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Proportionnalité, pourcentages et échelles

Utiliser la proportionnalité dans les situations de la vie courante.

Mathématiques 5ème Chapitre 6 / 13 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Appliquer un pourcentage d'augmentation ou de remise
  • Utiliser une échelle
  • Calculer une vitesse, une distance ou une durée

Au marché, sur la route ou sur une carte, tu compares sans arrêt deux grandeurs : le prix et la quantité, la distance et le temps, la carte et la réalité. Beaucoup de ces situations obéissent à une même règle simple : quand une grandeur double, l’autre double aussi ; quand elle triple, l’autre triple aussi. C’est la proportionnalité, et tu la croises déjà depuis la sixième sans toujours lui donner ce nom.

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à la reconnaître avec certitude (et à démasquer les pièges qui lui ressemblent sans en être), à calculer une valeur manquante grâce au produit en croix, puis à l’utiliser dans trois grandes familles de problèmes très concrets : les pourcentages (soldes, hausses, statistiques), les échelles de cartes et de plans, et la vitesse moyenne d’un trajet.

Tous les exemples utilisent des prix en francs CFA et des lieux que tu connais peut-être : Dakar, Ndjamena, Abidjan, Bamako, Douala, Abéché. L’objectif n’est pas de retenir des formules par cœur, mais de comprendre le mécanisme : une fois qu’il est clair, il s’applique partout, du sac de riz du marché au plan d’une salle de classe.

1Reconnaissance et coefficient

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Un tableau qui range ces deux grandeurs, une par ligne, s’appelle un tableau de proportionnalité. Ce nombre qui ne change jamais s’appelle le coefficient de proportionnalité.

ligne du bas=k×ligne du haut\text{ligne du bas} = k \times \text{ligne du haut}

Méthode — reconnaître un tableau de proportionnalité

Colonne par colonne, on calcule le quotient (nombre du bas) ÷\div (nombre du haut). Si tous les quotients obtenus sont égaux, le tableau est proportionnel : ce quotient commun est le coefficient kk. Si un seul quotient diffère des autres, le tableau n’est pas proportionnel.

Exemple — le riz du marché

Au marché, la masse de riz achetée et son prix sont donnés dans ce tableau : 22 kg pour 1 2001\,200 FCFA, 55 kg pour 3 0003\,000 FCFA, 88 kg pour 4 8004\,800 FCFA. Ce tableau est-il proportionnel ?

  1. 1 200÷2=6001\,200 \div 2 = 600
  2. 3 000÷5=6003\,000 \div 5 = 600
  3. 4 800÷8=6004\,800 \div 8 = 600
  4. doncles trois quotients sont égaux à 600600 : le tableau est proportionnel, de coefficient 600600.
Tableau de proportionnalité : masse de riz et prix Masse de riz (kg) 258 Prix (FCFA) 1 2003 0004 800 × 600 Le même coefficient 600 relie chaque masse (kg) à son prix (FCFA) : c’est un tableau de proportionnalité.
Figure 1 — Tableau fléché : on passe de la masse au prix en multipliant toujours par le coefficient 600600.

1.1  Reconnaître avec un graphique

Il existe une deuxième façon de reconnaître la proportionnalité, très visuelle. On place chaque couple (nombre du haut ; nombre du bas) comme un point dans un repère. Si tous ces points sont alignés avec l’origine OO du repère, alors le tableau est proportionnel : on obtient une droite qui « part de zéro ». Si un seul point s’écarte de cette droite, ce n’est pas proportionnel.

Les points sont alignés avec l’origine O : le tableau est proportionnel O 2468 1 0002 0003 0004 0005 000 Masse (kg)Prix (FCFA) 2 kg5 kg8 kg
Figure 2 — Les trois points du tableau de riz sont alignés avec l’origine OO : c’est la signature graphique d’un tableau proportionnel.
Exemple — la course de taxi (contre-exemple)

À Ndjamena, une course de taxi coûte 500500 FCFA de prise en charge, puis 200200 FCFA par kilomètre parcouru. 22 km coûtent 900900 FCFA, 55 km coûtent 1 5001\,500 FCFA, 1010 km coûtent 2 5002\,500 FCFA. Ce tableau est-il proportionnel ?

  1. 900÷2=450900 \div 2 = 450
  2. 1 500÷5=3001\,500 \div 5 = 300
  3. 2 500÷10=2502\,500 \div 10 = 250
  4. doncles quotients ne sont pas égaux : ce tableau n’est pas proportionnel.
Attention

Un tableau peut sembler « régulier » sans être proportionnel. Il suffit qu’il y ait un montant fixe au départ (une prise en charge, un forfait, un abonnement) pour que la proportionnalité soit cassée. Réflexe utile : si les nombres du haut augmentent tous du même écart mais que le rapport bas/haut change, méfiance !

2Produit en croix

Quand un tableau est proportionnel mais qu’il te manque une seule valeur, tu n’as pas besoin de retrouver le coefficient : une formule directe, le produit en croix, donne la valeur manquante en une seule égalité.

Propriété — produit en croix

Dans un tableau de proportionnalité à deux lignes et deux colonnes, en notant aa, bb, cc, dd les quatre nombres (aa et cc sur la ligne du haut, bb et dd sur la ligne du bas) :

ab=cd⟺a×d=b×c\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad \Longleftrightarrow \quad a \times d = b \times c

Autrement dit, le produit des deux nombres reliés par une diagonale est toujours égal au produit des deux nombres reliés par l’autre diagonale.

Démonstration

Le tableau étant proportionnel, il existe un coefficient kk tel que b=k×ab = k \times a et d=k×cd = k \times c (on multiplie toujours la ligne du haut par kk pour obtenir la ligne du bas).

  1. a×d=a×(k×c)=k×a×ca \times d = a \times (k \times c) = k \times a \times c
  2. b×c=(k×a)×c=k×a×cb \times c = (k \times a) \times c = k \times a \times c
  3. donca×d=b×ca \times d = b \times cles deux produits sont égaux à k×a×ck \times a \times c
Produit en croix pour trouver une quatrième proportionnelle Masse (kg)37 Prix (FCFA)1 800x 3 × x = 7 × 1 800
Figure 3 — Les deux diagonales du tableau donnent des produits égaux : 3×x=7×1 8003 \times x = 7 \times 1\,800.
Méthode — calculer une quatrième proportionnelle (règle de trois)

On range soigneusement les quatre nombres dans un tableau, une grandeur par ligne, l’inconnue xx à sa place. On écrit l’égalité des produits en croix, puis on isole xx en divisant par le nombre qui le multiplie.

Exemple 1 — au marché (voir la Figure 3)

33 kg d’oranges coûtent 1 8001\,800 FCFA. Combien coûtent 77 kg d’oranges, au même prix au kilogramme ?

  1. 3×x=7×1 8003 \times x = 7 \times 1\,800produit en croix
  2. ==3×x=12 6003 \times x = 12\,600
  3. ⇒\Rightarrowx=12 600÷3x = 12\,600 \div 3
  4. ==x=4 200x = 4\,200

77 kg d’oranges coûtent 4 200 FCFA.

Exemple 2 — la recette de beignets

Une recette de beignets pour 44 personnes utilise 250250 g de farine. Quelle quantité de farine faut-il pour 99 personnes, en gardant les mêmes proportions ?

  1. 4×x=9×2504 \times x = 9 \times 250
  2. ==4×x=2 2504 \times x = 2\,250
  3. ⇒\Rightarrowx=2 250÷4x = 2\,250 \div 4
  4. ==x=562,5x = 562{,}5

Il faut 562,5 g de farine, soit environ 563563 g.

Attention

Dans le produit en croix, ne mélange jamais les grandeurs : une masse se multiplie toujours avec un prix « en diagonale », jamais une masse avec une masse. Écris toujours ton tableau proprement, une grandeur par ligne, avant de croiser les nombres.

Math & Co — La règle de trois voyage depuis l’Inde

Le calcul d’une quatrième proportionnelle est si utile au commerce qu’on l’a longtemps appelé la règle de trois : on connaît trois nombres, on cherche le quatrième. Elle est décrite dès le VIIe siècle par le mathématicien indien Brahmagupta, dans son traité Brahmasphutasiddhanta (vers 628).

La méthode voyage ensuite vers le monde arabo-musulman, où des savants comme al-Khwarizmi, à Bagdad, la reprennent au IXe siècle. Elle arrive enfin en Europe grâce au mathématicien italien Fibonacci, qui la présente aux marchands de son pays dans son Liber Abaci (« Livre du calcul », 1202). Pendant des siècles, la « regula de tri » fut la formule la plus enseignée dans les écoles de commerce.

3Appliquer et calculer un pourcentage

Le pourcentage n’est qu’un cas particulier de proportionnalité, mais tellement utilisé — soldes, statistiques, résultats scolaires, taxes — qu’il mérite ses propres réflexes.

Définition

Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100100. Dire « t %t\,\% » (« tt pour cent ») signifie « tt centièmes », c’est-à-dire t100\dfrac{t}{100}.

t % de N=N×t100t\,\% \text{ de } N = N \times \dfrac{t}{100}

Méthode — calculer t %t\,\% d’une quantité

On multiplie la quantité NN par tt, puis on divise par 100100 (ou l’inverse, dans l’ordre qui simplifie le calcul mental).

Exemple 1 — l’épargne de Fatou

Fatou épargne 15 %15\,\% de son salaire mensuel de 24 00024\,000 FCFA. Quelle somme épargne-t-elle ?

  1. 24 000×1510024\,000 \times \dfrac{15}{100}
  2. ==24 000×15÷10024\,000 \times 15 \div 100
  3. ==360 000÷100360\,000 \div 100
  4. ==3 6003\,600

Fatou épargne 3 600 FCFA chaque mois.

Méthode — trouver quel pourcentage une partie représente

Pour savoir quel pourcentage une partie PP représente d’un tout TT, on calcule PT×100\dfrac{P}{T} \times 100.

Exemple 2 — les résultats de la classe

Dans une classe de 2525 élèves, 1818 ont eu la moyenne au dernier contrôle. Quel pourcentage de la classe cela représente-t-il ?

  1. 1825×100\dfrac{18}{25} \times 100
  2. ==1 80025\dfrac{1\,800}{25}
  3. ==7272

72 % des élèves ont eu la moyenne.

18 élèves sur 25 ont eu la moyenne 72 % 0 %25 %50 %75 %100 %
Figure 4 — La partie colorée de la barre représente les 72 %72\,\% d’élèves ayant eu la moyenne, sur une graduation de 00 à 100 %100\,\%.
Attention

Un pourcentage seul ne veut rien dire sans son tout de référence. 15 %15\,\% d’une classe de 2020 élèves, c’est 33 élèves ; 15 %15\,\% d’une classe de 3030 élèves, c’est 4,54{,}5 élèves. Précise toujours « 15 %15\,\% de quoi ? » avant de calculer.

Math & Co — D’où vient le signe %

L’expression italienne per cento (« pour cent ») apparaît dans les manuscrits de marchands dès le XVe siècle, souvent abrégée en « P cento » puis en « P co^{\text{o}} ». Au fil des recopies, cette abréviation se simplifie peu à peu en un symbole graphique de plus en plus proche de deux petits cercles séparés par une barre.

La forme quasi moderne du symbole « % » apparaît dans des manuscrits italiens vers le milieu du XVIIe siècle, puis se généralise avec l’essor de l’arithmétique commerciale imprimée. Le petit signe que tu utilises aujourd’hui est donc l’héritier direct de trois siècles d’abréviations de comptables !

4Augmentation et réduction

Calculer un pourcentage puis l’ajouter (ou le retrancher) fonctionne, mais demande deux étapes. Le coefficient multiplicateur permet de faire les deux en une seule multiplication : c’est l’outil que les commerçants utilisent réellement pour afficher un prix soldé.

Définition

Le coefficient multiplicateur associé à une évolution est le nombre par lequel on multiplie la quantité de départ pour obtenir directement la quantité d’arrivée, en une seule opération.

Propriété

Augmenter une quantité de t %t\,\% revient à la multiplier par :

1+t1001 + \dfrac{t}{100}

La diminuer (la réduire) de t %t\,\% revient à la multiplier par :

1−t1001 - \dfrac{t}{100}

Méthode — calcul rapide en une étape

On repère le taux tt, on calcule le coefficient multiplicateur correspondant, puis on multiplie directement la valeur de départ par ce coefficient : plus besoin de calculer la variation séparément.

Exemple 1 — les soldes (voir la Figure 5)

Une chemise coûte 15 00015\,000 FCFA. Pendant les soldes, son prix est réduit de 30 %30\,\%. Quel est le nouveau prix ?

  1. coefficient =1−30100=1−0,3=0,7= 1 - \dfrac{30}{100} = 1 - 0{,}3 = 0{,}7
  2. prix soldé =15 000×0,7= 15\,000 \times 0{,}7
  3. ==10 50010\,500

La chemise soldée coûte 10 500 FCFA.

Exemple 2 — la hausse du carburant

Le litre d’essence, à 750750 FCFA, augmente de 8 %8\,\%. Quel est le nouveau prix du litre ?

  1. coefficient =1+8100=1,08= 1 + \dfrac{8}{100} = 1{,}08
  2. nouveau prix =750×1,08= 750 \times 1{,}08
  3. ==810810

Le litre coûte désormais 810 FCFA.

Réduction de 30 % : deux façons de voir le même calcul −30% Prix affiché 15 000 FCFA Prix soldé 10 500 FCFA × 0,7 (réduction de 30 %)
Figure 5 — Appliquer une réduction de 30 %30\,\%, c’est multiplier le prix par le coefficient 0,70{,}7, en une seule opération.
Théorème — évolutions successives

Quand une quantité subit deux évolutions successives, de coefficients multiplicateurs k1k_1 puis k2k_2, le coefficient multiplicateur de l’évolution globale est le produit k1×k2k_1 \times k_2 — et non leur somme.

Démonstration

Notons N0N_0 la valeur de départ. Après la première évolution, N1=k1×N0N_1 = k_1 \times N_0. Après la seconde, appliquée à N1N_1, on obtient N2N_2.

  1. N2=k2×N1N_2 = k_2 \times N_1
  2. ==k2×(k1×N0)k_2 \times (k_1 \times N_0)
  3. ==(k1×k2)×N0(k_1 \times k_2) \times N_0associativité de la multiplication

Le coefficient global qui fait passer directement de N0N_0 à N2N_2 est donc bien k1×k2k_1 \times k_2. C.Q.F.D.

Attention — le piège des réductions successives

Un prix de 10 00010\,000 FCFA subit deux réductions successives de 10 %10\,\% chacune. Le prix final n’est pas réduit de 20 %20\,\% !

  1. coefficient global =0,9×0,9=0,81= 0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}81
  2. doncréduction totale =1−0,81=0,19= 1 - 0{,}81 = 0{,}19, soit 19 % (et non 20 %20\,\%)

5Échelles d’une carte

Une carte, un plan de classe, une maquette : tout dessin qui représente la réalité en plus petit utilise une échelle. C’est encore une proportionnalité, entre les longueurs sur le papier et les longueurs réelles.

Définition

L’échelle d’une carte ou d’un plan est le rapport entre une longueur mesurée sur le document et la longueur réelle correspondante, les deux longueurs étant exprimées dans la même unité.

eˊchelle=distance sur la cartedistance reˊelle\text{échelle} = \dfrac{\text{distance sur la carte}}{\text{distance réelle}}

Une échelle 1n\dfrac{1}{n} signifie que 11 unité sur la carte représente nn unités dans la réalité.

Méthode — convertir avec une échelle

Pour passer de la carte à la réalité, on multiplie la distance sur la carte par le nombre nn de l’échelle 1n\dfrac{1}{n} (après avoir choisi une unité commune). Pour passer de la réalité à la carte, on divise par ce même nombre nn.

Exemple 1 — de Dakar à Thiès (voir la Figure 6)

Sur une carte à l’échelle 12 000 000\dfrac{1}{2\,000\,000}, la distance entre Dakar et Thiès mesure 3,53{,}5 cm. Quelle est la distance réelle ?

  1. 11 cm sur la carte représente 2 000 0002\,000\,000 cm dans la réalitédéfinition de l’échelle
  2. 2 000 0002\,000\,000 cm =20= 20 km
  3. distance réelle =3,5×20= 3{,}5 \times 20
  4. ==7070

La distance réelle entre Dakar et Thiès est d’environ 70 km.

Mesurer une distance sur une carte à l’échelle 1/2 000 000 Dakar Thiès 3,5 cm sur la carte 01234 cm 3,5 cm Échelle 1/2 000 000 → 1 cm sur la carte = 20 km en réalité 3,5 cm × 20 km = 70 km entre Dakar et Thiès
Figure 6 — On mesure la distance sur la carte avec une règle, puis on la convertit en distance réelle grâce à l’échelle.
Exemple 2 — trouver l’échelle d’un plan

Sur le plan d’un appartement, un couloir de 88 m dans la réalité mesure 44 cm sur le plan. Quelle est l’échelle du plan ?

  1. 88 m =800= 800 cmon convertit dans la même unité
  2. échelle =4÷800= 4 \div 800
  3. ==1200\dfrac{1}{200}

L’échelle du plan est 1200\dfrac{1}{200} : 11 cm sur le plan représente 200200 cm, soit 22 m, dans la réalité.

Attention

Le piège classique : oublier de convertir les unités avant de calculer. Une échelle 150 000\dfrac{1}{50\,000} signifie que 11 cm sur la carte vaut 50 00050\,000 cm, soit 500500 m, soit 0,50{,}5 km — pas « 50 00050\,000 km » !

Math & Co — Ératosthène mesure la Terre avec une règle de trois

Vers −240-240, le savant grec Ératosthène, directeur de la bibliothèque d’Alexandrie, apprend qu’à Syène (aujourd’hui Assouan), le jour du solstice d’été, le Soleil se reflète au fond d’un puits à midi : il est exactement à la verticale. Ce même jour, à Alexandrie, un bâton planté verticalement projette une ombre correspondant à un angle d’environ 7,2°7{,}2°.

Sachant que les deux villes sont distantes d’environ 800800 km, Ératosthène pose une simple proportion : cet angle de 7,2°7{,}2° est à 360°360° ce que la distance Alexandrie-Syène est à la circonférence totale de la Terre.

  1. 7,2360=800circonfeˊrence\dfrac{7{,}2}{360} = \dfrac{800}{\text{circonférence}}
  2. ⇒\Rightarrowcirconférence ≈800×360÷7,2=40 000\approx 800 \times 360 \div 7{,}2 = 40\,000 km

Une valeur étonnamment proche de la circonférence réelle (environ 40 07540\,075 km) — obtenue vingt-deux siècles avant les satellites, avec un bâton, un puits et une règle de trois !

6Vitesse moyenne

Dernière application très concrète de la proportionnalité : la vitesse. Elle relie trois grandeurs — distance, durée, vitesse — par une seule et même relation.

Définition

La vitesse moyenne d’un trajet est le quotient de la distance totale parcourue par la durée totale du trajet.

v=dtv = \dfrac{d}{t}

Propriété

De la relation v=dtv = \dfrac{d}{t}, on tire deux autres formules, utiles selon ce que l’on cherche :

d=v×tt=dvd = v \times t \qquad\qquad t = \dfrac{d}{v}

Le triangle de la Figure 7 aide à s’en souvenir : on cache la grandeur cherchée, il ne reste que l’opération à faire entre les deux autres.

Le triangle des trois formules de la vitesse d v t v = d ÷ t d = v × t t = d ÷ v
Figure 7 — Le triangle dd, vv, tt : cache la lettre cherchée, ce qui reste indique le calcul à faire.
Méthode — convertir les durées

Avant tout calcul avec une vitesse en km/h, convertis la durée en heures décimales : 3030 min =0,5= 0{,}5 h ; 1515 min =0,25= 0{,}25 h ; 4545 min =0,75= 0{,}75 h — plus généralement, minutes ÷ 60\div\ 60.

Exemple 1 — le car de Dakar à Thiès

Un car quitte Dakar à 88 h 0000 et arrive à Thiès, à 7070 km, à 88 h 5050. Quelle est sa vitesse moyenne, en km/h ?

  1. 5050 min =5060=56= \dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6} h
  2. v=70÷56v = 70 \div \dfrac{5}{6}
  3. ==v=70×65v = 70 \times \dfrac{6}{5}
  4. ==v=84v = 84

La vitesse moyenne du car est 84 km/h.

Exemple 2 — de Ndjamena à Abéché

Un minibus roule à 6060 km/h pendant 22 h 1515 min entre Ndjamena et Abéché. Quelle distance a-t-il parcourue ?

  1. 1515 min =0,25= 0{,}25 h, donc 22 h 1515 =2,25= 2{,}25 h
  2. d=v×t=60×2,25d = v \times t = 60 \times 2{,}25
  3. ==d=135d = 135

Il a parcouru 135 km.

Attention — vitesse moyenne ≠ moyenne des vitesses

Un cycliste parcourt 6060 km à 2020 km/h à l’aller, puis les mêmes 6060 km à 3030 km/h au retour. Sa vitesse moyenne sur tout le trajet n’est pas 20+302=25\dfrac{20+30}{2} = 25 km/h !

  1. temps aller =60÷20=3= 60 \div 20 = 3 h
  2. temps retour =60÷30=2= 60 \div 30 = 2 h
  3. temps total =5= 5 h, distance totale =120= 120 km
  4. doncvitesse moyenne =120÷5=24= 120 \div 5 = 24 km/h

La vraie vitesse moyenne est 24 km/h, pas 2525 km/h : on divise toujours la distance totale par la durée totale, on ne moyenne jamais les vitesses directement.

Fiche mémo

  • Tableau proportionnel : tous les quotients (bas ÷ haut), colonne par colonne, sont égaux au coefficient kk.
  • ligne du bas=k×ligne du haut\text{ligne du bas} = k \times \text{ligne du haut} ; graphiquement, les points sont alignés avec l’origine OO.
  • Produit en croix : ab=cd  ⟺  a×d=b×c\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c.
  • Pourcentage : t %t\,\% de N=N×t100N = N \times \dfrac{t}{100} ; une partie PP d’un tout TT représente PT×100 %\dfrac{P}{T} \times 100\ \%.
  • Coefficient multiplicateur : augmentation de t %t\,\% → 1+t1001+\dfrac{t}{100} ; réduction de t %t\,\% → 1−t1001-\dfrac{t}{100}.
  • Évolutions successives : les coefficients se multiplient (k1×k2k_1 \times k_2), ils ne s’additionnent jamais.
  • Échelle =distance cartedistance reˊelle= \dfrac{\text{distance carte}}{\text{distance réelle}}, mêmes unités des deux côtés.
  • Carte → réel : multiplier par nn (échelle 1n\frac{1}{n}) ; réel → carte : diviser par nn.
  • Vitesse : v=dtv = \dfrac{d}{t} ; d=v×td = v \times t ; t=dvt = \dfrac{d}{v}.
  • Convertir une durée en heures : minutes ÷ 60\div\ 60.
  • Piège : vitesse moyenne == distance totale ÷\div durée totale — jamais la moyenne des vitesses.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Un vendeur note dans un tableau : 33 cahiers pour 900900 FCFA, 66 cahiers pour 1 8001\,800 FCFA, 99 cahiers pour 2 7002\,700 FCFA. Ce tableau est-il proportionnel ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 900÷3=300900 \div 3 = 300
  2. 1 800÷6=3001\,800 \div 6 = 300
  3. 2 700÷9=3002\,700 \div 9 = 300
  4. doncles trois quotients sont égaux : le tableau est proportionnel, de coefficient 300300.
2

44 kg de mangues coûtent 2 0002\,000 FCFA. Combien coûtent 66 kg de mangues, au même prix au kilogramme ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 4×x=6×2 0004 \times x = 6 \times 2\,000produit en croix
  2. ==4×x=12 0004 \times x = 12\,000
  3. ⇒\Rightarrowx=12 000÷4=3 000x = 12\,000 \div 4 = 3\,000

66 kg de mangues coûtent 3 000 FCFA.

3

Calcule 20 %20\,\% de 45 00045\,000 FCFA.

Voir le corrigé détaillé
  1. 45 000×2010045\,000 \times \dfrac{20}{100}
  2. ==45 000×20÷10045\,000 \times 20 \div 100
  3. ==9 0009\,000

20 %20\,\% de 45 00045\,000 FCFA valent 9 000 FCFA.

4

Un article à 8 0008\,000 FCFA est soldé à −15 %-15\,\%. Quel est son nouveau prix ?

Voir le corrigé détaillé
  1. coefficient =1−15100=0,85= 1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85
  2. nouveau prix =8 000×0,85= 8\,000 \times 0{,}85
  3. ==6 8006\,800

Le nouveau prix est 6 800 FCFA.

5

Sur une carte à l’échelle 1100 000\dfrac{1}{100\,000}, une distance mesure 55 cm. Quelle est la distance réelle, en km ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 11 cm sur la carte =100 000= 100\,000 cm =1= 1 km dans la réalité
  2. distance réelle =5×1= 5 \times 1
  3. ==55

La distance réelle est 5 km.

Niveau 2 — Approfondissement
6

Un troupeau compte 4040 chèvres, dont 66 sont vendues au marché. a) Quel pourcentage du troupeau a été vendu ? b) Un éleveur voisin possède 6565 chèvres et vend le même pourcentage de son troupeau. Combien de chèvres vend-il (arrondi à l’entier) ?

Voir le corrigé détaillé

a)

  1. 640×100\dfrac{6}{40} \times 100
  2. ==1515

Il a vendu 15 % de son troupeau.

b)

  1. 65×1510065 \times \dfrac{15}{100}
  2. ==9,759{,}75

Cela représente environ 10 chèvres (arrondi à l’entier).

7

Un vélo à 60 00060\,000 FCFA subit d’abord une réduction de 20 %20\,\%, puis une seconde réduction de 5 %5\,\% sur le nouveau prix. Quel est le prix final ? Est-ce la même chose qu’une réduction unique de 25 %25\,\% ?

Voir le corrigé détaillé
  1. coefficient global =0,8×0,95=0,76= 0{,}8 \times 0{,}95 = 0{,}76
  2. prix final =60 000×0,76= 60\,000 \times 0{,}76
  3. ==45 60045\,600

Le prix final est 45 600 FCFA. Une réduction unique de 25 %25\,\% donnerait un coefficient 0,750{,}75, soit 60 000×0,75=45 00060\,000 \times 0{,}75 = 45\,000 FCFA. Ce n’est pas la même chose (45 600≠45 00045\,600 \neq 45\,000) : les coefficients se multiplient, ils ne s’additionnent pas.

8

La distance réelle entre deux villages est de 1212 km. Sur une carte, elle est représentée par 66 cm. Quelle est l’échelle de la carte ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 1212 km =1 200 000= 1\,200\,000 cm
  2. échelle =6÷1 200 000= 6 \div 1\,200\,000
  3. ==1200 000\dfrac{1}{200\,000}

L’échelle de la carte est 1200 000\dfrac{1}{200\,000}.

9

Une voiture parcourt 4545 km en 3030 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne, en km/h ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 3030 min =0,5= 0{,}5 h
  2. v=45÷0,5v = 45 \div 0{,}5
  3. ==9090

La vitesse moyenne est 90 km/h.

Niveau 3 — Défi
10

Une recette de thiéboudienne pour 66 personnes nécessite 900900 g de riz et coûte au total 7 2007\,200 FCFA d’ingrédients.

  1. Pour 1010 personnes, quelle masse de riz faut-il, en gardant les mêmes proportions ?
  2. Quel sera le coût total des ingrédients pour 1010 personnes ?
  3. Le vendeur accorde une remise de 8 %8\,\% pour cet achat groupé. Quel est le prix final payé ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 6×x=10×9006 \times x = 10 \times 900
  2. ⇒\Rightarrowx=9 000÷6=1 500x = 9\,000 \div 6 = 1\,500

Il faut 1 500 g de riz.

2.

  1. 6×x=10×7 2006 \times x = 10 \times 7\,200
  2. ⇒\Rightarrowx=72 000÷6=12 000x = 72\,000 \div 6 = 12\,000

Le coût est de 12 000 FCFA.

3.

  1. coefficient =1−8100=0,92= 1 - \dfrac{8}{100} = 0{,}92
  2. 12 000×0,92=11 04012\,000 \times 0{,}92 = 11\,040

Le prix final payé est 11 040 FCFA.

11

Sur un plan à l’échelle 1500\dfrac{1}{500}, un terrain carré a un côté de 22 cm.

  1. Quel est le côté réel du terrain, en mètres ?
  2. Quelle est l’aire réelle du terrain, en m² ?
  3. Vérifie que l’aire réelle est bien égale à l’aire sur le plan multipliée par 5002500^{2}.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. côté réel =2×500=1 000= 2 \times 500 = 1\,000 cm
  2. ==1010 m

2.

  1. aire =10×10=100= 10 \times 10 = 100 m²

3.

  1. aire sur le plan =2×2=4= 2 \times 2 = 4 cm²
  2. 4×5002=4×250 000=1 000 0004 \times 500^{2} = 4 \times 250\,000 = 1\,000\,000 cm² =100= 100 m²
  3. doncon retrouve bien les 100100 m² du 2.2. : quand les longueurs sont multipliées par 500500, les aires sont multipliées par 5002500^{2}.
Passer d’une longueur à une aire : l’échelle au carré Plan (éch. 1/500) côté = 2 cm Terrain réel côté = 1 000 cm (10 m) × 500 (échelle des longueurs) Les longueurs sont multipliées par 500 → les aires par 500² = 250 000. Aire du plan 4 cm² → aire réelle 4×250 000 = 1 000 000 cm² = 100 m².
Figure 8 — Quand l’échelle des longueurs est 1500\dfrac{1}{500}, l’échelle des aires est 15002\dfrac{1}{500^{2}} : les aires ne se comportent pas comme les longueurs.
12

Un camion effectue Abidjan–Yamoussoukro (240240 km) à 8080 km/h à l’aller, puis revient par la même route à 6060 km/h.

  1. Calcule la durée de l’aller et la durée du retour.
  2. Calcule la distance totale et la durée totale du trajet.
  3. Déduis-en la vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet (arrondie au dixième).
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. taller=240÷80=3t_{\text{aller}} = 240 \div 80 = 3 h
  2. tretour=240÷60=4t_{\text{retour}} = 240 \div 60 = 4 h

2.

  1. distance totale =240+240=480= 240 + 240 = 480 km
  2. durée totale =3+4=7= 3 + 4 = 7 h

3.

  1. v=480÷7≈68,6v = 480 \div 7 \approx 68{,}6

La vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet est d’environ 68,6 km/h (et non 80+602=70\dfrac{80+60}{2}=70 km/h).

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le marché Sandaga (Dakar). Aïcha achète 33 kg de mangues à 1 5001\,500 FCFA le kg. En fin de marché, le vendeur applique une remise de 10 %10\,\% sur le montant total pour fermer son étal.

  1. Quel est le prix total avant remise ?
  2. Quel est le montant de la remise ?
  3. Combien Aïcha paie-t-elle finalement ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 3×1 500=4 5003 \times 1\,500 = 4\,500

Prix avant remise : 4 500 FCFA.

2.

  1. remise =4 500×10100=450= 4\,500 \times \dfrac{10}{100} = 450

La remise est de 450 FCFA.

3.

  1. 4 500−450=4 0504\,500 - 450 = 4\,050

Aïcha paie finalement 4 050 FCFA.

14

De Ndjamena à Abéché. Sur une carte à l’échelle 12 500 000\dfrac{1}{2\,500\,000}, la distance entre Ndjamena et Abéché mesure 1515 cm.

  1. Calcule la distance réelle, en km.
  2. Un bus roule en moyenne à 6060 km/h sur cette route. Combien de temps met-il pour parcourir ce trajet (en heures, puis en heures et minutes) ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 11 cm sur la carte =2 500 000= 2\,500\,000 cm =25= 25 km
  2. distance réelle =15×25=375= 15 \times 25 = 375

La distance réelle est de 375 km.

2.

  1. t=d÷v=375÷60t = d \div v = 375 \div 60
  2. ==6,256{,}25 h
  3. 0,250{,}25 h =15= 15 min

Le trajet dure 6,25 h, soit 6 h 15 min.

15

Boutique à Abidjan. Un article coûte 25 00025\,000 FCFA hors promotion. Le magasin applique d’abord une réduction de 12 %12\,\%, puis ajoute une taxe de 18 %18\,\% sur le nouveau prix.

  1. Calcule le prix après la réduction de 12 %12\,\%.
  2. Calcule le prix final après ajout de la taxe de 18 %18\,\%.
  3. Donne le coefficient multiplicateur global de l’opération complète.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. coefficient =1−12100=0,88= 1 - \dfrac{12}{100} = 0{,}88
  2. 25 000×0,88=22 00025\,000 \times 0{,}88 = 22\,000

Prix après réduction : 22 000 FCFA.

2.

  1. coefficient =1+18100=1,18= 1 + \dfrac{18}{100} = 1{,}18
  2. 22 000×1,18=25 96022\,000 \times 1{,}18 = 25\,960

Prix final : 25 960 FCFA.

3.

  1. coefficient global =0,88×1,18= 0{,}88 \times 1{,}18
  2. ==1,03841{,}0384

Le coefficient global est 1,0384 : c’est une hausse globale d’environ 3,84 %3{,}84\,\% par rapport au prix hors promotion.

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8 questions

Nombres relatifs : calcul et repérage

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Deux grandeurs sont proportionnelles quand :

Explication : Deux grandeurs proportionnelles sont reliées par un même coefficient multiplicateur, valable pour toutes les valeurs du tableau.

Un vendeur note : 3 cahiers pour 900 FCFA, 6 cahiers pour 1 800 FCFA, 9 cahiers pour 2 700 FCFA. Ce tableau est-il proportionnel ?

Explication : 900÷3=300900\div3=300, 1 800÷6=3001\,800\div6=300, 2 700÷9=3002\,700\div9=300 : les trois quotients sont égaux, donc le tableau est proportionnel.

À Ndjamena, une course de taxi coûte 500 FCFA de prise en charge, puis 200 FCFA par km. Pourquoi ce tableau (distance ; prix) n'est-il PAS proportionnel ?

Explication : Un montant fixe au départ (forfait, prise en charge) empêche les quotients prix ÷ distance d'être tous égaux : la proportionnalité est cassée.

Sur un graphique, comment reconnaît-on qu'un tableau est proportionnel ?

Explication : Un tableau est proportionnel si et seulement si tous les points sont alignés avec l'origine O : c'est une droite qui « part de zéro ».

Le produit en croix dans un tableau de proportionnalité ab=cd\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} s'écrit :

Explication : Le produit des deux nombres reliés par une diagonale égale le produit des deux nombres reliés par l'autre diagonale : a×d=b×ca\times d = b\times c.

4 kg de mangues coûtent 2 000 FCFA. Combien coûtent 6 kg de mangues, au même prix au kilogramme ?

Explication : Produit en croix : 4×x=6×2 000=12 0004\times x = 6\times2\,000 = 12\,000, donc x=12 000÷4=3 000x = 12\,000\div4 = 3\,000 FCFA.

Un pourcentage t %t\,\% signifie :

Explication : « Pour cent » signifie « centièmes » : t %=t100t\,\% = \dfrac{t}{100}.

Calcule 20 % de 45 000 FCFA.

Explication : 45 000×20100=45 000×20÷100=9 00045\,000\times\dfrac{20}{100} = 45\,000\times20\div100 = 9\,000 FCFA.

Un troupeau compte 40 chèvres, dont 6 sont vendues au marché. Quel pourcentage du troupeau a été vendu ?

Explication : 640×100=15\dfrac{6}{40}\times100 = 15 : 15 % du troupeau a été vendu.

Augmenter une quantité de t %t\,\% revient à la multiplier par :

Explication : Le coefficient multiplicateur d'une augmentation de t %t\,\% est 1+t1001+\dfrac{t}{100}, celui d'une réduction est 1−t1001-\dfrac{t}{100}.

Un article à 8 000 FCFA est soldé à −15 %. Quel est son nouveau prix ?

Explication : Coefficient =1−15100=0,85= 1-\dfrac{15}{100}=0{,}85. Nouveau prix =8 000×0,85=6 800= 8\,000\times0{,}85 = 6\,800 FCFA.

Un prix subit deux réductions successives de 10 % chacune. Quelle est la réduction totale ?

Explication : Les coefficients se multiplient, ils ne s'additionnent jamais : 0,9×0,9=0,810{,}9\times0{,}9=0{,}81, soit une réduction totale de 1−0,81=0,191-0{,}81=0{,}19, donc 19 %.

L'échelle d'une carte est définie comme :

Explication : L'échelle est le rapport (distance sur la carte) ÷ (distance réelle), les deux longueurs étant exprimées dans la même unité.

Sur une carte à l'échelle 1100 000\dfrac{1}{100\,000}, une distance mesure 5 cm. Quelle est la distance réelle ?

Explication : 1 cm sur la carte représente 100 000100\,000 cm, soit 1 km, dans la réalité. Donc 55 cm représentent 55 km.

La distance réelle entre deux villages est de 12 km. Sur une carte, elle est représentée par 6 cm. Quelle est l'échelle de la carte ?

Explication : 1212 km =1 200 000= 1\,200\,000 cm. Échelle =6÷1 200 000=1200 000= 6 \div 1\,200\,000 = \dfrac{1}{200\,000}.

Une échelle 150 000\dfrac{1}{50\,000} signifie que 1 cm sur la carte représente, dans la réalité :

Explication : 50 00050\,000 cm =500= 500 m =0,5= 0{,}5 km. Piège classique : ne pas confondre le nombre 50 00050\,000 (en cm) avec des kilomètres.

La vitesse moyenne d'un trajet est donnée par la formule :

Explication : La vitesse moyenne est le quotient de la distance totale parcourue par la durée totale : v=dtv = \dfrac{d}{t}.

Une voiture parcourt 45 km en 30 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne, en km/h ?

Explication : 30 min =0,5= 0{,}5 h. v=45÷0,5=90v = 45 \div 0{,}5 = 90 km/h.

Convertis 2 h 15 min en heures décimales.

Explication : 1515 min =1560=0,25= \dfrac{15}{60} = 0{,}25 h, donc 22 h 1515 min =2,25= 2{,}25 h.

Un cycliste parcourt 60 km à 20 km/h à l'aller, puis les mêmes 60 km à 30 km/h au retour. Quelle est sa vitesse moyenne sur tout le trajet ?

Explication : Temps aller =60÷20=3= 60\div20=3 h, temps retour =60÷30=2=60\div30=2 h, durée totale =5=5 h, distance totale =120=120 km. v=120÷5=24v = 120\div5 = 24 km/h : on ne moyenne jamais les vitesses directement.
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