Radioactivité et décroissance radioactive

Étudier la stabilité des noyaux et la loi de décroissance.

Physique Terminale Chapitre 9 / 11 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Écrire une équation de désintégration
Appliquer la loi de décroissance
Calculer une demi-vie et dater un échantillon

Regarde autour de toi : le détecteur de fumée fixé au plafond, l’examen de scintigraphie prescrit par un médecin, la datation d’un site archéologique retrouvé dans le désert du Djourab, la centrale qui alimente une ville en électricité — tous ces objets et toutes ces techniques reposent sur un même phénomène naturel, invisible et permanent : certains noyaux atomiques sont instables et se transforment spontanément en libérant de l’énergie. C’est ce phénomène, la radioactivité, que tu vas étudier dans ce chapitre.

Tout commence en 1896, par un heureux hasard de laboratoire : Henri Becquerel range dans un tiroir, à l’abri de la lumière, un sel d’uranium posé sur une plaque photographique — et découvre, quelques jours plus tard, que la plaque a noirci, alors qu’elle n’a reçu aucune lumière. L’uranium émet donc, spontanément et sans aucune intervention extérieure, un rayonnement capable de traverser le papier noir. Une page entièrement nouvelle de la physique vient de s’ouvrir, et deux jeunes chercheurs, Marie et Pierre Curie, vont l’écrire avec lui.

Jusqu’ici, tu as étudié l’atome et ses transformations chimiques : les électrons se réorganisent, mais les noyaux, eux, restent parfaitement intacts. Ce chapitre change radicalement d’échelle : c’est le noyau lui-même qui se transforme, en éjectant des particules ou en libérant de l’énergie sous forme de rayonnement. Cette transformation nucléaire obéit à une loi mathématique d’une remarquable simplicité — une décroissance exponentielle — que tu vas démontrer et savoir utiliser pour dater des objets vieux de plusieurs milliers d’années, calculer l’activité d’une source médicale, ou dimensionner une protection contre les rayonnements.

À la fin de ce chapitre, tu sauras écrire l’équation d’une désintégration en respectant les lois de conservation, appliquer la loi de décroissance radioactive pour calculer un nombre de noyaux, une masse ou une activité à un instant donné, et calculer une demi-vie pour dater un échantillon — une compétence directement mobilisable au baccalauréat comme dans de nombreux métiers scientifiques.

1Le noyau : composition, isotopes

Reprenons depuis le cœur de l’atome. Un atome est constitué d’un noyau, minuscule et très dense, autour duquel se répartissent des électrons. C’est ce noyau, et lui seul, qui est le siège de la radioactivité.

1.1 Nucléons et notation d’un noyau

Définition

Le noyau d’un atome est constitué de deux types de particules, appelées nucléons : les protons, de charge électrique $+e$ , et les neutrons, électriquement neutres. Protons et neutrons ont une masse quasiment identique, de l’ordre de $1{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$ .

Un noyau est caractérisé par :

son numéro atomique $Z$ : le nombre de protons (il définit l’élément chimique) ;
son nombre de neutrons $N$ ;
son nombre de masse $A = Z + N$ : le nombre total de nucléons.

On note un noyau, ou nucléide, à l’aide du symbole $\text{X}$ de l’élément :

${}^{A}_{Z}\text{X}$

Le noyau est extraordinairement compact : son rayon est de l’ordre de $10^{-15}\ \text{m}$ (le femtomètre, ou fermi), alors que l’atome entier mesure environ $10^{-10}\ \text{m}$ — cent mille fois plus. Si le noyau avait la taille d’une bille posée au centre d’un stade, les électrons graviteraient dans les gradins. Presque toute la masse de l’atome est pourtant concentrée dans ce noyau minuscule : les électrons sont environ $2\,000$ fois plus légers que les nucléons.

Exemple — lire une notation

{}^{A}_{Z}\text{X}

Déterminons la composition des noyaux d’uranium ${}^{238}_{92}\text{U}$ et de carbone ${}^{14}_{6}\text{C}$ .

pour ${}^{238}_{92}\text{U}$ : $Z = 92$ protons
$N = A - Z = 238 - 92$
$=$ $146$ neutrons
pour ${}^{14}_{6}\text{C}$ : $Z = 6$ protons
$N = 14 - 6$
$=$ $8$ neutrons

Attention

Ne confonds jamais $Z$ (numéro atomique, nombre de protons) et $A$ (nombre de masse, nombre total de nucléons). C’est l’erreur la plus fréquente sur ce chapitre — et elle fait perdre des points bêtement le jour du bac. Dans ${}^{A}_{Z}\text{X}$ , $A$ est toujours en haut, $Z$ toujours en bas.

1.2 Isotopes et unité de masse atomique

Définition

Deux noyaux sont des isotopes s’ils ont le même numéro atomique $Z$ (donc le même élément chimique) mais des nombres de neutrons différents — donc des nombres de masse $A$ différents.

Exemple — les isotopes du carbone

Le carbone possède trois isotopes naturels, tous de numéro atomique $Z=6$ :

${}^{12}_{6}\text{C}$ : $N=6$ neutrons $98{,}9\ \%$ du carbone naturel, stable
${}^{13}_{6}\text{C}$ : $N=7$ neutrons $1{,}1\ \%$ , stable
${}^{14}_{6}\text{C}$ : $N=8$ neutronstraces infimes, radioactif — voir section 7

Définition

L’unité de masse atomique, notée $\text{u}$ , est définie comme le douzième de la masse d’un atome de carbone 12 :

$1\ \text{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}\ \text{kg}$

Elle sert à exprimer commodément les masses des noyaux et des particules, sans manier des puissances de $10$ à chaque calcul.

2Stabilité et diagramme (N, Z)

Pourquoi le carbone 12 est-il stable pour l’éternité, alors que le carbone 14, à peine plus lourd d’un seul neutron, se transforme spontanément ? La réponse tient dans un équilibre de forces à l’intérieur même du noyau.

2.1 Cohésion du noyau : l’interaction forte

Propriété

Deux forces s’opposent à l’intérieur d’un noyau :

la répulsion électrostatique entre protons (tous positifs), qui tend à disloquer le noyau, et qui s’exerce à longue portée ;
l’interaction forte, qui attire fortement tous les nucléons entre eux (protons et neutrons), mais seulement à très courte portée ( $\approx 10^{-15}\ \text{m}$ ).

Un noyau est stable lorsque l’interaction forte parvient à compenser la répulsion électrostatique entre protons. Comme les neutrons participent à l’interaction forte sans ajouter de répulsion, un noyau lourd a besoin de proportionnellement plus de neutrons que de protons pour rester cohérent.

2.2 Le diagramme (N, Z) et la vallée de stabilité

Si l’on place chaque noyau connu dans un repère où l’abscisse est $Z$ et l’ordonnée $N$ , les noyaux stables ne se dispersent pas au hasard : ils s’alignent le long d’une bande étroite, la vallée de stabilité.

Définition

La vallée de stabilité est l’ensemble des couples $(Z,N)$ correspondant à des noyaux stables, dans le diagramme $(N,Z)$ . Pour les noyaux légers, elle suit approximativement la droite $N=Z$ ; pour les noyaux lourds, elle s’en écarte progressivement vers un excès de neutrons (jusqu’à $N \approx 1{,}5\,Z$ ).

Exemple — calculer le rapport

N/Z

étain ${}^{120}_{50}\text{Sn}$ : $N = 120-50 = 70$
$\Rightarrow$ $N/Z = 70/50 = 1{,}40$
uranium ${}^{238}_{92}\text{U}$ : $N = 238-92=146$
$\Rightarrow$ $N/Z = 146/92 \approx 1{,}59$

Nucléide	$Z$	$N$	$N/Z$
Hélium 4 (stable)	$2$	$2$	$1{,}00$
Fer 56 (stable)	$26$	$30$	$1{,}15$
Étain 120 (stable)	$50$	$70$	$1{,}40$
Plomb 206 (stable)	$82$	$124$	$1{,}51$
Uranium 238 (radioactif)	$92$	$146$	$1{,}59$

Le rapport $N/Z$ augmente régulièrement avec $Z$ : c’est la signature de la compétition entre interaction forte et répulsion coulombienne décrite plus haut. Au-delà d’une certaine taille, aucun équilibre $(N,Z)$ ne suffit plus à assurer la cohésion du noyau : tout noyau de numéro atomique $Z$ supérieur à environ $82$ — donc plus lourd que le plomb — est instable. C’est ce que montre la figure 1.

Figure 1 — Diagramme

(N,Z)

: les noyaux stables (courbe violette) forment une vallée de stabilité ; au-dessus, l’excès de neutrons entraîne une radioactivité

\beta^{-}

; en dessous, l’excès de protons entraîne une radioactivité

\beta^{+}

ou une capture électronique (CE) ; au-delà de

Z \approx 82

, la radioactivité

\alpha

devient inévitable.

Un noyau dont le point $(Z,N)$ se situe au-dessus de la vallée possède un excès de neutrons : il tend à convertir un neutron en proton pour s’en rapprocher — c’est la radioactivité $\beta^{-}$ (section suivante). À l’inverse, un noyau situé en dessous de la vallée a un excès de protons : il tend à convertir un proton en neutron — radioactivité $\beta^{+}$ ou capture électronique. Enfin, les noyaux trop lourds évacuent de la matière par paquets de quatre nucléons : la radioactivité $\alpha$ .

Exemple — stable ou instable ?

Le calcium ${}^{40}_{20}\text{Ca}$ a $N=20$ , donc $N/Z=1{,}00$ : il se situe exactement sur la droite $N=Z$ , dans la vallée de stabilité pour cette masse — il est stable. Le cobalt ${}^{60}_{27}\text{Co}$ a $N=33$ , donc $N/Z \approx 1{,}22$ , une valeur un peu supérieure à celle de la vallée à $Z=27$ : il possède un léger excès de neutrons et se désintègre par radioactivité $\beta^{-}$ (confirmé expérimentalement, voir section 3).

Curiosité de rigueur : le plomb ${}^{208}_{82}\text{Pb}$ est longtemps resté le noyau stable le plus lourd connu. En 2003, des physiciens ont montré que le bismuth ${}^{209}_{83}\text{Bi}$ , qu’on croyait stable, est en réalité très faiblement radioactif $\alpha$ , avec une demi-vie d’environ $1{,}9 \times 10^{19}\ \text{ans}$ — plus d’un milliard de fois l’âge de l’Univers. À l’échelle humaine, il reste bien entendu totalement inoffensif : c’est tout l’intérêt de la notion de demi-vie, que tu retrouveras section 6.

3Radioactivités α, β⁻, β⁺, γ

Un noyau instable ne reste jamais dans cet état : tôt ou tard, il se transforme spontanément en un noyau plus stable, en émettant une particule et parfois un rayonnement. On appelle cette transformation une désintégration.

Définition

La radioactivité est le phénomène par lequel un noyau instable (dit radioactif) se transforme spontanément en un autre noyau, en émettant une particule et parfois un rayonnement électromagnétique. Cette transformation est :

spontanée : elle ne nécessite aucune action extérieure ;
aléatoire : impossible de prévoir quand un noyau donné va se désintégrer — seule une loi de probabilité le régit (section 5) ;
inéluctable : rien (température, pression, réaction chimique) ne peut ni l’accélérer ni la retarder.

Physique & Co — La découverte de la radioactivité

En février 1896, Henri Becquerel étudie la fluorescence de sels d’uranium. Il compte les exposer au Soleil avant de les poser sur une plaque photographique — mais le ciel parisien reste couvert plusieurs jours. Il range malgré tout, dans un tiroir sombre, un sel d’uranium posé sur une plaque enveloppée de papier noir. En développant la plaque « par acquit de conscience », il la découvre fortement impressionnée : l’uranium émet un rayonnement propre, sans aucune excitation lumineuse préalable.

Marie Curie, dans sa thèse (1903, première femme docteure ès sciences en France), montre que ce phénomène — qu’elle baptise radioactivité — est une propriété de l’atome lui-même. Avec son mari Pierre Curie, elle découvre deux nouveaux éléments, le polonium (en hommage à sa Pologne natale) et le radium. Becquerel et les Curie reçoivent le prix Nobel de physique en 1903 ; Marie Curie reçoit seule le prix Nobel de chimie en 1911.

3.1 La radioactivité α

Définition

Dans la radioactivité $\alpha$ , le noyau instable émet un noyau d’hélium ${}^{4}_{2}\text{He}$ (une « particule $\alpha$ »). Elle concerne les noyaux lourds ( $Z$ supérieur à environ $82$ ).

${}^{A}_{Z}\text{X} \; \rightarrow \; {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y} \; + \; {}^{4}_{2}\text{He}$

Exemple — désintégration α de l’uranium 238

${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He}$
$A = 238-4 = 234$
$Z = 92-2 = 90$ $Z=90$ : le thorium (Th)
$\Rightarrow$ ${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{234}_{90}\text{Th} + {}^{4}_{2}\text{He}$

3.2 La radioactivité β⁻

Définition

Dans la radioactivité $\beta^{-}$ , un neutron du noyau se transforme en proton, avec émission d’un électron ${}^{0}_{-1}\text{e}$ et d’un antineutrino $\overline{\nu}_{e}$ . Elle concerne les noyaux à excès de neutrons.

${}^{A}_{Z}\text{X} \; \rightarrow \; {}^{A}_{Z+1}\text{Y} \; + \; {}^{0}_{-1}\text{e} \; + \; \overline{\nu}_{e}$

Exemple — désintégration β⁻ du cobalt 60

Le cobalt 60, utilisé en radiothérapie (section 7), est un émetteur $\beta^{-}$ :

${}^{60}_{27}\text{Co} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Y} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \overline{\nu}_{e}$
$A=60$ ; $Z = 27+1 = 28$ $Z=28$ : le nickel (Ni)
$\Rightarrow$ ${}^{60}_{27}\text{Co} \rightarrow {}^{60}_{28}\text{Ni}^{*} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \overline{\nu}_{e}$

Le noyau de nickel obtenu est produit dans un état excité, noté ${}^{60}_{28}\text{Ni}^{*}$ : il se désexcite aussitôt en émettant deux photons $\gamma$ (voir 3.4).

3.3 La radioactivité β⁺

Définition

Dans la radioactivité $\beta^{+}$ , un proton du noyau se transforme en neutron, avec émission d’un positon ${}^{0}_{+1}\text{e}$ (antiparticule de l’électron) et d’un neutrino $\nu_{e}$ . Elle concerne les noyaux à excès de protons.

${}^{A}_{Z}\text{X} \; \rightarrow \; {}^{A}_{Z-1}\text{Y} \; + \; {}^{0}_{+1}\text{e} \; + \; \nu_{e}$

Physique & Co — La radioactivité artificielle

En 1934, Irène et Frédéric Joliot-Curie (Irène est la fille de Marie et Pierre Curie) bombardent une feuille d’aluminium avec des particules $\alpha$ : ${}^{27}_{13}\text{Al} + {}^{4}_{2}\text{He} \rightarrow {}^{30}_{15}\text{P} + {}^{1}_{0}\text{n}$ . Le phosphore obtenu, ${}^{30}_{15}\text{P}$ , n’existe pas naturellement — et continue pourtant d’émettre un rayonnement après l’arrêt du bombardement : ils viennent de créer un noyau radioactif en laboratoire. C’est la découverte de la radioactivité artificielle, récompensée par le prix Nobel de chimie 1935.

Exemple — désintégration β⁺ du phosphore 30

${}^{30}_{15}\text{P} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Y} + {}^{0}_{+1}\text{e} + \nu_{e}$
$A=30$ ; $Z=15-1=14$ $Z=14$ : le silicium (Si)
$\Rightarrow$ ${}^{30}_{15}\text{P} \rightarrow {}^{30}_{14}\text{Si} + {}^{0}_{+1}\text{e} + \nu_{e}$

3.4 L’émission γ

Définition

Une désintégration $\alpha$ ou $\beta$ laisse souvent le noyau fils dans un état excité, noté $\text{Y}^{*}$ . Celui-ci se désexcite en émettant un photon $\gamma$ , très énergétique, sans qu’aucun nucléon ne soit éjecté : $A$ et $Z$ sont inchangés.

${}^{A}_{Z}\text{Y}^{*} \; \rightarrow \; {}^{A}_{Z}\text{Y} \; + \; \gamma$

Reprenons l’exemple du cobalt 60 : le noyau de nickel excité se désexcite par deux photons $\gamma$ en cascade :

${}^{60}_{28}\text{Ni}^{*} \rightarrow {}^{60}_{28}\text{Ni} + \gamma$

C’est ce rayonnement $\gamma$ , et non le rayonnement $\beta^{-}$ lui-même, qui est mis à profit en radiothérapie : le cobalt 60 est presque toujours utilisé pour son rayonnement γ.

Propriété — familles radioactives

Un noyau très lourd, comme l’uranium 238, n’atteint pas la stabilité en une seule désintégration : il faut toute une cascade de désintégrations $\alpha$ et $\beta^{-}$ successives. La famille de l’uranium 238 comprend ainsi $8$ désintégrations $\alpha$ et $6$ désintégrations $\beta^{-}$ , avant d’aboutir au plomb 206, isotope stable (voir exercice 9). Deux autres familles naturelles existent, aboutissant respectivement au plomb 208 (famille du thorium 232) et au plomb 207 (famille de l’uranium 235).

Figure 2 — Les trois rayonnements n’ont pas le même pouvoir de pénétration : le rayonnement

\alpha

(noyaux d’hélium, lourds et chargés) est arrêté en quelques centimètres d’air ou par une simple feuille de papier ; le rayonnement

\beta

(électrons ou positons) parcourt quelques mètres dans l’air et nécessite quelques millimètres d’aluminium ; le rayonnement

\gamma

(photons très énergétiques) est le plus pénétrant : seule une forte épaisseur de plomb l’atténue notablement, sans jamais l’arrêter totalement.

4Lois de conservation

Comment savoir, à coup sûr, quel noyau $\text{Y}$ se forme lors d’une désintégration ? En s’appuyant sur deux lois de conservation universelles, énoncées dès 1913 par le chimiste britannique Frederick Soddy — par ailleurs découvreur de la notion d’isotopie.

Théorème — lois de conservation de Soddy

Au cours de toute réaction nucléaire spontanée, il y a conservation :

du nombre de masse $A$ (nombre total de nucléons) ;
du numéro atomique $Z$ (charge électrique totale, en unités de $e$ ).

Pour une réaction ${}^{A_1}_{Z_1}\text{X} \rightarrow {}^{A_2}_{Z_2}\text{Y} + {}^{A_3}_{Z_3}\text{Z}$ :

$A_1 = A_2+A_3 \qquad \text{et} \qquad Z_1 = Z_2+Z_3$

Démonstration — idée de preuve

Ces deux lois ne se déduisent pas d’axiomes plus simples : elles traduisent deux principes physiques fondamentaux, vérifiés expérimentalement sans aucune exception connue à ce jour.

La conservation de la charge électrique $Z$ est un principe général de toute la physique, valable pour toute interaction, nucléaire ou non. La conservation du nombre de nucléons $A$ se comprend à partir du mécanisme même de chaque désintégration : une émission $\alpha$ retire exactement $4$ nucléons, comptés dans le bilan ; une désintégration $\beta^{-}$ ou $\beta^{+}$ transforme un nucléon en un autre (neutron $\leftrightarrow$ proton) sans en créer ni en détruire aucun. Le nombre total de nucléons reste donc rigoureusement identique avant et après.

Méthode — écrire et équilibrer une équation de désintégration

① Identifier le type de radioactivité (diagramme $(N,Z)$ , section 2). ② Écrire l’équation générale correspondante. ③ Appliquer la conservation de $A$ puis celle de $Z$ pour trouver le noyau fils. ④ Identifier l’élément correspondant à $Z$ grâce à la classification périodique.

Exemple — retrouver le noyau fils

Le radium ${}^{226}_{88}\text{Ra}$ est un émetteur $\alpha$ . Quel est le noyau fils ?

${}^{226}_{88}\text{Ra} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He}$
conservation de $A$ : $226 = A + 4 \Rightarrow A = 222$
conservation de $Z$ : $88 = Z + 2 \Rightarrow Z = 86$ $Z=86$ : le radon (Rn)
$\Rightarrow$ ${}^{226}_{88}\text{Ra} \rightarrow {}^{222}_{86}\text{Rn} + {}^{4}_{2}\text{He}$

Exemple — retrouver le type de désintégration

Le thorium ${}^{234}_{90}\text{Th}$ se transforme en protactinium ${}^{234}_{91}\text{Pa}$ . Quel est le type de désintégration ?

$A$ inchangé : $234=234$ aucun nucléon éjecté : pas de radioactivité α
$Z$ augmente d’une unité : $90 \rightarrow 91$
$\Rightarrow$ un neutron s’est transformé en proton : désintégration $\beta^{-}$

Attention

Ne « perds » jamais la particule émise ( ${}^{4}_{2}\text{He}$ , ${}^{0}_{-1}\text{e}$ ou ${}^{0}_{+1}\text{e}$ ) dans le bilan : c’est l’erreur la plus fréquente. Vérifie systématiquement que la somme des $A$ — et, séparément, la somme des $Z$ — est bien la même de chaque côté de la flèche, en comptant toutes les particules du second membre.

5Loi de décroissance et constante radioactive

Les lois de conservation nous disent ce qui se forme. Reste une question tout aussi essentielle : à quelle vitesse un échantillon radioactif se transforme-t-il ? La réponse est de nature statistique — et débouche pourtant sur une loi d’une remarquable simplicité.

5.1 La constante radioactive

Définition

Chaque noyau radioactif a, à chaque instant, la même probabilité de se désintégrer pendant l’intervalle de temps suivant $\mathrm{d}t$ , quel que soit son « âge ». Cette probabilité par unité de temps est la constante radioactive $\lambda$ , caractéristique du nucléide considéré, exprimée en $\text{s}^{-1}$ .

Propriété

$\lambda$ est une constante purement nucléaire : elle ne dépend ni de la température, ni de la pression, ni de l’état chimique ou physique du noyau — à la différence, par exemple, d’une constante de vitesse en cinétique chimique. C’est cette universalité qui rend la datation radioactive fiable (section 7).

5.2 L’équation différentielle et sa résolution

Considérons un échantillon contenant, à l’instant $t$ , un nombre $N(t)$ de noyaux radioactifs pas encore désintégrés.

Théorème — loi de décroissance radioactive

Le nombre de noyaux radioactifs restants à l’instant $t$ , sachant qu’il y en avait $N_0$ à l’instant $t=0$ , vaut :

$N(t) = N_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t}$

Démonstration

Pendant un intervalle de temps très court $\mathrm{d}t$ , chaque noyau présent a une probabilité $\lambda\, \mathrm{d}t$ de se désintégrer. Sur les $N(t)$ noyaux présents, la diminution $-\mathrm{d}N$ de la population pendant $\mathrm{d}t$ est donc proportionnelle à $N(t)$ et à $\mathrm{d}t$ :

$\mathrm{d}N = -\lambda N(t)\, \mathrm{d}t$ équation différentielle du 1ᵉʳ ordre, à variables séparables
$\Rightarrow$ $\dfrac{\mathrm{d}N}{N} = -\lambda\, \mathrm{d}t$ on sépare les variables $N$ et $t$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\int_{N_0}^{N(t)} \dfrac{\mathrm{d}N'}{N'} = \int_{0}^{t} -\lambda\, \mathrm{d}t'$ on intègre entre l’instant $0$ et l’instant $t$
$\Rightarrow$ $\Big[\ln N'\Big]_{N_0}^{N(t)} = -\lambda t$
$\Rightarrow$ $\ln N(t) - \ln N_0 = -\lambda t$
$\Rightarrow$ $\ln\!\left(\dfrac{N(t)}{N_0}\right) = -\lambda t$
$\Rightarrow$ $\dfrac{N(t)}{N_0} = \mathrm{e}^{-\lambda t}$ on applique la fonction exponentielle aux deux membres
$\Rightarrow$ $N(t) = N_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t}$

C.Q.F.D.

Exemple — calculer

\lambda

à partir d’une demi-vie (cobalt 60)

Le cobalt 60 a une demi-vie $t_{1/2} = 5{,}27\ \text{ans}$ (la relation $t_{1/2}=\ln 2/\lambda$ est démontrée section 6.1).

$\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{5{,}27}$
$\approx$ $0{,}132\ \text{an}^{-1}$
avec $1\ \text{an} \approx 3{,}156 \times 10^{7}\ \text{s}$
$\approx$ $4{,}17 \times 10^{-9}\ \text{s}^{-1}$

Exemple — appliquer

N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t}

Une source de cobalt 60 contient initialement $N_0 = 5{,}0 \times 10^{18}$ noyaux. Combien en reste-t-il après $t=10$ ans ?

$N(10) = N_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t} = 5{,}0\times10^{18} \times \mathrm{e}^{-0{,}132 \times 10}$
$\approx$ $5{,}0\times10^{18} \times \mathrm{e}^{-1{,}32}$
$\approx$ $1{,}3 \times 10^{18}$ noyauxsoit environ $27\ \%$ du nombre initial

6Demi-vie et activité

La loi $N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t}$ est puissante, mais $\lambda$ , exprimée en $\text{s}^{-1}$ , n’est pas très parlante. Les physiciens lui préfèrent une durée caractéristique, directement mesurable : la demi-vie.

6.1 La demi-vie

Définition

La demi-vie (ou période radioactive) $t_{1/2}$ d’un nucléide est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés : $N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$ .

Théorème

$t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$

Démonstration

$N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$ définition de la demi-vie
$\Rightarrow$ $N_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{N_0}{2}$
$\Rightarrow$ $\mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow$ $-\lambda t_{1/2} = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2$
$\Rightarrow$ $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$

Cette relation permet de réécrire la loi de décroissance uniquement en fonction de $t_{1/2}$ :

$N(t) = N_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

Après une demi-vie, il reste $N_0/2$ ; après deux, $N_0/4$ ; après trois, $N_0/8$ … La population est divisée par deux à chaque demi-vie, quel que soit l’instant de départ : c’est la signature de la décroissance exponentielle (figure 3).

Figure 3 — La courbe

N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t}

est divisée par deux à chaque demi-vie

t_{1/2}

N_0

, puis

N_0/2

N_0/4

N_0/8

… Cette propriété caractérise toute décroissance exponentielle.

Attention

Après deux demi-vies, il ne reste pas $0\ \%$ des noyaux, mais $N_0/4$ , soit $25\ \%$ . Après quatre demi-vies, il en reste encore $N_0/16 \approx 6\ \%$ : la décroissance radioactive n’atteint jamais exactement zéro en un temps fini.

On définit parfois la constante de temps $\tau = 1/\lambda$ , durée au bout de laquelle il reste une fraction $1/\mathrm{e} \approx 37\ \%$ des noyaux initiaux. Elle vérifie $\tau = t_{1/2}/\ln 2 \approx 1{,}44\, t_{1/2}$ .

6.2 Déterminer λ graphiquement : la représentation semi-logarithmique

En pratique, $\lambda$ n’est pas toujours connue à l’avance : on la détermine à partir de mesures. En prenant le logarithme népérien de la loi de décroissance :

$\ln N(t) = \ln N_0 - \lambda t$

on obtient l’équation d’une droite en fonction de $t$ , de coefficient directeur $-\lambda$ et d’ordonnée à l’origine $\ln N_0$ . Il suffit de porter $\ln N$ (ou $\ln A$ ) en fonction de $t$ : les points s’alignent, et la pente donne directement $-\lambda$ .

Figure 4 — La fonction

\ln(N/N_0)

est une droite de coefficient directeur

-\lambda

en fonction du temps (ici en unités de

t_{1/2}

) : c’est le principe de la détermination expérimentale de

\lambda

à partir de mesures d’activité (voir figure 6, exercice 12).

Méthode — déterminer λ et

t_{1/2}

à partir de mesures

① Mesurer l’activité (ou $N$ ) à plusieurs instants. ② Calculer $\ln A$ (ou $\ln N$ ) pour chaque mesure. ③ Tracer $\ln A$ en fonction de $t$ : les points doivent s’aligner. ④ Lire le coefficient directeur de la droite : il vaut $-\lambda$ . ⑤ En déduire $t_{1/2} = \ln 2/\lambda$ .

6.3 Activité d’un échantillon

Définition

L’activité $A$ d’un échantillon est le nombre de désintégrations qu’il produit par seconde :

$A(t) = \left|\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\right| = \lambda N(t) = A_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t}$

Elle s’exprime en becquerel ( $\text{Bq}$ ), $1\ \text{Bq} = 1$ désintégration par seconde. L’ancienne unité, le curie ( $\text{Ci}$ ), correspond à l’activité d’un gramme de radium 226 : $1\ \text{Ci} = 3{,}7 \times 10^{10}\ \text{Bq}$ .

Attention

La masse $m(t) = m_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t}$ désigne la masse de noyaux parents non encore désintégrés — pas la masse totale de l’échantillon, qui reste quasiment constante (les noyaux parents se transforment en noyaux fils, ils ne disparaissent pas).

Nucléide	$t_{1/2}$	Type	Usage
Phosphore 30	$2{,}5$ min	$\beta^{+}$	historique (Joliot-Curie)
Technétium 99m	$6{,}01$ h	$\gamma$	scintigraphie
Iode 131	$8{,}02$ j	$\beta^{-}$	thyroïde (médecine)
Radon 222	$3{,}8$ j	$\alpha$	risque domestique
Cobalt 60	$5{,}27$ ans	$\beta^{-},\gamma$	radiothérapie
Carbone 14	$5\,730$ ans	$\beta^{-}$	datation (organique)
Potassium 40	$1{,}25\times10^{9}$ ans	CE, $\beta^{-}$	datation (roches)
Uranium 238	$4{,}47\times10^{9}$ ans	$\alpha$	datation (roches)

Exemple — calculer une activité

Un échantillon contient $N=2{,}0 \times 10^{17}$ noyaux de cobalt 60 ( $\lambda = 4{,}17 \times 10^{-9}\ \text{s}^{-1}$ , section 5).

$A = \lambda N = 4{,}17\times10^{-9} \times 2{,}0\times10^{17}$
$\approx$ $8{,}3\times10^{8}\ \text{Bq}$ soit environ $0{,}83$ GBq

Exemple — masse restante après plusieurs demi-vies

Un échantillon de phosphore 30 ( $t_{1/2}=2{,}5$ min) a une masse initiale $m_0=10{,}0$ mg. Quelle masse reste-t-il après $t=10$ min ?

$n = \dfrac{t}{t_{1/2}} = \dfrac{10}{2{,}5} = 4$ demi-vies écoulées
$\Rightarrow$ $m(10) = \dfrac{m_0}{2^{4}} = \dfrac{10{,}0}{16}$
$=$ $0{,}625$ mg

7Datation et applications médicales

La loi de décroissance n’est pas qu’un objet mathématique : c’est un chronomètre naturel, d’une précision remarquable sur des échelles de temps allant de quelques heures à plusieurs milliards d’années.

7.1 Principe de la datation radioactive

Méthode — dater un échantillon par radioactivité

Connaissant la demi-vie $t_{1/2}$ d’un nucléide et une activité (ou quantité) de référence $A_0$ à l’instant initial, la mesure de l’activité actuelle $A$ d’un échantillon permet de remonter à son âge $t$ :

$t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\!\left(\dfrac{A_0}{A}\right) = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\!\left(\dfrac{A_0}{A}\right)$

7.2 Datation au carbone 14

Le carbone 14 se forme en permanence dans la haute atmosphère, lorsque des neutrons issus du rayonnement cosmique percutent des noyaux d’azote : ${}^{1}_{0}\text{n} + {}^{14}_{7}\text{N} \rightarrow {}^{14}_{6}\text{C} + {}^{1}_{1}\text{H}$ . Il s’oxyde en $\text{CO}_2$ , se répartit dans l’atmosphère puis dans les organismes vivants par photosynthèse et chaîne alimentaire. Tant qu’un organisme est vivant, il renouvelle son carbone en permanence : le rapport ${}^{14}\text{C}/{}^{12}\text{C}$ reste quasi constant. À sa mort, les échanges cessent : le carbone 14 restant décroît alors avec $t_{1/2}=5\,730$ ans.

Physique & Co — Willard Libby et le carbone 14

Le chimiste américain Willard Libby met au point la datation au carbone 14 en 1949, ce qui lui vaut le prix Nobel de chimie en 1960. Libby utilisait initialement une demi-vie de $5\,568$ ans ; la valeur admise aujourd’hui, plus précise, est $5\,730$ ans — de nombreux laboratoires publient encore des âges « conventionnels » calculés avec la constante de Libby, puis corrigés.

Exemple — un site archéologique de l’Ennedi (Tchad)

Lors d’une campagne de fouilles dans le massif de l’Ennedi, non loin de peintures rupestres, un fragment de charbon de bois est prélevé et daté. Son activité massique est $A = 0{,}15\ \text{Bq}\cdot\text{g}^{-1}$ de carbone ; l’activité de référence du carbone vivant actuel est $A_0 = 0{,}23\ \text{Bq}\cdot\text{g}^{-1}$ .

$t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\!\left(\dfrac{A_0}{A}\right) = \dfrac{5\,730}{0{,}693}\ln\!\left(\dfrac{0{,}23}{0{,}15}\right)$
$\approx$ $8\,267 \times 0{,}428$
$\approx$ $3{,}5 \times 10^{3}$ anssoit un foyer datant d’environ $3\,500$ ans

Attention — les limites de la méthode

Le carbone 14 ne date que la matière organique (bois, os, charbon, coquillages…), jamais une roche ou un objet métallique. Au-delà d’environ $50\,000$ ans, il ne reste plus assez de carbone 14 pour être mesuré : la méthode devient inutilisable. C’est pourquoi le fossile de Toumaï (Sahelanthropus tchadensis, découvert en 2001 dans le désert du Djourab, au Tchad, par la mission paléontologique franco-tchadienne dirigée par Michel Brunet), vieux d’environ $7$ millions d’années, ne peut pas être daté au carbone 14 : on utilise pour de tels âges des méthodes radiométriques adaptées aux temps géologiques, comme celles ci-dessous.

7.3 Datation potassium-argon et uranium-plomb

Pour des durées bien supérieures à la portée du carbone 14, on utilise des couples radioactifs de demi-vie beaucoup plus longue, présents dans les minéraux des roches elles-mêmes.

Exemple — datation potassium-argon

Le potassium 40 ( $t_{1/2} = 1{,}25\times10^{9}$ ans) se désintègre en argon 40, gaz piégé dans le réseau cristallin depuis la solidification de la roche. L’analyse d’une roche volcanique indique qu’il ne reste plus que le quart du potassium 40 initial.

$\dfrac{N}{N_0} = \dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$ deux demi-vies écoulées
$\Rightarrow$ $t = 2\,t_{1/2} = 2 \times 1{,}25\times10^{9}$
$=$ $2{,}50 \times 10^{9}$ ans

La datation uranium-plomb ( ${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{206}_{82}\text{Pb}$ , $t_{1/2}=4{,}47\times10^{9}$ ans, via la famille radioactive de la section 3) date les roches les plus anciennes, notamment les zircons, jusqu’à l’âge de la Terre elle-même, estimé à $4{,}5$ milliards d’années.

Méthode	Couple	$t_{1/2}$	Matériaux datables
Carbone 14	${}^{14}\text{C} \to {}^{14}\text{N}$	$5\,730$ ans	organique, $< 50\,000$ ans
Potassium-argon	${}^{40}\text{K} \to {}^{40}\text{Ar}$	$1{,}25\times10^{9}$ ans	roches volcaniques
Uranium-plomb	${}^{238}\text{U} \to {}^{206}\text{Pb}$	$4{,}47\times10^{9}$ ans	roches très anciennes, zircons

Figure 5 — Principe graphique de la datation : connaissant

t_{1/2}

, une mesure de l’activité résiduelle

A/A_0

permet de lire, sur la courbe théorique

A(t)=A_0\,2^{-t/t_{1/2}}

, l’âge

t

de l’échantillon — ici, pour

A/A_0=0{,}30

, on lit

t \approx 1{,}7\, t_{1/2}

7.4 Applications médicales

En médecine nucléaire, on distingue deux usages complémentaires des noyaux radioactifs.

La scintigraphie utilise un traceur radioactif émetteur $\gamma$ (technétium 99m, $t_{1/2}=6{,}01$ h) ou $\beta^{+}$ , injecté ou ingéré, qui se fixe préférentiellement sur l’organe étudié (thyroïde, os, cœur…) ; une gamma-caméra externe reconstitue une image de sa répartition. L’iode 131 ( $t_{1/2}=8{,}02$ j) permet d’explorer — et, à plus forte dose, de traiter — la thyroïde.

La radiothérapie utilise au contraire le rayonnement pour détruire les cellules cancéreuses, en ciblant une tumeur avec un faisceau externe (source de cobalt 60, ou accélérateur linéaire) ou une source implantée (curiethérapie). Plusieurs hôpitaux d’Afrique de l’Ouest, notamment au Sénégal, sont équipés de sources de cobalt 60 ou d’accélérateurs linéaires pour ce type de traitement.

7.5 Radioprotection, déchets et effets biologiques

Définition

La dose absorbée $D$ , en gray ( $\text{Gy} = \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$ ), mesure l’énergie déposée par unité de masse de tissu. La dose efficace, en sievert ( $\text{Sv}$ ), pondère cette énergie par la nocivité biologique du rayonnement (un rayonnement $\alpha$ interne est ainsi pondéré $20$ fois plus qu’un rayonnement $\beta$ ou $\gamma$ de même dose absorbée).

La radioprotection repose sur trois leviers simples, directement liés à la figure 2 : limiter le temps d’exposition, maximiser la distance à la source, interposer un écran adapté (papier, aluminium ou plomb selon le rayonnement). À titre de repère, la dose naturelle moyenne reçue est de l’ordre de $2$ à $3\ \text{mSv}$ par an (radon, rayonnement cosmique, radioactivité tellurique et corporelle) ; la réglementation internationale limite l’exposition additionnelle du public à $1\ \text{mSv}$ par an, et celle des travailleurs exposés à $20\ \text{mSv}$ par an en moyenne.

À forte dose, les rayonnements ionisants cassent les liaisons chimiques de l’ADN, provoquant des effets déterministes (brûlures, syndrome d’irradiation aiguë, au-delà d’un seuil) ou stochastiques (risque accru de cancer, sans seuil identifié, mais de probabilité croissant avec la dose). Les déchets radioactifs sont classés selon leur activité et la durée de vie des nucléides qu’ils contiennent : les déchets à vie courte sont stockés le temps de quelques dizaines de demi-vies, jusqu’à activité négligeable ; les déchets à vie longue exigent un confinement de très longue durée.

Fiche mémo

Nucléide ${}^{A}_{Z}\text{X}$ : $A$ nombre de masse (nucléons), $Z$ numéro atomique (protons), $N=A-Z$ neutrons.
Isotopes : même $Z$ , $A$ différent. Vallée de stabilité : $N\approx Z$ (léger) à $N\approx1{,}5Z$ (lourd).
$\alpha$ : ${}^{A}_{Z}\text{X}\to{}^{A-4}_{Z-2}\text{Y}+{}^{4}_{2}\text{He}$ (noyaux lourds, $Z$ supérieur à $82$ environ).
$\beta^{-}$ : ${}^{A}_{Z}\text{X}\to{}^{A}_{Z+1}\text{Y}+{}^{0}_{-1}\text{e}+\overline{\nu}_e$ (excès de neutrons).
$\beta^{+}$ : ${}^{A}_{Z}\text{X}\to{}^{A}_{Z-1}\text{Y}+{}^{0}_{+1}\text{e}+\nu_e$ (excès de protons).
$\gamma$ : ${}^{A}_{Z}\text{Y}^{*}\to{}^{A}_{Z}\text{Y}+\gamma$ (désexcitation, $A$ , $Z$ inchangés).
Lois de Soddy : conservation de $A$ et de $Z$ dans toute désintégration.
$\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t \Rightarrow N(t)=N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ ( $\lambda$ : constante radioactive, $\text{s}^{-1}$ ).
Demi-vie : $t_{1/2}=\dfrac{\ln2}{\lambda}$ ; après $n$ demi-vies, $N=N_0/2^{n}$ .
Activité $A=\lambda N$ en becquerel ( $\text{Bq}$ ) ; $A(t)=A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ ; $m(t)=m_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ (masse de parents restants).
Semi-log : $\ln N=\ln N_0-\lambda t$ , droite de pente $-\lambda$ .
Datation : $t=\dfrac{t_{1/2}}{\ln2}\ln\!\left(\dfrac{A_0}{A}\right)$ — C14 (organique, $<50\,000$ ans), K-Ar et U-Pb (roches, temps géologiques).
Dose absorbée en gray ( $\text{Gy}$ ), dose efficace en sievert ( $\text{Sv}$ ) ; réflexes de radioprotection : écran, distance, temps.

8Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Donne la composition (nombre de protons $Z$ , de neutrons $N$ , nombre de masse $A$ ) des noyaux suivants : ${}^{238}_{92}\text{U}$ ; ${}^{14}_{6}\text{C}$ ; ${}^{60}_{27}\text{Co}$ ; ${}^{131}_{53}\text{I}$ .

Voir le corrigé détaillé

${}^{238}_{92}\text{U}$ : $Z=92$ , $A=238$ , $N=238-92=146$
${}^{14}_{6}\text{C}$ : $Z=6$ , $A=14$ , $N=14-6=8$
${}^{60}_{27}\text{Co}$ : $Z=27$ , $A=60$ , $N=60-27=33$
${}^{131}_{53}\text{I}$ : $Z=53$ , $A=131$ , $N=131-53=78$

Parmi les noyaux ${}^{16}_{8}\text{O}$ , ${}^{17}_{8}\text{O}$ , ${}^{12}_{6}\text{C}$ , ${}^{14}_{6}\text{C}$ , ${}^{23}_{11}\text{Na}$ et ${}^{13}_{6}\text{C}$ , regroupe ceux qui sont isotopes entre eux.

Voir le corrigé détaillé

Des isotopes ont le même numéro atomique $Z$ .

$Z=8$ : ${}^{16}_{8}\text{O}$ et ${}^{17}_{8}\text{O}$ isotopes de l'oxygène
$Z=6$ : ${}^{12}_{6}\text{C}$ , ${}^{14}_{6}\text{C}$ et ${}^{13}_{6}\text{C}$ isotopes du carbone
${}^{23}_{11}\text{Na}$ : $Z=11$ seul représentant, pas d'isotope dans la liste

Le polonium ${}^{210}_{84}\text{Po}$ est un émetteur $\alpha$ . Écris l'équation de sa désintégration.

Voir le corrigé détaillé

${}^{210}_{84}\text{Po} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He}$
$A = 210-4 = 206$ ; $Z = 84-2=82$ $Z=82$ : le plomb (Pb)
$\Rightarrow$ ${}^{210}_{84}\text{Po} \rightarrow {}^{206}_{82}\text{Pb} + {}^{4}_{2}\text{He}$

L'iode ${}^{131}_{53}\text{I}$ est un émetteur $\beta^{-}$ . Écris l'équation de sa désintégration.

Voir le corrigé détaillé

${}^{131}_{53}\text{I} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Y} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \overline{\nu}_e$
$A=131$ ; $Z=53+1=54$ $Z=54$ : le xénon (Xe)
$\Rightarrow$ ${}^{131}_{53}\text{I} \rightarrow {}^{131}_{54}\text{Xe} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \overline{\nu}_e$

L'iode 131 a une demi-vie $t_{1/2}=8{,}02$ jours. 1) Calcule sa constante radioactive $\lambda$ , en $\text{j}^{-1}$ puis en $\text{s}^{-1}$ . 2) Un échantillon contient $N=3{,}0\times10^{15}$ noyaux d'iode 131 : calcule son activité $A$ .

Voir le corrigé détaillé

$\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{8{,}02}$
$\approx$ $0{,}0864\ \text{j}^{-1}$
avec $1$ j $=86\,400$ s
$\approx$ $1{,}00\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}$
$A = \lambda N = 1{,}00\times10^{-6} \times 3{,}0\times10^{15}$
$=$ $3{,}0\times10^{9}\ \text{Bq}$

Niveau 2 — Approfondissement

Le sodium ${}^{22}_{11}\text{Na}$ est un émetteur $\beta^{+}$ . 1) Écris l'équation de sa désintégration. 2) L'isotope stable du sodium est ${}^{23}_{11}\text{Na}$ ( $N=12$ ). En comparant le nombre de neutrons de ${}^{22}_{11}\text{Na}$ à celui de l'isotope stable, explique qualitativement pourquoi ${}^{22}_{11}\text{Na}$ est émetteur $\beta^{+}$ .

Voir le corrigé détaillé

${}^{22}_{11}\text{Na} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Y} + {}^{0}_{+1}\text{e} + \nu_e$
$A=22$ ; $Z=11-1=10$ $Z=10$ : le néon (Ne)
$\Rightarrow$ ${}^{22}_{11}\text{Na} \rightarrow {}^{22}_{10}\text{Ne} + {}^{0}_{+1}\text{e} + \nu_e$

2. Le sodium 22 possède $N=22-11=11$ neutrons, soit un neutron de moins que l'isotope stable ${}^{23}_{11}\text{Na}$ ( $N=12$ ). À $Z$ fixé, un déficit de neutrons correspond à un excès relatif de protons : le noyau se rapproche de la vallée de stabilité en convertissant un proton en neutron, ce qui est précisément la radioactivité $\beta^{+}$ .

Un échantillon de phosphore 32 ( $t_{1/2}=14{,}3$ jours, émetteur $\beta^{-}$ ) a une masse initiale $m_0=80\ \mu\text{g}$ . 1) Calcule la masse restante après $t=50$ jours. 2) Au bout de combien de temps ne reste-t-il que $5{,}0\ \mu\text{g}$ ?

Voir le corrigé détaillé

$\lambda = \dfrac{\ln 2}{14{,}3} \approx 0{,}0485\ \text{j}^{-1}$
$m(50) = m_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t} = 80 \times \mathrm{e}^{-0{,}0485\times50}$
$\approx$ $7{,}1\ \mu\text{g}$

$m_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t} = 5{,}0 \Rightarrow \mathrm{e}^{-\lambda t} = \dfrac{5{,}0}{80} = \dfrac{1}{16}$
$\dfrac{1}{16} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}$ quatre demi-vies
$\Rightarrow$ $t = 4\,t_{1/2} = 4 \times 14{,}3$
$=$ $57{,}2$ jours

Une source radioactive a une activité $A_1=8{,}0\times10^{6}\ \text{Bq}$ à un instant pris comme origine, puis $A_2=5{,}0\times10^{6}\ \text{Bq}$ exactement $6{,}0$ heures plus tard. Détermine $\lambda$ puis $t_{1/2}$ de cette source.

Voir le corrigé détaillé

L'activité suit la même loi que $N$ : $A(t) = A_1\, \mathrm{e}^{-\lambda t}$ , donc $A_2 = A_1\, \mathrm{e}^{-\lambda \Delta t}$ .

$\dfrac{A_1}{A_2} = \mathrm{e}^{\lambda \Delta t}$
$\Rightarrow$ $\lambda = \dfrac{1}{\Delta t}\ln\!\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right) = \dfrac{1}{6{,}0}\ln\!\left(\dfrac{8{,}0}{5{,}0}\right)$
$\approx$ $0{,}078\ \text{h}^{-1}$
$t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}078}$
$\approx$ $8{,}8$ hordre de grandeur du technétium 99m ( $6{,}01$ h)

La famille radioactive de l'uranium 238 aboutit au plomb 206 stable, après $n_\alpha$ désintégrations $\alpha$ et $n_\beta$ désintégrations $\beta^{-}$ . Détermine $n_\alpha$ et $n_\beta$ .

Voir le corrigé détaillé

Chaque $\alpha$ diminue $A$ de $4$ et $Z$ de $2$ ; chaque $\beta^{-}$ laisse $A$ inchangé et augmente $Z$ de $1$ .

conservation de $A$ : $238 = 206 + 4\,n_\alpha$
$\Rightarrow$ $n_\alpha = \dfrac{32}{4} = 8$
conservation de $Z$ : $92 = 82 + 2\,n_\alpha - n_\beta$
$\Rightarrow$ $n_\beta = 2\times8 - (92-82) = 16-10$
$=$ $6$

La famille de l'uranium 238 comporte donc 8 désintégrations $\alpha$ et 6 désintégrations $\beta^{-}$ , confirmant la propriété de la section 3.

Niveau 3 — Type bac

Une source de cobalt 60 utilisée en radiothérapie a une activité initiale $A_0=2{,}00\times10^{14}\ \text{Bq}$ et une demi-vie $t_{1/2}=5{,}27$ ans.

Écris l'équation de désintégration du cobalt 60, sachant qu'elle produit un noyau de nickel dans un état excité.
Calcule l'activité de la source après $3$ années d'utilisation.
La source doit être remplacée lorsque son activité descend au quart de sa valeur initiale. Au bout de combien d'années cela se produit-il ?

Voir le corrigé détaillé

${}^{60}_{27}\text{Co} \rightarrow {}^{60}_{28}\text{Ni}^{*} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \overline{\nu}_e \qquad \text{puis} \qquad {}^{60}_{28}\text{Ni}^{*} \rightarrow {}^{60}_{28}\text{Ni} + \gamma$

$\lambda = \dfrac{\ln 2}{5{,}27} \approx 0{,}132\ \text{an}^{-1}$
$A(3) = A_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t} = 2{,}00\times10^{14} \times \mathrm{e}^{-0{,}132\times3}$
$\approx$ $1{,}35\times10^{14}\ \text{Bq}$

3. L'activité est réduite au quart après deux demi-vies successives ( $1/4=(1/2)^2$ ) :

$t = 2\,t_{1/2} = 2\times5{,}27$
$=$ $10{,}5$ ans

Restitution organisée de connaissances.

En partant de l'hypothèse $\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t$ , démontre que $N(t)=N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ .
Le radon 222, gaz radioactif d'origine naturelle, a pour demi-vie $t_{1/2}=3{,}8$ jours. Calcule le temps nécessaire pour que $90\ \%$ d'un échantillon de radon 222 se soit désintégré.

Voir le corrigé détaillé

1. Démonstration identique à celle de la section 5.2 (séparation des variables, puis intégration entre $0$ et $t$ ) :

$\mathrm{d}N = -\lambda N\,\mathrm{d}t \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}N}{N}=-\lambda\,\mathrm{d}t$
$\displaystyle\int_{N_0}^{N(t)}\dfrac{\mathrm{d}N'}{N'} = \int_0^t -\lambda\,\mathrm{d}t'$
$\Rightarrow$ $\ln N(t)-\ln N_0 = -\lambda t$
$\Rightarrow$ $N(t)=N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$

2. « $90\ \%$ désintégrés » signifie qu'il reste $10\ \%$ , soit $N/N_0=0{,}10$ .

$\mathrm{e}^{-\lambda t} = 0{,}10 \Rightarrow \lambda t = \ln 10$
$\Rightarrow$ $t = \dfrac{\ln 10}{\ln 2}\,t_{1/2} \approx 3{,}32\,t_{1/2}$ indépendant de l'isotope choisi
$t \approx 3{,}32 \times 3{,}8$
$\approx$ $12{,}6$ jours

Le tableau suivant donne l'activité $A$ d'un échantillon d'iode 131 mesurée à intervalles réguliers.

$t$ (j)	$0$	$4$	$8$	$12$	$16$	$20$	$24$
$A$ ( $\times10^{6}\ \text{Bq}$ )	$10{,}0$	$7{,}08$	$5{,}01$	$3{,}54$	$2{,}51$	$1{,}78$	$1{,}26$

Calcule $\ln(A/A_0)$ pour $t=0$ et $t=24$ j.
Les points sont représentés figure 6 : détermine graphiquement le coefficient directeur de la droite, puis $\lambda$ et $t_{1/2}$ .
Compare $t_{1/2}$ à la valeur de référence de l'iode 131 ( $8{,}02$ j).

Voir le corrigé détaillé

$t=0$ : $\ln(A/A_0) = \ln(10{,}0/10{,}0) = 0$
$t=24$ : $\ln(A/A_0) = \ln(1{,}26/10{,}0) = \ln(0{,}126)$
$\approx$ $-2{,}07$

Figure 6 — Points expérimentaux

\ln(A/A_0)

en fonction de

t

pour l'iode 131 : leur alignement confirme la loi de décroissance exponentielle.

2. En lisant les coordonnées des deux points extrêmes du graphique :

pente $= \dfrac{-2{,}07-0}{24-0}$
$\approx$ $-0{,}0863\ \text{j}^{-1}$
$\lambda \approx 0{,}0863\ \text{j}^{-1}$ pente $=-\lambda$
$t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0863}$
$\approx$ $8{,}03$ j

3. La valeur trouvée graphiquement ( $8{,}03$ j) est cohérente, à l'incertitude de lecture près, avec la valeur de référence $8{,}02$ j : la méthode semi-logarithmique est validée.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Datation d'un site archéologique au Tchad. Lors d'une campagne de fouilles menée près d'Abéché, dans la région de l'Ennedi, une équipe d'archéologues met au jour, dans une sépulture néolithique proche d'un site orné de peintures rupestres, un fragment d'os. Le collagène qui y est extrait présente une activité massique $A=0{,}092\ \text{Bq}\cdot\text{g}^{-1}$ de carbone. L'activité massique de référence du carbone 14 dans la matière vivante actuelle est $A_0=0{,}23\ \text{Bq}\cdot\text{g}^{-1}$ , et $t_{1/2}=5\,730$ ans.

Calcule l'âge de l'ossement.
Ce résultat est-il compatible avec une occupation durant la période néolithique saharienne (période humide du Sahara, entre environ $9\,500$ et $4\,000$ ans avant le présent) ?
Explique pourquoi cette méthode ne permettrait pas de dater directement le fossile de Toumaï ( $\approx 7$ millions d'années), découvert dans le désert du Djourab, également au Tchad.

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{A_0}{A} = \dfrac{0{,}23}{0{,}092} = 2{,}50$
$t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\!\left(\dfrac{A_0}{A}\right) = \dfrac{5\,730}{0{,}693}\times\ln(2{,}50)$
$\approx$ $8\,267 \times 0{,}916$
$\approx$ $7{,}57\times10^{3}$ anssoit environ $7\,570$ ans

2. Un âge d'environ $7\,570$ ans s'inscrit bien dans la période néolithique saharienne humide ( $9\,500$ à $4\,000$ ans avant le présent), durant laquelle le massif de l'Ennedi était occupé par des populations de chasseurs-pasteurs — cohérent avec la présence de peintures rupestres et de sépultures dans cette région.

3. Au-delà d'environ $50\,000$ ans, il ne reste plus assez de carbone 14 dans un échantillon pour que son activité soit mesurable : la méthode devient inexploitable. Or Toumaï, âgé d'environ $7$ millions d'années, a un âge $140$ fois supérieur à cette limite ( $7\times10^{6}/5\times10^{4}=140$ ) — la quantité de carbone 14 restante y est depuis longtemps nulle en pratique. Sa datation repose sur d'autres méthodes radiométriques, adaptées aux temps géologiques (potassium-argon, par exemple, sur des niveaux volcaniques associés).

Le détecteur de fumée d'Ibrahim (Bamako). Ibrahim installe dans son salon, à Bamako, un détecteur de fumée ionique contenant une source scellée d'américium 241 ( $t_{1/2}=432{,}2$ ans, masse molaire $M\approx241\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$ ), de masse $m_0=0{,}29\ \mu\text{g}$ .

Calcule le nombre $N_0$ de noyaux d'américium 241 initialement présents dans la source.
Calcule l'activité initiale $A_0$ de la source, en becquerels.
Après $15$ ans d'utilisation, l'activité de la source a-t-elle significativement diminué ? Justifie sans calcul complexe.

Voir le corrigé détaillé

$n = \dfrac{m_0}{M} = \dfrac{0{,}29\times10^{-6}}{241}$
$N_0 = n\,N_A = \dfrac{0{,}29\times10^{-6}}{241}\times 6{,}02\times10^{23}$
$\approx$ $7{,}2\times10^{14}$ noyaux

$\lambda = \dfrac{\ln 2}{432{,}2 \times 3{,}156\times10^{7}}$
$\approx$ $5{,}08\times10^{-11}\ \text{s}^{-1}$
$A_0 = \lambda N_0 \approx 5{,}08\times10^{-11}\times7{,}2\times10^{14}$
$\approx$ $3{,}7\times10^{4}\ \text{Bq}$ soit environ $37$ kBq

3. Non : $15$ ans représentent moins de $4\ \%$ de la demi-vie ( $432{,}2$ ans). L'activité de la source reste donc quasiment constante sur toute la durée de vie pratique du détecteur — s'il doit être changé après une dizaine d'années, ce n'est pas parce que sa source radioactive « s'épuise », mais pour des raisons mécaniques ou d'encrassement par la poussière.

Scintigraphie et radioprotection (Dakar). Un patient reçoit, dans un service de médecine nucléaire à Dakar, une injection de technétium 99m ( $t_{1/2}=6{,}01$ h) d'activité initiale $A_0=800\ \text{MBq}$ , pour une scintigraphie osseuse. Les recommandations de radioprotection imposent d'éviter tout contact prolongé avec un nourrisson tant que l'activité résiduelle dans l'organisme dépasse un seuil simplifié de $50\ \text{MBq}$ .

Au bout de combien de temps le patient peut-il, selon ce critère, reprendre un contact prolongé avec son nourrisson ?
En réalité, ce délai est encore plus court : pourquoi ?

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{A_0}{A_{\text{seuil}}} = \dfrac{800}{50} = 16 = 2^{4}$ exactement quatre demi-vies
$\Rightarrow$ $t = 4\,t_{1/2} = 4\times6{,}01$
$=$ $24{,}0$ hsoit environ une journée

2. Ce calcul ne tient compte que de la décroissance physique du technétium 99m. En réalité, l'organisme élimine aussi une partie du traceur par voie urinaire : cette élimination biologique s'ajoute à la décroissance physique, ce qui raccourcit encore le délai réel (on parle de période effective, toujours inférieure à la période physique seule).

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Radioactivité et décroissance

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Dans la notation $^A_Z\text{X}$ d'un noyau, les lettres $A$ et $Z$ représentent respectivement :

A

= nombre de masse (nombre total de nucléons),

Z

= numéro atomique (nombre de protons)

A

= numéro atomique,

Z

= nombre de masse

A

= nombre de neutrons,

Z

= nombre de protons

A

= nombre de protons,

Z

= nombre de neutrons

Explication : Dans

^A_Z\text{X}

A

(en haut) est le nombre total de nucléons,

Z

(en bas) le nombre de protons. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre — piège à éviter absolument.

Deux noyaux sont des isotopes s'ils ont :

le même nombre de neutrons

N

, mais des numéros atomiques

Z

différents le même nombre de masse

A

, mais des numéros atomiques

Z

différents le même numéro atomique

Z

(donc le même élément chimique), mais des nombres de neutrons différents le même numéro atomique

Z

et le même nombre de neutrons

N

Explication : Des isotopes partagent le même

Z

, donc le même élément chimique, mais diffèrent par leur nombre de neutrons

N

, donc par leur nombre de masse

A

. Exemple :

^{12}_{6}\text{C}

^{13}_{6}\text{C}

^{14}_{6}\text{C}

À l'intérieur d'un noyau, la cohésion résulte de la compétition entre :

la gravité, qui attire les nucléons, et le magnétisme, qui les repousse l'interaction forte, à courte portée, qui attire tous les nucléons entre eux, et la répulsion électrostatique entre protons, à longue portée uniquement l'interaction forte, la répulsion électrostatique étant négligeable dans le noyau uniquement la répulsion électrostatique, qui assure à elle seule la stabilité du noyau

Explication : L'interaction forte, à très courte portée, doit compenser la répulsion coulombienne entre protons ; c'est pourquoi un noyau lourd a besoin de proportionnellement plus de neutrons que de protons.

Tout noyau de numéro atomique $Z$ supérieur à environ $82$ (plus lourd que le plomb) :

est nécessairement stable, quel que soit son nombre de neutrons ne peut se désintégrer que par radioactivité

\beta^{+}

n'existe pas dans la nature est instable : la radioactivité

\alpha

devient inévitable

Explication : Au-delà de

Z\approx82

, aucun équilibre

(N,Z)

ne suffit plus à assurer la cohésion du noyau via l'interaction forte : le noyau évacue de la matière par paquets de quatre nucléons (radioactivité

\alpha

La radioactivité, phénomène par lequel un noyau instable se transforme spontanément, est :

spontanée, aléatoire et inéluctable : rien (température, pression, réaction chimique) ne peut l'accélérer ni la retarder déclenchée par une élévation de température du noyau accélérée par une réaction chimique appropriée prévisible : on peut calculer à l'avance l'instant exact où un noyau donné se désintègre

Explication : Ce sont les trois caractéristiques essentielles de la radioactivité : impossible de prévoir quand un noyau donné se désintègre, et impossible d'influer sur le phénomène par un moyen extérieur.

L'équation générale d'une désintégration $\alpha$ s'écrit :

^A_Z\text{X} \to {}^{A}_{Z+1}\text{Y} + {}^0_{-1}\text{e}

^A_Z\text{X} \to {}^{A}_{Z-1}\text{Y} + {}^0_{+1}\text{e}

^A_Z\text{X} \to {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + {}^4_2\text{He}

^A_Z\text{X} \to {}^{A}_{Z}\text{Y} + \gamma

Explication : Le noyau instable émet un noyau d'hélium

^4_2\text{He}

(particule

\alpha

) : le nombre de masse diminue de

4

, le numéro atomique de

2

L'équation générale d'une désintégration $\beta^{-}$ s'écrit :

^A_Z\text{X} \to {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + {}^4_2\text{He}

^A_Z\text{X} \to {}^{A}_{Z+1}\text{Y} + {}^0_{-1}\text{e} + \overline{\nu}_e

^A_Z\text{X} \to {}^{A}_{Z}\text{Y} + \gamma

^A_Z\text{X} \to {}^{A}_{Z-1}\text{Y} + {}^0_{+1}\text{e} + \nu_e

Explication : Un neutron se transforme en proton, avec émission d'un électron

^0_{-1}\text{e}

et d'un antineutrino :

A

est inchangé,

Z

augmente d'une unité.

La radioactivité $\beta^{+}$ correspond à :

la transformation d'un neutron en proton, avec émission d'un électron l'émission d'un noyau d'hélium l'émission d'un photon très énergétique, sans changement de

A

ni de

Z

la transformation d'un proton en neutron, avec émission d'un positon

Explication : Elle concerne les noyaux à excès de protons : un proton devient un neutron, avec émission d'un positon

^0_{+1}\text{e}

(antiparticule de l'électron) et d'un neutrino.

Lors d'une émission $\gamma$ , le noyau excité $^A_Z\text{Y}^{*}$ :

émet un photon très énergétique, sans qu'aucun nucléon ne soit éjecté :

A

Z

restent inchangés éjecte un noyau d'hélium, donc

A

Z

diminuent transforme un proton en neutron transforme un neutron en proton

Explication :

^A_Z\text{Y}^{*} \to {}^A_Z\text{Y} + \gamma

: le noyau se désexcite sans changer de nature, en libérant l'excédent d'énergie sous forme d'un photon

\gamma

Au cours de toute réaction nucléaire spontanée, les lois de conservation de Soddy imposent la conservation :

uniquement du nombre de masse

A

uniquement du numéro atomique

Z

du nombre de masse

A

et du numéro atomique

Z

ni de

A

ni de

Z

, seule l'énergie totale étant conservée

Explication :

A

(nombre total de nucléons) et

Z

(charge électrique totale) se conservent séparément de chaque côté de l'équation de désintégration : c'est ce qui permet de trouver le noyau fils.

Le radium $^{226}_{88}\text{Ra}$ est un émetteur $\alpha$ . Le noyau fils obtenu est :

^{230}_{90}\text{Th}

^{222}_{86}\text{Rn}

^{226}_{89}\text{Ac}

^{222}_{84}\text{Po}

Explication :

226=A+4 \Rightarrow A=222

;

88=Z+2 \Rightarrow Z=86

, soit le radon (Rn) :

^{226}_{88}\text{Ra} \to {}^{222}_{86}\text{Rn} + {}^4_2\text{He}

Le thorium $^{234}_{90}\text{Th}$ se transforme en protactinium $^{234}_{91}\text{Pa}$ . Ce type de désintégration est :

une radioactivité

\alpha

, car un noyau d'hélium a été éjecté une radioactivité

\beta^{+}

, car

Z

diminue d'une unité une émission

\gamma

, car

A

Z

sont inchangés une radioactivité

\beta^{-}

, car

A

est inchangé et

Z

augmente d'une unité

Explication :

A

reste égal à

234

(aucun nucléon éjecté, donc pas de radioactivité

\alpha

) ;

Z

passe de

90

91

: un neutron s'est transformé en proton, c'est une désintégration

\beta^{-}

Parmi les trois rayonnements radioactifs, lequel est le plus pénétrant, jamais totalement arrêté et nécessitant plusieurs centimètres de plomb pour être atténué ?

le rayonnement

\gamma

le rayonnement

\alpha

le rayonnement

\beta

aucun des trois : tous sont arrêtés par une simple feuille de papier

Explication : Le rayonnement

\alpha

est arrêté par une feuille de papier, le

\beta

par quelques mm d'aluminium ; le

\gamma

, constitué de photons très énergétiques, n'est jamais totalement arrêté, même par une forte épaisseur de plomb.

La loi de décroissance radioactive s'écrit, avec $N_0$ le nombre de noyaux à $t=0$ :

N(t) = N_0 - \lambda t

N(t) = N_0\, \mathrm{e}^{\lambda t}

N(t) = N_0\, \mathrm{e}^{-\lambda t}

N(t) = \dfrac{N_0}{\lambda t}

Explication : Cette loi se déduit de l'équation différentielle

\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t

: chaque noyau a, à tout instant, la même probabilité

\lambda\,\mathrm{d}t

de se désintégrer.

La constante radioactive $\lambda$ d'un nucléide :

augmente si l'on chauffe l'échantillon est une constante purement nucléaire, indépendante de la température, de la pression ou de l'état chimique du noyau diminue si l'on comprime l'échantillon dépend de l'état chimique dans lequel se trouve le noyau

Explication : Contrairement à une constante de vitesse en cinétique chimique,

\lambda

est une propriété exclusivement nucléaire : c'est cette universalité qui rend la datation radioactive fiable.

La demi-vie $t_{1/2}$ d'un nucléide est reliée à la constante radioactive $\lambda$ par :

t_{1/2} = \dfrac{\lambda}{\ln 2}

t_{1/2} = \lambda \times \ln 2

t_{1/2} = \dfrac{1}{\lambda \ln 2}

t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}

Explication : En posant

N(t_{1/2})=N_0/2

dans

N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t}

, on obtient

\mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}}=1/2

, donc

t_{1/2}=\ln2/\lambda

Un échantillon de phosphore 30 ( $t_{1/2}=2{,}5\ \text{min}$ ) a une masse initiale $m_0=8{,}0\ \text{mg}$ . Quelle masse reste-t-il après $7{,}5\ \text{min}$ (soit trois demi-vies) ?

1{,}0\ \text{mg}

4{,}0\ \text{mg}

2{,}0\ \text{mg}

0{,}50\ \text{mg}

Explication : Après

n

demi-vies, il reste

m_0/2^{n}

. Ici

n=3

m = \dfrac{8{,}0}{2^{3}} = \dfrac{8{,}0}{8}

= 1{,}0\ \text{mg}

Après deux demi-vies écoulées, la fraction de noyaux radioactifs encore présents (non désintégrés) est :

0\ \%

(tous désintégrés)

50\ \%

25\ \%

75\ \%

Explication : Piège classique : après deux demi-vies, il reste

N_0/4

, soit

25\ \%

— pas

0\ \%

. La décroissance radioactive n'atteint jamais exactement zéro en un temps fini.

L'activité $A(t)$ d'un échantillon radioactif, exprimée en becquerels, est reliée au nombre de noyaux $N(t)$ par :

A(t) = \dfrac{N(t)}{\lambda}

A(t) = \lambda\,N(t)

A(t) = \lambda + N(t)

A(t) = N(t)^{2}\lambda

Explication : L'activité est le nombre de désintégrations par seconde :

A(t)=\left|\mathrm{d}N/\mathrm{d}t\right|=\lambda N(t)

, en becquerels (

1\ \text{Bq}=1

désintégration par seconde).

Dans le massif de l'Ennedi, au Tchad, un fragment de charbon de bois a une activité massique $A=0{,}15\ \text{Bq·g}^{-1}$ , contre $A_0=0{,}23\ \text{Bq·g}^{-1}$ pour du carbone vivant actuel ( $t_{1/2}$ du carbone 14 $=5\,730$ ans). L'âge du fragment vaut environ :

350

ans

35\,000

ans

5\,730

ans

3\,500

ans

Explication :

t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln2}\ln\!\left(\dfrac{A_0}{A}\right) = \dfrac{5\,730}{0{,}693}\ln\!\left(\dfrac{0{,}23}{0{,}15}\right)

\approx 8\,267 \times 0{,}428 \approx 3\,500

ans.