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Aires et périmètres : figures composées

Calculer l'aire de figures décomposables et travailler les conversions.

Mathématiques 5ème Chapitre 12 / 13 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Décomposer une figure pour calculer son aire
  • Utiliser la bonne formule
  • Résoudre un problème de surface (terrain, mur, jardin)

Tu sais déjà calculer l'aire d'un carré, d'un rectangle ou d'un triangle : ce sont des figures « toutes simples ». Mais un jardin, une pièce de maison, un terrain de sport ou un champ n'ont presque jamais une forme aussi simple. Ils ressemblent plutôt à un carré avec un coin en moins, à un rectangle prolongé par un triangle, ou à une forme en L. Ce chapitre t'apprend à calculer l'aire et le périmètre de toutes ces figures, aussi compliquées soient-elles.

L'idée centrale tient en un mot : découper. Toute figure compliquée peut se couper en morceaux simples — des carrés, des rectangles, des triangles, des morceaux de disque — dont tu sais déjà calculer l'aire. Il suffit ensuite d'additionner ou de soustraire ces aires. C'est exactement ce que fait un maçon pour chiffrer un carrelage, un peintre pour commander sa peinture, ou un agriculteur pour connaître la surface d'un champ.

Tu vas aussi découvrir deux formules nouvelles, pour le parallélogramme et le trapèze, et revoir celle du triangle en comprenant enfin pourquoi elle marche. Tu termineras par l'aire du disque et d'un morceau de disque (le secteur), puis par les conversions d'unités d'aire, un piège classique où presque tout le monde se trompe au moins une fois.

1Rappels des formules usuelles

Avant de découper des figures compliquées, il faut connaître parfaitement les formules des figures simples. Voici un rappel complet, avec un piège à ne jamais oublier.

Définition

Le périmètre d'une figure est la longueur totale de son contour : c'est la distance parcourue si tu en fais le tour à pied. Il se mesure en unités de longueur (m, cm, km…).

L'aire d'une figure est la mesure de la surface qu'elle recouvre : c'est le nombre de « carrés unité » qu'elle contient. Elle se mesure en unités d'aire (m², cm², km²…).

Attention

Périmètre et aire ne mesurent pas la même chose et n'évoluent pas de la même façon. Si tu doubles toutes les longueurs d'un rectangle, son périmètre double… mais son aire est multipliée par 4 ! Un rectangle 22 m ×\times 33 m a un périmètre de 1010 m et une aire de 66 m² ; un rectangle 44 m ×\times 66 m a un périmètre de 2020 m (deux fois plus) mais une aire de 2424 m² (quatre fois plus).

FigurePérimètreAire
Carré (côté cc)P=4×cP = 4\times cA=c2A = c^{2}
Rectangle (longueur LL, largeur ℓ\ell)P=2×(L+ℓ)P = 2\times(L+\ell)A=L×ℓA = L\times\ell
Triangle (base bb, hauteur hh)somme des 33 côtésA=b×h2A = \dfrac{b\times h}{2}
Disque (rayon rr)P=2×π×rP = 2\times\pi\times rA=π×r2A = \pi\times r^{2}
Les quatre figures usuelles c = 3 cmCarré L = 5 cml = 3 cmRectangle b = 4 cmh = 3 cmTriangle rr = 2,5 cmDisque
Figure 1 — Les quatre figures usuelles que tu connais déjà, avec leurs dimensions et leur nom.
Exemple — Un salon rectangulaire

Le salon de Léa mesure 66 m sur 44 m. Calcule son périmètre et son aire.

  1. P=2×(6+4)P = 2\times(6+4)
  2. ==2×102\times10
  3. ==2020 m
  4. A=6×4A = 6\times4
  5. ==2424 m²24 m² de carrelage à prévoir
Exemple — Un rond-point circulaire

Un rond-point a un rayon de 88 m. Calcule sa circonférence et son aire (on prend π≈3,14\pi \approx 3{,}14).

  1. P=2×π×rP = 2\times\pi\times r
  2. ≈\approx2×3,14×82\times3{,}14\times8
  3. ≈\approx50,2450{,}24 m
  4. A=π×r2A = \pi\times r^{2}
  5. ≈\approx3,14×823{,}14\times8^{2}
  6. ≈\approx3,14×643{,}14\times64
  7. ≈\approx200,96200{,}96 m²

2Aire du parallélogramme, du triangle et du trapèze

Ces trois figures ont un point commun : leur aire se calcule à partir d'une base et d'une hauteur. Comprendre pourquoi les formules marchent t'évitera de les confondre.

2.1  Le parallélogramme

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux (et donc de même longueur). La hauteur relative à un côté choisi comme base est la distance perpendiculaire entre ce côté et le côté opposé.

Propriété

Pour un parallélogramme de base bb et de hauteur hh associée à cette base :

A=b×hA = b\times h

Le parallélogramme devient un rectangle de même aire A B C D FG base = b h Aire = base × hauteur = b × h
Figure 2 — Le triangle orange, à gauche du parallélogramme, découpé puis recollé à droite (même longueur, même angle) : le parallélogramme devient un rectangle de largeur bb et de hauteur hh, sans changer d'aire.
Démonstration

Pourquoi A=b×hA = b\times h ? Regarde la figure 2. On découpe le triangle situé à gauche du parallélogramme, le long du côté oblique, et on le recolle exactement à droite. Le triangle enlevé à gauche est identique à celui qui manquait à droite : même base, même hauteur, même angle. La figure obtenue est un rectangle de longueur bb (la base du parallélogramme) et de largeur hh (sa hauteur). Comme on n'a ni ajouté ni enlevé de matière, l'aire n'a pas changé : elle vaut b×hb\times h, la formule du rectangle.

Math & Co — Les tendeurs de corde d'Égypte

Vers 2 0002\,000 ans avant notre ère, en Égypte ancienne, les crues du Nil effaçaient chaque année les limites des champs installés sur ses rives. Des arpenteurs, que les Grecs appelleront plus tard harpédonaptes (« tendeurs de corde »), devaient retracer les parcelles à l'aide d'une corde à nœuds régulièrement espacés.

L'historien grec Hérodote, au Vème siècle avant notre ère, raconte que cette pratique égyptienne aurait inspiré aux Grecs leurs premières règles de géométrie — un mot qui signifie justement « mesure de la terre ». Calculer l'aire d'un champ, même de forme compliquée, est ainsi l'un des tout premiers problèmes mathématiques de l'humanité.

Exemple — Un parallélogramme

Un parallélogramme a une base de 88 cm et une hauteur de 55 cm. Calcule son aire.

  1. A=b×hA = b\times h
  2. ==8×58\times5
  3. ==4040 cm²

2.2  Le triangle

Propriété

Pour un triangle de base bb et de hauteur hh associée à cette base :

A=b×h2A = \dfrac{b\times h}{2}

Le triangle est la moitié du rectangle qui l'entoure ABCH base = b h Aire = (base × hauteur) ÷ 2 = (b × h) ÷ 2
Figure 3 — Le grand rectangle pointillé a pour base bb et hauteur hh. Le triangle violet occupe exactement la moitié de sa surface : les deux triangles orange, ensemble, ont la même aire que lui.
Démonstration

Regarde la figure 3. On trace le rectangle qui entoure exactement le triangle (même base bb, même hauteur hh). Le pied de la hauteur, HH, partage ce rectangle en deux petits rectangles. Dans chacun d'eux, la diagonale le partage en deux triangles identiques. Le triangle violet est formé d'une moitié de chaque petit rectangle ; les deux triangles orange, à eux deux, forment donc exactement l'autre moitié. Le triangle est ainsi la moitié du grand rectangle : A=b×h2A = \dfrac{b\times h}{2}.

Attention

La hauteur d'un triangle n'est presque jamais un côté « qu'on voit tout de suite ». C'est la longueur du segment perpendiculaire à la base, entre la base et le sommet opposé. Si le triangle est très penché (obtusangle), le pied de cette hauteur peut même tomber en dehors du triangle : il faut alors prolonger la base avec une ligne pointillée pour la tracer. Ne confonds jamais la hauteur avec un côté oblique du triangle.

Exemple — Un terrain triangulaire

Un terrain triangulaire a une base de 1212 m et une hauteur de 77 m. Calcule son aire.

  1. A=b×h2A = \dfrac{b\times h}{2}
  2. ==12×72\dfrac{12\times7}{2}
  3. ==842\dfrac{84}{2}
  4. ==4242 m²

2.3  Le trapèze

Définition

Un trapèze est un quadrilatère qui a exactement une paire de côtés parallèles, appelés les bases : la grande base BB et la petite base bb. La hauteur hh est la distance perpendiculaire entre ces deux bases.

Propriété

Pour un trapèze de grande base BB, de petite base bb et de hauteur hh :

A=(B+b)×h2A = \dfrac{(B+b)\times h}{2}

Le trapèze se découpe en un rectangle et deux triangles ABCD FG B = grande base b = petite base h Aire = (grande base + petite base) × hauteur ÷ 2
Figure 4 — Le trapèze ABCD se découpe en un rectangle central (largeur bb) et deux triangles latéraux, tous trois de hauteur hh.
Démonstration

Regarde la figure 4. On découpe le trapèze en un rectangle central, de largeur bb (la petite base) et de hauteur hh, et deux triangles latéraux, eux aussi de hauteur hh. Notons x1x_1 et x2x_2 les bases de ces deux triangles : comme ils complètent le rectangle jusqu'à la grande base, x1+x2=B−bx_1+x_2 = B-b.

  1. A=x1×h2+b×h+x2×h2A = \dfrac{x_1\times h}{2} + b\times h + \dfrac{x_2\times h}{2}
  2. ==h×(x1+x2)2+b×h\dfrac{h\times(x_1+x_2)}{2} + b\times h
  3. ==h×(B−b)2+2×b×h2\dfrac{h\times(B-b)}{2} + \dfrac{2\times b\times h}{2}car x1+x2=B−bx_1+x_2=B-b
  4. ==h×(B−b)+2bh2\dfrac{h\times(B-b) + 2bh}{2}
  5. ==h×(B+b)2\dfrac{h\times(B+b)}{2}car −hb+2bh=hb-hb+2bh = hb

On retrouve bien la formule annoncée.

Exemple — Un jardin en trapèze

Un jardin en forme de trapèze a une grande base de 1010 m, une petite base de 66 m et une hauteur de 44 m. Calcule son aire.

  1. A=(B+b)×h2A = \dfrac{(B+b)\times h}{2}
  2. ==(10+6)×42\dfrac{(10+6)\times4}{2}
  3. ==16×42\dfrac{16\times4}{2}
  4. ==642\dfrac{64}{2}
  5. ==3232 m²

3Figures composées et découpage

C'est le cœur du chapitre. Une figure composée est une figure qui n'est ni un carré, ni un rectangle, ni un triangle « tout seul » : c'est un assemblage de plusieurs figures simples. Pour en calculer l'aire, tu vas toujours utiliser l'une des deux mêmes méthodes.

Méthode — calculer l'aire d'une figure composée

1. Repère dans la figure des formes simples que tu sais calculer (carrés, rectangles, triangles…).

2. Trace, si besoin, des traits de construction en pointillés pour délimiter ces formes.

3. Calcule l'aire de chaque morceau séparément.

4. Additionne les aires des morceaux qui composent la figure, ou soustrais l'aire d'un morceau manquant à une figure plus grande qui l'englobe.

3.1  Découper et additionner

Quand la figure ressemble à plusieurs rectangles assemblés (une pièce en L, un logo, un plan de maison), on la découpe en morceaux qu'on additionne.

Une pièce en L : deux rectangles à additionner 8 m 3 m 15 m 4 m
Figure 5 — Cette pièce en L se découpe en deux rectangles : le rectangle violet (le bras du haut) et le rectangle vert (la bande du bas).
Exemple — Une pièce en L

Calcule l'aire de la pièce de la figure 5, en additionnant les deux rectangles.

  1. Rectangle violet : A1=8×3A_1 = 8\times3
  2. ==2424 m²
  3. Rectangle vert : A2=15×4A_2 = 15\times4
  4. ==6060 m²
  5. A=A1+A2A = A_1 + A_2
  6. ==24+6024 + 60
  7. ==8484 m²

3.2  Encadrer et soustraire

Quand la figure ressemble à une grande figure simple à laquelle il manque un morceau (un coin coupé, un trou), on l'encadre par une figure simple, et on soustrait le morceau manquant.

Un terrain avec un coin coupé : on soustrait le triangle manquant 15 m 8 m 5 m 4 m
Figure 6 — Le terrain (en violet) s'obtient en retirant un triangle (en orange) au coin d'un grand rectangle de 1515 m sur 88 m.
Exemple — Un terrain avec un coin coupé

Calcule l'aire du terrain de la figure 6 : un rectangle de 1515 m sur 88 m, auquel on retire un triangle rectangle de côtés 55 m et 44 m.

  1. Grand rectangle : Arect=15×8A_{rect} = 15\times8
  2. ==120120 m²
  3. Triangle retiré : Atri=5×42A_{tri} = \dfrac{5\times4}{2}
  4. ==1010 m²
  5. A=Arect−AtriA = A_{rect} - A_{tri}
  6. ==120−10120 - 10
  7. ==110110 m²
Attention

Trois pièges reviennent sans cesse avec les figures composées. 1) Utiliser une longueur qui n'existe pas réellement sur le dessin : vérifie toujours que chaque longueur employée correspond à un segment tracé. 2) Oublier un morceau, ou au contraire en compter un deux fois. 3) Confondre addition et soustraction : relis toujours l'énoncé — « on ajoute » une extension, « on retire » un trou ou un coin manquant.

3.3  Longueur manquante et périmètre

Pour calculer le périmètre d'une figure composée, il faut connaître toutes les longueurs de son contour, même celles qui ne sont pas indiquées sur le dessin. On les retrouve grâce aux dimensions déjà connues et à l'alignement des segments.

Méthode — retrouver une longueur manquante

Une grande longueur est souvent la somme (ou la différence) de deux petites longueurs alignées sur le même côté de la figure. Repère les segments alignés, écris l'égalité correspondante, puis résous-la.

Exemple — Le périmètre de la pièce en L

Reprends la pièce en L de la figure 5 (bras du haut : 88 m sur 33 m ; bande du bas : 1515 m sur 44 m). Calcule son périmètre.

Deux longueurs ne sont pas indiquées : le petit côté horizontal du bas, et le grand côté vertical de gauche.

  1. côté horizontal manquant =15−8= 15-8
  2. ==77 m
  3. côté vertical de gauche =3+4= 3+4
  4. ==77 m
  5. P=8+3+7+4+15+7P = 8+3+7+4+15+7
  6. ==4444 m

4Aire du disque et du secteur

Tu connais déjà la formule de l'aire du disque depuis la section 1. Regardons rapidement pourquoi elle fonctionne, puis découvrons une figure nouvelle : le secteur circulaire, une « part » de disque.

Démonstration — idée de la preuve

On admet cette formule en cinquième, mais voici l'idée. Si on découpe le disque en de très nombreux petits secteurs, comme les parts d'une pizza, et qu'on les range côte à côte en les alternant tête-bêche, on obtient une figure qui ressemble de plus en plus à un rectangle de longueur π×r\pi\times r (la moitié de la circonférence) et de largeur rr (le rayon). Son aire vaut donc π×r×r=π×r2\pi\times r\times r = \pi\times r^{2}.

4.1  Le secteur circulaire

Définition

Un secteur circulaire est la portion de disque comprise entre deux rayons et l'arc de cercle qu'ils délimitent — comme une part de pizza. Sa taille dépend de l'angle au centre, noté ici α\alpha, exprimé en degrés.

Propriété

Pour un secteur circulaire de rayon rr et d'angle au centre α\alpha (en degrés) :

Asecteur=α360×π×r2ℓarc=α360×2×π×rA_{secteur} = \dfrac{\alpha}{360}\times\pi\times r^{2} \qquad\qquad \ell_{arc} = \dfrac{\alpha}{360}\times2\times\pi\times r

L'idée est simple : un secteur d'angle α\alpha représente la fraction α360\dfrac{\alpha}{360} du disque entier (qui, lui, fait 360°360°).

Un secteur circulaire : une « part » de disque O 60° R Aire du secteur = (angle ÷ 360) × π × R²
Figure 7 — Le secteur orange occupe 60360=16\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6} du disque complet : son aire et la longueur de son arc valent un sixième de celles du disque entier.
Exemple — Un arroseur automatique

Un arroseur automatique arrose un secteur de rayon 66 m, avec un angle de 60°60°. Calcule l'aire arrosée (on prend π≈3,14\pi \approx 3{,}14).

  1. A=60360×π×r2A = \dfrac{60}{360}\times\pi\times r^{2}
  2. ==16×3,14×62\dfrac{1}{6}\times3{,}14\times6^{2}
  3. ==16×3,14×36\dfrac{1}{6}\times3{,}14\times36
  4. ==16×113,04\dfrac{1}{6}\times113{,}04
  5. ==18,8418{,}84 m²
Exemple — Longueur d'un arc

Un jardinier veut border de bambous un massif en forme de secteur, de rayon 44 m et d'angle 90°90°. Quelle longueur de bordure doit-il prévoir sur l'arc (on prend π≈3,14\pi\approx3{,}14) ?

  1. ℓ=90360×2×π×r\ell = \dfrac{90}{360}\times2\times\pi\times r
  2. ==14×2×3,14×4\dfrac{1}{4}\times2\times3{,}14\times4
  3. ==14×25,12\dfrac{1}{4}\times25{,}12
  4. ==6,286{,}28 m
Attention

Ne confonds jamais rayon et diamètre ! Le diamètre est deux fois plus grand que le rayon (d=2×rd = 2\times r). Si un énoncé donne le diamètre, pense à le diviser par 22 avant d'appliquer la formule A=π×r2A=\pi\times r^{2} : oublier cette étape est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Math & Co — Archimède encadre π

Vers −250-250, le savant grec Archimède de Syracuse cherche à calculer précisément l'aire du disque. Il encadre le cercle par des polygones réguliers, inscrits puis circonscrits, en doublant sans cesse leur nombre de côtés — jusqu'à 9696 côtés ! Il obtient ainsi un encadrement très précis : 3,1408<π<3,14293{,}1408 < \pi < 3{,}1429.

Depuis, des générations de mathématiciens ont calculé toujours plus de décimales de π\pi : aujourd'hui, les ordinateurs en connaissent plusieurs milliers de milliards. Mais pour tes calculs de collège, la valeur approchée π≈3,14\pi\approx3{,}14 suffit largement.

5Conversions d'unités d'aire

Convertir des longueurs, tu sais faire : 11 m =100= 100 cm. Convertir des aires est un piège classique, parce qu'une aire se mesure avec deux dimensions à la fois. C'est la dernière notion du chapitre, et l'une des plus importantes pour ne pas perdre de points en contrôle.

5.1  Le tableau de conversion

Propriété

Chaque unité d'aire vaut 100100 fois l'unité immédiatement inférieure (au lieu de 1010 fois pour les longueurs), car une aire a deux dimensions : 100=10×10100 = 10\times10.

km²hm² (ha)dam² (a)m²dm²cm²mm²
1 000 0001\,000\,00010 00010\,000100100110,010{,}010,00010{,}00010,0000010{,}000001

Deux unités agricoles sont très utilisées pour les champs et les terrains, dans toute la Francophonie :

Définition

11 hectare (symbole ha) =1= 1 hm² =10 000= 10\,000 m². C'est l'unité de référence pour mesurer un champ.

11 are (symbole a) =1= 1 dam² =100= 100 m². C'est utilisé pour de plus petites parcelles (un jardin, un lopin).

1 dm² contient 100 petits carrés de 1 cm² 1 cm² 10 cm = 1 dm 10 cm = 1 dm 1 dm² = 100 cm² (pas 10 !)
Figure 8 — Le grand carré mesure 11 dm de côté : il contient exactement 100100 petits carrés de 11 cm². C'est pour cela que 11 dm² =100= 100 cm², et non 1010 cm².
Attention

Le piège classique : penser que 11 m² =100= 100 cm², comme pour les longueurs (11 m =100=100 cm). C'est faux. Un carré de 11 m de côté contient 100×100=10 000100\times100 = 10\,000 petits carrés de 11 cm de côté (regarde la figure 8, à plus petite échelle, avec le dm²) : 11 m² =10 000= 10\,000 cm², pas 100100 cm². Oublier ce facteur 100100 supplémentaire est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

5.2  Convertir avec méthode

Méthode — convertir une aire

Repère de combien de « rangs » tu te déplaces dans le tableau de conversion. Pour chaque rang vers une unité plus petite, tu multiplies par 100100 ; pour chaque rang vers une unité plus grande, tu divises par 100100.

Exemple — Convertir des m² en cm²

Convertis 3,53{,}5 m² en cm².

  1. de m² à cm² : 22 rangs vers le petit
  2. ⇒\Rightarrowon multiplie par 100×100=10 000100\times100 = 10\,000
  3. 3,5 m2=3,5×10 0003{,}5 \text{ m}^{2} = 3{,}5\times10\,000
  4. ==35 00035\,000 cm²
Exemple — Un champ en hectares

Un champ mesure 2,32{,}3 ha. Convertis son aire en m², puis en km².

  1. 2,3 ha=2,3×10 0002{,}3\text{ ha} = 2{,}3\times10\,0001 ha = 10 000 m²
  2. ==23 00023\,000 m²
  3. 23 000 m2=23 000÷1 000 00023\,000 \text{ m}^{2} = 23\,000 \div 1\,000\,0001 km² = 1 000 000 m²
  4. ==0,0230{,}023 km²
Math & Co — La naissance du mètre

Avant 17951795, chaque région de France avait ses propres unités de mesure : la toise, l'arpent, la perche… Impossible de comparer facilement deux terrains ! En 17951795, la France adopte le système métrique : le mètre est défini comme la dix-millionième partie de la distance entre le pôle Nord et l'équateur, mesurée le long du méridien passant par Paris.

De ce mètre découlent toutes les unités d'aire que tu utilises aujourd'hui : le m², bien sûr, mais aussi l'are et l'hectare, inventés spécialement pour mesurer les terrains agricoles — un usage qui perdure aujourd'hui dans toute la Francophonie.

Fiche mémo

  • Carré : P=4cP=4c, A=c2A=c^{2}. Rectangle : P=2(L+ℓ)P=2(L+\ell), A=L×ℓA=L\times\ell.
  • Triangle : A=b×h2A=\dfrac{b\times h}{2} — la hauteur est perpendiculaire à la base, pas un côté oblique.
  • Parallélogramme : A=b×hA=b\times h (découpage en rectangle de mêmes base et hauteur).
  • Trapèze : A=(B+b)×h2A=\dfrac{(B+b)\times h}{2}, avec BB grande base et bb petite base.
  • Disque de rayon rr : P=2πrP=2\pi r, A=πr2A=\pi r^{2}.
  • Secteur d'angle α\alpha : A=α360×πr2A=\dfrac{\alpha}{360}\times\pi r^{2} ; longueur d'arc ℓ=α360×2πr\ell=\dfrac{\alpha}{360}\times2\pi r.
  • Figure composée : on découpe puis on additionne les morceaux, ou on encadre puis on soustrait le morceau manquant.
  • Une longueur manquante se retrouve par addition ou soustraction de longueurs alignées sur le contour.
  • Doubler toutes les longueurs multiplie le périmètre par 22, mais l'aire par 44.
  • Conversion d'aire : chaque unité vaut 100100 fois la précédente — on déplace la virgule de deux rangs.
  • 11 hectare (ha) =1= 1 hm² =10 000=10\,000 m² ; 11 are (a) =1=1 dam² =100=100 m².
  • Ne confonds jamais rayon et diamètre : d=2×rd=2\times r.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule le périmètre puis l'aire d'un rectangle de longueur 99 cm et de largeur 55 cm.

Voir le corrigé détaillé
  1. P=2×(9+5)P = 2\times(9+5)
  2. ==2×142\times14
  3. ==2828 cm
  4. A=9×5A = 9\times5
  5. ==4545 cm²
2

Calcule l'aire d'un triangle de base 1010 cm et de hauteur 66 cm.

Voir le corrigé détaillé
  1. A=b×h2A = \dfrac{b\times h}{2}
  2. ==10×62\dfrac{10\times6}{2}
  3. ==602\dfrac{60}{2}
  4. ==3030 cm²
3

Calcule l'aire d'un parallélogramme de base 77 cm et de hauteur 44 cm.

Voir le corrigé détaillé
  1. A=b×hA = b\times h
  2. ==7×47\times4
  3. ==2828 cm²
4

Calcule l'aire d'un trapèze de grande base 1212 cm, de petite base 88 cm et de hauteur 55 cm.

Voir le corrigé détaillé
  1. A=(B+b)×h2A = \dfrac{(B+b)\times h}{2}
  2. ==(12+8)×52\dfrac{(12+8)\times5}{2}
  3. ==20×52\dfrac{20\times5}{2}
  4. ==1002\dfrac{100}{2}
  5. ==5050 cm²
5

Un disque a un rayon de 55 cm. Calcule son périmètre puis son aire (on prend π≈3,14\pi \approx 3{,}14).

Voir le corrigé détaillé
  1. P=2×π×rP = 2\times\pi\times r
  2. ≈\approx2×3,14×52\times3{,}14\times5
  3. ≈\approx31,431{,}4 cm
  4. A=π×r2A = \pi\times r^{2}
  5. ≈\approx3,14×253{,}14\times25
  6. ≈\approx78,578{,}5 cm²
Niveau 2 — Approfondissement
6

Une salle de sport a la forme d'un rectangle de 1212 m sur 88 m, prolongé par une extension rectangulaire de 55 m sur 33 m (voir le schéma du corrigé). Calcule l'aire totale de la salle.

Voir le corrigé détaillé
Salle de sport : addition de deux rectangles 12 m 8 m 5 m 3 m
Figure 9 — La salle se découpe en un rectangle principal (violet, 1212 m ×\times 88 m) et une extension (verte, 55 m ×\times 33 m).
  1. Rectangle principal : A1=12×8A_1 = 12\times8
  2. ==9696 m²
  3. Extension : A2=5×3A_2 = 5\times3
  4. ==1515 m²
  5. A=A1+A2A = A_1+A_2
  6. ==96+1596+15
  7. ==111111 m²
7

Un terrain carré de 2020 m de côté possède un coin coupé en triangle, de côtés 66 m et 44 m, pour laisser passer une allée (voir le schéma du corrigé). Calcule l'aire du terrain restant.

Voir le corrigé détaillé
Terrain carré : on retire un coin triangulaire 20 m 20 m 6 m 4 m
Figure 10 — Le terrain (violet) est un carré de 2020 m de côté, auquel on retire un triangle de côtés 66 m et 44 m (orange).
  1. Carré complet : Acarre=20×20A_{carre} = 20\times20
  2. ==400400 m²
  3. Triangle retiré : Atri=6×42A_{tri} = \dfrac{6\times4}{2}
  4. ==1212 m²
  5. A=400−12A = 400-12
  6. ==388388 m²
8

Un parallélogramme a une aire de 6363 cm² et une base de 99 cm. Calcule sa hauteur.

Voir le corrigé détaillé

On utilise la formule A=b×hA=b\times h, qu'on « retourne » pour isoler hh.

  1. A=b×hA = b\times h
  2. ⇒\Rightarrowh=Abh = \dfrac{A}{b}
  3. ==639\dfrac{63}{9}
  4. ==77 cm
9

Une pizza de rayon 1414 cm est coupée en parts identiques d'angle 45°45°. Calcule l'aire d'une part (on prend π≈3,14\pi\approx3{,}14).

Voir le corrigé détaillé
  1. A=45360×π×r2A = \dfrac{45}{360}\times\pi\times r^{2}
  2. ==0,125×3,14×1420{,}125\times3{,}14\times14^{2}
  3. ==0,125×3,14×1960{,}125\times3{,}14\times196
  4. ==0,125×615,440{,}125\times615{,}44
  5. ==76,9376{,}93 cm²
Niveau 3 — Défi
10

Une piste d'athlétisme a la forme d'un rectangle de 9090 m sur 6060 m, prolongé à chaque extrémité par un demi-disque de rayon 3030 m (voir le schéma du corrigé). On prend π≈3,14\pi\approx3{,}14.

  1. Calcule l'aire du rectangle central.
  2. Calcule l'aire des deux demi-disques réunis.
  3. Déduis-en l'aire totale de la pelouse intérieure.
  4. Calcule la longueur totale du contour de la piste (pour connaître la distance d'un tour de piste).
Voir le corrigé détaillé
Une piste d'athlétisme : rectangle + deux demi-disques r = 30 m 90 m 60 m
Figure 11 — La piste est formée d'un rectangle central (vert, 9090 m ×\times 6060 m) et de deux demi-disques (orange, rayon 3030 m) qui, mis bout à bout, forment un disque entier.

1. Aire du rectangle :

  1. A1=90×60A_1 = 90\times60
  2. ==5 4005\,400 m²

2. Mises bout à bout, les deux demi-disques de rayon 3030 m forment un disque entier :

  1. A2=π×r2A_2 = \pi\times r^{2}
  2. ==3,14×3023{,}14\times30^{2}
  3. ==3,14×9003{,}14\times900
  4. ==2 8262\,826 m²

3. Aire totale :

  1. A=A1+A2A = A_1+A_2
  2. ==5 400+2 8265\,400+2\,826
  3. ==8 2268\,226 m²

4. Le contour est formé des deux côtés droits (9090 m chacun) et de la circonférence complète du cercle de rayon 3030 m (les deux demi-cercles mis bout à bout) :

  1. P=2×90+2×π×30P = 2\times90 + 2\times\pi\times30
  2. ==180+2×3,14×30180 + 2\times3{,}14\times30
  3. ==180+188,4180+188{,}4
  4. ==368,4368{,}4 m
11

Un jardin en forme de trapèze a une aire de 4545 m², une grande base de 1212 m et une hauteur de 55 m.

  1. Écris l'équation qui permet de trouver la petite base bb.
  2. Résous cette équation.
  3. Vérifie ton résultat.
Voir le corrigé détaillé

1. La formule de l'aire du trapèze donne l'équation :

45=(12+b)×5245 = \dfrac{(12+b)\times5}{2}

2. On résout, étape par étape.

  1. 45×2=(12+b)×545\times2 = (12+b)\times5
  2. ==90=(12+b)×590 = (12+b)\times5
  3. ⇒\Rightarrow12+b=90512+b = \dfrac{90}{5}
  4. ==12+b=1812+b = 18
  5. ⇒\Rightarrowb=18−12b = 18-12
  6. ==66 m

3. Vérification :

  1. A=(12+6)×52A = \dfrac{(12+6)\times5}{2}
  2. ==18×52\dfrac{18\times5}{2}
  3. ==902\dfrac{90}{2}
  4. ==4545 m²on retrouve bien l'aire donnée
12

Un terrain carré de 1010 m de côté possède en son centre une fontaine circulaire de rayon 22 m. On veut engazonner tout le terrain, sauf la fontaine. On prend π≈3,14\pi\approx3{,}14.

  1. Calcule l'aire du terrain carré.
  2. Calcule l'aire de la fontaine circulaire.
  3. Déduis-en l'aire à engazonner.
  4. Un sac de gazon couvre 1010 m². Combien de sacs faut-il acheter ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. Acarre=10×10A_{carre} = 10\times10
  2. ==100100 m²

2.

  1. Afontaine=π×r2A_{fontaine} = \pi\times r^{2}
  2. ==3,14×223{,}14\times2^{2}
  3. ==3,14×43{,}14\times4
  4. ==12,5612{,}56 m²

3.

  1. Agazon=100−12,56A_{gazon} = 100-12{,}56
  2. ==87,4487{,}44 m²

4. Un sac couvre 1010 m², et 87,44÷10=8,74487{,}44 \div 10 = 8{,}744. Il faut arrondir au sac entier supérieur : il faut acheter 99 sacs de gazon.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le salon de Fatou (Dakar). Fatou fait carreler son salon, en forme de L : un rectangle principal de 66 m sur 44 m, prolongé par un coin-repas de 33 m sur 22 m. Le carrelage coûte 8 5008\,500 FCFA le m².

  1. Calcule l'aire totale de la pièce.
  2. Calcule le coût total du carrelage.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. Rectangle principal : A1=6×4A_1 = 6\times4
  2. ==2424 m²
  3. Coin-repas : A2=3×2A_2 = 3\times2
  4. ==66 m²
  5. A=24+6A = 24+6
  6. ==3030 m²

2.

  1. Coût =30×8 500= 30\times8\,500
  2. ==255 000255\,000 FCFA

Fatou doit prévoir 255 000255\,000 FCFA pour le carrelage de son salon.

14

Le champ de M. Brahim (Abéché). M. Brahim possède un champ rectangulaire de 150150 m sur 8080 m. Il veut connaître sa surface en hectares, puis entourer le champ d'une clôture en grillage vendu 2 2002\,200 FCFA le mètre.

  1. Calcule l'aire du champ en m², puis en hectares.
  2. Calcule le périmètre du champ.
  3. Calcule le coût total de la clôture.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. A=150×80A = 150\times80
  2. ==12 00012\,000 m²
  3. 12 000 m2=12 000÷10 00012\,000 \text{ m}^{2} = 12\,000\div10\,0001 ha = 10 000 m²
  4. ==1,21{,}2 ha

2.

  1. P=2×(150+80)P = 2\times(150+80)
  2. ==2×2302\times230
  3. ==460460 m

3.

  1. Coût =460×2 200= 460\times2\,200
  2. ==1 012 0001\,012\,000 FCFA

Le champ mesure 1,21{,}2 hectare, et la clôture coûtera 1 012 0001\,012\,000 FCFA.

15

Le jardin public d'Abidjan. La mairie aménage un jardin en forme de secteur circulaire, de rayon 2525 m et d'angle 120°120°. Elle veut l'engazonner ; le gazon coûte 450450 FCFA le m². On prend π≈3,14\pi\approx3{,}14.

  1. Calcule l'aire du secteur.
  2. Calcule le coût total du gazon, arrondi au millier de francs.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. A=120360×π×r2A = \dfrac{120}{360}\times\pi\times r^{2}
  2. ==13×3,14×252\dfrac{1}{3}\times3{,}14\times25^{2}
  3. ==13×3,14×625\dfrac{1}{3}\times3{,}14\times625
  4. ==13×1 962,5\dfrac{1}{3}\times1\,962{,}5
  5. ≈\approx654,17654{,}17 m²

2.

  1. Coût ≈654,17×450\approx 654{,}17\times450
  2. ≈\approx294 375294\,375 FCFA
  3. ≈\approx294 000294\,000 FCFAarrondi au millier

Il faudra prévoir environ 294 000294\,000 FCFA de gazon.

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8 questions

Nombres relatifs : calcul et repérage

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Le périmètre d'une figure, c'est :

Explication : Le périmètre est la distance parcourue si tu fais le tour de la figure à pied. Il se mesure en unités de longueur (m, cm…).

L'aire d'une figure, c'est :

Explication : L'aire mesure la surface, le nombre de « carrés unité » contenus dans la figure. Elle se mesure en unités d'aire (m², cm²…).

Pour un carré de côté cc, l'aire est donnée par :

Explication : L'aire d'un carré est A=c2=c×cA = c^2 = c\times c. Attention à ne pas confondre avec le périmètre, qui vaut 4×c4\times c.

Pour un rectangle de longueur LL et largeur ℓ\ell, l'aire est :

Explication : L'aire d'un rectangle est A=L×ℓA = L\times\ell. 2×(L+ℓ)2\times(L+\ell) est la formule du périmètre, pas de l'aire.

Pour un triangle de base bb et de hauteur hh, l'aire est :

Explication : Le triangle est la moitié du rectangle de mêmes base et hauteur qui l'entoure : A=b×h2A = \dfrac{b\times h}{2}.

Si on double toutes les longueurs d'un rectangle, alors :

Explication : Le périmètre (une seule dimension) double. L'aire (deux dimensions) est multipliée par 2×2=42\times2=4. Exemple : un rectangle 2×32\times3 (P=10, A=6) devient 4×64\times6 (P=20, A=24).

Une pièce rectangulaire mesure 77 m sur 33 m. Quelle est son aire ?

Explication : A=L×ℓA = L\times\ell
A=7×3A = 7\times3
A=21A = 21 m²

Un triangle a une base de 1010 m et une hauteur de 44 m. Quelle est son aire ?

Explication : A=b×h2A = \dfrac{b\times h}{2}
A=10×42A = \dfrac{10\times4}{2}
A=402A = \dfrac{40}{2}
A=20A = 20 m²

Pour un parallélogramme de base bb et de hauteur hh, l'aire est :

Explication : En découpant un triangle d'un côté du parallélogramme pour le recoller de l'autre côté, on obtient un rectangle de même aire : A=b×hA = b\times h.

Un parallélogramme a une base de 66 cm et une hauteur de 55 cm. Quelle est son aire ?

Explication : A=b×hA = b\times h
A=6×5A = 6\times5
A=30A = 30 cm²

Pour un trapèze de grande base BB, de petite base bb et de hauteur hh, l'aire est :

Explication : Le trapèze se découpe en un rectangle et deux triangles de même hauteur, ce qui donne A=(B+b)×h2A = \dfrac{(B+b)\times h}{2}.

Un trapèze a une grande base de 88 m, une petite base de 44 m et une hauteur de 33 m. Quelle est son aire ?

Explication : A=(B+b)×h2A = \dfrac{(B+b)\times h}{2}
A=(8+4)×32A = \dfrac{(8+4)\times3}{2}
A=12×32A = \dfrac{12\times3}{2}
A=362A = \dfrac{36}{2}
A=18A = 18 m²

Une pièce en forme de L se découpe en un rectangle de 55 m sur 22 m et un rectangle de 66 m sur 33 m. Quelle est l'aire totale de la pièce ?

Explication : On calcule chaque rectangle puis on additionne.
5×2=105\times2 = 10 m²
6×3=186\times3 = 18 m²
A=10+18=28A = 10+18 = 28 m²

Un terrain rectangulaire de 1010 m sur 66 m a un coin coupé en triangle rectangle de côtés 33 m et 44 m. Quelle est l'aire du terrain ?

Explication : On calcule le grand rectangle, puis on retire le triangle manquant.
rectangle : 10×6=6010\times6 = 60 m²
triangle : 3×42=6\dfrac{3\times4}{2} = 6 m²
A=60−6=54A = 60-6 = 54 m²

Pour calculer le périmètre d'une figure composée, une longueur non indiquée sur le contour se retrouve en général :

Explication : Une grande longueur est souvent la somme ou la différence de petites longueurs alignées sur le même côté de la figure : on écrit l'égalité, puis on la résout.

Pour un secteur circulaire de rayon rr et d'angle au centre α\alpha (en degrés), l'aire est :

Explication : Un secteur d'angle α\alpha représente la fraction α360\dfrac{\alpha}{360} du disque entier (qui fait 360°360°), d'où A=α360×π×r2A = \dfrac{\alpha}{360}\times\pi\times r^2.

Un arroseur automatique arrose un quart de disque (angle de 90°90°) de rayon 1010 m. En prenant π≈3\pi\approx3, quelle aire arrose-t-il ?

Explication : A=90360×π×r2A = \dfrac{90}{360}\times\pi\times r^{2}
=14×3×102=\dfrac{1}{4}\times3\times10^{2}
=14×3×100=\dfrac{1}{4}\times3\times100
=3004=\dfrac{300}{4}
=75=75 m²

Combien vaut 11 m² en cm² ?

Explication : Chaque unité d'aire vaut 100100 fois l'unité inférieure. De m² à cm², il y a 22 rangs : 11 m² =100×100=10 000= 100\times100 = 10\,000 cm². Le piège : ce n'est pas 100100 comme pour les longueurs !

Convertis 44 m² en cm².

Explication : De m² à cm², on multiplie par 10 00010\,000 (2 rangs vers le petit).
4×10 000=40 0004\times10\,000 = 40\,000
donc 44 m² =40 000= 40\,000 cm².

Un champ mesure 22 hectares. Quelle est son aire en m² ?

Explication : 11 hectare =10 000= 10\,000 m².
2×10 000=20 0002 \times 10\,000 = 20\,000
donc 22 ha =20 000= 20\,000 m².
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