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Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique

Étudier la force de Lorentz et ses applications.

Physique Terminale Chapitre 5 / 11 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer le rayon de la trajectoire d'une particule
  • Étudier un sélecteur de vitesse
  • Expliquer le fonctionnement d'un cyclotron

Depuis le chapitre sur le mouvement dans un champ de pesanteur, tu sais qu’un projectile lancé dans le champ de pesanteur g⃗\vec{g} décrit une parabole : la force qui le gouverne, le poids, est constante, en direction comme en intensité. Ici, tout change : la force que tu vas étudier — la force magnétique — dépend de la vitesse elle-même, et sa direction tourne à chaque instant avec la trajectoire. C’est elle qui guide les électrons dans un vieux tube cathodique, qui courbe les protons dans les cyclotrons des hôpitaux pour produire les traceurs utilisés en imagerie médicale, qui sépare les isotopes dans un spectrographe de masse, et qui dessine les aurores polaires en canalisant les particules du vent solaire vers les pôles.

Ce chapitre répond à une question simple en apparence : que devient le mouvement d’une particule chargée lorsqu’elle pénètre dans une région où règne un champ magnétique B⃗\vec{B} uniforme ? Tu verras que la réponse est remarquablement élégante — un cercle, parcouru à vitesse constante — et que cette élégance mathématique est directement exploitée dans des dispositifs bien réels : le sélecteur de vitesse, le cyclotron, le spectrographe de masse, le filtre de Wien.

C’est l’un des chapitres les plus classiques du baccalauréat scientifique : la combinaison d’un peu de géométrie, du théorème de l’énergie cinétique et de la relation fondamentale de la dynamique y est systématiquement interrogée, souvent à travers l’un de ces quatre dispositifs. Les mêmes quatre ou cinq formules reviennent sans cesse — autant les maîtriser à fond dès maintenant.

Ce qui change vraiment par rapport à tes chapitres précédents de mécanique, c’est le calcul de la force elle-même : v⃗\vec{v} et B⃗\vec{B} se combinent par un produit vectoriel, et sa direction s’obtient par une règle gestuelle, la règle des trois doigts. Prends le temps de bien l’installer dans ta main dès la première section : tout le reste du chapitre en découle.

1Force de Lorentz

Définition

Une particule ponctuelle de charge qq (en coulombs, C), animée d’une vitesse v⃗\vec{v}, qui se déplace dans une région où règne un champ magnétique uniforme B⃗\vec{B} (en teslas, T), subit une force magnétique (composante magnétique de la force de Lorentz) :

F⃗=q v⃗∧B⃗\vec{F} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B}

Dans une région où règnent à la fois un champ électrique E⃗\vec{E} et un champ magnétique B⃗\vec{B}, la force de Lorentz complète est F⃗=q ⁣(E⃗+v⃗∧B⃗)\vec{F} = q\!\left(\vec{E} + \vec{v}\wedge\vec{B}\right) : le terme électrique qE⃗q\vec{E} réapparaîtra aux sections 4 et 7. Dans tout le reste de ce chapitre, sauf mention contraire, on considère une région où seul le champ magnétique est présent.

1.1  Direction et sens : la règle des trois doigts

Méthode — trouver le sens de F⃗\vec{F} avec la main droite

On dispose trois doigts de la main droite perpendiculaires entre eux (comme les trois arêtes d’un coin de pièce) :

  • le pouce dans le sens de v⃗\vec{v} ;
  • l’index dans le sens de B⃗\vec{B} ;
  • le majeur indique alors le sens de F⃗\vec{F} — à condition que q>0q > 0.

Si la charge est négative (électron, ion négatif), on applique la règle puis on inverse le résultat : F⃗\vec{F} pointe dans le sens opposé à celui indiqué par le majeur.

Règle des trois doigts de la main droite (cas q > 0) +q v⃗(pouce) F⃗(majeur) B⃗(index) pouce → v⃗ index → B⃗ majeur → F⃗
Figure 1 — Les trois vecteurs v⃗\vec{v}, B⃗\vec{B} et F⃗\vec{F} sont mutuellement perpendiculaires. Pour une charge négative, on garde la même main mais on inverse le vecteur obtenu pour F⃗\vec{F}.

1.2  Norme et cas particuliers

Propriété

En notant α=(v⃗,B⃗^)\alpha = (\widehat{\vec{v},\vec{B}}) l’angle géométrique entre v⃗\vec{v} et B⃗\vec{B}, la norme de la force magnétique vaut :

F=∣q∣ v B sin⁡αF = |q|\,v\,B\,\sin\alpha

  • si v⃗∥B⃗\vec{v} \parallel \vec{B} (α=0\alpha = 0 ou π\pi) : sin⁡α=0\sin\alpha = 0, donc F=0F = 0 — aucune déviation ;
  • si v⃗⊥B⃗\vec{v} \perp \vec{B} (α=π2\alpha = \dfrac{\pi}{2}) : sin⁡α=1\sin\alpha = 1, donc F=∣q∣ v BF = |q|\,v\,B est maximale.
Exemple — calcul d’une force magnétique

Un électron (q=−eq = -e, avec e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}) traverse une région où B=0,05 TB = 0{,}05\ \text{T}, avec une vitesse v=2,0×106 m⋅s−1v = 2{,}0 \times 10^{6}\ \text{m·s}^{-1} faisant un angle α\alpha avec B⃗\vec{B}. Seule la norme dépend de α\alpha ; le signe de qq n’intervient que dans le sens.

  1. α=90°\alpha = 90° : F=e v B=1,6×10−19×2,0×106×0,05F = e\,v\,B = 1{,}6\times10^{-19} \times 2{,}0\times10^{6} \times 0{,}05v⊥Bv \perp B, cas maximal
  2. ==1,6×10−14 N1{,}6 \times 10^{-14}\ \text{N}
  3. α=30°\alpha = 30° : F=e v B sin⁡30°F = e\,v\,B\,\sin 30°
  4. ==8,0×10−15 N8{,}0 \times 10^{-15}\ \text{N}exactement la moitié, car sin⁡30°=0,5\sin 30° = 0{,}5
  5. α=0°\alpha = 0° : F=0 NF = 0\ \text{N}v∥Bv \parallel B, pas de force

1.3  Le travail de la force magnétique est nul

Théorème

Quel que soit le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique, la force magnétique F⃗=q v⃗∧B⃗\vec{F} = q\,\vec{v}\wedge\vec{B} ne travaille jamais : W(F⃗)=0W(\vec{F}) = 0 le long de tout trajet. En conséquence, si le poids et les autres forces sont négligeables (ou ne travaillent pas), la force magnétique est la seule force qui travaille et le mouvement de la particule est uniforme : sa vitesse garde une norme constante.

Démonstration

Pendant une durée élémentaire dtdt, le déplacement de la particule est v⃗ dt\vec{v}\,dt. Le travail élémentaire de la force magnétique s’écrit donc δW=F⃗⋅v⃗ dt\delta W = \vec{F}\cdot\vec{v}\,dt.

  1. δW=(q v⃗∧B⃗)⋅v⃗  dt\delta W = \left(q\,\vec{v}\wedge\vec{B}\right)\cdot \vec{v}\;dt
  2. le vecteur v⃗∧B⃗\vec{v}\wedge\vec{B} est orthogonal à v⃗\vec{v}propriété du produit vectoriel : u⃗∧w⃗\vec{u}\wedge\vec{w} est toujours ⊥\perp à u⃗\vec{u}
  3. ⇒\Rightarrow(v⃗∧B⃗)⋅v⃗=0\left(\vec{v}\wedge\vec{B}\right)\cdot \vec{v} = 0 à chaque instant
  4. ⇒\RightarrowδW=0\delta W = 0 à chaque instant
  5. ⇒\RightarrowW(F⃗)=∫δW=0W(\vec{F}) = \displaystyle\int \delta W = 0sur tout trajet, aussi long soit-il

Si, de plus, le poids et les forces de contact sont négligeables ou ne travaillent pas, le théorème de l’énergie cinétique appliqué entre deux instants donne ΔEc=W(F⃗)=0\Delta E_c = W(\vec{F}) = 0, donc Ec=12mv2E_c = \dfrac{1}{2}mv^{2} est constante, donc v=∥v⃗∥v = \|\vec{v}\| est constante. C.Q.F.D.

2Mouvement circulaire uniforme

Place-toi maintenant dans le cas le plus important du chapitre : une particule de masse mm et de charge qq pénètre dans une région de champ B⃗\vec{B} uniforme et permanent, avec une vitesse initiale v⃗0\vec{v}_0 perpendiculaire à B⃗\vec{B}. On néglige le poids devant la force magnétique — un rapport de l’ordre de 101310^{13} à 101410^{14} pour un électron ou un proton dans un champ usuel, comme tu le vérifieras en exercice — et l’on reste dans le domaine non relativiste (v≪cv \ll c), seul domaine étudié en Terminale.

2.1  Mise en équation

Relation fondamentale de la dynamique

La seule force appliquée étant la force magnétique, la deuxième loi de Newton (RFD) dans le référentiel terrestre supposé galiléen s’écrit :

m a⃗=q v⃗∧B⃗m\,\vec{a} = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}

2.2  Démonstration : trajectoire plane et circulaire uniforme

Démonstration

Étape 1 — le mouvement reste dans un plan. Étudions la quantité v⃗⋅B⃗\vec{v}\cdot\vec{B} au cours du temps (B⃗\vec{B} est constant).

  1. ddt ⁣(v⃗⋅B⃗)=a⃗⋅B⃗\dfrac{d}{dt}\!\left(\vec{v}\cdot\vec{B}\right) = \vec{a}\cdot\vec{B}
  2. ==qm(v⃗∧B⃗)⋅B⃗\dfrac{q}{m}\left(\vec{v}\wedge\vec{B}\right)\cdot\vec{B}
  3. ==00v⃗∧B⃗\vec{v}\wedge\vec{B} est orthogonal à B⃗\vec{B}
  4. ⇒\Rightarrowv⃗⋅B⃗\vec{v}\cdot\vec{B} est constant, égal à sa valeur initiale v⃗0⋅B⃗=0\vec{v}_0\cdot\vec{B} = 0car v⃗0⊥B⃗\vec{v}_0 \perp \vec{B} par hypothèse

Donc v⃗(t)⊥B⃗\vec{v}(t) \perp \vec{B} à chaque instant : la vitesse reste dans le plan PP, perpendiculaire à B⃗\vec{B}, passant par le point d’entrée. La trajectoire est donc plane.

Étape 2 — le mouvement est circulaire uniforme. D’après la section 1, la force magnétique ne travaille pas et le poids est négligé : la vitesse garde une norme constante, v=v0v = v_0. Dans le plan PP, utilisons le repère de Frenet (M,u⃗T,u⃗N)(M,\vec{u}_T,\vec{u}_N), avec v⃗=v u⃗T\vec{v} = v\,\vec{u}_T. L’accélération s’y décompose en :

a⃗=dvdt u⃗T+v2R u⃗N=v2R u⃗N\vec{a} = \dfrac{dv}{dt}\,\vec{u}_T + \dfrac{v^{2}}{R}\,\vec{u}_N = \dfrac{v^{2}}{R}\,\vec{u}_N

puisque dvdt=0\dfrac{dv}{dt}=0 (vitesse uniforme). L’accélération est donc purement centripète. Or la RFD impose ma⃗=q v⃗∧B⃗m\vec{a} = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}, un vecteur de norme constante ∣q∣ v B|q|\,v\,B (car v⊥Bv \perp B) et toujours perpendiculaire à v⃗\vec{v}, donc porté par u⃗N\vec{u}_N. En identifiant les normes :

  1. m v2R=∣q∣ v Bm\,\dfrac{v^{2}}{R} = |q|\,v\,B
  2. ⇒\RightarrowR=mv∣q∣BR = \dfrac{mv}{|q|B}constante, car m,v,q,Bm,v,q,B sont constants

Le rayon de courbure RR est constant et la vitesse vv est constante : la trajectoire est un cercle de rayon RR, parcouru à vitesse constante. C’est un mouvement circulaire uniforme. C.Q.F.D.

Attention

« Uniforme » signifie que la norme de la vitesse est constante — pas que le mouvement est rectiligne ! Ici, la direction de v⃗\vec{v} change à chaque instant (c’est même tout l’intérêt : la particule tourne), donc le mouvement est accéléré au sens vectoriel (a⃗≠0⃗\vec{a}\neq \vec{0}), bien qu’il soit uniforme au sens scalaire (dvdt=0\dfrac{dv}{dt}=0). Ne confonds jamais mouvement uniforme et mouvement rectiligne uniforme (MRU).

2.3  Sens de rotation : rôle du signe de la charge

La relation ma⃗=qv⃗∧B⃗m\vec{a}=q\vec{v}\wedge\vec{B} montre que la force — donc le centre du cercle — change de côté selon le signe de qq. À vitesse initiale et champ B⃗\vec{B} identiques, une particule positive et une particule négative tournent en sens opposés.

q > 0q < 0 ⊙ ⊙⊙ ⊙⊙ ⊙⊙ ⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙⊙ ⊙⊙ ⊙ B⃗ sortant du planB⃗ sortant du plan M v⃗ F⃗ q>0 sens horaire M v⃗ F⃗ q<0 sens antihoraire
Figure 2 — Même vitesse initiale v⃗\vec{v}, même champ B⃗\vec{B} sortant du plan (⊙\odot) : une charge positive tourne dans le sens horaire, une charge négative dans le sens antihoraire. Dans les deux cas, F⃗\vec{F} pointe vers le centre.
Exemple — rayon et période d’un proton

Un proton (mp=1,67×10−27 kgm_p = 1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}, q=+eq=+e) entre perpendiculairement à un champ B=0,20 TB = 0{,}20\ \text{T} avec v=1,0×106 m⋅s−1v = 1{,}0\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}.

  1. R=mpveB=1,67×10−27×1,0×1061,6×10−19×0,20R = \dfrac{m_p v}{eB} = \dfrac{1{,}67\times10^{-27} \times 1{,}0\times10^{6}}{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}20}
  2. ==5,2×10−2 m=5,2 cm5{,}2\times10^{-2}\ \text{m} = 5{,}2\ \text{cm}
  3. T=2πmpeB=2π×1,67×10−271,6×10−19×0,20T = \dfrac{2\pi m_p}{eB} = \dfrac{2\pi \times 1{,}67\times10^{-27}}{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}20}
  4. ==3,3×10−7 s3{,}3\times10^{-7}\ \text{s}

Le proton décrit donc un cercle de 5,2 cm5{,}2\ \text{cm} de rayon en 0,33 μs0{,}33\ \mathrm{\mu s}.

2.4  Cas général : mouvement hélicoïdal

Propriété

Si v⃗0\vec{v}_0 n’est pas perpendiculaire à B⃗\vec{B}, on le décompose en une composante v⃗/ ⁣/\vec{v}_{/\!/} parallèle à B⃗\vec{B} et une composante v⃗⊥\vec{v}_{\perp} perpendiculaire. Comme v⃗∧B⃗\vec{v}\wedge\vec{B} n’a jamais de composante parallèle à B⃗\vec{B}, la force magnétique n’agit que sur v⃗⊥\vec{v}_{\perp} :

  • le long de B⃗\vec{B} : aucune force, donc mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v/ ⁣/v_{/\!/} constante ;
  • dans le plan perpendiculaire à B⃗\vec{B} : mouvement circulaire uniforme de rayon R=m v⊥∣q∣BR = \dfrac{m\,v_{\perp}}{|q|B}, de période T=2πm∣q∣BT = \dfrac{2\pi m}{|q|B} (section 3).

La combinaison des deux est une hélice de rayon RR, enroulée autour de la direction de B⃗\vec{B}, de pas p=v/ ⁣/ Tp = v_{/\!/}\,T (avancée le long de B⃗\vec{B} pendant une période).

Trajectoire hélicoïdale (v⃗₀ oblique par rapport à B⃗) B⃗ v∥ R M₀ pas p = v∥·T
Figure 3 — Décomposition v⃗0=v⃗/ ⁣/+v⃗⊥\vec{v}_0 = \vec{v}_{/\!/} + \vec{v}_{\perp} : avancée rectiligne uniforme le long de B⃗\vec{B}, rotation circulaire uniforme autour de B⃗\vec{B}. Traits pleins : portion visible de l’hélice ; traits pointillés : portion arrière.
Exemple — une particule du vent solaire près d’un pôle magnétique

Près d’un pôle magnétique terrestre, où B≈5,0×10−5 TB \approx 5{,}0\times10^{-5}\ \text{T}, un proton du vent solaire arrive avec v0=4,0×105 m⋅s−1v_0 = 4{,}0\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}, incliné de β=60°\beta = 60° par rapport aux lignes de champ.

  1. v/ ⁣/=v0cos⁡β=4,0×105×cos⁡60°=2,0×105 m⋅s−1v_{/\!/} = v_0\cos\beta = 4{,}0\times10^{5}\times \cos 60° = 2{,}0\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}
  2. v⊥=v0sin⁡β=4,0×105×sin⁡60°≈3,5×105 m⋅s−1v_{\perp} = v_0\sin\beta = 4{,}0\times10^{5}\times \sin 60° \approx 3{,}5\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}
  3. R=mpv⊥eB≈72 mR = \dfrac{m_p v_{\perp}}{eB} \approx 72\ \text{m}
  4. T=2πmpeB≈1,3×10−3 sT = \dfrac{2\pi m_p}{eB} \approx 1{,}3\times10^{-3}\ \text{s}
  5. ⇒\Rightarrowpas p=v/ ⁣/T≈262 mp = v_{/\!/}T \approx 262\ \text{m}

La particule s’enroule donc en hélice le long des lignes de champ, en progressant vers le pôle : c’est exactement le mécanisme qui, en excitant les atomes de la haute atmosphère, produit les aurores polaires. Dans une chambre à bulles, ce sont des hélices analogues — de rayon décroissant à mesure que la particule perd de l’énergie — qui rendent visibles les trajectoires des particules issues des collisions.

3Rayon de la trajectoire

3.1  Expression et propriétés du rayon

Propriété

Pour une particule de masse mm et de charge qq entrant perpendiculairement à un champ B⃗\vec{B} uniforme avec une vitesse vv, le rayon de la trajectoire circulaire (établi section 2) vaut :

R=mv∣q∣BR = \dfrac{mv}{|q|B}

RR augmente avec mm et vv, et diminue quand ∣q∣|q| ou BB augmentent : une particule plus rapide, plus lourde, moins chargée ou moins freinée par le champ décrit un cercle plus grand.

C’est ce fil rouge que nous allons suivre dans les trois sous-parties suivantes : un électron, accéléré sous une tension UU, entre dans un champ B=1,2×10−3 TB = 1{,}2\times10^{-3}\ \text{T}.

Exemple — d’une tension accélératrice au rayon

L’électron est d’abord accéléré depuis le repos par une tension U=300 VU = 300\ \text{V}. Le théorème de l’énergie cinétique donne eU=12mev2eU = \tfrac{1}{2}m_ev^{2}, d’où v=2eUmev = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}}.

  1. v=2×1,6×10−19×3009,1×10−31v = \sqrt{\dfrac{2\times 1{,}6\times10^{-19}\times 300}{9{,}1\times10^{-31}}}
  2. ≈\approx1,03×107 m⋅s−11{,}03\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}
  3. R=meveB=9,1×10−31×1,03×1071,6×10−19×1,2×10−3R = \dfrac{m_ev}{eB} = \dfrac{9{,}1\times10^{-31}\times 1{,}03\times10^{7}}{1{,}6\times10^{-19}\times 1{,}2\times10^{-3}}
  4. ≈\approx4,9×10−2 m=4,9 cm4{,}9\times10^{-2}\ \text{m} = 4{,}9\ \text{cm}

3.2  Période et fréquence : la pulsation cyclotron

Démonstration — indépendance de la période par rapport à la vitesse

La particule parcourt la circonférence 2πR2\pi R à la vitesse constante vv : sa période est T=2πRvT = \dfrac{2\pi R}{v}.

  1. T=2πRv=2πv×mv∣q∣BT = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi}{v}\times \dfrac{mv}{|q|B}
  2. ==2πm∣q∣B\dfrac{2\pi m}{|q|B}

Le facteur vv se simplifie entièrement : TT ne dépend pas de vv, seulement de mm, qq et BB. On appelle TT la période cyclotron, fc=1T=∣q∣B2πmf_c = \dfrac{1}{T} = \dfrac{|q|B}{2\pi m} la fréquence cyclotron, et ωc=2πfc=∣q∣Bm\omega_c = 2\pi f_c = \dfrac{|q|B}{m} la pulsation cyclotron.

Attention

Un piège classique : on pourrait croire qu’une particule plus rapide met plus de temps à faire un tour, puisqu’elle parcourt un cercle plus grand. C’est faux : RR et vv augmentent proportionnellement, si bien que le rapport 2πRv\dfrac{2\pi R}{v}, c’est-à-dire TT, reste inchangé. Deux particules identiques, à des vitesses différentes, effectuent un tour complet dans le même temps — c’est précisément le principe qui rend le cyclotron possible (section 5).

Exemple — vérifier l’indépendance de TT

Reprenons l’électron précédent (B=1,2×10−3 TB = 1{,}2\times10^{-3}\ \text{T}), mais accéléré cette fois sous U′=1 200 V=4UU' = 1\,200\ \text{V} = 4U.

  1. v′=2eU′me=4×v=2v≈2,05×107 m⋅s−1v' = \sqrt{\dfrac{2eU'}{m_e}} = \sqrt{4}\times v = 2v \approx 2{,}05\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}
  2. R′=mev′eB=2R≈9,7 cmR' = \dfrac{m_ev'}{eB} = 2R \approx 9{,}7\ \text{cm}le rayon double avec la vitesse
  3. T′=2πmeeB=T≈2,98×10−8 sT' = \dfrac{2\pi m_e}{eB} = T \approx 2{,}98\times10^{-8}\ \text{s}la période, elle, n’a pas changé

Le rayon a doublé, la période est restée rigoureusement identique : 29,8 ns29{,}8\ \text{ns} dans les deux cas.

3.3  Déviation d’un faisceau de particules chargées

Méthode — angle de déviation à la traversée d’un champ localisé

Une particule pénètre horizontalement dans une région de largeur ℓ\ell où règne B⃗\vec{B}, avec un rayon de courbure RR. Notons OO le centre du cercle décrit ; le rayon (OA)(OA) au point d’entrée AA est perpendiculaire à v⃗0\vec{v}_0. Comme la vitesse tourne exactement du même angle que le rayon (OM)(OM) pendant le mouvement circulaire, l’angle de déviation θ\theta entre v⃗0\vec{v}_0 et la vitesse de sortie est égal à l’angle au centre balayé. Le triangle rectangle formé par OO, le point de sortie SS, et le pied de la perpendiculaire abaissée de SS sur (OA)(OA), a pour hypoténuse RR et pour côté opposé à θ\theta l’avancée horizontale ℓ\ell :

sin⁡θ=ℓR\sin\theta = \dfrac{\ell}{R}

Après la sortie, la trajectoire redevient rectiligne (uniforme) : si un écran est placé à la distance DD de la sortie du champ, la déflexion verticale sur l’écran vaut y=Dtan⁡θy = D\tan\theta.

Déviation à la traversée d’un champ magnétique localisé ⊙⊙⊙⊙⊙⊙ B⃗ v⃗₀ θ écran y ℓ D
Figure 4 — La particule entre horizontalement, décrit un arc de cercle sur la largeur ℓ\ell du champ, puis repart en ligne droite avec une déviation angulaire θ\theta telle que sin⁡θ=ℓ/R\sin\theta = \ell/R, jusqu’à l’écran.
Exemple — déviation de l’électron du fil rouge

Avec R=4,9 cmR = 4{,}9\ \text{cm} (exemple précédent), l’électron traverse une région de champ de largeur ℓ=3,0 cm\ell = 3{,}0\ \text{cm}, puis atteint un écran situé à D=25 cmD = 25\ \text{cm} de la sortie du champ.

  1. sin⁡θ=ℓR=3,04,9≈0,616\sin\theta = \dfrac{\ell}{R} = \dfrac{3{,}0}{4{,}9} \approx 0{,}616
  2. ⇒\Rightarrowθ≈38,0°\theta \approx 38{,}0°
  3. y=Dtan⁡θ≈25×tan⁡38,0°y = D\tan\theta \approx 25 \times \tan 38{,}0°
  4. ≈\approx19,6 cm19{,}6\ \text{cm}

4Sélecteur de vitesse

4.1  Principe : deux champs croisés

Définition

Un sélecteur de vitesse superpose, dans une même région, un champ électrique uniforme E⃗\vec{E} (créé par deux plaques planes parallèles portées à une tension UU) et un champ magnétique uniforme B⃗\vec{B}, tous deux perpendiculaires à la vitesse v⃗\vec{v} des particules incidentes et perpendiculaires entre eux, et orientés de sorte que la force électrique qE⃗q\vec{E} et la force magnétique qv⃗∧B⃗q\vec{v}\wedge\vec{B} soient opposées. La force de Lorentz totale s’écrit alors F⃗=q ⁣(E⃗+v⃗∧B⃗)\vec{F} = q\!\left(\vec{E} + \vec{v}\wedge\vec{B}\right).

4.2  Condition de non-déviation

Démonstration

Une particule traverse le dispositif sans déviation si et seulement si la force résultante est nulle, c’est-à-dire si les deux forces se compensent exactement en norme (leurs directions étant déjà opposées par construction) :

  1. qE=qvBqE = qvBégalité des normes, v⃗⊥B⃗\vec{v}\perp\vec{B}
  2. ⇒\Rightarrowv=EBv = \dfrac{E}{B}

Seules les particules animées de cette vitesse précise traversent en ligne droite, quelle que soit leur masse ou leur charge qq (le facteur qq se simplifie). Une particule plus rapide subit une force magnétique dominante et dévie du côté de F⃗mag\vec{F}_{mag} ; une particule plus lente dévie du côté opposé, sous l’effet dominant de F⃗eˊlec\vec{F}_{élec}. Un diaphragme percé d’une fente fine, placé en sortie, arrête toutes les particules déviées et ne laisse passer que celles de vitesse v=E/Bv = E/B.

Équilibre des forces dans le sélecteur de vitesse + − E⃗ ⊙⊙⊙⊙ v = E/B F⃗_élec F⃗_mag diaphragme
Figure 5 — Pour v=E/Bv=E/B, la force électrique et la force magnétique s’équilibrent : trajectoire rectiligne (trait plein). Toute autre vitesse (traits pointillés) dévie et se trouve arrêtée par le diaphragme.
Exemple — vitesse sélectionnée et ions rejetés

Un sélecteur utilise E=2,0×104 V⋅m−1E = 2{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1} et B=0,10 TB = 0{,}10\ \text{T}.

  1. v=EB=2,0×1040,10v = \dfrac{E}{B} = \dfrac{2{,}0\times10^{4}}{0{,}10}
  2. ==2,0×105 m⋅s−12{,}0\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}

Un ion légèrement trop rapide, v′=2,5×105 m⋅s−1v' = 2{,}5\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}, subit une force résultante non nulle :

  1. Fnet=q(v′B−E)=1,6×10−19×(2,5×105×0,10−2,0×104)F_{net} = q\left(v'B - E\right) = 1{,}6\times10^{-19}\times\left(2{,}5\times10^{5}\times 0{,}10 - 2{,}0\times10^{4}\right)
  2. ==8,0×10−16 N8{,}0\times10^{-16}\ \text{N}

Cette force, bien que faible, suffit à dévier progressivement l’ion sur la longueur du dispositif, jusqu’à ce qu’il heurte le bord de la fente : il est rejeté.

4.3  Rôle et utilité

Le sélecteur de vitesse fournit, en sortie, un faisceau monocinétique (toutes les particules à la même vitesse v=E/Bv = E/B), quelle que soit la dispersion des vitesses en entrée. Il est presque toujours placé en amont d’un autre dispositif — cyclotron, spectrographe de masse — pour en améliorer la précision. Sous son nom complet de filtre de Wien, ce montage fera l’objet d’une étude détaillée à la section 7.

Physique & Co — La découverte de l’électron

En 1897, au Cavendish Laboratory de Cambridge, le physicien britannique Joseph John Thomson étudie les rayons cathodiques à l’aide d’un tube à vide muni de plaques (champ E⃗\vec{E}) et de bobines (champ B⃗\vec{B}) : exactement le principe du sélecteur de vitesse. En équilibrant les deux déviations, il mesure la vitesse des rayons cathodiques, puis, en coupant l’un des deux champs, leur rapport charge/masse e/me/m. Il montre ainsi que ces rayons sont composés de particules bien plus légères que le plus léger des atomes : il vient de découvrir l’électron, premier constituant subatomique jamais identifié. Cette découverte lui vaudra le prix Nobel de physique en 1906.

5Cyclotron

5.1  Description et principe de fonctionnement

Définition

Un cyclotron est formé de deux électrodes creuses en forme de DD (les « dees »), placées face à face avec un léger espace (le gap) entre elles, le tout plongé dans un champ magnétique B⃗\vec{B} uniforme et intense, perpendiculaire au plan des dees. À l’intérieur de chaque dee, le champ électrique est nul (effet de cage) : la particule y décrit un demi-cercle à vitesse constante. Une tension alternative U(t)U(t), appliquée entre les deux dees, règne uniquement dans le gap : à chaque traversée, elle accélère la particule, qui repart avec une vitesse plus grande — donc un rayon plus grand (section 3.1).

5.2  Synchronisme : la condition de résonance

Démonstration — pourquoi une fréquence fixe suffit

Dans un dee, la particule parcourt un demi-cercle en une durée T2=πm∣q∣B\dfrac{T}{2} = \dfrac{\pi m}{|q|B}, indépendante de la vitesse (section 3.2) — donc la même à chaque passage, alors même que le rayon grandit à chaque tour. Pour que la tension accélère la particule à chaque traversée du gap (et ne la freine jamais), il suffit qu’elle change de signe à chaque demi-tour, c’est-à-dire qu’elle soit périodique de période TT.

  1. condition de synchronisme : fU=fcf_U = f_c
  2. ⇒\RightarrowfU=∣q∣B2πmf_U = \dfrac{|q|B}{2\pi m}fréquence fixe, indépendante du rayon atteint

C’est là toute l’ingéniosité du cyclotron : une tension alternative de fréquence constante suffit à accélérer la particule tour après tour, sans jamais avoir besoin d’être réajustée, alors même que sa vitesse et son rayon ne cessent de croître.

5.3  Vitesse et énergie cinétique maximales

Propriété

La particule est extraite lorsqu’elle atteint le rayon maximal RmaxR_{max}, fixé par la taille des dees. D’après R=mv∣q∣BR = \dfrac{mv}{|q|B} :

vmax=∣q∣BRmaxmEc,max=12mvmax2=q2B2Rmax22mv_{max} = \dfrac{|q|B R_{max}}{m} \qquad\qquad E_{c,max} = \dfrac{1}{2}mv_{max}^{2} = \dfrac{q^{2}B^{2}R_{max}^{2}}{2m}

Exemple — cyclotron à protons

Un cyclotron accélère des protons dans un champ B=0,80 TB = 0{,}80\ \text{T}, avec un rayon maximal Rmax=0,60 mR_{max} = 0{,}60\ \text{m}.

  1. fc=eB2πmp=1,6×10−19×0,802π×1,67×10−27f_c = \dfrac{eB}{2\pi m_p} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}80}{2\pi\times 1{,}67\times10^{-27}}
  2. ≈\approx1,22×107 Hz=12,2 MHz1{,}22\times10^{7}\ \text{Hz} = 12{,}2\ \text{MHz}
  3. vmax=eBRmaxmp=1,6×10−19×0,80×0,601,67×10−27v_{max} = \dfrac{eBR_{max}}{m_p} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}80\times 0{,}60}{1{,}67\times10^{-27}}
  4. ≈\approx4,6×107 m⋅s−14{,}6\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}
  5. Ec,max=12mpvmax2≈1,77×10−12 JE_{c,max} = \dfrac{1}{2}m_pv_{max}^{2} \approx 1{,}77\times10^{-12}\ \text{J}
  6. ≈\approx11,0 MeV11{,}0\ \text{MeV}1 MeV=1,6×10−13 J1\ \text{MeV} = 1{,}6\times10^{-13}\ \text{J}
Cyclotron : spirale d’accélération entre deux dees ⊙⊙⊙⊙⊙ ⊙⊙⊙⊙⊙ D₁D₂ extraction R_max ~ U(t) gap : tension alternative U(t), de fréquence f = f_c
Figure 6 — À chaque traversée du gap, la tension alternative accélère la particule : le rayon croît (∝k\propto\sqrt{k} après kk traversées), mais la durée de chaque demi-tour reste T/2T/2.

Les cyclotrons médicaux, aujourd’hui installés dans de nombreux hôpitaux, accélèrent des protons pour produire les radioisotopes utilisés en imagerie (scintigraphie, TEP) ; les plus puissants servent à la protonthérapie, un traitement ciblé de certains cancers.

Physique & Co — Ernest Lawrence et le premier cyclotron

En 1930, à l’université de Californie à Berkeley, le physicien américain Ernest Orlando Lawrence conçoit le premier cyclotron : un appareil qui tient dans la paume de la main, d’à peine quelques centimètres de diamètre. Avec son étudiant M. Stanley Livingston, il le fait fonctionner dès 1931 et accélère des protons à plus de 1 MeV1\ \text{MeV} l’année suivante. Le principe se révèle si puissant que les cyclotrons grandissent rapidement, jusqu’à plusieurs mètres de diamètre, ouvrant la voie à la physique nucléaire expérimentale moderne. Lawrence reçoit le prix Nobel de physique en 1939 pour cette invention.

6Spectrographe de masse

6.1  Les trois étapes du spectrographe

Définition

Un spectrographe de masse mesure la masse d’ions en trois étapes successives :

  • Ionisation : une chambre d’ionisation arrache un ou plusieurs électrons aux atomes, produisant des ions de charge qq, pratiquement immobiles ;
  • Accélération : une tension UU accélère les ions depuis le repos ; le théorème de l’énergie cinétique donne qU=12mv2qU = \tfrac{1}{2}mv^{2} ;
  • Déviation : les ions pénètrent dans un champ B⃗\vec{B} uniforme, décrivent un demi-cercle de rayon R=mv∣q∣BR = \dfrac{mv}{|q|B}, et viennent frapper une plaque détectrice (autrefois photographique).

6.2  Relation entre le rayon et la masse

Démonstration

En combinant les deux étapes, on élimine la vitesse vv, inconnue et non mesurée :

  1. v=2qUmv = \sqrt{\dfrac{2qU}{m}}accélération, théorème de l’énergie cinétique
  2. R=mvqB=mqB2qUmR = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{m}{qB}\sqrt{\dfrac{2qU}{m}}
  3. ==1B2mUq\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mU}{q}}
  4. ⇒\Rightarrowm=qB2R22Um = \dfrac{qB^{2}R^{2}}{2U}

En mesurant la position RR de l’impact (à qq, UU, BB connus et fixés), on remonte à la masse mm de l’ion — c’est tout le principe de la spectrographie de masse. À qq, UU, BB identiques, deux masses différentes donnent deux rayons différents, dans le rapport R1R2=m1m2\dfrac{R_1}{R_2} = \sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}.

6.3  Séparation des isotopes : écart entre les impacts

Méthode — écart entre deux impacts

Deux isotopes, de masses m1<m2m_1 < m_2, même charge qq, accélérés par la même tension UU et déviés par le même champ BB, entrent tous deux au même point avec une vitesse horizontale. Chacun décrit un demi-cercle et retombe sur la plaque, sur la même verticale d’entrée, à une distance 2R2R de son point d’entrée (diamètre du demi-cercle). L’écart entre les deux impacts vaut donc :

d=2(R2−R1)d = 2\left(R_2 - R_1\right)

Spectrographe de masse : de l’ionisation à la plaque source accélération (U) déviation (B⃗) ⊙⊙⊙⊙⊙ R₁ R₂ plaque m₁ m₂ d
Figure 7 — Rapport des rayons exagéré pour la lisibilité. À qq, UU, BB fixés, l’isotope le plus lourd (m2m_2) décrit le plus grand rayon et frappe plus loin.
Exemple — séparer le néon 20 et le néon 22

Des ions Ne+^+ (q=eq=e) sont accélérés sous U=2 000 VU = 2\,000\ \text{V} puis déviés par B=0,20 TB = 0{,}20\ \text{T}. On compare le néon 20 (m1=20um_1 = 20u) et le néon 22 (m2=22um_2 = 22u), avec u=1,66×10−27 kgu = 1{,}66\times10^{-27}\ \text{kg}.

  1. R1=1B2m1Ue=10,202×20×1,66×10−27×2 0001,6×10−19R_1 = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2m_1U}{e}} = \dfrac{1}{0{,}20}\sqrt{\dfrac{2\times 20\times 1{,}66\times10^{-27}\times 2\,000}{1{,}6\times10^{-19}}}
  2. ≈\approx0,1440 m=14,40 cm0{,}1440\ \text{m} = 14{,}40\ \text{cm}
  3. R2=1B2m2UeR_2 = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2m_2U}{e}}
  4. ≈\approx0,1511 m=15,11 cm0{,}1511\ \text{m} = 15{,}11\ \text{cm}
  5. d=2(R2−R1)d = 2\left(R_2-R_1\right)
  6. ≈\approx1,41 cm1{,}41\ \text{cm}
Physique & Co — Aston et la chasse aux isotopes

En 1919, au Cavendish Laboratory, le chimiste et physicien britannique Francis William Aston, élève de Thomson, construit le premier véritable spectrographe de masse. Il l’utilise pour prouver l’existence des isotopes des éléments non radioactifs — jusque-là, on pensait chaque élément chimique associé à une masse atomique unique. Aston identifiera plus de 200 isotopes naturels et énoncera la « règle du nombre entier » sur les masses atomiques. Il reçoit le prix Nobel de chimie en 1922. Une variante à foyer, due à l’Américain Arthur Dempster (1918), reste à la base des spectromètres de masse modernes utilisés, entre autres, pour l’analyse isotopique en géologie et en archéologie.

7Filtre de Wien

7.1  Reprise du principe : champs EE et BB croisés

Le filtre de Wien, du nom du physicien allemand Wilhelm Wien qui le décrit dès 1898, est la version complète et instrumentée du sélecteur de vitesse de la section 4 : deux fentes fines (entrée et sortie) encadrent la région où E⃗\vec{E} et B⃗\vec{B} sont croisés, ne laissant passer en ligne droite que les particules de vitesse v=EBv = \dfrac{E}{B}.

Filtre de Wien : de la source au faisceau filtré source fente d’entrée + − E⃗ ⊙⊙⊙⊙ v = E/B fente de sortie vers le spectrographe
Figure 8 — Seules les particules de vitesse v=E/Bv=E/B franchissent les deux fentes ; les autres (traits pointillés) sont interceptées par la fente de sortie.

7.2  Intérêt : améliorer la résolution

Après une simple accélération (section 6), deux ions de même masse peuvent ressortir avec des vitesses légèrement différentes si leur énergie initiale (thermique, résiduelle) n’était pas rigoureusement nulle : la relation R=mvqBR = \dfrac{mv}{qB} traduit alors cette petite dispersion de vv en une dispersion de RR, qui brouille la mesure. En imposant une vitesse rigoureusement unique v=E/Bv = E/B à l’entrée de la zone de déviation, le filtre de Wien élimine cette dispersion et affine la résolution du spectrographe — c’est pourquoi il est souvent placé juste avant la zone de déviation, après l’accélération.

Exemple — du filtre au spectrographe

Un filtre de Wien utilise E=5,0×104 V⋅m−1E = 5{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1} et B=0,25 TB = 0{,}25\ \text{T}. Les ions filtrés (par exemple Na+^+, m=23um = 23u) entrent ensuite dans la zone de déviation, où règne B′=0,30 TB' = 0{,}30\ \text{T}.

  1. v=EB=5,0×1040,25v = \dfrac{E}{B} = \dfrac{5{,}0\times10^{4}}{0{,}25}
  2. ==2,0×105 m⋅s−12{,}0\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}
  3. R=mveB′=23×1,66×10−27×2,0×1051,6×10−19×0,30R = \dfrac{mv}{eB'} = \dfrac{23\times 1{,}66\times10^{-27}\times 2{,}0\times10^{5}}{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}30}
  4. ≈\approx0,1591 m≈15,9 cm0{,}1591\ \text{m} \approx 15{,}9\ \text{cm}

Fiche mémo

  • F⃗=q v⃗∧B⃗\vec{F} = q\,\vec{v}\wedge\vec{B} ; norme ∣q∣vBsin⁡α|q|vB\sin\alpha ; direction par la règle des 3 doigts (main droite : pouce v⃗\vec v, index B⃗\vec B, majeur F⃗\vec F, pour q>0q>0 — inverser si q<0q<0).
  • v⃗∥B⃗⇒F=0\vec v \parallel \vec B \Rightarrow F=0 ; v⃗⊥B⃗⇒F\vec v \perp \vec B \Rightarrow F maximale.
  • La force magnétique ne travaille jamais (F⃗⊥v⃗\vec F \perp \vec v) : si elle est la seule force, ∥v⃗∥\|\vec v\| = constante.
  • v⃗0⊥B⃗\vec v_0 \perp \vec B, B⃗\vec B uniforme ⇒\Rightarrow trajectoire plane et circulaire uniforme, R=mv∣q∣BR = \dfrac{mv}{|q|B}.
  • Période T=2πm∣q∣BT = \dfrac{2\pi m}{|q|B} : indépendante de vv. Fréquence cyclotron fc=∣q∣B2πmf_c=\dfrac{|q|B}{2\pi m}, pulsation ωc=∣q∣Bm\omega_c=\dfrac{|q|B}{m}.
  • v⃗0\vec v_0 oblique ⇒\Rightarrow trajectoire hélicoïdale (rotation + translation uniforme le long de B⃗\vec B), pas p=v/ ⁣/Tp=v_{/\!/}T.
  • Déviation sur une largeur ℓ\ell : sin⁡θ=ℓ/R\sin\theta = \ell/R ; déflexion sur un écran à DD : y=Dtan⁡θy = D\tan\theta.
  • Sélecteur de vitesse / filtre de Wien : E⃗\vec E et B⃗\vec B croisés, seule v=E/Bv = E/B traverse sans déviation.
  • Cyclotron : résonance fU=fcf_U=f_c ; vmax=∣q∣BRmaxmv_{max}=\dfrac{|q|BR_{max}}{m} ; Ec,max=q2B2Rmax22mE_{c,max}=\dfrac{q^{2}B^{2}R_{max}^{2}}{2m}.
  • Spectrographe de masse : m=qB2R22Um = \dfrac{qB^{2}R^{2}}{2U} ; écart entre deux impacts d=2(R2−R1)d = 2\left(R_2-R_1\right).

8Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Un proton (q=+eq=+e) puis un électron (q=−eq=-e) se déplacent à v=3,0×105 m⋅s−1v = 3{,}0\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}, perpendiculairement à un champ B=0,4 TB=0{,}4\ \text{T}. Indique le sens de la force subie par chacun, puis calcule leur norme commune.

Voir le corrigé détaillé

Pour le proton (q>0q>0), on applique directement la règle des trois doigts : pouce selon v⃗\vec v, index selon B⃗\vec B, le majeur donne F⃗\vec F. Pour l’électron (q<0q<0), même main, mais on inverse le résultat obtenu.

  1. F=e v B sin⁡90°=1,6×10−19×3,0×105×0,4F = e\,v\,B\,\sin 90° = 1{,}6\times10^{-19}\times 3{,}0\times10^{5}\times 0{,}4
  2. ==1,92×10−14 N1{,}92\times10^{-14}\ \text{N}

Les deux forces ont la même norme 1,92×10−14 N1{,}92\times10^{-14}\ \text{N}, mais des sens opposés.

2

Un proton entre perpendiculairement dans un champ B=0,25 TB=0{,}25\ \text{T} avec v=5,0×105 m⋅s−1v=5{,}0\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}. Calcule le rayon de sa trajectoire.

Voir le corrigé détaillé
  1. R=mpveB=1,67×10−27×5,0×1051,6×10−19×0,25R = \dfrac{m_pv}{eB} = \dfrac{1{,}67\times10^{-27}\times 5{,}0\times10^{5}}{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}25}
  2. ≈\approx2,1×10−2 m=2,1 cm2{,}1\times10^{-2}\ \text{m} = 2{,}1\ \text{cm}
3

Un électron évolue dans un champ B=8,0×10−4 TB = 8{,}0\times10^{-4}\ \text{T}. Calcule sa période et sa fréquence cyclotron. Que deviennent-elles si sa vitesse triple ?

Voir le corrigé détaillé
  1. T=2πmeeB=2π×9,1×10−311,6×10−19×8,0×10−4T = \dfrac{2\pi m_e}{eB} = \dfrac{2\pi\times 9{,}1\times10^{-31}}{1{,}6\times10^{-19}\times 8{,}0\times10^{-4}}
  2. ≈\approx4,47×10−8 s=44,7 ns4{,}47\times10^{-8}\ \text{s} = 44{,}7\ \text{ns}
  3. fc=1T≈2,24×107 Hz=22,4 MHzf_c = \dfrac{1}{T} \approx 2{,}24\times10^{7}\ \text{Hz} = 22{,}4\ \text{MHz}

TT et fcf_c ne dépendent pas de vv : si la vitesse triple, elles restent inchangées. Seul le rayon triple (de 0,71 cm0{,}71\ \text{cm} à 2,13 cm2{,}13\ \text{cm} pour vv passant de 1,0×1061{,}0\times10^{6} à 3,0×106 m⋅s−13{,}0\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}).

4

Un sélecteur de vitesse utilise E=3,0×104 V⋅m−1E = 3{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1} et B=0,15 TB=0{,}15\ \text{T}. Quelle est la vitesse des particules qui le traversent sans dévier ?

Voir le corrigé détaillé
  1. v=EB=3,0×1040,15v = \dfrac{E}{B} = \dfrac{3{,}0\times10^{4}}{0{,}15}
  2. ==2,0×105 m⋅s−12{,}0\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}
5

Un proton se déplace à v=4,0×105 m⋅s−1v=4{,}0\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1} dans un champ B=0,30 TB=0{,}30\ \text{T}. Calcule la norme de la force magnétique pour α=0°\alpha=0°, α=45°\alpha=45° et α=90°\alpha=90° entre v⃗\vec v et B⃗\vec B.

Voir le corrigé détaillé
  1. α=0°\alpha=0° : F=evBsin⁡0°=0 NF = evB\sin 0° = 0\ \text{N}
  2. α=45°\alpha=45° : F=evBsin⁡45°≈1,6×10−19×4,0×105×0,30×0,707F = evB\sin 45° \approx 1{,}6\times10^{-19}\times 4{,}0\times10^{5}\times 0{,}30\times 0{,}707
  3. ≈\approx1,36×10−14 N1{,}36\times10^{-14}\ \text{N}
  4. α=90°\alpha=90° : F=evB≈1,92×10−14 NF = evB \approx 1{,}92\times10^{-14}\ \text{N}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Un proton, initialement au repos, est accéléré par une tension U=500 VU = 500\ \text{V}, puis pénètre perpendiculairement dans un champ B=0,30 TB = 0{,}30\ \text{T}. Calcule sa vitesse puis le rayon de sa trajectoire.

Voir le corrigé détaillé
  1. eU=12mpv2⇒v=2eUmp=2×1,6×10−19×5001,67×10−27eU = \tfrac{1}{2}m_pv^{2} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_p}} = \sqrt{\dfrac{2\times 1{,}6\times10^{-19}\times 500}{1{,}67\times10^{-27}}}
  2. ≈\approx3,10×105 m⋅s−13{,}10\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}
  3. R=mpveB=1,67×10−27×3,10×1051,6×10−19×0,30R = \dfrac{m_pv}{eB} = \dfrac{1{,}67\times10^{-27}\times 3{,}10\times10^{5}}{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}30}
  4. ≈\approx1,08×10−2 m=1,08 cm1{,}08\times10^{-2}\ \text{m} = 1{,}08\ \text{cm}
7

Un électron, accéléré depuis le repos sous U=400 VU=400\ \text{V}, pénètre dans une région de champ B=6,0×10−4 TB=6{,}0\times10^{-4}\ \text{T}, large de ℓ=4,0 cm\ell=4{,}0\ \text{cm}.

  1. Calcule sa vitesse vv, puis le rayon RR de sa trajectoire.
  2. Calcule l’angle de déviation θ\theta, puis la déflexion yy sur un écran placé à D=30 cmD=30\ \text{cm} de la sortie du champ.
Voir le corrigé détaillé
  1. v=2eUme≈1,186×107 m⋅s−1v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}} \approx 1{,}186\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}
  2. R=meveB≈0,1124 m=11,24 cmR = \dfrac{m_ev}{eB} \approx 0{,}1124\ \text{m} = 11{,}24\ \text{cm}
  3. sin⁡θ=ℓR=4,011,24≈0,356\sin\theta = \dfrac{\ell}{R} = \dfrac{4{,}0}{11{,}24} \approx 0{,}356
  4. ⇒\Rightarrowθ≈20,8°\theta \approx 20{,}8°
  5. y=Dtan⁡θ≈30×tan⁡20,8°y = D\tan\theta \approx 30\times \tan 20{,}8°
  6. ≈\approx11,4 cm11{,}4\ \text{cm}
8

Dans un cyclotron, des protons gagnent eUeU à chaque traversée du gap, avec U=200 VU=200\ \text{V} et B=0,50 TB=0{,}50\ \text{T}. On souhaite atteindre Ec,max=2,0 MeVE_{c,max}=2{,}0\ \text{MeV}.

  1. Calcule le nombre nn de traversées du gap nécessaires.
  2. Calcule vmaxv_{max} et le rayon final RmaxR_{max}.
  3. En déduire la durée totale passée dans le cyclotron.
Voir le corrigé détaillé

Chaque traversée apporte l’énergie eUeU ; après nn traversées, Ec,max=n eUE_{c,max}=n\,eU.

  1. n=Ec,maxeU=2,0×1,6×10−131,6×10−19×200n = \dfrac{E_{c,max}}{eU} = \dfrac{2{,}0\times1{,}6\times10^{-13}}{1{,}6\times10^{-19}\times 200}
  2. ==10 00010\,000nombre entier de traversées
  3. vmax=2Ec,maxmp≈1,96×107 m⋅s−1v_{max} = \sqrt{\dfrac{2E_{c,max}}{m_p}} \approx 1{,}96\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}
  4. Rmax=mpvmaxeB≈0,409 m=40,9 cmR_{max} = \dfrac{m_pv_{max}}{eB} \approx 0{,}409\ \text{m} = 40{,}9\ \text{cm}
  5. T=2πmpeB≈1,31×10−7 sT = \dfrac{2\pi m_p}{eB} \approx 1{,}31\times10^{-7}\ \text{s}
  6. durée totale ≈n×T2=10 000×1,31×10−72\approx n\times \dfrac{T}{2} = 10\,000\times \dfrac{1{,}31\times10^{-7}}{2}
  7. ≈\approx6,6×10−4 s≈0,66 ms6{,}6\times10^{-4}\ \text{s} \approx 0{,}66\ \text{ms}

Dix mille traversées du gap suffisent donc à porter les protons à 2,0 MeV2{,}0\ \text{MeV}, en moins d’une milliseconde.

9

Dans un spectrographe, un ion monochargé (q=eq=e) est accéléré sous U=1 000 VU=1\,000\ \text{V} puis dévié par B=0,40 TB=0{,}40\ \text{T}. Il frappe la plaque à R=5,6 cmR = 5{,}6\ \text{cm} de l’entrée. Identifie l’isotope, sachant que u=1,66×10−27 kgu = 1{,}66\times10^{-27}\ \text{kg}.

Voir le corrigé détaillé
  1. m=qB2R22U=1,6×10−19×0,402×0,05622×1 000m = \dfrac{qB^{2}R^{2}}{2U} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}40^{2}\times 0{,}056^{2}}{2\times1\,000}
  2. ≈\approx4,01×10−26 kg4{,}01\times10^{-26}\ \text{kg}
  3. mu≈4,01×10−261,66×10−27\dfrac{m}{u} \approx \dfrac{4{,}01\times10^{-26}}{1{,}66\times10^{-27}}
  4. ≈\approx2424

On trouve m≈24um \approx 24u : il s’agit de l’isotope magnésium 24 (24Mg^{24}\text{Mg}), le plus abondant du magnésium naturel.

Niveau 3 — Type bac
10

Électron dans un champ magnétique uniforme. Un électron pénètre perpendiculairement dans un champ B=2,0×10−3 TB = 2{,}0\times10^{-3}\ \text{T} avec v0=6,0×106 m⋅s−1v_0 = 6{,}0\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}. On prendra g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}.

  1. Compare la force magnétique au poids de l’électron ; justifie qu’on néglige ce dernier.
  2. Établis la nature du mouvement, puis calcule le rayon RR de la trajectoire.
  3. Calcule la période TT et la fréquence ff associées.
  4. Le champ B⃗\vec B est sortant du plan de la figure : précise le sens de rotation de l’électron.
Voir le corrigé détaillé

1. Comparons les deux forces à l’instant initial (v⃗0⊥B⃗\vec v_0\perp\vec B) :

  1. FB=ev0B=1,6×10−19×6,0×106×2,0×10−3≈1,92×10−15 NF_B = ev_0B = 1{,}6\times10^{-19}\times 6{,}0\times10^{6}\times 2{,}0\times10^{-3} \approx 1{,}92\times10^{-15}\ \text{N}
  2. P=meg=9,1×10−31×9,8≈8,9×10−30 NP = m_eg = 9{,}1\times10^{-31}\times 9{,}8 \approx 8{,}9\times10^{-30}\ \text{N}
  3. FBP≈2,2×1014\dfrac{F_B}{P} \approx 2{,}2\times10^{14}

Le poids est environ 2×10142\times10^{14} fois plus faible que la force magnétique : il est totalement négligeable.

2. Le poids étant négligé, la seule force appliquée est la force magnétique, perpendiculaire à v⃗\vec v et de norme constante (vv constante, section 1) : le mouvement est circulaire uniforme (démonstration section 2.2).

  1. R=mev0eB=9,1×10−31×6,0×1061,6×10−19×2,0×10−3R = \dfrac{m_ev_0}{eB} = \dfrac{9{,}1\times10^{-31}\times 6{,}0\times10^{6}}{1{,}6\times10^{-19}\times 2{,}0\times10^{-3}}
  2. ≈\approx1,71×10−2 m=1,71 cm1{,}71\times10^{-2}\ \text{m} = 1{,}71\ \text{cm}

3.

  1. T=2πmeeB≈1,79×10−8 s=17,9 nsT = \dfrac{2\pi m_e}{eB} \approx 1{,}79\times10^{-8}\ \text{s} = 17{,}9\ \text{ns}
  2. f=1T≈5,60×107 Hz=56,0 MHzf = \dfrac{1}{T} \approx 5{,}60\times10^{7}\ \text{Hz} = 56{,}0\ \text{MHz}

4. L’électron porte une charge négative : d’après la section 2.3 (figure 2), avec B⃗\vec B sortant du plan, une charge négative tourne dans le sens antihoraire.

11

Spectrographe de masse — séparation du chlore 35 et du chlore 37. Des ions Cl+^+ (q=eq=e) sont accélérés sous U=3 000 VU=3\,000\ \text{V} puis déviés par B=0,45 TB=0{,}45\ \text{T}. On donne m(35Cl)=35um(^{35}\text{Cl})=35u et m(37Cl)=37um(^{37}\text{Cl})=37u, avec u=1,66×10−27 kgu=1{,}66\times10^{-27}\ \text{kg}.

  1. Exprime littéralement la vitesse vv en sortie d’accélération, puis le rayon RR en fonction de mm, UU, qq, BB.
  2. Calcule R35R_{35} et R37R_{37}.
  3. Calcule l’écart dd entre les deux impacts sur la plaque. Lequel des deux isotopes frappe le plus loin de l’entrée ?
Voir le corrigé détaillé

1. D’après la section 6.2 : v=2qUmv=\sqrt{\dfrac{2qU}{m}} et R=1B2mUqR = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mU}{q}}.

2.

  1. R35=10,452×35×1,66×10−27×3 0001,6×10−19R_{35} = \dfrac{1}{0{,}45}\sqrt{\dfrac{2\times 35\times 1{,}66\times10^{-27}\times 3\,000}{1{,}6\times10^{-19}}}
  2. ≈\approx0,1037 m=10,37 cm0{,}1037\ \text{m} = 10{,}37\ \text{cm}
  3. R37≈0,1066 m=10,66 cmR_{37} \approx 0{,}1066\ \text{m} = 10{,}66\ \text{cm}

3.

  1. d=2(R37−R35)≈2×(10,66−10,37)d = 2\left(R_{37}-R_{35}\right) \approx 2\times\left(10{,}66-10{,}37\right)
  2. ≈\approx0,58 cm0{,}58\ \text{cm}

Le chlore 37, plus lourd, décrit le plus grand rayon : c’est lui qui frappe la plaque le plus loin de l’entrée.

Séparation de ³⁵Cl et ³⁷Cl (exercice 11) ⊙⊙⊙⊙ R₃₅ R₃₇ plaque 35 37 d
Figure 9 — Rapport des rayons exagéré pour la lisibilité. L’écart réel d≈0,58 cmd\approx 0{,}58\ \text{cm} reste mesurable sur la plaque détectrice.
12

Cyclotron à protons. Un cyclotron utilise B=0,90 TB=0{,}90\ \text{T} et une tension de gap U=400 VU=400\ \text{V}. On veut porter les protons à Ec,max=8,0 MeVE_{c,max}=8{,}0\ \text{MeV}.

  1. Calcule la fréquence fcf_c de la tension alternative à appliquer.
  2. Calcule vmaxv_{max} puis RmaxR_{max}.
  3. Calcule le nombre nn de traversées du gap nécessaires.
  4. Estime la durée totale passée dans le cyclotron.
Voir le corrigé détaillé
  1. fc=eB2πmp=1,6×10−19×0,902π×1,67×10−27f_c = \dfrac{eB}{2\pi m_p} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}90}{2\pi\times 1{,}67\times10^{-27}}
  2. ≈\approx1,37×107 Hz=13,7 MHz1{,}37\times10^{7}\ \text{Hz} = 13{,}7\ \text{MHz}
  3. vmax=2Ec,maxmp=2×8,0×1,6×10−131,67×10−27v_{max} = \sqrt{\dfrac{2E_{c,max}}{m_p}} = \sqrt{\dfrac{2\times 8{,}0\times1{,}6\times10^{-13}}{1{,}67\times10^{-27}}}
  4. ≈\approx3,92×107 m⋅s−13{,}92\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}
  5. Rmax=mpvmaxeB≈0,454 m=45,4 cmR_{max} = \dfrac{m_pv_{max}}{eB} \approx 0{,}454\ \text{m} = 45{,}4\ \text{cm}
  6. n=Ec,maxeU=8,0×1,6×10−131,6×10−19×400n = \dfrac{E_{c,max}}{eU} = \dfrac{8{,}0\times1{,}6\times10^{-13}}{1{,}6\times10^{-19}\times 400}
  7. ==20 00020\,000
  8. durée ≈n×T2\approx n\times\dfrac{T}{2}, avec T=2πmpeB≈7,29×10−8 sT=\dfrac{2\pi m_p}{eB}\approx 7{,}29\times10^{-8}\ \text{s}
  9. ≈\approx7,3×10−4 s≈0,73 ms7{,}3\times10^{-4}\ \text{s} \approx 0{,}73\ \text{ms}
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le cyclotron de l’hôpital. Au centre hospitalier de Yaoundé, un cyclotron médical accélère des protons dans un champ B=0,70 TB=0{,}70\ \text{T}, sur un rayon maximal Rmax=0,35 mR_{max}=0{,}35\ \text{m} (on modélise ici uniquement l’accélération ; la réaction nucléaire produisant le radioisotope n’est pas étudiée). Calcule la vitesse et l’énergie cinétique (en MeV) des protons en sortie, ainsi que la fréquence de la tension à appliquer entre les dees.

Voir le corrigé détaillé
  1. vmax=eBRmaxmp=1,6×10−19×0,70×0,351,67×10−27v_{max} = \dfrac{eBR_{max}}{m_p} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times 0{,}70\times 0{,}35}{1{,}67\times10^{-27}}
  2. ≈\approx2,35×107 m⋅s−12{,}35\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}
  3. Ec,max=12mpvmax2≈4,60×10−13 JE_{c,max} = \tfrac{1}{2}m_pv_{max}^{2} \approx 4{,}60\times10^{-13}\ \text{J}
  4. ≈\approx2,88 MeV2{,}88\ \text{MeV}
  5. fc=eB2πmp≈1,07×107 Hz=10,7 MHzf_c = \dfrac{eB}{2\pi m_p} \approx 1{,}07\times10^{7}\ \text{Hz} = 10{,}7\ \text{MHz}

Ce cyclotron compact délivre des protons de 2,9 MeV2{,}9\ \text{MeV} environ, une gamme d’énergie typique des cyclotrons de production de radioisotopes médicaux.

14

Un laboratoire d’analyse à N’Djamena. Pour dater un échantillon archéologique, un laboratoire compare les isotopes 12C^{12}\text{C} et 14C^{14}\text{C} au moyen d’un spectrographe de masse : ions q=eq=e, accélérés sous U=5 000 VU=5\,000\ \text{V}, déviés par B=0,60 TB=0{,}60\ \text{T}. Calcule R12R_{12}, R14R_{14} et l’écart dd entre les deux impacts.

Voir le corrigé détaillé
  1. R12=1B2×12u×Ue≈5,88×10−2 m=5,88 cmR_{12} = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2\times 12u\times U}{e}} \approx 5{,}88\times10^{-2}\ \text{m} = 5{,}88\ \text{cm}
  2. R14=1B2×14u×Ue≈6,35 cmR_{14} = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2\times 14u\times U}{e}} \approx 6{,}35\ \text{cm}
  3. d=2(R14−R12)≈2×(6,35−5,88)d = 2\left(R_{14}-R_{12}\right) \approx 2\times\left(6{,}35-5{,}88\right)
  4. ≈\approx0,94 cm0{,}94\ \text{cm}

Un écart proche du centimètre, tout à fait mesurable : c’est ce type de dispositif (spectromètre de masse) qui permet, en pratique, de séparer 12C^{12}\text{C} et 14C^{14}\text{C} pour la datation au carbone 14.

15

Un vieil oscilloscope à Dakar. Fatou, technicienne, teste le canon à électrons d’un tube cathodique : les électrons sont accélérés sous U=500 VU=500\ \text{V}, puis pénètrent dans une région où un aimant crée B=1,0×10−3 TB=1{,}0\times10^{-3}\ \text{T} sur une largeur ℓ=2,0 cm\ell=2{,}0\ \text{cm}, avant d’atteindre l’écran, situé à D=15 cmD=15\ \text{cm} de la sortie du champ. Calcule la déviation yy du spot sur l’écran.

Voir le corrigé détaillé
  1. v=2eUme≈1,33×107 m⋅s−1v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}} \approx 1{,}33\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}
  2. R=meveB≈7,54×10−2 m=7,54 cmR = \dfrac{m_ev}{eB} \approx 7{,}54\times10^{-2}\ \text{m} = 7{,}54\ \text{cm}
  3. sin⁡θ=ℓR=2,07,54≈0,265\sin\theta = \dfrac{\ell}{R} = \dfrac{2{,}0}{7{,}54} \approx 0{,}265
  4. ⇒\Rightarrowθ≈15,4°\theta \approx 15{,}4°
  5. y=Dtan⁡θ≈15×tan⁡15,4°y = D\tan\theta \approx 15\times \tan 15{,}4°
  6. ≈\approx4,1 cm4{,}1\ \text{cm}
Déviation dans le tube cathodique (exercice 15) ⊙⊙⊙ v⃗ écran y
Figure 10 — Trajectoire de l’électron dans le champ localisé de l’aimant, puis en ligne droite jusqu’à l’écran de l’oscilloscope.

Le spot dévie d’environ 4,1 cm4{,}1\ \text{cm} sur l’écran : c’est ce déplacement, contrôlé par BB (ou par un champ électrique dans les tubes plus anciens), qui permettait de tracer une courbe sur un oscilloscope analogique.

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Radioactivité et décroissance

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La force magnétique (composante de la force de Lorentz) s'écrit F⃗=q v⃗∧B⃗\vec F = q\,\vec v \wedge \vec B. Cette force :

Explication : Par définition du produit vectoriel, v⃗∧B⃗\vec v \wedge \vec B est orthogonal à la fois à v⃗\vec v et à B⃗\vec B : F⃗\vec F l'est donc aussi (au signe de qq près, qui ne change que le sens).

En appliquant la règle des trois doigts de la main droite (pouce : v⃗\vec v, index : B⃗\vec B, majeur : F⃗\vec F) à une charge négative, il faut :

Explication : La règle donne directement le sens de F⃗\vec F pour q>0q>0. Pour q<0q<0, on applique la même règle géométrique puis on inverse le vecteur obtenu, car F⃗=qv⃗∧B⃗\vec F=q\vec v\wedge\vec B change de sens avec le signe de qq.

Un proton (q=+e=1,6×10−19 Cq=+e=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}) se déplace à v=3,0×106 m⋅s−1v=3{,}0\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}, perpendiculairement à un champ B=0,40 TB=0{,}40\ \text{T}. La force magnétique F=∣q∣vBsin⁡αF=|q|vB\sin\alpha qu'il subit vaut :

Explication : α=90°\alpha=90°, donc sin⁡α=1\sin\alpha=1 : F=∣q∣vB=1,6×10−19×3,0×106×0,40F=|q|vB=1{,}6\times10^{-19}\times3{,}0\times10^{6}\times0{,}40
F=1,92×10−13 NF = 1{,}92\times10^{-13}\ \text{N}.

Lorsqu'une particule chargée se déplace parallèlement à B⃗\vec B (α=0\alpha=0), la force magnétique F=∣q∣vBsin⁡αF=|q|vB\sin\alpha :

Explication : sin⁡0=0\sin 0 = 0, donc F=0F=0 : une particule qui entre exactement parallèlement au champ magnétique n'est pas déviée, quelle que soit l'intensité de BB.

Le travail de la force magnétique F⃗=qv⃗∧B⃗\vec F = q\vec v\wedge\vec B, le long de tout trajet parcouru par une particule chargée :

Explication : F⃗\vec F est à chaque instant perpendiculaire à v⃗\vec v (propriété du produit vectoriel), donc F⃗⋅v⃗=0\vec F\cdot\vec v=0 à chaque instant : le travail élémentaire, et donc le travail total, sont nuls.

Le poids étant négligé, une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique uniforme voit sa vitesse dont la norme :

Explication : La force magnétique ne travaillant jamais, l'énergie cinétique — donc la norme de la vitesse — reste constante, d'après le théorème de l'énergie cinétique. Attention : « uniforme » ne signifie pas « rectiligne » ici, puisque la direction de v⃗\vec v tourne continûment.

Pour une particule entrant perpendiculairement à B⃗\vec B, le rayon R=mv∣q∣BR=\dfrac{mv}{|q|B} de sa trajectoire circulaire augmente lorsque :

Explication : RR est proportionnel à vv et à mm, mais inversement proportionnel à ∣q∣|q| et à BB. Une particule plus rapide (à mm, qq, BB fixés) décrit donc un cercle plus grand.

Un proton (mp=1,67×10−27 kgm_p=1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}) entre perpendiculairement à un champ B=0,25 TB=0{,}25\ \text{T} avec v=1,0×106 m⋅s−1v=1{,}0\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}. Le rayon R=mpveBR=\dfrac{m_pv}{eB} de sa trajectoire vaut environ :

Explication : R=1,67×10−27×1,0×1061,6×10−19×0,25R = \dfrac{1{,}67\times10^{-27}\times1{,}0\times10^{6}}{1{,}6\times10^{-19}\times0{,}25}
R≈4,2×10−2 m=4,2 cmR \approx 4{,}2\times10^{-2}\ \text{m} = 4{,}2\ \text{cm}.

Dans un champ B⃗\vec B, une particule positive et une particule négative, animées de la même vitesse initiale, décrivent des trajectoires circulaires de même rayon mais tournent :

Explication : Le sens de F⃗=qv⃗∧B⃗\vec F=q\vec v\wedge\vec B — donc la position du centre du cercle — dépend directement du signe de qq : à vitesse et champ identiques, une charge positive et une charge négative tournent en sens opposés.

Si la vitesse initiale v⃗0\vec v_0 d'une particule n'est pas perpendiculaire à B⃗\vec B, la composante v/ ⁣/v_{/\!/}, parallèle à B⃗\vec B, donne lieu à un mouvement :

Explication : v⃗∧B⃗\vec v\wedge\vec B n'a jamais de composante parallèle à B⃗\vec B : la force magnétique n'agit que sur v⊥v_\perp. Le long de B⃗\vec B, aucune force ne s'exerce, donc le mouvement y est rectiligne uniforme — d'où la trajectoire hélicoïdale globale.

Une particule décrit une hélice de période T=2,0×10−3 sT=2{,}0\times10^{-3}\ \text{s}, avec une composante de vitesse parallèle au champ v/ ⁣/=1,5×105 m⋅s−1v_{/\!/}=1{,}5\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}. Le pas de l'hélice p=v/ ⁣/Tp=v_{/\!/}T vaut :

Explication : p=v/ ⁣/×T=1,5×105×2,0×10−3p = v_{/\!/}\times T = 1{,}5\times10^{5}\times2{,}0\times10^{-3}
p=300 mp = 300\ \text{m} : l'avancée le long de B⃗\vec B pendant une période de rotation.

La période T=2πm∣q∣BT=\dfrac{2\pi m}{|q|B} du mouvement circulaire d'une particule chargée dans un champ magnétique :

Explication : Dans T=2πRvT=\dfrac{2\pi R}{v}, le facteur vv se simplifie entièrement une fois R=mv∣q∣BR=\dfrac{mv}{|q|B} substitué : TT ne dépend que de mm, qq et BB, jamais de la vitesse — c'est le principe du cyclotron.

Si l'on double la vitesse vv d'une particule entrant dans un champ B⃗\vec B (avec mm, qq, BB fixés), alors :

Explication : R=mv∣q∣BR=\dfrac{mv}{|q|B} est proportionnel à vv : il double. Mais T=2πm∣q∣BT=\dfrac{2\pi m}{|q|B} ne dépend pas de vv : elle reste rigoureusement identique. C'est un piège classique de croire qu'un plus grand cercle prend plus de temps à parcourir.

Une particule traverse une région de champ magnétique localisé, de largeur ℓ\ell, en décrivant un arc de cercle de rayon RR. L'angle de déviation θ\theta à la sortie vérifie :

Explication : Dans le triangle rectangle formé par le centre du cercle, l'entrée et la sortie du champ, l'hypoténuse vaut RR et le côté opposé à θ\theta vaut ℓ\ell : sin⁡θ=ℓ/R\sin\theta = \ell/R.

Un électron, de rayon de trajectoire R=5,0 cmR=5{,}0\ \text{cm}, traverse une région de champ magnétique de largeur ℓ=3,0 cm\ell=3{,}0\ \text{cm}, puis atteint un écran situé à D=20 cmD=20\ \text{cm} de la sortie du champ. La déviation y=Dtan⁡θy=D\tan\theta sur l'écran vaut :

Explication : sin⁡θ=ℓR=3,05,0=0,60\sin\theta = \dfrac{\ell}{R} = \dfrac{3{,}0}{5{,}0} = 0{,}60
d'où θ≈36,9°\theta\approx36{,}9° et tan⁡θ=0,75\tan\theta = 0{,}75 (triangle 3-4-5)
y=Dtan⁡θ=20×0,75=15 cmy = D\tan\theta = 20\times0{,}75 = 15\ \text{cm}.

Dans un sélecteur de vitesse (champs E⃗\vec E et B⃗\vec B croisés), seules les particules de vitesse v=E/Bv=E/B traversent sans déviation. Ce résultat est remarquable car :

Explication : La condition d'équilibre qE=qvBqE=qvB fait disparaître le facteur qq (charge et signe compris) : la vitesse sélectionnée v=E/Bv=E/B est la même pour toute particule chargée, quelles que soient sa masse et sa charge.

Un sélecteur de vitesse utilise E=1,5×104 V⋅m−1E=1{,}5\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1} et B=0,050 TB=0{,}050\ \text{T}. La vitesse sélectionnée v=E/Bv=E/B vaut :

Explication : v=EB=1,5×1040,050v = \dfrac{E}{B} = \dfrac{1{,}5\times10^{4}}{0{,}050}
v=3,0×105 m⋅s−1v = 3{,}0\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}.

Dans un cyclotron, une tension alternative de fréquence fixe fcf_c suffit à accélérer la particule à chaque passage dans le gap, alors même que le rayon de sa trajectoire ne cesse de croître, parce que :

Explication : Puisque T=2πm∣q∣BT=\dfrac{2\pi m}{|q|B} est indépendante de vv, la durée d'un demi-tour reste identique à chaque passage : une tension alternative de fréquence fc=∣q∣B/(2πm)f_c=|q|B/(2\pi m), fixée une fois pour toutes, reste synchronisée avec la particule.

Dans un spectrographe de masse, la masse m=qB2R22Um=\dfrac{qB^{2}R^{2}}{2U} d'un ion se déduit du rayon RR de sa trajectoire. À charge qq, tension UU et champ BB fixés, un ion plus lourd décrit :

Explication : R=1B2mUqR=\dfrac1B\sqrt{\dfrac{2mU}{q}} : RR croît avec m\sqrt{m}. À charge et tensions identiques, l'ion le plus lourd décrit donc le plus grand rayon, et frappe le détecteur le plus loin de l'entrée.

Deux isotopes de masses m1=24um_1=24u et m2=26um_2=26u (u=1,66×10−27 kgu=1{,}66\times10^{-27}\ \text{kg}), de même charge q=eq=e, sont accélérés sous U=1 500 VU=1\,500\ \text{V} puis déviés par B=0,15 TB=0{,}15\ \text{T} dans un spectrographe de masse. L'écart entre leurs deux points d'impact, d=2(R2−R1)d=2(R_2-R_1), vaut environ :

Explication : R1=1B2m1Ue≈18,2 cmR_1=\dfrac1B\sqrt{\dfrac{2m_1U}{e}}\approx18{,}2\ \text{cm} et R2=1B2m2Ue≈19,0 cmR_2=\dfrac1B\sqrt{\dfrac{2m_2U}{e}}\approx19{,}0\ \text{cm}
d=2(R2−R1)≈2×0,75d=2(R_2-R_1)\approx2\times0{,}75
d≈1,5 cmd\approx1{,}5\ \text{cm} : un écart bien mesurable, qui permet de séparer les deux isotopes.
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