Prismes droits et cylindres

Décrire, représenter et calculer le volume des prismes et cylindres.

Mathématiques 5ème Chapitre 13 / 13 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Construire un patron de prisme ou de cylindre
Calculer une aire latérale et un volume
Convertir m³, dm³, litres

Regarde autour de toi : une boîte de conserve, un paquet de céréales, un tuyau de PVC, une citerne d'eau, un silo à grains, une brique. Toutes ces formes ont un point commun : elles occupent un espace en trois dimensions, avec de la longueur, de la largeur et de la profondeur. Jusqu'ici, tu savais calculer le volume d'un pavé droit (une boîte rectangulaire). Ce chapitre élargit ta boîte à outils à deux nouvelles familles de solides : les prismes droits (dont le pavé droit n'est qu'un cas particulier) et les cylindres.

Tu vas apprendre à représenter ces solides sur une feuille plate (perspective cavalière, patron), puis à calculer deux grandeurs essentielles pour toute personne qui fabrique ou remplit un contenant : l'aire latérale (la quantité de carton, de tôle ou de matière nécessaire pour construire les parois) et le volume (la quantité de matière ou de liquide que le solide peut contenir).

Ces calculs ne sont pas que scolaires : un artisan qui fabrique un canari à Abéché, une entreprise qui installe un château d'eau à Douala, ou une famille qui achète une citerne à Ndjamena doivent tous savoir combien de litres leur récipient contiendra, et combien de tôle ou d'argile il faudra pour le construire. C'est exactement ce que tu vas savoir faire à la fin de ce chapitre.

La méthode est toujours la même, quel que soit le solide : on repère sa base, on calcule l'aire et le périmètre de cette base, puis on applique deux formules simples. Une fois cette idée comprise, prisme et cylindre se traitent exactement pareil.

1Description et vocabulaire

Commençons par regarder ces solides de près et par nommer précisément chacune de leurs parties : c'est indispensable pour comprendre les formules qui arrivent ensuite.

1.1 Le prisme droit

Définition

Un prisme droit est un solide formé de :

deux bases : deux polygones superposables (identiques) et parallèles ;
des faces latérales : des rectangles, qui relient les côtés d'une base aux côtés correspondants de l'autre base, et qui sont perpendiculaires aux deux bases.

La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases : c'est aussi la longueur commune de toutes les arêtes latérales (les arêtes qui relient une base à l'autre).

Le nom du prisme dépend de la forme de sa base : un prisme à base triangulaire, un prisme à base pentagonale, etc. Le pavé droit, que tu connais déjà, est simplement un prisme droit dont la base est un rectangle.

Figure 1 — Le prisme droit ABC‑A'B'C' : deux bases triangulaires superposables (ABC devant, A'B'C' derrière, en pointillés car cachée), reliées par trois faces latérales rectangulaires. La hauteur (en violet) est la longueur commune des arêtes latérales AA', BB', CC'.

Exemple — nommer les éléments d'un prisme

Sur la figure 1, le prisme ABC‑A'B'C' a pour base le triangle ABC (et sa jumelle A'B'C'). Ses faces latérales sont trois rectangles : ABB'A', BCC'B' et CAA'C'. Ses arêtes latérales sont [AA'], [BB'] et [CC'] : elles ont toutes la même longueur, qui est la hauteur du prisme. Ce prisme a $5$ faces ( $2$ bases $+$ $3$ rectangles), $9$ arêtes ( $3$ sur chaque base, $+$ $3$ latérales) et $6$ sommets.

Attention

Le mot « droit » ne signifie pas que la base est un rectangle ! Il signifie que les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases (le solide « ne penche pas »). La base d'un prisme droit peut être un triangle, un pentagone, un hexagone… n'importe quel polygone. Un prisme dont les arêtes latérales sont obliques est un prisme oblique — il n'est pas au programme de 5ème.

1.2 Le cylindre de révolution

Définition

Un cylindre de révolution est un solide formé de :

deux bases : deux disques superposables et parallèles, de même rayon $r$ ;
une surface latérale courbe, qui relie les deux cercles de base.

On l'obtient en faisant tourner un rectangle autour de l'un de ses côtés : ce côté devient l'axe du cylindre. La hauteur $h$ est la distance entre les deux bases.

Figure 2 — Un cylindre de révolution : deux disques de rayon

r

parallèles, reliés par une surface latérale courbe. La hauteur

h

est la longueur d'une génératrice (un segment de la surface latérale parallèle à l'axe).

Exemple — lire les dimensions d'un cylindre

Un tuyau cylindrique a un diamètre de $10$ cm et une longueur de $45$ cm. Son rayon est $r = 10 \div 2 = 5$ cm, et sa hauteur (ici, on dirait plutôt sa longueur) est $h = 45$ cm.

Exemple — objets du quotidien

Des prismes droits : une boîte d'allumettes, une brique, un aquarium rectangulaire, un morceau de sucre. Des cylindres : une boîte de tomate concentrée, un tuyau de PVC, un rouleau de papier, et — en forme approchée — un canari (jarre en terre cuite utilisée au Sahel pour conserver l'eau) ou une citerne d'eau.

Math & Co — D'où viennent les mots « prisme » et « cylindre » ?

Le mot prisme vient du grec ancien prisma, qui signifie « chose sciée ». Les géomètres grecs imaginaient en effet ce solide comme obtenu en « sciant » à deux endroits parallèles un long solide à section constante. Le mot apparaît dans les Éléments d'Euclide, vers $-300$ .

Le mot cylindre vient du grec kulindros, dérivé du verbe kulindein, « rouler ». Un cylindre, c'est littéralement la forme d'un rouleau — comme celui qu'on ferait rouler sur le sol ! Cette image très concrète t'aidera à ne jamais confondre un cylindre (qui roule) avec un prisme (qui glisse).

2Patrons

Définition

Le patron d'un solide est une figure plane, faite de toutes les faces du solide assemblées à plat, qui permet de construire le solide en découpant puis en pliant. Deux faces voisines dans le patron doivent correspondre à deux faces voisines sur le solide, le long de la même arête.

2.1 Patron du prisme droit

Méthode — construire le patron d'un prisme droit

On construit en vraie grandeur les deux bases (deux polygones superposables).
Pour chaque côté de la base, on construit un rectangle : sa largeur est la longueur de ce côté, sa hauteur est la hauteur $h$ du prisme.
On place ces rectangles bout à bout dans l'ordre des côtés de la base, et on accroche une base à chaque extrémité de la bande de rectangles.

Figure 3 — Patron exact d'un prisme droit à base triangulaire (côtés 3 cm, 4 cm, 5 cm) et de hauteur 6 cm : trois rectangles mis bout à bout (la largeur de chacun est un côté du triangle) forment les faces latérales ; les deux triangles se replient pour former les deux bases.

Exemple — dimensions du patron

Pour le prisme de la figure 3, le triangle de base a pour côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm : trois rectangles de largeurs $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm sont donc nécessaires, tous de hauteur $6$ cm (la hauteur du prisme). La largeur totale de la bande de rectangles est $3+4+5 = 12$ cm : c'est exactement le périmètre du triangle de base. Retiens bien cette idée, elle est la clé de la section 4.

2.2 Patron du cylindre

Méthode — construire le patron d'un cylindre

On construit deux disques de rayon $r$ (les deux bases).
On construit un rectangle de hauteur $h$ (la hauteur du cylindre) et de largeur égale au périmètre du cercle de base, c'est-à-dire $2\pi r$ .
On raccorde ce rectangle à chacun des deux disques, tangentiellement.

Figure 4 — Patron exact d'un cylindre de rayon

3

cm et de hauteur

8

cm : un rectangle (largeur = périmètre du cercle, hauteur =

h

) et deux disques tangents à ce rectangle.

Attention

Dans le patron du cylindre, la largeur du rectangle n'est pas le diamètre, mais bien le périmètre du cercle $2\pi r$ . C'est une erreur fréquente ! Vérifie toujours avec $\pi \approx 3{,}14$ : ici $2 \times 3{,}14 \times 3 \approx 18{,}85$ cm, très différent du diamètre ( $6$ cm).

3Perspective cavalière

La perspective cavalière est une méthode de dessin qui permet de représenter un solide en trois dimensions sur une feuille plate, en donnant une impression de profondeur. Elle obéit à des règles précises.

Propriété — règles de la perspective cavalière

La face de devant est dessinée en vraie grandeur (mêmes longueurs, mêmes angles que sur le solide réel).
Les arêtes qui « fuient » vers l'arrière (les fuyantes) sont dessinées parallèles entre elles, inclinées d'un même angle (souvent $45°$ ), et réduites par un même coefficient (souvent $\dfrac{1}{2}$ ).
Les arêtes cachées par le solide sont tracées en pointillés.

Figure 5 — Construction d'une perspective cavalière : la face avant (un rectangle) est en vraie grandeur ; les fuyantes partent à

45°

avec un coefficient

\dfrac{1}{2}

(une profondeur réelle de

8

cm devient un segment dessiné de

4

cm) ; les arêtes cachées (arrière-gauche) sont en pointillés.

Méthode — dessiner un prisme ou un cylindre en perspective cavalière

On dessine la base de devant en vraie grandeur (un polygone pour un prisme, un cercle — ou une ellipse aplatie, en pratique — pour un cylindre).
On trace, à partir de chaque point remarquable, une fuyante à $45°$ , de longueur égale à la hauteur du solide multipliée par le coefficient choisi.
On relie les extrémités des fuyantes pour tracer la deuxième base, identique à la première.
On repasse en trait plein les arêtes visibles, en pointillés celles qui sont cachées.

Exemple — retrouver les vraies dimensions

Sur un dessin en perspective cavalière avec un coefficient $\dfrac{1}{2}$ , une fuyante mesure $3{,}5$ cm. Quelle est la profondeur réelle du solide ?

longueur dessinée $=$ coefficient $\times$ longueur réelle
$\Rightarrow$ $3{,}5 = \dfrac{1}{2} \times \text{(longueur réelle)}$
$\Rightarrow$ longueur réelle $= 3{,}5 \times 2 = 7$ cm

Attention

Sur un dessin en perspective cavalière, on ne peut mesurer les vraies longueurs qu'à la face de devant et sur les fuyantes (en tenant compte du coefficient). Il est faux de prendre une règle sur un dessin en perspective pour mesurer directement une profondeur ou une diagonale : le dessin déforme volontairement ces longueurs.

4Aire latérale

L'aire latérale d'un prisme ou d'un cylindre, c'est l'aire de toutes ses faces latérales réunies — sans les bases. C'est exactement la quantité de tôle, de carton ou de papier qu'il faut pour habiller les « côtés » du solide, sans le fond ni le couvercle.

Pourquoi aire latérale = périmètre × hauteur ?

Reprends le patron de la figure 3 (ou 4) : une fois les bases détachées, la surface latérale devient une bande unique de rectangles mis bout à bout, tous de même hauteur $h$ . La largeur de cette bande est la somme des largeurs de chaque rectangle, c'est-à-dire la somme des côtés de la base : son périmètre $p$ . Or l'aire d'un rectangle de largeur $p$ et de hauteur $h$ vaut $p \times h$ . C'est vrai pour un prisme (bande de rectangles) comme pour un cylindre (un seul grand rectangle, de largeur $2\pi r$ ).

Théorème — aire latérale

Pour un prisme droit dont la base a pour périmètre $p$ , et pour un cylindre de rayon $r$ , tous deux de hauteur $h$ :

$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = p \times h \qquad \text{(prisme, avec } p \text{ = périmètre de la base)}$

$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r \times h \qquad \text{(cylindre)}$

Figure 6 — En coupant la surface latérale du cylindre selon une génératrice et en la déroulant à plat, on obtient un rectangle de largeur

2\pi r

(le périmètre du cercle) et de hauteur

h

Exemple — aire latérale d'un prisme

Un prisme droit a pour base un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm, et pour hauteur $9$ cm.

$p = 2 \times (6+4)$
$=$ $2 \times 10 = 20$ cm
$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = p \times h$
$=$ $20 \times 9$
$=$ $180$ cm²

Exemple — aire latérale d'un cylindre

Un cylindre a pour rayon $r = 3$ cm et pour hauteur $h = 8$ cm (celui de la figure 6).

$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r \times h$
$=$ $2 \times \pi \times 3 \times 8$
$=$ $48\pi$
$\approx$ $150{,}8$ cm²avec $\pi \approx 3{,}14$

Attention

Ne confonds pas aire latérale (les faces « autour », sans les bases) et aire totale (toutes les faces, bases comprises) : $\mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{latérale}} + 2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$ . Un énoncé qui demande « la quantité de tôle pour fabriquer entièrement une citerne fermée » veut l'aire totale !

5Volume du prisme et du cylindre

Pourquoi volume = aire de la base × hauteur ?

Imagine que tu empiles, les unes sur les autres, des tranches très fines et identiques, chacune ayant la forme de la base. Chaque tranche d'épaisseur $1$ contribue une aire de base au volume. En empilant une hauteur $h$ de tranches, tu obtiens $h$ fois l'aire de la base. C'est la même idée que pour le pavé droit, où $V = L \times l \times h = (\text{aire du rectangle de base}) \times h$ : elle se généralise à n'importe quelle base.

Théorème — volume

$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h \qquad \text{(prisme droit)}$

$V = \pi r^{2} \times h \qquad \text{(cylindre, car } \mathcal{A}_{\text{base}} = \pi r^{2} \text{)}$

Exemple — volume d'un prisme

Base : triangle rectangle de côtés de l'angle droit $5$ cm et $12$ cm. Hauteur du prisme : $10$ cm.

$\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{5 \times 12}{2}$
$=$ $30$ cm²
$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$
$=$ $30 \times 10$
$=$ $300$ cm³

Exemple — volume d'un cylindre

Rayon $r = 4$ cm, hauteur $h = 15$ cm.

$V = \pi r^{2} \times h$
$=$ $\pi \times 4^{2} \times 15$
$=$ $240\pi$
$\approx$ $753{,}6$ cm³

5.1 Unités de volume et litres

Une longueur se convertit en multipliant ou divisant par $10$ ; une aire, par $100$ (car une aire, c'est une longueur au carré) ; un volume, par $1\,000$ (car un volume, c'est une longueur au cube : $10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ ).

Unité	$\text{m}^{3}$	$\text{dm}^{3}$	$\text{cm}^{3}$	$\text{mm}^{3}$
Unité usuelle liée	—	litre (L)	millilitre (mL)	—
Rapport	$1$	$1\,000$	$1\,000\,000$	$1\,000\,000\,000$

Propriété — le litre

$1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^{3} \qquad\qquad 1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^{3} \qquad\qquad 1\ \text{m}^{3} = 1\,000\ \text{L}$

Exemple — convertir un volume

Le cylindre de l'exemple précédent a un volume $V \approx 753{,}6$ cm³. En litres :

$753{,}6\ \text{cm}^{3} = 0{,}7536\ \text{dm}^{3}$ on divise par $1\,000$
$=$ $0{,}7536$ L, soit environ $0{,}75$ L

Attention

L'erreur la plus fréquente : convertir un volume comme une longueur, en multipliant par $10$ au lieu de $1\,000$ . Vérifie toujours avec le cube unité : un cube de $1$ dm de côté a un volume de $1$ dm³, soit $10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ cm³ — pas $10$ cm³ !

Math & Co — Archimède et le cylindre

Archimède de Syracuse (vers $-287$ à $-212$ ) a démontré que le volume d'une sphère vaut exactement les deux tiers du volume du cylindre qui la contient exactement (même rayon, hauteur égale au diamètre). Il considérait ce résultat comme sa plus grande découverte, et avait demandé qu'on grave sur sa tombe un cylindre circonscrivant une sphère. Plus de deux siècles plus tard, l'orateur romain Cicéron, alors questeur en Sicile en $-75$ , raconte avoir retrouvé cette tombe abandonnée et envahie par les broussailles, grâce à ce dessin gravé qu'il reconnut.

6Problèmes concrets

Il est temps de mettre bout à bout tout ce que tu as appris : identifier la base, calculer son aire et son périmètre, puis appliquer les formules d'aire latérale et de volume.

Figure 7 — Une citerne cylindrique de diamètre

1{,}4

m et de hauteur

2{,}5

m, posée au sol.

Exemple — capacité d'une citerne

Quelle est la capacité, en litres, de la citerne de la figure 7 ?

$r = 1{,}4 \div 2 = 0{,}7$ m
$V = \pi r^{2} \times h$
$=$ $\pi \times 0{,}7^{2} \times 2{,}5$
$=$ $1{,}225\pi$
$\approx$ $3{,}85$ m³
$=$ $3\,850$ L $1\ \text{m}^{3} = 1\,000$ L

Math & Co — une géométrie économe, ancestrale

Dans de nombreuses régions du Sahel, les greniers à grains et les canaris à eau sont traditionnellement cylindriques, et non en forme de boîte. Ce n'est pas un hasard : à volume égal, un cylindre bien proportionné demande moins de matière (moins d'argile, moins de paroi) qu'une boîte rectangulaire, car il n'a pas d'arêtes ni de coins qui « gaspillent » de la surface. Tu vérifieras ce fait précisément dans l'exercice 12 de ce chapitre : les potiers et les bâtisseurs traditionnels avaient, sans le démontrer avec des formules, trouvé une solution proche de l'optimum géométrique.

Fiche mémo

Prisme droit : $2$ bases superposables parallèles $+$ faces latérales rectangulaires perpendiculaires aux bases.
Cylindre de révolution : $2$ disques de rayon $r$ parallèles $+$ une surface latérale courbe.
Patron : bases en vraie grandeur $+$ bande(s) latérale(s) de largeur = périmètre de la base et de hauteur $h$ .
Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur ; fuyantes parallèles, souvent à $45°$ avec un coefficient $\dfrac12$ ; arêtes cachées en pointillés.
$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = p \times h$ (prisme, $p$ = périmètre de la base) et $\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r \times h$ (cylindre).
$\mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{latérale}} + 2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$ .
$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ (prisme) et $V = \pi r^{2} \times h$ (cylindre).
$1\ \text{m}^{3} = 1\,000\ \text{dm}^{3} = 1\,000\,000\ \text{cm}^{3}$ : on convertit un volume par $1\,000$ , pas par $10$ .
$1\ \text{dm}^{3} = 1\ \text{L}$ et $1\ \text{cm}^{3} = 1\ \text{mL}$ .
Diamètre et rayon : $r = d \div 2$ . Ne jamais confondre les deux dans une formule.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Un prisme droit a pour base un hexagone. Réponds : a. Comment s'appelle la face qui n'est pas un rectangle ? b. Comment s'appelle la longueur commune de toutes les arêtes latérales ? c. Quelle est la forme de chaque face latérale ?

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a. C'est une base du prisme. b. C'est la hauteur du prisme. c. Chaque face latérale est un rectangle.

Un prisme droit a une base hexagonale ( $6$ côtés). Combien a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?

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La base a $6$ côtés, donc $6$ sommets.

faces $= 6$ rectangles $+\ 2$ bases $= 8$ faces
arêtes $= 6$ (base du dessus) $+\ 6$ (base du dessous) $+\ 6$ (latérales) $= 18$ arêtes
sommets $= 6 \times 2 = 12$ sommets

Calcule l'aire latérale d'un prisme droit dont la base est un rectangle de $8$ cm sur $5$ cm, et dont la hauteur est $10$ cm.

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$p = 2 \times (8+5)$
$=$ $2 \times 13 = 26$ cm
$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = p \times h$
$=$ $26 \times 10$
$=$ $260$ cm²

Calcule l'aire latérale d'un cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur $9$ cm (arrondis au dixième).

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$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r \times h$
$=$ $2 \times \pi \times 4 \times 9$
$=$ $72\pi$
$\approx$ $226{,}2$ cm²

Calcule le volume d'un prisme droit dont la base est un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $6$ cm et $8$ cm, et dont la hauteur est $12$ cm.

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$\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{6 \times 8}{2}$
$=$ $24$ cm²
$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$
$=$ $24 \times 12$
$=$ $288$ cm³

Un cylindre a pour rayon $5$ cm et pour hauteur $20$ cm. Calcule son volume en cm³ puis convertis-le en litres (arrondi au centième).

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$V = \pi r^{2} \times h$
$=$ $\pi \times 5^{2} \times 20$
$=$ $500\pi$
$\approx$ $1\,570{,}8$ cm³
$=$ $1{,}5708$ dm³on divise par $1\,000$
$\approx$ $1{,}57$ L

Niveau 2 — Approfondissement

Un pavé droit a pour dimensions $12$ cm $\times\ 7$ cm $\times\ 5$ cm (hauteur). Calcule son aire totale.

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$p = 2 \times (12+7) = 38$ cm
$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 38 \times 5 = 190$ cm²
$\mathcal{A}_{\text{base}} = 12 \times 7 = 84$ cm²
$\mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{latérale}} + 2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$
$=$ $190 + 2 \times 84$
$=$ $190 + 168 = 358$ cm²

Une boîte de conserve cylindrique a les dimensions données sur la figure 8. Calcule son volume, en cm³ puis en mL.

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Figure 8 — Une boîte de conserve cylindrique de diamètre

7

cm et de hauteur

10

cm.

$r = 7 \div 2 = 3{,}5$ cm
$V = \pi r^{2} \times h$
$=$ $\pi \times 3{,}5^{2} \times 10$
$=$ $122{,}5\pi$
$\approx$ $384{,}8$ cm³
$=$ $384{,}8$ mL $1\ \text{cm}^{3} = 1$ mL

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $5$ cm et $12$ cm (l'hypoténuse mesure alors $13$ cm), et pour hauteur $15$ cm. Calcule son volume, puis son aire latérale.

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$\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{5 \times 12}{2} = 30$ cm²
$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h = 30 \times 15 = 450$ cm³
$p = 5+12+13 = 30$ cm
$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = p \times h = 30 \times 15 = 450$ cm²

Ici, le volume ( $450$ cm³) et l'aire latérale ( $450$ cm²) tombent sur le même nombre : c'est une coïncidence liée à ces valeurs, pas une règle générale !

Lequel de ces deux récipients contient le plus : un pavé droit de $10$ cm $\times\ 8$ cm $\times\ 15$ cm, ou un cylindre de rayon $6$ cm et de hauteur $11$ cm ?

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$V_{\text{pavé}} = 10 \times 8 \times 15$
$=$ $1\,200$ cm³
$V_{\text{cylindre}} = \pi \times 6^{2} \times 11$
$=$ $396\pi$
$\approx$ $1\,244{,}1$ cm³

Le cylindre ( $\approx 1\,244$ cm³) contient un peu plus que le pavé droit ( $1\,200$ cm³).

Niveau 3 — Défi

On veut fabriquer une boîte cylindrique fermée qui contient exactement $1$ litre, avec un rayon de base fixé à $5$ cm.

Calcule la hauteur nécessaire, arrondie au millimètre.
Calcule l'aire totale de métal nécessaire, arrondie au dixième de cm².

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1. $1$ L $= 1\,000$ cm³. La hauteur vérifie $V = \pi r^{2} \times h$ , donc $h = \dfrac{V}{\pi r^{2}}$ .

$\pi r^{2} = \pi \times 5^{2} = 25\pi \approx 78{,}54$ cm²
$h = \dfrac{1\,000}{78{,}54}$
$\approx$ $12{,}73$ cm $\approx 127{,}3$ mm
$\Rightarrow$ $h \approx 127$ mm

$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r \times h = 2\pi \times 5 \times 12{,}73$
$\approx$ $400{,}0$ cm²
$\mathcal{A}_{\text{base}} = 25\pi \approx 78{,}5$ cm²
$\mathcal{A}_{\text{totale}} = 400{,}0 + 2 \times 78{,}5$
$\approx$ $557{,}1$ cm²

Un fabricant hésite entre deux emballages de même volume $1$ litre : le cylindre de l'exercice 11 (rayon $5$ cm, hauteur $\approx 12{,}73$ cm, aire totale $\approx 557{,}1$ cm²), ou une boîte en forme de cube de $10$ cm d'arête.

Vérifie que le cube a bien un volume de $1$ litre.
Calcule l'aire totale du cube.
Quel emballage demande le moins de matière ?

Voir le corrigé détaillé

1. $V_{\text{cube}} = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ cm³ $= 1$ L. C'est bien vérifié.

un cube a $6$ faces carrées identiques
$\mathcal{A}_{\text{totale}} = 6 \times 10^{2}$
$=$ $600$ cm²

3. Le cylindre ( $\approx 557{,}1$ cm²) demande moins de matière que le cube ( $600$ cm²), pour exactement le même volume : environ $43$ cm² de moins. C'est cette économie de matière qui explique pourquoi tant de récipients traditionnels (canaris, silos, citernes) sont cylindriques plutôt que cubiques.

Un aquarium en forme de pavé droit, de longueur $40$ cm et de largeur $25$ cm, est rempli d'eau jusqu'à une hauteur de $24$ cm.

Quel volume d'eau contient-il, en litres ?
On verse toute cette eau dans un récipient cylindrique de rayon $15$ cm. Quelle hauteur d'eau atteindra-t-elle, arrondie au millimètre ?

Voir le corrigé détaillé

$V = 40 \times 25 \times 24$
$=$ $24\,000$ cm³
$=$ $24$ L

2. Le volume d'eau ne change pas en changeant de récipient. On cherche $h$ tel que $\pi \times 15^{2} \times h = 24\,000$ .

$\pi \times 15^{2} = 225\pi \approx 706{,}86$ cm²
$h = \dfrac{24\,000}{706{,}86}$
$\approx$ $33{,}95$ cm $\approx 339{,}5$ mm

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La citerne d'Aïcha (Ndjamena). Aïcha possède la citerne cylindrique de la figure 7 (diamètre $1{,}4$ m, hauteur $2{,}5$ m). Sa famille consomme $150$ L d'eau par jour.

Combien de jours complets la citerne pleine peut-elle couvrir ?
Le remplissage coûte $500$ F CFA par m³. Quel est le coût, en F CFA, pour remplir la citerne ?

Voir le corrigé détaillé

1. La capacité de la citerne a été calculée plus haut : $V \approx 3{,}85$ m³ $\approx 3\,850$ L.

nombre de jours $= 3\,850 \div 150$
$\approx$ $25{,}7$
$\Rightarrow$ $25$ jours completson arrondit à l'entier inférieur : le 26ᵉ jour, il faudra remplir de nouveau

coût $= 3{,}85 \times 500$
$=$ $1\,925$ F CFA

Le canari d'Abéché. Un canari traditionnel, assimilé à un cylindre, a un rayon de $20$ cm et une hauteur de $45$ cm.

Calcule sa capacité en litres, arrondie au dixième.
Combien de canaris pleins faut-il, au minimum, pour remplir la citerne de l'exercice 14 ( $3\,850$ L) ?

Voir le corrigé détaillé

1. On convertit d'abord en mètres : $r = 0{,}2$ m, $h = 0{,}45$ m.

$V = \pi r^{2} \times h$
$=$ $\pi \times 0{,}2^{2} \times 0{,}45$
$=$ $0{,}018\pi$
$\approx$ $0{,}0566$ m³ $\approx 56{,}6$ L

$3\,850 \div 56{,}6$
$\approx$ $68{,}0$

Attention : $68$ canaris donnent seulement $68 \times 56{,}6 \approx 3\,849$ L, un peu moins que $3\,850$ L. Il faut donc $69$ canaris pour être certain de remplir entièrement la citerne.

Le château d'eau de Douala. Le réservoir cylindrique d'un château d'eau a un rayon de $3$ m et une hauteur de $6$ m.

Calcule son volume en m³ puis en litres.
Chaque foyer du quartier consomme en moyenne $200$ L par jour. Pour combien de foyers ce réservoir plein suffit-il, pour une journée ?
On veut repeindre la paroi latérale du réservoir. Calcule son aire, puis le coût de la peinture à $1\,200$ F CFA le m², arrondi à la centaine de francs.

Voir le corrigé détaillé

$V = \pi r^{2} \times h$
$=$ $\pi \times 3^{2} \times 6$
$=$ $54\pi$
$\approx$ $169{,}65$ m³ $\approx 169\,650$ L

$169\,650 \div 200$
$\approx$ $848{,}25$
$\Rightarrow$ $848$ foyersle $849$ ᵉ foyer ne serait alimenté que partiellement

$\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r \times h = 2\pi \times 3 \times 6$
$=$ $36\pi \approx 113{,}1$ m²
coût $\approx 113{,}1 \times 1\,200$
$\approx$ $135\,700$ F CFA

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un prisme droit est un solide formé de :

deux bases superposables et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires perpendiculaires aux bases une seule base et une pointe deux bases différentes reliées par des triangles six faces carrées uniquement

Explication : Un prisme droit a deux bases identiques et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires, perpendiculaires aux deux bases.

Le mot « droit » dans « prisme droit » signifie que :

la base est obligatoirement un rectangle les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases toutes les faces sont des carrés le solide a exactement 6 faces

Explication : « Droit » signifie que le solide ne penche pas : les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases. La base peut être n'importe quel polygone.

Dans un prisme droit, la hauteur est :

le périmètre de la base l'aire d'une face latérale la longueur commune de toutes les arêtes latérales la longueur d'un côté de la base

Explication : La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases, égale à la longueur de chaque arête latérale.

Un cylindre de révolution est un solide formé de :

deux triangles reliés par des rectangles une seule base circulaire deux disques de rayons différents deux disques superposables de même rayon, reliés par une surface latérale courbe

Explication : Un cylindre est formé de deux disques de même rayon

r

, parallèles, reliés par une surface latérale courbe.

Dans le patron d'un prisme droit, la largeur totale de la bande de rectangles mis bout à bout est égale :

au périmètre de la base à l'aire de la base à la hauteur du prisme au nombre de faces latérales

Explication : Chaque rectangle a pour largeur un côté de la base ; mis bout à bout, la largeur totale de la bande est donc la somme des côtés de la base, c'est-à-dire son périmètre.

Dans le patron d'un cylindre, la largeur du rectangle latéral est égale à :

le diamètre du cercle de base le périmètre du cercle de base,

2\pi r

le rayon du cercle de base la hauteur du cylindre

Explication : Piège classique : la largeur du rectangle est le périmètre du cercle

2\pi r

, et non le diamètre

2r

En perspective cavalière, la face de devant est dessinée :

réduite de moitié inclinée à 45° en vraie grandeur toujours en pointillés

Explication : La face de devant est toujours dessinée en vraie grandeur : mêmes longueurs et mêmes angles que sur le solide réel.

En perspective cavalière, les arêtes fuyantes sont :

perpendiculaires entre elles dessinées en vraie grandeur, sans réduction toujours horizontales parallèles entre elles, inclinées d'un même angle et réduites par un même coefficient

Explication : Les fuyantes sont parallèles entre elles, inclinées d'un même angle (souvent 45°) et réduites par un même coefficient (souvent

\dfrac12

Sur un dessin en perspective cavalière de coefficient $\dfrac{1}{2}$ , une fuyante mesure 3 cm. Quelle est la longueur réelle ?

6 cm 1,5 cm 3 cm 9 cm

Explication : Longueur dessinée = coefficient × longueur réelle, donc

3 = \dfrac12 \times \text{réelle}

, d'où longueur réelle

= 3 \times 2 = 6

cm.

L'aire latérale d'un prisme ou d'un cylindre, c'est :

l'aire de toutes les faces, bases comprises l'aire des faces latérales seulement, sans les bases l'aire d'une seule base le volume du solide

Explication : L'aire latérale ne compte que les faces « autour » du solide, sans les deux bases (le fond et le couvercle).

Un prisme droit a pour base un rectangle de 6 cm sur 4 cm, et une hauteur de 5 cm. Calcule son aire latérale.

24\ \text{cm}^2

50\ \text{cm}^2

100\ \text{cm}^2

20\ \text{cm}^2

Explication : Le périmètre de la base est

p = 2\times(6+4) = 20

cm. L'aire latérale vaut

p\times h = 20\times5 = 100\ \text{cm}^2

Un cylindre a pour rayon 3 cm et pour hauteur 5 cm. Calcule son aire latérale (laisse $\pi$ dans le résultat).

15\pi\ \text{cm}^2

8\pi\ \text{cm}^2

45\pi\ \text{cm}^2

30\pi\ \text{cm}^2

Explication :

\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r\times h = 2\times\pi\times3\times5 = 30\pi\ \text{cm}^2

Que faut-il ajouter à l'aire latérale d'un prisme pour obtenir son aire totale ?

deux fois l'aire d'une base le périmètre de la base rien, elles sont égales le volume du solide

Explication :

\mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{latérale}} + 2\times\mathcal{A}_{\text{base}}

, car il y a deux bases (le fond et le dessus).

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés de l'angle droit 3 cm et 4 cm, et pour hauteur 5 cm. Calcule son volume.

60\ \text{cm}^3

30\ \text{cm}^3

35\ \text{cm}^3

12\ \text{cm}^3

Explication :

\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{3\times4}{2} = 6\ \text{cm}^2

V = \mathcal{A}_{\text{base}}\times h = 6\times5 = 30\ \text{cm}^3

Un cylindre a pour rayon 2 cm et pour hauteur 5 cm. Calcule son volume (laisse $\pi$ dans le résultat).

10\pi\ \text{cm}^3

4\pi\ \text{cm}^3

20\pi\ \text{cm}^3

40\pi\ \text{cm}^3

Explication :

V = \pi r^2\times h = \pi\times2^2\times5 = \pi\times4\times5 = 20\pi\ \text{cm}^3

Combien de $\text{cm}^3$ y a-t-il dans $1\ \text{dm}^3$ ?

10 100 10 000 1 000

Explication : Un volume se convertit par

1\,000

(car

10\times10\times10=1\,000

), pas par

10

comme une longueur :

1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3

Parmi ces égalités, laquelle est VRAIE ?

1\ \text{dm}^3 = 1

1\ \text{cm}^3 = 1

1\ \text{m}^3 = 1

1\ \text{dm}^3 = 1

Explication :

1\ \text{dm}^3 = 1

L et

1\ \text{cm}^3 = 1

mL ;

1\ \text{m}^3 = 1\,000

Un cylindre a un volume de $2\,000\ \text{cm}^3$ . Combien de litres cela représente-t-il ?

20 L 2 L 200 L 0,2 L

Explication :

1\ \text{cm}^3 = 1

mL, donc

2\,000\ \text{cm}^3 = 2\,000

= 2

L (on divise par

1\,000

Une citerne cylindrique a un rayon de 1 m et une hauteur de 2 m. Calcule son volume (laisse $\pi$ dans le résultat).

4\pi\ \text{m}^3

6\pi\ \text{m}^3

2\pi\ \text{m}^3

\pi\ \text{m}^3

Explication :

V = \pi r^2\times h = \pi\times1^2\times2 = 2\pi\ \text{m}^3

Un artisan veut fabriquer une citerne cylindrique fermée (avec un couvercle). Pour calculer la quantité de tôle nécessaire, il doit utiliser :

le volume du cylindre l'aire latérale seule le périmètre de la base seule l'aire totale (aire latérale + les deux bases)

Explication : Pour une citerne fermée, il faut de la tôle pour les côtés et pour le fond et le couvercle : c'est l'aire totale, pas seulement l'aire latérale.

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En bref

Classe : Classe de Cinquième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 6 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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