Circuits RLC et oscillations électriques

Étudier les régimes transitoires et les oscillations d'un circuit.

Physique Terminale Chapitre 7 / 11 ⏱ 11 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Résoudre l'équation différentielle d'un circuit RC ou RL
Calculer la période propre d'un circuit LC
Interpréter un oscillogramme d'amortissement

Jusqu'ici, tu as étudié des circuits en régime permanent : une fois les interrupteurs fermés, les tensions et les courants ne bougent plus, et la loi d'Ohm suffit à tout calculer. Ce chapitre change de perspective : il s'intéresse à ce qui se passe pendant que le circuit s'installe, et surtout à des circuits qui ne se stabilisent jamais — ils oscillent. C'est ce phénomène qui permet à un poste de radio de sélectionner une station à Dakar, à une montre à quartz de battre la seconde, ou à une bougie de moteur de produire une étincelle.

La démarche est toujours la même : écrire la loi des mailles, remplacer chaque tension par sa relation avec la charge ou le courant, et obtenir une équation différentielle. Tu commenceras par des circuits « du premier ordre » (RC, RL), où une seule grandeur s'accumule progressivement, puis tu passeras aux circuits « du second ordre » (LC, RLC), où l'énergie fait des allers-retours entre deux éléments — exactement comme un pendule qui oscille entre énergie cinétique et énergie potentielle.

Cette parenté avec la mécanique n'est pas un hasard : les mêmes équations gouvernent une masse au bout d'un ressort et une charge dans un circuit LC. Tu retrouveras donc des outils déjà rencontrés (résolution d'équations différentielles, pulsation propre, amortissement) dans un habillage neuf. Le chapitre est dense, mais chaque section s'appuie sur la précédente : prends le temps de bien assimiler les dipôles RC et RL avant d'aborder les oscillations proprement dites.

1Dipôle RC : charge et décharge

1.1 Rappels sur le condensateur

Définition

Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant (le diélectrique). Sous l'effet d'une tension $u$ à ses bornes, il accumule sur son armature « + » une charge $q$ proportionnelle à $u$ :

$q = Cu$

$C$ est la capacité du condensateur, exprimée en farad (F). En convention récepteur (la flèche de $i$ entrant par la borne où pointe la flèche de $u$ ), l'intensité qui charge l'armature « + » est :

$i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$

Attention

Le farad est une unité énorme pour l'électronique usuelle : les condensateurs réels s'expriment en microfarads ( $1\ \mu\text{F} = 10^{-6}\ \text{F}$ ), nanofarads ou picofarads. Convertis systématiquement en farads avant tout calcul, sous peine d'erreurs de plusieurs ordres de grandeur — piège classique du bac.

Le condensateur emmagasine de l'énergie sous forme électrique. On la retrouve en intégrant la puissance reçue $p = ui$ .

Démonstration — énergie

E_e = \dfrac{1}{2}Cu^{2}

La puissance reçue est $p(t) = u(t)\,i(t)$ , avec $i = C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ :

$p = u \times C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$
$=$ $C\,u\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$
$=$ $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{1}{2}Cu^{2}\right)$ car $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(u^2) = 2u\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$

L'énergie emmagasinée entre l'instant où $u=0$ et l'instant où la tension vaut $u$ est l'intégrale de $p$ , c'est-à-dire précisément la quantité dont $p$ est la dérivée :

$E_e = \dfrac{1}{2}Cu^{2} = \dfrac{q^{2}}{2C} = \dfrac{1}{2}qu$

C.Q.F.D.

1.2 Charge d'un condensateur à travers un résistor

Considère le montage de la Figure 1 : un générateur de f.é.m. $E$ , un résistor $R$ et un condensateur $C$ initialement déchargé, en série. À l'instant $t=0$ , on ferme l'interrupteur $K$ .

Figure 1 — Montage RC en position « charge ». Le courant

i

, la tension

u_R

et la tension

u_C

sont orientés en convention récepteur, tous dans le sens de parcours de la maille ;

q

est la charge de l'armature par laquelle

i

entre.

Démonstration — mise en équation

La loi des mailles donne, en parcourant la maille dans le sens choisi :

$E = u_R + u_C$
$u_R = Ri$ loi d'Ohm, même sens que $i$
$i = C\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ relation du condensateur
$\Rightarrow$ $E = RC\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C$

On obtient l'équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, avec second membre :

$\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{u_C}{RC} = \dfrac{E}{RC}$

Théorème — solution

Avec la condition initiale $u_C(0)=0$ , la solution de cette équation est :

$u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right) \qquad \text{avec} \qquad \tau = RC$

$\tau$ est la constante de temps du dipôle RC, homogène à un temps et exprimée en secondes. On vérifie par substitution : $\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \dfrac{E}{\tau}\mathrm{e}^{-t/\tau}$ , et $\dfrac{E}{\tau}\mathrm{e}^{-t/\tau} + \dfrac{E(1-\mathrm{e}^{-t/\tau})}{\tau} = \dfrac{E}{\tau}$ , qui est bien égal à $\dfrac{E}{RC}$ .

Méthode — lire

\tau

sur un graphe

La tangente à la courbe $u_C(t)$ à l'origine coupe l'asymptote $u_C = E$ à l'abscisse $t=\tau$ (car la pente initiale vaut $E/\tau$ ). Au bout de $5\tau$ , le régime permanent est atteint à mieux que $1\%$ près : $\mathrm{e}^{-5}\approx 0{,}0067$ .

u_C(t)

—

E=6{,}0\ \text{V}

\tau = 1{,}0\ \text{s}

u (V)t (s) 0246 012345 charge :

E(1-\mathrm{e}^{-t/\tau})

décharge :

E\,\mathrm{e}^{-t/\tau}

Figure 2 — Courbes de charge et de décharge de

u_C(t)

. À

t=\tau

, la charge atteint

63\%

E

et la décharge est retombée à

37\%

de sa valeur initiale.

Exemple — application numérique

Un générateur $E = 6{,}0\ \text{V}$ charge un condensateur $C = 500\ \mu\text{F}$ à travers $R = 2{,}0\ \text{k}\Omega$ .

$\tau = RC = 2{,}0\times10^{3} \times 500\times10^{-6}$
$=$ $1{,}0\ \text{s}$
$u_C(\tau) = 6{,}0\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)$
$\approx$ $3{,}8\ \text{V}$ soit $63\%$ de $E$

Exemple — partage de l'énergie

Quelle fraction de l'énergie fournie par le générateur est-elle dissipée par effet Joule pendant la charge ? La charge totale transférée est $Q=CE$ ; le générateur fournit donc $W_{gen}=EQ=CE^{2}$ , quel que soit $R$ .

$W_{gen} = CE^{2}$
$W_{stock} = \dfrac{1}{2}CE^{2}$ énergie finale du condensateur
$\Rightarrow$ $W_{Joule} = W_{gen}-W_{stock} = \dfrac{1}{2}CE^{2}$

Avec $C=500\ \mu\text{F}$ et $E=6{,}0\ \text{V}$ : $CE^{2}=18\ \text{mJ}$ , donc $W_{stock}=W_{Joule}=9{,}0\ \text{mJ}$ . Exactement la moitié de l'énergie fournie est perdue en chaleur dans $R$ , quelle que soit sa valeur.

1.3 Décharge du condensateur

Le condensateur, chargé sous $U_0$ , est maintenant isolé du générateur et refermé sur le seul résistor $R$ (on redéfinit l'origine des temps à l'instant de la reconnexion). La loi des mailles s'écrit $u_R+u_C=0$ , soit $RC\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}+u_C=0$ : même équation que précédemment, mais sans second membre.

Propriété

La solution vérifiant $u_C(0)=U_0$ est :

$u_C(t) = U_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \qquad \tau = RC$

La même constante de temps $\tau=RC$ gouverne la charge et la décharge : elle ne dépend que du dipôle, pas de la façon dont on l'exploite.

Attention

Ne confonds pas les deux régimes : à la charge, $u_C$ part de $0$ et croît vers $E$ ; à la décharge, $u_C$ part de $U_0$ et décroît vers $0$ . Dans les deux cas $\tau$ se lit de la même façon sur le graphe (Figure 2), mais l'équation différentielle change de second membre.

2Dipôle RL : établissement du courant

2.1 Rappels sur la bobine

Définition

Une bobine (ou inductance) s'oppose aux variations du courant qui la traverse. En convention récepteur, pour une bobine idéale (résistance nulle) d'inductance $L$ :

$u = L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$

$L$ s'exprime en henry (H). Une bobine réelle possède toujours une résistance propre $r$ ; sauf mention contraire, on considère ici des bobines idéales ou l'on inclut $r$ dans la résistance totale $R$ du circuit.

Propriété — continuité du courant

Le courant traversant une bobine ne peut pas subir de discontinuité : $i(0^{-}) = i(0^{+})$ . En effet, une variation brutale de $i$ donnerait $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ infinie, donc une tension $u$ infinie aux bornes de la bobine, physiquement impossible.

Attention — piège classique

C'est le courant qui est continu à travers une bobine, et la tension qui est continue aux bornes d'un condensateur — jamais l'inverse. À $t=0$ , $u_C$ ne saute pas mais $i_C$ le peut ; $i_L$ ne saute pas mais $u_L$ le peut.

Comme pour le condensateur, on établit l'énergie emmagasinée en intégrant $p=ui$ :

$p = ui = Li\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{1}{2}Li^{2}\right)$

Propriété

$E_m = \dfrac{1}{2}Li^{2}$

C'est l'analogue, pour la bobine, de $E_e=\dfrac{1}{2}Cu^2$ pour le condensateur : l'une stocke de l'énergie magnétique, l'autre de l'énergie électrique.

2.2 Établissement du courant

Un générateur $E$ , un résistor $R$ et une bobine $L$ sont montés en série (Figure 3). À $t=0$ , on ferme $K$ ; le courant est nul à cet instant (continuité).

Figure 3 — Montage RL. La bobine s'oppose à l'établissement du courant :

u_L

est maximale à

t=0

puis s'annule en régime permanent.

Démonstration — mise en équation

$E = u_R + u_L$
$u_R = Ri$
$u_L = L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$
$\Rightarrow$ $E = Ri + L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \dfrac{i}{\tau} = \dfrac{E}{L}$ avec $\tau = \dfrac{L}{R}$

Théorème — solution

Avec $i(0)=0$ :

$i(t) = \dfrac{E}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right) \qquad \tau = \dfrac{L}{R}$

$I_{max}=\dfrac{E}{R}$ est le courant en régime permanent, atteint asymptotiquement — la bobine se comporte alors comme un simple fil (sa tension $u_L$ tend vers $0$ ).

i(t)

—

E=12\ \text{V}

R=100\ \Omega

\tau = 5{,}0\ \text{ms}

i (mA)t (ms) 0306090120 0510152025 Imax i(t) = Imax(1 − e^(−t/τ)) τ

Figure 4 — Établissement du courant dans un dipôle RL : même forme que la charge d'un condensateur, avec

\tau = L/R

Exemple — application numérique

$E=12\ \text{V}$ , $R=100\ \Omega$ , $L=0{,}50\ \text{H}$ .

$\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0{,}50}{100}$
$=$ $5{,}0\times10^{-3}\ \text{s} = 5{,}0\ \text{ms}$
$I_{max} = \dfrac{E}{R} = \dfrac{12}{100}$
$=$ $0{,}12\ \text{A} = 120\ \text{mA}$
$i(\tau) = 120\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)$
$\approx$ $76\ \text{mA}$

Exemple — l'énergie n'est pas proportionnelle au temps

À $t=\tau$ , le courant a atteint $63\%$ de $I_{max}$ . Quelle fraction de l'énergie finale $E_m(\infty)=\dfrac12 LI_{max}^2$ est-elle déjà stockée ?

$\dfrac{E_m(\tau)}{E_m(\infty)} = \left(\dfrac{i(\tau)}{I_{max}}\right)^{2} = \left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)^{2}$
$\approx$ $0{,}632^{2} \approx 0{,}40$

Seulement 40 % de l'énergie finale est stockée à $t=\tau$ , alors que le courant a déjà atteint 63 % : l'énergie varie comme le carré du courant.

Physique & Co — La découverte de l'auto-induction

En 1832, l'Américain Joseph Henry observe qu'une bobine parcourue par un courant variable développe, à ses propres bornes, une tension qui s'oppose à cette variation — l'auto-induction. Faraday venait de découvrir l'induction entre deux circuits distincts ; Henry montre qu'un circuit peut s'induire lui-même. En 1893, le congrès international des électriciens de Chicago donne son nom à l'unité d'inductance, le henry (H).

Rupture du courant. Si l'on ouvre l'interrupteur d'un circuit RL parcouru par $I_0$ , la continuité impose $i(0^+)=I_0$ : le courant décroît selon $i(t)=I_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau'}$ sans jamais sauter à zéro. Sans chemin de substitution, cette continuité forcée crée une surtension aux bornes de l'interrupteur, capable de produire un arc — le principe, exploité de façon contrôlée, de l'étincelle d'allumage d'un moteur (section 6).

3Circuit LC : oscillations libres

3.1 Mise en équation : décharge oscillante

Charge un condensateur $C$ sous une tension $U_0$ , puis connecte-le directement à une bobine idéale $L$ (sans résistance), sans générateur : c'est le circuit LC de la Figure 5. Que se passe-t-il quand on ferme $K$ ?

q(0)=Q_m

i(0)=0

K qC uC i L uL

Figure 5 — Montage LC. Le sens de

i

est choisi arbitrairement ;

q

désigne la charge de l'armature par laquelle

i

entre, si bien que

i=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}

Démonstration — équation différentielle du circuit LC

La maille ne contient ni générateur ni résistance. En parcourant la boucle dans le sens de $i$ , la loi des mailles donne :

$u_L + u_C = 0$
$u_C = \dfrac{q}{C}$ relation du condensateur
$u_L = L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = L\dfrac{\mathrm{d}^{2}q}{\mathrm{d}t^{2}}$ relation de la bobine, avec $i=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$
$\Rightarrow$ $L\dfrac{\mathrm{d}^{2}q}{\mathrm{d}t^{2}} + \dfrac{q}{C} = 0$
$\Leftrightarrow$ $\ddot{q} + \dfrac{q}{LC} = 0$

C'est l'équation différentielle du second ordre, linéaire, sans second membre, qui gouverne toutes les oscillations libres de ce chapitre. C.Q.F.D.

3.2 Solution : la période propre

Théorème

La solution générale de $\ddot{q} + \omega_0^{2}q = 0$ avec $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ est sinusoïdale :

$q(t) = Q_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$

où $Q_m>0$ (amplitude) et $\varphi$ (phase à l'origine) sont fixés par les conditions initiales. On vérifie par substitution : $\ddot{q} = -\omega_0^{2}Q_m\cos(\omega_0 t+\varphi) = -\omega_0^{2}q$ , donc $\ddot{q}+\omega_0^{2}q=0$ est bien satisfaite.

Propriété — période propre

Les oscillations sont périodiques, de période propre :

$T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{LC}$

$T_0$ ne dépend que de $L$ et $C$ — ni de l'amplitude $Q_m$ , ni des conditions initiales : c'est la signature du circuit, comme la période d'un pendule ne dépend pas de l'amplitude des petites oscillations.

Exemple — pulsation et période propres

Circuit de référence : $L=0{,}20\ \text{H}$ , $C=5{,}0\ \mu\text{F}$ .

$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}20\times5{,}0\times10^{-6}}}$
$=$ $1{,}0\times10^{3}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$
$\approx$ $6{,}3\times10^{-3}\ \text{s} = 6{,}3\ \text{ms}$
$f_0 = \dfrac{1}{T_0}$
$\approx$ $1{,}6\times10^{2}\ \text{Hz}$

3.3 Expressions de q(t), u(t), i(t)

Prenons l'origine des temps à l'instant où le condensateur est complètement chargé : $q(0)=Q_m$ et $i(0)=0$ . Alors $\varphi=0$ , et :

$q(t) = Q_m\cos(\omega_0 t)$
$u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C} = U_0\cos(\omega_0 t)$ $U_0 = Q_m/C$
$i(t) = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = -Q_m\omega_0\sin(\omega_0 t)$
$=$ $I_m\cos\left(\omega_0 t + \dfrac{\pi}{2}\right)$ $-\sin\theta=\cos(\theta+\pi/2)$ , $I_m=Q_m\omega_0$

Propriété — quadrature

L'intensité $i(t)$ est en quadrature avance sur la charge $q(t)$ : elle est déphasée de $+\dfrac{\pi}{2}$ par rapport à $q$ . Concrètement, $i$ est extrémale quand $q$ s'annule, et réciproquement — jamais les deux en même temps.

Attention — piège classique

Ne dis jamais que « le courant est maximal quand la charge est maximale » : c'est l'inverse ! Quand $q=Q_m$ (condensateur plein), le courant est nul ; un quart de période plus tard, $q=0$ et $|i|=I_m$ est maximal (toute l'énergie est passée dans la bobine).

q(t)

et intensité

i(t)

: quadrature de phase q(t)/Qm i(t)/Im 10-1 0T0/2T03T0/22T0

Figure 6 —

q(t)

i(t)

normalisées à leurs amplitudes respectives (

Q_m=30\ \mu\text{C}

I_m=30\ \text{mA}

pour le circuit de référence). Le décalage d'un quart de période visualise la quadrature.

Exemple — écrire les trois expressions

Pour le circuit de référence chargé sous $U_0=6{,}0\ \text{V}$ : $Q_m=CU_0=5{,}0\times10^{-6}\times6{,}0=30\ \mu\text{C}$ , $I_m=Q_m\omega_0=30\times10^{-6}\times1{,}0\times10^{3}=30\ \text{mA}$ . D'où :

$q(t)=30\cos(1000\,t)\ \mu\text{C} \quad u_C(t)=6{,}0\cos(1000\,t)\ \text{V} \quad i(t)=-30\sin(1000\,t)\ \text{mA}$

3.4 Conservation de l'énergie électromagnétique

Démonstration — l'énergie totale se conserve

L'énergie électromagnétique totale est $E_{tot} = E_e + E_m = \dfrac{q^{2}}{2C} + \dfrac{1}{2}Li^{2}$ . Dérivons-la par rapport au temps :

$\dfrac{\mathrm{d}E_{tot}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{q}{C}\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + Li\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$
$=$ $\dfrac{q}{C}\,i + Li\ddot{q}$ $\mathrm{d}q/\mathrm{d}t=i$
$=$ $\dfrac{q}{C}\,i + i\left(-\dfrac{q}{C}\right)$ équation du circuit : $L\ddot q=-q/C$
$=$ $0$

$E_{tot}$ est donc constante : l'énergie électromagnétique du circuit LC idéal se conserve. C.Q.F.D.

Propriété

$E_{tot} = \dfrac{Q_m^{2}}{2C} = \dfrac{1}{2}LI_m^{2}$

Ces deux écritures coïncident car $I_m=Q_m\omega_0=Q_m/\sqrt{LC}$ . Pour le circuit de référence : $E_{tot}=\dfrac{(30\times10^{-6})^{2}}{2\times5{,}0\times10^{-6}}=90\ \mu\text{J}$ .

E_e(t)

E_m(t)

E_{tot}

— circuit LC idéal Ee(t) Em(t) Etot (constante) Etot0 0T0/2T03T0/22T0

Figure 7 — Échanges permanents entre énergie électrique

E_e

et énergie magnétique

E_m

; leur somme reste égale à

E_{tot}

Attention

Sur la Figure 7, $E_e$ et $E_m$ oscillent avec une période $T_0/2$ , et non $T_0$ : $\cos^{2}$ et $\sin^{2}$ ont une période moitié de celle de $\cos$ . Un piège fréquent au bac consiste à lire directement $T_0$ sur une courbe d'énergie.

4Circuit RLC série amorti

4.1 Mise en équation

Le circuit LC réel comporte toujours une résistance (celle du fil, de la bobine, ou un résistor ajouté $R$ ) : c'est le circuit RLC série (Figure 8). Le même raisonnement qu'en 3.1, avec le terme $u_R$ en plus, donne :

Figure 8 — Montage RLC série libre (sans générateur) : mêmes conventions que la Figure 5, avec un résistor

R

en plus.

Démonstration

$u_R + u_L + u_C = 0$
$\Rightarrow$ $Ri + L\ddot q + \dfrac{q}{C} = 0$
$\Leftrightarrow$ $\ddot{q} + \dfrac{R}{L}\dot{q} + \dfrac{q}{LC} = 0$

Le terme en $\dot q = i$ est le terme d'amortissement : il traduit la dissipation d'énergie par effet Joule dans $R$ .

4.2 Les trois régimes

Méthode — équation caractéristique

On cherche des solutions $q=A\,\mathrm{e}^{rt}$ . En reportant dans l'équation, $r$ doit vérifier :

$r^{2} + \dfrac{R}{L}r + \dfrac{1}{LC} = 0 \qquad \Delta = \left(\dfrac{R}{L}\right)^{2} - \dfrac{4}{LC}$

Le signe de $\Delta$ fixe la nature du régime. Il s'annule pour la résistance critique $R_c = 2\sqrt{L/C}$ .

Théorème — les trois régimes

$R < R_c$ ( $\Delta<0$ ) : régime pseudo-périodique. Racines complexes $r=-\lambda\pm\mathrm{j}\Omega$ , avec $\lambda=\dfrac{R}{2L}$ et $\Omega=\sqrt{\omega_0^{2}-\lambda^{2}}$ . La charge oscille en s'amortissant : $q(t)=Q_m\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\cos(\Omega t+\varphi)$ , de pseudo-période $T=\dfrac{2\pi}{\Omega}$ . Si $R\ll R_c$ , $\Omega\approx\omega_0$ donc $T\approx T_0$ .
$R = R_c$ ( $\Delta=0$ ) : régime critique. Racine double $r=-\lambda=-\omega_0$ ; $q(t)=(A+Bt)\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t}$ : retour à l'équilibre le plus rapide possible sans oscillation.
$R > R_c$ ( $\Delta>0$ ) : régime apériodique. Deux racines réelles négatives distinctes $r_1,r_2$ ; $q(t)=A\,\mathrm{e}^{r_1 t}+B\,\mathrm{e}^{r_2 t}$ : retour à l'équilibre sans oscillation, mais plus lentement qu'en régime critique.

L=0{,}20\ \text{H}

C=5{,}0\ \mu\text{F}

(

R_c=400\ \Omega

) R=40Ω R=400Ω R=1000Ω Qm0-Qm 0510152025 t(ms)

Figure 9 — Réponse

q(t)

du même circuit LC (

L=0{,}20\ \text{H}

C=5{,}0\ \mu\text{F}

Q_m=30\ \mu\text{C}

) pour trois valeurs de

R

. Le régime critique revient à zéro le plus vite, sans jamais osciller.

Attention — piège classique

N'affirme jamais que le régime apériodique « revient plus vite » que le critique : c'est l'inverse. Le régime critique ( $R=R_c$ ) est, par définition, le retour à l'équilibre le plus rapide sans dépassement. Augmenter encore $R$ au-delà de $R_c$ ralentit le retour (la bobine et le résistor se gênent mutuellement).

Exemple — identifier le régime

Pour $L=0{,}20\ \text{H}$ et $C=5{,}0\ \mu\text{F}$ : $R_c=2\sqrt{L/C}=2\sqrt{4{,}0\times10^{4}}=400\ \Omega$ .

$R=40\ \Omega < R_c$ pseudo-périodique
$R=400\ \Omega = R_c$ critique
$R=1000\ \Omega > R_c$ apériodique

Exemple — pseudo-période pour

R=40\ \Omega

$\lambda = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{40}{0{,}40}$
$=$ $100\ \text{s}^{-1}$
$\Omega = \sqrt{\omega_0^{2}-\lambda^{2}} = \sqrt{10^{6}-10^{4}}$
$\approx$ $995\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$T = \dfrac{2\pi}{\Omega}$
$\approx$ $6{,}3\ \text{ms}$ très proche de $T_0=6{,}3\ \text{ms}$

5Analogies électromécaniques

Reprends l'équation du circuit LC, $\ddot{q}+\dfrac{q}{LC}=0$ , et compare-la à celle d'une masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $k$ , sans frottement : $\ddot{x}+\dfrac{k}{m}x=0$ . Ce sont, littéralement, la même équation — seuls les noms des grandeurs changent. Cette parenté n'est pas un hasard : dans les deux cas, un système échange en permanence son énergie entre deux « réservoirs » (élastique et cinétique, ou électrique et magnétique).

Propriété — correspondance électromécanique

On fait correspondre les énergies terme à terme : $\frac12 mv^{2}\leftrightarrow \frac12 Li^{2}$ (cinétique / magnétique) et $\frac12 kx^{2}\leftrightarrow \frac{q^{2}}{2C}$ (élastique / électrique). On en déduit :

Grandeur mécanique	Grandeur électrique
position $x$ (m)	charge $q$ (C)
vitesse $v=\dot x$ (m·s⁻¹)	intensité $i=\dot q$ (A)
masse $m$ (kg)	inductance $L$ (H)
raideur $k$ (N·m⁻¹)	inverse de capacité $1/C$ (F⁻¹)
frottement fluide $h$ (N·s·m⁻¹)	résistance $R$ ( $\Omega$ )
pulsation propre $\omega_0=\sqrt{k/m}$	pulsation propre $\omega_0=1/\sqrt{LC}$

L'analogie se prolonge à l'amortissement : un pendule élastique freiné par un frottement fluide $-h v$ obéit à $m\ddot x + h\dot x + kx = 0$ , à comparer avec $L\ddot q + R\dot q + q/C = 0$ . Les trois mêmes régimes existent côté mécanique : pseudo-périodique (faible frottement), critique, apériodique (fort frottement, comme un pendule plongé dans du miel) — avec la résistance critique mécanique $h_c = 2\sqrt{mk}$ , exact analogue de $R_c=2\sqrt{L/C}$ .

Exemple — de l'électrique au mécanique

Notre circuit LC de référence a $\omega_0=1{,}0\times10^{3}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . Quelle raideur $k$ donner à un ressort portant une masse $m=50\ \text{g}$ pour obtenir la même pulsation propre ?

$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \Rightarrow k = m\omega_0^{2}$
$k = 50\times10^{-3}\times(1{,}0\times10^{3})^{2}$
$=$ $5{,}0\times10^{4}\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$

Exemple — un amortisseur est-il pseudo-périodique ?

Un amortisseur de véhicule : masse suspendue $m=15\ \text{kg}$ , raideur $k=2{,}0\times10^{4}\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$ , frottement $h=800\ \text{N}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}$ .

$h_c = 2\sqrt{mk} = 2\sqrt{15\times2{,}0\times10^{4}}$
$=$ $2\sqrt{3{,}0\times10^{5}} \approx 1{,}1\times10^{3}\ \text{N}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}$
$h = 800\ \text{N}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1} < h_c$

Le système est en régime pseudo-périodique : après un nid-de-poule, la caisse oscille un peu avant de se stabiliser — c'est voulu, un amortisseur trop raide (proche du régime critique) transmettrait plus brutalement les chocs.

6Énergie dans un circuit oscillant

6.1 Bilan énergétique du circuit RLC

Démonstration — l'énergie décroît par effet Joule

Reprenons $E_{tot}=\dfrac{q^2}{2C}+\dfrac12 Li^2$ pour le circuit RLC série ( $L\ddot q + R\dot q + q/C=0$ ) :

$\dfrac{\mathrm{d}E_{tot}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{q}{C}i + Li\ddot q$
$=$ $\dfrac{q}{C}i + i\left(-Ri-\dfrac{q}{C}\right)$ équation du circuit : $L\ddot q=-Ri-q/C$
$=$ $-Ri^{2}$

Comme $R>0$ et $i^2\geqslant0$ , $\dfrac{\mathrm{d}E_{tot}}{\mathrm{d}t}\leqslant0$ : l'énergie totale ne peut que décroître, dissipée en chaleur dans $R$ . On retrouve le cas limite $R=0$ (circuit LC, section 3.4) où l'énergie se conserve exactement. C.Q.F.D.

Propriété — enveloppe de l'énergie

En régime pseudo-périodique faiblement amorti, l'amplitude décroît en $\mathrm{e}^{-\lambda t}$ , donc l'énergie (proportionnelle au carré de l'amplitude) décroît en :

$E_{tot}(t) \approx E_{tot}(0)\,\mathrm{e}^{-2\lambda t} \qquad \lambda = \dfrac{R}{2L}$

Exemple — perte d'énergie sur une pseudo-période

Pour $R=40\ \Omega$ (circuit de référence, $\lambda=100\ \text{s}^{-1}$ , $T\approx6{,}3\ \text{ms}$ ) :

$\dfrac{E_{tot}(T)}{E_{tot}(0)} = \mathrm{e}^{-2\lambda T} = \mathrm{e}^{-2\times100\times6{,}3\times10^{-3}}$
$\approx$ $\mathrm{e}^{-1{,}26}\approx0{,}28$

Il ne reste que $28\%$ de l'énergie initiale après une seule pseudo-période : bien que $R=40\ \Omega$ soit $10$ fois plus petit que $R_c$ , l'amortissement relatif par période reste important. C'est pourquoi, en pratique, on cherche à réduire $R$ bien davantage pour obtenir des oscillations visibles sur de nombreuses périodes.

6.2 Entretien des oscillations

Un circuit RLC livré à lui-même voit toujours ses oscillations s'éteindre : c'est gênant pour une horloge ou un émetteur radio, qui doivent osciller indéfiniment. La solution : ajouter au circuit un dispositif à résistance négative qui, à chaque instant, réinjecte exactement l'énergie perdue par effet Joule.

Figure 10 — Le dispositif

-R'

(alimenté séparément, non représenté) se comporte comme une résistance négative : il fournit de l'énergie au lieu d'en dissiper.

Propriété — condition d'entretien

Le circuit équivaut à un RLC de résistance totale $R-R'$ . Si $R'=R$ exactement, la résistance effective s'annule : les oscillations redeviennent sinusoïdales, de période $T_0$ , d'amplitude constante, entretenues indéfiniment tant que le dispositif est alimenté. C'est le principe de tous les oscillateurs électroniques (radio, horloges, générateurs de fréquence).

6.3 Applications

Exemple — accorder un poste de radio

Un récepteur capte les ondes grâce à un circuit LC dont on ajuste la fréquence propre $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ sur celle de l'émetteur (« accord »). Avec une bobine $L=200\ \mu\text{H}$ , quelle capacité $C$ choisir pour recevoir une station émettant à $800\ \text{kHz}$ ?

$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow C = \dfrac{1}{(2\pi f_0)^{2}L}$
$C = \dfrac{1}{(2\pi\times8{,}0\times10^{5})^{2}\times2{,}0\times10^{-4}}$
$\approx$ $2{,}0\times10^{-10}\ \text{F} = 200\ \text{pF}$

En rendant $C$ réglable (condensateur variable), on balaie toute la bande de fréquences captables.

Une montre à quartz utilise un résonateur en cristal de quartz, taillé pour osciller (par effet piézoélectrique) à $f_0=32\,768\ \text{Hz} = 2^{15}\ \text{Hz}$ : un simple compteur binaire divise cette fréquence par $2^{15}$ pour obtenir un signal de $1\ \text{Hz}$ , utilisé pour faire avancer les aiguilles seconde par seconde. Le quartz a un amortissement extrêmement faible ( $R$ très petite), ce qui rend sa fréquence propre remarquablement stable.

Le système d'allumage d'un moteur exploite la surtension de rupture d'un circuit RL (section 2.3) : la bobine d'allumage emmagasine de l'énergie magnétique pendant que le courant s'établit, puis un rupteur ouvre brutalement le circuit primaire ; la variation rapide de courant induit, dans un enroulement secondaire couplé, une tension de plusieurs milliers de volts qui fait jaillir l'étincelle à la bougie.

Physique & Co — Les ondes de Hertz

En 1887, le physicien allemand Heinrich Hertz utilise un circuit oscillant à étincelles (essentiellement un LC ouvert) pour produire, puis détecter à distance, des ondes électromagnétiques prédites vingt ans plus tôt par Maxwell. Cette expérience fonde la radio : quelques années plus tard, en 1901, Guglielmo Marconi réalise la première liaison radio transatlantique en s'appuyant sur des circuits oscillants pour émettre et « accorder » la réception.

Physique & Co — La première horloge à quartz

C'est en 1927, aux laboratoires Bell, que les ingénieurs Warren Marrison et J. W. Horton construisent la première horloge à quartz, bien plus précise que les horloges mécaniques de l'époque. Le principe — un résonateur de très faible amortissement entretenu électroniquement — équipe aujourd'hui la quasi-totalité des montres.

Fiche mémo

Condensateur : $q=Cu$ , $i=C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ , $E_e=\frac12Cu^2$ . Bobine : $u=L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ , $E_m=\frac12Li^2$ , $i$ continu.
RC : $u_C(t)=E(1-\mathrm{e}^{-t/\tau})$ (charge) ou $U_0\mathrm{e}^{-t/\tau}$ (décharge), $\tau=RC$ .
RL : $i(t)=\dfrac{E}{R}(1-\mathrm{e}^{-t/\tau})$ , $\tau=L/R$ .
LC libre : $\ddot q+\dfrac{q}{LC}=0$ ; $q(t)=Q_m\cos(\omega_0 t+\varphi)$ , $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ , $T_0=2\pi\sqrt{LC}$ .
$i(t)=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ est en quadrature avance ( $+\pi/2$ ) sur $q(t)$ : jamais extrémaux en même temps.
Énergie LC : $E_{tot}=\dfrac{Q_m^2}{2C}=\frac12LI_m^2=\text{constante}$ ; $E_e$ et $E_m$ oscillent en opposition à la fréquence $2f_0$ .
RLC libre : $\ddot q+\dfrac{R}{L}\dot q+\dfrac{q}{LC}=0$ , $\Delta=(R/L)^2-4/(LC)$ , $R_c=2\sqrt{L/C}$ .
$R<R_c$ : pseudo-périodique ( $T\approx T_0$ si $R\ll R_c$ ). $R=R_c$ : critique (retour le plus rapide). $R>R_c$ : apériodique.
RLC : $\dfrac{\mathrm{d}E_{tot}}{\mathrm{d}t}=-Ri^2\leqslant0$ ; enveloppe $E_{tot}(t)\approx E_{tot}(0)\mathrm{e}^{-2\lambda t}$ , $\lambda=R/2L$ .
Entretien : dispositif $-R'$ compensant $R$ pour rendre les oscillations d'amplitude constante.
Analogie : $x\leftrightarrow q$ , $v\leftrightarrow i$ , $m\leftrightarrow L$ , $k\leftrightarrow 1/C$ , $h\leftrightarrow R$ ; mêmes trois régimes des deux côtés.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Un condensateur de capacité $C=200\ \mu\text{F}$ est chargé sous une tension $u=10\ \text{V}$ . Calcule la charge $q$ portée par son armature positive, puis l'énergie $E_e$ qu'il emmagasine.

Voir le corrigé détaillé

$q = Cu = 200\times10^{-6}\times10$
$=$ $2{,}0\times10^{-3}\ \text{C} = 2{,}0\ \text{mC}$
$E_e = \dfrac12 Cu^{2} = 0{,}5\times200\times10^{-6}\times10^{2}$
$=$ $1{,}0\times10^{-2}\ \text{J} = 10\ \text{mJ}$

Le courant traversant une bobine $L=0{,}25\ \text{H}$ croît uniformément de $0$ à $2{,}0\ \text{A}$ en $50\ \text{ms}$ . Calcule la tension $u_L$ pendant cette phase, puis l'énergie magnétique stockée lorsque $i=2{,}0\ \text{A}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \dfrac{2{,}0}{50\times10^{-3}} = 40\ \text{A}\cdot\text{s}^{-1}$
$u_L = L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0{,}25\times40$
$=$ $10\ \text{V}$
$E_m = \dfrac12 Li^{2} = 0{,}5\times0{,}25\times2{,}0^{2}$
$=$ $0{,}50\ \text{J} = 500\ \text{mJ}$

Un dipôle RC ( $R=5{,}0\ \text{k}\Omega$ , $C=100\ \mu\text{F}$ ) est chargé sous $E=10\ \text{V}$ . Calcule $\tau$ , puis $u_C$ aux instants $t=\tau$ et $t=2\tau$ .

Voir le corrigé détaillé

$\tau = RC = 5{,}0\times10^{3}\times100\times10^{-6}$
$=$ $0{,}50\ \text{s}$
$u_C(\tau) = 10\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right) \approx 6{,}3\ \text{V}$
$u_C(2\tau) = 10\left(1-\mathrm{e}^{-2}\right) \approx 8{,}6\ \text{V}$

Un dipôle RL ( $R=50\ \Omega$ , $L=0{,}20\ \text{H}$ ) est alimenté sous $E=5{,}0\ \text{V}$ . Calcule $\tau$ et l'intensité $i(\tau)$ .

Voir le corrigé détaillé

$\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0{,}20}{50} = 4{,}0\times10^{-3}\ \text{s} = 4{,}0\ \text{ms}$
$I_{max} = \dfrac{E}{R} = \dfrac{5{,}0}{50} = 0{,}10\ \text{A}$
$i(\tau) = 0{,}10\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)$
$\approx$ $63\ \text{mA}$

Un circuit LC comporte $L=0{,}10\ \text{H}$ et $C=4{,}0\ \mu\text{F}$ . Calcule sa pulsation propre $\omega_0$ , sa période propre $T_0$ et sa fréquence propre $f_0$ .

Voir le corrigé détaillé

$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}10\times4{,}0\times10^{-6}}}$
$\approx$ $1{,}58\times10^{3}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$
$\approx$ $4{,}0\ \text{ms}$
$f_0 = \dfrac{1}{T_0}$
$\approx$ $2{,}5\times10^{2}\ \text{Hz}$

Niveau 2 — Approfondissement

Montre que, lors de la charge d'un condensateur $C$ sous une f.é.m. $E$ à travers un résistor $R$ quelconque, exactement la moitié de l'énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule. Application numérique : $E=8{,}0\ \text{V}$ , $C=100\ \mu\text{F}$ .

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La charge finale transférée est $Q=CE$ , quelle que soit $R$ .

$W_{gen} = EQ = CE^{2}$ énergie fournie par le générateur
$W_{stock} = \dfrac12 CE^{2}$ énergie finale du condensateur
$\Rightarrow$ $W_{Joule} = CE^{2}-\dfrac12CE^{2} = \dfrac12CE^{2} = W_{stock}$

Le partage est bien $50\%-50\%$ , pour tout $R$ . Numériquement : $CE^{2}=100\times10^{-6}\times64=6{,}4\ \text{mJ}$ , donc $W_{stock}=W_{Joule}=3{,}2\ \text{mJ}$ .

Montre que, dans un dipôle RL alimenté depuis $i(0)=0$ , le rapport $\dfrac{E_m(\tau)}{E_m(\infty)}$ vaut $\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)^{2}$ . Application : $L=1{,}0\ \text{H}$ , $R=200\ \Omega$ , $E=20\ \text{V}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{E_m(\tau)}{E_m(\infty)} = \dfrac{\frac12Li(\tau)^2}{\frac12LI_{max}^2} = \left(\dfrac{i(\tau)}{I_{max}}\right)^{2}$
$=$ $\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)^{2}$ car $i(\tau)=I_{max}(1-\mathrm{e}^{-1})$

Numériquement : $I_{max}=E/R=20/200=0{,}10\ \text{A}$ , $\tau=L/R=1{,}0/200=5{,}0\ \text{ms}$ .

$E_m(\infty) = \dfrac12\times1{,}0\times0{,}10^{2} = 5{,}0\ \text{mJ}$
$E_m(\tau) = 0{,}40\times5{,}0$
$=$ $2{,}0\ \text{mJ}$

Un circuit LC a $L=0{,}45\ \text{H}$ , $C=5{,}0\ \mu\text{F}$ et une charge maximale $Q_m=90\ \mu\text{C}$ . Détermine $\omega_0$ , $T_0$ , $f_0$ , $I_m$ , $E_{tot}$ , puis écris $q(t)$ , $u_C(t)$ et $i(t)$ (on prend $q(0)=Q_m$ ).

Voir le corrigé détaillé

$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}45\times5{,}0\times10^{-6}}} \approx 6{,}7\times10^{2}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} \approx 9{,}4\ \text{ms}$ et $f_0=\dfrac{1}{T_0}\approx1{,}1\times10^{2}\ \text{Hz}$
$I_m = Q_m\omega_0 = 90\times10^{-6}\times6{,}7\times10^{2}\approx60\ \text{mA}$
$E_{tot} = \dfrac{Q_m^{2}}{2C} = \dfrac{(90\times10^{-6})^{2}}{1{,}0\times10^{-5}} \approx 8{,}1\times10^{-4}\ \text{J} = 810\ \mu\text{J}$
$U_0 = \dfrac{Q_m}{C} = \dfrac{90}{5{,}0} = 18\ \text{V}$

D'où $q(t)=90\cos(670\,t)\ \mu\text{C}$ , $u_C(t)=18\cos(670\,t)\ \text{V}$ , $i(t)=-60\sin(670\,t)\ \text{mA}$ .

Un circuit RLC série a $L=0{,}10\ \text{H}$ et $C=25\ \mu\text{F}$ . Détermine la résistance critique $R_c$ , puis précise le régime obtenu pour $R=50\ \Omega$ et pour $R=300\ \Omega$ .

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$R_c = 2\sqrt{\dfrac{L}{C}} = 2\sqrt{\dfrac{0{,}10}{25\times10^{-6}}}$
$=$ $2\sqrt{4{,}0\times10^{3}} \approx 1{,}3\times10^{2}\ \Omega$
$R=50\ \Omega < R_c$ régime pseudo-périodique
$R=300\ \Omega > R_c$ régime apériodique

Niveau 3 — Type bac

On charge un condensateur $C=2{,}0\ \mu\text{F}$ sous $E=5{,}0\ \text{V}$ à travers $R=1{,}0\ \text{k}\Omega$ , puis, une fois la charge terminée, on le connecte à une bobine idéale $L=0{,}80\ \text{H}$ .

Calcule la constante de temps $\tau$ de la phase de charge. Justifie que $U_0\approx E$ après $5\tau$ .
Établis l'équation différentielle vérifiée par $q$ dans le circuit LC formé, et donne sa période propre $T_0$ .
Détermine $Q_m$ , $I_m$ et l'énergie totale $E_{tot}$ du circuit LC.

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1. $\tau=RC=1{,}0\times10^{3}\times2{,}0\times10^{-6}=2{,}0\ \text{ms}$ . Après $5\tau=10\ \text{ms}$ , $u_C=E(1-\mathrm{e}^{-5})\approx0{,}993E$ : la charge est achevée à mieux que $1\%$ près, donc $U_0\approx E=5{,}0\ \text{V}$ .

2. En l'absence de générateur et de résistance, la loi des mailles $u_L+u_C=0$ donne, comme en section 3.1 :

$\ddot q + \dfrac{q}{LC} = 0$
$T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}80\times2{,}0\times10^{-6}}$
$\approx$ $7{,}9\ \text{ms}$

$Q_m = CU_0 = 2{,}0\times10^{-6}\times5{,}0 = 10\ \mu\text{C}$
$\omega_0 = 2\pi/T_0 \approx 7{,}9\times10^{2}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$I_m = Q_m\omega_0 \approx 7{,}9\ \text{mA}$
$E_{tot} = \dfrac{Q_m^{2}}{2C} = \dfrac{(10\times10^{-6})^{2}}{4{,}0\times10^{-6}}$
$=$ $25\ \mu\text{J}$

On a relevé à l'oscilloscope la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur d'un circuit RLC série (Figure 11), de capacité $C=4{,}0\ \mu\text{F}$ .

Identifie le régime observé, en le justifiant à partir de l'allure de la courbe.
Lis graphiquement la pseudo-période $T$ , et déduis-en une valeur approchée de $L$ en admettant $T\approx T_0$ .
Lis l'amplitude à $t=0$ et au point marqué à $t=15\ \text{ms}$ pour évaluer la constante de temps de l'enveloppe, puis déduis-en une valeur approchée de $R$ .

u_C(t)

840-4-8 051015202530 t(ms) 2,9 V

Figure 11 — Tension

u_C(t)

d'un circuit RLC pseudo-périodique. L'enveloppe (pointillés) passe par

(0\,;\,8{,}0\ \text{V})

et par le point marqué

(15\ \text{ms}\,;\,2{,}9\ \text{V})

Voir le corrigé détaillé

1. La courbe oscille tout en s'amortissant progressivement vers $0$ : c'est le régime pseudo-périodique ( $R<R_c$ ).

2. La distance entre deux maxima successifs donne $T\approx5{,}0\ \text{ms}$ .

$T\approx T_0=2\pi\sqrt{LC} \Rightarrow L=\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}C}$
$L = \dfrac{(5{,}0\times10^{-3})^{2}}{4\pi^{2}\times4{,}0\times10^{-6}}$
$\approx$ $0{,}16\ \text{H}$

3. À $t=0$ , l'enveloppe vaut $U_0=8{,}0\ \text{V}$ ; à $t=15\ \text{ms}$ , elle vaut $2{,}9\ \text{V}$ .

$U_0\,\mathrm{e}^{-15/\tau_{env}} = 2{,}9 \Rightarrow \tau_{env} = \dfrac{15}{\ln(8{,}0/2{,}9)}$
$\approx$ $15\ \text{ms}$
$\lambda = \dfrac{1}{\tau_{env}} \approx 67\ \text{s}^{-1}$
$R = 2L\lambda \approx 2\times0{,}16\times67$
$\approx$ $21\ \Omega$

Un oscillateur mécanique amorti a pour masse $m=0{,}20\ \text{kg}$ , raideur $k=180\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$ et frottement $h=3{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}$ .

Calcule sa pulsation propre $\omega_0$ , et détermine s'il est pseudo-périodique ou apériodique.
On choisit un circuit électrique tel que $L$ (en henry) soit numériquement égal à $m$ et $1/C$ (en F⁻¹) numériquement égal à $k$ . Calcule $L$ , $C$ , puis $R$ (numériquement égal à $h$ ).
Vérifie que ce circuit a la même pulsation propre et le même type de régime que l'oscillateur mécanique.

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$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{180}{0{,}20}} = \sqrt{900}$
$=$ $30\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$h_c = 2\sqrt{mk} = 2\sqrt{0{,}20\times180} = 2\sqrt{36}$
$=$ $12\ \text{N}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}$
$h=3{,}0 < h_c$ pseudo-périodique

2. $L=0{,}20\ \text{H}$ ; $1/C=180\ \text{F}^{-1}\Rightarrow C=\dfrac{1}{180}\approx5{,}6\times10^{-3}\ \text{F}$ ; $R=3{,}0\ \Omega$ .

$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \sqrt{\dfrac{1/C}{L}} = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 30\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ identique par construction
$R_c = 2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{m/(1/k)} = 2\sqrt{mk} = h_c = 12\ \Omega$
$R=3{,}0\ \Omega < R_c$ pseudo-périodique, comme prévu

L'analogie est donc exacte, pas seulement qualitative : elle transporte fidèlement pulsation propre et nature du régime.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Radio à Dakar. Un récepteur utilise une bobine fixe $L=300\ \mu\text{H}$ et un condensateur variable réglable de $50\ \text{pF}$ à $400\ \text{pF}$ .

Calcule les fréquences extrêmes $f_{min}$ et $f_{max}$ que peut capter le poste.
Une station émet à $900\ \text{kHz}$ . Calcule la capacité $C$ à choisir pour l'accorder, et vérifie qu'elle est accessible avec ce condensateur.

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1. $f_0$ est minimale quand $C$ est maximale, et maximale quand $C$ est minimale.

$f_{min} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\,C_{max}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{3{,}0\times10^{-4}\times4{,}0\times10^{-10}}}$
$\approx$ $4{,}6\times10^{2}\ \text{kHz}$
$f_{max} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\,C_{min}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{3{,}0\times10^{-4}\times5{,}0\times10^{-11}}}$
$\approx$ $1{,}3\times10^{3}\ \text{kHz}$

$C = \dfrac{1}{(2\pi f_0)^{2}L} = \dfrac{1}{(2\pi\times9{,}0\times10^{5})^{2}\times3{,}0\times10^{-4}}$
$\approx$ $1{,}0\times10^{-10}\ \text{F} = 104\ \text{pF}$

Comme $50\ \text{pF} \leqslant 104\ \text{pF} \leqslant 400\ \text{pF}$ , la station est bien accessible.

Allumage (Abidjan). Le circuit primaire de la bobine d'allumage d'un moteur ( $L=8{,}0\ \text{mH}$ ) est parcouru par un courant $I_0=6{,}0\ \text{A}$ . Le rupteur ouvre le circuit en $\Delta t=0{,}50\ \text{ms}$ .

Estime la tension moyenne $u=L\dfrac{\Delta i}{\Delta t}$ induite dans le circuit primaire lors de la coupure.
Un enroulement secondaire multiplie cette tension par un facteur $120$ . Estime la tension obtenue, et compare-la à la tension nécessaire pour amorcer une étincelle dans l'air (environ $3\ \text{kV/mm}$ , pour un intervalle de $1\ \text{mm}$ ).

Voir le corrigé détaillé

$u = L\dfrac{\Delta i}{\Delta t} = 8{,}0\times10^{-3}\times\dfrac{6{,}0}{0{,}50\times10^{-3}}$
$=$ $8{,}0\times10^{-3}\times1{,}2\times10^{4}$
$=$ $96\ \text{V}$

$u_{secondaire} \approx 120\times96$
$\approx$ $1{,}2\times10^{4}\ \text{V} = 12\ \text{kV}$

La tension nécessaire pour $1\ \text{mm}$ d'air est d'environ $3\ \text{kV}$ : les $12\ \text{kV}$ obtenus suffisent largement à faire jaillir l'étincelle à la bougie. C'est la brutalité de la coupure ( $\Delta t$ très court) qui rend la surtension exploitable.

Minuterie d'escalier (Yaoundé). Une minuterie coupe l'éclairage lorsque la tension d'un condensateur $C=2\,200\ \mu\text{F}$ , qui se décharge dans un résistor $R$ après appui sur le bouton, tombe à $37\%$ de sa valeur initiale. On souhaite que la lumière reste allumée environ $2{,}0\ \text{min}$ .

Traduis la condition « tombe à 37 % » en termes de constante de temps $\tau$ .
Calcule la résistance $R$ à installer pour obtenir $\tau=120\ \text{s}$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Puisque $u_C(t)=U_0\mathrm{e}^{-t/\tau}$ et $\mathrm{e}^{-1}\approx0{,}37$ , la tension atteint $37\%$ de $U_0$ exactement à $t=\tau$ : on veut donc $\tau=120\ \text{s}$ .

$\tau = RC \Rightarrow R = \dfrac{\tau}{C} = \dfrac{120}{2\,200\times10^{-6}}$
$\approx$ $5{,}5\times10^{4}\ \Omega = 55\ \text{k}\Omega$

Un électricien choisira une résistance normalisée proche de $55\ \text{k}\Omega$ .

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8 questions

Radioactivité et décroissance

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Pour un condensateur de capacité $C$ , la relation entre la charge $q$ et la tension $u$ à ses bornes est :

u = Cq

q = Cu

q = \dfrac{u}{C}

q = C+u

Explication : Le condensateur accumule une charge

q

proportionnelle à la tension

u

à ses bornes, le coefficient de proportionnalité étant la capacité

C

q=Cu

L'énergie électrique emmagasinée par un condensateur de capacité $C$ sous une tension $u$ vaut :

E_e = Cu

E_e = Cu^2

E_e = \dfrac12 Cu^2

E_e = \dfrac{u^2}{2C}

Explication : En intégrant la puissance reçue

p=ui=Cu\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dt}

, on obtient

E_e=\dfrac12Cu^2

(soit aussi

\dfrac{q^2}{2C}

Dans un dipôle RC en charge (générateur $E$ , résistor $R$ , condensateur $C$ ), avec $u_C(0)=0$ , l'expression de $u_C(t)$ est :

u_C(t) = E\,\mathrm e^{-t/\tau}

u_C(t) = E\,t

u_C(t) = \dfrac{E}{\tau}

u_C(t) = E\left(1-\mathrm e^{-t/\tau}\right)

Explication : C'est la solution de l'équation différentielle

\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}+\dfrac{u_C}{RC}=\dfrac{E}{RC}

avec la condition initiale

u_C(0)=0

: la tension croît de

0

vers

E

La constante de temps $\tau$ d'un dipôle RC vaut :

\tau = RC

\tau = \dfrac{R}{C}

\tau = R+C

\tau = \dfrac{1}{RC}

Explication : La constante de temps du dipôle RC est

\tau=RC

, homogène à un temps et exprimée en secondes ; elle gouverne aussi bien la charge que la décharge.

Un générateur $E=6{,}0$ V charge un condensateur $C=500\ \mu\text{F}$ à travers $R=2{,}0\ \text{k}\Omega$ . Quelle est la constante de temps $\tau$ ?

10

0{,}1

1{,}0

4{,}0

Explication :

\tau = RC = 2{,}0\times10^3 \times 500\times10^{-6}

=1{,}0\times10^3\times5{,}0\times10^{-4}

=1{,}0

Pour une bobine idéale d'inductance $L$ , en convention récepteur, la relation entre $u$ et $i$ est :

u = Li

u = L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}

i = L\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dt}

u = \dfrac{i}{L}

Explication : Une bobine idéale s'oppose aux variations du courant qui la traverse :

u=L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}

Quelle grandeur est nécessairement continue à travers une bobine, à tout instant ?

la tension

u_L

à ses bornes rien n'est continu la puissance dissipée le courant

i

qui la traverse

Explication : Le courant traversant une bobine ne peut pas subir de discontinuité (sinon

u_L=L\,\mathrm di/\mathrm dt

serait infinie) ; c'est l'inverse pour un condensateur, où c'est la tension qui est continue.

Dans un dipôle RL en établissement du courant, l'intensité en régime permanent $I_{max}$ vaut :

I_{max} = \dfrac{L}{R}

I_{max} = ER

I_{max} = \dfrac{E}{R}

I_{max} = 0

Explication : En régime permanent, la bobine se comporte comme un simple fil (

u_L\to0

) : la loi d'Ohm donne

I_{max}=E/R

Pour un circuit LC libre (sans générateur ni résistance), l'équation différentielle vérifiée par la charge $q$ est :

\ddot q + \dfrac{q}{LC} = 0

\ddot q + \dfrac{R}{L}\dot q = 0

\dot q + \dfrac{q}{LC} = 0

\ddot q - \dfrac{q}{LC} = 0

Explication : La loi des mailles

u_L+u_C=0

avec

u_C=q/C

u_L=L\ddot q

donne

L\ddot q+q/C=0

, soit

\ddot q+q/(LC)=0

: équation du second ordre, sans amortissement.

La période propre $T_0$ d'un circuit LC est donnée par :

T_0 = \dfrac{1}{LC}

T_0 = \sqrt{LC}

T_0 = 2\pi\sqrt{LC}

T_0 = \dfrac{2\pi}{LC}

Explication : Avec

\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}

, la période propre est

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{LC}

, et ne dépend que de

L

C

Un circuit LC de référence a $L=0{,}20$ H et $C=5{,}0\ \mu\text{F}$ . Quelle est sa pulsation propre $\omega_0$ ?

1{,}0\times10^{-3}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

1{,}0\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

1{,}0\times10^{6}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

1{,}0\times10^{3}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

Explication :

\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}20\times5{,}0\times10^{-6}}}

=\dfrac{1}{\sqrt{1{,}0\times10^{-6}}}

=1{,}0\times10^3\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

Dans un circuit LC, l'intensité $i(t)$ et la charge $q(t)$ sont en :

phase (jamais de décalage) quadrature : elles ne sont jamais extrémales en même temps opposition de phase phase, sauf en régime amorti

Explication :

i(t)

est déphasée de

+\pi/2

par rapport à

q(t)

: quand

q

est maximale (condensateur plein),

i

est nulle, et réciproquement.

Dans un circuit LC idéal, l'énergie électromagnétique totale $E_{tot}=E_e+E_m$ :

croît indéfiniment décroît progressivement à cause de l'effet Joule reste constante au cours du temps s'annule à chaque instant

Explication : Dans un circuit LC idéal (sans résistance),

\dfrac{\mathrm dE_{tot}}{\mathrm dt}=0

: l'énergie électromagnétique se conserve, en échange permanent entre énergie électrique et énergie magnétique.

Dans un circuit RLC série amorti, l'équation différentielle de la charge est :

\ddot q + \dfrac{R}{L}\dot q + \dfrac{q}{LC} = 0

\ddot q + \dfrac{q}{LC} = 0

\ddot q + \dfrac{L}{R}\dot q = 0

\dot q + \dfrac{R}{L}q = 0

Explication : La loi des mailles

u_R+u_L+u_C=0

donne

Ri+L\ddot q+q/C=0

, soit

\ddot q+\dfrac{R}{L}\dot q+\dfrac{q}{LC}=0

: le terme en

\dot q

traduit l'amortissement par effet Joule dans

R

La résistance critique $R_c$ d'un circuit RLC série, qui sépare le régime pseudo-périodique du régime apériodique, vaut :

R_c = \sqrt{LC}

R_c = \dfrac{L}{C}

R_c = \dfrac{1}{2}\sqrt{L/C}

R_c = 2\sqrt{L/C}

Explication : Le discriminant

\Delta=(R/L)^2-4/(LC)

de l'équation caractéristique s'annule pour

R_c=2\sqrt{L/C}

, qui définit le régime critique.

Dans l'analogie électromécanique, à quelle grandeur mécanique correspond l'inductance $L$ ?

la raideur

k

le frottement

h

la masse

m

la position

x

Explication : Les deux énergies cinétiques correspondent terme à terme :

\frac12mv^2 \leftrightarrow \frac12Li^2

, donc la masse

m

correspond à l'inductance

L

(et la vitesse

v

au courant

i

Dans un circuit RLC série réel, l'énergie totale $E_{tot}$ au cours du temps vérifie :

\dfrac{\mathrm dE_{tot}}{\mathrm dt} = +Ri^2

E_{tot}

est constante, comme dans le circuit LC

E_{tot}

croît exponentiellement

\dfrac{\mathrm dE_{tot}}{\mathrm dt} = -Ri^2 \leqslant 0

Explication : La résistance dissipe de l'énergie par effet Joule :

\dfrac{\mathrm dE_{tot}}{\mathrm dt}=-Ri^2\leqslant0

, donc l'énergie totale ne peut que décroître (contrairement au cas idéal

R=0

Pour entretenir indéfiniment les oscillations d'un circuit RLC (comme dans un oscillateur électronique), on ajoute :

un dispositif à résistance négative

-R'

compensant exactement

R

une résistance supplémentaire

R

un condensateur supplémentaire en série rien : les oscillations s'entretiennent naturellement

Explication : Un dispositif à résistance négative

-R'

réinjecte à chaque instant l'énergie perdue par effet Joule ; si

R'=R

, la résistance effective s'annule et les oscillations deviennent sinusoïdales d'amplitude constante.

Une bobine $L=200\ \mu\text{H}$ est associée à un condensateur $C$ pour accorder un poste de radio sur une station à $800$ kHz. La formule pour déterminer $C$ est :

C = 2\pi f_0 L

C = f_0^2 L

C = \dfrac{L}{f_0}

C = \dfrac{1}{(2\pi f_0)^2 L}

Explication : À partir de

f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

, on isole

C=\dfrac{1}{(2\pi f_0)^2 L}

, ce qui donne ici

C\approx200

pF.

Une montre à quartz utilise un résonateur qui oscille à $f_0=32\,768$ Hz. Pourquoi le quartz est-il préféré à un circuit RLC classique pour ce type d'horloge ?

il ne consomme aucune énergie son amortissement est extrêmement faible, ce qui rend sa fréquence propre très stable il n'a pas de fréquence propre il fonctionne uniquement en régime apériodique

Explication : Le quartz a une résistance équivalente très petite (amortissement extrêmement faible), ce qui rend sa fréquence propre remarquablement stable — la qualité essentielle recherchée dans une horloge.