Nombres relatifs : découverte

Comprendre les nombres négatifs, les repérer et les comparer.

Mathématiques 5ème Chapitre 1 / 13 ⏱ 5 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Placer un relatif sur une droite graduée
Comparer et ranger des relatifs
Lire et placer des points dans un repère

Il fait −3 °C ce matin à Genève, un plongeur descend à −20 m sous la surface de la mer, le compte d'une boutique affiche −15 000 FCFA. Dans les trois cas, le petit signe « − » n'est pas une erreur : il porte une information essentielle. Jusqu'à présent, tu ne connaissais que les nombres positifs (et zéro) pour compter, mesurer, payer. Ce chapitre t'ouvre les portes d'une famille de nombres bien plus large : les nombres relatifs.

Tu vas apprendre à reconnaître un nombre relatif, à trouver son opposé, à mesurer sa distance à zéro (sa valeur absolue), à le placer sur une droite graduée, à comparer et ranger plusieurs relatifs, puis à repérer un point dans un plan grâce à deux nombres relatifs : ses coordonnées. Ce sont des outils que tu utiliseras toute ta scolarité, en mathématiques comme en physique, en géographie ou en économie.

Rassure-toi : rien de tout cela n'est difficile. Il s'agit surtout d'un nouveau langage, avec ses propres mots et ses propres règles, que tu vas apprendre pas à pas, avec des exemples pris dans la vie de tous les jours.

Objectifs du chapitre

Placer un nombre relatif sur une droite graduée.
Comparer et ranger des nombres relatifs.
Lire et placer des points dans un repère.

1Besoin des nombres négatifs

Pourquoi inventer de nouveaux nombres ? Parce que les nombres positifs ne suffisent pas à décrire tout ce qui nous entoure. Dès qu'une grandeur peut se trouver « en dessous » d'un niveau de référence, ou représenter un manque, les nombres positifs ne suffisent plus.

1.1 Des températures en dessous de zéro

Le thermomètre est le premier endroit où l'on rencontre les nombres négatifs. Le 0 °C correspond à la température de fusion de la glace : c'est un repère naturel, choisi une fois pour toutes. Une température peut être au-dessus de ce repère (on note alors un nombre positif) ou en dessous (on note un nombre négatif, précédé du signe « − »).

Définition

Un nombre relatif est un nombre formé d'un signe (« + » ou « − ») et d'une distance à zéro. On l'appelle « relatif » car il est toujours donné par rapport à un repère fixé (ici, 0 °C).

Un nombre relatif peut être :

positif : par exemple $+7$ , que l'on écrit le plus souvent simplement $7$ ;
négatif : par exemple $-7$ , où le signe « − » ne peut jamais être omis ;
nul : le nombre $0$ , qui n'a pas de signe.

Exemple — des températures relevées en une journée

À Abéché (Tchad), on relève : à 6 h du matin, $18$ °C ; à 14 h, $41$ °C ; au sommet du Kilimandjaro, ce même jour, il fait $-9$ °C.

température à 6 h : $+18$ °Cau-dessus de 0 °C, on peut omettre le « + »
température à 14 h : $+41$ °C
température au sommet : $-9$ °Cen dessous de 0 °C, le « − » est obligatoire

Figure 1 — Sur un même thermomètre, une température peut être positive (au-dessus de 0 °C) ou négative (en dessous de 0 °C) : les deux sont des nombres relatifs.

1.2 Des altitudes et des profondeurs

Même idée avec l'altitude : le niveau de la mer sert de repère (altitude $0$ ). Une montagne a une altitude positive ; le fond d'un puits, une mine, ou un lac situé sous le niveau de la mer ont une altitude négative. On dit alors qu'on donne leur profondeur.

Exemple — altitudes et profondeurs

sommet du Kilimandjaro (Tanzanie) : altitude $+5\,895$ m
rue de Ndjamena, au bord du Chari : altitude $\approx +295$ m
un puits creusé à Bamako : profondeur $18$ m, soit une altitude de $-18$ m par rapport au sol

Les étages d'un immeuble suivent exactement la même logique : le rez-de-chaussée (le niveau de la rue) est le repère $0$ ; les étages au-dessus sont numérotés $1, 2, 3\dots$ ; les niveaux de sous-sol (parking, cave) sont numérotés $-1, -2\dots$

Figure 2 — Dans un immeuble, le rez-de-chaussée porte le numéro 0 : les étages sont des nombres positifs, les niveaux de sous-sol des nombres négatifs.

Math & Co — Une longue résistance aux nombres négatifs

Les nombres négatifs sont utilisés depuis très longtemps pour compter des dettes. En Chine, dès le IIᵉ siècle avant notre ère, le traité Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique utilise des baguettes de calcul rouges pour les quantités positives et noires pour les quantités négatives. En Inde, le mathématicien Brahmagupta, en 628, énonce clairement des règles sur les « biens » (positifs) et les « dettes » (négatifs).

En Europe pourtant, les nombres négatifs mettent des siècles à être acceptés : de nombreux mathématiciens, jusqu'au XVIIᵉ siècle, les jugent absurdes et les qualifient de solutions « fausses » d'une équation. Il faudra attendre le développement de l'algèbre moderne pour que les relatifs deviennent des nombres à part entière, aussi légitimes que les autres.

1.3 Des dettes et des comptes

Dernier exemple, très concret : un compte en banque ou une caisse de boutique. Le repère $0$ correspond à un compte « à l'équilibre ». Un solde positif est un avoir (de l'argent disponible) ; un solde négatif est une dette (un découvert).

Exemple — la caisse d'une boutique à Douala

Lundi soir, la caisse d'une boutique affiche $-4\,200$ FCFA (elle doit de l'argent au fournisseur). Mardi soir, après de bonnes ventes, elle affiche $+9\,000$ FCFA.

lundi : $-4\,200$ FCFAla boutique est en dette
mardi : $+9\,000$ FCFAla boutique a de l'argent en réserve

Attention

Le signe « + » est facultatif devant un nombre positif ( $7$ et $+7$ désignent le même nombre), mais le signe « − » d'un nombre négatif ne peut jamais être oublié : $-7$ et $7$ sont deux nombres complètement différents !

2Vocabulaire : signe, opposé, valeur absolue

Avant d'aller plus loin, il faut maîtriser trois mots-clés que tu utiliseras dans tout le chapitre : signe, opposé, valeur absolue.

2.1 Le signe d'un nombre relatif

Définition

Tout nombre relatif non nul possède un signe : « + » (on dit qu'il est positif) ou « − » (on dit qu'il est négatif). Le nombre $0$ n'a pas de signe : il n'est ni positif ni négatif (ou, si l'on préfère, il est à la fois positif et négatif au sens large).

2.2 L'opposé d'un nombre

Définition

Deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires. L'opposé d'un nombre $a$ se note $-a$ .

Exemple — trouver un opposé

l'opposé de $5$ est $-5$
l'opposé de $-8$ est $8$ on change simplement le signe
l'opposé de $0$ est $0$ $0$ est son propre opposé

2.3 La valeur absolue

Définition

La valeur absolue d'un nombre relatif $a$ , notée $|a|$ , est sa distance à zéro, c'est-à-dire le nombre $a$ « sans son signe ». La valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Exemple — calculer une valeur absolue

$|-9| = 9$ on efface le signe « − »
$|7| = 7$ un nombre positif est déjà sa propre valeur absolue
$|0| = 0$

Figure 3 —

-3

3

sont opposés : ils sont à la même distance de

0

(trois graduations), de part et d'autre.

Propriété

L'opposé de l'opposé d'un nombre est ce nombre lui-même : $-(-a) = a$ .
La valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle : $|a| \geqslant 0$ .
Deux nombres opposés (non nuls) ont la même valeur absolue : $|a| = |-a|$ .

Démonstration — idée simple

Sur la droite graduée, $a$ et $-a$ sont placés symétriquement par rapport à $0$ , comme deux enfants sur une balançoire à bascule équilibrée : quand l'un s'éloigne de $3$ crans vers la droite, l'autre s'éloigne de $3$ crans vers la gauche. Leur distance à zéro est donc toujours la même : c'est exactement ce que dit $|a| = |-a|$ . Et si l'on prend l'opposé de $-a$ , on revient au point de départ : on retrouve $a$ .

Attention

Ne confonds pas le signe « − » d'un nombre négatif (comme dans $-8$ ) et le signe « − » d'une opération (comme dans $9 - 8$ ). Dans ce chapitre, on ne fait aucun calcul avec les relatifs : on apprend seulement à les reconnaître, à les comparer et à les placer. Les opérations viendront dans un autre chapitre.

3Droite graduée et repérage

Pour visualiser les nombres relatifs tous ensemble, sur un seul dessin, on utilise une droite graduée. C'est l'outil de base de tout ce chapitre : une fois qu'un nombre est placé dessus, on peut le comparer à tous les autres d'un simple coup d'œil.

3.1 Construire une droite graduée

Définition

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

un point appelé origine, qui représente le nombre $0$ ;
un sens de lecture, indiqué par une flèche (en général, vers la droite) ;
une unité de longueur, la même partout, qui sépare deux graduations consécutives.

Le nombre associé à un point de la droite s'appelle l'abscisse de ce point.

Méthode — placer un nombre relatif sur une droite graduée

On repère le sens (à droite de $0$ pour un positif, à gauche pour un négatif), puis on compte le bon nombre de graduations à partir de l'origine, en utilisant la valeur absolue du nombre comme distance.

Exemple — placer

-3{,}5

$-3{,}5$ est négatifon part vers la gauche de l'origine
$|-3{,}5| = 3{,}5$ distance à parcourir : trois graduations et demie
$\Rightarrow$ on place le point à mi-chemin entre les graduations $-3$ et $-4$

3.2 Lire une abscisse

Inversement, si l'on te donne un point déjà placé, tu dois savoir lire son abscisse : regarde de quel côté de $0$ il se trouve, puis compte les graduations qui le séparent de l'origine.

Figure 4 — Les points

A

C

tombent juste sur une graduation entière ;

B

D

se lisent entre deux graduations, ce qui donne des abscisses décimales.

Exemple — lire les abscisses de la figure 4

$A$ est $4$ graduations à gauche de $0$ abscisse négative
$\Rightarrow$ abscisse de $A$ : $x_A = -4$
$C$ est $2$ graduations à droite de $0$
$\Rightarrow$ abscisse de $C$ : $x_C = 2$

Propriété

Sur une droite graduée, chaque point a une unique abscisse, et chaque nombre relatif correspond à un unique point. C'est cette correspondance parfaite qui rend la droite graduée si utile : un nombre, c'est un point ; un point, c'est un nombre.

4Comparaison et rangement

Savoir comparer deux relatifs, c'est savoir répondre à la question « lequel est le plus grand ? ». Sur la droite graduée, la réponse tient en une phrase.

4.1 Comparer deux nombres relatifs

Propriété — comparaison de deux relatifs

Sur une droite graduée orientée vers la droite, un nombre est plus grand qu'un autre si son point est situé plus à droite. Il en découle trois règles pratiques :

tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif ;
entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue ;
entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.

Démonstration — idée simple

La première règle est évidente sur la droite : tous les positifs sont à droite de $0$ , tous les négatifs à gauche, donc un positif est toujours plus à droite qu'un négatif. Pour la troisième règle : plus un nombre négatif « s'éloigne » de $0$ vers la gauche (donc plus sa valeur absolue est grande), plus il recule sur la droite, donc plus il devient petit. C'est pour cela que $-10$ , très loin de $0$ , est plus petit que $-3$ , plus proche de $0$ .

Exemple — comparer des relatifs

$-2$ et $5$
$\Rightarrow$ $-2 < 5$ un négatif est toujours plus petit qu'un positif
$-8$ et $-3$
$|-8| = 8$ et $|-3| = 3$ , donc $8 > 3$
$\Rightarrow$ $-8 < -3$ le nombre à la plus grande valeur absolue est le plus petit

Attention — le piège classique

Beaucoup d'élèves pensent que $-10$ est plus grand que $-3$ « parce que $10 > 3$ ». C'est faux ! Il ne faut jamais comparer les valeurs absolues seules pour des nombres négatifs : il faut comparer les nombres eux-mêmes, en se souvenant que plus on avance vers la gauche, plus on descend. Sur la droite graduée : $-10 < -3$ .

4.2 Ranger une liste de relatifs

Méthode — ranger des relatifs dans l'ordre croissant

On sépare d'abord les négatifs des positifs. On classe les négatifs de la plus grande valeur absolue à la plus petite (ils grandissent en s'approchant de $0$ ). On classe ensuite les positifs de la plus petite à la plus grande valeur absolue. On termine en recollant les deux listes, négatifs d'abord.

Exemple — ranger

4

-7

0

-1

3

dans l'ordre croissant

négatifs : $-7$ et $-1$
$|-7| = 7 > |-1| = 1$ donc $-7 < -1$
positifs : $3$ et $4$ , avec $3 < 4$
$\Rightarrow$ $-7 < -1 < 0 < 3 < 4$

Ce classement fonctionne pour n'importe quelle grandeur mesurée avec des relatifs : des températures, des altitudes, des soldes bancaires. Voici, à titre d'exemple, quelques températures relevées un même jour dans plusieurs villes.

Ville	Dakar	Bamako	Douala	Abéché	Sommet du Kilimandjaro
Température	$27$ °C	$34$ °C	$24$ °C	$40$ °C	$-9$ °C

Un seul nombre négatif suffit à voir qu'il est, ce jour-là, le plus froid de tous : $-9 < 24 < 27 < 34 < 40$ . Sans les relatifs, il serait impossible d'inclure une température sous zéro dans un même classement.

5Repérage dans le plan

Une droite graduée permet de repérer un point sur une ligne. Mais pour repérer un point sur une feuille — ou une ville sur une carte, ou une case sur un jeu d'échecs — une seule droite ne suffit plus : il en faut deux. C'est l'idée du repère du plan.

5.1 Le repère du plan

Définition

Un repère du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires, de même origine $O$ :

une droite horizontale, appelée axe des abscisses ;
une droite verticale, appelée axe des ordonnées.

À tout point $M$ du plan, on associe un couple de nombres relatifs $(x \, ; \, y)$ , ses coordonnées : $x$ est l'abscisse de $M$ (lue sur l'axe horizontal), $y$ est son ordonnée (lue sur l'axe vertical).

Math & Co — Descartes invente les coordonnées

C'est le philosophe et mathématicien français René Descartes qui, en 1637, dans un appendice de son Discours de la méthode intitulé La Géométrie, a l'idée de repérer un point du plan par deux nombres. Cette découverte est si importante qu'on appelle aujourd'hui « coordonnées cartésiennes » ce système de repérage, en hommage à son nom latinisé, Cartesius.

Grâce à cette idée toute simple, la géométrie et l'algèbre, jusque-là deux mondes séparés, deviennent un seul et même domaine : une équation peut désormais se dessiner, et une figure peut se calculer.

Figure 5 — Chaque point du plan est repéré par un couple d'abscisse et d'ordonnée, toujours dans cet ordre :

(x \, ; \, y)

5.2 Lire et placer un point

Méthode — lire les coordonnées d'un point

On descend (ou on monte) verticalement du point jusqu'à l'axe horizontal pour lire son abscisse ; on part horizontalement du point jusqu'à l'axe vertical pour lire son ordonnée.

Exemple — lire les coordonnées de

C

(figure 5)

projection de $C$ sur l'axe horizontal : $-2$
$\Rightarrow$ abscisse de $C$ : $-2$
projection de $C$ sur l'axe vertical : $-3$
$\Rightarrow$ ordonnée de $C$ : $-3$
$\Rightarrow$ $C(-2 \, ; \, -3)$

Méthode — placer un point connaissant ses coordonnées

Pour placer $E(-3 \, ; \, 2)$ : on part de l'origine $O$ , on avance de $3$ graduations vers la gauche (abscisse négative), puis, à partir de là, on monte de $2$ graduations (ordonnée positive). On obtient le point $E$ .

Attention — l'ordre ne se change jamais

Dans $(x \, ; \, y)$ , l'abscisse est toujours écrite en premier, l'ordonnée en second. Les points $(3 \, ; \, -2)$ et $(-2 \, ; \, 3)$ ne désignent pas le même endroit du plan : inverser l'ordre est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre.

Fiche mémo

Un nombre relatif a un signe (« + » ou « − ») et une distance à zéro ; le signe « − » ne s'omet jamais.
On en a besoin dès qu'une grandeur peut être « en dessous » d'un repère : températures, altitudes/profondeurs, étages, comptes.
Opposé de $a$ : noté $-a$ , même distance à zéro, signe contraire ; $-(-a) = a$ .
Valeur absolue de $a$ : notée $|a|$ , c'est sa distance à zéro ; toujours $|a| \geqslant 0$ .
Une droite graduée a une origine ( $0$ ), un sens, une unité ; le nombre associé à un point est son abscisse.
Comparaison : tout positif $>$ tout négatif ; entre positifs, le plus grand a la plus grande valeur absolue ; entre négatifs, le plus grand a la plus petite valeur absolue.
Piège classique : $-10 < -3$ (pas l'inverse !).
Pour ranger une liste : négatifs (du plus « grand en valeur absolue » au plus petit), puis $0$ , puis positifs croissants.
Un repère du plan : deux droites graduées perpendiculaires, de même origine $O$ — axe des abscisses (horizontal) et axe des ordonnées (vertical).
Coordonnées d'un point : $(x \, ; \, y)$ , abscisse toujours en premier.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Traduis chaque situation par un nombre relatif.

Une température de $5$ degrés en dessous de zéro.
Une dette de $3\,000$ FCFA.
Une altitude de $1\,200$ m au-dessus du niveau de la mer.
Un ascenseur arrêté au $2^{\text e}$ sous-sol.
Un compte parfaitement à l'équilibre.

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$5$ degrés en dessous de zéro : $-5$
dette de $3\,000$ FCFA : $-3\,000$
altitude au-dessus du niveau de la mer : $+1\,200$
$2^{\text e}$ sous-sol : $-2$
compte à l'équilibre : $0$

Donne l'opposé de chacun de ces nombres : $6$ ; $-9$ ; $14$ ; $-1$ ; $0$ ; $-25$ ; $100$ ; $-0{,}5$ .

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opposé de $6$ : $-6$
opposé de $-9$ : $9$
opposé de $14$ : $-14$
opposé de $-1$ : $1$
opposé de $0$ : $0$
opposé de $-25$ : $25$
opposé de $100$ : $-100$
opposé de $-0{,}5$ : $0{,}5$

Calcule la valeur absolue de chacun de ces nombres : $-12$ ; $8$ ; $-30$ ; $0$ ; $-100$ ; $4{,}5$ .

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$|-12| = 12$
$|8| = 8$
$|-30| = 30$
$|0| = 0$
$|-100| = 100$
$|4{,}5| = 4{,}5$

Donne les abscisses des points $E$ , $F$ et $G$ placés sur la droite graduée ci-dessous.

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Figure 6 — Trois points à repérer sur la droite graduée.

$E$ est $3$ graduations à gauche de $0$ $\Rightarrow x_E = -3$
$F$ est $1$ graduation à droite de $0$ $\Rightarrow x_F = 1$
$G$ est $4$ graduations à droite de $0$ $\Rightarrow x_G = 4$

Compare les nombres en utilisant $<$ ou $>$ : a) $-5$ et $2$ ; b) $-8$ et $-3$ ; c) $0$ et $-1$ ; d) $-15$ et $-20$ ; e) $-1$ et $1$ ; f) $-30$ et $-3$ .

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a) $-5 < 2$ négatif $<$ positif
b) $-8 < -3$ $|-8|=8 > |-3|=3$
c) $0 > -1$
d) $-15 > -20$ $|-15|=15 < |-20|=20$
e) $-1 < 1$
f) $-30 < -3$ $|-30|=30 > |-3|=3$

Niveau 2 — Approfondissement

Range dans l'ordre croissant : $5$ ; $-12$ ; $0$ ; $-3$ ; $8$ ; $-1$ ; $2$ .

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négatifs : $-12$ , $-3$ , $-1$ du plus grand en valeur absolue au plus petit
positifs : $2$ , $5$ , $8$
$\Rightarrow$ $-12 < -3 < -1 < 0 < 2 < 5 < 8$

Calcule chacun de ces nombres, puis range les cinq résultats dans l'ordre croissant : l'opposé de $-6$ ; $|-9|$ ; l'opposé de $4$ ; $|2|$ ; l'opposé de $0$ .

Voir le corrigé détaillé

opposé de $-6$ : $6$
$|-9| = 9$
opposé de $4$ : $-4$
$|2| = 2$
opposé de $0$ : $0$
$\Rightarrow$ $-4 < 0 < 2 < 6 < 9$

Dans un immeuble, Awa habite au $3^{\text e}$ étage, Koffi au $2^{\text e}$ sous-sol, Fatou au rez-de-chaussée, Malick au $5^{\text e}$ étage et Aïcha au $1^{\text{er}}$ sous-sol. Range ces cinq niveaux dans l'ordre croissant, puis indique qui habite le plus haut et qui habite le plus bas.

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Koffi : $-2$
Aïcha : $-1$
Fatou : $0$
Awa : $3$
Malick : $5$
$\Rightarrow$ $-2 < -1 < 0 < 3 < 5$

Le plus haut est Malick ( $5^{\text e}$ étage), le plus bas est Koffi ( $2^{\text e}$ sous-sol).

En utilisant les points $A(3\,;\,2)$ , $B(-4\,;\,1)$ , $C(-2\,;\,-3)$ et $D(5\,;\,-2)$ de la figure 5 :

Quel point a la plus grande ordonnée ?
Quel point a l'abscisse la plus petite ?
Range les quatre abscisses dans l'ordre croissant.

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1. Les ordonnées sont $2$ , $1$ , $-3$ et $-2$ : la plus grande est $2$ , donc c'est $A$ .

2. Les abscisses sont $3$ , $-4$ , $-2$ et $5$ : la plus petite est $-4$ , donc c'est $B$ .

abscisses : $3$ , $-4$ , $-2$ , $5$
$\Rightarrow$ $-4 < -2 < 3 < 5$ soit $B < C < A < D$

Niveau 3 — Défi

Un randonneur part du niveau de la mer (altitude $0$ ). Il descend explorer une grotte jusqu'à $-35$ m. Il en ressort, remonte, puis escalade une colline jusqu'à $+120$ m. Il redescend enfin se reposer sur un plateau, à $+45$ m.

Donne les quatre altitudes successives sous forme de nombres relatifs.
Range ces quatre altitudes dans l'ordre croissant.
Quelle est la position la plus basse ? la plus haute ? Quelle distance (en valeur absolue) sépare le point le plus bas du niveau de la mer ?

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1. Les quatre altitudes sont $0$ m, $-35$ m, $120$ m et $45$ m.

négatif : $-35$
positifs : $0$ , $45$ , $120$
$\Rightarrow$ $-35 < 0 < 45 < 120$

3. La position la plus basse est la grotte, à $-35$ m ; la plus haute est la colline, à $120$ m. La distance entre la grotte et le niveau de la mer vaut $|-35| = 35$ m.

Pour chacun des trois cas suivants, donne un exemple de nombre relatif qui convient, puis explique pourquoi c'est vrai pour tous les nombres de cette catégorie.

Un nombre dont l'opposé est strictement plus grand que lui.
Un nombre dont l'opposé est strictement plus petit que lui.
Un nombre égal à son propre opposé.

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1. Exemple : $-4$ , dont l'opposé est $4$ , et $4 > -4$ . C'est vrai pour tout nombre négatif : son opposé est positif, et un positif est toujours plus grand qu'un négatif.

2. Exemple : $4$ , dont l'opposé est $-4$ , et $-4 < 4$ . C'est vrai pour tout nombre positif, par le même raisonnement inversé.

3. Seul $0$ convient : l'opposé de $0$ est $0$ lui-même, c'est le seul nombre dans ce cas.

Sur une carte au trésor munie d'un repère (une unité = $10$ m, origine au puits central), le premier trésor est en $T_1(4\,;\,-3)$ . Le deuxième trésor $T_2$ est le symétrique de $T_1$ par rapport à l'axe des abscisses (même abscisse, ordonnée opposée). Le troisième trésor $T_3$ est le symétrique de $T_1$ par rapport à l'origine (les deux coordonnées deviennent opposées).

Donne les coordonnées de $T_2$ .
Donne les coordonnées de $T_3$ .
Lequel des trois trésors est le plus proche de l'axe des ordonnées ?

Voir le corrigé détaillé

$T_1(4\,;\,-3)$
$\Rightarrow$ $T_2(4\,;\,3)$ même abscisse, ordonnée opposée
$\Rightarrow$ $T_3(-4\,;\,3)$ les deux coordonnées sont opposées à celles de $T_1$

3. La distance à l'axe des ordonnées est donnée par la valeur absolue de l'abscisse : $|4| = 4$ pour $T_1$ et $T_2$ , $|-4| = 4$ pour $T_3$ . Les trois trésors sont exactement à la même distance ( $4$ unités, soit $40$ m) de l'axe des ordonnées : aucun n'est plus proche que les autres.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La boutique de Madame Hawa (Ndjamena). Le compte de sa boutique a été relevé chaque semaine du mois : semaine 1 : $-8\,500$ FCFA ; semaine 2 : $+12\,000$ FCFA ; semaine 3 : $-3\,200$ FCFA ; semaine 4 : $+500$ FCFA.

Range les quatre soldes du plus petit au plus grand.
Quelle semaine correspond à la plus grosse dette ?
Donne l'opposé du solde de la semaine 1, et explique ce qu'il représenterait pour Hawa.

Voir le corrigé détaillé

négatifs : $-8\,500$ , $-3\,200$
positifs : $500$ , $12\,000$
$\Rightarrow$ $-8\,500 < -3\,200 < 500 < 12\,000$

2. La plus grosse dette est celle de la semaine 1 ( $-8\,500$ FCFA), car $|-8\,500| = 8\,500$ est la plus grande valeur absolue parmi les soldes négatifs.

3. L'opposé de $-8\,500$ est $+8\,500$ . Ce nombre représenterait, à la place d'une dette de $8\,500$ FCFA, un avoir du même montant : la même somme d'argent, mais dans l'autre sens.

La Résidence Aya (Abidjan). Cet immeuble comprend un parking en sous-sol (niveaux $-2$ et $-1$ ), un rez-de-chaussée ( $0$ ) et des étages jusqu'au $6^{\text e}$ . M. Kouassi habite au $5^{\text e}$ étage (loyer $60\,000$ FCFA/mois). Mme Aya habite au niveau $-1$ , dans un appartement aménagé en sous-sol (loyer $35\,000$ FCFA/mois). M. Yao habite au $2^{\text e}$ étage.

Range dans l'ordre croissant les niveaux occupés par ces trois personnes.
Qui habite le plus haut ? le plus bas ?
Donne l'opposé du niveau de Mme Aya. À quel étage cela correspondrait-il ?

Voir le corrigé détaillé

niveaux : $-1$ (Aya), $2$ (Yao), $5$ (Kouassi)
$\Rightarrow$ $-1 < 2 < 5$

2. Le plus haut est M. Kouassi ( $5^{\text e}$ étage), le plus bas est Mme Aya (niveau $-1$ ).

3. L'opposé de $-1$ est $1$ : cela correspondrait au $1^{\text{er}}$ étage.

Les puits de la région de Bamako. Trois puits agricoles ont été creusés pour irriguer des champs (le sol est pris comme repère $0$ ) : puits A, profondeur $-18$ m ; puits B, profondeur $-25$ m ; puits C, profondeur $-12$ m. Le forage coûte $15\,000$ FCFA par mètre creusé.

Quel puits est le plus profond ? Range les trois profondeurs dans l'ordre croissant.
Calcule la valeur absolue de chaque profondeur : que représente ce nombre concrètement ?
Le puits B a coûté $25 \times 15\,000 = 375\,000$ FCFA à creuser. Explique pourquoi c'est la valeur absolue de la profondeur, et non le nombre relatif $-25$ , qui sert à calculer ce coût.

Voir le corrigé détaillé

profondeurs : $-18$ , $-25$ , $-12$
$\Rightarrow$ $-25 < -18 < -12$ $-25$ a la plus grande valeur absolue

Le puits le plus profond est donc le puits B.

2. $|-18| = 18$ , $|-25| = 25$ , $|-12| = 12$ : ces nombres représentent les profondeurs réelles, en mètres, mesurées sous le sol, sans indiquer la direction (déjà connue : vers le bas).

3. Un coût de forage est toujours positif : on ne peut pas payer « $-25$ fois $15\,000$ FCFA ». C'est la distance creusée, donc la valeur absolue $25$ , qui multiplie le prix au mètre, et non le nombre relatif $-25$ qui indique seulement la direction.

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Nombres relatifs : calcul et repérage

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Qu'est-ce qu'un nombre relatif ?

Un nombre formé d'un signe (+ ou −) et d'une distance à zéro Un nombre qui est toujours décimal Un nombre qui n'a jamais de signe Un nombre obtenu uniquement par une soustraction

Explication : Un nombre relatif est composé d'un signe (« + » ou « − ») et d'une distance à zéro, donnée par rapport à un repère fixé.

Parmi ces affirmations sur le signe d'un nombre relatif, laquelle est VRAIE ?

Le signe « + » ne peut jamais être omis devant un nombre positif Le signe « + » peut être omis, mais le signe « − » d'un nombre négatif ne s'omet jamais Le signe « − » peut être omis si le nombre est entier 0 est toujours positif

Explication :

7

+7

désignent le même nombre, mais

-7

ne peut jamais s'écrire sans son signe « − » :

-7

7

sont deux nombres différents.

Comment écrit-on « une température de 5 degrés en dessous de zéro » avec un nombre relatif ?

5

0-5

-5

+5

Explication : « En dessous de zéro » signifie que le nombre est négatif : on écrit

-5

, et le signe « − » est obligatoire.

Un puits a été creusé jusqu'à 18 m sous le niveau du sol (repère 0). Quelle est sa profondeur, sous forme de nombre relatif (son altitude par rapport au sol) ?

18

-8

8

-18

Explication : Le sol est le repère

0

. Un puits est en dessous du sol : son altitude est donc négative,

-18

Deux nombres relatifs sont dits opposés lorsque :

ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires ils ont la même distance à zéro et le même signe ils sont tous les deux positifs ils sont tous les deux négatifs

Explication : Par définition, deux nombres opposés sont à la même distance de zéro, mais de part et d'autre : l'un est positif, l'autre négatif.

Quel est l'opposé de $-8$ ?

-8

8

0

-18

Explication : Pour trouver l'opposé d'un nombre, on change simplement son signe : l'opposé de

-8

est

8

Quel est l'opposé de $0$ ?

1

-1

0

Il n'a pas d'opposé

Explication :

0

est son propre opposé : c'est le seul nombre relatif dans ce cas.

La valeur absolue d'un nombre relatif $a$ , notée $|a|$ , est :

le signe de

a

l'opposé de

a

toujours négative sa distance à zéro, toujours positive ou nulle

Explication :

|a|

est le nombre

a

« sans son signe », c'est-à-dire sa distance à zéro. Une distance est toujours

\geqslant 0

Calcule $|-9|$ .

9

-9

0

-1

Explication : La valeur absolue efface le signe « − » :

|-9| = 9

Calcule $|-30|$ .

-30

30

0

3

Explication :

|-30|

est la distance entre

-30

et zéro, soit

30

Que vaut $-(-6)$ ?

-6

0

6

-12

Explication : L'opposé de l'opposé d'un nombre est ce nombre lui-même :

-(-a) = a

, donc

-(-6) = 6

Parmi ces affirmations, laquelle est VRAIE pour deux nombres opposés non nuls $a$ et $-a$ ?

a

-a

sont toujours égaux

a

est toujours plus grand que

-a

|a|

est différent de

|-a|

a

-a

ont la même valeur absolue

Explication : Deux nombres opposés sont à la même distance de zéro, donc

|a| = |-a|

Sur une droite graduée, le nombre associé à un point s'appelle :

l'abscisse de ce point l'origine l'unité le sens

Explication : Le nombre associé à un point d'une droite graduée est appelé l'abscisse de ce point.

Sur une droite graduée, un point est situé 4 graduations à gauche de 0. Quelle est son abscisse ?

4

-4

0

-40

Explication : À gauche de 0, l'abscisse est négative. 4 graduations à gauche donnent l'abscisse

-4

Parmi ces affirmations sur la comparaison des nombres relatifs, laquelle est VRAIE ?

Un nombre négatif est toujours plus grand qu'un nombre positif Entre deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif 0 est toujours plus petit que tout nombre négatif

Explication : Sur la droite graduée, tous les positifs sont à droite de 0, tous les négatifs à gauche : un positif est donc toujours plus grand qu'un négatif.

Lequel de ces deux nombres est le plus grand : $-10$ ou $-3$ ?

-10

, car

10 > 3

les deux sont égaux on ne peut pas comparer deux nombres négatifs

-3

, car il a la plus petite valeur absolue

Explication : Piège classique : entre deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.

|-3|=3 < |-10|=10

, donc

-3 > -10

Compare $-15$ et $-20$ .

-15 > -20

-15 < -20

-15 = -20

impossible à déterminer

Explication :

|-15|=15

|-20|=20

. Comme

15 < 20

, le nombre

-15

est plus proche de zéro, donc plus grand :

-15 > -20

Range dans l'ordre croissant : $4$ ; $-7$ ; $0$ ; $-1$ ; $3$ .

4 < 3 < 0 < -1 < -7

-7 < -1 < 0 < 3 < 4

-1 < -7 < 0 < 3 < 4

0 < -1 < -7 < 3 < 4

Explication : On classe les négatifs de la plus grande valeur absolue à la plus petite (

-7

puis

-1

), puis

0

, puis les positifs croissants (

3

puis

4

) :

-7 < -1 < 0 < 3 < 4

Dans les coordonnées $(x \, ; \, y)$ d'un point du plan, que représente $x$ ?

l'ordonnée, lue sur l'axe vertical toujours un nombre positif l'abscisse, lue sur l'axe horizontal la distance entre les deux axes

Explication : Dans un couple de coordonnées

(x \, ; \, y)

x

est toujours l'abscisse, lue sur l'axe horizontal des abscisses.

Les points $(3\,;\,-2)$ et $(-2\,;\,3)$ désignent-ils le même endroit du plan ?

Oui, car ce sont les mêmes deux nombres Oui, l'ordre des coordonnées n'a pas d'importance Non, car l'un des deux nombres est négatif Non, car l'abscisse et l'ordonnée sont inversées : ce sont deux points différents

Explication : Dans

(x \, ; \, y)

, l'abscisse s'écrit toujours en premier et l'ordonnée en second. Inverser l'ordre change le point :

(3\,;\,-2)

(-2\,;\,3)

sont deux endroits différents du plan.

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En bref

Classe : Classe de Cinquième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 5 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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