Oscillateurs mécaniques

Étudier le pendule élastique et le pendule simple.

Physique Terminale Chapitre 3 / 11 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Établir l'équation différentielle d'un oscillateur
Calculer une période propre
Réaliser un bilan énergétique d'oscillation

Un pendule d'horloge qui balance imperturbablement, un amortisseur de voiture qui absorbe les creux de la route, une corde de guitare qui vibre après avoir été pincée, un immeuble qui oscille doucement sous l'effet du vent ou d'une secousse sismique : tous ces systèmes ont un point commun. Écartés de leur position d'équilibre, ils y reviennent non pas d'un coup, mais en oscillant autour d'elle, dans un mouvement de va-et-vient qui se répète. C'est ce comportement, à la fois universel et d'une remarquable régularité mathématique, que tu vas étudier dans ce chapitre.

Jusqu'ici, tu as surtout décrit des mouvements : circulaire uniforme, chute libre, projectile. Ce chapitre change de registre : tu vas apprendre à établir, à partir de la deuxième loi de Newton, l'équation différentielle qui gouverne un oscillateur, puis à exploiter sa solution mathématique. C'est un pas important vers la physique de Terminale, où l'on ne se contente plus de décrire un mouvement : on le déduit rigoureusement des forces qui le produisent.

Deux systèmes serviront de fil conducteur : le pendule élastique (une masse accrochée à un ressort) et le pendule simple (une masse suspendue à un fil). Tu verras qu'en dépit de leur apparence différente, ils obéissent à la même famille d'équations et partagent une propriété étonnante, l'isochronisme des petites oscillations, découverte par Galilée en observant le lustre d'une cathédrale.

Tu termineras par une ouverture vers le monde réel : aucun oscillateur ne bat éternellement, les frottements finissent par l'arrêter — sauf si on l'entretient, ou si on le pousse à sa fréquence propre, avec le risque de résonance que tout ingénieur redoute. De l'horloge comtoise aux amortisseurs de taxi de Dakar, en passant par les ponts qui s'effondrent, ce chapitre très mathématique en apparence est partout dans ta vie quotidienne.

1Oscillateur harmonique : équation différentielle

Avant d'écrire la moindre équation, mettons-nous d'accord sur le vocabulaire : il va te servir pendant tout le chapitre, et bien au-delà.

Définition

Un oscillateur mécanique est un système matériel qui, écarté de sa position d'équilibre stable puis abandonné à lui-même, effectue autour de cette position un mouvement de va-et-vient périodique sous l'effet d'une force de rappel.

Les oscillations sont dites libres lorsque le système évolue seul après le lâcher ; amorties lorsque des frottements dissipent progressivement son énergie mécanique ; forcées lorsqu'une action extérieure périodique entretient le mouvement malgré les frottements.

Définition — grandeurs d'une oscillation

Pour une grandeur $x(t)$ qui oscille périodiquement :

la période propre $T_0$ (en $\text{s}$ ) est la durée d'une oscillation complète ;
la fréquence propre $f_0 = \dfrac{1}{T_0}$ (en $\text{Hz}$ ) est le nombre d'oscillations par seconde ;
l'amplitude $X_m > 0$ est la valeur maximale de $|x(t)|$ ;
$\omega_0 t + \varphi$ (en $\text{rad}$ ) est la phase à l'instant $t$ , et $\varphi$ la phase à l'origine (valeur à $t=0$ ) ;
$\omega_0 = \dfrac{2\pi}{T_0} = 2\pi f_0$ (en $\text{rad·s}^{-1}$ ) est la pulsation propre.

1.1 Mise en équation : la 2^e loi de Newton

Prenons le système le plus simple : un solide $(S)$ de masse $m$ , assimilable à un point matériel, fixé à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives de raideur $k$ (en $\text{N·m}^{-1}$ ), l'autre extrémité étant fixée à un mur. $(S)$ coulisse sans frottement sur un support horizontal. On repère sa position par l'abscisse $x$ , mesurée à partir de la position d'équilibre $O$ sur un axe horizontal orienté dans le sens de l'allongement.

Figure 1 — Le solide, écarté d'une longueur

x>0

de sa position d'équilibre

O

, est soumis à son poids

\vec{P}

, à la réaction

\vec{N}

du support (qui se compensent) et à la force de rappel élastique

\vec{T}

, seule à posséder une composante horizontale.

Démonstration — équation différentielle du pendule élastique horizontal

Système : le solide $(S)$ , de masse $m$ . Référentiel : terrestre, supposé galiléen. Bilan des forces à un instant où l'abscisse vaut $x$ : le poids $\vec{P}$ , la réaction normale $\vec{N}$ , et la force de rappel élastique $\vec{T} = -kx\,\vec{\imath}$ (loi de Hooke : elle s'oppose toujours à l'allongement).

$m\vec{a} = \vec{P} + \vec{N} + \vec{T}$ 2^e loi de Newton
projection sur l'axe $(Ox)$ $\vec{P}$ et $\vec{N}$ , verticaux, se compensent : composante nulle sur $(Ox)$
$\Rightarrow$ $m\ddot{x} = -kx$
$\Rightarrow$ $\ddot{x} + \dfrac{k}{m}x = 0$

En posant $\omega_0^{2} = \dfrac{k}{m}$ , on obtient la forme canonique de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique : $\ddot{x} + \omega_0^{2}x = 0$ .

Propriété — solution de l'oscillateur harmonique

La solution générale de $\ddot{x} + \omega_0^{2}x = 0$ est $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$ , où $X_m>0$ et $\varphi$ sont deux constantes fixées par les conditions initiales, et $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ ne dépend, elle, que du système $\{$ ressort, masse $\}$ .

Vérifions-le en dérivant deux fois :

$x(t) = X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)$
$\Rightarrow$ $\dot{x}(t) = -X_m\omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi)$
$\Rightarrow$ $\ddot{x}(t) = -X_m\omega_0^{2}\cos(\omega_0 t+\varphi) = -\omega_0^{2}x(t)$

On a bien $\ddot{x}+\omega_0^{2}x=0$ , quelles que soient les constantes $X_m$ et $\varphi$ : C.Q.F.D. La période propre s'en déduit :

$T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Cette durée ne dépend que de $m$ et $k$ , jamais de l'amplitude $X_m$ : c'est l'isochronisme des oscillations, une propriété que tu retrouveras avec le pendule simple.

1.2 Déterminer $X_m$ et $\varphi$ à partir des conditions initiales

Méthode — trouver

X_m

\varphi

Deux inconnues, $X_m$ et $\varphi$ : il faut deux équations. On les obtient en écrivant $x(0)$ et $\dot{x}(0)$ d'après l'énoncé, puis en les identifiant à $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ et $\dot{x}(t)=-X_m\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi)$ pris en $t=0$ . On résout, en n'oubliant pas que $X_m>0$ .

Exemple — lâcher sans vitesse initiale

Un pendule élastique horizontal a une masse $m=200\ \text{g}$ et une raideur $k=20\ \text{N·m}^{-1}$ . On l'écarte de $x_0=5\ \text{cm}$ et on le lâche sans vitesse initiale à $t=0$ . Détermine $x(t)$ .

$\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{20}{0{,}200}}=\sqrt{100}=10\ \text{rad·s}^{-1}$
$x(0)=X_m\cos\varphi=0{,}05$ m
$\dot{x}(0)=-X_m\omega_0\sin\varphi=0 \Rightarrow \sin\varphi=0$ $X_m\neq0$ , $\omega_0\neq0$
$\Rightarrow$ $\varphi=0$ ou $\varphi=\pi$
si $\varphi=\pi$ : $X_m\cos\pi=-X_m=0{,}05$ donnerait $X_m<0$ : impossible
$\Rightarrow$ $\varphi=0$ et $X_m=0{,}05\ \text{m}=5\ \text{cm}$

D'où $x(t)=5\cos(10t)$ ( $x$ en cm, $t$ en s), de période $T_0=\dfrac{2\pi}{10}\approx0{,}63\ \text{s}$ .

Exemple — lancer depuis l'équilibre

Même pendule ( $\omega_0=10\ \text{rad·s}^{-1}$ ), lancé depuis $x(0)=0$ avec une vitesse $v_0=0{,}4\ \text{m·s}^{-1}$ dans le sens des $x$ positifs. Détermine $x(t)$ .

$x(0)=X_m\cos\varphi=0 \Rightarrow \cos\varphi=0$ $X_m\neq0$
$\Rightarrow$ $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$ ou $\varphi=-\dfrac{\pi}{2}$
$\dot{x}(0)=-X_m\omega_0\sin\varphi=v_0=0{,}4>0 \Rightarrow \sin\varphi<0$ $X_m,\omega_0>0$
$\Rightarrow$ $\varphi=-\dfrac{\pi}{2}$ et $X_m\omega_0=0{,}4$
$\Rightarrow$ $X_m=\dfrac{0{,}4}{10}=0{,}04\ \text{m}=4\ \text{cm}$

D'où $x(t)=4\cos\!\left(10t-\dfrac{\pi}{2}\right)=4\sin(10t)$ (cm). Retiens ce cas : un départ écarté sans vitesse donne une solution en cosinus ; un départ de l'équilibre avec vitesse donne une solution en sinus.

Attention

Ne confonds jamais $T_0$ et $X_m$ : la période propre ne dépend que de $m$ et $k$ (ou de $l$ et $g$ pour le pendule simple), jamais des conditions initiales. À l'inverse, $X_m$ et $\varphi$ dépendent uniquement de la façon dont on lance l'oscillateur. Autre piège classique : convertis les grammes en kilogrammes et les centimètres en mètres avant de calculer $\omega_0$ .

Physique & Co — L'anagramme de Hooke

En 1676, le savant anglais Robert Hooke énonce la loi qui porte son nom, mais la publie sous la forme d'une anagramme latine sibylline : ceiiinosssttuv. Deux ans plus tard, en 1678, il en révèle la clé : « Ut tensio, sic vis », « telle est l'extension, telle est la force » — la proportionnalité entre la force exercée par un ressort et son allongement, fondement même du pendule élastique.

Hooke, rival acharné d'Isaac Newton sur la théorie de la gravitation, cachait ainsi ses découvertes le temps de les approfondir : une pratique courante chez les savants du XVII^e siècle pour s'assurer la priorité d'une invention sans en dévoiler aussitôt le contenu.

2Pendule élastique horizontal et vertical

Tu viens d'établir l'équation du pendule élastique horizontal. Que se passe-t-il si on suspend le même ressort verticalement, la masse pendant sous l'effet de son poids ? Le poids ne disparaît plus des équations comme il le faisait à l'horizontale : reprenons la démonstration.

2.1 Rappel : le cas horizontal

Récapitulons les résultats de la section 1, qui vont te servir tout au long du chapitre :

Grandeur	Expression
Équation différentielle	$\ddot{x}+\dfrac{k}{m}x=0$
Pulsation propre	$\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
Période propre	$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
Solution	$x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$

2.2 Le pendule élastique vertical

Accrochons le ressort, de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$ , à un support fixe, et suspendons la masse $m$ à son extrémité inférieure. Sous l'effet du poids, le ressort s'étire d'une longueur supplémentaire $\Delta l_{\text{éq}}$ avant de se stabiliser : c'est la nouvelle position d'équilibre $O'$ .

Figure 2 — À vide, le ressort a pour longueur

l_0

. Avec la masse suspendue, il s'étire de

\Delta l_{\text{éq}}

jusqu'à ce que la tension

\vec{T}

équilibre exactement le poids

\vec{P}

Démonstration — position d'équilibre puis équation du mouvement

À l'équilibre, la masse est immobile : $\vec{T}_{\text{éq}}+\vec{P}=\vec{0}$ . En projection sur un axe vertical descendant :

$k\,\Delta l_{\text{éq}} - mg = 0$
$\Rightarrow$ $\Delta l_{\text{éq}} = \dfrac{mg}{k}$

Repérons désormais la masse par l'abscisse $X$ , comptée à partir de cette nouvelle position d'équilibre $O'$ (et non depuis le point d'attache). À un instant quelconque, le ressort a pour longueur $l_0+\Delta l_{\text{éq}}+X$ , donc $\vec{T}=-k(\Delta l_{\text{éq}}+X)\,\vec{k}$ (axe vertical descendant $\vec{k}$ ). Deuxième loi de Newton, projetée sur cet axe :

$m\ddot{X} = mg - k(\Delta l_{\text{éq}}+X)$
$=$ $mg - k\Delta l_{\text{éq}} - kX$
$=$ $-kX$ car $mg=k\Delta l_{\text{éq}}$ à l'équilibre
$\Rightarrow$ $\ddot{X} + \dfrac{k}{m}X = 0$

On retrouve exactement l'équation du cas horizontal, à condition de compter les positions depuis la nouvelle position d'équilibre. Le poids ne disparaît pas : il se contente de déplacer l'équilibre, sans changer la dynamique autour de lui.

Propriété

Le pendule élastique vertical oscille, autour de sa position d'équilibre, avec la même pulsation et la même période propre que le pendule horizontal : $\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ et $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ . Seule la position d'équilibre change, décalée de $\Delta l_{\text{éq}}=\dfrac{mg}{k}$ .

Exemple — ressort vertical

Un ressort de raideur $k=80\ \text{N·m}^{-1}$ porte une masse $m=200\ \text{g}$ . Calcule l'allongement à l'équilibre et la période propre ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ).

$\Delta l_{\text{éq}}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0{,}200\times9{,}8}{80}$
$=$ $\dfrac{1{,}96}{80}\approx0{,}0245\ \text{m}\approx2{,}45\ \text{cm}$
$\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{80}{0{,}200}}=\sqrt{400}=20\ \text{rad·s}^{-1}$
$T_0=\dfrac{2\pi}{20}\approx0{,}31\ \text{s}$

Exemple — retrouver la raideur

Un ressort vertical s'allonge de $\Delta l_{\text{éq}}=3{,}0\ \text{cm}$ sous une masse $m=150\ \text{g}$ . Calcule la raideur $k$ .

$k\,\Delta l_{\text{éq}}=mg \Rightarrow k=\dfrac{mg}{\Delta l_{\text{éq}}}$
$=$ $\dfrac{0{,}150\times9{,}8}{0{,}030}=\dfrac{1{,}47}{0{,}030}$
$\approx$ $49\ \text{N·m}^{-1}$

Attention

Dans un pendule élastique vertical, la variable $X$ se compte à partir de la nouvelle position d'équilibre $O'$ , jamais depuis le point d'attache ni la longueur à vide. Erreur fréquente au bac : écrire la loi de Newton avec l'allongement total $l_0+\Delta l_{\text{éq}}+X$ sans faire disparaître le terme constant $mg-k\Delta l_{\text{éq}}$ , qui s'annule par construction à l'équilibre.

3Période propre

Tu as rencontré, en section 1, la propriété d'isochronisme : la période propre $T_0$ ne dépend que des caractéristiques physiques de l'oscillateur (masse, raideur…), jamais de l'amplitude ni de la façon dont on l'a mis en mouvement. Approfondissons cette idée, et généralisons-la à un troisième oscillateur : le pendule de torsion.

3.1 Lecture graphique de $X_m$ et $T_0$

La solution $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ se représente par une sinusoïde. Sur un graphe expérimental, $X_m$ et $T_0$ se lisent directement, sans calcul.

Figure 3 — Représentation graphique de

x(t)

: l'amplitude

X_m

se lit sur l'axe vertical, la période propre

T_0

est la durée séparant deux maximums consécutifs (ou deux passages par zéro consécutifs de même sens).

Méthode — lire

X_m

T_0

sur un graphe

x(t)

L'amplitude $X_m$ est la distance entre l'axe des temps et un maximum de la courbe. La période $T_0$ est la durée séparant deux instants où la courbe repasse dans le même état — deux maximums consécutifs, par exemple. Pour limiter l'erreur de lecture, on mesure de préférence la durée de plusieurs périodes $nT_0$ et on divise par $n$ .

Exemple — faire varier les paramètres

Un pendule élastique de période $T_0=2\pi\sqrt{m/k}$ . Comment varie $T_0$ si l'on quadruple $m$ sans changer $k$ ? Si l'on quadruple $k$ sans changer $m$ ?

masse $4m$ : $T_0'=2\pi\sqrt{\dfrac{4m}{k}}=2\pi\times2\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2T_0$
raideur $4k$ : $T_0''=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{4k}}=2\pi\times\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}=\dfrac{T_0}{2}$

Quadrupler la masse double la période (l'oscillateur est plus lent) ; quadrupler la raideur la divise par deux (le ressort, plus « dur », impose un rythme plus rapide).

3.2 Généralisation : le pendule de torsion

Un pendule de torsion est un solide (souvent un disque) suspendu à un fil vertical ou monté sur un axe élastique. Écarté d'un angle $\theta$ de sa position d'équilibre, le fil exerce un moment de rappel $M=-C\theta$ , où $C$ (en $\text{N·m·rad}^{-1}$ ) est la constante de torsion du fil.

Démonstration — équation du pendule de torsion, par analogie

Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe, d'inertie $J$ (en $\text{kg·m}^{2}$ ), la relation fondamentale de la dynamique de rotation remplace $m\ddot{x}=\sum F$ par $J\ddot{\theta}=\sum M$ . Le seul moment appliqué est celui du fil :

$J\ddot{\theta} = -C\theta$
$\Rightarrow$ $\ddot{\theta} + \dfrac{C}{J}\theta = 0$

On retrouve la forme canonique de l'oscillateur harmonique : la correspondance $x\leftrightarrow\theta$ , $m\leftrightarrow J$ , $k\leftrightarrow C$ est exactement celle du pendule élastique.

Propriété

$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{J}{C}}$

Exemple — balance de torsion

Un disque d'inertie $J=4{,}0\times10^{-4}\ \text{kg·m}^{2}$ est suspendu à un fil de constante de torsion $C=9{,}0\times10^{-3}\ \text{N·m·rad}^{-1}$ . Calcule sa période propre.

$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J}{C}}=2\pi\sqrt{\dfrac{4{,}0\times10^{-4}}{9{,}0\times10^{-3}}}$
$=$ $2\pi\sqrt{4{,}4\times10^{-2}}\approx2\pi\times0{,}211$
$\approx$ $1{,}3\ \text{s}$

Attention

Ne confonds pas la constante de torsion $C$ (en $\text{N·m·rad}^{-1}$ ) avec la raideur $k$ d'un ressort (en $\text{N·m}^{-1}$ ) : le pendule de torsion mesure un angle, pas une longueur. De même, l'inertie $J$ n'est pas une masse : elle dépend de la répartition de la matière autour de l'axe de rotation.

4Pendule simple et petites oscillations

Change totalement de dispositif : accroche une petite bille à un fil inextensible, et écarte-la de la verticale. Voici le pendule simple, sans doute l'oscillateur le plus ancien étudié scientifiquement — et le premier à avoir livré son secret à Galilée.

Définition

Un pendule simple est un point matériel de masse $m$ , suspendu à un fil inextensible et sans masse, de longueur $l$ , fixé en un point $O$ fixe. Écarté d'un angle $\theta$ par rapport à la verticale puis lâché, il oscille dans un plan vertical.

4.1 Mise en équation

Repérons le pendule par l'angle $\theta$ qu'il fait avec la verticale descendante. Plaçons-nous à l'instant où il atteint son écart angulaire maximal $\theta_m$ : sa vitesse y est nulle.

Figure 4 — Le poids

\vec{P}

se décompose en une composante radiale (le long du fil, équilibrée par la tension

\vec{T}

) et une composante tangentielle

P_t=mg\sin\theta

, seule responsable du rappel vers la verticale.

Démonstration — équation différentielle du pendule simple

Système : le point matériel, de masse $m$ . Référentiel : terrestre galiléen. Forces : le poids $\vec{P}$ et la tension $\vec{T}$ du fil. On décompose le poids selon le fil (composante radiale $mg\cos\theta$ ) et selon la tangente à la trajectoire circulaire (composante tangentielle $-mg\sin\theta$ , le signe $-$ traduisant son rôle de rappel vers $\theta=0$ ).

Le fil étant inextensible, le mouvement est circulaire de rayon $l$ : l'abscisse curviligne vaut $s=l\theta$ , donc l'accélération tangentielle vaut $\ddot{s}=l\ddot{\theta}$ . En projection sur la tangente, seule la composante tangentielle du poids intervient (la tension est purement radiale) :

$m\,l\ddot{\theta} = -mg\sin\theta$ 2^e loi de Newton, projection tangentielle
$\Rightarrow$ $\ddot{\theta} + \dfrac{g}{l}\sin\theta = 0$

Cette équation, contrairement à celle du pendule élastique, n'est pas linéaire à cause du terme $\sin\theta$ : elle n'a pas de solution simple pour une amplitude quelconque.

4.2 L'approximation des petites oscillations

Théorème — approximation des petits angles

Lorsque $\theta$ est exprimé en radians et reste petit (en pratique $\theta_m\lesssim20°$ , soit environ $0{,}35\ \text{rad}$ ), on peut approximer $\sin\theta\approx\theta$ . L'équation devient linéaire :

$\ddot{\theta} + \dfrac{g}{l}\theta = 0$

C'est l'équation d'un oscillateur harmonique en $\theta$ , de solution $\theta(t)=\theta_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ , avec $\omega_0=\sqrt{\dfrac{g}{l}}$ , donc :

$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$

Vérifie la qualité de l'approximation : pour $\theta_m=20°=0{,}349\ \text{rad}$ , $\sin\theta_m\approx0{,}342$ , soit un écart relatif inférieur à $2\ \%$ — largement suffisant pour la précision d'un exercice de Terminale.

Attention

L'isochronisme du pendule simple n'est qu'approché : au-delà de $20°$ environ, $T_0$ augmente légèrement avec l'amplitude. Autre différence essentielle avec le pendule élastique : $T_0=2\pi\sqrt{l/g}$ dépend de la pesanteur $g$ — un pendule simple ne bat pas le même tempo sur la Lune que sur Terre — alors que $T_0=2\pi\sqrt{m/k}$ du pendule élastique en est indépendant.

Exemple — le pendule « à secondes »

Calcule la longueur $l$ d'un pendule simple dont la période propre vaut exactement $T_0=2{,}0\ \text{s}$ ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ).

$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} \Rightarrow l=\dfrac{gT_0^{2}}{4\pi^{2}}$
$=$ $\dfrac{9{,}8\times2{,}0^{2}}{4\pi^{2}}=\dfrac{39{,}2}{39{,}48}$
$\approx$ $0{,}99\ \text{m}$

Un pendule d'environ un mètre bat donc la seconde : c'est le principe des vieilles horloges comtoises, où chaque passage à la verticale marque un « tic » ou un « tac ».

Exemple — mesurer

g

au laboratoire

Un élève chronomètre $20$ oscillations d'un pendule simple de longueur $l=0{,}800\ \text{m}$ : il mesure une durée totale $\Delta t=36{,}0\ \text{s}$ . Détermine la valeur de $g$ qu'il en déduit.

$T_0=\dfrac{\Delta t}{20}=\dfrac{36{,}0}{20}=1{,}80\ \text{s}$
$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} \Rightarrow g=\dfrac{4\pi^{2}l}{T_0^{2}}$
$=$ $\dfrac{4\pi^{2}\times0{,}800}{1{,}80^{2}}=\dfrac{31{,}58}{3{,}24}$
$\approx$ $9{,}75\ \text{m·s}^{-2}$

Valeur cohérente avec $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ (écart inférieur à $1\ \%$ ) : la méthode du pendule reste une manière simple et précise de mesurer $g$ .

Physique & Co — Le lustre de la cathédrale de Pise

En 1583, à dix-neuf ans, Galilée observerait, dit la légende, le balancement d'un lustre dans la cathédrale de Pise et en chronométrerait les oscillations avec son propre pouls — les montres n'existaient pas encore. Il remarque que la durée d'un aller-retour ne dépend pas de l'amplitude du balancement : c'est la découverte de l'isochronisme des petites oscillations, publiée bien plus tard, en 1638, dans ses Discours concernant deux sciences nouvelles.

C'est le physicien néerlandais Christian Huygens qui, en 1656, exploite cette propriété pour inventer l'horloge à pendule : en imposant un battement régulier à un mécanisme d'échappement, elle fait passer la précision des horloges de plusieurs dizaines de minutes par jour à quelques secondes — une révolution pour la navigation et l'astronomie.

5Énergie de l'oscillateur

Pendant qu'un pendule élastique oscille sans frottement, son énergie ne cesse de changer de forme : tantôt cinétique, tantôt potentielle élastique. Montrons que leur somme, elle, ne varie jamais.

5.1 Énergie potentielle élastique et énergie cinétique

Définition — rappel

Un ressort de raideur $k$ , allongé ou comprimé de $x$ , stocke une énergie potentielle élastique $E_p=\dfrac{1}{2}kx^{2}$ (en $\text{J}$ , toujours positive ou nulle). Le solide de masse $m$ , animé de la vitesse $v=\dot{x}$ , possède une énergie cinétique $E_c=\dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}$ . L'énergie mécanique est leur somme : $E_m=E_c+E_p$ .

5.2 Conservation de l'énergie mécanique

Démonstration — conservation de l'énergie mécanique

Dérivons $E_m(t)$ par rapport au temps :

$E_m = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2} + \dfrac{1}{2}kx^{2}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}t} = m\dot{x}\ddot{x} + kx\dot{x}$ dérivée d'un carré : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(u^{2})=2u\dot{u}$
$=$ $\dot{x}\left(m\ddot{x}+kx\right)$
$=$ $\dot{x}\times0 = 0$ car $m\ddot{x}+kx=0$ : équation établie en section 1

$E_m$ a une dérivée nulle à tout instant : elle est donc constante (en l'absence de frottement). Évaluons cette constante à l'instant où $x=X_m$ (élongation maximale, donc $\dot{x}=0$ ) :

$E_m = \dfrac{1}{2}m\times0^{2} + \dfrac{1}{2}kX_m^{2} = \dfrac{1}{2}kX_m^{2}$

Propriété — conservation de l'énergie mécanique

$E_c(t) + E_p(t) = E_m = \dfrac{1}{2}kX_m^{2} = \text{constante}$

$E_c$ est maximale ( $=E_m$ ) à $x=0$ (passage à l'équilibre, vitesse maximale) ; $E_p$ est maximale ( $=E_m$ ) aux extrema $x=\pm X_m$ (vitesse nulle). L'énergie se transforme continûment d'une forme à l'autre.

Figure 5 — Énergies en fonction de l'élongation, pour

m=200\ \text{g}

k=20\ \text{N·m}^{-1}

X_m=5{,}0\ \text{cm}

E_p(x)=\frac12kx^{2}

(parabole croissante),

E_c(x)=E_m-E_p(x)

(parabole en dôme), et leur somme

E_m

constante.

Exemple — bilan énergétique complet

Reprends le pendule de la section 1 ( $m=200\ \text{g}$ , $k=20\ \text{N·m}^{-1}$ , $X_m=5{,}0\ \text{cm}$ ). Calcule l'énergie mécanique, puis l'énergie cinétique et la vitesse lorsque $x=3{,}0\ \text{cm}$ .

$E_m=\dfrac{1}{2}kX_m^{2}=\dfrac{1}{2}\times20\times(0{,}050)^{2}$
$=$ $0{,}025\ \text{J} = 25\ \text{mJ}$
$E_p=\dfrac{1}{2}kx^{2}=\dfrac{1}{2}\times20\times(0{,}030)^{2}=9{,}0\ \text{mJ}$
$E_c=E_m-E_p=25-9{,}0=16\ \text{mJ}$
$E_c=\dfrac{1}{2}mv^{2} \Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times0{,}016}{0{,}200}}$
$=$ $\sqrt{0{,}16} = 0{,}40\ \text{m·s}^{-1}$

Exemple — à quelle élongation

E_c=E_p

Pour quelle valeur de $x$ (en fonction de $X_m$ ) l'énergie cinétique est-elle égale à l'énergie potentielle élastique ?

$E_c=E_p$ et $E_c+E_p=E_m \Rightarrow 2E_p=E_m$
$2\times\dfrac{1}{2}kx^{2} = \dfrac{1}{2}kX_m^{2}$
$\Rightarrow$ $x^{2} = \dfrac{X_m^{2}}{2}$
$\Rightarrow$ $x = \pm\dfrac{X_m}{\sqrt{2}} = \pm\dfrac{X_m\sqrt{2}}{2}$

Application numérique avec $X_m=5{,}0\ \text{cm}$ : $x\approx\pm3{,}5\ \text{cm}$ .

Attention

La conservation de l'énergie mécanique suppose l'absence de frottement. Ne l'utilise jamais telle quelle si l'énoncé mentionne un amortissement — tu verras en section 6 que $E_m$ y diminue avec le temps. Autre piège : $E_p=\frac12kx^{2}$ utilise l'élongation $x$ depuis la position d'équilibre, jamais l'allongement total du ressort dans le cas vertical.

6Amortissement et résonance

Tout ce que tu as étudié jusqu'ici décrit des oscillations libres non amorties, qui durent éternellement à amplitude constante. Dans la réalité, aucun système mécanique n'échappe aux frottements : l'énergie mécanique se dissipe peu à peu en chaleur, et le mouvement finit par s'arrêter — sauf si on l'entretient artificiellement.

6.1 Les trois régimes d'oscillations amorties

Lorsqu'on ajoute au bilan des forces un frottement (souvent modélisé par $\vec{f}=-h\vec{v}$ , $h>0$ ), l'équation différentielle devient $m\ddot{x}+h\dot{x}+kx=0$ : un terme supplémentaire en $\dot{x}$ traduit la perte d'énergie. Selon l'importance de l'amortissement, trois régimes sont possibles.

Figure 6 — Les trois régimes : pseudo-périodique (oscille en s'amortissant), critique (retour le plus rapide sans oscillation), apériodique (retour sans oscillation, mais plus lent que le régime critique).

Définition — les trois régimes

Régime pseudo-périodique (amortissement faible) : le système oscille toujours, mais l'amplitude décroît progressivement ; on parle de pseudo-période $T$ , légèrement supérieure à $T_0$ ;
Régime critique : cas limite où le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible, sans jamais osciller ;
Régime apériodique (amortissement fort) : le système revient à l'équilibre sans osciller, mais plus lentement qu'en régime critique.

Exemple — amortisseur de taxi à Dakar

La suspension d'un taxi, modélisée par $m=250\ \text{kg}$ (masse portée par une roue) et $k=2{,}0\times10^{4}\ \text{N·m}^{-1}$ , a pour coefficient de frottement critique $h_c=2\sqrt{km}$ . Un amortisseur usé a un coefficient réel $h=3{,}0\times10^{3}\ \text{N·s·m}^{-1}$ : dans quel régime roule le taxi ?

$h_c=2\sqrt{km}=2\sqrt{2{,}0\times10^{4}\times250}$
$=$ $2\sqrt{5{,}0\times10^{6}}\approx2\times2{,}24\times10^{3}$
$\approx$ $4{,}5\times10^{3}\ \text{N·s·m}^{-1}$
$h=3{,}0\times10^{3} < h_c=4{,}5\times10^{3}$

L'amortisseur usé est sous-critique : la caisse du taxi oscille (régime pseudo-périodique) après chaque bosse au lieu de se stabiliser aussitôt — signe qu'il doit être changé. Un bon amortisseur est réglé proche du régime critique : assez amorti pour ne pas osciller, assez souple pour rester confortable.

6.2 Oscillations forcées et résonance

Pour compenser les pertes dues aux frottements et entretenir un mouvement, il faut apporter de l'énergie périodiquement : c'est le principe des oscillations forcées. Un excitateur impose une force périodique de fréquence $f$ , en général différente de la fréquence propre $f_0$ du résonateur. En régime permanent, le système oscille à la fréquence $f$ de l'excitateur, avec une amplitude qui dépend fortement de l'écart entre $f$ et $f_0$ .

Figure 7 — Amplitude des oscillations forcées en fonction de la fréquence excitatrice

f

, pour un amortissement faible : l'amplitude est maximale au voisinage de

f_0

Définition — résonance

La résonance est le phénomène par lequel l'amplitude des oscillations forcées devient maximale lorsque la fréquence excitatrice $f$ se rapproche de la fréquence propre $f_0$ du système. Plus l'amortissement est faible, plus cette amplitude à la résonance est grande — jusqu'à devenir destructrice si rien ne la limite.

Exemple — pousser une balançoire

Une balançoire se comporte comme un pendule simple de longueur $l=2{,}5\ \text{m}$ . À quelle fréquence faut-il la pousser pour l'entretenir efficacement, par résonance ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ) ?

$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{2{,}5}{9{,}8}}$
$=$ $2\pi\sqrt{0{,}255}\approx2\pi\times0{,}505\approx3{,}2\ \text{s}$
$f_0=\dfrac{1}{T_0}\approx\dfrac{1}{3{,}2}\approx0{,}31\ \text{Hz}$

Il faut donner une impulsion environ toutes les $3{,}2\ \text{s}$ , au rythme naturel de la balançoire : c'est exactement ce que tu fais intuitivement, sans calcul, en te balançant — une résonance entretenue « à la main ».

La résonance n'est pas toujours recherchée. Un sismographe utilise au contraire un oscillateur dont la fréquence propre est très éloignée des fréquences des secousses sismiques à mesurer, afin que sa masse reste quasiment immobile dans le référentiel du sol tandis que le boîtier vibre avec lui : c'est cet écart relatif qui est enregistré. Un pont, en revanche, doit éviter à tout prix que sa fréquence propre coïncide avec celle d'une foule qui marche au pas ou d'un vent tourbillonnant.

Attention

Ne dis jamais qu'à la résonance, l'amplitude est infinie : dans un système réel, l'amortissement — même faible — la limite toujours à une valeur finie (mais parfois considérable). Ne confonds pas non plus fréquence propre $f_0$ (caractéristique du système seul) et fréquence excitatrice $f$ (imposée de l'extérieur) : la résonance correspond à $f\approx f_0$ , un rapprochement, pas une identité algébrique dans un système amorti réel.

Physique & Co — La catastrophe du pont d'Angers

Le 16 avril 1850, un bataillon d'environ 500 soldats français traverse au pas cadencé le pont suspendu de la Basse-Chaîne, sur la Maine, à Angers. Le rythme régulier de leurs pas se rapproche dangereusement de la fréquence propre du tablier métallique : l'amplitude des oscillations croît par résonance jusqu'à la rupture des câbles d'ancrage. Le pont s'effondre, causant la mort d'environ 220 soldats.

Ce drame, l'un des plus meurtriers de l'histoire du génie civil, popularise durablement une consigne encore donnée aujourd'hui aux troupes : rompre le pas pour traverser un pont. Il illustre pourquoi les ingénieurs calculent systématiquement les fréquences propres des ouvrages d'art, pour les tenir à l'écart des fréquences d'excitation prévisibles (vent, foule, trafic).

Fiche mémo

Oscillateur harmonique : $\ddot{x}+\omega_0^{2}x=0$ , solution $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ ; $X_m,\varphi$ ← conditions initiales, $\omega_0$ ← le système seul.
Pendule élastique (horizontal ou vertical) : $\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ , $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ ; au vertical, on compte $X$ depuis la nouvelle position d'équilibre, $\Delta l_{\text{éq}}=\dfrac{mg}{k}$ .
Pendule de torsion : $\ddot\theta+\dfrac{C}{J}\theta=0$ , $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J}{C}}$ .
Pendule simple : $\ddot\theta+\dfrac{g}{l}\sin\theta=0$ ; aux petits angles ( $\theta_m\lesssim20°$ ), $\sin\theta\approx\theta$ et $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ .
Isochronisme : $T_0$ ne dépend jamais de l'amplitude, seulement des caractéristiques du système (et de $g$ pour le pendule simple, pas pour le ressort).
Énergie mécanique (oscillations libres non amorties) : $E_m=E_c+E_p=\dfrac12kX_m^{2}=\text{constante}$ ; $E_c$ max ( $=E_m$ ) à $x=0$ , $E_p$ max ( $=E_m$ ) à $x=\pm X_m$ .
Amortissement : trois régimes selon $h$ comparé à $h_c=2\sqrt{km}$ — pseudo-périodique ( $h<h_c$ ), critique ( $h=h_c$ ), apériodique ( $h>h_c$ ).
Oscillations forcées : le système suit la fréquence $f$ de l'excitateur ; résonance quand $f\approx f_0$ , amplitude alors maximale (finie si amortissement non nul).
$g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ (valeur à utiliser sauf indication contraire de l'énoncé).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Un pendule élastique horizontal est constitué d'un solide de masse $m=500\ \text{g}$ fixé à un ressort de raideur $k=50\ \text{N·m}^{-1}$ . Calcule la pulsation propre $\omega_0$ et la période propre $T_0$ de ce pendule.

Voir le corrigé détaillé

$\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{50}{0{,}500}}$
$=$ $\sqrt{100}=10\ \text{rad·s}^{-1}$
$T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=\dfrac{2\pi}{10}$
$\approx$ $0{,}63\ \text{s}$

L'élongation d'un pendule élastique est donnée par $x(t)=6\cos\!\left(4t+\dfrac{\pi}{3}\right)$ ( $x$ en cm, $t$ en s). Donne l'amplitude $X_m$ , la pulsation $\omega_0$ , la phase à l'origine $\varphi$ et la période $T_0$ . Calcule $x(0)$ et la vitesse $v(0)$ .

Voir le corrigé détaillé

Par identification avec $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ : $X_m=6\ \text{cm}$ , $\omega_0=4\ \text{rad·s}^{-1}$ , $\varphi=\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}$ , et $T_0=\dfrac{2\pi}{4}\approx1{,}57\ \text{s}$ .

$x(0)=6\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=6\times0{,}5$
$=$ $3{,}0\ \text{cm}$
$v(t)=\dot{x}(t)=-24\sin\!\left(4t+\dfrac{\pi}{3}\right)$
$v(0)=-24\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-24\times0{,}866$
$\approx$ $-20{,}8\ \text{cm·s}^{-1}$

Un ressort vertical de raideur $k=60\ \text{N·m}^{-1}$ porte une masse $m=300\ \text{g}$ . Calcule l'allongement à l'équilibre $\Delta l_{\text{éq}}$ et la période propre $T_0$ des oscillations ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ).

Voir le corrigé détaillé

$\Delta l_{\text{éq}}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0{,}300\times9{,}8}{60}$
$=$ $\dfrac{2{,}94}{60}\approx0{,}049\ \text{m}=4{,}9\ \text{cm}$
$\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{60}{0{,}300}}=\sqrt{200}\approx14{,}14\ \text{rad·s}^{-1}$
$T_0=\dfrac{2\pi}{14{,}14}$
$\approx$ $0{,}44\ \text{s}$

Un pendule simple a une longueur $l=0{,}60\ \text{m}$ . Calcule sa période propre $T_0$ (petites oscillations, $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ). Que devient $T_0$ si l'on quadruple la longueur du fil ?

Voir le corrigé détaillé

$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}60}{9{,}8}}$
$=$ $2\pi\sqrt{0{,}0612}\approx2\pi\times0{,}2474$
$\approx$ $1{,}55\ \text{s}$
longueur $4l$ : $T_0'=2\pi\sqrt{\dfrac{4l}{g}}=2\times T_0$
$\approx$ $3{,}11\ \text{s}$

Quadrupler la longueur du fil double la période propre.

Un pendule élastique a une masse $m=100\ \text{g}$ , une raideur $k=40\ \text{N·m}^{-1}$ et une amplitude $X_m=4{,}0\ \text{cm}$ . Calcule son énergie mécanique $E_m$ . Calcule l'énergie cinétique $E_c$ lorsque $x=2{,}0\ \text{cm}$ .

Voir le corrigé détaillé

$E_m=\dfrac{1}{2}kX_m^{2}=\dfrac{1}{2}\times40\times(0{,}040)^{2}$
$=$ $0{,}032\ \text{J}=32\ \text{mJ}$
$E_p(2{,}0\ \text{cm})=\dfrac{1}{2}\times40\times(0{,}020)^{2}=8{,}0\ \text{mJ}$
$E_c=E_m-E_p=32-8{,}0$
$=$ $24\ \text{mJ}$

Niveau 2 — Approfondissement

Un pendule élastique horizontal de masse $m=250\ \text{g}$ a une période propre mesurée $T_0=0{,}50\ \text{s}$ .

Calcule la raideur $k$ du ressort.
On écarte le pendule de $x_0=3{,}0\ \text{cm}$ et on lui communique, au même instant, une vitesse initiale $v_0=20\ \text{cm·s}^{-1}$ dans le sens des $x$ positifs. Détermine $X_m$ et $\varphi$ .

Voir le corrigé détaillé

$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \Rightarrow k=\dfrac{4\pi^{2}m}{T_0^{2}}$
$=$ $\dfrac{4\pi^{2}\times0{,}250}{0{,}50^{2}}=\dfrac{4\pi^{2}\times0{,}250}{0{,}25}$
$=$ $4\pi^{2}\approx39{,}5\ \text{N·m}^{-1}$

2. $\omega_0=\dfrac{2\pi}{T_0}=4\pi\approx12{,}57\ \text{rad·s}^{-1}$ . On combine $x(0)=X_m\cos\varphi=x_0$ et $\dot{x}(0)=-X_m\omega_0\sin\varphi=v_0$ : en élevant au carré et en additionnant, $X_m^{2}=x_0^{2}+\left(\dfrac{v_0}{\omega_0}\right)^{2}$ , et $\tan\varphi=-\dfrac{v_0}{\omega_0x_0}$ .

$\dfrac{v_0}{\omega_0}=\dfrac{0{,}20}{12{,}57}\approx0{,}0159\ \text{m}$
$X_m=\sqrt{0{,}030^{2}+0{,}0159^{2}}=\sqrt{9{,}0\times10^{-4}+2{,}53\times10^{-4}}$
$=$ $\sqrt{1{,}153\times10^{-3}}\approx0{,}034\ \text{m}=3{,}4\ \text{cm}$
$\tan\varphi=-\dfrac{0{,}0159}{0{,}030}\approx-0{,}530$
$\Rightarrow$ $\varphi\approx-0{,}49\ \text{rad}\ (\approx-28°)$ $\cos\varphi>0$ et $\sin\varphi<0$ : $\varphi$ dans le 4^e quadrant

Un ressort vertical porte une masse $m=400\ \text{g}$ ; on mesure une période propre $T_0=0{,}45\ \text{s}$ . Calcule la raideur $k$ du ressort, puis l'allongement à l'équilibre $\Delta l_{\text{éq}}$ ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ).

Voir le corrigé détaillé

$k=\dfrac{4\pi^{2}m}{T_0^{2}}=\dfrac{4\pi^{2}\times0{,}400}{0{,}45^{2}}$
$=$ $\dfrac{15{,}79}{0{,}2025}\approx78{,}0\ \text{N·m}^{-1}$
$\Delta l_{\text{éq}}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0{,}400\times9{,}8}{78{,}0}$
$=$ $\dfrac{3{,}92}{78{,}0}\approx0{,}0503\ \text{m}$
$\approx$ $5{,}0\ \text{cm}$

Un pendule élastique horizontal (masse $m$ , raideur $k$ ) et un pendule simple (longueur $l$ ) ont la même période propre. Exprime $l$ en fonction de $m$ , $k$ et $g$ . Application numérique : $m=200\ \text{g}$ , $k=32\ \text{N·m}^{-1}$ , $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ .

Voir le corrigé détaillé

$2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{m}{k} = \dfrac{l}{g}$
$\Rightarrow$ $l = \dfrac{mg}{k}$
$l=\dfrac{0{,}200\times9{,}8}{32}=\dfrac{1{,}96}{32}$
$\approx$ $0{,}0613\ \text{m}=6{,}1\ \text{cm}$

Un pendule élastique d'amplitude $X_m$ oscille sans frottement. Pour quelle fraction de $X_m$ la vitesse est-elle égale à la moitié de la vitesse maximale $v_{max}$ ?

Voir le corrigé détaillé

$v=\dfrac{v_{max}}{2} \Rightarrow E_c=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{v_{max}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}mv_{max}^{2}=\dfrac{E_m}{4}$ $v_{max}$ est atteinte à $x=0$ , où $E_c=E_m$
$E_p=E_m-E_c=\dfrac{3}{4}E_m$
$\dfrac{1}{2}kx^{2}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}kX_m^{2}$
$\Rightarrow$ $x^{2}=\dfrac{3}{4}X_m^{2}$
$\Rightarrow$ $x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}X_m\approx\pm0{,}87\,X_m$

Un oscillateur amorti a pour masse $m=2{,}0\ \text{kg}$ , raideur $k=200\ \text{N·m}^{-1}$ et coefficient de frottement $h=50\ \text{N·s·m}^{-1}$ . Calcule le coefficient critique $h_c=2\sqrt{km}$ et détermine le régime d'oscillation.

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$h_c=2\sqrt{km}=2\sqrt{200\times2{,}0}$
$=$ $2\sqrt{400}=2\times20$
$=$ $40\ \text{N·s·m}^{-1}$
$h=50\ \text{N·s·m}^{-1} > h_c=40\ \text{N·s·m}^{-1}$

Le régime est apériodique : l'oscillateur revient à l'équilibre sans osciller, plus lentement que dans le cas critique.

Niveau 3 — Type bac

Un solide $(S)$ de masse $m=250\ \text{g}$ est fixé à un ressort horizontal de raideur $k=40\ \text{N·m}^{-1}$ , l'ensemble reposant sans frottement sur un plan horizontal. On repère la position de $(S)$ par l'abscisse $x$ sur un axe d'origine $O$ , la position d'équilibre.

En appliquant la deuxième loi de Newton, établis l'équation différentielle vérifiée par $x(t)$ .
Calcule la pulsation propre $\omega_0$ et la période propre $T_0$ .
À $t=0$ , on écarte $(S)$ de $x_0=4{,}0\ \text{cm}$ et on le lâche sans vitesse initiale. Détermine l'expression de $x(t)$ .
Calcule l'énergie mécanique du système, puis la vitesse de $(S)$ lorsqu'il repasse par $x=2{,}0\ \text{cm}$ .

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1. Système $\{(S)\}$ , référentiel terrestre galiléen. Forces : poids $\vec P$ , réaction $\vec N$ (verticales, se compensent), tension élastique $\vec T=-kx\vec\imath$ .

$m\ddot{x}=-kx$ 2^e loi de Newton, projection sur $(Ox)$
$\Rightarrow$ $\ddot{x}+\dfrac{k}{m}x=0$

$\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{40}{0{,}250}}=\sqrt{160}\approx12{,}65\ \text{rad·s}^{-1}$
$T_0=\dfrac{2\pi}{12{,}65}\approx0{,}50\ \text{s}$

3. Lâcher sans vitesse initiale : par la méthode de la section 1, $\varphi=0$ et $X_m=x_0$ .

$x(t)=X_m\cos(\omega_0t)$
$=$ $4{,}0\cos(12{,}65\,t)$ $x$ en cm, $t$ en s

$E_m=\dfrac{1}{2}kX_m^{2}=\dfrac{1}{2}\times40\times(0{,}040)^{2}=0{,}032\ \text{J}$
$E_p(2{,}0\ \text{cm})=\dfrac{1}{2}\times40\times(0{,}020)^{2}=8{,}0\times10^{-3}\ \text{J}$
$E_c=E_m-E_p=0{,}032-0{,}0080=0{,}024\ \text{J}$
$v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times0{,}024}{0{,}250}}=\sqrt{0{,}192}$
$\approx$ $0{,}44\ \text{m·s}^{-1}$

On étudie un pendule simple de longueur $l$ , constitué d'une bille de masse $m$ suspendue à un fil inextensible de masse négligeable.

En appliquant la deuxième loi de Newton (projection tangentielle), établis l'équation différentielle vérifiée par l'angle $\theta(t)$ .
Justifie l'approximation $\sin\theta\approx\theta$ pour les petites oscillations et donne l'expression de la période propre $T_0$ .
Un élève mesure la durée de $15$ oscillations d'un pendule de longueur $l=1{,}20\ \text{m}$ : il trouve $\Delta t=32{,}9\ \text{s}$ . Calcule la valeur de $g$ qu'il en déduit.
L'élève recommence en lâchant le pendule avec un angle initial de $45°$ au lieu de $15°$ : la période mesurée est alors légèrement plus grande que celle prévue par la formule. Explique pourquoi, en une phrase.

Voir le corrigé détaillé

1. Système $\{$ bille $\}$ , référentiel terrestre galiléen, forces $\vec P$ et $\vec T$ (tension du fil, radiale). Le mouvement étant circulaire de rayon $l$ , l'accélération tangentielle vaut $l\ddot\theta$ ; seule la composante tangentielle du poids, $-mg\sin\theta$ , intervient.

$ml\ddot{\theta}=-mg\sin\theta$
$\Rightarrow$ $\ddot{\theta}+\dfrac{g}{l}\sin\theta=0$

2. Pour $\theta$ petit exprimé en radians, $\sin\theta\approx\theta$ (écart relatif inférieur à $2\ \%$ jusqu'à $20°$ ). L'équation devient $\ddot\theta+\dfrac{g}{l}\theta=0$ , d'où $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ .

$T_0=\dfrac{\Delta t}{15}=\dfrac{32{,}9}{15}\approx2{,}193\ \text{s}$
$g=\dfrac{4\pi^{2}l}{T_0^{2}}=\dfrac{4\pi^{2}\times1{,}20}{2{,}193^{2}}$
$=$ $\dfrac{47{,}37}{4{,}811}$
$\approx$ $9{,}85\ \text{m·s}^{-2}$

4. À $45°$ , l'angle n'est plus assez petit pour que $\sin\theta\approx\theta$ reste valable : l'équation exacte $\ddot\theta+\frac{g}{l}\sin\theta=0$ donne alors une période réelle légèrement supérieure à $2\pi\sqrt{l/g}$ , l'isochronisme n'étant qu'approché au-delà d'une vingtaine de degrés.

Une passerelle métallique se comporte comme un oscillateur mécanique de masse $m=8{,}0\times10^{3}\ \text{kg}$ et de raideur équivalente $k=5{,}0\times10^{6}\ \text{N·m}^{-1}$ .

Calcule la fréquence propre $f_0$ de la passerelle.
Un amortissement de coefficient $h=1{,}0\times10^{5}\ \text{N·s·m}^{-1}$ est présent. Calcule le coefficient critique $h_c=2\sqrt{km}$ et détermine le régime d'oscillation de la passerelle livrée à elle-même.
Un groupe de coureurs traverse la passerelle au rythme de $2{,}0$ foulées par seconde. Ce rythme est-il dangereusement proche de $f_0$ ? Justifie.
Cite une conséquence historique d'un phénomène de résonance sur un ouvrage d'art, et propose une solution technique pour l'éviter.

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$\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{5{,}0\times10^{6}}{8{,}0\times10^{3}}}=\sqrt{625}=25\ \text{rad·s}^{-1}$
$f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{25}{2\pi}$
$\approx$ $4{,}0\ \text{Hz}$

$h_c=2\sqrt{km}=2\sqrt{5{,}0\times10^{6}\times8{,}0\times10^{3}}$
$=$ $2\sqrt{4{,}0\times10^{10}}=2\times2{,}0\times10^{5}$
$=$ $4{,}0\times10^{5}\ \text{N·s·m}^{-1}$
$h=1{,}0\times10^{5} < h_c=4{,}0\times10^{5}$

Régime pseudo-périodique : écartée de sa position d'équilibre, la passerelle oscillerait plusieurs fois avant de se stabiliser.

3. Le rythme des coureurs ( $2{,}0\ \text{Hz}$ ) est deux fois plus faible que $f_0\approx4{,}0\ \text{Hz}$ : ce n'est pas la résonance directe. Mais si le rythme se rapprochait de $4{,}0\ \text{Hz}$ (foule plus rapide, ou synchronisation collective des pas), l'amplitude croîtrait fortement par résonance.

4. Le 16 avril 1850, la résonance provoquée par le pas cadencé d'un bataillon a fait s'effondrer le pont suspendu de la Basse-Chaîne, à Angers, causant environ 220 morts (voir l'encadré Physique & Co de la section 6). Solution technique : installer des amortisseurs dissipant l'énergie, ou concevoir l'ouvrage pour que sa fréquence propre reste éloignée des fréquences d'excitation prévisibles (et faire « rompre le pas » aux troupes qui le traversent).

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le métronome du conservatoire de Yaoundé. Un métronome mécanique fonctionne comme un pendule pesant dont on fait coulisser une masselotte le long d'une tige pour régler le tempo. Pour un réglage donné, il bat $120$ battements par minute (un battement = un demi-aller-retour, donc $T_0$ correspond à $2$ battements).

Calcule la période propre $T_0$ du métronome, en secondes.
En assimilant le métronome à un pendule simple de longueur équivalente $l$ , calcule $l$ ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ).
Le musicien fait glisser la masselotte vers le haut, ce qui diminue $l$ . Le tempo augmente-t-il ou diminue-t-il ? Justifie sans calcul.

Voir le corrigé détaillé

$120$ battements/min $=2{,}0$ battements/s
$2$ battements $=1$ période $T_0$ énoncé
$\Rightarrow$ $f_0=\dfrac{2{,}0}{2}=1{,}0\ \text{Hz}$
$\Rightarrow$ $T_0=\dfrac{1}{f_0}=1{,}0\ \text{s}$

$l=\dfrac{gT_0^{2}}{4\pi^{2}}=\dfrac{9{,}8\times1{,}0^{2}}{4\pi^{2}}$
$=$ $\dfrac{9{,}8}{39{,}48}$
$\approx$ $0{,}248\ \text{m}\approx25\ \text{cm}$

3. $T_0=2\pi\sqrt{l/g}$ : si $l$ diminue, $T_0$ diminue (racine carrée croissante), donc il y a davantage de périodes — et donc de battements — par minute : le tempo augmente.

Le peson du marché de Ndjamena. Sur le marché central de Ndjamena, un peson à ressort sert à peser des sacs de mil. Un vendeur suspend un sac et lit un allongement de $12{,}0\ \text{cm}$ ; le ressort a une raideur connue $k=250\ \text{N·m}^{-1}$ .

Calcule la masse $m$ du sac annoncée par le peson ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ).
Une cliente doute de la graduation. Elle écarte légèrement le sac et chronomètre $10$ oscillations verticales : elle mesure $\Delta t=6{,}95\ \text{s}$ . Quelle masse déduit-elle de cette mesure dynamique ?
Les deux méthodes concordent-elles ? Laquelle te semble la plus fiable sur un marché bruyant et venteux, et pourquoi ?

Voir le corrigé détaillé

$k\,\Delta l_{\text{éq}}=mg \Rightarrow m=\dfrac{k\,\Delta l_{\text{éq}}}{g}$
$=$ $\dfrac{250\times0{,}120}{9{,}8}=\dfrac{30{,}0}{9{,}8}$
$\approx$ $3{,}06\ \text{kg}$

$T_0=\dfrac{\Delta t}{10}=\dfrac{6{,}95}{10}=0{,}695\ \text{s}$
$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \Rightarrow m=\dfrac{kT_0^{2}}{4\pi^{2}}$
$=$ $\dfrac{250\times0{,}695^{2}}{4\pi^{2}}=\dfrac{120{,}8}{39{,}48}$
$\approx$ $3{,}06\ \text{kg}$

3. Les deux méthodes donnent la même masse ( $\approx3{,}06\ \text{kg}$ ), ce qui valide le peson. Sur un marché bruyant et venteux, la mesure dynamique (chronométrage d'oscillations) est en général plus fiable que la lecture directe de la graduation, sensible au vent qui fait bouger le plateau et à l'erreur de parallaxe visuelle — alors qu'une mesure de temps au chronomètre reste précise.

Le sismographe de Douala. On souhaite concevoir un sismographe simplifié, à partir d'une masse suspendue à un ressort vertical, pour l'observatoire de Douala. Les séismes à détecter ont des fréquences de $0{,}5\ \text{Hz}$ à $10\ \text{Hz}$ . Pour que la masse reste quasiment immobile pendant que le boîtier vibre avec le sol, il faut $f_0\leqslant0{,}10\ \text{Hz}$ .

Calcule la période propre $T_0$ correspondant à $f_0=0{,}10\ \text{Hz}$ .
Avec une masse $m=2{,}0\ \text{kg}$ , calcule la raideur $k$ nécessaire.
Calcule l'allongement à l'équilibre $\Delta l_{\text{éq}}$ de ce ressort ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ) et explique pourquoi cela pose un problème pratique de conception.

Voir le corrigé détaillé

1. $T_0=\dfrac{1}{f_0}=\dfrac{1}{0{,}10}=10\ \text{s}$ .

$k=\dfrac{4\pi^{2}m}{T_0^{2}}=\dfrac{4\pi^{2}\times2{,}0}{10^{2}}$
$=$ $\dfrac{78{,}96}{100}$
$\approx$ $0{,}79\ \text{N·m}^{-1}$

$\Delta l_{\text{éq}}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{2{,}0\times9{,}8}{0{,}79}$
$=$ $\dfrac{19{,}6}{0{,}79}$
$\approx$ $24{,}8\ \text{m}$

Un allongement d'environ $25\ \text{m}$ est totalement irréaliste pour un instrument de laboratoire ! C'est pourquoi les sismographes réels n'utilisent pas un simple ressort vertical librement suspendu : ils recourent à des dispositifs mécaniques (leviers, suspensions dites « porte de jardin ») ou électroniques à contre-réaction pour obtenir une très basse fréquence propre sans allongement démesuré.

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Radioactivité et décroissance

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un oscillateur mécanique, écarté de sa position d'équilibre stable puis abandonné à lui-même, effectue :

un mouvement de va-et-vient périodique autour de cette position, sous l'effet d'une force de rappel un mouvement rectiligne uniforme, sans jamais revenir un mouvement circulaire uniforme autour de cette position un mouvement uniformément accéléré qui l'éloigne indéfiniment de l'équilibre

Explication : C'est la définition même d'un oscillateur mécanique : le va-et-vient périodique est entretenu par une force de rappel qui ramène toujours le système vers sa position d'équilibre.

Pour une grandeur $x(t)$ qui oscille avec une période propre $T_0$ et une pulsation propre $\omega_0$ , la relation correcte est :

\omega_0 = 2\pi\,T_0

\omega_0 = \dfrac{T_0}{2\pi}

\omega_0 = \dfrac{2\pi}{T_0}

\omega_0 = \dfrac{\pi}{T_0}

Explication : Par définition, la pulsation propre vaut

\omega_0=\dfrac{2\pi}{T_0}=2\pi f_0

, où

f_0

est la fréquence propre.

Pour un pendule élastique horizontal sans frottement (masse $m$ , raideur $k$ ), la deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe $(Ox)$ , donne l'équation différentielle :

m\ddot{x} = kx

\ddot{x} + \dfrac{k}{m}x = 0

m\dot{x} + kx = 0

\ddot{x} - \dfrac{k}{m}x = 0

Explication : Le poids et la réaction du support se compensent ; seule la force de rappel élastique

\vec T=-kx\vec\imath

intervient :

m\ddot{x} = -kx

\Rightarrow \ddot{x} + \dfrac{k}{m}x = 0

La pulsation propre d'un pendule élastique horizontal, de masse $m$ et de raideur $k$ , est donnée par :

\omega_0 = \dfrac{k}{m}

\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m}{k}}

\omega_0 = \dfrac{m}{k}

\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}

Explication : En posant

\omega_0^{2}=\dfrac{k}{m}

dans l'équation

\ddot x+\omega_0^2x=0

, on obtient

\omega_0=\sqrt{k/m}

La période propre $T_0=2\pi\sqrt{m/k}$ d'un pendule élastique :

ne dépend que de

m

k

, jamais de l'amplitude ni de la façon dont on lance l'oscillateur double si l'on double l'amplitude initiale dépend fortement de la vitesse initiale communiquée au solide dépend de la position initiale

x_0

, mais pas de

k

Explication : C'est la propriété d'isochronisme :

T_0

est fixée par le système

\{

ressort, masse

\}

seul ; les conditions initiales ne déterminent que

X_m

\varphi

Pour déterminer les constantes $X_m$ et $\varphi$ de la solution $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ , on utilise :

uniquement la valeur de

\omega_0

uniquement la valeur de la raideur

k

les conditions initiales

x(0)

\dot{x}(0)

uniquement la valeur de la masse

m

Explication : On identifie

x(0)

\dot x(0)

, donnés par l'énoncé, aux expressions

X_m\cos\varphi

-X_m\omega_0\sin\varphi

: deux équations pour deux inconnues.

Un pendule élastique horizontal a une masse $m=500\ \text{g}$ et une raideur $k=50\ \text{N·m}^{-1}$ . Sa pulsation propre vaut :

5\ \text{rad·s}^{-1}

10\ \text{rad·s}^{-1}

25\ \text{rad·s}^{-1}

100\ \text{rad·s}^{-1}

Explication :

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{50}{0{,}500}}=\sqrt{100}

=10\ \text{rad·s}^{-1}

Toujours pour ce pendule ( $\omega_0=10\ \text{rad·s}^{-1}$ ), la période propre vaut environ :

0{,}31\ \text{s}

1{,}57\ \text{s}

3{,}14\ \text{s}

0{,}63\ \text{s}

Explication :

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=\dfrac{2\pi}{10}

\approx 0{,}63\ \text{s}

Un pendule élastique vertical, comparé au même ressort utilisé à l'horizontale, oscille avec :

la même pulsation et la même période propre, seule la position d'équilibre étant décalée une pulsation plus grande, car le poids s'ajoute à la force de rappel une période propre qui dépend de

g

, contrairement au cas horizontal une amplitude nécessairement plus faible

Explication : En comptant la position

X

depuis la nouvelle position d'équilibre

O'

, le terme constant

mg-k\Delta l_{\text{éq}}

s'annule et l'on retrouve

\ddot X+\dfrac{k}{m}X=0

: même

\omega_0

, même

T_0

. Seul l'équilibre est déplacé de

\Delta l_{\text{éq}}=\dfrac{mg}{k}

Un peson à ressort, utilisé sur un marché à Ndjamena, a une raideur $k=100\ \text{N·m}^{-1}$ . On y suspend un sac de mil de masse $m=250\ \text{g}$ . L'allongement à l'équilibre vaut environ ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ ) :

0{,}25\ \text{cm}

24{,}5\ \text{cm}

2{,}45\ \text{cm}

4{,}08\ \text{cm}

Explication :

\Delta l_{\text{éq}}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0{,}250\times 9{,}8}{100}=\dfrac{2{,}45}{100}

=0{,}0245\ \text{m}=2{,}45\ \text{cm}

Pour un pendule de torsion d'inertie $J$ et de constante de torsion $C$ , la période propre vaut :

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{C}{J}}

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J}{C}}

T_0=2\pi\,\dfrac{J}{C}

T_0=2\pi\,\dfrac{C}{J}

Explication : L'équation

J\ddot\theta+C\theta=0

est l'analogue exact de

m\ddot x+kx=0

, avec la correspondance

m\leftrightarrow J

k\leftrightarrow C

: donc

T_0=2\pi\sqrt{J/C}

L'équation différentielle exacte du pendule simple, obtenue par projection tangentielle de la deuxième loi de Newton, s'écrit :

\ddot\theta + \dfrac{g}{l}\theta = 0

\ddot\theta - \dfrac{g}{l}\sin\theta = 0

l\ddot\theta - g\sin\theta = 0

\ddot\theta + \dfrac{g}{l}\sin\theta = 0

Explication : La projection tangentielle donne

ml\ddot\theta=-mg\sin\theta

, soit

\ddot\theta+\dfrac{g}{l}\sin\theta=0

: une équation non linéaire, à cause du terme

\sin\theta

Aux petits angles ( $\theta$ exprimé en radians, $\theta_m\lesssim 20°$ ), l'approximation utilisée pour linéariser l'équation du pendule simple est :

\sin\theta \approx \theta

\sin\theta \approx \theta^{2}

\sin\theta \approx 1

\cos\theta \approx \theta

Explication : Pour un petit angle en radians,

\sin\theta\approx\theta

(écart relatif inférieur à

2\ \%

jusqu'à

20°

) : l'équation devient linéaire,

\ddot\theta+\dfrac{g}{l}\theta=0

Pour un pendule simple de longueur $l$ , en petites oscillations, la période propre vaut :

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{g}{l}}

T_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{l}{g}}

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}

T_0 = 2\pi\,\dfrac{l}{g}

Explication : L'équation linéarisée

\ddot\theta+\dfrac{g}{l}\theta=0

donne

\omega_0=\sqrt{g/l}

, donc

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{l/g}

Un métronome de conservatoire, assimilé à un pendule simple de longueur $l=1{,}0\ \text{m}$ , a pour période propre environ ( $g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$ , petites oscillations) :

1{,}0\ \text{s}

2{,}0\ \text{s}

3{,}1\ \text{s}

6{,}3\ \text{s}

Explication :

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{1{,}0}{9{,}8}}\approx 2\pi\times 0{,}319

\approx 2{,}0\ \text{s}

Contrairement au pendule élastique, la période propre du pendule simple :

ne dépend pas de la longueur du fil est indépendante de la pesanteur

g

dépend de la masse de la bille suspendue dépend de la pesanteur

g

: un même pendule ne bat pas le même tempo sur la Lune que sur Terre

Explication :

T_0=2\pi\sqrt{l/g}

fait intervenir

g

, contrairement à

T_0=2\pi\sqrt{m/k}

du pendule élastique qui en est indépendant. La masse de la bille, elle, n'intervient dans aucun des deux cas.

Pendant les oscillations libres non amorties d'un pendule élastique, l'énergie mécanique $E_m=E_c+E_p$ :

reste constante au cours du temps diminue régulièrement, comme dans tout mouvement réel est maximale à l'équilibre

x=0

et minimale aux extrema

\pm X_m

double à chaque passage par l'équilibre

Explication : En dérivant

E_m(t)

, on trouve

\dfrac{\mathrm dE_m}{\mathrm dt}=\dot x(m\ddot x+kx)=0

: l'énergie mécanique est constante en l'absence de frottement, égale à

\dfrac12kX_m^{2}

Quand un pendule élastique passe par sa position d'équilibre ( $x=0$ ), son énergie cinétique vaut :

0

\dfrac{E_m}{2}

E_m

, car l'énergie potentielle élastique y est nulle cela dépend uniquement de la masse

m

Explication : À

x=0

E_p=\dfrac12kx^{2}=0

, donc

E_c=E_m-E_p=E_m

: la vitesse y est maximale, c'est le piège inverse de

x=\pm X_m

où

E_c=0

Un oscillateur amorti a un coefficient de frottement $h$ supérieur au coefficient critique $h_c=2\sqrt{km}$ . Son régime est :

pseudo-périodique : il oscille en s'amortissant progressivement apériodique : il revient à l'équilibre sans osciller, plus lentement que le régime critique critique : c'est le retour le plus rapide possible, sans oscillation non amorti : il oscille indéfiniment à amplitude constante

Explication :

h>h_c

correspond au régime apériodique : le système retourne à l'équilibre sans osciller, mais plus lentement que dans le cas critique (

h=h_c

La résonance d'un oscillateur soumis à des oscillations forcées correspond à :

une fréquence excitatrice nulle une amplitude toujours infinie, quel que soit l'amortissement une fréquence excitatrice très éloignée de la fréquence propre

f_0

une amplitude maximale, atteinte lorsque la fréquence excitatrice

f

se rapproche de la fréquence propre

f_0

Explication : Piège classique : l'amplitude à la résonance (

f\approx f_0

) est maximale mais reste finie dès qu'il existe un amortissement, même faible — jamais infinie. C'est ce phénomène qui a provoqué l'effondrement du pont d'Angers en 1850, sous le pas cadencé d'un bataillon.

Oscillateurs mécaniques

Ce que tu sauras faire à la fin

1Oscillateur harmonique : équation différentielle

1.1 Mise en équation : la 2e loi de Newton

1.2 Déterminer XmX_mXm​ et φ\varphiφ à partir des conditions initiales

2Pendule élastique horizontal et vertical

2.1 Rappel : le cas horizontal

2.2 Le pendule élastique vertical

3Période propre

3.1 Lecture graphique de XmX_mXm​ et T0T_0T0​

3.2 Généralisation : le pendule de torsion

4Pendule simple et petites oscillations

4.1 Mise en équation

4.2 L'approximation des petites oscillations

5Énergie de l'oscillateur

5.1 Énergie potentielle élastique et énergie cinétique

5.2 Conservation de l'énergie mécanique

6Amortissement et résonance

6.1 Les trois régimes d'oscillations amorties

6.2 Oscillations forcées et résonance

Fiche mémo

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Radioactivité et décroissance

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

1.1 Mise en équation : la 2^e loi de Newton

1.2 Déterminer $X_m$ et $\varphi$ à partir des conditions initiales

3.1 Lecture graphique de $X_m$ et $T_0$