfrac{18}{24}

$\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 2}{24 \div 2} = \dfrac{9}{12}$
$=$ $\dfrac{9 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{3}{4}$ $9$ et $12$ sont encore divisibles par $3$

$3$ et $4$ n'ont plus de diviseur commun : $\dfrac{3}{4}$ est la forme irréductible de $\dfrac{18}{24}$ .

Exemple — simplifier directement

$\dfrac{35}{63} = \dfrac{35 \div 7}{63 \div 7} = \dfrac{5}{9}$ $7$ est un diviseur commun de $35$ et $63$

Attention

Simplifier, c'est diviser — jamais barrer des chiffres qui se ressemblent ! Erreur classique : croire que $\dfrac{16}{64}$ devient $\dfrac{1}{4}$ en barrant les deux « $6$ ». La bonne méthode : $\dfrac{16}{64} = \dfrac{16 \div 16}{64 \div 16} = \dfrac{1}{4}$ . Le résultat tombe juste ici par hasard de calcul, mais la méthode « on barre » est fausse et te fera perdre des points le jour du contrôle.

Math & Co — Les fractions des scribes égyptiens

Vers $-1650$ , le scribe Ahmès recopie sur un long papyrus (le papyrus de Rhind, découvert en Égypte et conservé aujourd'hui au British Museum) des dizaines de problèmes de partage. Les Égyptiens de l'Antiquité n'écrivaient presque que des fractions unitaires, de numérateur $1$ , comme $\dfrac{1}{7}$ ou $\dfrac{1}{12}$ — à la seule exception de $\dfrac{2}{3}$ , qui possédait son propre symbole.

Pour écrire une fraction comme $\dfrac{2}{5}$ , un scribe devait la décomposer en une somme de fractions unitaires toutes différentes : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15}$ . Déjà, ce calcul demandait de savoir mettre des fractions au même dénominateur !

2Mise au même dénominateur

2.1 Pourquoi mettre au même dénominateur ?

Comparer ou additionner $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{3}$ directement n'a aucun sens : un demi et un tiers ne sont pas des parts de la même taille. Avant tout calcul, il faut donc réécrire les deux fractions avec le même dénominateur, c'est-à-dire découper l'unité en parts identiques pour les deux fractions.

Définition

Mettre deux fractions au même dénominateur, c'est les réécrire, grâce à la propriété des fractions égales, sous la forme de deux fractions égales aux fractions de départ et possédant le même dénominateur.

2.2 Cas où un dénominateur est multiple de l'autre

Méthode — un dénominateur multiple de l'autre

Si le plus grand dénominateur est un multiple du plus petit, on ne transforme qu'une seule des deux fractions : celle qui a le petit dénominateur.

Exemple —

\dfrac{1}{4}

\dfrac{5}{8}

$8 = 4 \times 2$ $8$ est un multiple de $4$
$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{5}{8}$ deviennent $\dfrac{2}{8}$ et $\dfrac{5}{8}$

Les deux fractions ont maintenant le même dénominateur $8$ .

2.3 Cas de deux dénominateurs quelconques

Méthode — dénominateurs quelconques

Quand aucun dénominateur n'est multiple de l'autre, un dénominateur commun toujours valable et facile à trouver est le produit des deux dénominateurs. On multiplie chaque fraction « en croix », par le dénominateur de l'autre.

Exemple —

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{5}

dénominateur commun $= 3 \times 5 = 15$
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{10}{15}$
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{9}{15}$

Figure 2 — Une fois réduites au même dénominateur, les fractions trouvent leur place exacte sur la droite graduée.

Exemple — trois fractions ensemble

Pour mettre $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{4}$ au même dénominateur, on choisit $12$ (un multiple commun aux trois dénominateurs) :

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 6}{2 \times 6} = \dfrac{6}{12}$
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{4}{12}$
$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$

Math & Co — La barre de fraction inventée au Maghreb

La petite barre horizontale que tu écris entre le numérateur et le dénominateur n'a rien d'évident : ni les Égyptiens, ni les Grecs ne l'utilisaient. C'est le mathématicien al-Hassar, qui enseignait à Fès (dans l'actuel Maroc) au $\text{XII}^\text{e}$ siècle, qui l'introduit le premier dans ses écrits.

Un siècle plus tard, l'Italien Fibonacci, qui avait appris les mathématiques arabes lors d'un séjour à Béjaïa (en Afrique du Nord, dans l'actuelle Algérie), diffuse cette notation en Europe dans son livre Liber Abaci, en $1202$ . C'est cette même barre que tu utilises aujourd'hui, à Dakar comme à Douala.

3Comparaison

Tu sais maintenant mettre deux fractions au même dénominateur : comparer devient alors très simple, car des parts de même taille se comptent directement.

3.1 Comparer deux fractions de même dénominateur

Propriété

Deux fractions ayant le même dénominateur positif sont rangées dans le même ordre que leurs numérateurs : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.

$\text{si } b > 0,\qquad \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b} \iff a < c$

Exemple

$\dfrac{5}{9} < \dfrac{7}{9}$ car $5 < 7$ . De même, $\dfrac{11}{4} > \dfrac{9}{4}$ car $11 > 9$ .

3.2 Comparer deux fractions de dénominateurs différents

Méthode — comparer des fractions de dénominateurs différents

On met d'abord les deux fractions au même dénominateur (voir chapitre 2), puis on compare leurs numérateurs.

Exemple — comparer

\dfrac{3}{4}

\dfrac{5}{6}

dénominateur commun $= 12$
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3\times 3}{4\times 3} = \dfrac{9}{12}$
$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5\times 2}{6\times 2} = \dfrac{10}{12}$
$9 < 10$
$\Rightarrow$ $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$

Figure 3 — Le disque partagé en 6 (en vert) a une part coloriée plus grande que le disque partagé en 4 (en violet) :

\dfrac{5}{6} > \dfrac{3}{4}

Attention

On ne compare jamais deux numérateurs si les dénominateurs sont différents ! Il faut d'abord passer au même dénominateur : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}$ et $\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}$ , donc $\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}$ . Sans cette étape, on ne compare rien du tout.

3.3 Comparer une fraction à 1

Propriété

Soit $\dfrac{a}{b}$ une fraction avec $a$ et $b$ strictement positifs.

si $a < b$ , alors $\dfrac{a}{b} < 1$ ;
si $a = b$ , alors $\dfrac{a}{b} = 1$ ;
si $a > b$ , alors $\dfrac{a}{b} > 1$ .

Exemple

$\dfrac{7}{9} < 1$ car $7 < 9$ (numérateur plus petit que le dénominateur). $\dfrac{13}{8} > 1$ car $13 > 8$ . $\dfrac{15}{15} = 1$ .

Cette astuce te fait souvent gagner du temps : pour comparer $\dfrac{7}{9}$ et $\dfrac{13}{8}$ , inutile de chercher un dénominateur commun ! L'une est plus petite que $1$ , l'autre plus grande : donc $\dfrac{7}{9} < \dfrac{13}{8}$ .

4Addition et soustraction

4.1 Fractions de même dénominateur

Propriété

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) leurs numérateurs, et l'on garde le même dénominateur.

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b} \qquad\qquad \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}$

Exemple

$\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{3+2}{8} = \dfrac{5}{8}$
$\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{7-4}{9} = \dfrac{3}{9}$
$=$ $\dfrac{1}{3}$ on n'oublie jamais de simplifier le résultat

Attention

Le résultat d'une addition ou d'une soustraction de fractions n'est pas toujours irréductible : pense à simplifier ! Ici, $\dfrac{3}{9}$ devient $\dfrac{1}{3}$ après simplification par $3$ — c'est cette dernière écriture qu'il faut donner en réponse finale.

4.2 Fractions de dénominateurs différents

Méthode — additionner ou soustraire des dénominateurs différents

On met les deux fractions au même dénominateur.
On applique ensuite la règle du paragraphe 4.1.
On simplifie le résultat si possible.

Exemple — un dénominateur multiple de l'autre

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}$
$\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$ $8 = 4\times 2$
$=$ $\dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{8}$
$=$ $\dfrac{5}{8}$

Exemple — dénominateurs quelconques

$\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{5}$
dénominateur commun $= 3 \times 5 = 15$
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}$ et $\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$
$=$ $\dfrac{10}{15} - \dfrac{3}{15}$
$=$ $\dfrac{7}{15}$

Attention — le piège numéro un

On n'additionne jamais les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ! $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ n'est pas $\dfrac{2}{5}$ . La bonne méthode :

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}$
$=$ $\dfrac{5}{6}$

Vérification : $\dfrac{5}{6} \approx 0{,}83$ , alors que $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ : les deux résultats n'ont rien à voir !

Math & Co — Diophante et les nombres rationnels

Vers $250$ apr. J.-C., le mathématicien Diophante d'Alexandrie (Égypte) écrit son traité Arithmetica. Il y traite les fractions comme des nombres à part entière, au même titre que les entiers — une idée qui paraît naturelle aujourd'hui, mais qui n'allait pas de soi dans l'Antiquité. Savoir additionner et soustraire des fractions comme n'importe quel nombre a ouvert la voie à l'algèbre que tu étudieras plus tard.

5Problèmes de parts

Tu sais maintenant comparer, additionner et soustraire des fractions. Il te reste à apprendre à les utiliser dans des problèmes concrets : calculer une fraction d'une quantité, ou partager un tout entre plusieurs personnes.

5.1 Calculer une fraction d'une quantité

Méthode — calculer

\dfrac{a}{b}

d'une quantité

N

Pour calculer $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité $N$ , on partage $N$ en $b$ parts égales (on divise par $b$ ), puis on en prend $a$ (on multiplie par $a$ ) :

$\dfrac{a}{b} \text{ de } N = (N \div b) \times a$

Exemple — un collège de 240 élèves

Dans un collège de $240$ élèves, $\dfrac{3}{5}$ des élèves prennent le bus.

$240 \div 5 = 48$ un cinquième des élèves
$48 \times 3 = 144$ trois cinquièmes des élèves

$144$ élèves prennent le bus.

Exemple — un prix en francs CFA

Un vélo coûte $45\,000$ F CFA. Pendant les soldes, il est vendu à $\dfrac{4}{5}$ de son prix.

$45\,000 \div 5 = 9\,000$ un cinquième du prix
$9\,000 \times 4 = 36\,000$ quatre cinquièmes du prix

Le vélo est vendu $36\,000$ F CFA.

5.2 Résoudre des problèmes de partage

Méthode — un problème de partage

Dans un problème de partage, le tout vaut toujours $1$ (l'unité entière). Si l'on connaît certaines parts, la part manquante s'obtient en soustrayant la somme des parts connues à $1$ .

Exemple — un gâteau d'anniversaire

Lors d'un goûter, les invités mangent $\dfrac{5}{8}$ d'un gâteau. Quelle fraction du gâteau reste-t-il ?

part restante $= 1 - \dfrac{5}{8}$
$1 = \dfrac{8}{8}$
$=$ $\dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8}$
$=$ $\dfrac{3}{8}$

Figure 4 — Le gâteau est partagé en huit parts égales : cinq parts (en orange) ont été mangées, trois parts (en vert) restent, soit

\dfrac{3}{8}

du gâteau.

Exemple — un héritage

Un père partage son terrain entre ses trois enfants. L'aîné reçoit $\dfrac{1}{2}$ du terrain, le cadet $\dfrac{1}{3}$ , et le benjamin reçoit le reste. Quelle fraction reçoit le benjamin ?

parts déjà données $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$
part du benjamin $= 1 - \dfrac{5}{6}$
$=$ $\dfrac{6}{6} - \dfrac{5}{6}$
$=$ $\dfrac{1}{6}$

Le benjamin reçoit $\dfrac{1}{6}$ du terrain.

Attention

Ne confonds pas « fraction d'une quantité » (une multiplication : $\dfrac{a}{b}$ de $N$ ) et « partage entre plusieurs personnes » (une somme de parts qui doit faire $1$ ). Relis bien la question pour savoir laquelle des deux méthodes appliquer.

Fiche mémo

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ ( $b \neq 0$ ) est un partage en $b$ parts égales, dont on prend $a$ ; $\dfrac{a}{b} = a \div b$ .
Fractions égales : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\times k}{b\times k}$ ( $k \neq 0$ ).
Simplifier : diviser numérateur et dénominateur par un même diviseur commun, jusqu'à la forme irréductible.
Même dénominateur : comparer $\Leftrightarrow$ comparer les numérateurs ( $b>0$ ).
Dénominateurs différents : passer au même dénominateur (produit des deux, ou un multiple commun) avant de comparer, d'additionner ou de soustraire.
Comparaison à $1$ : $\dfrac{a}{b}<1$ si $a<b$ ; $\dfrac{a}{b}=1$ si $a=b$ ; $\dfrac{a}{b}>1$ si $a>b$ .
Même dénominateur : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}$ et $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}$ .
Dénominateurs différents : même dénominateur d'abord, puis on additionne ou soustrait les numérateurs.
Toujours simplifier le résultat final.
Fraction d'une quantité : $\dfrac{a}{b}$ de $N = (N \div b) \times a$ .
Problème de partage : le tout vaut $1$ ; part manquante $= 1 -$ somme des parts connues.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Simplifie chaque fraction jusqu'à sa forme irréductible : $\dfrac{8}{12}$ ; $\dfrac{15}{20}$ ; $\dfrac{21}{28}$ ; $\dfrac{100}{1\,000}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{8}{12} = \dfrac{8\div4}{12\div4} = \dfrac{2}{3}$
$\dfrac{15}{20} = \dfrac{15\div5}{20\div5} = \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{21}{28} = \dfrac{21\div7}{28\div7} = \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{100}{1\,000} = \dfrac{100\div100}{1\,000\div100} = \dfrac{1}{10}$

Mets chaque paire de fractions au même dénominateur : a) $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{4}$ ; b) $\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{3}{10}$ ; c) $\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{5}{8}$ .

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a) Dénominateur commun $3\times4=12$ .

$\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$
$\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$

b) $10$ est déjà multiple de $5$ .

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$
$\dfrac{3}{10}$ reste inchangée

c) Dénominateur commun $6\times8=48$ .

$\dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{48}$
$\dfrac{5}{8} = \dfrac{30}{48}$

Compare les fractions suivantes : a) $\dfrac{3}{7}$ et $\dfrac{5}{7}$ ; b) $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{5}{9}$ ; c) $\dfrac{7}{10}$ et $1$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $3<5$ donc $\dfrac{3}{7} < \dfrac{5}{7}$ même dénominateur
b) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}$
$6>5$ donc $\dfrac{2}{3} > \dfrac{5}{9}$
c) $7<10$ donc $\dfrac{7}{10} < 1$

Calcule et simplifie si possible : a) $\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8}$ ; b) $\dfrac{7}{9}-\dfrac{4}{9}$ ; c) $\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{6}$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$
b) $\dfrac{7}{9}-\dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{9}$
$=$ $\dfrac{1}{3}$ simplification par 3
c) $\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{6}$
$=$ $\dfrac{2}{3}$ simplification par 2

Calcule (un dénominateur est multiple de l'autre) : a) $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}$ ; b) $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{8}$ ; c) $\dfrac{5}{12}+\dfrac{1}{4}$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9}$ donc $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9} = \dfrac{3}{9}+\dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9}$
b) $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$ donc $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8}-\dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$
c) $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$ donc $\dfrac{5}{12}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}+\dfrac{3}{12} = \dfrac{8}{12}$
$=$ $\dfrac{2}{3}$ simplification par 4

Niveau 2 — Approfondissement

Compare $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{7}{9}$ .

Voir le corrigé détaillé

dénominateur commun $= 18$
$\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$
$\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}$
$15 > 14$
$\Rightarrow$ $\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}$

Calcule $A = \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{12}$ .

Voir le corrigé détaillé

dénominateur commun $= 12$
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$
$A = \dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}-\dfrac{5}{12}$
$=$ $\dfrac{6}{12}$
$=$ $\dfrac{1}{2}$ simplification par 6

Range dans l'ordre croissant, après les avoir simplifiées si besoin : $\dfrac{10}{15}$ ; $\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{12}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ simplification par 5
dénominateur commun $= 12$
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$
$7 < 8 < 9$
$\Rightarrow$ $\dfrac{7}{12} < \dfrac{10}{15} < \dfrac{3}{4}$

Une plantation compte $350$ cacaoyers. On observe que $\dfrac{2}{7}$ d'entre eux sont malades. Combien de cacaoyers sont malades ?

Voir le corrigé détaillé

$350 \div 7 = 50$ un septième des cacaoyers
$50 \times 2 = 100$ deux septièmes des cacaoyers

$100$ cacaoyers sont malades.

Calcule $B = \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ .

Voir le corrigé détaillé

dénominateur commun $= 6$
$B = \dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}$
$=$ $\dfrac{4}{6}$
$=$ $\dfrac{2}{3}$ simplification par 2

Niveau 3 — Défi

Un réservoir de $2\,000$ L se remplit en deux jours. Le lundi, il est rempli à $\dfrac{1}{4}$ . Le mardi, on y ajoute encore $\dfrac{2}{5}$ du réservoir.

Quelle fraction du réservoir est remplie après le mardi ?
Quelle fraction reste-t-il à remplir ?
Combien de litres reste-t-il à ajouter ?

Voir le corrigé détaillé

1. Dénominateur commun $20$ .

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{20}$ et $\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$
rempli $= \dfrac{5}{20}+\dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20}$

reste $= 1-\dfrac{13}{20} = \dfrac{20}{20}-\dfrac{13}{20}$
$=$ $\dfrac{7}{20}$

$2\,000 \div 20 = 100$
$100 \times 7 = 700$

Il reste $700$ L à ajouter.

Sans calculer le dénominateur commun $1\,000\times100$ , compare $\dfrac{999}{1\,000}$ et $\dfrac{99}{100}$ en utilisant leur écart à $1$ .

Calcule $1-\dfrac{999}{1\,000}$ et $1-\dfrac{99}{100}$ .
Laquelle des deux fractions est la plus proche de $1$ ?
Conclus sur l'ordre de $\dfrac{999}{1\,000}$ et $\dfrac{99}{100}$ .

Voir le corrigé détaillé

$1-\dfrac{999}{1\,000} = \dfrac{1}{1\,000}$
$1-\dfrac{99}{100} = \dfrac{1}{100} = \dfrac{10}{1\,000}$

2. $\dfrac{1}{1\,000} < \dfrac{10}{1\,000}$ : l'écart à $1$ est plus petit pour $\dfrac{999}{1\,000}$ , donc $\dfrac{999}{1\,000}$ est la plus proche de $1$ .

3. Plus une fraction est proche de $1$ (par valeurs inférieures à $1$ ), plus elle est grande. Donc $\dfrac{999}{1\,000} > \dfrac{99}{100}$ .

Un marchand possède un rouleau de tissu de $60$ mètres. Il en vend $\dfrac{1}{4}$ le lundi et $\dfrac{2}{5}$ le mardi.

Quelle fraction du rouleau a-t-il vendue en tout ?
Quelle fraction lui reste-t-il ?
Quelle longueur, en mètres, lui reste-t-il ?
Range dans l'ordre croissant les fractions vendues lundi, mardi, et la fraction restante.

Voir le corrigé détaillé

1. Dénominateur commun $20$ .

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{20}$ et $\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$
vendu $= \dfrac{5}{20}+\dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20}$

reste $= \dfrac{20}{20}-\dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}$

$60 \div 20 = 3$
$3 \times 7 = 21$

Il lui reste $21$ mètres de tissu.

4. En vingtièmes : $\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{20}$ ; $\dfrac{7}{20}$ ; $\dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{20}$ . Comme $5<7<8$ : $\dfrac{1}{4} < \dfrac{7}{20} < \dfrac{2}{5}$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le marché de Dakar. Une marchande a un panier de $96$ mangues. Elle en vend $\dfrac{3}{8}$ le matin et $\dfrac{1}{4}$ l'après-midi.

Quelle fraction du panier a-t-elle vendue en tout ?
Combien de mangues lui reste-t-il ?
Si chaque mangue restante est vendue $150$ F CFA, combien gagnera-t-elle sur ces mangues restantes ?

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$
vendu $= \dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$

reste $= \dfrac{8}{8}-\dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$
$96 \div 8 = 12$
$12 \times 3 = 36$

Il lui reste $36$ mangues.

$36 \times 150 = 5\,400$

Elle gagnera $5\,400$ F CFA.

Le champ de Madame Diarra (Bamako). Madame Diarra partage son champ de $4\,800$ m² entre ses trois enfants : Fatou reçoit $\dfrac{1}{2}$ du champ, Moussa reçoit $\dfrac{1}{3}$ , et Awa reçoit le reste.

Quelle fraction du champ reçoit Awa ?
Quelle surface, en m², reçoit chacun des trois enfants ?

Voir le corrigé détaillé

parts données $= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$
part d'Awa $= \dfrac{6}{6}-\dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$

Figure 5 — Le champ est partagé en trois parts inégales :

\dfrac{1}{2}

pour Fatou,

\dfrac{1}{3}

pour Moussa,

\dfrac{1}{6}

pour Awa.

Corrigé — question 2 de l'exercice 15

Fatou : $4\,800 \div 2 = 2\,400$ m²
Moussa : $4\,800 \div 3 = 1\,600$ m²
Awa : $4\,800 \div 6 = 800$ m²

Vérification : $2\,400+1\,600+800 = 4\,800$ m², le champ tout entier.

Le puits d'Abéché. Un puits contient $3\,000$ litres d'eau. Le matin, une famille puise $\dfrac{2}{5}$ de l'eau du puits, puis on utilise encore $\dfrac{1}{4}$ de l'eau du puits pour arroser un jardin.

Quelle fraction de l'eau a été utilisée en tout ?
Combien de litres reste-t-il dans le puits ?
Le litre d'eau coûtant $5$ F CFA au marché, combien coûterait-il de racheter toute l'eau utilisée ?

Voir le corrigé détaillé

1. Dénominateur commun $20$ .

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{20}$
utilisé $= \dfrac{8}{20}+\dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20}$

reste $= \dfrac{20}{20}-\dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}$
$3\,000 \div 20 = 150$
$150 \times 7 = 1\,050$

Il reste $1\,050$ litres dans le puits.

eau utilisée $= 150 \times 13 = 1\,950$ L
coût $= 1\,950 \times 5 = 9\,750$

Il faudrait $9\,750$ F CFA pour racheter toute l'eau utilisée.

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Dans la fraction $\dfrac{a}{b}$ , le nombre $b$ s'appelle :

le dénominateur le numérateur le quotient le diviseur commun

Explication :

a

est le numérateur (le nombre de parts prises),

b

est le dénominateur (le nombre de parts égales dans le partage).

On ne change pas la valeur d'une fraction en :

ajoutant le même nombre au numérateur et au dénominateur multipliant (ou divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul multipliant seulement le numérateur par un nombre échangeant le numérateur et le dénominateur

Explication :

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\times k}{b\times k}

, pour tout

k

non nul. C'est la propriété des fractions égales.

Simplifie $\dfrac{18}{24}$ jusqu'à sa forme irréductible.

\dfrac{9}{12}

\dfrac{6}{8}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{2}{3}

Explication :

\dfrac{18}{24} = \dfrac{18\div2}{24\div2} = \dfrac{9}{12}

= \dfrac{9\div3}{12\div3} = \dfrac{3}{4}

3

4

n'ont plus de diviseur commun.

Pour simplifier une fraction, la bonne méthode consiste à :

barrer les chiffres identiques au numérateur et au dénominateur additionner le même nombre au numérateur et au dénominateur multiplier le numérateur et le dénominateur par des nombres différents diviser le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun

Explication : Simplifier, c'est diviser, jamais barrer des chiffres qui se ressemblent. On divise numérateur et dénominateur par un même diviseur commun, jusqu'à la forme irréductible.

Pour mettre $\dfrac{1}{4}$ au même dénominateur que $\dfrac{5}{8}$ , on obtient :

\dfrac{1}{8}

\dfrac{2}{8}

\dfrac{4}{8}

\dfrac{5}{8}

Explication :

8 = 4\times2

, donc on multiplie numérateur et dénominateur par

2

\dfrac{1}{4} = \dfrac{1\times2}{4\times2} = \dfrac{2}{8}

On met $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{5}$ au dénominateur commun $15$ . Que devient $\dfrac{2}{3}$ ?

\dfrac{10}{15}

\dfrac{6}{15}

\dfrac{9}{15}

\dfrac{2}{15}

Explication :

15 = 3\times5

, donc on multiplie numérateur et dénominateur par

5

\dfrac{2}{3} = \dfrac{2\times5}{3\times5} = \dfrac{10}{15}

Compare $\dfrac{5}{9}$ et $\dfrac{7}{9}$ .

\dfrac{5}{9} > \dfrac{7}{9}

\dfrac{5}{9} = \dfrac{7}{9}

\dfrac{5}{9} < \dfrac{7}{9}

On ne peut pas comparer

Explication : Deux fractions de même dénominateur positif se comparent directement par leurs numérateurs :

5 < 7

, donc

\dfrac{5}{9} < \dfrac{7}{9}

Compare $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{6}$ .

\dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{6}

On ne peut pas comparer ces deux fractions

\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{6}

\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}

Explication : Au dénominateur commun

12

\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}

\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}

9 < 10

donc

\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}

La fraction $\dfrac{7}{9}$ est-elle plus petite ou plus grande que $1$ ?

Plus petite que

1

, car le numérateur est plus petit que le dénominateur Plus grande que

1

Égale à

1

Impossible à savoir sans calcul

Explication : Quand le numérateur

a

est plus petit que le dénominateur

b

, la fraction

\dfrac{a}{b}

est plus petite que

1

. Ici,

7 < 9

Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, il faut d'abord :

comparer directement leurs numérateurs comparer directement leurs dénominateurs les mettre au même dénominateur les transformer en nombres entiers

Explication : On ne compare jamais deux numérateurs si les dénominateurs sont différents : il faut d'abord passer au même dénominateur, pour comparer des parts de même taille.

Calcule $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}$ .

\dfrac{5}{16}

\dfrac{5}{8}

\dfrac{1}{8}

\dfrac{6}{8}

Explication : Même dénominateur : on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur.

\dfrac{3+2}{8} = \dfrac{5}{8}

Calcule $\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{9}$ , en donnant le résultat sous forme irréductible.

\dfrac{3}{9}

\dfrac{3}{0}

\dfrac{11}{9}

\dfrac{1}{3}

Explication :

\dfrac{7-4}{9} = \dfrac{3}{9}

puis on simplifie par

3

\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}

. N'oublie jamais de simplifier le résultat final.

Pourquoi $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ n'est-il pas égal à $\dfrac{2}{5}$ ?

Parce qu'il faut soustraire au lieu d'additionner Parce que

2+3

ne fait pas

5

Parce qu'on ne doit jamais additionner directement les numérateurs et les dénominateurs entre eux Parce que

\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{3}

ne peuvent pas s'additionner

Explication : Il faut d'abord mettre au même dénominateur :

\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}

, très différent de

\dfrac{2}{5}

Calcule $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}$ .

\dfrac{5}{8}

\dfrac{4}{8}

\dfrac{4}{12}

\dfrac{2}{8}

Explication :

\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}

\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}

Calcule $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{5}$ .

\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{15}

\dfrac{9}{15}

\dfrac{7}{15}

Explication : dénominateur commun

=3\times5=15

\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{15}

\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{15}

\dfrac{10}{15}-\dfrac{3}{15} = \dfrac{7}{15}

Pour calculer $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité $N$ , on :

multiplie

N

par

a

, puis par

b

divise

N

par

b

, puis on multiplie le résultat par

a

divise

N

par

a

, puis on multiplie le résultat par

b

additionne

a

b

, puis on multiplie par

N

Explication : On partage

N

b

parts égales (division par

b

), puis on en prend

a

(multiplication par

a

) :

\dfrac{a}{b}

N = (N \div b) \times a

Dans un collège de $240$ élèves, $\dfrac{3}{5}$ prennent le bus. Combien d'élèves cela représente-t-il ?

48

80

144

200

Explication :

240 \div 5 = 48

(un cinquième)

48 \times 3 = 144

(trois cinquièmes)

Dans un problème de partage, si l'on connaît certaines parts d'un tout, la part manquante s'obtient en :

soustrayant la somme des parts connues à

1

additionnant toutes les parts connues multipliant les parts connues entre elles divisant

1

par le nombre de parts connues

Explication : Le tout vaut toujours

1

(l'unité entière). La part manquante

= 1 -

somme des parts déjà connues.

Lors d'un goûter, les invités mangent $\dfrac{5}{8}$ d'un gâteau. Quelle fraction du gâteau reste-t-il ?

\dfrac{5}{8}

\dfrac{1}{8}

\dfrac{5}{3}

\dfrac{3}{8}

Explication : part restante

= 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8}

= \dfrac{3}{8}

Un père partage son terrain entre ses trois enfants. L'aîné reçoit $\dfrac{1}{2}$ du terrain, le cadet $\dfrac{1}{3}$ , et le benjamin reçoit le reste. Quelle fraction reçoit le benjamin ?

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{5}{6}

Explication : parts déjà données

= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}

part du benjamin

= \dfrac{6}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}

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Classe : Classe de Cinquième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 7 h
6 parties · 3 objectifs
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