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Symétrie centrale

Construire le symétrique d'une figure par rapport à un point et repérer les centres de symétrie.

Mathématiques 5ème Chapitre 8 / 13 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Construire un symétrique par rapport à un point
  • Justifier des égalités de longueurs et d'angles
  • Reconnaître un centre de symétrie

Regarde un jeu de cartes, un domino, ou même les pales d'un ventilateur vues de face : beaucoup d'objets qui t'entourent ont un point autour duquel « tout se répond ». Tourne l'objet d'un demi-tour (180°) autour de ce point : il retombe exactement sur lui-même. Ce demi-tour porte un nom en mathématiques : la symétrie centrale.

L'an dernier, tu as découvert la symétrie axiale : on pliait la figure le long d'une droite, comme dans un miroir. Cette année, tu apprends une deuxième transformation, tout aussi importante : au lieu de plier autour d'une droite, on fait tourner d'un demi-tour autour d'un point. Les deux transformations conservent les longueurs et les angles, mais elles ne se ressemblent pas du tout : tu comprendras pourquoi à la fin du chapitre.

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à construire, à la règle et au compas, le symétrique d'un point, d'un segment, d'une droite, d'un cercle et d'un triangle. Tu découvriras aussi que certaines figures — le rectangle, le parallélogramme, certaines lettres de l'alphabet — possèdent un centre de symétrie : elles se superposent avec elles-mêmes après un demi-tour. Cette idée sert aussi en dehors des maths : en architecture, en art décoratif, ou simplement pour reconnaître un motif bien construit.

1Symétrique d'un point par rapport à un point

Fixe un point du plan : appelle-le OO. À chaque point MM du plan, on associe un unique point « de l'autre côté » de OO, à la même distance. C'est la symétrie centrale.

Définition

Soit OO un point du plan. Le symétrique du point MM par rapport au point OO est le point M′M' tel que OO soit le milieu du segment [MM′][MM'].

On dit aussi que M′M' est l'image de MM par la symétrie de centre OO, et que OO est le centre de cette symétrie.

Faire correspondre MM et M′M', c'est exactement faire tourner le point MM d'un demi-tour (un angle de 180°180°) autour de OO. C'est pour cela qu'on parle aussi de « demi-tour de centre OO ».

Attention

Les trois points MM, OO et M′M' sont toujours alignés, avec OO exactement au milieu. Ce n'est pas la même chose que la symétrie axiale : là-bas, MM et son symétrique sont alignés perpendiculairement à l'axe, pas par rapport à un point. Ne confonds jamais les deux constructions !

1.1  Cas particulier : le symétrique de OO

Si M=OM = O, alors OO est son propre milieu : le symétrique de OO par rapport à lui-même est OO. C'est le seul point qui reste immobile dans un demi-tour de centre OO — exactement comme le centre d'une roue ne bouge pas quand la roue tourne.

1.2  Construire le symétrique d'un point

Méthode — construire le symétrique de MM par rapport à OO
  1. On trace la droite (MO)(MO) à la règle.
  2. Au compas, on pointe en OO avec un écartement égal à OMOM.
  3. On reporte cette longueur sur la droite (MO)(MO), de l'autre côté de OO : on obtient M′M'.
Exemple — symétrique du point AA

Sur la figure 1, on construit le symétrique A′A' du point AA par rapport à OO : on trace la droite (AO)(AO), puis on reporte au compas la longueur OAOA de l'autre côté de OO. Les deux points AA et A′A' sont donc situés sur un même cercle de centre OO.

Symétrique du point A par rapport au point O O A A' OA = OA′ donc O est le milieu de [AA′]
Figure 1 — Construction du symétrique A′A' du point AA par rapport à OO : OO, AA et A′A' sont alignés et OA=OA′OA = OA'.
Math & Co — L'art de la règle et du compas

Construire un point « à la même distance, de l'autre côté » avec seulement une règle non graduée et un compas est un exercice très ancien : c'est exactement ce que pratiquaient déjà les mathématiciens grecs. Vers -300, Euclide rassemble dans ses Éléments toutes les constructions possibles à la règle et au compas, et impose une règle stricte : aucun autre instrument n'est autorisé, et aucune longueur ne se mesure — elle se reporte. Aujourd'hui encore, construire le symétrique d'un point suit exactement sa méthode.

1.3  Symétrique d'une figure, point par point

Pour construire le symétrique d'une figure entière (un triangle, un quadrilatère…), on construit le symétrique de chaque sommet, puis on relie les sommets images dans le même ordre.

Méthode — construire le symétrique d'un triangle

Pour construire le symétrique du triangle ABCABC par rapport à OO :

  1. on construit A′A', symétrique de AA par rapport à OO ;
  2. on construit B′B', symétrique de BB par rapport à OO ;
  3. on construit C′C', symétrique de CC par rapport à OO ;
  4. on trace le triangle A′B′C′A'B'C' : c'est le symétrique de ABCABC par rapport à OO.
Exemple — symétrique du triangle ABCABC

Sur la figure 2, chaque sommet de A′B′C′A'B'C' est obtenu en reportant, de l'autre côté de OO, la même distance que le sommet correspondant de ABCABC. Remarque que OO est le milieu de [AA′][AA'], de [BB′][BB'] et de [CC′][CC'] en même temps.

Symétrique du triangle ABC par rapport à O A B C A' B' C' O
Figure 2 — Le triangle A′B′C′A'B'C', symétrique de ABCABC par rapport à OO, est construit sommet par sommet.

2Propriétés de conservation

Un demi-tour ne déforme jamais une figure : il la fait seulement pivoter jusqu'à sa position symétrique. C'est ce qu'on appelle un déplacement : les distances entre les points ne changent pas.

Propriété

La symétrie centrale conserve :

  • les longueurs : si A′A' et B′B' sont les symétriques de AA et BB, alors A′B′=ABA'B' = AB ;
  • les angles : un angle et son symétrique ont la même mesure ;
  • l'alignement : si AA, BB, CC sont alignés, alors A′A', B′B', C′C' le sont aussi ;
  • le parallélisme et la perpendicularité ;
  • les aires et les périmètres.
Démonstration — idée de la preuve pour les longueurs

Soit A′A' et B′B' les symétriques de AA et BB par rapport à OO. Les points AA, OO, A′A' sont alignés avec OA=OA′OA = OA' ; de même, BB, OO, B′B' sont alignés avec OB=OB′OB = OB'. De plus, l'angle AOB^\widehat{AOB} et l'angle A′OB′^\widehat{A'OB'} sont opposés par le sommet : ils ont donc la même mesure.

Les triangles OABOAB et OA′B′OA'B' ont alors deux côtés de même longueur (OA=OA′OA = OA' et OB=OB′OB = OB') qui forment le même angle en OO : ils se superposent exactement par le demi-tour de centre OO. Leurs troisièmes côtés sont donc égaux : A′B′=ABA'B' = AB. C'est ce qu'on voulait montrer.

Exemple — utiliser la conservation des longueurs
  1. A′A' et B′B' sont les symétriques de AA et BB par rapport à OO
  2. AB=5,4 cmAB = 5{,}4\ \text{cm}
  3. ⇒\RightarrowA′B′=5,4 cmA'B' = 5{,}4\ \text{cm}la symétrie centrale conserve les longueurs
Exemple — utiliser la conservation des angles
  1. le triangle ABCABC a un angle BAC^=62°\widehat{BAC} = 62°
  2. A′B′C′A'B'C' est le symétrique de ABCABC par rapport à OO
  3. ⇒\RightarrowB′A′C′^=62°\widehat{B'A'C'} = 62°la symétrie centrale conserve les angles
Math & Co — Classer la géométrie par ses transformations

Pendant longtemps, la géométrie s'est limitée à mesurer des longueurs et des angles, figure par figure. En 1872, le mathématicien allemand Felix Klein propose, dans son programme d'Erlangen, une idée neuve : définir une géométrie par l'ensemble des transformations qui en conservent les propriétés. La symétrie centrale, la symétrie axiale, les translations et les rotations forment justement le groupe des transformations qui conservent les longueurs : c'est ce groupe qui structure toute la géométrie que tu étudies au collège.

Une conséquence utile : le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique. Si II est le milieu de [AB][AB], alors le symétrique I′I' de II est le milieu de [A′B′][A'B'].

3Symétrique d'une droite, d'un segment, d'un cercle

Tu sais construire le symétrique d'un point. Il reste à comprendre ce que devient un segment, une droite ou un cercle entiers : il suffit en fait de connaître le symétrique d'un petit nombre de points « clés » — les extrémités, ou le centre.

3.1  Symétrique d'un segment

Propriété

Le symétrique du segment [AB][AB] par rapport à OO est le segment [A′B′][A'B'], où A′A' et B′B' sont les symétriques de AA et BB. Il a la même longueur : A′B′=ABA'B' = AB.

Il suffit donc de construire les symétriques des deux extrémités, puis de les relier.

3.2  Symétrique d'une droite

Propriété

Le symétrique d'une droite (d)(d) par rapport à un point OO est une droite (d′)(d').

  • Si O∉(d)O \notin (d), alors (d′)(d') est strictement parallèle à (d)(d).
  • Si O∈(d)O \in (d), alors (d′)(d') est la même droite que (d)(d).

Pour construire (d′)(d') quand O∉(d)O \notin (d), il suffit de connaître le symétrique de deux points de (d)(d) : la droite qui les joint est (d′)(d'), automatiquement parallèle à (d)(d).

3.3  Symétrique d'un cercle

Propriété

Le symétrique d'un cercle de centre II et de rayon rr par rapport à OO est le cercle de centre I′I' (symétrique de II) et de même rayon rr.

Méthode — construire le symétrique d'un cercle
  1. On construit I′I', symétrique du centre II par rapport à OO.
  2. On trace le cercle de centre I′I' et de rayon rr — le même rayon que le cercle de départ.
Exemple — segment, droite et cercle

Sur la figure 3, le segment [AB][AB], porté par une droite (d)(d) qui ne passe pas par OO, a pour symétrique le segment [A′B′][A'B'], porté par une droite (d′)(d') parallèle à (d)(d). Le cercle de centre II a pour symétrique le cercle de centre I′I' et de même rayon.

Segment et droite A B A' B' O (d) (d') Cercle I I' O r Segment, droite, cercle : même longueur, même rayon, droites parallèles.
Figure 3 — Symétriques d'un segment, d'une droite et d'un cercle par rapport à OO : la droite image est parallèle, le cercle image a le même rayon.
Attention

Ne confonds pas « même rayon » et « même cercle » : sauf si OO est le centre II du cercle de départ, le cercle symétrique est un cercle différent, seulement déplacé. Si O=IO = I, le cercle est son propre symétrique : I′=II' = I et le cercle « reste sur place ».

Exemple — cas particulier O=IO = I
  1. le cercle C\mathcal{C} a pour centre II et pour rayon r=3 cmr = 3\ \text{cm}
  2. on prend O=IO = I
  3. ⇒\RightarrowI′=II' = Ile symétrique du centre de symétrie est lui-même
  4. ⇒\Rightarrowle symétrique de C\mathcal{C} est C\mathcal{C} lui-même

4Centre de symétrie d'une figure

Jusqu'ici, symétriser une figure donnait une figure différente. Mais il arrive que la figure symétrique soit exactement la même figure de départ : on dit alors que la figure possède un centre de symétrie.

Définition

Un point OO est un centre de symétrie d'une figure FF lorsque le symétrique de FF par rapport à OO est la figure FF elle-même.

Méthode — reconnaître un centre de symétrie

Pour vérifier qu'un point OO est centre de symétrie d'une figure, on vérifie que le symétrique de chaque point de la figure appartient encore à la figure. Pour un polygone, il suffit souvent de vérifier que chaque sommet a un « sommet opposé », à la même distance de OO, de l'autre côté.

4.1  Exemples usuels

Les quadrilatères usuels donnent de bons exemples.

Propriété

Le rectangle, le losange et le carré ont un centre de symétrie : le point d'intersection de leurs deux diagonales. Le cercle a un centre de symétrie : son propre centre.

Définition — parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.

Cette définition entraîne des conséquences utiles pour la suite du programme : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, et les côtés opposés ont la même longueur et sont parallèles deux à deux.

Parallélogramme A B C D O Hexagone régulier P P' O Chaque figure se superpose avec elle-même après un demi-tour autour de O.
Figure 4 — Le parallélogramme et l'hexagone régulier ont un centre de symétrie OO : chaque sommet a un sommet opposé à la même distance.
Exemple — un polygone régulier sans centre de symétrie

Un triangle équilatéral n'a pas de centre de symétrie : si on tente un demi-tour autour de son centre, chaque sommet retombe entre deux autres sommets, jamais sur un sommet. Plus généralement, un polygone régulier a un centre de symétrie seulement s'il a un nombre pair de côtés (carré, hexagone régulier, octogone régulier…) ; un pentagone régulier ou un triangle équilatéral n'en ont pas.

4.2  Motifs et lettres

La notion de centre de symétrie ne concerne pas que les polygones : de nombreuses lettres majuscules, écrites en script simple, ont elles aussi un centre de symétrie.

Certaines lettres ont un centre de symétrie S ✓ Z ✓ N ✓ H ✓ X ✓ F ✗
Figure 5 — Les lettres S, Z, N, H, X ont un centre de symétrie (point vert) ; la lettre F n'en a aucun.
Math & Co — Des mathématiques dans l'art

Le dessinateur néerlandais M. C. Escher (1898-1972) est célèbre pour ses pavages où des figures identiques s'enchaînent sans laisser aucun vide. Après avoir visité l'Alhambra de Grenade en 1922 puis en 1936, il étudie en détail les entrelacs géométriques des artisans andalous, qui utilisent systématiquement symétries axiales, symétries centrales et rotations pour construire leurs motifs. Cette rencontre transforme son travail : à partir de 1937, Escher construit ses œuvres les plus célèbres à partir de ces mêmes transformations — les mêmes que celles de ce chapitre.

Attention

Avoir un centre de symétrie et avoir un axe de symétrie sont deux propriétés différentes. Le rectangle a les deux (un centre et deux axes). Le parallélogramme non rectangle a un centre, mais aucun axe. Un triangle isocèle non équilatéral a un axe, mais aucun centre. Ne déduis jamais l'un à partir de l'autre !

5Comparaison avec la symétrie axiale

Tu connais maintenant deux transformations qui conservent les longueurs et les angles : la symétrie axiale (le pliage autour d'une droite) et la symétrie centrale (le demi-tour autour d'un point). Il est temps de bien les distinguer.

Symétrie axialeSymétrie centrale
Élément de référenceune droite (Δ)(\Delta), l'axeun point OO, le centre
Construction de l'image M′M'(Δ)(\Delta) est la médiatrice de [MM′][MM']OO est le milieu de [MM′][MM']
AlignementMM, M′M' alignés perpendiculairement à (Δ)(\Delta)MM, OO, M′M' alignés
Longueurs, angles, airesconservésconservés
Sens de la figureinversé, comme dans un miroirconservé : la figure tourne, elle ne se retourne pas

La dernière ligne est la différence la plus frappante : imagine un texte écrit sur une feuille transparente. Si tu retournes la feuille (symétrie axiale), le texte devient illisible, comme dans un miroir. Si tu fais tourner la feuille d'un demi-tour sans la retourner (symétrie centrale), le texte reste lisible — simplement à l'envers, tête en bas.

Exemple — même figure, deux transformations différentes

Sur la figure 6, la même lettre FF est transformée de deux façons. Par symétrie axiale, elle est retournée comme dans un miroir. Par symétrie centrale, elle est tournée d'un demi-tour : on peut toujours la lire, à l'envers.

Symétrie axiale (miroir) Le texte devient illisible. Symétrie centrale O (demi-tour) Le texte reste lisible, à l'envers.
Figure 6 — La même lettre F transformée par symétrie axiale (retournée, illisible) et par symétrie centrale (tournée, toujours lisible).
Méthode — reconnaître la transformation utilisée

Pour savoir si une image a été obtenue par symétrie axiale ou par symétrie centrale, cherche si on peut superposer la figure de départ et son image seulement en la faisant glisser et tourner dans le plan, sans jamais la retourner : si oui, c'est une symétrie centrale (ou une rotation). Si on doit retourner la figure comme une crêpe pour la superposer à son image, c'est une symétrie axiale.

Attention

Une figure peut posséder à la fois un axe et un centre de symétrie (le rectangle), un seul des deux (le parallélogramme non rectangle : centre seul ; le triangle isocèle : axe seul), ou aucun des deux (un triangle scalène quelconque). Avant de répondre à un exercice, vérifie toujours lequel des deux types de symétrie est demandé.

Fiche mémo

  • Le symétrique de MM par rapport à OO est le point M′M' tel que OO soit le milieu de [MM′][MM'].
  • MM, OO, M′M' sont toujours alignés, avec OM=OM′OM = OM'.
  • Le symétrique de OO par rapport à lui-même est OO.
  • La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme et les aires.
  • Symétrique d'un segment : même longueur. Symétrique d'une droite : droite parallèle (ou la même droite si OO est dessus).
  • Symétrique d'un cercle de centre II, rayon rr : cercle de centre I′I', même rayon rr.
  • Un point OO est centre de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à OO est la figure elle-même.
  • Rectangle, losange, carré, cercle : centre de symétrie = intersection des diagonales (ou centre du cercle).
  • Un parallélogramme est un quadrilatère qui a un centre de symétrie.
  • Un polygone régulier a un centre de symétrie seulement s'il a un nombre pair de côtés.
  • Symétrie axiale = pliage autour d'une droite ; symétrie centrale = demi-tour autour d'un point.
  • Symétrie axiale : le sens est inversé (miroir). Symétrie centrale : le sens est conservé.
  • Construction au compas : reporter la même longueur, de l'autre côté du centre.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Sur un quadrillage, place O(5 ; 3)O(5\,;\,3) et M(2 ; 5)M(2\,;\,5) (coordonnées en carreaux). Construis le point M′M', symétrique de MM par rapport à OO. Donne les coordonnées de M′M'.

Voir le corrigé détaillé

OO est le milieu de [MM′][MM'] : chaque coordonnée de M′M' s'obtient en doublant celle de OO et en retirant celle de MM.

  1. abscisse de M′M' : 2×5−2=82 \times 5 - 2 = 8
  2. ordonnée de M′M' : 2×3−5=12 \times 3 - 5 = 1
  3. ⇒\RightarrowM′(8 ; 1)M'(8\,;\,1)
Construire M', symétrique de M par rapport à O M M' O M(2 ; 5) O(5 ; 3) M'(8 ; 1)
Figure 7 — Construction de M′M' sur quadrillage : OO est le milieu de [MM′][MM'].
2

A′A', B′B' et C′C' sont les symétriques de AA, BB et CC par rapport à un point OO. On sait que AB=6,8 cmAB = 6{,}8\ \text{cm} et que l'angle ABC^=47°\widehat{ABC} = 47°. Donne, en justifiant, A′B′A'B' puis l'angle A′B′C′^\widehat{A'B'C'}.

Voir le corrigé détaillé
  1. AB=6,8 cmAB = 6{,}8\ \text{cm}
  2. ⇒\RightarrowA′B′=6,8 cmA'B' = 6{,}8\ \text{cm}la symétrie centrale conserve les longueurs
  3. ABC^=47°\widehat{ABC} = 47°
  4. ⇒\RightarrowA′B′C′^=47°\widehat{A'B'C'} = 47°la symétrie centrale conserve les angles
3

Construis, à la règle et au compas, le symétrique du segment [AB][AB] par rapport à un point OO n'appartenant pas à la droite (AB)(AB). Que peux-tu dire de la droite (A′B′)(A'B') par rapport à (AB)(AB) ?

Voir le corrigé détaillé

On construit A′A' (symétrique de AA) puis B′B' (symétrique de BB) en reportant au compas, sur la droite (AO)(AO) puis (BO)(BO), la même longueur de l'autre côté de OO. On relie A′A' et B′B'.

Comme O∉(AB)O \notin (AB), la droite (A′B′)(A'B') est strictement parallèle à (AB)(AB), et A′B′=ABA'B' = AB.

4

Un cercle C\mathcal{C} a pour centre II et pour rayon 4,5 cm4{,}5\ \text{cm}. On construit son symétrique C′\mathcal{C}' par rapport à un point OO distinct de II. Quel est le rayon de C′\mathcal{C}' ? C\mathcal{C} et C′\mathcal{C}' sont-ils le même cercle ?

Voir le corrigé détaillé
  1. rayon de C\mathcal{C} : 4,5 cm4{,}5\ \text{cm}
  2. ⇒\Rightarrowrayon de C′\mathcal{C}' : 4,5 cm4{,}5\ \text{cm}le rayon est conservé

Comme O≠IO \neq I, le centre I′I' de C′\mathcal{C}' est différent de II : C\mathcal{C} et C′\mathcal{C}' ne sont pas le même cercle, seulement deux cercles de même rayon.

5

Trois points PP, QQ, RR sont alignés. On construit leurs symétriques P′P', Q′Q', R′R' par rapport à un point OO. P′P', Q′Q', R′R' sont-ils alignés ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

Oui : la symétrie centrale conserve l'alignement des points. Comme PP, QQ, RR sont alignés sur une droite (d)(d), leurs symétriques P′P', Q′Q', R′R' sont alignés sur la droite (d′)(d'), symétrique de (d)(d) par rapport à OO (parallèle à (d)(d), ou confondue avec (d)(d) si O∈(d)O \in (d)).

Niveau 2 — Approfondissement
6

Trace un triangle ABCABC puis un point OO n'appartenant pas au triangle. Construis le triangle A′B′C′A'B'C', symétrique de ABCABC par rapport à OO. Que peux-tu dire des périmètres de ABCABC et de A′B′C′A'B'C' ?

Voir le corrigé détaillé

On construit A′A', B′B', C′C' séparément (chacun symétrique du sommet correspondant par rapport à OO), puis on trace le triangle A′B′C′A'B'C' (figure 8).

La symétrie centrale conserve chaque longueur : A′B′=ABA'B' = AB, B′C′=BCB'C' = BC, A′C′=ACA'C' = AC. En additionnant les trois côtés, le périmètre de A′B′C′A'B'C' est donc égal à celui de ABCABC.

Symétrique du triangle ABC par rapport à O A B C A' B' C' O Périmètre conservé : même longueur pour chaque côté.
Figure 8 — Symétrique du triangle ABCABC par rapport à OO : mêmes longueurs de côtés, donc même périmètre.
7

ABCDABCD est un quadrilatère. Les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] se coupent en un point OO tel que OA=OC=4 cmOA = OC = 4\ \text{cm} et OB=OD=3,2 cmOB = OD = 3{,}2\ \text{cm}. ABCDABCD est-il un parallélogramme ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé
  1. OA=OCOA = OCdonc OO est le milieu de [AC][AC]
  2. OB=ODOB = ODdonc OO est le milieu de [BD][BD]
  3. ⇒\RightarrowOO est centre de symétrie de ABCDABCD

Un quadrilatère qui possède un centre de symétrie est un parallélogramme : ABCDABCD en est bien un.

8

Observe la croix ci-dessous (figure 9). Le point OO marqué au centre est-il un centre de symétrie de cette figure ? Justifie en citant deux sommets symétriques.

Voir le corrigé détaillé

Oui. Chaque sommet de la croix a un sommet « opposé », situé de l'autre côté de OO, à la même distance : par exemple le sommet PP et le sommet P′P' vérifient OP=OP′OP = OP', avec PP, OO, P′P' alignés. C'est vrai pour les six couples de sommets de la croix : OO est bien un centre de symétrie.

O est-il centre de symétrie de cette croix ? P P' O
Figure 9 — La croix a un centre de symétrie OO : PP et P′P' sont symétriques, comme chaque autre couple de sommets.
9

Un cercle de centre II et de rayon 5 cm5\ \text{cm} est tracé. JJ est un point extérieur au cercle, à 9 cm9\ \text{cm} de II, et OO est le milieu du segment [IJ][IJ]. Construis le symétrique du cercle par rapport à OO et donne son rayon, puis la position de son centre I′I'.

Voir le corrigé détaillé
  1. rayon du cercle symétrique : 5 cm5\ \text{cm}le rayon est toujours conservé
  2. OO est le milieu de [IJ][IJ]
  3. ⇒\Rightarrowle symétrique I′I' de II par rapport à OO est... JJ lui-même !OO milieu de [IJ][IJ] : c'est exactement la définition du symétrique

Le cercle symétrique a donc pour centre JJ et pour rayon 5 cm5\ \text{cm}.

Niveau 3 — Défi
10

AA et BB sont deux points, OO un point n'appartenant pas à la droite (AB)(AB). On construit A′A', symétrique de AA par rapport à OO, et B′B', symétrique de BB par rapport à OO.

  1. Construis la figure et place A′A', B′B'.
  2. Démontre que le quadrilatère ABA′B′ABA'B' est un parallélogramme.
  3. Sachant que AB=5,2 cmAB = 5{,}2\ \text{cm}, déduis-en la longueur A′B′A'B'.
Voir le corrigé détaillé

1. Voir la figure 10 : on reporte, de l'autre côté de OO, la longueur OAOA pour obtenir A′A', et la longueur OBOB pour obtenir B′B'.

ABA'B' est-il un parallélogramme ? A B A' B' O O, milieu commun de [AA'] et de [BB'].
Figure 10 — OO est le milieu commun des deux diagonales [AA′][AA'] et [BB′][BB'] : ABA′B′ABA'B' est un parallélogramme.

2. Les diagonales du quadrilatère ABA′B′ABA'B' sont [AA′][AA'] et [BB′][BB'].

  1. A′A' est le symétrique de AA par rapport à OO
  2. ⇒\RightarrowOO est le milieu de [AA′][AA']
  3. B′B' est le symétrique de BB par rapport à OO
  4. ⇒\RightarrowOO est le milieu de [BB′][BB']

OO est donc le milieu commun des deux diagonales : OO est centre de symétrie de ABA′B′ABA'B'. Or un quadrilatère qui possède un centre de symétrie est un parallélogramme. C.Q.F.D.

3. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur : A′B′=AB=5,2 cmA'B' = AB = 5{,}2\ \text{cm} (on retrouve le même résultat par la conservation des longueurs).

11

Un rectangle RECTRECT a pour centre OO le point d'intersection de ses diagonales.

  1. Explique pourquoi OO est un centre de symétrie de RECTRECT.
  2. RECTRECT possède-t-il aussi des axes de symétrie ? Si oui, combien, et comment les tracer ?
  3. Un losange non carré possède-t-il, lui aussi, un centre et des axes de symétrie ? Précise combien de chaque.
Voir le corrigé détaillé

1. Dans un rectangle, les diagonales [RT][RT] et [EC][EC] ont la même longueur et se coupent en leur milieu commun OO : RR et TT sont donc symétriques par rapport à OO, tout comme EE et CC. Le rectangle se superpose donc avec lui-même par le demi-tour de centre OO : OO est centre de symétrie.

2. Oui, un rectangle a deux axes de symétrie : les deux droites qui passent par les milieux de deux côtés opposés (les « médianes » du rectangle). Elles se coupent aussi en OO.

3. Un losange non carré possède lui aussi un centre de symétrie (l'intersection de ses diagonales) et deux axes de symétrie — mais ce sont cette fois ses diagonales elles-mêmes, et non les médianes.

12

On considère un pentagone régulier ABCDEABCDE (5 côtés de même longueur, 5 angles égaux).

  1. On suppose qu'un point OO est centre de symétrie de ce pentagone. Que doit être, dans ce cas, le symétrique du sommet AA ?
  2. Explique pourquoi ce symétrique ne peut être aucun des sommets du pentagone.
  3. Conclus : un pentagone régulier possède-t-il un centre de symétrie ?
Voir le corrigé détaillé

1. Si OO est centre de symétrie du pentagone, le symétrique de chaque sommet doit être un point de la figure — donc, pour un polygone, un autre sommet du pentagone.

2. Un centre de symétrie associe les sommets deux par deux (chaque sommet avec son opposé). Or le pentagone a 55 sommets, et 55 est impair : on ne peut pas répartir 55 sommets en paires complètes — il en resterait toujours un sans partenaire.

3. C'est donc impossible : un pentagone régulier n'a pas de centre de symétrie. Plus généralement, aucun polygone régulier à nombre impair de côtés n'a de centre de symétrie.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le cerf-volant de Fatimé (Ndjamena). Fatimé fabrique des cerfs-volants en forme de losange PQRSPQRS, qui a un centre de symétrie OO : le point où se croisent les deux baguettes. La demi-diagonale [OP][OP] mesure 30 cm30\ \text{cm} et la demi-diagonale [OQ][OQ] mesure 20 cm20\ \text{cm}. Le tissu coûte 2 5002\,500 F CFA le m².

  1. Quelle est la longueur de la diagonale [PR][PR] ? de la diagonale [QS][QS] ?
  2. Calcule l'aire du losange (aire =D×d2= \dfrac{D \times d}{2}, DD et dd étant les diagonales).
  3. Calcule le prix du tissu nécessaire pour un cerf-volant.
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1. OO est centre de symétrie du losange, donc RR est le symétrique de PP et SS le symétrique de QQ : OR=OPOR = OP et OS=OQOS = OQ.

  1. PR=OP+OR=2×OPPR = OP + OR = 2 \times OP
  2. ==2×30=60 cm2 \times 30 = 60\ \text{cm}
  3. QS=2×OQQS = 2 \times OQ
  4. ==2×20=40 cm2 \times 20 = 40\ \text{cm}

2. Aire du losange, avec D=60 cmD = 60\ \text{cm} et d=40 cmd = 40\ \text{cm} :

  1. aire =60×402= \dfrac{60 \times 40}{2}
  2. ==1 200 cm21\,200\ \text{cm}^{2}
  3. ==0,12 m20{,}12\ \text{m}^{2}1 m2=10 000 cm21\ \text{m}^{2} = 10\,000\ \text{cm}^{2}

3.

  1. prix =0,12×2 500= 0{,}12 \times 2\,500
  2. ==300300 F CFA

Le tissu nécessaire pour un cerf-volant coûte 300 F CFA.

14

Panneaux routiers (Dakar). Un service technique de Dakar doit repeindre 1818 panneaux ronds « sens interdit » (un disque rouge barré d'une bande blanche horizontale passant par le centre) et 1818 panneaux triangulaires « cédez le passage ».

  1. Le panneau « sens interdit » possède-t-il un centre de symétrie ? Justifie.
  2. Le panneau triangulaire possède-t-il un centre de symétrie ?
  3. Repeindre un panneau coûte 4 0004\,000 F CFA. Calcule le coût total pour les 3636 panneaux.
Voir le corrigé détaillé

1. Oui. Le centre du disque est un centre de symétrie : un demi-tour envoie le disque sur lui-même, et la bande blanche, qui passe par le centre, se retrouve exactement à sa place (chaque extrémité de la bande a son symétrique à l'autre extrémité).

2. Non. Un triangle, quel qu'il soit, a 33 sommets — un nombre impair — qui ne peuvent pas être associés deux par deux par un centre de symétrie (même raisonnement qu'à l'exercice 12).

  1. nombre de panneaux : 18+18=3618 + 18 = 36
  2. coût =36×4 000= 36 \times 4\,000
  3. ==144 000144\,000 F CFA
15

Le jardin symétrique (Abidjan). Un paysagiste dessine à Abidjan un jardin rectangulaire de 20 m20\ \text{m} sur 12 m12\ \text{m}. Il place un bassin ponctuel au centre OO du rectangle et un parterre de fleurs rectangulaire de 5 m5\ \text{m} sur 3 m3\ \text{m} dans un coin. Il crée un second parterre, symétrique du premier par rapport à OO.

  1. Pourquoi le second parterre a-t-il les mêmes dimensions que le premier ?
  2. Calcule l'aire totale occupée par les deux parterres.
  3. Le gazon coûte 1 8001\,800 F CFA le m², posé sur toute la surface du jardin restante (hors parterres). Calcule le coût du gazon.
Voir le corrigé détaillé

1. Le second parterre est l'image du premier par la symétrie de centre OO, qui conserve les longueurs : il a donc exactement les mêmes dimensions, 5 m×3 m5\ \text{m} \times 3\ \text{m}.

Plan symétrique du jardin (vue de dessus) O Parterre 1 Parterre 2 (symétrique)
Figure 11 — Le second parterre, symétrique du premier par rapport au bassin OO, a les mêmes dimensions.

2.

  1. aire d'un parterre =5×3=15 m2= 5 \times 3 = 15\ \text{m}^{2}
  2. aire des deux parterres =2×15= 2 \times 15
  3. ==30 m230\ \text{m}^{2}

3.

  1. aire du jardin =20×12=240 m2= 20 \times 12 = 240\ \text{m}^{2}
  2. surface de gazon =240−30= 240 - 30
  3. ==210 m2210\ \text{m}^{2}
  4. coût =210×1 800= 210 \times 1\,800
  5. ==378 000378\,000 F CFA

Le gazon coûte 378 000 F CFA.

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Nombres relatifs : calcul et repérage

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M′M' est le symétrique de MM par rapport à OO signifie que :

Explication : Par définition, le symétrique de MM par rapport à OO est le point M′M' tel que OO soit le milieu du segment [MM′][MM'].

La symétrie centrale correspond exactement à :

Explication : Faire correspondre MM et son symétrique M′M' revient à faire tourner MM d'un demi-tour, soit 180°180°, autour de OO.

MM, OO et M′M' (symétrique de MM par rapport à OO) sont toujours :

Explication : Les trois points sont toujours alignés, avec OO exactement au milieu de [MM′][MM'].

Le symétrique du point OO par rapport à lui-même est :

Explication : OO est son propre milieu : c'est le seul point qui reste immobile dans un demi-tour de centre OO.

Pour construire au compas le symétrique de MM par rapport à OO, on trace la droite (MO)(MO) puis on reporte au compas :

Explication : On pointe le compas en OO avec un écartement OMOM, puis on reporte cette même longueur de l'autre côté de OO sur la droite (MO)(MO).

Pour construire le symétrique d'un triangle ABCABC par rapport à OO, il faut :

Explication : On construit A′A', B′B', C′C', symétriques respectifs de AA, BB, CC, puis on trace le triangle A′B′C′A'B'C'.

A′A' et B′B' sont les symétriques de AA et BB par rapport à OO, avec AB=7,2AB = 7{,}2 cm. Que vaut A′B′A'B' ?

Explication : La symétrie centrale conserve les longueurs, donc A′B′=AB=7,2A'B' = AB = 7{,}2 cm.

Dans un triangle ABCABC, l'angle BAC^\widehat{BAC} mesure 58°58°. Son symétrique par rapport à OO est le triangle A′B′C′A'B'C'. Que vaut l'angle B′A′C′^\widehat{B'A'C'} ?

Explication : La symétrie centrale conserve les angles, donc B′A′C′^=BAC^=58°\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 58°.

Le symétrique d'une droite (d)(d) par rapport à un point OO n'appartenant pas à (d)(d) est :

Explication : Si O∉(d)O \notin (d), la droite symétrique (d′)(d') est strictement parallèle à (d)(d). Si O∈(d)O \in (d), (d′)(d') est confondue avec (d)(d).

Un cercle C\mathcal{C} a pour centre II et pour rayon 55 cm. Son symétrique par rapport à un point O≠IO \neq I est un cercle de rayon :

Explication : Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique de II.

On place O(4 ; 2)O(4\,;\,2) et M(1 ; 3)M(1\,;\,3) sur un quadrillage. Les coordonnées de M′M', symétrique de MM par rapport à OO, sont :

Explication : Chaque coordonnée de M′M' s'obtient en doublant celle de OO et en retirant celle de MM :
abscisse : 2×4−1=72 \times 4 - 1 = 7
ordonnée : 2×2−3=12 \times 2 - 3 = 1
donc M′(7 ; 1)M'(7\,;\,1).

Un point OO est centre de symétrie d'une figure FF quand :

Explication : OO est centre de symétrie de FF lorsque, après le demi-tour de centre OO, la figure obtenue se superpose exactement avec FF.

Le centre de symétrie d'un rectangle est :

Explication : Le rectangle, comme le losange et le carré, a pour centre de symétrie le point d'intersection de ses diagonales.

Un quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme lorsque :

Explication : Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.

Parmi ces lettres majuscules, laquelle n'a PAS de centre de symétrie ?

Explication : S, N et Z ont un centre de symétrie ; la lettre F, elle, n'en a aucun.

Quelle est la différence essentielle entre symétrie axiale et symétrie centrale ?

Explication : Un texte retourné (symétrie axiale) devient illisible comme dans un miroir ; le même texte tourné d'un demi-tour (symétrie centrale) reste lisible, juste à l'envers.

ABCDABCD est un quadrilatère dont les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] se coupent en OO, avec OA=OCOA = OC et OB=ODOB = OD. Que peut-on en conclure ?

Explication : OA=OCOA=OC et OB=ODOB=OD signifient que OO est le milieu de [AC][AC] et de [BD][BD] : OO est donc centre de symétrie du quadrilatère, qui est par définition un parallélogramme.

Trois points PP, QQ, RR sont alignés. Leurs symétriques P′P', Q′Q', R′R' par rapport à un point OO sont :

Explication : La symétrie centrale conserve l'alignement : les images de points alignés restent alignées.

Un triangle isocèle non équilatéral, mais non rectangle, possède :

Explication : Un triangle isocèle a un axe de symétrie (la médiatrice de sa base), mais aucun centre de symétrie : il ne faut jamais déduire l'un de l'autre.

Un polygone régulier possède un centre de symétrie seulement s'il a :

Explication : Carré, hexagone régulier, octogone régulier (nombre pair de côtés) ont un centre de symétrie ; triangle équilatéral, pentagone régulier (nombre impair) n'en ont pas.
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