Parallélogrammes

Étudier le parallélogramme et ses cas particuliers à partir de la symétrie centrale.

Mathématiques 5ème Chapitre 11 / 13 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Citer et utiliser les propriétés du parallélogramme
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Construire une figure à partir de propriétés

Regarde autour de toi : le plateau d’une table, une vitre de fenêtre, le cadre d’un portail, le tissu tendu d’un cerf-volant, les barreaux d’un échafaudage… Tous ces objets ont la même forme cachée derrière eux, celle d’un quadrilatère très particulier : le parallélogramme. Tu l’as déjà croisé sans le savoir, et tu vas découvrir qu’il est en réalité une vieille connaissance : c’est simplement ce que devient un triangle quand on lui ajoute son symétrique par rapport au milieu d’un côté.

Ce chapitre s’appuie directement sur la symétrie centrale que tu as étudiée juste avant. Tu vas apprendre à citer et utiliser les propriétés du parallélogramme (côtés, angles, diagonales), à démontrer qu’un quadrilatère en est un, puis à construire une figure précise à partir de ces propriétés — au compas, à la règle et à l’équerre.

Ne t’inquiète pas du mot « démontrer » : en Cinquième, démontrer signifie simplement expliquer avec des phrases claires, en s’appuyant sur une définition ou une propriété déjà connue. C’est exactement ce que tu sais déjà faire pour les angles et le parallélisme — on va juste aller un peu plus loin.

1Définition et centre de symétrie

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme lorsque : $(AB)\ \parallel\ (DC)$ et $(AD)\ \parallel\ (BC)$ .

Il existe une deuxième façon, plus rapide, de fabriquer un parallélogramme, et elle utilise directement la symétrie centrale que tu connais déjà.

Propriété — construction par symétrie centrale

Soit un point O et deux points A et B distincts de O. On note C le symétrique de A par rapport à O, et D le symétrique de B par rapport à O. Alors ABCD est un parallélogramme, et O est appelé le centre du parallélogramme.

Autrement dit : dans tout parallélogramme ABCD, le point O où se croisent les deux diagonales $[AC]$ et $[BD]$ est le centre de symétrie de la figure entière. La symétrie centrale de centre O envoie A sur C, C sur A, B sur D, et D sur B — le parallélogramme est donc invariant (globalement inchangé) par cette symétrie.

Figure 1 — ABCD est un parallélogramme : la symétrie de centre O, point de rencontre des diagonales, envoie A sur C et B sur D.

Exemple — construire un parallélogramme avec la symétrie centrale

On donne un point O et deux points E et F. On veut construire le parallélogramme EFGH de centre O.

On place G, symétrique de E par rapport à O : G est tel que O soit le milieu de $[EG]$ .
On place H, symétrique de F par rapport à O : O est le milieu de $[FH]$ .
EFGH est alors un parallélogramme, de centre O.

Attention

Un quadrilatère « croisé » (dont deux côtés se coupent) n’est jamais un parallélogramme, même si certains côtés semblent parallèles. Un parallélogramme est toujours une figure simple (les côtés ne se croisent pas) et convexe.

Math & Co — Euclide et les figures parallélogrammiques

Le mot « parallélogramme » vient du grec parallêlos (« côte à côte ») et gramma (« ligne, figure tracée »). C’est déjà le mathématicien grec Euclide qui, vers -300, dans le Livre I de ses Éléments, étudie ces « figures parallélogrammiques » à la proposition 34 : il y démontre que leurs côtés et leurs angles opposés sont égaux — exactement les propriétés que tu vas retrouver dans ce chapitre, mais avec les outils modernes de la symétrie centrale, inconnus des Grecs.

2Propriétés des côtés, angles et diagonales

La symétrie centrale conserve les longueurs et conserve les angles. Comme un parallélogramme est l’image de lui-même par la symétrie de centre O, toutes ses mesures se répètent deux par deux, en miroir de part et d’autre de O. C’est la clé de toutes les propriétés qui suivent.

Figure 2 — Codage complet : côtés opposés de même longueur, angles opposés égaux, diagonales de même milieu O.

2.1 Côtés et angles opposés

Propriété

Dans un parallélogramme ABCD :

les côtés opposés ont la même longueur : $AB = DC$ et $AD = BC$ ;
les angles opposés sont égaux : $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$ ;
deux angles consécutifs (côte à côte) sont supplémentaires : $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$ .

Démonstration — idée de preuve

La symétrie de centre O envoie A sur C et B sur D. Or une symétrie centrale conserve les longueurs : le segment $[AB]$ a donc la même longueur que son image $[CD]$ , d’où $AB = DC$ . De même, $[AD]$ a pour image $[CB]$ , d’où $AD = BC$ .

Une symétrie centrale conserve aussi les angles : l’angle $\widehat{A}$ (formé en A par les côtés $[AB]$ et $[AD]$ ) a pour image l’angle $\widehat{C}$ (formé en C par $[CD]$ et $[CB]$ ), donc $\widehat{A} = \widehat{C}$ .

Exemple — utiliser les côtés et les angles

ABCD est un parallélogramme avec $AB = 7\ \text{cm}$ , $AD = 4{,}5\ \text{cm}$ et $\widehat{A} = 70°$ .

$DC = AB$ côtés opposés
$=$ $7\ \text{cm}$
$BC = AD = 4{,}5\ \text{cm}$
$\widehat{C} = \widehat{A} = 70°$ angles opposés
$\widehat{B} = 180° - \widehat{A}$ angles consécutifs supplémentaires
$=$ $180° - 70° = 110°$
$\widehat{D} = \widehat{B} = 110°$

2.2 Les diagonales

Propriété

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu commun : si O est le point de rencontre de $[AC]$ et $[BD]$ , alors $OA = OC$ et $OB = OD$ . Ce point O est le centre de symétrie du parallélogramme.

Exemple — utiliser le point O

ABCD est un parallélogramme de diagonales $[AC]$ et $[BD]$ sécantes en O, avec $AC = 9{,}6\ \text{cm}$ et $OB = 3{,}1\ \text{cm}$ .

$OA = \dfrac{AC}{2}$ O est le milieu de [AC]
$=$ $\dfrac{9{,}6}{2} = 4{,}8\ \text{cm}$
$OC = OA = 4{,}8\ \text{cm}$
$OD = OB$ O est le milieu de [BD]
$=$ $3{,}1\ \text{cm}$

Attention

Les diagonales d’un parallélogramme ont la même milieu, mais pas forcément la même longueur ! Ne confonds pas « même milieu » ( $OA=OC$ et $OB=OD$ ) avec « diagonales égales » ( $AC = BD$ ), qui n’est vraie que pour le rectangle (section 4).

2.3 Périmètre et aire

Propriété — périmètre

Le périmètre d’un parallélogramme de côtés $AB$ et $AD$ est :

$P = 2 \times (AB + AD)$

Propriété — aire

L’aire d’un parallélogramme est égale au produit d’un côté, appelé base, par la hauteur relative à ce côté (distance entre ce côté et le côté opposé) :

$\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur}$

Démonstration — par découpage

On coupe le triangle formé au bord gauche du parallélogramme, le long de la hauteur, puis on le fait glisser contre le bord droit. Le triangle enlevé d’un côté est identique à celui qu’on recolle de l’autre : l’aire totale ne change pas. On obtient alors un rectangle de largeur « base » et de longueur « hauteur », dont l’aire vaut $\text{base} \times \text{hauteur}$ — c’est aussi l’aire du parallélogramme de départ.

Figure 3 — En coupant le triangle AHD et en le replaçant contre

[BC]

, le parallélogramme devient un rectangle de mêmes dimensions :

\mathcal{A} = b \times h

Exemple — calculer périmètre et aire

Un parallélogramme a pour côtés $AB = 8\ \text{cm}$ et $AD = 5\ \text{cm}$ , et la hauteur relative à $[AB]$ mesure $3{,}5\ \text{cm}$ .

$P = 2 \times (AB + AD)$
$=$ $2 \times (8 + 5)$
$=$ $2 \times 13 = 26\ \text{cm}$
$\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur}$
$=$ $8 \times 3{,}5$
$=$ $28\ \text{cm}^{2}$

Attention

La hauteur n’est pas forcément un côté du parallélogramme ! Elle est perpendiculaire à la base choisie, et souvent plus courte que le côté incliné. Ne confonds jamais $AD$ (un côté) avec la hauteur relative à $[AB]$ , sauf si le parallélogramme est un rectangle.

3Reconnaître un parallélogramme

Jusqu’ici, on partait d’un parallélogramme et on en déduisait ses propriétés. Maintenant, on fait le chemin inverse : on observe un quadrilatère quelconque, et on cherche à prouver que c’est un parallélogramme, à partir de mesures données. On utilise pour cela des propriétés réciproques.

Théorème — trois façons de reconnaître un parallélogramme

Soit ABCD un quadrilatère (non croisé). Chacune des conditions suivantes suffit à elle seule pour affirmer que ABCD est un parallélogramme :

Diagonales : si les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu ;
Un côté « parallèle et égal » : si $(AB)\ \parallel\ (DC)$ et $AB = DC$ ;
Côtés opposés égaux : si $AB = DC$ et $AD = BC$ .

Démonstration — critère des diagonales

Si O, milieu de $[AC]$ , est aussi le milieu de $[BD]$ , alors la symétrie centrale de centre O envoie A sur C et B sur D. D’après la propriété vue en section 1, ABCD est alors un parallélogramme de centre O.

Figure 4 — Les diagonales de MNPQ ont le même milieu O : d’après la propriété réciproque, MNPQ est un parallélogramme.

Méthode — démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

On choisit un seul des quatre arguments possibles, celui pour lequel on a le plus d’informations dans l’énoncé :

les deux paires de côtés opposés sont parallèles (définition) ;
les diagonales ont le même milieu ;
un côté est parallèle et de même longueur que le côté opposé ;
les côtés opposés sont égaux deux à deux.

Exemple — utiliser le critère « parallèle et égal »

EFGH est un quadrilatère tel que $(EF)\ \parallel\ (HG)$ et $EF = HG = 6{,}2\ \text{cm}$ . Montre que EFGH est un parallélogramme.

Le côté $[EF]$ est parallèle à $[HG]$ et de même longueur que $[HG]$ : c’est exactement le deuxième critère. Donc EFGH est un parallélogramme.

Exemple — utiliser les côtés opposés égaux

IJKL est un quadrilatère avec $IJ = 5\ \text{cm}$ , $KL = 5\ \text{cm}$ , $JK = 3{,}8\ \text{cm}$ et $LI = 3{,}8\ \text{cm}$ . Montre que IJKL est un parallélogramme.

Les côtés opposés $[IJ]$ et $[KL]$ sont égaux ( $5\ \text{cm}$ ), et les côtés opposés $[JK]$ et $[LI]$ sont égaux ( $3{,}8\ \text{cm}$ ). Donc IJKL est un parallélogramme.

Attention — le piège du trapèze

Un seul côté parallèle ne suffit jamais à lui seul ! Un quadrilatère avec une seule paire de côtés parallèles (mais pas de même longueur) est un trapèze, pas un parallélogramme. Il faut toujours vérifier les deux conditions à la fois : parallèle et même longueur, ou bien les deux paires de côtés opposés parallèles.

4Rectangle, losange, carré comme cas particuliers

Le rectangle, le losange et le carré ne sont pas des figures « à part » : ce sont des parallélogrammes encore plus particuliers, auxquels on ajoute une seule condition supplémentaire.

Définition — rectangle

Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit.

Comme deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires, dès qu’un angle vaut $90°$ , l’angle voisin vaut aussi $180° - 90° = 90°$ : les quatre angles d’un rectangle sont donc droits.

Définition — losange

Un losange est un parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs de même longueur.

Comme les côtés opposés d’un parallélogramme sont déjà égaux deux à deux, dès que deux côtés consécutifs sont égaux, les quatre côtés d’un losange sont de la même longueur.

Définition — carré

Un carré est un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange : il a un angle droit et deux côtés consécutifs égaux, donc quatre angles droits et quatre côtés égaux.

Figure 5 — Le rectangle et le losange sont des parallélogrammes avec une condition en plus ; le carré cumule les deux conditions.

Propriété — diagonales des cas particuliers

Rectangle : les diagonales ont la même longueur ( $AC = BD$ ), en plus du même milieu.
Losange : les diagonales sont perpendiculaires et sont les bissectrices des angles du losange.
Carré : les diagonales sont à la fois de même longueur, perpendiculaires, et bissectrices des angles.

Figure 6 — Le rectangle a des diagonales de même longueur ; le losange a des diagonales perpendiculaires.

Méthode — reconnaître le cas particulier

Un parallélogramme étant déjà établi, on regarde ce qu’on peut mesurer ou lire sur la figure :

un angle droit (à l’équerre) → rectangle ; deux côtés consécutifs égaux (au compas) → losange ; les deux → carré ;
ou bien, avec les diagonales : de même longueur → rectangle ; perpendiculaires → losange ; les deux → carré.

Exemple — identifier un cas particulier

ABCD est un parallélogramme dont les diagonales mesurent $AC = BD = 8\ \text{cm}$ . Que peut-on dire de ABCD ?

Les diagonales d’ABCD ont la même longueur. Or, dans un parallélogramme, avoir des diagonales de même longueur est une propriété caractéristique du rectangle. ABCD est donc un rectangle.

Exemple — losange ou carré ?

MNPQ est un losange dont un angle mesure $90°$ . Que peut-on en conclure ?

MNPQ est déjà un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux (losange). Il possède en plus un angle droit : c’est donc aussi un rectangle. Un parallélogramme à la fois losange et rectangle est un carré. MNPQ est un carré.

Attention

Un losange n’est pas forcément un carré (ses angles peuvent être différents de $90°$ ), et un rectangle n’est pas forcément un carré (ses côtés peuvent être de longueurs différentes). Seul le carré cumule toutes les propriétés à la fois.

Math & Co — le losange dans l’art islamique

Le losange est l’un des motifs géométriques les plus utilisés dans l’art décoratif depuis l’Antiquité, en particulier dans les zellijes (mosaïques) d’Afrique du Nord et du Moyen-Orient, dès le Xe siècle. Les artisans traçaient ces motifs uniquement à la règle et au compas, en s’appuyant exactement sur les propriétés que tu viens d’apprendre : diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu.

5Constructions

Construire un parallélogramme, c’est utiliser ses propriétés « à l’envers » : au lieu de les observer sur une figure déjà tracée, on s’en sert pour placer le quatrième sommet. Deux méthodes reviennent tout le temps.

Méthode 1 — connaissant deux côtés et l’angle entre eux

On veut construire ABCD connaissant $AB$ , $AD$ et l’angle $\widehat{A}$ .

On trace $[AB]$ , puis, à partir de A, l’angle $\widehat{A}$ donné et le côté $[AD]$ (au rapporteur).
On pointe le compas en B, on ouvre d’un écartement égal à $AD$ , et on trace un arc de cercle.
On pointe le compas en D, on ouvre d’un écartement égal à $AB$ , et on trace un second arc.
Le point C est à l’intersection des deux arcs : on trace alors $[BC]$ et $[DC]$ .

Figure 7 — Le point C, intersection de l’arc de centre B (rayon AD) et de l’arc de centre D (rayon AB), termine le parallélogramme.

Méthode 2 — connaissant les deux diagonales

On veut construire ABCD connaissant le point O, milieu commun des diagonales, et les longueurs $AC$ et $BD$ (voir aussi la Figure 4).

On place O, puis on trace $[AC]$ passant par O avec $OA = OC = \dfrac{AC}{2}$ .
On trace $[BD]$ passant par O, avec un écartement quelconque, et $OB = OD = \dfrac{BD}{2}$ .
On relie A, B, C, D dans l’ordre : ABCD est un parallélogramme de centre O (propriété réciproque des diagonales).

Attention

Pour construire un rectangle, il faut en plus vérifier l’angle droit à l’équerre (ou tracer des diagonales de même longueur). Pour un losange, il faut vérifier au compas que deux côtés consécutifs sont égaux (ou tracer des diagonales perpendiculaires). Une figure « à peu près droite » à main levée ne suffit jamais : les outils (règle, équerre, compas, rapporteur) sont indispensables.

Math & Co — le compas, plus vieil outil de géométrie

Le compas est utilisé depuis l’Antiquité : on en a retrouvé des traces dès l’époque des bâtisseurs égyptiens, plus de 2 000 ans avant notre ère. Il permet de reporter une longueur sans la mesurer avec une règle graduée — exactement ce que tu fais dans la Méthode 1 en reportant $AD$ depuis B, puis $AB$ depuis D, pour trouver C sans jamais utiliser d’équerre ni de rapporteur.

Fiche mémo

Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux ; son centre O (croisement des diagonales) est un centre de symétrie.
Côtés opposés égaux : $AB = DC$ , $AD = BC$ .
Angles opposés égaux : $\widehat{A} = \widehat{C}$ , $\widehat{B} = \widehat{D}$ ; angles consécutifs supplémentaires : $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$ .
Diagonales de même milieu : $OA = OC$ et $OB = OD$ (pas forcément $AC = BD$ ).
Périmètre : $P = 2 \times (AB + AD)$ . Aire : $\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur}$ .
Pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme : diagonales de même milieu, ou un côté parallèle et égal au côté opposé, ou côtés opposés égaux deux à deux.
Rectangle = parallélogramme avec un angle droit → diagonales de même longueur.
Losange = parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux → diagonales perpendiculaires et bissectrices des angles.
Carré = rectangle et losange à la fois.
Construction (2 côtés + angle) : angle en A, puis arcs de centre B (rayon AD) et de centre D (rayon AB) ; C = intersection.
Construction (diagonales) : placer O, tracer $[AC]$ et $[BD]$ de même milieu O, relier A-B-C-D.
Piège : un seul côté parallèle sans être égal → c’est un trapèze, pas un parallélogramme.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

ABCD est un parallélogramme tel que $AB = 6\ \text{cm}$ , $AD = 4\ \text{cm}$ et $\widehat{A} = 65°$ (Figure 8). Donne $DC$ , $BC$ , $\widehat{B}$ , $\widehat{C}$ , $\widehat{D}$ , puis le périmètre.

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Figure 8 — Parallélogramme ABCD codé pour l’exercice 1.

Les côtés opposés et les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux ; deux angles consécutifs sont supplémentaires.

$DC = AB = 6\ \text{cm}$
$BC = AD = 4\ \text{cm}$
$\widehat{C} = \widehat{A} = 65°$
$\widehat{B} = 180° - 65°$
$=$ $115°$
$\widehat{D} = \widehat{B} = 115°$
$P = 2 \times (AB + AD)$
$=$ $2 \times (6+4) = 20\ \text{cm}$

ABCD est un parallélogramme, diagonales sécantes en O, avec $AC = 11\ \text{cm}$ et $BD = 7{,}4\ \text{cm}$ . Donne $OA$ , $OC$ , $OB$ , $OD$ .

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$OA = OC = \dfrac{AC}{2}$
$=$ $\dfrac{11}{2} = 5{,}5\ \text{cm}$
$OB = OD = \dfrac{BD}{2}$
$=$ $\dfrac{7{,}4}{2} = 3{,}7\ \text{cm}$

Un parallélogramme a pour côtés $AB = 9\ \text{cm}$ et $AD = 5{,}2\ \text{cm}$ ; la hauteur relative à $[AB]$ mesure $3\ \text{cm}$ . Calcule son périmètre puis son aire.

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$P = 2 \times (9 + 5{,}2)$
$=$ $2 \times 14{,}2 = 28{,}4\ \text{cm}$
$\mathcal{A} = 9 \times 3$
$=$ $27\ \text{cm}^{2}$

EFGH est un quadrilatère dont les diagonales $[EG]$ et $[FH]$ ont le même milieu O. Que peut-on affirmer sur EFGH ? Justifie.

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Les diagonales de EFGH ont le même milieu O : c’est exactement le critère réciproque des diagonales. EFGH est donc un parallélogramme, de centre O.

a) ABCD est un rectangle avec $AC = 9{,}4\ \text{cm}$ . Donne $BD$ . b) MNPQ est un losange. Que peux-tu dire de ses diagonales $[MP]$ et $[NQ]$ ?

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a) Dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur, donc $BD = AC = 9{,}4\ \text{cm}$ .

b) Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et sont les bissectrices des angles du losange.

Niveau 2 — Approfondissement

IJKL est un quadrilatère avec $(IJ)\ \parallel\ (LK)$ et $IJ = LK = 5{,}5\ \text{cm}$ . Démontre que IJKL est un parallélogramme, puis donne $\widehat{K}$ sachant que $\widehat{I} = 72°$ .

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$[IJ]$ est parallèle à $[LK]$ et de même longueur que $[LK]$ : c’est le critère « un côté parallèle et égal ». IJKL est donc un parallélogramme.

$\widehat{K} = \widehat{I}$ angles opposés d’un parallélogramme
$=$ $72°$

Un parallélogramme a une base de $1{,}2\ \text{m}$ et une hauteur relative de $65\ \text{cm}$ . Calcule son aire en $\text{m}^{2}$ .

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$65\ \text{cm} = 0{,}65\ \text{m}$ on convertit dans la même unité
$\mathcal{A} = 1{,}2 \times 0{,}65$
$=$ $0{,}78\ \text{m}^{2}$

ABCD est un quadrilatère avec $\widehat{A} = \widehat{C} = 80°$ seulement (on ne connaît rien d’autre). Peut-on affirmer que ABCD est un parallélogramme ? Justifie ta réponse.

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Non. Aucun des critères vus en section 3 ne parle des angles opposés seuls : ce n’est ni la définition (côtés parallèles), ni le critère des diagonales, ni celui des côtés. Un trapèze isocèle, par exemple, peut avoir deux angles opposés égaux sans être un parallélogramme. Il manque une information sur les côtés ou les diagonales.

Un losange a un périmètre de $52\ \text{cm}$ . a) Donne la longueur d’un côté. b) Une de ses diagonales mesure $24\ \text{cm}$ et coupe l’autre en O. Que peux-tu dire de la distance entre O et chaque extrémité de cette diagonale ?

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a) Un losange a ses 4 côtés égaux.

côté $= \dfrac{52}{4}$
$=$ $13\ \text{cm}$

b) O, point de rencontre des diagonales, est le milieu de chaque diagonale (propriété du parallélogramme).

distance $= \dfrac{24}{2}$
$=$ $12\ \text{cm}$

Niveau 3 — Défi

ABC est un triangle. I est le milieu de $[BC]$ . D est le symétrique de A par rapport à I.

Fais une figure.
Démontre que ABDC est un parallélogramme.
Sachant que $AB = 5\ \text{cm}$ et $AC = 7\ \text{cm}$ , donne $BD$ et $CD$ .

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Figure 9 — I, milieu de [BC], est aussi le milieu de [AD] : ABDC est un parallélogramme.

2. Par construction, I est le milieu de $[BC]$ . Et comme D est le symétrique de A par rapport à I, I est aussi le milieu de $[AD]$ . Les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ du quadrilatère ABDC ont donc le même milieu I : d’après la propriété réciproque, ABDC est un parallélogramme.

3. Dans le parallélogramme ABDC, les côtés opposés sont égaux :

$BD = AC = 7\ \text{cm}$
$CD = AB = 5\ \text{cm}$

Un parallélogramme a un périmètre de $36\ \text{cm}$ . Le côté $AB$ mesure le double du côté $AD$ .

En notant $x = AD$ , écris une équation vérifiée par $x$ .
Résous-la.
Donne les quatre longueurs de côtés du parallélogramme.

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1. $AB = 2x$ , et le périmètre vaut $2 \times (AB + AD)$ .

$2 \times (2x + x) = 36$

$2 \times 3x = 36$
$\Rightarrow$ $6x = 36$
$\Rightarrow$ $x = 6$

3. $AD = BC = 6\ \text{cm}$ et $AB = DC = 2 \times 6 = 12\ \text{cm}$ . Vérification : $2 \times (12+6) = 36\ \text{cm}$ . ✓

ABCD est un parallélogramme de centre O. Une droite passant par O coupe $[AB]$ en M et $[CD]$ en N. Démontre que $OM = ON$ . (Indication : utilise la symétrie de centre O.)

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La symétrie de centre O envoie le parallélogramme ABCD sur lui-même : elle envoie A sur C, B sur D, donc la droite $(AB)$ sur la droite $(CD)$ . Elle envoie aussi la droite $(MN)$ , qui passe par O, sur elle-même. Le point M, intersection de $(AB)$ et $(MN)$ , a donc pour image le point d’intersection de $(CD)$ et $(MN)$ , c’est-à-dire N. Comme une symétrie centrale conserve les longueurs et envoie M sur N en passant par le centre O, on a $OM = ON$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le champ de Fatoumata (Bamako). Fatoumata cultive un champ en forme de parallélogramme (Figure 10) : base $AB = 130\ \text{m}$ , hauteur $70\ \text{m}$ , côté incliné $AD = 90\ \text{m}$ . Elle veut labourer le champ (à $850$ F CFA le m²) puis l’entourer d’une clôture (à $2\,800$ F CFA le mètre).

Calcule l’aire du champ.
Calcule le coût du labourage.
Calcule le périmètre puis le coût de la clôture.

Voir le corrigé détaillé

Figure 10 — Le champ de Fatoumata à Bamako : la hauteur (70 m) n’est pas le côté incliné AD (90 m).

$\mathcal{A} = 130 \times 70$
$=$ $9\,100\ \text{m}^{2}$
coût labourage $= 9\,100 \times 850$
$=$ $7\,735\,000$ F CFA
$P = 2 \times (130+90)$
$=$ $440\ \text{m}$
coût clôture $= 440 \times 2\,800$
$=$ $1\,232\,000$ F CFA

Le labourage coûte 7 735 000 F CFA et la clôture 1 232 000 F CFA.

Le cerf-volant de Moussa (Ndjamena). Moussa fabrique un cerf-volant en forme de losange dont les diagonales mesurent $80\ \text{cm}$ et $60\ \text{cm}$ . L’aire d’un losange de diagonales $d_1$ et $d_2$ vaut $\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$ . Le tissu coûte $4\,500$ F CFA le m². Calcule le coût du tissu nécessaire (arrondi à la centaine de francs).

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$\mathcal{A} = \dfrac{80 \times 60}{2}$
$=$ $\dfrac{4\,800}{2} = 2\,400\ \text{cm}^{2}$
$2\,400\ \text{cm}^{2} = 0{,}24\ \text{m}^{2}$
coût $= 0{,}24 \times 4\,500$
$=$ $1\,080$ F CFA

Il faut environ 1 100 F CFA de tissu.

La nappe d’Awa (Abidjan). Awa, couturière à Abidjan, coud une nappe en forme de parallélogramme de base $1{,}4\ \text{m}$ et de hauteur $0{,}9\ \text{m}$ . Elle prévoit $10\,\%$ de tissu en plus pour les ourlets. Le tissu coûte $3\,200$ F CFA le m². Calcule le coût total, arrondi à la centaine de francs.

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$\mathcal{A} = 1{,}4 \times 0{,}9$
$=$ $1{,}26\ \text{m}^{2}$
tissu prévu $= 1{,}26 \times 1{,}10$
$=$ $1{,}386\ \text{m}^{2}$
coût $= 1{,}386 \times 3\,200$
$\approx$ $4\,435$ F CFA

Le coût total s’élève à environ 4 400 F CFA.

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Un parallélogramme est un quadrilatère (non croisé) dont :

les côtés opposés sont parallèles deux à deux tous les côtés sont égaux les diagonales sont perpendiculaires un seul côté est parallèle à un autre

Explication : Par définition, ABCD est un parallélogramme lorsque

(AB)\parallel(DC)

(AD)\parallel(BC)

: les deux paires de côtés opposés sont parallèles.

O est un point, A et B deux points distincts de O. C est le symétrique de A par rapport à O, D le symétrique de B par rapport à O. Que peut-on dire du quadrilatère ABCD ?

Ce n'est pas forcément un quadrilatère particulier ABCD est un parallélogramme de centre O ABCD est un triangle ABCD est un parallélogramme seulement si

AB = AD

Explication : Si C et D sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à O, alors ABCD est toujours un parallélogramme, et O en est le centre.

ABCD est un parallélogramme avec $AB = 6$ cm et $AD = 4$ cm. Que valent $DC$ et $BC$ ?

DC = 4

cm et

BC = 6

DC = 6

cm et

BC = 6

DC = 6

cm et

BC = 4

DC = 4

cm et

BC = 4

Explication : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux :

DC = AB = 6

cm et

BC = AD = 4

cm.

ABCD est un parallélogramme avec $\widehat{A} = 65°$ . Que vaut $\widehat{B}$ ?

65°

90°

180°

115°

Explication : Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires :

\widehat{B} = 180° - \widehat{A} = 180° - 65° = 115°

Dans un parallélogramme ABCD dont les diagonales sont sécantes en O, laquelle de ces affirmations est VRAIE ?

OA = OC

OB = OD

, mais pas forcément

AC = BD

les diagonales sont toujours égales les diagonales sont toujours perpendiculaires O n'est jamais le milieu des diagonales

Explication : Les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu O, mais elles n'ont pas forcément la même longueur (sauf cas particulier du rectangle).

ABCD est un parallélogramme de diagonales sécantes en O, avec $AC = 11$ cm et $BD = 7{,}4$ cm. Que vaut $OA$ ?

11

5{,}5

7{,}4

3{,}7

Explication : O est le milieu de

[AC]

OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{11}{2} = 5{,}5

cm.

Le périmètre d'un parallélogramme de côtés $AB$ et $AD$ est donné par :

AB \times AD

AB + AD

2 \times (AB + AD)

4 \times AB

Explication : Un parallélogramme a deux paires de côtés opposés égaux, donc son périmètre vaut

P = 2 \times (AB + AD)

Un parallélogramme a pour côtés $AB = 9$ cm et $AD = 5{,}2$ cm. Calcule son périmètre.

14{,}2

46{,}8

9

28{,}4

Explication :

P = 2\times(9+5{,}2) = 2\times14{,}2 = 28{,}4

cm.

L'aire d'un parallélogramme est égale à :

base

\times

hauteur la somme des quatre côtés le demi-produit des diagonales côté

\times

côté

Explication : L'aire d'un parallélogramme est le produit d'un côté (la base) par la hauteur relative à ce côté :

\mathcal{A} = \text{base}\times\text{hauteur}

Un parallélogramme a une base de $8$ cm et une hauteur relative de $3{,}5$ cm. Calcule son aire.

11{,}5\ \text{cm}^2

28\ \text{cm}^2

23\ \text{cm}^2

3{,}5\ \text{cm}^2

Explication :

\mathcal{A} = \text{base}\times\text{hauteur} = 8\times3{,}5 = 28\ \text{cm}^2

Dans un parallélogramme, la hauteur relative à un côté est toujours :

égale au côté opposé plus longue que le côté incliné perpendiculaire à la base choisie une des diagonales

Explication : La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé : elle n'est pas forcément un côté du parallélogramme.

EFGH est un quadrilatère dont les diagonales $[EG]$ et $[FH]$ ont le même milieu O. Que peut-on affirmer ?

EFGH est un losange EFGH est un rectangle On ne peut rien affirmer EFGH est un parallélogramme de centre O

Explication : Des diagonales de même milieu suffisent à prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme : c'est le critère réciproque des diagonales.

EFGH est un quadrilatère tel que $(EF)\parallel(HG)$ et $EF = HG$ . Que peut-on en conclure ?

EFGH est un parallélogramme EFGH est un trapèze mais pas un parallélogramme On ne peut rien conclure sans connaître les angles EFGH est un losange

Explication : Un côté parallèle et de même longueur que le côté opposé suffit à lui seul à prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Un quadrilatère a une seule paire de côtés parallèles, de longueurs différentes. Que peut-on dire ?

C'est un parallélogramme C'est un trapèze, pas un parallélogramme C'est un losange C'est un rectangle

Explication : Piège classique : un seul côté parallèle ne suffit jamais. Sans la seconde paire de côtés parallèles (ou l'égalité des longueurs), c'est seulement un trapèze.

Un rectangle est défini comme :

un quadrilatère avec quatre côtés égaux un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux un parallélogramme avec un angle droit un quadrilatère avec des diagonales perpendiculaires

Explication : Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit ; comme les angles consécutifs sont supplémentaires, ses quatre angles sont alors droits.

ABCD est un rectangle avec $AC = 9{,}4$ cm. Que vaut $BD$ ?

4{,}7

cm impossible à déterminer

18{,}8

9{,}4

Explication : Dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur :

BD = AC = 9{,}4

cm.

Un losange est un parallélogramme qui possède :

deux côtés consécutifs de même longueur un angle droit des diagonales de même longueur quatre angles droits

Explication : Un losange est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux ; comme les côtés opposés sont déjà égaux, ses quatre côtés sont alors égaux.

Dans un losange, les diagonales sont :

de même longueur perpendiculaires parallèles entre elles toujours plus courtes que les côtés

Explication : Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et sont les bissectrices des angles du losange.

MNPQ est un losange dont un angle mesure $90°$ . Que peut-on en conclure ?

MNPQ reste seulement un losange MNPQ est un trapèze MNPQ est un carré On ne peut rien conclure de plus

Explication : MNPQ est déjà un losange (parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux). Un angle droit en fait aussi un rectangle : losange et rectangle à la fois, c'est un carré.

Un champ en forme de parallélogramme a une base de $100$ m, une hauteur de $60$ m et un côté incliné de $80$ m. Calcule son aire.

160\ \text{m}^2

8\,000\ \text{m}^2

4\,800\ \text{m}^2

6\,000\ \text{m}^2

Explication : Attention, le côté incliné (80 m) n'est pas la hauteur !

\mathcal{A} = \text{base}\times\text{hauteur} = 100\times60 = 6\,000\ \text{m}^2

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En bref

Classe : Classe de Cinquième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 7 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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