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Induction électromagnétique et auto-induction

Découvrir la production de courants induits.

Physique Terminale Chapitre 6 / 11 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer un flux et une f.é.m. induite
  • Appliquer la loi de Lenz pour trouver le sens du courant
  • Exploiter l'énergie d'une bobine

Depuis le début de l'année, tu étudies le champ magnétique B⃗\vec B et la force de Laplace dans des situations statiques ou en régime permanent : un courant constant crée un champ, un champ constant exerce une force sur un courant porteur de courant. Ce chapitre change de point de vue et pose la question inverse, résolument dynamique : que se passe-t-il quand le champ magnétique varie au voisinage d'un circuit ? La réponse, découverte par Michael Faraday en 1831, est saisissante : un courant apparaît sans aucun générateur. C'est l'induction électromagnétique.

Tu côtoies ce phénomène chaque jour sans toujours le savoir. La dynamo d'un vélo, les plaques de cuisson à induction, le chargeur sans fil d'un téléphone, la carte de paiement sans contact, le transformateur gris fixé en haut d'un poteau électrique : tous fonctionnent sur ce principe. À plus grande échelle, c'est l'induction qui, dans chaque alternateur du barrage de Manantali ou de la centrale thermique de Ndjamena, transforme l'énergie mécanique d'une turbine en énergie électrique — la quasi-totalité de la production mondiale d'électricité repose sur ce chapitre.

Sur le plan mathématique, ce chapitre marque un cap : pour la première fois en physique, une grandeur mesurable au voltmètre s'obtient comme la dérivée par rapport au temps d'une autre grandeur, le flux magnétique. Tu vas aussi résoudre ta première véritable équation différentielle de physique, celle du circuit RLRL, et retrouver l'exponentielle du cours de mathématiques comme une réalité chronométrable à l'oscilloscope.

Le plan suit une logique serrée : nous définirons le flux magnétique (§1), outil indispensable, puis la loi de Lenz qui fixe le sens du courant induit (§2), la loi de Faraday qui en donne la valeur (§3), le phénomène d'auto-induction propre à une bobine (§4) et l'énergie qu'elle emmagasine (§5), avant de conclure sur deux applications industrielles majeures : l'alternateur et le transformateur (§6). Tu termineras par une série d'exercices corrigés, du plus direct au plus proche du baccalauréat.

1Flux magnétique

Avant de comprendre comment naît un courant induit, il faut disposer d'un outil pour mesurer « la quantité de champ magnétique qui traverse un circuit ». C'est le rôle du flux magnétique.

1.1  Circuit orienté et vecteur normal

Un circuit filiforme (une spire) délimite une surface. Pour définir le flux qui la traverse, il faut d'abord orienter ce circuit, c'est-à-dire choisir arbitrairement un sens de parcours positif.

Définition

Orienter un circuit, c'est choisir un sens de parcours positif le long du fil. Ce choix détermine, par la règle de la main droite (les quatre doigts suivent le sens positif choisi, le pouce indique la direction), un unique vecteur normal unitaire n⃗\vec n, perpendiculaire au plan de la spire.

Le vecteur surface associé à une spire d'aire SS (en m2\text{m}^{2}) est alors S⃗=S n⃗\vec S = S\,\vec n.

Orientation d'une spire : vecteur normal et angle α B sens positif n α
Figure 1 — Une spire orientée : le sens de parcours positif (vert), choisi arbitrairement, fixe par la règle de la main droite le vecteur normal n⃗\vec n (violet). Le flux vaut Φ=BScos⁡α\Phi = BS\cos\alpha, avec α\alpha l'angle entre n⃗\vec n et B⃗\vec B.

Le choix du sens positif — et donc de n⃗\vec n — est arbitraire : rien dans la physique ne l'impose. Mais une fois fixé, il doit rester le même tout au long d'un exercice : c'est lui qui donne un sens aux signes de Φ\Phi, de ee et de ii.

1.2  Expression du flux magnétique

Définition

Le flux magnétique Φ\Phi à travers une spire orientée, plongée dans un champ B⃗\vec B supposé uniforme sur sa surface, est le produit scalaire de B⃗\vec B par le vecteur surface :

Φ=B⃗⋅S⃗=BScos⁡α\Phi = \vec B \cdot \vec S = BS\cos\alpha

où α\alpha est l'angle entre B⃗\vec B et le vecteur normal n⃗\vec n. Le flux se mesure en weber, symbole Wb\text{Wb} : 1 Wb=1 T⋅m21\ \text{Wb} = 1\ \text{T}\cdot\text{m}^{2}.

Propriété — cas particuliers
  • α=0\alpha = 0 (B⃗\vec B et n⃗\vec n parallèles et de même sens) : le flux est maximal, Φ=BS\Phi = BS.
  • α=90°\alpha = 90° (B⃗\vec B contenu dans le plan de la spire) : le flux est nul, Φ=0\Phi = 0.
  • α=180°\alpha = 180° : le flux est minimal, Φ=−BS\Phi = -BS.

Pour une bobine de NN spires identiques et jointives, chaque spire est traversée par le même flux élémentaire BScos⁡αBS\cos\alpha : le flux total embrassé par la bobine est NN fois plus grand :

Φtotal=NBScos⁡α\Phi_{\text{total}} = NBS\cos\alpha

Exemple — calcul direct du flux

Une spire carrée de côté 5,0 cm5{,}0\ \text{cm} est placée dans un champ uniforme B=0,40 TB = 0{,}40\ \text{T}, sa normale faisant un angle α=60°\alpha = 60° avec B⃗\vec B. Calculons Φ\Phi.

  1. S=(5,0×10−2)2S = \left(5{,}0\times10^{-2}\right)^{2}côté converti en mètres
  2. ==2,5×10−3 m22{,}5\times10^{-3}\ \text{m}^{2}
  3. Φ=BScos⁡α\Phi = BS\cos\alpha
  4. ==0,40×2,5×10−3×cos⁡60°0{,}40 \times 2{,}5\times10^{-3} \times \cos 60°
  5. ==0,40×2,5×10−3×0,50{,}40 \times 2{,}5\times10^{-3} \times 0{,}5
  6. ==5,0×10−4 Wb5{,}0\times10^{-4}\ \text{Wb}
Exemple — flux à travers une bobine de N spires

Une bobine plate de N=200N = 200 spires, de section S=15 cm2S = 15\ \text{cm}^{2}, a son axe aligné avec un champ B=0,30 TB = 0{,}30\ \text{T} (donc α=0\alpha = 0).

  1. S=15×10−4 m2S = 15\times10^{-4}\ \text{m}^{2}
  2. Φtotal=NBScos⁡0\Phi_{\text{total}} = NBS\cos 0cos⁡0=1\cos 0 = 1
  3. ==200×0,30×15×10−4200 \times 0{,}30 \times 15\times10^{-4}
  4. ==9,0×10−2 Wb9{,}0\times10^{-2}\ \text{Wb}

1.3  Mise en évidence expérimentale de l'induction

En 1831, Faraday relie une bobine à un galvanomètre — un appareil qui détecte le moindre courant — et approche un aimant droit. Trois observations, en apparence anodines, vont fonder toute l'électrotechnique moderne.

Expérience de Faraday
  • Aimant immobile à proximité de la bobine : le galvanomètre reste à zéro, aucun courant, quelle que soit l'intensité de BB.
  • Aimant en mouvement (on l'approche ou on l'éloigne) : le galvanomètre dévie, un courant apparaît, sans aucun générateur dans le circuit de la bobine.
  • Plus le mouvement est rapide, plus la déviation observée est grande.

Le point commun de ces observations : un courant n'apparaît que lorsque le flux à travers la bobine varie — que la variation vienne d'un déplacement de l'aimant, d'une rotation, ou, on le verra, d'un courant variable dans un circuit voisin. Un flux constant, même énorme, n'induit jamais de courant. Ce phénomène s'appelle l'induction électromagnétique : un circuit, dit induit, voit apparaître un courant induit sous l'effet de la variation du flux créé par un inducteur (aimant ou autre circuit).

Physique & Co — La bobine de Faraday

Le 29 août 1831, dans son laboratoire de la Royal Institution à Londres, Michael Faraday enroule deux bobines de fil isolé sur un même anneau de fer doux. En fermant le circuit de la première bobine, reliée à une pile, il observe une brève déviation de l'aiguille du galvanomètre connecté à la seconde — puis plus rien, alors que le courant continue de circuler dans la première. En ouvrant le circuit, une nouvelle déviation apparaît, en sens inverse. Faraday venait de mettre en évidence l'induction : ce n'est pas le courant qui compte, mais sa variation. La même année, l'Américain Joseph Henry observe indépendamment le même phénomène ; son nom sera donné plus tard à l'unité d'inductance, le henry (§4).

Attention

Une erreur fréquente au baccalauréat consiste à annoncer un courant induit dès qu'il y a un champ magnétique « fort » ou un aimant « proche ». Relis la définition : c'est la variation du flux, dΦdt\dfrac{d\Phi}{dt}, qui compte — pas la valeur du flux, ni celle de BB. Un champ intense mais constant, en régime permanent, n'induit rien.

2Loi de Lenz

La loi de Lenz répond à une question précise : quand un courant est induit, dans quel sens circule-t-il ? La réponse tient en une phrase, mais sa portée est immense — elle garantit, comme tu vas le voir, la conservation de l'énergie.

2.1  Énoncé de la loi

Loi de Lenz (1834)

Le sens du courant induit est tel que, par les effets qu'il produit (champ magnétique induit, force de Laplace subie…), il s'oppose à la cause qui lui a donné naissance, c'est-à-dire à la variation de flux qui l'a créé.

Autrement dit, le circuit induit « résiste » à ce qu'on lui impose. Si l'on approche un aimant, le courant induit s'organise pour repousser cet aimant ; si on l'éloigne, il s'organise pour le retenir. Le système induit ne fait jamais le jeu de la cause qui le perturbe : il la freine.

Méthode — déterminer le sens d'un courant induit
  1. Choisir un sens positif arbitraire pour la spire, en déduire n⃗\vec n par la règle de la main droite.
  2. Déterminer si le flux Φ=BScos⁡α\Phi = BS\cos\alpha augmente ou diminue au cours du mouvement étudié.
  3. En déduire le sens du champ induit B⃗induit\vec B_{\text{induit}} : il doit s'opposer à la variation, donc être opposé à B⃗\vec B si Φ\Phi augmente, et de même sens que B⃗\vec B si Φ\Phi diminue. La règle de la main droite appliquée à B⃗induit\vec B_{\text{induit}} donne alors le sens réel du courant.
Exemple — un aimant qui s'approche

Un aimant droit s'approche d'une bobine, pôle nord en avant.

  1. le pôle nord se rapproche de la bobinele flux Φ\Phi à travers la bobine augmente
  2. ⇒\Rightarrowle courant induit crée un champ B⃗induit\vec B_{\text{induit}} opposé à B⃗\vec Bpour s'opposer à l'augmentation de Φ\Phi
  3. ⇒\Rightarrowla face de la bobine tournée vers l'aimant devient un pôle nordrègle de la main droite appliquée à B⃗induit\vec B_{\text{induit}}

La bobine repousse l'aimant qui approche (deux pôles nord se repoussent) : le système s'oppose bien à la cause, le rapprochement.

Exemple — un aimant qui s'éloigne

Le même aimant, pôle nord toujours face à la bobine, s'éloigne cette fois.

  1. le pôle nord s'éloigne de la bobinele flux Φ\Phi diminue
  2. ⇒\Rightarrowle courant induit crée un champ B⃗induit\vec B_{\text{induit}} de même sens que B⃗\vec Bpour s'opposer à la diminution de Φ\Phi
  3. ⇒\Rightarrowla face de la bobine tournée vers l'aimant devient un pôle sud

La bobine attire l'aimant qui s'éloigne (un pôle nord et un pôle sud s'attirent) : elle s'oppose encore à la cause, qui était l'éloignement.

Approche d'un aimant : sens du courant induit (loi de Lenz) SN v B face induite : pôle N (répulsion) Gi
Figure 2 — L'aimant s'approche, pôle nord en avant : le flux à travers la bobine augmente. Le courant induit ii crée un champ qui s'oppose à cette augmentation : la face de la bobine tournée vers l'aimant devient un pôle nord, qui le repousse.

2.2  Loi de Lenz et conservation de l'énergie

La loi de Lenz n'est pas un décret arbitraire de la nature : c'est une conséquence directe du principe de conservation de l'énergie.

Pourquoi le courant induit s'oppose toujours à la cause

Imagine, par l'absurde, que le courant induit attire l'aimant qui approche au lieu de le repousser. L'aimant accélérerait alors spontanément vers la bobine ; le flux augmenterait encore plus vite ; le courant induit deviendrait plus grand ; la force d'attraction, plus grande encore… L'aimant gagnerait indéfiniment de l'énergie cinétique et le circuit dissiperait de l'énergie électrique par effet Joule, le tout sans aucun apport extérieur : on créerait de l'énergie à partir de rien, ce qui est impossible. Le courant induit doit donc s'opposer au mouvement : c'est celui qui approche l'aimant qui doit fournir un travail mécanique contre la force de répulsion, travail qui se retrouve ensuite dissipé en chaleur dans le circuit. La loi de Lenz est le prix que la nature fait payer pour respecter la conservation de l'énergie. C.Q.F.D.

Attention

Ne confonds pas la loi de Lenz, qui donne le sens du courant induit, avec la loi de Faraday (§3), qui donne sa valeur. De nombreuses copies de baccalauréat posent un signe « moins » mécaniquement, sans avoir d'abord raisonné physiquement sur le sens de variation du flux : commence toujours par un raisonnement qualitatif à la Lenz, la loi de Faraday te donnera ensuite l'expression algébrique cohérente avec ce raisonnement.

3Loi de Faraday et f.é.m. induite

La loi de Lenz donne le sens du courant induit ; elle ne dit rien de sa valeur. C'est la loi de Faraday, quantitative, qui complète le tableau.

3.1  Énoncé de la loi de Faraday

Loi de Faraday

Un circuit orienté (§1), traversé par un flux Φ(t)\Phi(t) qui varie au cours du temps, est le siège d'une f.é.m. induite ee donnée par :

e=−dΦdte = -\dfrac{d\Phi}{dt}

avec ee en volts (V), Φ\Phi en webers (Wb) et tt en secondes (s). Cette f.é.m. joue, dans le circuit induit, le rôle d'un générateur : associée à la résistance RR du circuit, elle impose un courant induit algébrique i=e/Ri = e/R, compté dans le sens positif choisi.

Le signe « − » n'est pas un détail : c'est lui qui restitue automatiquement la loi de Lenz une fois les conventions posées. Vérifions-le sur l'exemple le plus riche du programme, celui de la tige sur rails.

3.2  La tige sur rails : démonstration de e=−Blve = -Blv

Deux rails conducteurs, horizontaux et parallèles, distants de ll, sont reliés à une extrémité par un résistor RR. Une tige conductrice, perpendiculaire aux rails, glisse sans frottement à la vitesse v⃗\vec v ; l'ensemble baigne dans un champ B⃗\vec B uniforme, perpendiculaire au plan des rails.

Rails de Laplace : tige mobile dans un champ uniforme B R ××××××B (entrant) l v F i
Figure 3 — Rails de Laplace : la tige, entraînée à la vitesse vv dans le champ BB (entrant dans le plan, symbole ×), est le siège d'une f.é.m. induite e=−Blve=-Blv. Le courant induit ii qu'elle fait circuler subit une force de Laplace FF opposée à vv : c'est un freinage.
Démonstration — f.é.m. induite dans les rails de Laplace

On oriente le circuit de sorte que n⃗\vec n soit dans le sens de B⃗\vec B (α=0\alpha = 0). On repère la tige par son abscisse x(t)x(t), comptée à partir du résistor RR : la surface balayée par le circuit, de largeur ll, a pour aire S(t)=l x(t)S(t) = l\,x(t).

  1. Φ(t)=BS(t)cos⁡0\Phi(t) = BS(t)\cos 0
  2. ==Bl x(t)Bl\,x(t)
  3. e=−dΦdt=−Bldxdte = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -Bl\dfrac{dx}{dt}
  4. ==−Blv-Blvv=dxdtv = \dfrac{dx}{dt}, vitesse algébrique de la tige

d'où la relation à retenir :

e=−Blve = -Blv

Le courant induit i=e/Ri = e/R qui circule dans la tige, plongée dans B⃗\vec B, y subit une force de Laplace F⃗\vec F, de norme F=∣i∣BlF = |i|Bl. Un raisonnement à la Lenz (ou le calcul direct à partir du signe de ii) montre que cette force est toujours opposée à v⃗\vec v : c'est une force de freinage, jamais d'entraînement.

Exemple — application numérique

Rails espacés de l=0,20 ml = 0{,}20\ \text{m}, champ B=0,50 TB = 0{,}50\ \text{T}, tige tirée à vitesse constante v=2,0 m⋅s−1v = 2{,}0\ \text{m·s}^{-1}, résistance totale du circuit R=4,0 ΩR = 4{,}0\ \Omega.

  1. ∣e∣=Blv=0,50×0,20×2,0|e| = Blv = 0{,}50 \times 0{,}20 \times 2{,}0
  2. ==0,20 V0{,}20\ \text{V}
  3. i=∣e∣R=0,204,0i = \dfrac{|e|}{R} = \dfrac{0{,}20}{4{,}0}
  4. ==5,0×10−2 A5{,}0\times10^{-2}\ \text{A}
  5. F=Bil=0,50×5,0×10−2×0,20F = Bil = 0{,}50 \times 5{,}0\times10^{-2} \times 0{,}20
  6. ==5,0×10−3 N5{,}0\times10^{-3}\ \text{N}

3.3  Bilan énergétique du freinage électromagnétique

Pour maintenir la tige à vitesse vv constante, un opérateur extérieur doit exercer une force F⃗op\vec F_{\text{op}} opposée à la force de Laplace : Fop=F=BilF_{\text{op}} = F = Bil. Sa puissance mécanique fournie vaut :

Pmeˊca=Fop v=Bilv=i×(Blv)=eiP_{\text{méca}} = F_{\text{op}}\,v = Bilv = i\times(Blv) = ei

Cette puissance mécanique est intégralement convertie en puissance électrique eiei, elle-même dissipée par effet Joule dans le résistor, PJoule=Ri2P_{\text{Joule}} = Ri^{2}. Vérifions le bilan sur l'exemple précédent :

  1. Pmeˊca=Fv=5,0×10−3×2,0P_{\text{méca}} = Fv = 5{,}0\times10^{-3}\times 2{,}0
  2. ==1,0×10−2 W1{,}0\times10^{-2}\ \text{W}
  3. PJoule=Ri2=4,0×(5,0×10−2)2P_{\text{Joule}} = Ri^{2} = 4{,}0\times\left(5{,}0\times10^{-2}\right)^{2}
  4. ==1,0×10−2 W1{,}0\times10^{-2}\ \text{W}bilan vérifié : Pmeˊca=PJouleP_{\text{méca}} = P_{\text{Joule}}

Aucune perte, aucune création : toute l'énergie mécanique fournie par l'opérateur devient chaleur dans le circuit. C'est le principe de tout freinage électromagnétique.

3.4  Courants de Foucault

La tige sur rails est un circuit filiforme fermé. Mais le même principe s'applique dans la masse d'un conducteur massif — un disque de cuivre, une plaque d'aluminium, le noyau de fer d'une bobine — dès que le flux magnétique à travers une portion de ce volume varie : des courants induits s'y organisent en boucles fermées, à l'intérieur même du métal.

Définition

Les courants de Foucault sont des courants induits qui circulent en boucles fermées à l'intérieur d'un conducteur massif soumis à un flux magnétique variable (déplacement dans un champ non uniforme, ou champ variable dans le temps).

Comme tout courant induit, ils obéissent à la loi de Lenz et dissipent de l'énergie par effet Joule dans le métal. Deux conséquences, l'une gênante, l'autre exploitée :

  • Freinage électromagnétique : un disque métallique en rotation entre les pôles d'un aimant est freiné par les courants de Foucault qu'il développe (freins à courants de Foucault de poids lourds et de wagons, amortissement de balances de précision).
  • Chauffage par induction : une plaque de cuisson « à induction » crée, sous la casserole, un champ magnétique variable à haute fréquence ; les courants de Foucault induits dans le fond métallique de la casserole y dissipent une puissance Joule importante, qui chauffe directement le récipient — la plaque elle-même reste froide au toucher.
Attention

Dans un transformateur (§6) ou le noyau d'un électroaimant, les courants de Foucault sont indésirables : ils dissipent de l'énergie sans utilité et échauffent le noyau. On les limite en remplaçant le noyau massif par un empilement de tôles minces isolées entre elles (noyau « feuilleté ») : cela allonge le trajet possible des courants de Foucault et augmente fortement leur résistance, donc réduit les pertes.

Physique & Co — Le disque de Foucault

En 1855, le physicien français Léon Foucault — déjà célèbre pour son pendule démontrant la rotation de la Terre — fait tourner un disque de cuivre entre les pôles d'un puissant électroaimant. Il constate que le disque s'échauffe et que sa rotation est freinée, sans aucun contact mécanique. Sa communication à l'Académie des sciences décrit pour la première fois ce que l'on appellera bientôt les « courants de Foucault ».

4Auto-induction et inductance

Jusqu'ici, le flux inducteur provenait d'un aimant ou d'un circuit extérieur. Mais une bobine parcourue par un courant ii crée elle-même un champ magnétique, donc un flux, à travers elle-même. Si ii varie, ce flux propre varie aussi, et la bobine induit un courant sur elle-même : c'est l'auto-induction.

4.1  Flux propre et inductance d'une bobine

Définition

Le flux propre Φpropre\Phi_{\text{propre}} créé par une bobine à travers elle-même est proportionnel au courant ii qui la parcourt :

Φpropre=Li\Phi_{\text{propre}} = Li

Le coefficient LL, toujours positif, est l'inductance propre de la bobine. Il ne dépend que de sa géométrie (nombre de spires, dimensions, noyau éventuel) et se mesure en henry, symbole H\text{H} : 1 H=1 WbA1\ \text{H} = 1\ \dfrac{\text{Wb}}{\text{A}}.

Propriété — inductance d'un solénoïde

Pour un solénoïde de longueur ℓ\ell, de section SS, comportant NN spires jointives et sans noyau de fer :

L=μ0N2SℓL = \mu_{0}\dfrac{N^{2}S}{\ell}

avec μ0=4π×10−7 H⋅m−1\mu_{0} = 4\pi\times10^{-7}\ \text{H·m}^{-1} la perméabilité magnétique du vide. LL croît comme le carré du nombre de spires : doubler NN quadruple LL.

Exemple — calcul d'une inductance

Solénoïde de N=500N=500 spires, longueur ℓ=25 cm\ell = 25\ \text{cm}, section S=8,0 cm2S = 8{,}0\ \text{cm}^{2}.

  1. L=μ0N2SℓL = \mu_{0}\dfrac{N^{2}S}{\ell}
  2. ==4π×10−7×5002×8,0×10−40,254\pi\times10^{-7} \times \dfrac{500^{2} \times 8{,}0\times10^{-4}}{0{,}25}
  3. ==4π×10−7×2,5×105×8,0×10−40,254\pi\times10^{-7} \times \dfrac{2{,}5\times10^{5} \times 8{,}0\times10^{-4}}{0{,}25}
  4. ==4π×10−7×8,0×1024\pi\times10^{-7} \times 8{,}0\times10^{2}
  5. ==1,0×10−3 H=1,0 mH1{,}0\times10^{-3}\ \text{H} = 1{,}0\ \text{mH}

4.2  F.é.m. auto-induite et tension aux bornes d'une bobine

Démonstration — e=−Ldidte = -L\dfrac{di}{dt}

La loi de Faraday s'applique au flux propre exactement comme à tout autre flux :

  1. e=−dΦpropredte = -\dfrac{d\Phi_{\text{propre}}}{dt}
  2. ==−d(Li)dt-\dfrac{d(Li)}{dt}
  3. ==−Ldidt-L\dfrac{di}{dt}LL constante, indépendante du temps

Une bobine réelle possède aussi une résistance rr (celle du fil qui la constitue). En convention récepteur, la tension à ses bornes cumule chute ohmique et opposition à la variation de ii :

u=ri+Ldidtu = ri + L\dfrac{di}{dt}

Attention

Ne confonds pas les deux écritures : e=−Ldidte = -L\dfrac{di}{dt} est la f.é.m. induite (convention générateur), tandis que u=ri+Ldidtu = ri+L\dfrac{di}{dt} est la tension à ses bornes en convention récepteur — les deux sont reliées par u=−e+riu = -e+ri. Vérifie toujours quelle convention l'énoncé utilise avant d'écrire une loi des mailles.

4.3  Établissement du courant dans un circuit RL

Considérons un générateur de f.é.m. EE, un interrupteur KK, un résistor RR et une bobine (L,r)(L,r), tous en série (figure 4). On note RR la résistance totale du circuit (résistor et résistance interne de la bobine confondues).

Montage d'établissement du courant dans un circuit RL E K R i L, r u
Figure 4 — Montage d'établissement du courant : générateur EE, interrupteur KK, résistor RR et bobine (L,r)(L,r) en série. À la fermeture de KK, le courant ii croît progressivement de 00 à I0=E/RI_{0}=E/R.

À l'instant t=0t=0, on ferme KK. La loi d'additivité des tensions, sur cette maille unique, donne :

E=Ri+LdidtE = Ri + L\dfrac{di}{dt}

Démonstration — résolution de l'équation différentielle

On pose τ=LR\tau = \dfrac{L}{R} et on réécrit l'équation sous forme canonique.

  1. didt+1τi=EL\dfrac{di}{dt} + \dfrac{1}{\tau}i = \dfrac{E}{L}
  2. solution particulière constante : ip=ERi_{p} = \dfrac{E}{R}régime permanent, dip/dt=0di_p/dt=0
  3. solution de l'équation homogène : ih(t)=A e−t/τi_{h}(t) = A\,\mathrm{e}^{-t/\tau}solution générale de dihdt+1τih=0\frac{di_h}{dt}+\frac{1}{\tau}i_h=0
  4. solution générale : i(t)=ER+A e−t/τi(t) = \dfrac{E}{R} + A\,\mathrm{e}^{-t/\tau}
  5. or i(0)=0i(0) = 0le courant dans une bobine ne subit jamais de discontinuité
  6. ⇒\RightarrowA=−ERA = -\dfrac{E}{R}

d'où l'expression du courant d'établissement :

i(t)=ER(1−e−t/τ)i(t) = \dfrac{E}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)

Propriété — continuité du courant dans une bobine

L'intensité qui traverse une bobine ne peut jamais subir de discontinuité (un saut brutal exigerait une puissance p=Lididtp = Li\dfrac{di}{dt} infinie). C'est cette continuité, i(0−)=i(0+)i(0^{-})=i(0^{+}), qui fixe la constante d'intégration à chaque commutation.

Définition — constante de temps

τ=LR\tau = \dfrac{L}{R}

Vérification des unités : HΩ=V⋅A−1⋅sV⋅A−1=s\dfrac{\text{H}}{\Omega} = \dfrac{\text{V·A}^{-1}\text{·s}}{\text{V·A}^{-1}} = \text{s}. τ\tau est homogène à un temps : c'est l'échelle caractéristique à laquelle le régime permanent s'installe.

Méthode — lire τ\tau sur un graphe

Deux méthodes équivalentes pour lire τ\tau sur la courbe i(t)i(t) :

  • la tangente à l'origine coupe l'asymptote i=I0i=I_{0} exactement à l'instant t=τt=\tau ;
  • à l'instant t=τt=\tau, le courant a déjà atteint 1−e−1≈63%1-\mathrm{e}^{-1}\approx63\% de sa valeur finale I0I_{0}.
Exemple — établissement du courant

Circuit RL avec E=6,0 VE = 6{,}0\ \text{V}, R=12 ΩR = 12\ \Omega, L=1,2 HL = 1{,}2\ \text{H}.

  1. τ=LR=1,212\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{1{,}2}{12}
  2. ==0,10 s0{,}10\ \text{s}
  3. I0=ER=6,012I_{0} = \dfrac{E}{R} = \dfrac{6{,}0}{12}
  4. ==0,50 A0{,}50\ \text{A}
  5. i(t)=0,50(1−e−t/0,10) Ai(t) = 0{,}50\left(1-\mathrm{e}^{-t/0{,}10}\right)\ \text{A}

4.4  Rupture du courant ; étincelle de rupture

Le régime permanent i=I0=E/Ri = I_{0} = E/R atteint, on ouvre KK à un nouvel instant pris comme origine, en court-circuitant simultanément la bobine sur RR (pour éviter toute étincelle, voir plus bas). L'équation devient homogène :

0=Ri+Ldidt0 = Ri + L\dfrac{di}{dt}

Démonstration — décroissance du courant
  1. didt=−iτ\dfrac{di}{dt} = -\dfrac{i}{\tau}
  2. solution : i(t)=A e−t/τi(t) = A\,\mathrm{e}^{-t/\tau}
  3. or i(0)=I0i(0) = I_{0}continuité : même valeur qu'à la fin du régime établi
  4. ⇒\RightarrowA=I0A = I_{0}

d'où :

i(t)=I0 e−t/τi(t) = I_{0}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}

La même constante de temps τ=L/R\tau=L/R gouverne la décroissance : à t=τt=\tau, il reste e−1≈37%\mathrm{e}^{-1}\approx37\% du courant initial.

Établissement (bleu) et rupture (vert) du courant dans un circuit RL 0τ2τ3τ4τ5τ 0I₀ti établissementrupture
Figure 5 — Établissement (i=I0(1−e−t/τ)i=I_{0}(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}), bleu) et rupture (i=I0 e−t/τi=I_{0}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}, vert) du courant dans un circuit RL. La tangente à l'origine coupe l'asymptote en t=τt=\tau : c'est la construction graphique de la constante de temps.

Que se passe-t-il si l'on ouvre franchement l'interrupteur, sans chemin de secours pour le courant ? La résistance du circuit devient quasi infinie (l'air entre les contacts). Or la bobine s'oppose à toute variation brutale du courant : elle impose un didt\dfrac{di}{dt} très grand en valeur absolue, donc, via u=Ldidtu=L\dfrac{di}{dt}, une surtension considérable aux bornes de l'interrupteur. Cette tension peut atteindre plusieurs centaines, voire milliers de volts : elle ionise l'air entre les contacts et produit une étincelle de rupture, parfois un arc destructeur. C'est pourquoi les circuits à bobine (relais, moteurs) sont souvent équipés d'un dispositif offrant au courant un chemin de décharge lorsque l'interrupteur s'ouvre.

Physique & Co — Henry et la self-induction

Joseph Henry (1797-1878), professeur à l'Albany Academy puis premier secrétaire de la Smithsonian Institution, observe dès 1832 qu'en ouvrant le circuit d'un puissant électroaimant, une étincelle spectaculaire jaillit à l'interrupteur — bien plus intense que ce que la pile seule pourrait produire. Il vient de mettre en évidence, indépendamment de Faraday, le phénomène d'auto-induction. L'unité d'inductance porte aujourd'hui son nom.

Attention

Ne confonds pas les deux régimes : à l'établissement, ii part de 00 et croît vers I0=E/RI_{0}=E/R ; à la rupture, ii part de I0I_{0} et décroît vers 00. Dans les deux cas, τ=L/R\tau=L/R est la même grandeur : elle ne dépend que du circuit, jamais du régime étudié.

5Énergie emmagasinée dans une bobine

Pendant l'établissement du courant (§4.3), le générateur fournit de l'énergie électrique. Une partie est dissipée par effet Joule dans la résistance — définitivement perdue sous forme de chaleur — mais une autre partie est stockée par la bobine elle-même, sous forme d'énergie magnétique. Cette énergie est récupérable : c'est elle qui, à la rupture, alimente encore brièvement le circuit — et produit, si l'ouverture est brutale, l'étincelle du §4.4.

5.1  Expression de l'énergie magnétique

Démonstration — bilan de puissance dans un circuit RL

Multiplions par ii la relation u=ri+Ldidtu = ri + L\dfrac{di}{dt} (tension aux bornes de la bobine, convention récepteur) :

  1. ui=ri2+Lididtui = ri^{2} + Li\dfrac{di}{dt}puissance électrique reçue par la bobine
  2. Lididt=ddt(12Li2)Li\dfrac{di}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}Li^{2}\right)LL constant
  3. ⇒\Rightarrowui=ri2⏟PJoule+ddt(12Li2)⏟ELui = \underbrace{ri^{2}}_{P_{\text{Joule}}} + \dfrac{d}{dt}\underbrace{\left(\dfrac{1}{2}Li^{2}\right)}_{E_{L}}

Le premier terme est la puissance dissipée par effet Joule ; le second est la puissance stockée sous forme magnétique. En intégrant depuis un courant nul, l'énergie emmagasinée quand le courant vaut ii est :

EL=12Li2E_{L} = \dfrac{1}{2}Li^{2}

Énergie magnétique d'une bobine

EL=12Li2E_{L} = \dfrac{1}{2}Li^{2}

ELE_{L} en joules (J), LL en henrys (H), ii en ampères (A). Vérification des unités : H⋅A2=V⋅sA×A2=V⋅A⋅s=J\text{H·A}^{2} = \dfrac{\text{V·s}}{\text{A}}\times\text{A}^{2} = \text{V·A·s} = \text{J}.

5.2  Où va l'énergie ?

À l'établissement, l'énergie fournie par le générateur se répartit entre dissipation Joule (définitive) et stockage magnétique (récupérable). À la rupture, sans générateur, c'est l'énergie stockée 12LI02\frac12 LI_{0}^{2} qui, seule, entretient un instant le courant : elle se dissipe intégralement en chaleur dans RR au fil de la décroissance — ou, si le circuit s'ouvre brutalement sans chemin de secours, en partie dans l'étincelle elle-même.

Exemple — énergie stockée

Reprenons le circuit RL du §4 : L=1,2 HL=1{,}2\ \text{H}, I0=0,50 AI_{0}=0{,}50\ \text{A}.

  1. EL=12LI02E_{L} = \dfrac12 LI_{0}^{2}
  2. ==0,5×1,2×0,5020{,}5\times1{,}2\times0{,}50^{2}
  3. ==0,5×1,2×0,250{,}5\times1{,}2\times0{,}25
  4. ==0,15 J0{,}15\ \text{J}

Une valeur modeste, mais c'est elle qui, libérée en quelques microsecondes lors d'une ouverture brutale, donne à l'étincelle de rupture sa puissance instantanée impressionnante.

Exemple — effet d'un doublement du courant

Comme EL∝i2E_{L}\propto i^{2}, doubler l'intensité quadruple l'énergie stockée, à LL fixée.

  1. i:0,50 A→1,0 Ai : 0{,}50\ \text{A} \to 1{,}0\ \text{A}intensité doublée
  2. EL=12×1,2×1,02E_{L} = \dfrac12\times1{,}2\times1{,}0^{2}
  3. ==0,60 J0{,}60\ \text{J}4×0,15 J4\times0{,}15\ \text{J}
Attention

Ne confonds pas cette formule avec une autre grandeur au carré : c'est bien le courant ii, jamais une tension, qui pilote l'énergie magnétique. Oublier le facteur 12\dfrac12, ou écrire LiLi au lieu de Li2Li^{2}, est l'erreur la plus fréquente au baccalauréat.

6Applications : alternateur, transformateur

L'induction n'est pas une curiosité de laboratoire : elle est au cœur des deux dispositifs qui structurent tout réseau électrique, de la centrale de production jusqu'à la prise domestique.

6.1  Principe de l'alternateur

Un alternateur convertit de l'énergie mécanique de rotation en énergie électrique, en exploitant directement la loi de Faraday : on fait tourner une spire, à vitesse angulaire constante ω\omega, dans un champ magnétique uniforme B⃗\vec B.

Principe de l'alternateur : spire tournante dans un champ B N S B n α ω
Figure 6 — Une spire (violet, vue par la tranche) tourne à la vitesse angulaire ω\omega autour d'un axe vertical, dans le champ uniforme B⃗\vec B créé entre les pôles. L'angle α=ωt\alpha=\omega t entre la normale n⃗\vec n et B⃗\vec B varie continûment.
Démonstration — f.é.m. d'une spire tournante

On choisit l'origine des temps à l'instant où le plan de la spire est perpendiculaire à B⃗\vec B, soit α=0\alpha=0. La rotation à vitesse angulaire constante donne α(t)=ωt\alpha(t)=\omega t.

  1. Φ(t)=BScos⁡(ωt)\Phi(t) = BS\cos(\omega t)
  2. e=−dΦdt=−BS×(−ωsin⁡(ωt))e = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -BS\times\left(-\omega\sin(\omega t)\right)
  3. ==BSωsin⁡(ωt)BS\omega\sin(\omega t)

d'où, pour une spire :

e(t)=BSωsin⁡(ωt)e(t) = BS\omega\sin(\omega t)

Pour une bobine de NN spires identiques, la f.é.m. totale est NN fois celle d'une spire :

e(t)=NBSωsin⁡(ωt)=Emax⁡sin⁡(ωt),Emax⁡=NBSωe(t) = NBS\omega\sin(\omega t) = E_{\max}\sin(\omega t), \qquad E_{\max}=NBS\omega

6.2  Tension alternative : période et fréquence

La f.é.m. e(t)e(t) est sinusoïdale : c'est un courant alternatif. Sa période T=2πωT=\dfrac{2\pi}{\omega} et sa fréquence f=1T=ω2πf=\dfrac1T=\dfrac{\omega}{2\pi} sont celles de la rotation. Le réseau électrique de la plupart des pays francophones d'Afrique et d'Europe impose f=50 Hzf=50\ \text{Hz}, soit ω=2πf≈314 rad⋅s−1\omega=2\pi f\approx314\ \text{rad·s}^{-1}.

f.é.m. d'un alternateur : e(t) = Eₘₐₓ sin(ωt) Eₘₐₓ −Eₘₐₓ T 0te
Figure 7 — Force électromotrice e(t)=Emax⁡sin⁡(ωt)e(t)=E_{\max}\sin(\omega t) : deux périodes du signal, pour Emax⁡=5,0 VE_{\max}=5{,}0\ \text{V} et ω=4,0 rad⋅s−1\omega=4{,}0\ \text{rad·s}^{-1} (T≈1,6 sT\approx1{,}6\ \text{s}).
Exemple — f.é.m. d'un alternateur

Bobine de N=50N=50 spires, section S=0,050 m2S=0{,}050\ \text{m}^{2}, tournant à ω=4,0 rad⋅s−1\omega=4{,}0\ \text{rad·s}^{-1} dans un champ B=0,50 TB=0{,}50\ \text{T}.

  1. Emax⁡=NBSωE_{\max} = NBS\omega
  2. ==50×0,50×0,050×4,050\times0{,}50\times0{,}050\times4{,}0
  3. ==5,0 V5{,}0\ \text{V}
  4. T=2πω=2π4,0T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{4{,}0}
  5. ≈\approx1,6 s1{,}6\ \text{s}

soit e(t)=5,0sin⁡(4,0 t)e(t) = 5{,}0\sin(4{,}0\,t) (en volts, tt en secondes).

6.3  Production industrielle de l'électricité

Dans une centrale, ce n'est presque jamais une spire qu'on fait tourner « à la main » : c'est un rotor massif (souvent l'inducteur, un électroaimant), entraîné par une turbine, qui tourne devant des bobinages fixes, le stator. Le principe physique — la variation de flux — reste rigoureusement celui démontré ci-dessus ; seule l'échelle change.

  • Au barrage hydroélectrique de Manantali, sur le fleuve Bafing (Mali), la chute d'eau entraîne des turbines couplées à des alternateurs : l'énergie potentielle de l'eau retenue devient énergie électrique, distribuée au Mali, au Sénégal et à la Mauritanie via le réseau interconnecté de l'OMVS.
  • À la centrale thermique de Ndjamena (Tchad), ce sont des moteurs (diesel ou turbines à gaz) qui entraînent mécaniquement les alternateurs, en brûlant un combustible plutôt qu'en exploitant une chute d'eau : la chaîne énergétique diffère en amont, mais la conversion finale, mécanique vers électrique, est identique.

Une fois produite, l'électricité est transportée sur de longues distances à haute tension (typiquement plusieurs centaines de kilovolts), afin de limiter les pertes par effet Joule en ligne, avant d'être abaissée par des transformateurs successifs jusqu'à la tension domestique (220 V220\ \text{V}). C'est l'objet du paragraphe suivant.

6.4  Principe du transformateur

Un transformateur comporte deux bobinages, primaire (N1N_{1} spires) et secondaire (N2N_{2} spires), enroulés sur un même noyau de fer feuilleté (§3.4) qui canalise les lignes de champ : au flux de fuite près, négligé ici, le même flux Φ(t)\Phi(t) traverse chaque spire des deux bobinages.

Principe du transformateur Φ N₁ N₂ u₁ u₂
Figure 8 — Le flux Φ\Phi, canalisé par le noyau feuilleté, est commun aux N1N_{1} spires du primaire et aux N2N_{2} spires du secondaire : u2u1=N2N1\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{N_{2}}{N_{1}}.
Démonstration — relation de transformation

La loi de Faraday, appliquée à chaque bobinage (même flux Φ\Phi par spire) :

  1. u1=N1dΦdtu_{1} = N_{1}\dfrac{d\Phi}{dt} et u2=N2dΦdtu_{2} = N_{2}\dfrac{d\Phi}{dt}tension proportionnelle au nombre de spires, à un signe de convention près
  2. ⇒\Rightarrowu2u1=N2N1\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{N_{2}}{N_{1}}
Propriété — transformateur idéal

u2u1=N2N1=m(rapport de transformation)\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{N_{2}}{N_{1}} = m \qquad \text{(rapport de transformation)}

Un transformateur ne fonctionne qu'en régime variable : en continu, dΦdt=0\dfrac{d\Phi}{dt}=0 et u2=0u_{2}=0. S'il est idéal (sans pertes), la puissance se conserve, u1i1=u2i2u_{1}i_{1}=u_{2}i_{2}, d'où i2i1=N1N2=1m\dfrac{i_{2}}{i_{1}}=\dfrac{N_{1}}{N_{2}}=\dfrac1m : ce qu'on gagne en tension, on le perd en courant.

Exemple — transformateur élévateur de centrale

Primaire N1=500N_{1}=500 spires sous u1=400 Vu_{1}=400\ \text{V}, secondaire N2=25 000N_{2}=25\,000 spires, puissance transmise 100 kW100\ \text{kW} (transformateur idéal).

  1. u2=u1N2N1=400×25 000500u_{2} = u_{1}\dfrac{N_{2}}{N_{1}} = 400\times\dfrac{25\,000}{500}
  2. ==2,0×104 V=20 kV2{,}0\times10^{4}\ \text{V} = 20\ \text{kV}
  3. i1=Pu1=100 000400i_{1} = \dfrac{P}{u_{1}} = \dfrac{100\,000}{400}
  4. ==250 A250\ \text{A}
  5. i2=Pu2=100 00020 000i_{2} = \dfrac{P}{u_{2}} = \dfrac{100\,000}{20\,000}
  6. ==5,0 A5{,}0\ \text{A}

Le courant, divisé par 5050, rend le transport sur de longues lignes bien moins dissipatif par effet Joule (PJoule=Rlignei2P_{\text{Joule}}=R_{\text{ligne}}i^{2}) : c'est toute la raison d'être du transport à haute tension.

Attention

Un transformateur ne « crée » ni tension ni puissance : il échange tension contre courant, à puissance quasi constante. Un rapport mm élevé n'est pas gratuit — c'est le nombre de spires, donc la quantité de fil bobiné, qui augmente en proportion.

Fiche mémo

  • Flux : Φ=BScos⁡α\Phi = BS\cos\alpha (spire), Φ=NBScos⁡α\Phi = NBS\cos\alpha (bobine de NN spires) ; unité le weber (Wb).
  • Loi de Lenz : le courant induit s'oppose, par ses effets, à la cause qui lui donne naissance.
  • Loi de Faraday : e=−dΦdte = -\dfrac{d\Phi}{dt}.
  • Rails de Laplace : e=−Blve = -Blv ; la force de Laplace subie freine toujours le mouvement.
  • Courants de Foucault : induits dans la masse d'un conducteur ; freinage, chauffage par induction, pertes limitées par un noyau feuilleté.
  • Auto-induction : Φpropre=Li\Phi_{\text{propre}} = Li, e=−Ldidte = -L\dfrac{di}{dt}, u=ri+Ldidtu = ri+L\dfrac{di}{dt} ; LL en henry (H).
  • Établissement RL : i(t)=ER(1−e−t/τ)i(t) = \dfrac{E}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right), avec τ=LR\tau = \dfrac{L}{R}.
  • Rupture RL : i(t)=I0 e−t/τi(t) = I_{0}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}, I0=E/RI_{0}=E/R ; tangente à l'origine ⟶ asymptote atteinte en t=τt=\tau.
  • Le courant dans une bobine est toujours continu : i(0−)=i(0+)i(0^{-}) = i(0^{+}).
  • Énergie magnétique : EL=12Li2E_{L} = \dfrac12 Li^{2}.
  • Alternateur : Φ=BScos⁡ωt\Phi = BS\cos\omega t ⇒\Rightarrow e(t)=BSωsin⁡ωt=Emax⁡sin⁡ωte(t) = BS\omega\sin\omega t = E_{\max}\sin\omega t.
  • Transformateur idéal : u2u1=N2N1\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{N_{2}}{N_{1}} et u1i1=u2i2u_{1}i_{1}=u_{2}i_{2} ; fonctionne uniquement en régime variable.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Une spire circulaire de rayon 4,0 cm4{,}0\ \text{cm} est placée dans un champ magnétique uniforme B=0,60 TB=0{,}60\ \text{T}. Calcule le flux qui la traverse : a) lorsque le plan de la spire est perpendiculaire à B⃗\vec B ; b) lorsque la normale n⃗\vec n fait un angle de 45°45° avec B⃗\vec B.

Voir le corrigé détaillé
  1. S=πr2S=\pi r^{2}
  2. ==π×(4,0×10−2)2\pi\times\left(4{,}0\times10^{-2}\right)^{2}
  3. ==5,0×10−3 m25{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^{2}

a) le plan est perpendiculaire à B⃗\vec B donc n⃗∥B⃗\vec n \parallel \vec B, soit α=0\alpha=0 :

  1. Φa=BS=0,60×5,0×10−3\Phi_a = BS = 0{,}60\times5{,}0\times10^{-3}
  2. ==3,0×10−3 Wb3{,}0\times10^{-3}\ \text{Wb}

b) avec α=45°\alpha=45° :

  1. Φb=BScos⁡45°=3,0×10−3×0,71\Phi_b = BS\cos45°=3{,}0\times10^{-3}\times0{,}71
  2. ≈\approx2,1×10−3 Wb2{,}1\times10^{-3}\ \text{Wb}
2

Un aimant droit, pôle sud en avant, s'éloigne d'une bobine reliée à un galvanomètre. Détermine, en justifiant par la loi de Lenz, le sens du champ induit et la polarité que prend la face de la bobine tournée vers l'aimant.

Voir le corrigé détaillé
  1. le pôle sud s'éloigne de la bobinele flux Φ\Phi diminue
  2. ⇒\RightarrowB⃗induit\vec B_{\text{induit}} de même sens que B⃗\vec Bpour s'opposer à la diminution de Φ\Phi
  3. ⇒\Rightarrowla face de la bobine devient un pôle nord

La bobine attire le pôle sud qui s'éloigne : elle s'oppose bien à la cause, conformément à la loi de Lenz.

3

Le flux à travers une bobine passe de manière régulière de 2,0×10−3 Wb2{,}0\times10^{-3}\ \text{Wb} à 9,0×10−3 Wb9{,}0\times10^{-3}\ \text{Wb} en 0,40 s0{,}40\ \text{s}. Calcule la valeur moyenne de la f.é.m. induite.

Voir le corrigé détaillé
  1. emoy=−ΔΦΔte_{\text{moy}} = -\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}
  2. ==−9,0×10−3−2,0×10−30,40-\dfrac{9{,}0\times10^{-3}-2{,}0\times10^{-3}}{0{,}40}
  3. ==−7,0×10−30,40-\dfrac{7{,}0\times10^{-3}}{0{,}40}
  4. ==−1,8×10−2 V-1{,}8\times10^{-2}\ \text{V}
4

Rails de Laplace espacés de l=0,15 ml=0{,}15\ \text{m}, champ B=0,80 TB=0{,}80\ \text{T}, tige déplacée à vitesse constante v=3,0 m⋅s−1v=3{,}0\ \text{m·s}^{-1}, résistance totale du circuit R=6,0 ΩR=6{,}0\ \Omega. Calcule la f.é.m. induite ee et le courant induit ii.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∣e∣=Blv=0,80×0,15×3,0|e|=Blv=0{,}80\times0{,}15\times3{,}0
  2. ==0,36 V0{,}36\ \text{V}
  3. i=∣e∣R=0,366,0i=\dfrac{|e|}{R}=\dfrac{0{,}36}{6{,}0}
  4. ==6,0×10−2 A6{,}0\times10^{-2}\ \text{A}
5

Un circuit RL comporte E=9,0 VE=9{,}0\ \text{V}, R=45 ΩR=45\ \Omega, L=0,90 HL=0{,}90\ \text{H}. Calcule la constante de temps τ\tau et l'intensité finale I0I_{0}.

Voir le corrigé détaillé
  1. τ=LR=0,9045\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}90}{45}
  2. ==2,0×10−2 s=20 ms2{,}0\times10^{-2}\ \text{s} = 20\ \text{ms}
  3. I0=ER=9,045I_{0}=\dfrac{E}{R}=\dfrac{9{,}0}{45}
  4. ==0,20 A0{,}20\ \text{A}
6

Une bobine d'inductance L=0,50 HL=0{,}50\ \text{H} est parcourue par un courant i=0,80 Ai=0{,}80\ \text{A}. Calcule l'énergie magnétique qu'elle emmagasine.

Voir le corrigé détaillé
  1. EL=12Li2E_{L}=\dfrac12 Li^{2}
  2. ==0,5×0,50×0,8020{,}5\times0{,}50\times0{,}80^{2}
  3. ==0,16 J0{,}16\ \text{J}
Niveau 2 — Approfondissement
7

Un solénoïde de N=800N=800 spires, longueur ℓ=40 cm\ell=40\ \text{cm}, section S=5,0 cm2S=5{,}0\ \text{cm}^{2}, est parcouru par un courant i=0,60 Ai=0{,}60\ \text{A}. Calcule son inductance LL, puis l'énergie magnétique qu'il stocke.

Voir le corrigé détaillé
  1. L=μ0N2SℓL=\mu_{0}\dfrac{N^{2}S}{\ell}
  2. ==4π×10−7×8002×5,0×10−40,404\pi\times10^{-7}\times\dfrac{800^{2}\times5{,}0\times10^{-4}}{0{,}40}
  3. ==4π×10−7×8,0×1024\pi\times10^{-7}\times8{,}0\times10^{2}
  4. ==1,0×10−3 H=1,0 mH1{,}0\times10^{-3}\ \text{H} = 1{,}0\ \text{mH}
  5. EL=12Li2=0,5×1,0×10−3×0,602E_{L}=\dfrac12 Li^{2}=0{,}5\times1{,}0\times10^{-3}\times0{,}60^{2}
  6. ==1,8×10−4 J=0,18 mJ1{,}8\times10^{-4}\ \text{J} = 0{,}18\ \text{mJ}
8

Un alternateur comporte une bobine de N=120N=120 spires de section S=0,025 m2S=0{,}025\ \text{m}^{2}, tournant à la fréquence f=50 Hzf=50\ \text{Hz} dans un champ B=0,040 TB=0{,}040\ \text{T}. Calcule ω\omega, Emax⁡E_{\max}, puis la valeur instantanée de ee à l'instant t=2,5 mst=2{,}5\ \text{ms}.

Voir le corrigé détaillé
  1. ω=2πf=2π×50\omega=2\pi f=2\pi\times50
  2. ≈\approx3,14×102 rad⋅s−13{,}14\times10^{2}\ \text{rad·s}^{-1}
  3. Emax⁡=NBSω=120×0,040×0,025×314E_{\max}=NBS\omega=120\times0{,}040\times0{,}025\times314
  4. ≈\approx38 V38\ \text{V}
  5. ωt=100π×2,5×10−3=π4 rad\omega t = 100\pi\times2{,}5\times10^{-3}=\dfrac{\pi}{4}\ \text{rad}valeur remarquable, 45°45°
  6. e=Emax⁡sin⁡π4=38×0,71e = E_{\max}\sin\dfrac{\pi}{4}=38\times0{,}71
  7. ≈\approx27 V27\ \text{V}
9

Rails distants de l=0,30 ml=0{,}30\ \text{m} dans un champ B=0,25 TB=0{,}25\ \text{T} ; une tige de résistance négligeable coulisse à v=4,0 m⋅s−1v=4{,}0\ \text{m·s}^{-1} constante, résistance totale du circuit R=3,0 ΩR=3{,}0\ \Omega. Calcule ee, ii, la force de freinage FF, et vérifie le bilan de puissance.

Voir le corrigé détaillé
  1. e=Blv=0,25×0,30×4,0e=Blv=0{,}25\times0{,}30\times4{,}0
  2. ==0,30 V0{,}30\ \text{V}
  3. i=eR=0,303,0i=\dfrac{e}{R}=\dfrac{0{,}30}{3{,}0}
  4. ==0,10 A0{,}10\ \text{A}
  5. F=Bil=0,25×0,10×0,30F=Bil=0{,}25\times0{,}10\times0{,}30
  6. ==7,5×10−3 N7{,}5\times10^{-3}\ \text{N}
  7. Pmeˊca=Fv=7,5×10−3×4,0P_{\text{méca}}=Fv=7{,}5\times10^{-3}\times4{,}0
  8. ==3,0×10−2 W3{,}0\times10^{-2}\ \text{W}
  9. PJoule=Ri2=3,0×0,102P_{\text{Joule}}=Ri^{2}=3{,}0\times0{,}10^{2}
  10. ==3,0×10−2 W3{,}0\times10^{-2}\ \text{W}bilan vérifié
10

Dans un circuit RL, R=25 ΩR=25\ \Omega, L=0,50 HL=0{,}50\ \text{H}, le régime établi correspond à I0=0,40 AI_{0}=0{,}40\ \text{A}. À la rupture, calcule le courant à l'instant t=30 mst=30\ \text{ms}, ainsi que l'énergie encore stockée dans la bobine à cet instant.

Voir le corrigé détaillé
  1. τ=LR=0,5025=20 ms\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}50}{25}=20\ \text{ms}
  2. t=30 ms=1,5 τt=30\ \text{ms}=1{,}5\,\tau
  3. i(t)=I0 e−1,5=0,40×0,223i(t)=I_{0}\,\mathrm{e}^{-1{,}5}=0{,}40\times0{,}223
  4. ≈\approx8,9×10−2 A8{,}9\times10^{-2}\ \text{A}
  5. EL=12Li(t)2=0,5×0,50×(8,9×10−2)2E_{L}=\dfrac12 Li(t)^{2}=0{,}5\times0{,}50\times\left(8{,}9\times10^{-2}\right)^{2}
  6. ≈\approx2,0×10−3 J2{,}0\times10^{-3}\ \text{J}
Niveau 3 — Type bac
11

Deux rails horizontaux, parallèles et distants de l=0,50 ml=0{,}50\ \text{m}, sont reliés par un résistor R=2,0 ΩR=2{,}0\ \Omega. Une tige métallique MN, de masse m=10 gm=10\ \text{g}, glisse sans frottement sur les rails ; l'ensemble est plongé dans un champ magnétique uniforme B=0,50 TB=0{,}50\ \text{T}, perpendiculaire au plan des rails. On lance la tige avec une vitesse initiale v0=2,0 m⋅s−1v_{0}=2{,}0\ \text{m·s}^{-1}, puis on la laisse évoluer librement, sans opérateur.

  1. Établis l'expression littérale de la force de Laplace subie par la tige, en fonction de BB, ll, RR et de sa vitesse vv.
  2. En appliquant la deuxième loi de Newton, montre que vv vérifie dvdt=−vθ\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{v}{\theta}, et exprime θ\theta en fonction de mm, RR, BB, ll.
  3. Calcule θ\theta, puis la vitesse de la tige à t=50 mst=50\ \text{ms}.
Voir le corrigé détaillé

1. La tige induit e=−Blve=-Blv, d'où un courant i=BlvRi=\dfrac{Blv}{R} (en norme), et une force de Laplace de norme :

F=Bil=B2l2vRF=Bil=\dfrac{B^{2}l^{2}v}{R}

toujours opposée à v⃗\vec v (freinage, loi de Lenz).

2. Sur l'axe horizontal, seule cette force agit (poids et réaction normale se compensent) :

  1. mdvdt=−F=−B2l2Rvm\dfrac{dv}{dt}=-F=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v
  2. ⇒\Rightarrowdvdt=−B2l2mRv=−vθ\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{mR}v=-\dfrac{v}{\theta}

d'où θ=mRB2l2\theta=\dfrac{mR}{B^{2}l^{2}}, et v(t)=v0 e−t/θv(t)=v_{0}\,\mathrm{e}^{-t/\theta} (par analogie avec le §4.4).

3.

  1. θ=mRB2l2=0,010×2,00,502×0,502\theta=\dfrac{mR}{B^{2}l^{2}}=\dfrac{0{,}010\times2{,}0}{0{,}50^{2}\times0{,}50^{2}}
  2. ==0,0200,0625\dfrac{0{,}020}{0{,}0625}
  3. ==0,32 s0{,}32\ \text{s}
  4. v(50 ms)=2,0×e−0,050/0,32v(50\ \text{ms})=2{,}0\times\mathrm{e}^{-0{,}050/0{,}32}
  5. ==2,0×e−0,1562{,}0\times\mathrm{e}^{-0{,}156}
  6. ≈\approx1,7 m⋅s−11{,}7\ \text{m·s}^{-1}
12

On réalise le montage d'établissement du courant dans un dipôle RL, de résistance totale connue R=50 ΩR=50\ \Omega. Un système d'acquisition enregistre la courbe i(t)i(t) de la figure 9.

  1. Par lecture graphique, détermine l'intensité I0I_{0} du régime permanent et la constante de temps τ\tau (tu expliciteras la méthode utilisée).
  2. En déduire la f.é.m. EE du générateur et l'inductance LL de la bobine.
  3. Calcule l'énergie maximale emmagasinée par la bobine.
Établissement du courant dans un dipôle RL inconnu 0255075100125t (ms) 00,060,120,180,24i (A)
Figure 9 — Courbe i(t)i(t) enregistrée à l'établissement du courant dans un dipôle RL de résistance R=50 ΩR=50\ \Omega inconnue par ailleurs.
Voir le corrigé détaillé

1. L'asymptote horizontale de la courbe est atteinte pour i=0,24 Ai=0{,}24\ \text{A} : I0=0,24 AI_{0}=0{,}24\ \text{A}. La tangente à l'origine coupe cette asymptote à l'abscisse t=25 mst=25\ \text{ms} (méthode du §4.3) : τ=25 ms=2,5×10−2 s\tau=25\ \text{ms}=2{,}5\times10^{-2}\ \text{s}.

2.

  1. E=RI0=50×0,24E=RI_{0}=50\times0{,}24
  2. ==12 V12\ \text{V}
  3. L=τR=2,5×10−2×50L=\tau R=2{,}5\times10^{-2}\times50
  4. ==1,25 H1{,}25\ \text{H}

3.

  1. EL,max⁡=12LI02=0,5×1,25×0,242E_{L,\max}=\dfrac12 LI_{0}^{2}=0{,}5\times1{,}25\times0{,}24^{2}
  2. ==3,6×10−2 J3{,}6\times10^{-2}\ \text{J}
13

Un alternateur de centrale comporte un rotor entraîné à n=3 000 tr/minn=3\,000\ \text{tr/min}, portant un bobinage de N=8N=8 spires de section S=0,60 m2S=0{,}60\ \text{m}^{2}, dans un champ B=0,20 TB=0{,}20\ \text{T}.

  1. Calcule la vitesse angulaire ω\omega (en rad⋅s−1\text{rad·s}^{-1}), puis la fréquence ff de la tension produite.
  2. Calcule l'amplitude Emax⁡E_{\max} de la f.é.m. produite.
  3. Cette tension alimente le primaire (N1=200N_{1}=200 spires) d'un transformateur élévateur dont le secondaire comporte N2=8 000N_{2}=8\,000 spires. Sachant que la tension efficace au primaire est U1=Emax⁡2U_{1}=\dfrac{E_{\max}}{\sqrt2}, calcule la tension efficace U2U_{2} au secondaire.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. n=3 00060=50 tr/sn=\dfrac{3\,000}{60}=50\ \text{tr/s}un tour par période
  2. ⇒\Rightarrowf=50 Hzf=50\ \text{Hz}
  3. ω=2πf=2π×50\omega=2\pi f=2\pi\times50
  4. ≈\approx3,14×102 rad⋅s−13{,}14\times10^{2}\ \text{rad·s}^{-1}

2.

  1. Emax⁡=NBSω=8×0,20×0,60×314E_{\max}=NBS\omega=8\times0{,}20\times0{,}60\times314
  2. ≈\approx3,0×102 V3{,}0\times10^{2}\ \text{V}

3.

  1. U1=Emax⁡2=3021,41U_{1}=\dfrac{E_{\max}}{\sqrt2}=\dfrac{302}{1{,}41}
  2. ≈\approx2,1×102 V2{,}1\times10^{2}\ \text{V}
  3. U2=U1N2N1=213×8 000200U_{2}=U_{1}\dfrac{N_{2}}{N_{1}}=213\times\dfrac{8\,000}{200}
  4. ==213×40213\times40
  5. ≈\approx8,5×103 V=8,5 kV8{,}5\times10^{3}\ \text{V} = 8{,}5\ \text{kV}
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

La descente d'Abéché. Amadou conduit un camion de masse totale M=12 tM=12\ \text{t} sur la longue descente qui mène à Abéché (Tchad), un dénivelé de h=150 mh=150\ \text{m}. Il utilise le ralentisseur à courants de Foucault de son camion (et non les freins à disque) pour maintenir une vitesse constante sur toute la descente.

  1. Explique, en citant la loi de Lenz, pourquoi le disque métallique du ralentisseur s'échauffe.
  2. La vitesse restant constante, calcule l'énergie mécanique perdue par le camion sur la descente (on prendra g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}), intégralement dissipée par les courants de Foucault.
  3. Cette énergie est évacuée en t=6,0 mint=6{,}0\ \text{min} : calcule la puissance thermique moyenne dissipée par le ralentisseur.
Voir le corrigé détaillé

1. Le disque tourne dans le champ des électro-aimants du ralentisseur : le flux à travers les boucles de courant qui s'y forment varie continûment. Par la loi de Lenz, les courants de Foucault induits s'opposent à cette variation, donc à la rotation du disque ; l'effet Joule qu'ils dissipent dans la résistance du métal prélève de l'énergie cinétique au camion et la transforme en chaleur.

2. Vitesse constante ⇒\Rightarrow énergie cinétique inchangée : toute l'énergie potentielle de pesanteur perdue est dissipée.

  1. E=Mgh=12 000×9,8×150E=Mgh=12\,000\times9{,}8\times150
  2. ==1,8×107 J1{,}8\times10^{7}\ \text{J}

3.

  1. t=6,0×60=360 st=6{,}0\times60=360\ \text{s}
  2. P=Et=1,8×107360P=\dfrac{E}{t}=\dfrac{1{,}8\times10^{7}}{360}
  3. ≈\approx4,9×104 W=49 kW4{,}9\times10^{4}\ \text{W} = 49\ \text{kW}
15

La cuisine de Fatou. À Dakar, Fatou fait chauffer V=1,5 LV=1{,}5\ \text{L} d'eau (masse volumique 1,0 kg/L1{,}0\ \text{kg/L}) sur une plaque à induction, de 20°C20°\text{C} à 100°C100°\text{C}. La plaque, réglée à une puissance utile constante P=1,8 kWP=1{,}8\ \text{kW}, transfère cette puissance à la casserole par les courants de Foucault induits dans son fond. Capacité thermique massique de l'eau : c=4,18×103 J⋅kg−1⋅K−1c=4{,}18\times10^{3}\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}.

  1. Explique pourquoi la plaque elle-même reste froide au toucher alors que le fond de la casserole chauffe.
  2. Calcule l'énergie thermique nécessaire pour chauffer l'eau.
  3. En l'absence de toute perte, calcule la durée de chauffe.
Voir le corrigé détaillé

1. Les courants de Foucault sont induits directement dans le métal, bon conducteur, du fond de la casserole — pas dans la plaque, en vitrocéramique isolante. C'est donc la casserole, siège de l'effet Joule, qui chauffe ; la plaque ne fait que créer le champ magnétique variable.

2.

  1. m=ρV=1,0×1,5=1,5 kgm=\rho V=1{,}0\times1{,}5=1{,}5\ \text{kg}
  2. Q=mcΔT=1,5×4,18×103×80Q=mc\Delta T=1{,}5\times4{,}18\times10^{3}\times80
  3. ≈\approx5,0×105 J5{,}0\times10^{5}\ \text{J}

3.

  1. t=QP=5,0×1051 800t=\dfrac{Q}{P}=\dfrac{5{,}0\times10^{5}}{1\,800}
  2. ≈\approx2,8×102 s≈4,6 min2{,}8\times10^{2}\ \text{s} \approx 4{,}6\ \text{min}
16

De Manantali à Kayes. La centrale hydroélectrique de Manantali fournit une puissance électrique P=10 MWP=10\ \text{MW} à une ligne de transport de résistance totale Rligne=2,0 ΩR_{\text{ligne}}=2{,}0\ \Omega. On compare deux cas : transport sous UA=15 kVU_A=15\ \text{kV} (sortie directe de l'alternateur), ou sous UB=225 kVU_B=225\ \text{kV} (après un transformateur élévateur).

  1. Calcule l'intensité du courant transporté dans chacun des deux cas.
  2. Calcule la puissance perdue par effet Joule dans la ligne dans chacun des deux cas.
  3. Conclus sur l'intérêt du transformateur élévateur pour le transport de l'énergie électrique.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. IA=PUA=10×10615×103I_A=\dfrac{P}{U_A}=\dfrac{10\times10^{6}}{15\times10^{3}}
  2. ≈\approx6,7×102 A6{,}7\times10^{2}\ \text{A}
  3. IB=PUB=10×106225×103I_B=\dfrac{P}{U_B}=\dfrac{10\times10^{6}}{225\times10^{3}}
  4. ≈\approx44 A44\ \text{A}

2.

  1. PJ,A=RligneIA2=2,0×6672P_{J,A}=R_{\text{ligne}}I_A^{2}=2{,}0\times667^{2}
  2. ≈\approx8,9×105 W≈0,89 MW8{,}9\times10^{5}\ \text{W} \approx 0{,}89\ \text{MW}
  3. PJ,B=RligneIB2=2,0×442P_{J,B}=R_{\text{ligne}}I_B^{2}=2{,}0\times44^{2}
  4. ≈\approx4,0×103 W=4,0 kW4{,}0\times10^{3}\ \text{W} = 4{,}0\ \text{kW}

3. À 15 kV15\ \text{kV}, près de 9%9\% de la puissance produite est perdue en ligne ; à 225 kV225\ \text{kV}, la perte tombe à 0,04%0{,}04\%. En multipliant la tension par 1515, les pertes Joule, proportionnelles à i2i^{2} donc à 1/U21/U^{2} à puissance fixée, sont divisées par 152=22515^{2}=225. C'est tout l'intérêt du transformateur élévateur : rendre le transport de l'électricité sur de longues distances économiquement viable.

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Pour une spire orientée de flux Φ=BScos⁡α\Phi = BS\cos\alpha, le flux est maximal lorsque :

Explication : cos⁡α\cos\alpha est maximal (égal à 11) quand α=0\alpha=0, c'est-à-dire quand B⃗\vec B et le vecteur normal n⃗\vec n sont parallèles et de même sens.

Le weber (Wb), unité du flux magnétique, est équivalent à :

Explication : Par définition, Φ=BScos⁡α\Phi = BS\cos\alpha, avec BB en teslas et SS en m2\text{m}^2 : le weber est donc bien 1 Wb=1 T⋅m21\ \text{Wb} = 1\ \text{T·m}^{2}.

D'après l'expérience historique de Faraday (bobine + galvanomètre + aimant), un courant induit apparaît :

Explication : Aimant immobile : aucun courant, quelle que soit l'intensité de BB. Aimant en mouvement : un courant apparaît, sans générateur. C'est la variation du flux, et elle seule, qui induit un courant.

La loi de Lenz énonce que le sens du courant induit est tel que, par les effets qu'il produit, il :

Explication : C'est l'énoncé même de la loi de Lenz (1834). Elle découle de la conservation de l'énergie : si le courant induit favorisait la cause au lieu de s'y opposer, on créerait de l'énergie à partir de rien.

Un aimant droit, pôle nord en avant, s'approche d'une bobine. D'après la loi de Lenz, la face de la bobine tournée vers l'aimant devient :

Explication : Le pôle nord approche : le flux augmente. Le courant induit crée un champ opposé à B⃗\vec B, donc la face tournée vers l'aimant devient un pôle nord : deux pôles nord se repoussent, ce qui s'oppose bien au rapprochement (la cause).

Dans la loi de Faraday e=−dΦdte = -\dfrac{d\Phi}{dt}, le signe « − » :

Explication : Une fois le circuit orienté (donc n⃗\vec n fixé), ce signe garantit que le courant induit calculé à partir de ee s'oppose bien, physiquement, à la variation de flux — exactement ce qu'affirme la loi de Lenz.

Des rails de Laplace, espacés de l=0,25 ml = 0{,}25\ \text{m}, baignent dans un champ B=0,60 TB = 0{,}60\ \text{T}. Une tige glisse à vitesse constante v=5,0 m⋅s−1v = 5{,}0\ \text{m·s}^{-1}. La f.é.m. induite ∣e∣=Blv|e| = Blv vaut :

Explication : ∣e∣=Blv=0,60×0,25×5,0|e| = Blv = 0{,}60\times0{,}25\times5{,}0
∣e∣=0,75 V|e| = 0{,}75\ \text{V}.

Dans les rails de Laplace, la force de Laplace subie par la tige, due au courant induit, est :

Explication : Le courant induit s'oppose toujours à la cause qui lui donne naissance (loi de Lenz) : la force de Laplace qu'il subit s'oppose donc systématiquement au mouvement de la tige, jamais elle ne l'entraîne.

Dans les rails de Laplace, quand la tige se déplace à vitesse constante grâce à un opérateur extérieur, la puissance mécanique PmeˊcaP_{\text{méca}} fournie par cet opérateur est :

Explication : Pmeˊca=Fv=Bilv=ei=Ri2=PJouleP_{\text{méca}} = Fv = Bilv = ei = Ri^{2} = P_{\text{Joule}} : toute l'énergie mécanique fournie est intégralement convertie, sans perte ni création, en chaleur dans le résistor.

Pour limiter les pertes dues aux courants de Foucault dans le noyau de fer d'un transformateur, on utilise :

Explication : Le feuilletage allonge le trajet possible des courants de Foucault et augmente fortement leur résistance électrique effective, ce qui réduit les pertes Joule qu'ils occasionnent dans le noyau.

Le flux propre d'une bobine parcourue par un courant ii s'écrit Φpropre=Li\Phi_{\text{propre}} = Li. Le coefficient LL, appelé inductance propre, est :

Explication : LL est une caractéristique purement géométrique de la bobine (nombre de spires, dimensions, noyau) : elle est toujours positive et ne dépend pas du courant qui la traverse. Elle se mesure en henrys (H).

Un solénoïde comporte N=1 000N=1\,000 spires, une longueur ℓ=0,50 m\ell = 0{,}50\ \text{m} et une section S=4,0 cm2S = 4{,}0\ \text{cm}^{2}. Son inductance L=μ0N2S/ℓL = \mu_0 N^{2}S/\ell vaut environ :

Explication : L=4π×10−7×1 0002×4,0×10−40,50L = 4\pi\times10^{-7}\times\dfrac{1\,000^{2}\times4{,}0\times10^{-4}}{0{,}50}
=4π×10−7×800= 4\pi\times10^{-7}\times800
L≈1,0×10−3 H=1,0 mHL \approx 1{,}0\times10^{-3}\ \text{H} = 1{,}0\ \text{mH}.

La f.é.m. auto-induite d'une bobine, e=−Ldidte = -L\dfrac{di}{dt}, s'oppose :

Explication : C'est la loi de Faraday appliquée au flux propre Φpropre=Li\Phi_{\text{propre}}=Li : la f.é.m. auto-induite s'oppose à toute variation de ii, pas au courant lui-même (un courant constant n'induit rien).

Dans une bobine réelle, l'intensité qui la traverse :

Explication : Un saut brutal de courant exigerait une puissance p=Li di/dtp=Li\,di/dt infinie, physiquement impossible. C'est cette continuité qui fixe la constante d'intégration à chaque commutation (fermeture ou ouverture).

Un circuit RL a pour résistance totale R=24 ΩR = 24\ \Omega et pour inductance L=0,60 HL = 0{,}60\ \text{H}. Sa constante de temps τ=L/R\tau = L/R vaut :

Explication : τ=LR=0,6024\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0{,}60}{24}
τ=0,025 s=25 ms\tau = 0{,}025\ \text{s} = 25\ \text{ms}.

À la rupture brutale du courant dans un circuit RL, sans chemin de secours pour le courant, une étincelle apparaît à l'interrupteur car :

Explication : La bobine s'oppose à toute variation brutale du courant. Si l'air coupe brusquement le circuit, elle impose malgré tout une variation extrêmement rapide, ce qui produit une tension énorme, capable d'ioniser l'air et de créer un arc électrique.

Une bobine d'inductance L=0,80 HL = 0{,}80\ \text{H} est parcourue par un courant i=0,50 Ai = 0{,}50\ \text{A}. L'énergie magnétique EL=12Li2E_L = \dfrac12 Li^{2} qu'elle emmagasine vaut :

Explication : EL=12×0,80×0,502E_L = \dfrac12\times0{,}80\times0{,}50^{2}
=0,40×0,25= 0{,}40\times0{,}25
EL=0,10 JE_L = 0{,}10\ \text{J}.

Si l'on double l'intensité ii traversant une bobine d'inductance LL fixée, l'énergie magnétique EL=12Li2E_L=\dfrac12Li^{2} stockée est :

Explication : ELE_L est proportionnelle à i2i^{2} : doubler ii multiplie donc ELE_L par 22=42^{2}=4. Oublier ce carré est une erreur fréquente au baccalauréat.

Une bobine d'alternateur de N=100N=100 spires, de section S=0,020 m2S=0{,}020\ \text{m}^{2}, tourne à f=50 Hzf=50\ \text{Hz} (ω=2πf≈314 rad⋅s−1\omega = 2\pi f \approx 314\ \text{rad·s}^{-1}) dans un champ B=0,30 TB=0{,}30\ \text{T}. L'amplitude Emax⁡=NBSωE_{\max}=NBS\omega de la f.é.m. produite vaut environ :

Explication : Emax⁡=NBSω=100×0,30×0,020×314E_{\max} = NBS\omega = 100\times0{,}30\times0{,}020\times314
=0,60×314= 0{,}60\times314
Emax⁡≈188 VE_{\max} \approx 188\ \text{V}.

Le primaire d'un transformateur (N1=100N_1=100 spires) est alimenté sous u1=230 Vu_1=230\ \text{V} ; le secondaire comporte N2=4 000N_2=4\,000 spires. La tension u2=u1N2N1u_2=u_1\dfrac{N_2}{N_1} au secondaire vaut :

Explication : u2=u1×N2N1=230×4 000100=230×40u_2 = u_1\times\dfrac{N_2}{N_1} = 230\times\dfrac{4\,000}{100} = 230\times40
u2=9 200 V=9,2 kVu_2 = 9\,200\ \text{V} = 9{,}2\ \text{kV} : c'est le principe même du transformateur élévateur utilisé pour le transport de l'électricité à haute tension.
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