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Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique

Étudier l'accélération et la déviation des particules chargées.

Physique Terminale Chapitre 4 / 11 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer la vitesse acquise sous une tension accélératrice
  • Déterminer une déviation
  • Expliquer le principe de l'oscilloscope

As-tu déjà réglé un oscilloscope en séance de travaux pratiques, ou observé le point lumineux balayer l’écran d’une vieille télévision à tube cathodique ? Dans les deux cas, le principe est le même : des électrons, accélérés puis déviés par des champs électriques, viennent frapper un écran fluorescent. C’est exactement ce que tu vas apprendre à calculer dans ce chapitre — et c’est aussi, à bien plus grande échelle, ce qui se passe dans les accélérateurs de particules utilisés en recherche (CERN) ou en médecine (radiothérapie).

Le chapitre précédent t’a appris à décrire un champ électrique uniforme entre deux plaques planes et parallèles, ainsi que la force F⃗=qE⃗\vec F = q\vec E qu’il exerce sur une charge. Ici, cette force ne reste plus un simple vecteur sur un schéma statique : elle met en mouvement une particule chargée (électron, proton, ion), et tu vas retrouver les outils de la mécanique — relation fondamentale de la dynamique, théorème de l’énergie cinétique, équations horaires — appliqués cette fois à une force électrique plutôt qu’au poids.

Tu connais déjà la trajectoire parabolique d’un projectile lancé dans le champ de pesanteur. Une particule chargée qui pénètre perpendiculairement dans un champ électrique uniforme suit exactement le même type de trajectoire, et pour la même raison mathématique : une vitesse constante dans une direction, une accélération constante dans l’autre. Ce parallélisme rend ce chapitre à la fois nouveau et déjà familier.

À la fin de ce chapitre, tu sauras calculer la vitesse qu’acquiert une particule sous une tension accélératrice, déterminer sa déviation dans un champ transversal, et expliquer le principe de fonctionnement d’un oscilloscope — trois compétences directement exigibles au baccalauréat.

1Force électrique dans un champ uniforme

Reprenons les bases posées au chapitre précédent : tout ce chapitre en découle.

1.1  Champ électrique uniforme entre deux plaques

Rappel — champ électrique uniforme

Entre deux plaques planes et parallèles, distantes de dd, portées aux potentiels V1V_1 et V2V_2 et soumises à la tension U=V1−V2U = V_1 - V_2, règne un champ électrique uniforme E⃗\vec E : même direction, même sens et même valeur en tout point de l’espace entre les plaques.

E=UdE = \dfrac{U}{d}

avec EE en volts par mètre (V⋅m−1\text{V·m}^{-1}), UU en volts (V) et dd en mètres (m). Le vecteur E⃗\vec E est perpendiculaire aux plaques, dirigé de la plaque au potentiel le plus élevé vers celle au potentiel le plus bas.

Le champ électrique se représente par des lignes de champ parallèles, équidistantes, dirigées de la plaque ++ vers la plaque −- (figure 1).

1.2  Force électrique et signe de la charge

Propriété

Une particule de charge qq (positive ou négative), placée dans un champ électrique uniforme E⃗\vec E, subit une force électrique :

F⃗=qE⃗\vec F = q\vec E

F⃗\vec F est colinéaire à E⃗\vec E : de même sens si q>0q>0, de sens opposé si q<0q<0. Sa valeur est F=∣q∣EF = |q|E, en newtons (N).

Ce simple changement de signe a une conséquence directe : deux particules de charges opposées, placées au même endroit du champ, partent dans des directions opposées (figure 1). C’est ce mécanisme, répété des milliers de fois par seconde, qui dévie le faisceau d’un oscilloscope ou trie les ions d’un spectrographe de masse.

Champ uniforme : la force change de sens avec le signe de la charge + − E +q F −q F une charge positive est attirée vers la plaque −, une charge négative vers la plaque +
Figure 1 — Entre deux plaques portées à des potentiels différents, le champ E⃗\vec E va de la plaque ++ vers la plaque −- ; la force F⃗=qE⃗\vec F = q\vec E a le sens de E⃗\vec E si q>0q>0, le sens opposé si q<0q<0.
Exemple — force sur un électron

Un électron (charge q=−eq=-e, avec e=1,60×10−19 Ce = 1{,}60\times10^{-19}\ \text{C}) est placé dans un champ E=2,5×104 V⋅m−1E = 2{,}5\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}.

  1. F=∣q∣EF = |q|E
  2. ==1,60×10−19×2,5×1041{,}60\times10^{-19}\times2{,}5\times10^{4}avec ∣q∣=e|q|=e pour un électron
  3. ==4,0×10−15 N4{,}0\times10^{-15}\ \text{N}force dirigée à l’opposé de E⃗\vec E, car q<0q<0

1.3  Le poids est-il négligeable ?

Une particule chargée est aussi soumise à son poids P⃗=mg⃗\vec P = m\vec g. Comparons les deux forces pour l’électron précédent, de masse me=9,11×10−31 kgm_e = 9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}.

  1. P=megP = m_e g
  2. ==9,11×10−31×9,89{,}11\times10^{-31}\times9{,}8
  3. ==8,93×10−30 N8{,}93\times10^{-30}\ \text{N}
  4. FP=4,0×10−158,93×10−30\dfrac{F}{P} = \dfrac{4{,}0\times10^{-15}}{8{,}93\times10^{-30}}
  5. ≈\approx4,5×10144{,}5\times10^{14}la force électrique l’emporte sur le poids par un facteur énorme
Attention

Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, le poids d’une particule chargée (électron, proton, ion) est négligé devant la force électrique : le calcul ci-dessus est représentatif de ce qui se passe dans un tube à vide soumis à un champ usuel. Ce n’est plus vrai pour une particule beaucoup plus massive, comme une gouttelette d’huile ne portant que quelques charges élémentaires : voir l’expérience de Millikan ci-dessous.

Physique & Co — La goutte d’huile de Millikan

Entre 1909 et 1913, le physicien américain Robert Millikan pulvérise de fines gouttelettes d’huile entre deux plaques horizontales. Certaines, chargées par frottement, peuvent être immobilisées en ajustant la tension UU entre les plaques : le poids, vers le bas, est alors exactement compensé par la force électrique, vers le haut.

En mesurant UU pour des centaines de gouttelettes, Millikan constate que la charge qq de chacune est toujours un multiple entier d’une même valeur : q=neq = ne, avec n∈Zn\in\mathbb{Z} et e≈1,60×10−19 Ce\approx1{,}60\times10^{-19}\ \text{C}. Il vient de mettre en évidence la quantification de la charge électrique et de mesurer la charge élémentaire avec une précision remarquable pour l’époque. Ce résultat lui vaut le prix Nobel de physique en 1923.

Exemple — équilibre d’une gouttelette

Une gouttelette d’huile sphérique, de rayon r=1,0 μmr=1{,}0\ \mu\text{m} et de masse volumique ρ=860 kg⋅m−3\rho=860\ \text{kg·m}^{-3}, porte n=2n=2 charges élémentaires négatives. Elle est immobile entre deux plaques horizontales distantes de d=1,6 cmd=1{,}6\ \text{cm}, la plaque du haut étant au potentiel le plus élevé. Quelle tension UU règne entre les plaques ?

La gouttelette est immobile : son poids et la force électrique se compensent exactement.

  1. m=ρ×43πr3m = \rho\times\dfrac{4}{3}\pi r^{3}
  2. ==860×43π×(1,0×10−6)3860\times\dfrac{4}{3}\pi\times(1{,}0\times10^{-6})^{3}
  3. ==3,60×10−15 kg3{,}60\times10^{-15}\ \text{kg}
  4. P=mgP = mg
  5. ==3,60×10−15×9,83{,}60\times10^{-15}\times9{,}8
  6. ==3,53×10−14 N3{,}53\times10^{-14}\ \text{N}
  7. à l’équilibre : neE=PneE = Pforce électrique (vers le haut) = poids (vers le bas), en valeur
  8. ⇒\RightarrowE=PneE = \dfrac{P}{ne}
  9. ==3,53×10−142×1,60×10−19\dfrac{3{,}53\times10^{-14}}{2\times1{,}60\times10^{-19}}
  10. ==1,10×105 V⋅m−11{,}10\times10^{5}\ \text{V·m}^{-1}
  11. U=EdU = Ed
  12. ==1,10×105×1,6×10−21{,}10\times10^{5}\times1{,}6\times10^{-2}
  13. ≈\approx1 765 V1\,765\ \text{V}soit environ 1,8 kV1{,}8\ \text{kV}

2Accélération d’une particule

Que se passe-t-il quand une particule chargée pénètre dans le champ en se déplaçant le long d’une ligne de champ, c’est-à-dire parallèlement à E⃗\vec E ? C’est le principe de tous les accélérateurs de particules : deux grilles trouées, une tension entre elles, et la particule traverse en ligne droite en gagnant de la vitesse.

2.1  Particule entrant parallèlement au champ

Considérons une particule de charge qq et de masse mm, qui pénètre en AA dans le champ uniforme E⃗\vec E avec une vitesse vA⃗\vec{v_A} parallèle à E⃗\vec E (figure 2). Le poids est négligé (§1.3) : la seule force appliquée est F⃗=qE⃗\vec F = q\vec E, constante.

Démonstration — mouvement rectiligne uniformément varié

On choisit un axe (Ox)(Ox) parallèle à E⃗\vec E, orienté dans le sens du mouvement, d’origine OO confondue avec AA à l’instant t=0t=0.

  1. 2e^\text{e} loi de Newton : ma⃗=F⃗=qE⃗m\vec a = \vec F = q\vec Epoids négligé, seule force appliquée
  2. ⇒\Rightarrowa=qEma = \dfrac{qE}{m}valeur algébrique constante : le mouvement est rectiligne
  3. par intégration de aa : v(t)=vA+atv(t) = v_A + at
  4. par intégration de vv : x(t)=vAt+12at2x(t) = v_A t + \dfrac{1}{2}at^{2}

Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré si aa et vAv_A sont de même signe (la particule est poussée dans le sens où elle avance), uniformément retardé dans le cas contraire.

Pour un électron partant sans vitesse initiale d’une cathode et attiré vers une anode positive, la force est dans le sens du mouvement : le mouvement est accéléré.

Accélération entre deux grilles : les positions successives suivent la loi 1:3:5:7 cathode C anode A E F v=0 v₁
Figure 2 — Entre deux grilles, une particule initialement immobile est uniformément accélérée : les positions successives à intervalles de temps égaux suivent la loi des espaces (rapports 1:3:5:7), et la vitesse (flèches vertes) croît linéairement.
Exemple — électron entre deux grilles

Un électron part sans vitesse d’une grille CC et atteint une grille AA distante de d=4,0 cmd=4{,}0\ \text{cm}, sous une tension accélératrice UA=200 VU_A=200\ \text{V}. Calcule son accélération, la durée de la traversée et sa vitesse en AA.

  1. a=eUAmeda = \dfrac{eU_A}{m_e d}
  2. ==1,60×10−19×2009,11×10−31×4,0×10−2\dfrac{1{,}60\times10^{-19}\times200}{9{,}11\times10^{-31}\times4{,}0\times10^{-2}}
  3. ==8,78×1014 m⋅s−28{,}78\times10^{14}\ \text{m·s}^{-2}
  4. d=12at2d = \dfrac{1}{2}at^{2}départ sans vitesse initiale
  5. ⇒\Rightarrowt=2dat = \sqrt{\dfrac{2d}{a}}
  6. ==2×4,0×10−28,78×1014\sqrt{\dfrac{2\times4{,}0\times10^{-2}}{8{,}78\times10^{14}}}
  7. ==9,5×10−9 s9{,}5\times10^{-9}\ \text{s}soit 9,5 ns : une échelle de temps extrêmement courte
  8. v=atv = at
  9. ==8,78×1014×9,5×10−98{,}78\times10^{14}\times9{,}5\times10^{-9}
  10. ≈\approx8,4×106 m⋅s−18{,}4\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}soit environ 3 %3\ \% de la vitesse de la lumière

2.2  Accélérateurs linéaires

En pratique, une seule paire de grilles ne donne qu’une vitesse modeste. Un accélérateur linéaire (linac) enchaîne plusieurs tubes séparés par des intervalles où règne un champ électrique alterné, synchronisé pour que la particule soit toujours accélérée lorsqu’elle traverse un intervalle : chaque étage ajoute de l’énergie cinétique. C’est ce principe, à très grande échelle, qui est mis en œuvre dans les accélérateurs de recherche et dans certains appareils de radiothérapie.

2.3  L’électron-volt

Définition

L’électron-volt (symbole eV) est l’énergie cinétique gagnée par une particule portant la charge élémentaire ee, accélérée par une tension de 1 V1\ \text{V}.

1 eV=e×1 V=1,60×10−19 J1\ \text{eV} = e\times1\ \text{V} = 1{,}60\times10^{-19}\ \text{J}

Cette unité, bien plus commode que le joule à l’échelle d’une particule, est systématiquement utilisée en physique des particules et en physique nucléaire (faisceaux de keV, MeV, GeV…). Pour revenir au joule, il suffit de multiplier le nombre d’électron-volts par 1,60×10−191{,}60\times10^{-19}.

Exemple — conversions
  1. un électron accéléré sous UA=1 000 VU_A=1\,000\ \text{V} gagne Ec=eUA=1 000 eVE_c = eU_A = 1\,000\ \text{eV}
  2. ==1,60×10−16 J1{,}60\times10^{-16}\ \text{J}
  3. un photon d’énergie 8,0×10−18 J8{,}0\times10^{-18}\ \text{J} vaut, en eV :
  4. ==8,0×10−181,60×10−19\dfrac{8{,}0\times10^{-18}}{1{,}60\times10^{-19}}
  5. ==50 eV50\ \text{eV}

3Théorème de l’énergie cinétique et tension accélératrice

La section précédente a donné la vitesse finale en passant par l’accélération puis le temps de parcours. Il existe une voie plus directe, fondée sur l’énergie, qui donne le même résultat sans jamais calculer aa ni tt.

3.1  Travail de la force électrique entre deux points

Démonstration — travail de la force électrique

Une particule de charge qq se déplace d’un point AA vers un point BB, dans un champ uniforme E⃗\vec E. Notons dABd_{AB} le déplacement algébrique, compté dans le sens de E⃗\vec E, entre les projetés de AA et BB.

  1. WA→B(F⃗)=qE×dABW_{A\to B}(\vec F)=qE\times d_{AB}F⃗=qE⃗\vec F=q\vec E est constante : son travail ne dépend que du déplacement le long de E⃗\vec E
  2. VA−VB=E×dABV_A-V_B=E\times d_{AB}dans un champ uniforme, le potentiel décroît dans le sens de E⃗\vec E
  3. ⇒\RightarrowWA→B(F⃗)=q(VA−VB)W_{A\to B}(\vec F)=q(V_A-V_B)
  4. ==qUABqU_{AB}

Résultat valable, plus généralement, pour tout champ électrostatique : le travail de la force électrique ne dépend pas du chemin suivi.

Théorème de l’énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un système entre deux instants est égale à la somme des travaux des forces qui s’exercent sur lui :

Ec,B−Ec,A=∑WA→B(F⃗i)E_{c,B}-E_{c,A}=\sum W_{A\to B}(\vec F_i)

3.2  Vitesse acquise sous une tension accélératrice

Appliquons ce théorème à une particule de charge qq et de masse mm qui part du repos en AA et atteint BB après avoir traversé la tension accélératrice UA=∣VA−VB∣U_A=|V_A-V_B|, orientée pour accélérer effectivement la particule.

Propriété — vitesse acquise
  1. Ec,B−Ec,A=WA→B(F⃗)E_{c,B}-E_{c,A}=W_{A\to B}(\vec F)seule force : poids négligé (§1.3)
  2. 12mvB2−12mvA2=qUAB\dfrac{1}{2}mv_B^{2}-\dfrac{1}{2}mv_A^{2}=qU_{AB}
  3. si la particule part du repos (vA=0v_A=0) : 12mvB2=∣q∣UA\dfrac{1}{2}mv_B^{2}=|q|U_AUA>0U_A>0 par convention, orientée dans le sens accélérateur
  4. ⇒\RightarrowvB=2∣q∣UAmv_B=\sqrt{\dfrac{2|q|U_A}{m}}
Exemple — retrouver le résultat de la dynamique

Reprenons l’électron de §2.1 (UA=200 VU_A=200\ \text{V}, d=4,0 cmd=4{,}0\ \text{cm}) et calculons sa vitesse finale uniquement par le théorème de l’énergie cinétique, sans passer par aa ni tt.

  1. v=2eUAmev=\sqrt{\dfrac{2eU_A}{m_e}}
  2. ==2×1,60×10−19×2009,11×10−31\sqrt{\dfrac{2\times1{,}60\times10^{-19}\times200}{9{,}11\times10^{-31}}}
  3. ==8,4×106 m⋅s−18{,}4\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}exactement la valeur trouvée en §2.1 par la cinématique

Les deux méthodes — dynamique (§2.1) et énergétique (ici) — sont rigoureusement équivalentes ; la seconde est souvent plus rapide, car elle évite le calcul de l’accélération et du temps quand seule la vitesse finale importe.

Attention — limite du modèle classique

La formule vB=2∣q∣UA/mv_B=\sqrt{2|q|U_A/m} suppose une mécanique classique (newtonienne). Elle cesse d’être valable quand vBv_B devient une fraction importante de la vitesse de la lumière c=3,00×108 m⋅s−1c=3{,}00\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1} : il faut alors la relativité restreinte, hors programme de Terminale.

Exemple — un électron très rapide

Un électron accéléré sous UA=30 000 VU_A=30\,000\ \text{V} (tube à rayons X) atteindrait, en mécanique classique :

  1. v=2eUAmev=\sqrt{\dfrac{2eU_A}{m_e}}
  2. ==2×1,60×10−19×3,0×1049,11×10−31\sqrt{\dfrac{2\times1{,}60\times10^{-19}\times3{,}0\times10^{4}}{9{,}11\times10^{-31}}}
  3. ==1,03×108 m⋅s−11{,}03\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1}
  4. ≈\approx0,34 c0{,}34\,cun tiers de la vitesse de la lumière : la correction relativiste n’est plus négligeable

Dans la suite du chapitre, les tensions utilisées resteront assez faibles pour que l’approximation classique reste excellente.

4Déviation dans un condensateur

Que se passe-t-il si, au lieu d’entrer parallèlement au champ, la particule pénètre perpendiculairement à E⃗\vec E, entre les plaques d’un condensateur plan ? C’est le cœur de ce chapitre : la particule est déviée, et cette déviation est à la base du fonctionnement de l’oscilloscope, du tube de télévision et de l’imprimante à jet d’encre.

4.1  Mise en situation et notations

Deux plaques planes, horizontales, de longueur ll, distantes de dd, sont soumises à la tension de déviation UDU_D ; le champ entre les plaques vaut E=UD/dE=U_D/d. Une particule de charge qq et de masse mm pénètre en OO, à mi-distance des deux plaques, avec une vitesse v0⃗\vec{v_0} parallèle aux plaques (perpendiculaire à E⃗\vec E).

On choisit le repère (O,ı⃗,ȷ⃗)(O,\vec\imath,\vec\jmath) : OxOx selon v0⃗\vec{v_0}, OyOy selon E⃗\vec E (figure 3). À t=0t=0 : x(0)=0x(0)=0, y(0)=0y(0)=0, vx(0)=v0v_x(0)=v_0, vy(0)=0v_y(0)=0.

Déflexion électrostatique : parabole puis droite jusqu’à l’écran l d O α Y D v₀ écran
Figure 3 — Trajectoire d’une particule déviée : parabole entre les plaques (longueur ll, distance dd), puis droite jusqu’à l’écran (distance DD au milieu des plaques). Le prolongement en pointillés de la trajectoire de sortie recoupe l’axe exactement au milieu des plaques (règle du foyer) : déviation totale YY.

4.2  Équations horaires du mouvement

Démonstration — équations horaires

Le poids est négligé (§1.3) ; la seule force est F⃗=qE⃗\vec F=q\vec E, portée par OyOy, de valeur algébrique qEqE.

  1. 2e^\text{e} loi de Newton : ma⃗=F⃗=qE⃗m\vec a=\vec F=q\vec E
  2. ⇒\Rightarrowax=0a_x=0 et ay=qEma_y=\dfrac{qE}{m}projection sur OxOx et OyOy
  3. par intégration : vx(t)=v0v_x(t)=v_0 et vy(t)=qEmtv_y(t)=\dfrac{qE}{m}tconditions initiales vx(0)=v0v_x(0)=v_0, vy(0)=0v_y(0)=0
  4. par intégration : x(t)=v0tx(t)=v_0t et y(t)=qE2mt2y(t)=\dfrac{qE}{2m}t^{2}conditions initiales x(0)=y(0)=0x(0)=y(0)=0

4.3  Équation de la trajectoire : une parabole

Propriété — trajectoire parabolique
  1. de x=v0tx=v_0t, on tire t=xv0t=\dfrac{x}{v_0}
  2. en reportant dans y(t)y(t) : y=qE2m(xv0)2y=\dfrac{qE}{2m}\left(\dfrac{x}{v_0}\right)^{2}
  3. ==qE2mv02x2\dfrac{qE}{2mv_0^{2}}x^{2}

y=qE2mv02x2y=\dfrac{qE}{2mv_0^{2}}x^{2}

C’est l’équation d’une parabole passant par OO, tangente en OO à (Ox)(Ox). Elle s’ouvre vers les y>0y>0 si q>0q>0 (particule attirée vers la plaque du côté +y+y), vers les y<0y<0 si q<0q<0.

4.4  Sortie des plaques : déviation, angle, condition de non-collision

La particule sort des plaques en x=lx=l, si elle n’a pas heurté une plaque avant.

Propriété — à la sortie des plaques
  1. déviation : y1=qEl22mv02y_1=\dfrac{qEl^{2}}{2mv_0^{2}}
  2. vitesse transversale : vy1=qElmv0v_{y1}=\dfrac{qEl}{mv_0}
  3. angle de déviation : tan⁡α=qElmv02\tan\alpha=\dfrac{qEl}{mv_0^{2}}tan⁡α=vy1/v0\tan\alpha=v_{y1}/v_0

En comparant y1y_1 et tan⁡α\tan\alpha, une relation remarquable apparaît : y1=l2tan⁡αy_1=\dfrac{l}{2}\tan\alpha. C’est la règle du foyer, utilisée au paragraphe suivant.

Vitesse de sortie : composition de v0v_0 et vy1v_{y1} v₀ v_y1 v₁ α
Figure 4 — Diagramme des vitesses à la sortie des plaques : la vitesse v0⃗\vec{v_0} (horizontale, inchangée) et la composante acquise vy1⃗\vec{v_{y1}} (verticale) s’additionnent pour donner la vitesse de sortie v1⃗\vec{v_1}, inclinée de l’angle α\alpha.
Exemple — sortie des plaques (oscilloscope filé)

Un électron, accéléré sous UA=250 VU_A=250\ \text{V}, pénètre dans des plaques de longueur l=4,0 cml=4{,}0\ \text{cm}, distantes de d=2,0 cmd=2{,}0\ \text{cm}, soumises à UD=80 VU_D=80\ \text{V}. Calcule v0v_0, y1y_1 et tan⁡α\tan\alpha.

  1. v0=2eUAmev_0=\sqrt{\dfrac{2eU_A}{m_e}}
  2. ==2×1,60×10−19×2509,11×10−31\sqrt{\dfrac{2\times1{,}60\times10^{-19}\times250}{9{,}11\times10^{-31}}}
  3. ==9,37×106 m⋅s−19{,}37\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}
  4. y1=eEl22mev02y_1=\dfrac{eEl^{2}}{2m_ev_0^{2}}expression générale, §4.4, avec E=UD/dE=U_D/d
  5. ==UDl24dUA\dfrac{U_Dl^{2}}{4dU_A}en remplaçant E=UD/dE=U_D/d et mev02=2eUAm_ev_0^{2}=2eU_A (§3.2), puis en simplifiant par ee
  6. ==80×(4,0×10−2)24×2,0×10−2×250\dfrac{80\times(4{,}0\times10^{-2})^{2}}{4\times2{,}0\times10^{-2}\times250}
  7. ==6,4×10−3 m6{,}4\times10^{-3}\ \text{m}soit 0,64 cm0{,}64\ \text{cm}, à comparer à d/2=1,0 cmd/2=1{,}0\ \text{cm} : la particule ressort bien
  8. tan⁡α=2y1l\tan\alpha=\dfrac{2y_1}{l}
  9. ==2×6,4×10−34,0×10−2\dfrac{2\times6{,}4\times10^{-3}}{4{,}0\times10^{-2}}
  10. ==0,320{,}32soit α≈17,7°\alpha\approx17{,}7\degree

Ces formules ne sont valables que si la particule ressort des plaques sans les heurter, c’est-à-dire si ∣y1∣⩽d/2|y_1|\leqslant d/2.

  1. condition : ∣y1∣⩽d2|y_1|\leqslant\dfrac{d}{2}
  2. ⇒\Rightarrow∣q∣El22mv02⩽d2\dfrac{|q|El^{2}}{2mv_0^{2}}\leqslant\dfrac{d}{2}
  3. ⇒\RightarrowUD⩽mv02d2∣q∣l2U_D\leqslant\dfrac{mv_0^{2}d^{2}}{|q|l^{2}}
  4. or mv02=2∣q∣UAmv_0^{2}=2|q|U_Athéorème de l’énergie cinétique, §3.2
  5. ⇒\RightarrowUD,max⁡=2d2UAl2U_{D,\max}=\dfrac{2d^{2}U_A}{l^{2}}indépendante de qq et de mm !
Attention

Si UD>UD,max⁡U_D>U_{D,\max}, la particule heurte une plaque avant x=lx=l : elle ne ressort pas, et les formules de déviation sur l’écran (§4.5) ne s’appliquent plus. C’est un piège classique du baccalauréat : vérifie toujours cette condition avant de calculer YY.

4.5  Déviation sur un écran : la règle du foyer

Après les plaques, la particule n’est plus soumise à aucune force (poids négligé) : elle poursuit en ligne droite, avec la pente tan⁡α\tan\alpha acquise à la sortie, jusqu’à un écran situé à une distance DD du milieu des plaques.

Démonstration — la règle du foyer

Prolongeons vers l’arrière la trajectoire rectiligne de sortie (droite pointillée, figure 3) et montrons qu’elle recoupe l’axe (Ox)(Ox) exactement au milieu des plaques.

  1. la droite de sortie passe par (l ; y1)(l\,;\,y_1) avec la pente tan⁡α\tan\alpha ; elle coupe (Ox)(Ox) en x0=l−y1tan⁡αx_0=l-\dfrac{y_1}{\tan\alpha}
  2. or y1=l2tan⁡αy_1=\dfrac{l}{2}\tan\alpharésultat établi en §4.4
  3. ⇒\Rightarrowx0=l−l2x_0=l-\dfrac{l}{2}
  4. ==l2\dfrac{l}{2}

Tout se passe donc comme si la déviation démarrait au milieu des plaques. Sur l’écran, à la distance DD de ce milieu :

Y=Dtan⁡α=qUDlDmv02dY=D\tan\alpha=\dfrac{qU_DlD}{mv_0^{2}d}

Propriété — la déviation ne dépend ni de qq ni de mm
  1. Y=qUDlDmv02dY=\dfrac{qU_DlD}{mv_0^{2}d}
  2. or mv02=2∣q∣UAmv_0^{2}=2|q|U_Athéorème de l’énergie cinétique, §3.2
  3. ⇒\Rightarrow∣Y∣=UDlD2dUA|Y|=\dfrac{U_DlD}{2dU_A}

Résultat remarquable : la déviation YY ne dépend ni de la charge ni de la masse de la particule — seulement des tensions UAU_A, UDU_D et de la géométrie ll, dd, DD. C’est cette propriété qui rend l’oscilloscope fiable et universel (§5).

Exemple — déviation sur l’écran (suite)

Le même oscilloscope a un écran situé à D=20 cmD=20\ \text{cm} du milieu des plaques. Calcule la déviation YY et vérifie que la particule ne heurte pas une plaque.

  1. UD,max⁡=2d2UAl2U_{D,\max}=\dfrac{2d^{2}U_A}{l^{2}}
  2. ==2×(2,0×10−2)2×250(4,0×10−2)2\dfrac{2\times(2{,}0\times10^{-2})^{2}\times250}{(4{,}0\times10^{-2})^{2}}
  3. ==125 V125\ \text{V}UD=80 V<125 VU_D=80\ \text{V}<125\ \text{V} : condition vérifiée
  4. Y=UDlD2dUAY=\dfrac{U_DlD}{2dU_A}
  5. ==80×4,0×10−2×0,202×2,0×10−2×250\dfrac{80\times4{,}0\times10^{-2}\times0{,}20}{2\times2{,}0\times10^{-2}\times250}
  6. ==6,4×10−2 m6{,}4\times10^{-2}\ \text{m}soit 6,4 cm6{,}4\ \text{cm}

4.6  Entrée avec un angle quelconque ; application à l’imprimante à jet d’encre

Si la particule entre en OO avec une vitesse v0⃗\vec{v_0} faisant un angle θ0\theta_0 avec (Ox)(Ox), et non plus parallèle aux plaques, la même méthode s’applique : vx(0)=v0cos⁡θ0v_x(0)=v_0\cos\theta_0, vy(0)=v0sin⁡θ0v_y(0)=v_0\sin\theta_0, avec la même accélération ay=qE/ma_y=qE/m.

Méthode — généraliser à une entrée oblique

On reprend la démonstration de §4.2 en changeant les conditions initiales sur vyv_y, puis on élimine tt comme en §4.3. On obtient :

y=xtan⁡θ0+qE2mv02cos⁡2θ0x2y=x\tan\theta_0+\dfrac{qE}{2mv_0^{2}\cos^{2}\theta_0}x^{2}

expression qui redonne bien y=qE2mv02x2y=\dfrac{qE}{2mv_0^{2}}x^{2} quand θ0=0\theta_0=0.

Ce cas général est exactement celui de l’imprimante à jet d’encre : contrairement à l’oscilloscope, où UDU_D varie et qq est fixe, ici la vitesse v0v_0 de la gouttelette (donnée par l’éjection mécanique) et la tension de déviation UDU_D sont fixes, et c’est la charge qq déposée sur chaque gouttelette qui varie pour piloter sa déviation YY, donc sa position sur le papier.

5Oscilloscope

Tout ce que tu viens d’établir — accélération, déviation, indépendance vis-à-vis de qq et mm — trouve son application la plus directe dans l’oscilloscope cathodique, l’instrument qui permet de « voir » une tension électrique.

5.1  Constitution et principe

Constitution d’un oscilloscope cathodique

Un tube cathodique comprend, dans une enceinte vide d’air :

  • un canon à électrons : une cathode chauffée émet des électrons, accélérés vers une anode par la tension UAU_A (quelques centaines de volts à quelques kV) ;
  • deux paires de plaques de déviation, verticale (YY) et horizontale (XX), soumises aux tensions à étudier ;
  • un écran recouvert d’une substance fluorescente, qui s’illumine au point d’impact du faisceau (le « spot »).
Montage de l’oscilloscope cathodique C A UA UD écran spot canon à électrons plaques de déviation
Figure 5 — Montage d’un oscilloscope cathodique : les électrons, accélérés par UAU_A entre la cathode CC et l’anode AA, sont déviés par la tension UDU_D appliquée aux plaques, puis frappent l’écran fluorescent en un point (le spot) décalé par rapport à sa position sans déviation (ligne pointillée).

5.2  Sensibilité verticale : mesurer une tension

Méthode — mesurer une tension à l’oscilloscope

D’après §4.5, la déviation YY est proportionnelle à la tension appliquée aux plaques verticales UDU_D :

Y=SvUDavecSv=lD2dUAY=S_vU_D \quad\text{avec}\quad S_v=\dfrac{lD}{2dU_A}

SvS_v, la sensibilité verticale de l’appareil (en m/V, ou plus couramment en mm/V ou en V/cm dans l’autre sens), est fixée par la géométrie ll, dd, DD et par le réglage de UAU_A. Pour mesurer une tension inconnue, il suffit de lire la déviation YY sur l’écran gradué, puis de calculer UD=Y/SvU_D=Y/S_v.

Exemple — sensibilité de l’oscilloscope filé

Pour l’oscilloscope des §4.4-4.5 (l=4,0 cml=4{,}0\ \text{cm}, d=2,0 cmd=2{,}0\ \text{cm}, D=20 cmD=20\ \text{cm}, UA=250 VU_A=250\ \text{V}), calcule SvS_v, puis la tension UDU_D qui produirait une déviation de 4,0 cm4{,}0\ \text{cm}.

  1. Sv=lD2dUAS_v=\dfrac{lD}{2dU_A}
  2. ==4,0×10−2×0,202×2,0×10−2×250\dfrac{4{,}0\times10^{-2}\times0{,}20}{2\times2{,}0\times10^{-2}\times250}
  3. ==8,0×10−4 m⋅V−18{,}0\times10^{-4}\ \text{m·V}^{-1}soit 0,80 mm/V0{,}80\ \text{mm/V}, ou encore 12,5 V/cm12{,}5\ \text{V/cm}
  4. UD=YSvU_D=\dfrac{Y}{S_v}
  5. ==4,0×10−28,0×10−4\dfrac{4{,}0\times10^{-2}}{8{,}0\times10^{-4}}
  6. ==50 V50\ \text{V}

5.3  Balayage horizontal : visualiser un signal dans le temps

Pour observer comment une tension varie au cours du temps (un signal sinusoïdal, par exemple), on applique aux plaques horizontales une tension de balayage qui déplace le spot horizontalement à vitesse constante, de la gauche vers la droite, avant de le ramener brutalement au bord gauche (dent de scie). Pendant ce balayage, la tension UD(t)U_D(t) à étudier dévie verticalement le spot : l’écran affiche alors la courbe de UDU_D en fonction du temps.

La base de temps, réglable, fixe la durée balayée par une division horizontale de l’écran (en s/div, ms/div, μs/div…) : elle joue, pour l’axe horizontal, le même rôle que SvS_v pour l’axe vertical.

5.4  Autres tubes cathodiques : le téléviseur

Le tube cathodique de télévision (aujourd’hui remplacé par les écrans plats) reprend le canon à électrons et l’écran fluorescent de l’oscilloscope. Il s’en distingue cependant sur un point : la déviation y est le plus souvent magnétique (bobines de déviation autour du col du tube) et non électrostatique, car elle permet d’obtenir de plus grands angles de déviation dans un tube compact. Le principe d’accélération — une tension anodique de plusieurs dizaines de kilovolts — reste, lui, purement électrique, exactement comme dans ce chapitre.

6Spectrographe de masse

Peut-on utiliser un champ électrique pour identifier la masse d’une particule, ou séparer deux isotopes d’un même élément (même charge, masses légèrement différentes) ? C’est le rôle du spectrographe de masse.

6.1  Principe : une vitesse qui dépend de la masse

Un ion de charge qq et de masse mm, produit dans une source puis accéléré depuis le repos sous une tension UAU_A (§3.2), acquiert la vitesse :

v0=2qUAmv_0=\sqrt{\dfrac{2qU_A}{m}}

À charge qq et tension UAU_A identiques, deux ions de masses différentes acquièrent des vitesses différentes : le plus léger est le plus rapide. C’est cette différence que le spectrographe exploite.

Physique & Co — La découverte des isotopes

En 1913, Joseph John Thomson dévie un faisceau d’ions néon par des champs électrique et magnétique combinés et obtient, sur une plaque photographique, non pas une seule tache mais deux : le néon existe sous deux formes de masses voisines (identifiées depuis comme le néon 20 et le néon 22). C’est la première mise en évidence expérimentale d’isotopes pour un élément stable.

Son étudiant Francis William Aston perfectionne le dispositif et construit, dès 1919, un véritable spectrographe de masse, avec lequel il identifie la plupart des isotopes naturels connus. Il reçoit le prix Nobel de chimie en 1922.

6.2  Séparation par temps de vol (méthode électrostatique)

Après l’accélération, les ions pénètrent dans un long tube de vol, de longueur LL, sans champ électrique : ils s’y déplacent à vitesse constante v0v_0 jusqu’à un détecteur.

Démonstration — relation masse/temps de vol
  1. mouvement rectiligne uniforme dans le tube : t=Lv0t=\dfrac{L}{v_0}
  2. v0=2qUAmv_0=\sqrt{\dfrac{2qU_A}{m}}§6.1
  3. ⇒\Rightarrowt=Lm2qUAt=L\sqrt{\dfrac{m}{2qU_A}}
  4. ⇒\Rightarrowm=2qUAt2L2m=\dfrac{2qU_At^{2}}{L^{2}}

Deux isotopes de même charge qq mais de masses m1<m2m_1<m_2 sortent de l’accélérateur avec des vitesses différentes et atteignent le détecteur à des instants différents, t1<t2t_1<t_2 : ils sont séparés dans le temps, sans qu’aucun champ magnétique ne soit nécessaire. C’est le principe du spectromètre de masse à temps de vol (TOF-MS), une méthode purement électrostatique très employée en analyse chimique.

Signal détecté en fonction du temps : deux isotopes séparés Δt ²⁰Ne⁺ ²²Ne⁺ t₁ t₂ t
Figure 6 — Séparation par temps de vol : deux isotopes de charge identique, accélérés sous la même tension, arrivent au détecteur à des instants différents — le plus léger, plus rapide, arrive le premier. Exemple du néon 20 et du néon 22.
Exemple — séparer le néon 20 du néon 22

Des ions Ne+^+ (charge q=eq=e) sont accélérés sous UA=500 VU_A=500\ \text{V}, puis parcourent un tube de vol de longueur L=1,0 mL=1{,}0\ \text{m}. Compare les temps de vol du 20Ne+^{20}\text{Ne}^+ (m1=20um_1=20u) et du 22Ne+^{22}\text{Ne}^+ (m2=22um_2=22u), avec u=1,66×10−27 kgu=1{,}66\times10^{-27}\ \text{kg}.

  1. t=Lm2eUAt=L\sqrt{\dfrac{m}{2eU_A}}
  2. t1=1,020×1,66×10−272×1,60×10−19×500t_1=1{,}0\sqrt{\dfrac{20\times1{,}66\times10^{-27}}{2\times1{,}60\times10^{-19}\times500}}
  3. ==1,44×10−5 s1{,}44\times10^{-5}\ \text{s}soit 14,4 μs14{,}4\ \mu\text{s}
  4. t2=1,022×1,66×10−272×1,60×10−19×500t_2=1{,}0\sqrt{\dfrac{22\times1{,}66\times10^{-27}}{2\times1{,}60\times10^{-19}\times500}}
  5. ==1,51×10−5 s1{,}51\times10^{-5}\ \text{s}soit 15,1 μs15{,}1\ \mu\text{s}
  6. Δt=t2−t1\Delta t=t_2-t_1
  7. ≈\approx0,70 μs0{,}70\ \mu\text{s}un écart bien mesurable, qui permet de distinguer les deux isotopes

6.3  Pourquoi un accélérateur suivi d’un déflecteur ne sépare pas les masses

Exemple — l’oscilloscope « ne voit pas » la masse

Reprends la formule ∣Y∣=UDlD2dUA|Y|=\dfrac{U_DlD}{2dU_A} établie en §4.5 : elle ne contient ni qq ni mm. Un électron et un proton, accélérés sous la même tension UAU_A puis déviés par la même tension UDU_D dans le même dispositif (l,d,D)(l,d,D), produisent donc exactement la même déviation YY — malgré un rapport de masse d’environ 1 8361\,836 entre les deux particules.

Attention — ne pas confondre les deux méthodes

Un accélérateur suivi d’un déflecteur électrique (§4-5) mesure une tension, indépendamment de la particule utilisée : c’est précisément ce qui est recherché pour l’oscilloscope. Pour séparer des masses (spectrographe), il faut exploiter une grandeur qui dépend de mm après une accélération à qq et UAU_A fixés — comme le temps de vol (§6.2) — ou bien dévier les ions dans un champ magnétique (rayon de courbure r=mv/(qB)r=mv/(qB)), que tu étudieras au chapitre suivant.

Fiche mémo

  • Champ uniforme entre plaques : E=UdE=\dfrac{U}{d} ; force sur une charge : F⃗=qE⃗\vec F=q\vec E, même sens que E⃗\vec E si q>0q>0, opposé si q<0q<0.
  • Poids toujours négligé devant la force électrique pour une particule chargée (électron, ion), sauf cas particulier (gouttelette de Millikan).
  • Entrée parallèle au champ : mouvement rectiligne uniformément varié, a=qEma=\dfrac{qE}{m}.
  • Théorème de l’énergie cinétique, départ du repos : 12mv2=∣q∣UA ⇒ v=2∣q∣UAm\dfrac{1}{2}mv^{2}=|q|U_A\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\dfrac{2|q|U_A}{m}}.
  • Électron-volt : 1 eV=1,60×10−19 J1\ \text{eV}=1{,}60\times10^{-19}\ \text{J}.
  • Entrée perpendiculaire au champ (plaques de longueur ll, distance dd) : trajectoire parabolique y=qE2mv02x2y=\dfrac{qE}{2mv_0^{2}}x^{2}.
  • À la sortie des plaques : y1=qEl22mv02y_1=\dfrac{qEl^{2}}{2mv_0^{2}} ; tan⁡α=qElmv02\tan\alpha=\dfrac{qEl}{mv_0^{2}} ; règle du foyer : y1=l2tan⁡αy_1=\dfrac{l}{2}\tan\alpha.
  • Condition de non-collision : ∣y1∣⩽d2|y_1|\leqslant\dfrac{d}{2}, soit UD⩽UD,max⁡=2d2UAl2U_D\leqslant U_{D,\max}=\dfrac{2d^{2}U_A}{l^{2}}.
  • Déviation sur un écran à la distance DD du milieu des plaques : Y=Dtan⁡α=UDlD2dUAY=D\tan\alpha=\dfrac{U_DlD}{2dU_A} — indépendante de qq et mm.
  • Sensibilité verticale de l’oscilloscope : Sv=YUD=lD2dUAS_v=\dfrac{Y}{U_D}=\dfrac{lD}{2dU_A}.
  • Entrée oblique (angle θ0\theta_0) : y=xtan⁡θ0+qE2mv02cos⁡2θ0x2y=x\tan\theta_0+\dfrac{qE}{2mv_0^{2}\cos^{2}\theta_0}x^{2}.
  • Spectrographe à temps de vol : t=Lm2qUAt=L\sqrt{\dfrac{m}{2qU_A}}, donc m=2qUAt2L2m=\dfrac{2qU_At^{2}}{L^{2}} — méthode purement électrostatique, sans aimant.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Un proton (q=+eq=+e, mp=1,67×10−27 kgm_p=1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}) est placé dans un champ électrique E=1,0×104 V⋅m−1E=1{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}. Calcule la force électrique qu’il subit, son poids, et compare les deux.

Voir le corrigé détaillé
  1. F=eEF=eE
  2. ==1,60×10−19×1,0×1041{,}60\times10^{-19}\times1{,}0\times10^{4}
  3. ==1,6×10−15 N1{,}6\times10^{-15}\ \text{N}
  4. P=mpgP=m_pg
  5. ==1,67×10−27×9,81{,}67\times10^{-27}\times9{,}8
  6. ==1,64×10−26 N1{,}64\times10^{-26}\ \text{N}
  7. FP≈9,8×1010\dfrac{F}{P}\approx9{,}8\times10^{10}le poids est totalement négligeable
2

Une particule α\alpha (q=2eq=2e, m=4um=4u avec u=1,66×10−27 kgu=1{,}66\times10^{-27}\ \text{kg}), initialement au repos, est accélérée sous une tension UA=2 000 VU_A=2\,000\ \text{V}. Calcule sa vitesse finale.

Voir le corrigé détaillé
  1. m=4um=4u
  2. ==6,64×10−27 kg6{,}64\times10^{-27}\ \text{kg}
  3. v0=2qUAmv_0=\sqrt{\dfrac{2qU_A}{m}}
  4. ==2×2×1,60×10−19×2 0006,64×10−27\sqrt{\dfrac{2\times2\times1{,}60\times10^{-19}\times2\,000}{6{,}64\times10^{-27}}}
  5. ==4,39×105 m⋅s−14{,}39\times10^{5}\ \text{m·s}^{-1}
3

Convertis 5 000 eV5\,000\ \text{eV} en joules, puis 3,2×10−17 J3{,}2\times10^{-17}\ \text{J} en électron-volts.

Voir le corrigé détaillé
  1. 5 000 eV=5 000×1,60×10−19 J5\,000\ \text{eV}=5\,000\times1{,}60\times10^{-19}\ \text{J}
  2. ==8,0×10−16 J8{,}0\times10^{-16}\ \text{J}
  3. 3,2×10−17 J→3,2×10−171,60×10−19 eV3{,}2\times10^{-17}\ \text{J}\to\dfrac{3{,}2\times10^{-17}}{1{,}60\times10^{-19}}\ \text{eV}
  4. ==200 eV200\ \text{eV}
4

Un électron pénètre avec v0=5,0×106 m⋅s−1v_0=5{,}0\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1} entre deux plaques de longueur l=3,0 cml=3{,}0\ \text{cm}, distantes de d=1,5 cmd=1{,}5\ \text{cm}, soumises à UD=25 VU_D=25\ \text{V}. Calcule sa déviation y1y_1 et l’angle α\alpha à la sortie.

Voir le corrigé détaillé
  1. E=UDdE=\dfrac{U_D}{d}
  2. ==251,5×10−2\dfrac{25}{1{,}5\times10^{-2}}
  3. ==1,67×103 V⋅m−11{,}67\times10^{3}\ \text{V·m}^{-1}
  4. y1=eEl22mev02y_1=\dfrac{eEl^{2}}{2m_ev_0^{2}}
  5. ==1,60×10−19×1,67×103×(3,0×10−2)22×9,11×10−31×(5,0×106)2\dfrac{1{,}60\times10^{-19}\times1{,}67\times10^{3}\times(3{,}0\times10^{-2})^{2}}{2\times9{,}11\times10^{-31}\times(5{,}0\times10^{6})^{2}}
  6. ==5,3×10−3 m5{,}3\times10^{-3}\ \text{m}soit 0,53 cm0{,}53\ \text{cm}, inférieur à d/2=0,75 cmd/2=0{,}75\ \text{cm} : ça sort
  7. tan⁡α=2y1l\tan\alpha=\dfrac{2y_1}{l}
  8. ==2×5,3×10−33,0×10−2\dfrac{2\times5{,}3\times10^{-3}}{3{,}0\times10^{-2}}
  9. ==0,350{,}35soit α≈19,4°\alpha\approx19{,}4\degree
5

Un oscilloscope a des plaques de longueur l=2,5 cml=2{,}5\ \text{cm}, distantes de d=6,0 mmd=6{,}0\ \text{mm}, un écran à D=18 cmD=18\ \text{cm} du milieu des plaques, et une tension accélératrice UA=150 VU_A=150\ \text{V}. Calcule la sensibilité verticale SvS_v, puis la tension UDU_D correspondant à une déviation observée de 7,5 mm7{,}5\ \text{mm}.

Voir le corrigé détaillé
  1. Sv=lD2dUAS_v=\dfrac{lD}{2dU_A}
  2. ==2,5×10−2×0,182×6,0×10−3×150\dfrac{2{,}5\times10^{-2}\times0{,}18}{2\times6{,}0\times10^{-3}\times150}
  3. ==2,5×10−3 m⋅V−12{,}5\times10^{-3}\ \text{m·V}^{-1}soit 2,5 mm/V2{,}5\ \text{mm/V}
  4. UD=YSvU_D=\dfrac{Y}{S_v}
  5. ==7,5×10−32,5×10−3\dfrac{7{,}5\times10^{-3}}{2{,}5\times10^{-3}}
  6. ==3,0 V3{,}0\ \text{V}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Un proton, accéléré sous UA=500 VU_A=500\ \text{V}, pénètre dans des plaques de longueur l=5,0 cml=5{,}0\ \text{cm}, distantes de d=1,0 cmd=1{,}0\ \text{cm}, soumises à UD=300 VU_D=300\ \text{V}. Montre que le proton heurte une plaque avant de ressortir, puis détermine la tension de déviation maximale admissible.

Voir le corrigé détaillé

Calculons la déviation qu’aurait le proton en supposant qu’il traverse toutes les plaques.

  1. E=UDdE=\dfrac{U_D}{d}
  2. ==3001,0×10−2\dfrac{300}{1{,}0\times10^{-2}}
  3. ==3,0×104 V⋅m−13{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}
  4. y1=El24UAy_1=\dfrac{El^{2}}{4U_A}forme simplifiée du §4.4 (qq se simplifie)
  5. ==3,0×104×(5,0×10−2)24×500\dfrac{3{,}0\times10^{4}\times(5{,}0\times10^{-2})^{2}}{4\times500}
  6. ==3,75×10−2 m3{,}75\times10^{-2}\ \text{m}soit 3,75 cm3{,}75\ \text{cm}, très supérieur à d/2=0,50 cmd/2=0{,}50\ \text{cm}

Le proton heurte donc une plaque avant x=lx=l : cette déviation n’est jamais atteinte en pratique.

  1. UD,max⁡=2d2UAl2U_{D,\max}=\dfrac{2d^{2}U_A}{l^{2}}
  2. ==2×(1,0×10−2)2×500(5,0×10−2)2\dfrac{2\times(1{,}0\times10^{-2})^{2}\times500}{(5{,}0\times10^{-2})^{2}}
  3. ==40 V40\ \text{V}très inférieure aux 300 V300\ \text{V} proposés, ce qui confirme la collision
7

On veut construire un oscilloscope de plaques l=3,0 cml=3{,}0\ \text{cm}, d=8,0 mmd=8{,}0\ \text{mm}, écran à D=25 cmD=25\ \text{cm} du milieu des plaques, avec une sensibilité verticale Sv=5,0 mm/VS_v=5{,}0\ \text{mm/V}. Quelle tension accélératrice UAU_A faut-il utiliser ?

Voir le corrigé détaillé
  1. Sv=lD2dUAS_v=\dfrac{lD}{2dU_A}
  2. ⇒\RightarrowUA=lD2dSvU_A=\dfrac{lD}{2dS_v}
  3. ==3,0×10−2×0,252×8,0×10−3×5,0×10−3\dfrac{3{,}0\times10^{-2}\times0{,}25}{2\times8{,}0\times10^{-3}\times5{,}0\times10^{-3}}
  4. ==93,8 V93{,}8\ \text{V}
8

Un électron pénètre dans des plaques (l=4,0 cml=4{,}0\ \text{cm}, d=2,0 cmd=2{,}0\ \text{cm}, UD=40 VU_D=40\ \text{V}) avec une vitesse v0=8,0×106 m⋅s−1v_0=8{,}0\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1} faisant un angle θ0=5,0°\theta_0=5{,}0\degree avec l’axe des plaques, déjà orientée vers la plaque qui l’attire. Calcule sa déviation totale yy à la sortie des plaques (§4.6), et vérifie qu’elle ne heurte pas une plaque.

Voir le corrigé détaillé
  1. E=UDdE=\dfrac{U_D}{d}
  2. ==402,0×10−2\dfrac{40}{2{,}0\times10^{-2}}
  3. ==2,0×103 V⋅m−12{,}0\times10^{3}\ \text{V·m}^{-1}
  4. y(l)=ltan⁡θ0+eE2mev02cos⁡2θ0l2y(l)=l\tan\theta_0+\dfrac{eE}{2m_ev_0^{2}\cos^{2}\theta_0}l^{2}formule générale, §4.6
  5. ==4,0×10−2×tan⁡(5,0°)+2,77×(4,0×10−2)24{,}0\times10^{-2}\times\tan(5{,}0\degree)+2{,}77\times(4{,}0\times10^{-2})^{2}le coefficient numérique vaut eE2mev02cos⁡2θ0≈2,77 m−1\dfrac{eE}{2m_ev_0^{2}\cos^{2}\theta_0}\approx2{,}77\ \text{m}^{-1}
  6. ==3,5×10−3+4,4×10−33{,}5\times10^{-3}+4{,}4\times10^{-3}
  7. ==7,9×10−3 m7{,}9\times10^{-3}\ \text{m}soit 7,9 mm7{,}9\ \text{mm}, inférieur à d/2=10 mmd/2=10\ \text{mm} : l’électron ressort bien
9

Des ions chlore Cl+\text{Cl}^+ (q=eq=e) sont accélérés sous UA=1 000 VU_A=1\,000\ \text{V}, puis parcourent un tube de vol de longueur L=1,5 mL=1{,}5\ \text{m}. Calcule l’écart de temps de vol Δt\Delta t entre le chlore 35 (m1=35um_1=35u) et le chlore 37 (m2=37um_2=37u).

Voir le corrigé détaillé
  1. t=Lm2eUAt=L\sqrt{\dfrac{m}{2eU_A}}
  2. t1=1,535×1,66×10−272×1,60×10−19×1 000t_1=1{,}5\sqrt{\dfrac{35\times1{,}66\times10^{-27}}{2\times1{,}60\times10^{-19}\times1\,000}}
  3. ==2,02×10−5 s2{,}02\times10^{-5}\ \text{s}soit 20,2 μs20{,}2\ \mu\text{s}
  4. t2=1,537×1,66×10−272×1,60×10−19×1 000t_2=1{,}5\sqrt{\dfrac{37\times1{,}66\times10^{-27}}{2\times1{,}60\times10^{-19}\times1\,000}}
  5. ==2,08×10−5 s2{,}08\times10^{-5}\ \text{s}soit 20,8 μs20{,}8\ \mu\text{s}
  6. Δt=t2−t1\Delta t=t_2-t_1
  7. ≈\approx0,57 μs0{,}57\ \mu\text{s}
Niveau 3 — Type bac
10

Un oscilloscope accélère des électrons sous UA=400 VU_A=400\ \text{V}. Les plaques de déviation ont une longueur l=5,0 cml=5{,}0\ \text{cm}, sont distantes de d=1,6 cmd=1{,}6\ \text{cm}, et l’écran est à D=22 cmD=22\ \text{cm} du milieu des plaques.

  1. Calcule la vitesse v0v_0 des électrons à l’entrée des plaques.
  2. Détermine la tension de déviation maximale UD,max⁡U_{D,\max} admissible sans collision.
  3. On applique UD=60 VU_D=60\ \text{V}. Calcule la déviation y1y_1 à la sortie des plaques, puis la déviation YY sur l’écran.
  4. En déduire la sensibilité verticale SvS_v de cet oscilloscope, en mm/V.
Voir le corrigé détaillé

1. D’après le théorème de l’énergie cinétique (§3.2) :

  1. v0=2eUAmev_0=\sqrt{\dfrac{2eU_A}{m_e}}
  2. ==2×1,60×10−19×4009,11×10−31\sqrt{\dfrac{2\times1{,}60\times10^{-19}\times400}{9{,}11\times10^{-31}}}
  3. ==1,19×107 m⋅s−11{,}19\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}

2. D’après la condition de non-collision (§4.4) :

  1. UD,max⁡=2d2UAl2U_{D,\max}=\dfrac{2d^{2}U_A}{l^{2}}
  2. ==2×(1,6×10−2)2×400(5,0×10−2)2\dfrac{2\times(1{,}6\times10^{-2})^{2}\times400}{(5{,}0\times10^{-2})^{2}}
  3. ==81,9 V81{,}9\ \text{V}

3. Comme UD=60 V<UD,max⁡=81,9 VU_D=60\ \text{V}<U_{D,\max}=81{,}9\ \text{V}, les électrons ressortent bien des plaques.

  1. y1=UDl24dUAy_1=\dfrac{U_Dl^{2}}{4dU_A}
  2. ==60×(5,0×10−2)24×1,6×10−2×400\dfrac{60\times(5{,}0\times10^{-2})^{2}}{4\times1{,}6\times10^{-2}\times400}
  3. ==5,9×10−3 m5{,}9\times10^{-3}\ \text{m}soit 0,59 cm0{,}59\ \text{cm}
  4. Y=UDlD2dUAY=\dfrac{U_DlD}{2dU_A}
  5. ==60×5,0×10−2×0,222×1,6×10−2×400\dfrac{60\times5{,}0\times10^{-2}\times0{,}22}{2\times1{,}6\times10^{-2}\times400}
  6. ==5,2×10−2 m5{,}2\times10^{-2}\ \text{m}soit 5,2 cm5{,}2\ \text{cm}

4.

  1. Sv=YUDS_v=\dfrac{Y}{U_D}
  2. ==5,2×10−260\dfrac{5{,}2\times10^{-2}}{60}
  3. ==0,86 mm/V0{,}86\ \text{mm/V}
11

Dans une expérience de Millikan, une gouttelette d’huile sphérique de rayon r=1,2 μmr=1{,}2\ \mu\text{m} et de masse volumique ρ=860 kg⋅m−3\rho=860\ \text{kg·m}^{-3} est immobilisée entre deux plaques horizontales distantes de d=1,2 cmd=1{,}2\ \text{cm}, sous une tension U=1 150 VU=1\,150\ \text{V}.

Équilibre d’une gouttelette chargée + − q P F gouttelette immobile : F = |q|E équilibre exactement P = mg
Figure 7 — Équilibre d’une gouttelette chargée entre deux plaques horizontales : la force électrique F=∣q∣EF=|q|E, dirigée vers le haut, compense exactement le poids P=mgP=mg, dirigé vers le bas.
  1. Calcule la masse mm de la gouttelette, puis son poids PP.
  2. Calcule le champ électrique EE, puis la charge qq portée par la gouttelette.
  3. Combien de charges élémentaires nn la gouttelette porte-t-elle ? Conclus.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. m=ρ×43πr3m=\rho\times\dfrac{4}{3}\pi r^{3}
  2. ==860×43π×(1,2×10−6)3860\times\dfrac{4}{3}\pi\times(1{,}2\times10^{-6})^{3}
  3. ==6,22×10−15 kg6{,}22\times10^{-15}\ \text{kg}
  4. P=mgP=mg
  5. ==6,22×10−15×9,86{,}22\times10^{-15}\times9{,}8
  6. ==6,10×10−14 N6{,}10\times10^{-14}\ \text{N}

2. La gouttelette est immobile : le poids et la force électrique se compensent.

  1. E=UdE=\dfrac{U}{d}
  2. ==1 1501,2×10−2\dfrac{1\,150}{1{,}2\times10^{-2}}
  3. ==9,58×104 V⋅m−19{,}58\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}
  4. qE=PqE=P
  5. ⇒\Rightarrowq=PEq=\dfrac{P}{E}
  6. ==6,10×10−149,58×104\dfrac{6{,}10\times10^{-14}}{9{,}58\times10^{4}}
  7. ==6,37×10−19 C6{,}37\times10^{-19}\ \text{C}

3.

  1. n=qen=\dfrac{q}{e}
  2. ==6,37×10−191,60×10−19\dfrac{6{,}37\times10^{-19}}{1{,}60\times10^{-19}}
  3. ==3,983{,}98

Aux incertitudes de mesure près, n=3,98≈4n=3{,}98\approx4 : la gouttelette porte 4 charges élémentaires, ce qui confirme, comme chez Millikan, que la charge électrique est un multiple entier de ee.

12

Dans un spectromètre à temps de vol, des ions monochargés (q=eq=e) sont accélérés sous UA=800 VU_A=800\ \text{V}, puis parcourent un tube de vol de longueur L=1,2 mL=1{,}2\ \text{m}. Un détecteur mesure un temps de vol t=19,3 μst=19{,}3\ \mu\text{s} pour un ion inconnu.

  1. Exprime la masse mm de l’ion en fonction de qq, UAU_A, tt, LL, puis calcule-la.
  2. Exprime cette masse en unités de masse atomique u=1,66×10−27 kgu=1{,}66\times10^{-27}\ \text{kg}, et propose une identification pour cet ion.
Voir le corrigé détaillé

1. D’après la relation établie en §6.2 :

  1. m=2eUAt2L2m=\dfrac{2eU_At^{2}}{L^{2}}
  2. ==2×1,60×10−19×800×(19,3×10−6)21,22\dfrac{2\times1{,}60\times10^{-19}\times800\times(19{,}3\times10^{-6})^{2}}{1{,}2^{2}}
  3. ==6,62×10−26 kg6{,}62\times10^{-26}\ \text{kg}

2.

  1. n=mun=\dfrac{m}{u}
  2. ==6,62×10−261,66×10−27\dfrac{6{,}62\times10^{-26}}{1{,}66\times10^{-27}}
  3. ==39,9≈4039{,}9\approx40

La masse de l’ion correspond à 40 unités de masse atomique : il s’agit très probablement d’un ion argon 40 (40Ar+{}^{40}\text{Ar}^+), souvent utilisé comme gaz de calibration en spectrométrie de masse.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le technicien de Dakar. Moussa, technicien de maintenance à Dakar, contrôle un signal électrique sur un oscilloscope réglé avec une sensibilité verticale Sv=0,5 V/divS_v=0{,}5\ \text{V/div} et une base de temps de 2,0 ms/div2{,}0\ \text{ms/div}. Sur l’écran, le signal sinusoïdal occupe 6,06{,}0 divisions verticalement (crête à crête), et une période complète occupe 4,04{,}0 divisions horizontalement.

  1. Calcule la tension crête à crête UppU_{pp}, puis l’amplitude UmaxU_{max} du signal.
  2. Calcule la période TT, puis la fréquence ff du signal.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. Upp=6,0×SvU_{pp}=6{,}0\times S_v
  2. ==6,0×0,56{,}0\times0{,}5
  3. ==3,0 V3{,}0\ \text{V}
  4. Umax=Upp2U_{max}=\dfrac{U_{pp}}{2}
  5. ==1,5 V1{,}5\ \text{V}

2.

  1. T=4,0×2,0 msT=4{,}0\times2{,}0\ \text{ms}
  2. ==8,0 ms8{,}0\ \text{ms}soit 8,0×10−3 s8{,}0\times10^{-3}\ \text{s}
  3. f=1Tf=\dfrac{1}{T}
  4. ==18,0×10−3\dfrac{1}{8{,}0\times10^{-3}}
  5. ==125 Hz125\ \text{Hz}

Moussa lit donc un signal d’amplitude 1,5 V1{,}5\ \text{V} et de fréquence 125 Hz125\ \text{Hz}.

14

L’imprimante de Douala. Dans une usine d’étiquetage à Douala, une imprimante à jet d’encre éjecte des gouttelettes de masse m=1,0×10−11 kgm=1{,}0\times10^{-11}\ \text{kg} à la vitesse v0=15 m⋅s−1v_0=15\ \text{m·s}^{-1}. Les gouttelettes traversent des plaques de déviation de longueur l=1,0 cml=1{,}0\ \text{cm}, distantes de d=2,0 mmd=2{,}0\ \text{mm}, soumises à une tension fixe UD=500 VU_D=500\ \text{V}, puis parcourent D=1,5 cmD=1{,}5\ \text{cm} jusqu’au papier. Quelle charge qq faut-il déposer sur une gouttelette pour obtenir une déviation Y=2,0 mmY=2{,}0\ \text{mm} sur le papier ?

Voir le corrigé détaillé

Ici, v0v_0, UDU_D et la géométrie sont fixés : c’est la charge qq qui varie (§4.6). On repart de la formule générale Y=qElDmv02Y=\dfrac{qElD}{mv_0^{2}}, avec E=UD/dE=U_D/d.

  1. E=UDdE=\dfrac{U_D}{d}
  2. ==5002,0×10−3\dfrac{500}{2{,}0\times10^{-3}}
  3. ==2,5×105 V⋅m−12{,}5\times10^{5}\ \text{V·m}^{-1}
  4. q=Ymv02ElDq=\dfrac{Ymv_0^{2}}{ElD}
  5. ==2,0×10−3×1,0×10−11×1522,5×105×1,0×10−2×1,5×10−2\dfrac{2{,}0\times10^{-3}\times1{,}0\times10^{-11}\times15^{2}}{2{,}5\times10^{5}\times1{,}0\times10^{-2}\times1{,}5\times10^{-2}}
  6. ==1,2×10−13 C1{,}2\times10^{-13}\ \text{C}

Il faut déposer une charge d’environ 1,2×10−13 C1{,}2\times10^{-13}\ \text{C} sur la gouttelette, soit près de 750 000750\,000 charges élémentaires — un nombre considérable, cohérent avec la taille macroscopique d’une gouttelette d’encre comparée à un ion.

15

Le laboratoire de Yaoundé. Un laboratoire d’analyse à Yaoundé utilise un spectromètre de masse à temps de vol pour distinguer, dans un échantillon, les ions carbone 12 (m1=12um_1=12u) des ions carbone 14 (m2=14um_2=14u), tous deux de charge q=eq=e — une méthode utilisée en datation au carbone 14. Les ions sont accélérés sous UA=2 000 VU_A=2\,000\ \text{V} et parcourent un tube de vol de longueur L=2,0 mL=2{,}0\ \text{m}. Calcule l’écart de temps de vol Δt\Delta t entre les deux isotopes.

Voir le corrigé détaillé
  1. t=Lm2eUAt=L\sqrt{\dfrac{m}{2eU_A}}
  2. t1=2,012×1,66×10−272×1,60×10−19×2 000t_1=2{,}0\sqrt{\dfrac{12\times1{,}66\times10^{-27}}{2\times1{,}60\times10^{-19}\times2\,000}}
  3. ==1,12×10−5 s1{,}12\times10^{-5}\ \text{s}soit 11,2 μs11{,}2\ \mu\text{s}
  4. t2=2,014×1,66×10−272×1,60×10−19×2 000t_2=2{,}0\sqrt{\dfrac{14\times1{,}66\times10^{-27}}{2\times1{,}60\times10^{-19}\times2\,000}}
  5. ==1,21×10−5 s1{,}21\times10^{-5}\ \text{s}soit 12,1 μs12{,}1\ \mu\text{s}
  6. Δt=t2−t1\Delta t=t_2-t_1
  7. ≈\approx0,89 μs0{,}89\ \mu\text{s}un écart faible mais détectable, exploité pour dater les échantillons archéologiques

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Entre deux plaques distantes de d=5,0 cmd = 5{,}0\ \text{cm}, soumises à une tension U=1 000 VU = 1\,000\ \text{V}, le champ électrique uniforme E=U/dE = U/d vaut :

Explication : E=Ud=1 0005,0×10−2E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{1\,000}{5{,}0\times10^{-2}}
E=2,0×104 V⋅m−1E = 2{,}0\times10^{4}\ \text{V·m}^{-1}.

Une particule de charge q>0q>0, placée dans un champ électrique uniforme E⃗\vec E, subit une force F⃗=qE⃗\vec F = q\vec E :

Explication : F⃗=qE⃗\vec F=q\vec E est colinéaire à E⃗\vec E, de même sens si q>0q>0. C'est le sens opposé qui vaudrait pour une charge négative.

Un électron (e=1,60×10−19 Ce = 1{,}60\times10^{-19}\ \text{C}) est placé dans un champ E=1,0×105 V⋅m−1E = 1{,}0\times10^{5}\ \text{V·m}^{-1}. La valeur de la force électrique F=∣q∣EF=|q|E qu'il subit est :

Explication : F=∣q∣E=1,60×10−19×1,0×105F = |q|E = 1{,}60\times10^{-19}\times1{,}0\times10^{5}
F=1,6×10−14 NF = 1{,}6\times10^{-14}\ \text{N}.

Pour une particule chargée (électron, proton, ion) évoluant dans un champ électrique usuel, le poids P⃗=mg⃗\vec P = m\vec g est :

Explication : Pour un électron, le rapport F/PF/P atteint environ 4,5×10144{,}5\times10^{14} : le poids est totalement négligeable. Ce n'est plus vrai pour une gouttelette d'huile beaucoup plus massive, comme dans l'expérience de Millikan.

L'expérience de Millikan (gouttelettes d'huile immobilisées entre deux plaques) a permis de montrer que :

Explication : En mesurant la tension d'équilibre de centaines de gouttelettes, Millikan a montré que q=neq=ne, avec n∈Zn\in\mathbb{Z} : c'est la mise en évidence de la quantification de la charge électrique.

Un électron part sans vitesse d'une cathode et est accéléré vers une anode sous UA=200 VU_A=200\ \text{V}, distante de d=4,0 cmd=4{,}0\ \text{cm}. Son accélération a=eUAmeda=\dfrac{eU_A}{m_ed} vaut environ :

Explication : a=eUAmed=1,60×10−19×2009,11×10−31×4,0×10−2a = \dfrac{eU_A}{m_ed} = \dfrac{1{,}60\times10^{-19}\times200}{9{,}11\times10^{-31}\times4{,}0\times10^{-2}}
a≈8,8×1014 m⋅s−2a \approx 8{,}8\times10^{14}\ \text{m·s}^{-2}.

L'électron-volt (eV), unité d'énergie utilisée pour les particules, vaut :

Explication : L'électron-volt est l'énergie cinétique gagnée par une charge élémentaire ee accélérée sous 1 V1\ \text{V} : 1 eV=e×1 V=1,60×10−19 J1\ \text{eV}=e\times1\ \text{V}=1{,}60\times10^{-19}\ \text{J}. Ne confonds pas avec le coulomb, unité de charge.

Un électron accéléré sous UA=500 VU_A = 500\ \text{V} gagne une énergie cinétique de 500 eV500\ \text{eV}. Exprimée en joules, cette énergie vaut :

Explication : Ec=500×1,60×10−19E_c = 500\times1{,}60\times10^{-19}
Ec=8,0×10−17 JE_c = 8{,}0\times10^{-17}\ \text{J}.

Une particule de charge qq et de masse mm, partant du repos et accélérée sous une tension UAU_A, acquiert, d'après le théorème de l'énergie cinétique, une vitesse :

Explication : 12mv2=∣q∣UA\dfrac12 mv^2 = |q|U_A (théorème de l'énergie cinétique, poids négligé, départ du repos), d'où v=2∣q∣UA/mv=\sqrt{2|q|U_A/m}. Oublier le facteur 22 sous la racine est une erreur fréquente.

Un électron, initialement au repos, est accéléré sous UA=300 VU_A = 300\ \text{V}. Sa vitesse finale v=2eUA/mev=\sqrt{2eU_A/m_e} vaut environ :

Explication : v=2×1,60×10−19×3009,11×10−31v = \sqrt{\dfrac{2\times1{,}60\times10^{-19}\times300}{9{,}11\times10^{-31}}}
v≈1,03×107 m⋅s−1v \approx 1{,}03\times10^{7}\ \text{m·s}^{-1}, soit environ 3,4 %3{,}4\ \% de la vitesse de la lumière : le modèle classique reste ici valable.

La formule classique vB=2∣q∣UA/mv_B=\sqrt{2|q|U_A/m} cesse d'être valable lorsque :

Explication : Cette formule relève de la mécanique classique (newtonienne). Quand vBv_B approche cc, il faut recourir à la relativité restreinte, hors programme de Terminale — c'est le cas, par exemple, d'un électron accéléré sous plusieurs dizaines de kV.

Une particule entre perpendiculairement à E⃗\vec E entre deux plaques ; sa trajectoire suit y=qE2mv02x2y=\dfrac{qE}{2mv_0^{2}}x^{2}. Cette parabole s'ouvre vers les y>0y>0 lorsque :

Explication : Le coefficient qE2mv02\dfrac{qE}{2mv_0^2} a le signe de qq (avec E>0E>0 et m>0m>0) : la parabole s'ouvre vers les y>0y>0 si q>0q>0 (particule attirée du côté +y+y), vers les y<0y<0 si q<0q<0.

D'après la règle du foyer, la déviation à la sortie des plaques vérifie y1=l2tan⁡αy_1=\dfrac{l}{2}\tan\alpha. Pour y1=0,50 cmy_1=0{,}50\ \text{cm} et l=4,0 cml=4{,}0\ \text{cm}, tan⁡α\tan\alpha vaut :

Explication : tan⁡α=2y1l=2×0,504,0\tan\alpha = \dfrac{2y_1}{l} = \dfrac{2\times0{,}50}{4{,}0}
tan⁡α=0,25\tan\alpha = 0{,}25.

Pour qu'une particule ressorte des plaques de déviation sans les heurter, il faut que la déviation y1y_1 à x=lx=l vérifie :

Explication : Les plaques étant distantes de dd, la particule (qui entre à mi-distance) ne les heurte pas tant que sa déviation reste inférieure, en valeur absolue, à la demi-distance d/2d/2. Cela impose UD⩽UD,max⁡=2d2UAl2U_D\leqslant U_{D,\max}=\dfrac{2d^2U_A}{l^2}.

Le prolongement, vers l'arrière, de la trajectoire rectiligne de sortie des plaques recoupe l'axe (Ox)(Ox) :

Explication : C'est la règle du foyer, conséquence de y1=l2tan⁡αy_1=\dfrac{l}{2}\tan\alpha : tout se passe comme si la déviation démarrait au milieu des plaques, quel que soit le signe de qq.

La déviation Y=UDlD2dUAY=\dfrac{U_DlD}{2dU_A} sur l'écran d'un oscilloscope, résultat remarquable :

Explication : En substituant mv02=2∣q∣UAmv_0^2=2|q|U_A (théorème de l'énergie cinétique), qq et mm disparaissent totalement de l'expression de YY : c'est ce qui rend l'oscilloscope fiable, quelle que soit la particule utilisée.

Un oscilloscope a pour caractéristiques l=5,0 cml=5{,}0\ \text{cm}, d=2,5 cmd=2{,}5\ \text{cm}, D=25 cmD=25\ \text{cm}, UA=200 VU_A=200\ \text{V}. Sa sensibilité verticale Sv=lD2dUAS_v=\dfrac{lD}{2dU_A} vaut :

Explication : Sv=5,0×10−2×0,252×2,5×10−2×200S_v = \dfrac{5{,}0\times10^{-2}\times0{,}25}{2\times2{,}5\times10^{-2}\times200}
=1,25×10−210= \dfrac{1{,}25\times10^{-2}}{10}
Sv=1,25×10−3 m⋅V−1=1,25 mm⋅V−1S_v = 1{,}25\times10^{-3}\ \text{m·V}^{-1} = 1{,}25\ \text{mm·V}^{-1}.

Un spectrographe de masse sépare deux isotopes (même charge qq, même tension accélératrice UAU_A) parce que :

Explication : v0=2qUA/mv_0=\sqrt{2qU_A/m} : à qq et UAU_A fixés, un ion plus léger acquiert une vitesse plus grande. C'est cette différence de vitesse (donc de temps de vol) qui permet de séparer les isotopes.

Des ions Na+^+ (q=eq=e, m=23um=23u avec u=1,66×10−27 kgu=1{,}66\times10^{-27}\ \text{kg}) sont accélérés sous UA=300 VU_A=300\ \text{V}, puis parcourent un tube de vol sans champ de longueur L=0,60 mL=0{,}60\ \text{m}. Le temps de vol t=Lm/(2eUA)t=L\sqrt{m/(2eU_A)} vaut environ :

Explication : t=0,60×23×1,66×10−272×1,60×10−19×300t = 0{,}60\times\sqrt{\dfrac{23\times1{,}66\times10^{-27}}{2\times1{,}60\times10^{-19}\times300}}
t≈0,60×1,99×10−5t \approx 0{,}60\times1{,}99\times10^{-5}
t≈12,0 μst \approx 12{,}0\ \mu\text{s}.

Pour séparer deux isotopes de même charge mais de masses différentes, on ne peut PAS utiliser :

Explication : La formule Y=UDlD/(2dUA)Y=U_DlD/(2dU_A) ne contient ni qq ni mm : un déflecteur électrique seul ne peut donc jamais distinguer deux masses différentes. Il faut une grandeur qui dépend de mm, comme le temps de vol ou le rayon de courbure dans un champ magnétique.
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